（机械制造及其自动化专业论文）考虑磨具高度时磨具弯曲成形法研磨抛物面的磨具设计.pdf

长春理工大学硕士学位论文原创性声 本人郑重声明：所呈交的硕士学位论文，考虑磨具高度时磨具弯曲成形法 研磨抛物面的磨具设计是本人在指导教师的指导下，独立进行研宄工作所取得 的成果。除文中已经注明引用的内容外本论文不包含任何其他个人或集体己经 发表或撰写过的作品成果。对本文的研宄做出重要贡献的个人和集体，均已在文 中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者张盟址年月丑日 长春理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“长春理工大学硕士、博士学位论文版 权使用规定”，同意长春理工大学保留井向中国科学信息研究所、中国优秀博硕 士学位论文全文数据库和c n k i 系列数据库及其它国家有关部门或机构送交学 位论文的复印件和电子版允| 午论文被查阅和借阅。本人授权长春理工大学可以 将车学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索也可采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名：盟血年蔓月型日 导师签名 必 。唧v 摘要 本文探讨了在考虑磨具高度时二次抛物面和高次抛物面磨具弯曲成形的研磨原 理。根据实际加工表面的母线方程确定了磨具中性层曲线方程，即等距线方程；通过 力学和数学知识重新建立了磨具弯曲成形的数学模型。讨论了不同载荷作用下t 磨具 弯曲成形形成抛物线的过程并推导出不同载荷作用下的磨具宽度函数表达式。通过 具体算例分析说明弯曲成形法不适合研磨廓形曲线满足三次抛物线标准方程的工件。 磨具弯曲成形实验证明了磨具成形精度较高平均误差为0 0 4 6 2 n a ；研磨金属工 件的实验表明固着磨料磨具研磨金属工件的廓形精度较高，平均误差为00 1 7 6 m ： 研磨塑料工件的实验表明，砂纸研磨塑料工件的平均误差为00 3 2 7 册。由于这些误差 较以往的研究结果均有所减小，进一步证明了考虑磨具高度时磨具弯曲成形法研磨 抛物面工件可以得到更高的成形精度。 关键词：弯曲成形抛物面磨具高度 a b s t r a c t c o n s i d e r i n gl a p p i n gt o o lt h i c k n e s s t h ep a p e rd i s c u s s e st h et h e o r yo fb e n d i n go f q u a d r a t i ca n dh i g h e rp a r a b o l o i dl a p p i n gt o o la c c o r d i n gt or e a lb u sl i n ee q u a t i o no ft h e s u r f a c et ob em a c h i n e d n e t a r a ll a y e rc l m v ee q u a t i o ni se s t a b l i s h e d ：t h em a t h e m a t i c a lm o d e l f o rl a p p i n gt o o lb e n d i n gi sr e b u i l tb ym e c h a n i c sa n dm a t h e m a t i c s ；t h ec o l l e s eo fs h a p i n g p a r a b o l ac u l v eu n d e rd i f f e r e n t1 