（计算数学专业论文）backlund变换在非线性偏微分方程求解中的应用.pdf

学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特别加以标注和 致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同志的研究成果对本人的 启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示谢意。 学位论文作者签名： 一! 虱左盐 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权 辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 j 吃lto _ 7 学位论文作者签名：，型盎至纽指导教师签名： 签名日期：年月日 辽宁师范大学硕士学位论文 摘要 随着非线性科学研究的发展，非线性发展方程的求解成为研究非线性问题的一个重 要内容。许多数学家和物理学家为此做了大量工作。为了更准确、客观的描述物质的复 杂的运动变化规律和属性，研究相应的变系数方程更显得尤为重要，但变系数方程的求 解难度很大，至今仍未有统一的方法。本文通过对方程的种子解作更广泛的新的未知函 数变换，然后利用b a e k l u n d 变换获得变系数方程的一系列精确解。 第一章：简要的阐述了孤立子概念产生的背景和发展概况，研究孤立子方程精确求 解的方法，重点介绍了几种常用的构造性求解方法d a r b o u x 变换法，双线性h i r o t a 方 法，齐次平衡法，推广的t a u h 函数法，最后介绍了本文的选题和所做的主要工作。 第二章：介绍了b a c l d u n d 变换概念产生的背景及意义。简述了三种形式的b a e l d t m d 变换的等价性，借助于一个谱问题由其d a r b o u x 形式的b a e k l u n d 变换推导出双线性形 式的b a c k l u n d 变换；简单介绍了在齐次平衡法的基础上提出的b a e l d u n d 变换法，对此 法进行了改进，提出用未知函数变换作为一种新的自b a c l d u n d 变换种子解的形式，进 一步发展了b a e l d u n d 变换法。 第三章：将提出的方法首先应用到( 2 + 1 ) 维变系数方程中，得到了钟型孤波解和 奇性孤子解，其中有些解中含有任意函数，当这些任意函数函数取特殊值时，解将具有 丰富的结构，具有着多重物理意义。继而应用到变系数k d v 方程，变形b o u s s i n e s q 方 程和k d v - m k d v 组合方程，得到新的精确解。 关键词：变系数方程；b a c k l u n d 变换；精确解 b a e k l u n d 变换在非线性偏微分方程求解中的应用 b a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n i ns o l v i n gn o n l i n e a rp a r t i c a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n a b s tr a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fn o n l i n e a rs c i e n c e ，s o l v i n gn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sb e c o m ea l li m p o r t a n tp a r to fn o n l i n e a rp r o b l e m s m a n ym a t h e m a t i c i a n sa n d p h y s i c i s t sh a v ed o n eal o to fw o r k f o rd e s c r i b i n gt h el a w sa n dp r o p e r t yo ft h ec o m p l e x m o v e m e n tn 1 m a c c u r a t ea n do b j e c t i v e a n dn o wt or e s e a r c ht h ev a r i a b l ec o e f f i c i e n t e q u a t i o ni se s p e c i a l l yi m p o r t a n t ，b u ti ti s s od i f f i c u l tt os o l v et h ev a r i a b l ec o e f f i c i e n t e q u a t i o n s t h e r ei sn o tat