0 a db a s e do nb e n d i n gt h e o r yi s d i s c u s s e da n dt h ew i d t h e x p r e s s i o n so ft h el a p p i n gt o o lu n d e rd i f f e r e n tc o n d i t i o n sa r ei n f e r r e ds p e c i f i ce x a m p l e s a n a l y s i s e si n d i c a t et h a tt h em e t h o di sn o tf i tf o rl a p p i n gc u b i cs t a n d a r dp a r a b o f o i dp a r t s t h ee x p e r i m e n to fl a p p i n gt o o lb e n d e dh a si n d i c a t e dt h a tl a p p i n gt o o lh a sah i g h e r p r e c i s i o na n dt h ea v e r a g ee h 0 ra c h i e v e s00 4 6 2 m m ：t h ee x p e r i m e n to fl a p p i n gt h em e t a l w o r k - p i e e ei n d i c a t e st h a ts o l i da b r a s i v el a p p i n gt o o lo nl a p p i n gp a r a b o f o i dw o r k - p i e c eh a sa h i g h e rp r e c i s i o na n d t h ea v e r a g ee r r o r t oa c h i e v eo0 1 7 6 r a m ：t h ee x p e d m e n to f l a p p i n g t h e p l a s t i cw o r k p i e c ei n d i c a t e st h a te m e d p a p e ro nl a p p i n gp a r a b o l o i dw o r k p i e c eh a sa l l a v e r a g ee r r o rt oa c h i e v e00 3 2 7 m mt h ee r r o rt h a th a sb e e nd e c r e a s e di n d i c a t e st h a tl a p p i n g p a r a b o l o i db a s e do nb e n d i n gs h a p et h e o dm a y a c h i e v eah i g h e rp r e c i s i o na f t e rc o n s i d e r i n g l a p p i n gt o o t h i c k n e s s k e yw o r d ：b e n d i n gs h a p et h e o dp a r a b o l o i dl a p p i n gt o o lt h i c k n e s s 目录 摘要 1 a b s t r a c t i i 目录 第一章绪论1 11 非球面加工技术的发展现状 12 研磨技术的发展现状 12l 研磨加工现状 122 固着磨料研蘑技术的发展 13 弯曲成形理论的发展 13 j 弯曲成形理论概述 】3 2 