m i f i e dm e t h o dt os o l v et h e m t h i sp a p e ro b t a i n sas e r i e so fe x a c t s o l u t i o n sb yd o i n gn e wu n k n o w nf u n c t i o nt r a n s f o r m a t i o no ft h en e e ds o l u t i o n so ft h e e q u a t i o na n db a c l d u n dt r a n s f o r m a t i o n c h a p t e r1 i st oi n t r o d u c et h eh i s t o r ya n dd e v e l o p m e n to f 也es o l i t o nt h e o r y m a t h e m a t i c s m e c h a n i z a t i o na n da p p l i c a t i o n so fs y m b o l i cc o m p u t a t i o n ，t h ed e v e l o p m e n to ft h ee x a c t s o l u t i o n so fn o n l i n e a re v o l u t i o n e q u a t i o n s i n t r o d u c es e v e r a lm e t h o d s _ d a r b o u x t r a n s f o r m a t i o n ，b i l i n e a rs o l u t i o n ，h o m o g e n e o u sb a l a n c ep r i n c i p l e t h em a i nr e s u l t so ft h i s d i s s e r t a t i o na r ei n t r o d u c e da tt h ee n d c h a p t e r2i n t r o d u c et 1 1 eh i s t o r ya n dd e v e l o p m e n to ft h eb a c 1 l i l dt r a n s f o r m a t i o nf i r s t l y b a s e do nt h ee q u i v a l e n c eo ft h r e ef o r m s ，t r a n s f o r mb a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o no fd a r b o u xf o r m t ob a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o no fb f l i n e a rf o r mt h r o u g has p e c t r a lp r o b l e m t h e nb a s e do nt h e h o m o g e n e o u sb a l a n c ep r i n c i p l e , b r i n gu pan e wa u t o b a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o nt os o l v e e q u a t i o n sa n dp o p u l a r i z ei t c h a p t e r3u s et h em e t h o db r i n gu pf r o mc h a p t e r2t os o l v eat h e ( 2 + 1 ) d i m e n s i o n a l v a r i a b l ec o e f f i c i e n te q u a t i o n ，w es o l v ei tb yd o i n gn e wu n k n o w nf u n c t i o n st r a n s f o r m a t i o no f t h en e e ds o l u t i o n so f 也ee q u a t i o na n dp e r f o r m i n gm a t h e m a t i c a lc a l c u l a t i o n st oo b t a i nas e r i e s o fe x a c ts o l u t i o n s 。w h i c hc o n t a i ns o l u t i o nl i k es o l u t i o n sa n dr a t i o n a ls o l u t i o n s s o m ee x a c t s o l u t i o n si n c l u d ea r b i t r a r yf u n c t i o n s 。