弯曲成形理论的发展现状 4 主要研究内容 ，4 4 第二章考虑磨具高度时二次抛物面弯曲成形理论的研究 7 21 考虑磨具高度的抛物面高速研蘑原理7 22 考虑磨具高度时数学模型的建立7 22l 等距线方程的建立7 22 2 磨具受力矩作用时抛物线的形成9 22 3 磨具受力作用时抛物线的形成 1 2 23 _ 、结， 2 0 第三章考虑磨具高度时高次抛物面弯曲成形理论的研究 2 1 31 等距线方程的建立2 1 32 磨具受力矩作用时抛物线的形成 2 2 33 磨具受力作用时抛物线的形成 2 6 34 _ 、结 3 3 第四章抛物面的研磨实验 3 4 4 1 磨具系统简介 41 1 磨具整体结构 41 2 磨具基板 413 磨具检测 42 磨具的检测实验3 6 43 研磨金属零件实验4 l 44 研磨塑料零件实验 一4 6 45 小结一5 0 结论 致谢 参考文献 5 l 5 2 5 3 抖弘拈拈 第一章绪论 1 1 非球面加工技术的发展现状 早在1 6 3 8 年笛卡尔就提出了无球差非球面光学透镜结构随后，牛顿等人也在 他们的望远镜中使用了非球面反射镜。但由于多数非球面具有表面复杂的特殊性t 通 常只能单件加工因此它的发展受到了制约。非球面抛光时由于各点曲率不同导致难 以修正；非球面不能用磨边修正它对另一个平面或球面的偏斜，因此两个光学表面的 同轴性不能用定心法解决；非球面检验与球面检验相比不易实现。所以，非球面零件 制造工艺复杂，单件生产周期长成本也高，发展缓慢。 随者科学技术的发展，人们对高性能非球面零件的需求越来越迫切，因此人们一 直致力于解决非球面加工问题。超精密微细加工技术的发展以及高精密数控机床的出 现，使非球面光学零件加工技术有了长足的进展。随蓿电子、宇航、航空、天文、光 通讯以及军事等技术发展的进一步需要很多光学仪器上采用了非球面光学零件。如 变焦距镜头、条码读头，录相机透镜、光盘读头、激光准直透镜、x 光镜头、天文望远 镜等广泛应用了非球面零件。 2 0 世纪7 0 年代初美国i t e k 公司首先提出利用计算机控制一个小型加工工具进行 光学加工的思想。在检测方法、机床设备及控制软件等方面也做了大量的工作p i 。但是 由于当时精密测量技术和计算机技术的水平有限光学加工的数控技术未能做到完全 实用化。之后，诸如t i n s l e y 公司、h r iz o n a 大学光学科学中心、p e r k jr l - e 1 m e t 公司、 俄罗斯瓦维洛夫国家光学研宄所、法国空问光学制造中心等均在该领域开展了深入研 宄。8 0 年代中后期计算机控制光学表面加工技术( c c o s ) 得到了真正快速发展。此 间美国、俄罗斯及法国在该领域处于世界领先地位。美国u n i o rc a b r i d g e 公司在8 0 年代中后期研制出盒刚石磨床它与单点金刚石车床具有同等精度，能对光学玻璃和 光学晶体等脆性材料进行磨削加工面形精度可以达n 03 - 05 帅。同时r o c h e s t e r 大 学光学制造中心发展了新一代先进光学制造技术，具有代表性的工作主要包括三个方 面的内容：计算机控制光学表面成形技术；离子束成形技术； 磁流变抛光技术。 这些工作推动了光学制造技术的发展也为非球面零件的制造技术奠定了可靠基础。 非球面加工方法按照加工特点分为三类：去除法加工、变形法加工和附加法加工。 去除法加工是采用一定手段去除零件表面多余材料使零件表面形状与要求的表 面形状相吻合的一种方法。国内主要采用研磨法但是这种方法加工效率较低对机 床精度和操作人员要求较高。 变形法加工是通过一定手段使材料发生变形以获得要求的非球面。其中热压成形 法应用最为广泛，用这种方法加工的零件可作为普通聚光镜及研磨非球面对所用的毛 坯。