w h e nt h e s ea r b i t r a r yf u n c t i o n sa l et a k e na ss o m es p e c i a l f u n c t i o n s t h e s es o l u t i o n sp o s s e sa b u n d a n ts 缸u c n l i - e s t h e nt h em e t h o di su s e di ns o l v i n g v a r i a b l et o e 伍c i e n tk d ve q u a t i o n ，b o u s s i n e s qe q u a t i o n1 7a n dk d v - m k d ve q u a t i o n k e yw o r d s ： v a r i a b l ec o e f f i c i e n te q u a t i o n ；b a c e _ u n dt r a n s f o r m a t i o n ：e x a c ts o l u t i o n s i i 辽宁师范大学硕士学位论文 目录 摘要i a b s t r a c t i i 1 绪论。1 1 1 孤立子的产生背景和发展概况1 - 1 2 孤立子方程精确求解的方法2 1 2 1 齐次平衡法2 1 2 2 双线性h i r o t a 方法：3 1 2 3d a r b o u x 变换。3 1 - 2 4t a n h 函数法。4 1 3 本文的选题和主要工作5 2b a c k l u n d 变换和精确解6 2 1b a c k l u n d 变换定义6 2 2 方法概述：6 2 3 三种形式b a c k l u n d 变换等价7 3b a c k l u n d 变换应用举例1 0 3 1 ( 2 + 1 ) 维变系数方程的自b a c k l u n d 变换与精确解1 0 3 2 变系数k d v 方程的自b a c k l u n d 变换与精确解1 7 3 3 变形b o u s s i n e s q 方程n 的自b a e k l u n d 变换与精确解：2 0 3 4k d v m k d v 组合方程的自b a e k l u n d 变换与精确解一2 5 结论2 8 参考文献2 9 攻读硕士学位期间发表学术论文情况3 0 致谢31 辽宁师范大学硕士学位论文 1 绪论 本章简要的阐述了孤立子理论产生的背景和发展概况，以及孤立子方程精确求解的 方法，重点的介绍了几种常用的构造性求解方法，最后介绍了本文的选题和主要工作。 1 1 孤立子的产生背景和发展概况 孤立子是英国著名造船工程师，科学家j o h ns c o t tr u s s e l 在运河河道中发现的一个 奇特的现象，一种孤立的非寻常的水波。1 8 4 4 年9 月r u s s e l 在f o u r t e e n t hm e e t i n go ft h e b r i t i s ha s s o c f o rt h ea d v a n c e m e n to f s c i e n c e 以“o nw a v e s 为题报告他这个惊奇的发现： 这种孤立波具有着圆润和光滑的波形，在行进的过程中波形和速度没有明显的改变。他 认为是这种孤立波实际上是流体力学的一个稳定解，但由于没有与数学模型相联系起 来，在当时科学界未产生太大的影响。 1 8 9 5 年，荷兰著名数学家d k o r t e w e g 和他的学生g d ev r i e s 发现了浅水波运动方 程，也就是著名的k d v 方程： u l + _ 6 u u ，+ “。= 0 ( 1 1 ) 并求出了与j s c o t tr u s s e l 发现的一致的具有形状和速度不变的孤立波解， 11， u ( x ，f ) = c s e 圮h 2 【二c ( x 一刃+ 而) 】 二z 其中c 为传播的速度。但仍有许多问题未解决，这种波是不是稳定的? 两个孤立波相重 叠后结果将会怎样? 孤立波存不存在于其他领域? 有科学家认为孤立波只不过是非线 性微分方程的特殊解，碰撞后两个孤立波的形状可能被破坏，孤立波的研究就这样停滞 下来。 直到1 9 5 2 年，e n r i c of e r m i ，j o h np a s t a ，s t a nu l a m 做了f p u 实验研究非线性弹簧 连结的质点热传导问题时，惊奇地发现能量不是预期涨落均衡的分布在每个质点，而是 几乎全部能量回归初始分布状态，这意味着这个非线性系统可能必须由孤立波解决，再 次引起人们对孤立波的关注和兴趣。之后t o d a 在研究晶体的震动时，也发现了类似的 现象并得到了孤子解，这些发现都预示着在其他领域也可能存在着孤立波。 1 9 6 5 年，美国p r i n c e t o n 大学的数学物理学家m dk n j s k a l 和n z a b u s k y 通过计算 机数值方法模拟了两波相互作用过程，得到孤立波的形状和速度扎起相撞后保持不变这 一结论，由这种相似于粒子碰撞后形状不变的性质，称此波为孤立子。 自此，孤立子的研究和发展受到关注，在许多科学领域都发现了孤立子的存在。与 孤立子物理模型建立的同时，建立起了相关的数学理论模型，也就是具有孤立子解的数 b a c l d u n d 变换在非线性偏微分方程求解中的应用 学物理偏微分方程。孤立子需要数学理论和方法的介入和解决问题，孤立子更多的结构 等待着数学的描述，还有其在更多领域的发展和应用，在物理领域的深向拓展追溯根源， 其广阔的发展前景，都在期待着人们的进一步挖掘和发现。 1 2 孤立子方程精确求解的方法 在物理学、力学、天文学、地球科学、生命科学和各类技术工程科学领域均出现大 量的这种非线性微分方程，解开这些方程意味着更新着研究对象、内容和方法，这样以 来寻找最适合的方法来解决这种非线性方程越来越受到关注，做为交叉学科，数学家物 理学家和工科的科学家们更关注和急于解决这个问题。自2 0 世纪开始数学家们不断地 探索着解决孤立子方程的新的方法，由于非线性偏微分方程的复杂性，尚无一个统一的 方法求出所有的精确解，但逐渐形成了一些有着比较完善的系统的得到精确解的方法， 如反散射方法，p a i n l e v 6 截断展开法，相似约化法，d a r b o u x 变换法【1 邡】，b a c k l u n d 变 换澍仆【1 0 1 ，双线性t - i i r o m 方澍1 1 1 ，齐次平衡澍1 2 1 ，t a n h 函数法、推广的t a n h 函数法、 射影r i c c a t i 方程展开法、j a c o b i 椭圆函数展开法【1 3 1 ，s i n e - c o s i n e 展开法、双曲函数法【1 4 】 熊氅 寸寸o 1 2 1 齐次平衡法 对于非线性微分方程： p d l ：p ( u ，吣，u t ，u x , ，- ) = 0 ( 1 2 ) 其中p 是变元多项式，包含u ( x ，f ) 的最高阶导数项和非线性项。若存在函数形式厂( 扔有 矽= g ( x ，f ) 解，称= 矽( x ，t ) 为方程的拟解，使得 “( 五力= 訾一f - ( 彩及关于x 和t 的偏导数的线性组合 可写成 u ( x ，t ) = f “辨 ) 矽7 ，矽”，+ ( x ，t ) 的不同偏导数的一个多项式 主要步骤： 1 确定整数z ，m 具体值。由此确定厂( 柳的导数的最高阶数，其中z ，m 的值令( x ，t ) 的最高阶导数项和非线性项的偏导数相等而得；( 若，m 中出现负数或分数情形，可 以通过函数变换来解决，将原方程化为新的微分方程，得到正整数的，和m ) 2 确定函数f = 厂( 扔的具体表达形式； 辽宁师范大学硕士学位论文 3 合并吠而f ) 的偏导数项，令最高次项系数为零，解出厂( 矽) = a l n 矽( x ，t ) 形式的解， 并得到厂( ) 的非线性导数项与高阶导数式的恒等关系式，用后者代换前者； 4 合并厂“，_ ，厂。，f 各阶导数项的系数，并令其为零，得到矽的超定方程组； 5 一般设其解的形式为烈x ，f ) = 1 + 矿村让，用待定系数法确定c ，d ，k 具体值； 齐次平衡方法可以看作是c o l e - h o p f 变换的一般化和扩展，用此方法预先判定某个 非线性微分方程是否存在精确解，可以说是求解非线性微分方程的一种指导原则，1 9 9 5 年，王明亮教授等提出了齐次平衡法。齐次平衡法在孤立子计算中，用处十分广泛，用 于获得b a c k l u n d 变换，结合相似约化，t a n h 函数法、推广的t a n h 函数法、r i c c a t i 方程 展开法、s i n e c o s i n e 展开法、双曲函数法求解更多形式的精确解法等。 1 2 2 双线性h ir o t a 方法 1 9 7 1 年，h i r o t a 提出了一种构造微分方程多孤子解的直接代数方法，称之为双线性 方法。双线性方程的求解过程可以归纳为：首先，引入变量变换，由双线性导数定义改 写原方程为双线性形式；然后，用级数扰动展开代入，再截断展开，进而求出双线性方 程的单孤子解，双孤子解和三孤子解；最后，猜测n 孤子解的表达式，可用数学归纳法 进行检验。双线性方法仅用双线性微分算子作为工具，方法简练、明快，是求解非线性 方程的一大重要发现，还可以应用到方程族中，以及离散的孤子系统。胡星标教授等研 究此方法做了很多扩展，得到了和解的互换定理；1 9 9 5 年，楼森岳【1 5 】教授延拓该方法 证明了一个( 3 + 1 ) 维方程具有丰富的类d r o m i o n 结构。