这种方法特别适用于塑料非球面透镜的加工。 附加法加工主要有镀膜法和复制洼。 近年来。人们进行了大量的关于光学非球面零件的超精密加工研宄工作提出了离 子束加工法、弹性发射加工法、在线电解修整磨削法等等新的超精密加工方法| j j _ 1 7 j 。 离子柬微细加工法是利用离子源产生的离子，在真空中经加速、聚焦而形成高速高 能的柬状离子流使之打击到工件表面上，从而对工件进行加工。它的特点是：离子 刻蚀可| 三l 达到毫微米级的加工精度离子镀膜可以控制在亚微米级精度离于注入的 深度和浓度也可极精确地控制可以说它是特种加工中最精密、最细微的加工方法： 特别适用于对易氧化的金属、台金材料和高纯度半导体材料的加工；加工应力、热变 形极小，加工质量高。 弹性发射加工方法是使均匀悬浮于水中的微粒予加速作用于被加工表面借粒子 与加工表面之间的相互作用，来进行原子级加工余量的去除。目的是能够对光学器件实 现镜面加工且不破坏材料的晶体结构和物理性能。 在线电解磨削技术是利用金属基砂轮进行磨削加工的同时，利用电解方法对砂轮 进行连续修锐修整保持了砂轮的面形从而达到超精密镜面磨削的技术： 应力抛光技术的发展是在2 0 世纪9 0 年代应力盘是采用大尺寸刚性盘作为基盘 在周边可变应力的作用下，盘的面形可以实时地变成所需要的面形。在抛光过程中 安装于应力盘的驱动器根据计算帆发出的变形盘相对镜面的位置和方向指令改变边 缘力矩的大小使应力盘始终与光学非球面镜表面匹配。所咀，应力盘在抛光过程中 处于一个动态变形的过程。应力盘技术可以很好地控制大型主镜表面的中、高频差的 出现。用这种加工方法加工多个主镜，加工精度达到全口径2 0 n mr m s 。在小尺度上具 有令人满意的光滑表面。 碰流变抛光技术利用在梯度磁场中发生流变的磁流变抛光液形成具有黏塑行为 的柔性小磨头与工件之间的相对运动，使工件表面达到很大的剪切力从而使工件表 面材料去赊 f i “i 。与传统方法相比磁流变抛光技术有如下优点：( 1 ) 适合抛光任何 几何形状的光学零件；( 2 ) 加工速度快效率高：( 3 ) 加工精度高加工表面粗糙 度可选到纳米级；( 4 ) 不存在工具磨损问题；( 5 ) 不产生下表面破坏层：( 6 ) 易于 实现微机数控。 超辅密蘑自技术是在高刚度超精密磨床上用金刚石砂轮对材料表面进行磨削加 工，实现对光学零件的超精密磨削。其加工关键是使光学零件以塑性变形方式去除【1 。 12 研磨技术的发展现状 12 1 研磨加工现状 研磨可以表述为：利用磨具通过磨料作用于工件表面进行微量加工的过程【l q 。 研磨加工其有加工精度高、加工质量好、加工材料广的特点任何固体材料几乎 都可以加工。近年来随着光学技术和信息技术的发展人们对光学零件的需求逐渐 增加，同时也在质量和精度上对其提出了更高的要求。因此研窘技术作为在光学加 工中有着不可替代i f - i f 的加工方法得到r 快速发展人们为了探索高效，高精度的研 醇方法不断地作出新的尝试。 目前国内外研磨加工主要还是采用散粒磨料在慢速研磨机上研磨。学者们为了 改变这种加工方法的成本高、效率低和加工精度不稳定的缺点做出如下努力：研究新 型研磨液，改善研磨效果；研究不同磨料和不同材料磨盘的研磨效果，寻求对应于不 同工件的最佳磨料及磨盘。 由于不同面形的工件，加工方式不同固此针对不同面形工件，人们探讨了不同 的加工方法。 有人研究采用磁力研磨法加工圆柱面的研磨帆：有人研究刀具研磨加工技术：为 了提高研磨加工效率，有入研制出双面研磨机：有人研宄了球面研磨加工技术、加工 机床及加工机理。 在多元件光学系统中一个非球面元件可以代替两个有时甚至是三个球面元件 这样可以大大减少系统尺寸及质量提高稳定性，降低成本，因此非球面研磨加工就 显得十分重要。