刘青平教授等使用此方法获得了 一类超对称方程的l a x 对；陈登远【1 6 】、张大军教授等利用此h i r o t a 方法做了许多延伸的 工作并得到一系列新的成果。 1 2 3d a r b o u x 变换 d a r b o u x 变换就是利用微分方程的一个解以及l a x 对的解通过变换获得方程新的 解。1 8 8 2 年，d a r b o u x 在研究s c h r o d i n g e r 方程： 一丸一“( x ) 矽= 力矽 的特征值问题时，方程中的“( 功是已知的势函数，见为谱参数。d a r b o u x 发现，设u ( x ) 和矽( x ，五) 是满足方程的两个函数，对任意的常数凡，令厂( 功= ( x ，厶) ，那么函数厂( 力就 是方程当名= 矗时的一个解，也就是说由 甜- u + 2 0 n 厂) 。 ， ( z ，五) = 吮 ，g ) - z ( 石，a ) b a d d 岫d 变换在非线性偏微分方程求解中的应用 此方程定义的函数u 和也满足与方程相同形式的方程， 丸一“7 ( z ) 矽= 五7 这种由 ，旯) j 7 ，) 的变换就是d 缸b o u x 变换的初始。1 9 7 5 年，w a d a f i 等将d a r b o u x 变换应用到s i n e g o o n 方程和m k d v 方程。1 9 8 6 年，谷超豪【1 9 】院士等将d a r b o u x 变换 推广到k d v 方程族以及a n k s 族和高维方程组中。d a r b o u x 变换法在近些年一直被发 展改进用以求得更多的精确解。 1 2 4t a n h 函数法 t a n h 函数法首先被楼森岳教授用来解决复杂的方程，在此基础上p a r k e s 和e 啊耷 发展了计算机自推理软件包，李志斌【1 8 】_ 【1 9 】教授进一步在m a p l e 上开发了软件包，实现 自动化计算；范恩贵【2 0 】教授提出了推广的t a n h 函数法：这种方法的关键是利用一个可 解的黜c c a f i 方程，用这个砒c c a f i 方程的解来代替t a n h 方法中的t a n h 函数。 对给定的非线性方程 尸 ，虬，u t ，) = 0 ( 1 3 ) 由t a n h 函数法，方程的解u 可以表示成 “o ，f ) = u ( 孝) = 口，y ( 1 4 ) 其中w ( x ，f ) 满足： y ( 善) = 6 + y 2( 1 5 ) 其中：= 兰，b 为待定，使用上式代替t a n h 方法中的t a n h 函数，反复利用方程( 1 5 ) ， q g 将y 的所有导数转化为吵的多项式，此r i c c a f i 方程具有三种形式的解： l f ，= j t a u h 再善，c o t 届芎。b 0 正整数n 由齐次平衡法法得到；将上式代入方程中，再令矿的系数为零，得到 七，c ，a 0 ，q9 oto a n 的方程组，进而解出七，c ，a o ，q ，a n ，得到扭状的解，三角函数形式的周 期解。 辽宁师范大学硕士学位论文 1 3 本文的选题和主要工作 本文主要介绍了在齐次平衡法基础上建立的b a c k l u n d 变换法；借助一个谱问题由 d a r b o u x 形式的b a c k l u n d 变换导出双线性形式的b a c k l u n d 变换；提出用未知函数变换 得到一种新的自b a c k l u n d 变换种子解的形式，主要将这种方法应用到一个一般变系数 方程中，得到了钟型孤波解和奇性孤子解，其中有些解中含有任意函数，当把解中的这 些函数取特殊值时，这些解将具有丰富的结构，具有着多重物理意义。 b a d d 瑚d 变换在非线性偏微分方程求解中的应用 2b a c kiu n d 变换和精确解 2 1b a c k l u n d 变换定义 1 8 8 3 年，德国几何学家贝克隆在研究负常曲率曲面时发现了非线性s m e 。g o r d o n 方程： = s m u ( 2 1 1 ) 两个解之间的重要关系式 j g ) ，= 2 h s i n 半 二 ( 2 1 2 ) 卜n = 詈咖孚 其中u 和q 为方程两解 如果u 是方程( 2 j1 2 ) 的一个解，将式( 2 1 2 ) 的第一式对t 求导，得 = 一2 c o s _ u + _ q 一1 ( + 吼) _ s 证帕概半睦吩，+ 丢s 缸学 ( 2 1 3 ) u 十口甜一q = s m “一z c 0 8 o s l n _ 二= s m 口 22 说明q 也满足方程，即q 也是方程的解，这种由一个方程的解u 得到另一个解q 的变换 称为b 瑚u n d 变换。这种变换的突出优势是可以通过方程的已经获得的解求出新解， 通过进一步研究，利用非线性叠加公式继续得出一些新的结果。 2 2 方法概述 对给定的非线性方程 尸 ， 善，u t ，) = 0 ，( 2 2 1 ) b a c l d u n d 变换关键是找到方程( 2 2 1 ) 如下形式的解： u ( x ，f ) = 舐。o t 朋厂( ) + ( 2 2 2 ) 其中厂= 厂( ) ，= 矽o ，t ) 为待定函数，“和是方程的两个解， ( 同一个方程不同解之间 的b 础u n d 变换，称为自b 础u n d 变换) m ，n 由齐次平衡法得到；将( 2 2 2 ) 代a n ( 2 2 1 ) ， 然后合并( x ，t ) 的偏导数项，令最高次项系数为零，解出厂( 矽) ，再将厂( 矽) 各非线性项代 辽宁师范大学硕士学位论文 换为厂( 扔的最高阶导数项，令厂4 胛，厂，f 系数分别为零，得到的超定方程组，就 此解得方程。 2 3 三种形式b a c k i u n d 变换等价 孤子方程通常存在将线性问题化为有相同形式的线性问题的规范变换，即表示谱问 题与谱问题方程之间的关系，本征函数之间的转换，称为d a r b o u x 变换。一阶谱问题利 用少= 彤可以推广到具有矩阵形式的一阶线性问题，即寻找线性问题的规范变换实际上 可归结成解一阶线性微分方程组。对于二阶谱问题可通过线性变换沙= 口丸+ 髟寻找相应 线性问题化为具有完全相同形式但不同位势的线性问题的d a r b o u x 变换。 孤子方程的两个解之间满足一定的关系式，于是已知方程的一个解，通过这个关系 式即可确定另一个解，这样周而复始，即可生成方程一系列解，解之间的关系式即为孤 子方程的b a c k l u n d 变换。 b a c k l u n d 变换( 2 1 2 ) 与d a r b o u x 形式的b a c k l u n d 变换 u = - q - 4 a r c t a n o ( r 1 )( 2 3 1 ) 其中口( ，7 ) 满足的r i c c a f i 方程为 o a , 7 ) = 2 刁9 ( 刁) 一罢 ( 1 + 秒2 ( 刁) ) 幺研) = 刍c o s q o ( 1 ) + 石1 s i ng ( 1 彬 ( 2 3 2 ) 以及双线性形式的b a c k l u n d 变换 i 皿g f = 一冬g 厂 二1 【- , g f 一参厂 叫) 三种形式的b a c k l u n d 变换等价 下面将一个谱问题的d a r b o u x 形式的b a c k l u n d 变换变成双线性形式的b a c k l u n d 变 换 设有位势为u 的二阶谱问题与时间发展式 丸+ 2 “峻= 允矽 谚= a ( “，名) 矽+ 曰( “，名) 丸( 2 3 4 ) 其中a ( u ，力) 与b ( u ，旯) 是五的多项式。 存在一个线性变换 b a c k l u n d 变换在非线性偏微分方程求解中的应用 y 2 口吮+ 6 痧 ( 2 3 5 ) 使( 2 3 4 ) 式化为具有完全相同形式但位势为v 的谱闯题 + 2 v v x = 力y 2a ( v ，名) y + 曰( 1 ，允) 虬 ( 2 3 6 ) 为此计算变换( 2 3 5 ) 对x 的二阶导数，并利用谱问题( 2 3 4 ) 第一式消去高阶导数得 吵。= ( a 2 2 a u ；+ 4 a u 2 4 q 一2 6 “+ + 2 吃) 线 弋- 2 口“旯+ 2 巳五+ m + 6 曩) 矽 ( 2 3 7 ) 又由( 2 3 6 ) 第一式可变成 y 二= ( 名口一2 v a x 一2 v b + 4 u v a ) f k , , + ( 舶一2 五一2 m 吃) ( 2 3 8 ) 令( 2 3 7 ) 与( 2 3 8 ) 中吮，矽对应系数相等得 + ( 缸+ 2 d q + ( 2 心+ 4 u 2 4 “1 ，) 口+ 2 吃+ ( 2 ，一2 u ) = 0 - 2 口“名+ 2 吒名+ 屯= _ 2 力一2 噍 平衡五系数，由( 2 3 1 0 ) 得， a ， “一y = 二 取b = l ，令 生= + ( 2 1 n o ) 曩 o 一一 则( 2 3 11 ) 化为 1 ，= u + 2 ( 1 n d 荔 ( 2 3 9 ) 化成 吒= ( j j l 一“一v ) o 令 m 州争x 其中g ，厂是g ，厂的共轭复数 解得 汐：f 粤 母 将( 2 3 1 3 ) 代入( 2 3 1 2 ) ，即得到双线性导数形式的b a c k l u n d 变换 、，、，、， ) 鳓 d 芍 ，、 如 加 m m m z 3 3 & u g 仁 仁 以 ，、 辽宁师范大学硕士学位论文 d 。g f = h g f + d 3 x - 3 h 2 见) g f = o 9 b a c k l u n d 变换在非线性偏微分方程求解中的应用 3b a c kiu n d 变换应用举例 随着非线性科学研究的发展，非线性发展方程的求解成为研究非线性问题的一个重 要内容。许多数学家和物理学家为此做了大量工作，为了更准确客观的描述物质复杂的 运动变化规律和属性，研究相应的变系数方程更显得尤为重要，但变系数方程的求解难度 很大，仍未有统一的方法。