有人专门研究了适台曲面加工的研磨机及一些特殊曲面专用研磨加工 技术，针对不同的工件研究开发不同的简易专用研磨装置。 为了提高研膳加工效率人们将计算机引入研磨机中以实现连续研磨加工，特殊 曲面加工研磨过程中的检测与监控。 对于磨削和研磨加工由于加工过程复杂从事磨削和研磨加工机理研究的少 但蹭削的蘑粒运动和工件运动郝是己知。而对于昔短研磨来说不仅磨粒的运动是未 知的工件的运动也常常是未知的考虑到研磨加工量与超精密摩削相当且二者采用 的鹰料，加工的工件材科相近。人们常常用超精密磨削机理代替研磨机理。有人己将 分子动力学电子理论和量子力学引入超精密加工的微量切削机理研究中用这些理 论分析描述工件加工表面的微观变形规律为深入探讨研磨机理提供了很大帮助。 122 固着磨料研磨技术的发展 固着磨料高建研磨是将散粒的磨料固结起来制成专用磨具在高速研磨机上进行 高速研磨的方法。所用的专用磨具是根据工件的要求用不同的磨料制成丸片进而制 成不同形状的路具。这种方法较好地解决了传统的散粒磨料慢速研磨存在的大部分缺 陷加工效率高。 长春理工大学从1 9 7 0 年开始从事固若磨料高速研磨技术的研究j i ，探讨了在固着 磨料研磨中研磨速度、研磨压力、冷却液等对加工质量、研磨效率的影响针对球 面研磨发现了余弦磨损规律井得出根据此规律磨具磨片的分布规则。8 0 年代初， 李懋和老师和刘桂玲老师探讨了平面研磨和球面研磨中磨具和工件间的相对运动5 】： 刘绍东老师开始从力学角度分析磨具磨损原因。8 0 年代后我国从事固着磨料研磨的 人越来越多，戎们对研磨机理，研磨工艺以及磨具和工件间的相对运动又有了进一步 的认识。杨建东和田春林老师探讨了平面浮动研磨中工件的受力、工件运动规律及工 件与磨县间的相对运动井根据相对运动轨迹密度分布设计了磨具磨抖密度分布：还 3 建立了磨具磨损理论及工件均匀研磨理论分析了固着磨料高速研膳对工件表面性能 的影响这些成果对人们了解吲着磨料的研磨机理都作出了很大贡献1 1 7 1 。 13 弯曲成形理论的发展 131 弯啦成形理论概述 弯曲成形理论是一种通过实验验证具有较高的加工非球面零件的加工精度的新 方法，由于磨县高度对磨具成形精度影响较太，将其取为常量使磨具成为一等高度粱 后，在方便 j 证这一尺寸的同时，也提高了磨具成形精度。简化了制造过程l l 。然后 根据非球面工件的表面廓形曲线，改变磨具宽度这样磨具宽度就是根据工件廓形设 计的复杂曲线。该曲线要保证磨具在受到一给定裁荷作用下发生的弯曲变形形成的曲 线正好生成工件廓形母线，从而对工件进行成形加工。 1 3 2 弯曲成形理论的发展现状 现有的采用磨具弯曲成形法研磨非球面零件的成果主要是研磨抛物面零件的。其 中i i 长春理工大学尚春民老师以抛物面中心线为实际加工廓线阐述了利用磨具弯 曲成形法形成目标抛物线的过程通过对弯曲成形理论的研宄利用力学及高等数学 的知识建立了抛物线的数学模型，推导出粱在弯矩、集中力、均布载荷作用下的宽度 函数表达式；在磨具设计制作方面他分析了磨料的选择和磨具摹板材料的选择讨 论了制作磨具磨削部分的几种磨料，分析了磨具的制作过程提出了几种磨具结构方 案对磨具的基板、磨削部分和安装夹持部分进行了设计进而讨论了蘑具弯曲成形 后的检测方法，不仅证明磨具的成形精度较高，也证明了在研磨加工金属和塑料的抛 物面工件时也能达到较好的成形精度，且加工教率较高，加工成本较低。这些都为进 一步研磨实验研宄提供了有利的条件。 但是，磨具是有一定厚度的磨具加工面上的一条母线是实际加工曲线，足磨具沿 厚度方向的中心线的等距线。而采用弯曲成形理论生成的曲线是磨具的中心线，不是等 距线用它加工出的零件面形必然存在误差。上述成果并没有解决这个问题。 