近些年数学物理学家们求解变系数方程取得了的一些进展， 刘式适教授用双曲函数法、j a c o b i 椭圆函数展开法、改进的t a n h 函数展开法、截断展 开法得到了几个变系数方程的双曲函数型解和椭圆函数型解；文献 1 9 】用齐次平衡法与 b a e l u n d 变换法相结合得到了圆柱k p 方程的一些精确解；闰振亚【2 1 】- 【2 3 】博士用函数变换 法得到了具有三个任意函数的变系数k d v - m k d v 方程的精确解。本文通过对方程的种 子解作更广泛的新的未知函数变换，然后利用b a c k l u n d 变换获得变系数方程的一系列 精确解。 3 1 ( 2 + 1 ) 维变系数方程的自b a c k i u n d 变换与精确解 考虑一般的变系数方程： ( u t + 6 u u 善+ v 璐) x + k o ( t ) u z + k l ( t ) u = 0 ( 3 1 1 ) 其中k ( 力，置l j f ) 为t 的任意函数。 这个方程的特殊形式具有着重要的意义，如当k ( f ) = 万1 ，墨o ) = 吾，时方程可 化为圆柱k a d o m t s e v - p e t v i a s h v i l l i ( k p ) 方程： ( + 6 “叱+ ) 善+ 万1u x + 7 3 “拶= o ( 3 1 2 ) 当岛o ) = i 1 ，k o ) = 0 时，可化为著名的圆柱k d v 方程： u t + 6 u u 善+ “麒+ 二2 t “ ( 3 1 3 ) 首先利用齐次平衡法，寻求方程如下形式的自b a c k l u n d 变换 “( 训，f ) ：丝掣f u o ( x , y , t ) ( 3 1 4 ) o x 。 辽宁师范大学硕士学位论文 将变换( 3 1 4 ) 代入方程0 1 1 ) ，得 ( z ( 6 ) + 6 2 2 ( 4 ) + 6 z ( 3 ) 2 ) 丸6 + ( 1 5 z ( 5 ) + 6 z ，z ( 4 ) + 7 2 2 2 ( 3 ) ) 丸4 屯 斗 ( z ( 4 劬砍3 + 6 吮4 + 墨( f ) 吮2 力2 ) + 4 5 吮2 丸2 + 2 0 苁3 丸。) + ( 1 2 z z 0 ) + 2 4 z 以) ( 3 吮2 丸2 + 吮3 虹) 】 斗 z ( 3 皈o ) 妒+ 1 2 霞3 u o ，+ 3 苁2 屯+ 3 谚吮丸+ 3 6 吮2 丸+ i c m f t ) , 2 丸 + 1 5 丸3 + 4 墨o ) 吮办如+ 墨o ) 峻2 妨+ 6 0 峻丸谚掣+ 1 5 吮2 谚一)( 3 1 5 ) + 6 2 7 , 。( 3 吮3 + 1 0 吮允9 k + 吮2 簟t 。) 】+ 【z ( 6 识2 “。+ 3 毛 ) 吮丸 + 3 6 蚴- u o ，+ 3 丸屯+ 1 8 丸2 u o + 2 墨( f ) 妨2 + 墨o ) 屯幻+ 3 吮丸 + 谚吮嚣+ 2 4 吮唬。“o + 1 0 矽2 埘+ 2 k o ) 嘭唬妙+ 2 c , o ) 吮谚秽+ 1 5 丸谚一+ 6 吮谚簖) + 6 z 比( 痧2 ，扭+ 屯9 心搿) 】+ z ( 6 屯甜o 。+ k ( f ) 口k + 1 2 丸= u o 善 + 谚嘲+ 6 谚“o + 墨o ) 花研+ k ) = 0 令其中的系数为零，得到一个常微分方程 z ( 6 ) + 6 z 叨( 4 ) + 6 z ( 3 ) z ：0 解之，得 z ( 矽) = 2 1 n 则方程的自b a c k l u n d 变换( 3 1 4 ) 应为 心删- 2 鲁- 2 拳+ u o 力驴矽一 显然，有 z ，z ( 4 ) = 一言z 5 ) ，z z ( 3 ) = 一吉z o ) , z z o ) = _ 2 j z ( 4 ) ， 。3 。6 ， z “：一三z ( 钔，z z 一：一z o ) ，z 比：- - 2 z 。 将( 3 1 6 ) 代入( 3 1 5 ) ，合并z ( 们，z ( 3 1 ，z 哪z 的系数写成线性多项式，令它们的系数为零， 得到卿所满足的方程组： b a c k l u n d 变换在非线性偏微分方程求解中的应用 “o 盘+ 1 2 u = 2 + 甜础+ 6 u o 扰。曩+ “o 艄+ k o ( t ) u o 工+ k l ( t ) u o 渺= o 墨( f ) 彬一3 妃+ 丸( 谚+ 6 丸“o + 4 唬麟) = o 2 x ( q b t 痧= 一2 丸红+ 吮丸+ 4 吮吮m ) + 1 2 矽2 x ( 2 丸“o + 吮铭。工) + 4 墨o ) 吮方妨= o 6 吮( 吮“o 嚣+ 6 丸“o j + 4 丸“o ) + 3 吮( 谚喇+ 2 谚靠) + 2 墨( f ) ( 矽2 砂+ 绣，谚叫+ 。