育人又用三点法举例算出了磨具中心线与磨具中心线的等距线问的廊形误差t 其 精度能满足大多数工件的研蘑加工要求其弯曲成形误差在磨具中点和两端撮大，且 随着磨具厚度的增加而增大。但这并未从根本上解决这一理论误差。 有人在上述成果基础上对磨具设计方案做了改进设计了转轴式蘑具。该磨具 在加弯矩时无轴向力产生这样也就避免了磨具直接受力时产生如下缺点：压头和磨具 问的相对滑动、难以控制压头给力大小、磨具有效加工面受限等等，同时也减小了摩 擦力。但是同样也没有从理论上解决中心线等距线这一误差。 此后，有人分析了弹性模量对弯曲成形法研磨非球面的影响，得知它的影响与坐 标的位置有关，由于弹性模量帕误差导致曲线的误差在挠度最大处影响最大。在考虑 等距线误差后，弹性模量的误差影响也可能发生变化。 我们知道不管是切削加工，磨削加工还是研磨加工，由于存在着刀具和膊具的 磨损，导致加工出的工件廓形不是理想廓形曲线，而是与理想的抛物线相距一定磨损 量的等距面( 假设刀具和磨具的磨损量均匀) 但这里所说的由于磨损引起的等距面误 差并不是本论文所要研究的中- t s , 线等距线误差。通过研宄这个误差，我们了解到该误 差随磨具的磨损量的增大而增大：在加工大曲率的抛物面时磨具的磨损对工件的廓 形误差影响较大，因此为了有效保证工件表面的廓形精度，在加工工件表面廓形精度 要求高的，特别是大曲率工件时要特别注意。 有人将这一理论应用到研蘑双曲面和椭球面工件一关于双曲面和椭球面的 研磨与抛物面的研磨在思路上大体一致，但是目标曲线方程由抛物线变成了双曲线和 椭圆线方程，所以在建模时需要建立相应的数学模型，并推导出相应的宽度函数表达 式。 不管是研蘑抛物面还是双曲面、椭球面上述研宄成果都是以曲面中心线代替实 际加工曲线这一前提为基础建立的模型、推导的宽度函数，然后进行一系列研咒的， 虽然这样的做法同样能获得较高的加工精度满足大部分零件的加工需求，但是存在 误差。要获得更好的精度必须要考虑磨具高度这一重要影响因素。 1 4 主要研究内容 奉课题来源于国家自然科学基金项目：非球面超精密高速研磨技术与理论研究。 由于之前的研宄并没有考虑到磨具的高度而是为了计算方便选取中性层抛物线 方程为计算宽度函数所篱的挠曲线方程但实际对工件起到加工作用的是磨具的下表 面它是磨具的中性层等距面即下表面( 加工后工件为上凸形时) 故存在误差。 本文将考虑到磨具高度的影响重新探讨和计算磨具宽度函数表达式，主要研究 考虑磨具高度时弯曲成形法研磨二次抛物面和高次抛物面的研磨机理、磨具的设计 及试验研宄包括：推导抛物线等距线方程表达式、建立磨具弯曲成形的方程及求解， 根据不同载荷作用方式探讨磨具宽度函数与载荷的关系，探讨宽度函数表达式中各参 数对成形精度量；响、磨具结构介绍( 包括磨具基扳设计) 、磨具的检测方式及方法、 试验研究以提高成形磨具的面形精度，具体步骤如下： 第一二次抛物面磨具成形理论的研宄 首先，推导抛物线等距线方程表达式。设实际加工曲线为抛物线标准方程，用其 上任意点坐标表示出中性层廓形曲线的参数表达式。此时廓形曲线为抛物线的等距 线。 其次用力学和高等数学在曲率方面的相关知识推导磨具宽度函数。 撮后根据不同载荷作用方式探讨磨具宽度函数与载荷的关系分剐画出在弯矩。 集中力、均布载荷作用下的弯矩图再用上述相等关系建立方程得出宽度函数表达式。 第二高次抛物面蘑其成形理论的研究 具体过程的前三步同上最后通过算倒分析讨论，弯曲成形法是否适合加工高次 抛物面零件。 第三磨具结构介绍 对现有磨具设计方案，包括整体结构磨具基板及磨具的检测方式、方法等做清 楚的介绍。按照推导出的宽度函数表达式设计出磨具基板外形尺寸，用线切割机进行 加工，控制好精度。 第四试验研究 做磨具的检测实验，看磨具的成形精度：用研制的磨具研磨不同材料抛物面零件， 看工件的成形精度，验证相关理论。 