谚啊一谚口妨) + 谚叮( 谚一2 谚) = o 6 矽= u o + k ( f ) 丸+ 九+ 墨( f ) 妨+ 妣= o 通常的做法是将种子解“。设为0 ，但这样就限制了种子解的一般性， 的范围，为了得到更多形式的精确解，我们引进未知函数变换 u o ( x ，f ) = 厂o ) x + g ( f ) 以及设方程组的解具有如下形式： 认x ，f ) = p ( f ) + e x p ( o ( t ) x + w ( t ) ) 则有： ( 3 1 7 ) 也就限制了解 丸= 晚铆，丸= 0 2 e 姗，虹= 矿p 铆 丸= + ( b x + y ，) p 咖叫 办= 易+ e 阱y 【( 够+ ) 2 + x + 】 幻= p 如叫( o o y x + o y y + g ) 九= e 觚y ( 目幺z + 秒+ 只) ，谚耐= 扩+ y ( 目2 幺x + + 2 够) 带a n ( 3 1 7 ) 中，得到五个方程： z + ( t ) f + 1 2 f 2 = 0 q o ) p y + e 如+ 尹( 】峨+ y ，) 】2 - 3 8 4 e 2 缸+ 尹+ 8 e 缸+ 尹 只+ ( 鸩+ ) p 叭p + 6 如价，( 厂( f 冷+ g ( f ) ) + 4 汐3 e 阱尹】- 0 2 0 e o 。+ 9 ( 口2 e 2 融+ 尹( 工幺+ ) + 只口2 e 如+ 尹一2 0 s e 2 觚计 + p 2 觚尹( 9 2 只x + o o , + 刃+ 4 矿矿缸+ 尹) + 2 4 0 4 e 3 帅( f x + g ) + 12 f 0 3 e 3 缸+ p + 4 k l ( t ) o e 2 如+ 尹p y + o e 3 如岬( x 嘭+ ) 】f 嘭( 觎+ 1 ) + 】= o 6 0 e 缸+ 尹( 4 矿p 阱尹( f x + g ) + 6 秒2 e 出+ 尹f ) + 3 0 e 2 口纠中( 秒2 0 f x + 2 0 0 t + + 2 矿) + 2 墨( f ) 矿触+ 尹( o o , x + o , + 虬) 2 + 2 k ( f ) 【岛+ e 阱尹( g x + 虬) 】e 阱尹( 口2 0 y x + 2 8 8 y + ) ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) 辽宁师范大学硕士学位论文 + 2 墨o ) 晚2 帅 卯2 ) ，x 2 + 【2 嘭2 + 够( 秒+ 1 ) + 鸭h + g 岛+ 2 + + ) + 2 墨o ) ( _ 秒2 e 阱p ) 【p 咖+ p 0 x + 9 【( 只工+ y y ) 2 + j c + j w 】 + 矿p 触+ 9 瞻+ ( 包工+ 嫉) e 咖一2 矿p 咖) = 0 6 0 2 e o x + p l 房+ g ) + r o o ) 如融+ ，+ h p ( 日幺x + + b ) + 墨( f ) 魄+ 扩尹( 鸭+ ) 2 + 琅+ ) 】+ 矿p 帅= o 合并其中工2 e 3 ( 铆) ，z 2 e 2 ( 铆) ，工2 p 阱r ，x e 3 ( 缸岬) ，x e 2 ( 铆) ，澎铆，矿( 觚，e z ( o x r ) ， p 铆的系数，令系数和常数项为零 得到如下的非线性偏微分方程组： 。 z + k ( t ) f + 1 2 f 2 = 0 k l ( t ) o y 2 = o 9 t + 6 8 f = 0 墨o ) 2 + 6 0 2 9 + 0 4 = 0 2 k l ( t ) p y g y + 9 p t = 0 2 k l ( t ) a 2 ( y ，2 + 吵w ) = 0 2 4 0 4 9 + 4 k o ) y ，2 + ( 3 乡+ 口3 ) 虮+ 4 0 6 = 0 2 墨( f ) b 一2 墨( f ) 秒2 + 秒3 只= 0 2 p 3 + 4 0 6 + 2 0 2 + 2 4 8 4 9 + 4 墨o ) y ，2 = o 2 0 3 b + 4 五( t ) o p y + y ，= 0 6 0 2 9 + k o ) 秒+ + 2 + 墨o ) y ，2 + 墨o ) y 拌+ 口4 = o k ( f ) p 拶= 0 1 ) 当p o 时，得到方程的钟型孤波解 纠p 鬻t ) + e 塑x p ( 0 ( 鬻y 黼帮心 1 ( ，f k + y ( y ，f ) ) ) 。 ” = 丢口2 ( ) ，r ) s e c 办2i 旦q 生堕三二! 丛毫幽i + 厂( t ) x + g ( r ) 2 ) 当p 0 时，方程有如下解： 1 4 辽宁师范大学硕士学位论文 情g o - - ： 三c ，- 6 刃d t + c o ) 2 s e t h 2 ( ，- - 6 w d t + c o ) x 2 1 n ( c 2 y + c 3 ) - i n q - + 毋x + 其中万2 面p 而j