第二章考虑磨具高度时，二次抛物面弯曲成形理论的研究 2 1 考虑磨具高度的抛物砸高速研磨原理 抛物面是回转曲面，其母线为抛物线。在研磨加工抛物面时要求磨具加工表面 廓形与工件母线一致。在研磨时，磨具的抛物线与工件的抛物面对称轴共轴，磨具绕 该轴旋转进行研磨加工。该磨具的抛物线是对平直的磨具作用一弯矩而生成”1 。 为提高磨具的成形精度，将磨具设计成一等高度粱，而磨具的宽度是根据工件廓 形需要设计的特殊曲线。该曲线要保证在受到一给定载荷作用下发生的弯曲变形形成 的曲线，正好生成工件廓形母线从而对工件进行加工。如图2 1 所示为抛物面研磨 原理图。磨具在不受力时，其附有磨料的表面是一平面在研蘑时对磨具作用一给定 载荷，使其产生弯曲变形。 考虑磨具高度时将蘑具实际加工表面母线与工件廓形曲线取为一致，磨具弯曲 成开王后，在其加工表面截面上生成的中性层曲线是实际加工表面母线的等距线。据此 曲线可求取新的宽度函数表选式。当磨具磨损后，磨具加工表面的截面不再是所要求 的曲线，这时去除施加在磨具上的载荷对磨具进行研摩修整使其加工表面仍为平 面。 图21 抛物面研蘑原理 22 考虑磨具高度时数学模型的建立 2 21 等距线方程的建立 为求磨具的中性层曲线方程我们假设实际加工曲线( 磨具加工表面母线j 为抛物线标准方程： y 2 p x ( 2 1 ) 为其上任一点( 而，y o ) 过 作抛物线法线交等距线上点b ( x y ) 如图2 2 所示。 y 旁a ( 。o v o ) 义醪 彳。7 7 x 一 ，y ) 固22 抛物线与等距线关系示爨圈 则得到式( 2 2 ) ： x = + r l y 2 儿一掣 ( 2 2 ) 对式( 2i ) 求导得： ，= 2 肼 正= 2 p x o = t a n o = x 衄 设这两条曲线之间的距离为e 磨具厚度为h 则： e - h 2 这样有： 血：+ a y 2 2 p 2 却一2 ( 1 + 4 p 2 # ) = p 2 由上述两式得到式( 2 3 ) ： fi j t l y = e ( 4 p - | 1 矗+ 1 ) j( 23 ) i t l x = 2 p x o e ( 4 p 3 靠+ 1 ) j 将式( 2 3 ) 代入式( 22 ) 并令t = x 。得到： i x = t + p t h ( a p 2 r + i f ( 2 4 ) f ，= p t 2 一h 1 2 4 p 2 t 2 + 1 ) j ( 2 5 ) 其中：h 、p 是常量这就是所要求的等距线方程，也就是中性层曲线的参数表达式。 令p = oo i h = l o m m 取抛物线及其等距线在第一教限的部分绘制出曲线圈，如图 23 所示 圉23 抛物线与等距线曲线圈 由图23 可以看出等距线近似为抛物线。 2 22 磨具受力矩作用时抛物线的形成 设磨具为一等高度粱，粱受弯矩m 作用发生弯曲成形，变形之后形成的实际加工 廓形曲线和磨其中性层曲线如图2 4 所示。 y c - - 鼎轮虚些垒 ：一一l - x 圈24 粱受弩矩变稚示意图 为了使粱变形后的曲线形状满足式( 2d ) 和( 25 ) 。需要政变粱的截面尺寸。由 力学方程有； 1m p 。丛 1 2 式中：p 为曲率半径( 册) m 为粱所受弯矩( n m ) e 为弹性模量( n 册2 ) b 为梁的宽度( 哪) 上述公式是根据等截面直粱导出的 曲粱也可近似使用。 由高等数学有： 1 j r i 2 l 而嗣 式( 2 4 ) 和( 2 5 ) 可以表示为x = 坷t ) v ；尘：g ( t ) d t ：盟：h f f l 出，( t ) d l 厂( f ) 、。 d 翌 v 。：蛙： 26 ) 对于缓慢变化的变截面粱，以及曲率很小的 y = g ( t ) 则 ( 27 ) 将上述两式代入式( 27 ) 得到曲率，再代入式( 2 6 ) 得到宽度b 的表达式( 2 8 ) 。 由于人工计算过程十分复杂这里利用计算机采用m a t l a b 编程计算得到如下结果： 2 p t 一屿 ，2i 二( 4 生p t 2 + 1 ) 2 ( 4 p 2 ，2 + 1 ) j ( 4 p 2 t2 + 1 ) j 印堡皇塑研+ 堕i 芒兰笺挚j 兰i 受3 r 嘉嚣+ 嚣蒜，l p 旦i 里。l + 生一一笪“( 4 + 弗。( 4 开+ 1 ； 。! ! 吐：! 垡! 塑! 坚! 生! 堡坚吐：坐 - + k 墨 ( 妒，+ 妒( 4 + l ， 印一型2 _ + 里i ( 垡，2 业( 吐2 坐 l 堕、一! 窭0 珈+ 丝i - 【_ ! 一( 二坚唑+ 型i ) l + 生 型3 ”( 4 p z t ：+ 1 ) 3 2 。( 4 p 2 t z + 1 ) ! ： * 骂o r l 艺茎犁l 一 2 p 型f _ t j 等弩r ； ( 4 ，+ 旷( 4 ，t 2 + 1 p ( 28 ) 这就是在考虑磨具高度的情况下粱受弯矩时所要求的磨具宽度函数表达式。通 过上述计算表明只要粱的宽度能够满足式( 28 ) 的条件，当粱受到m 弯矩作用发生 弯曲变形后，就会成为式( 24 j 和式( 2 5 ) 表示的等距线。 算例： 取；e ：2 1 05 k m m ：2 0 0 0n + 删 r ? o0 1 h = 2 m m ，e - i m l 删 代入式( 2 8 ) 得到以下数据： 当t = o m 时，8 = 0 7 7 删 t = l o o n l n 时b = 8 4 0 m 以粱的宽度中心线为x 轴长度中心线为y 轴建立坐标豢应用m a f l a b 画出宽 度随x 变化的曲线圈，如图25 所示。可见，宽度变化是关于原点对称的，在中心处 宽度最小；在边缘处，宽度最大。 图25 受弩矩时霓度变化示意圈 223 磨具受力作用时抛物线的形成 力的作用有两种形式，一种是寨中力作用，一种是均布裁荷作用，下面分别对这 两种形式下梁受力弯曲变形形成抛物线进行讨论。 ( 1 ) 受集中力作用形成抛物线：梁在 端铰接，在b 端用自由铰链连接，点c 处受到集中力f 的作用产生弯曲变形，形成抛物线如图2 6 a 所示。以a 为原点，a b 为x 轴粱的受力方向为y 轴建立坐标系x o y 粱上各点受力情况如图2 6 b 和26 c 所示。 图26 a 粱受集中力作用示意图 h 圈26 b 粱受集中力的蚂力豳 蹦26 c 架受集中力的弯矩圈 由力学方程求得a 和b 点的支廛反力： 只2 掣= 鲁 ， 式中：。为 点支座反力( n ) 一为b 点支座反力( n ) f 为集中力( n ) l 为粱长度的一半( 硼) a 为f 距a 点的距离( m ) 则： a c 段距离a 端为x 处截面的弯矩m 表达式为： m l = f ( 2 ，1 ，- 4 ) ( o s 口) ( 21 0 ) c b 段距离a 端为x 处截面的弯矩m ，表达式为： 鸩2 等( 2 h ) ，( m 划) ( 2 因为在分析宽度函数和受力状态的过程中选用了不同的坐标系受力状态坐标系 的原点在粱的左端我们称其为原坐标系宽度函数坐标系的原点在槊的中点我1 j 称其为新坐标系两个坐标系的关系可表示为： z = ，+ ， 则新坐标系中弯矩m 和m ，的表达式为： 州= 等虮) ，( - l s t s a - i ) 旺 峥等( ) ，( a - l - t s l ) ( 2 将式( 2 1 2 ) 和式( 2 1 3 ) 分b u 代入式( 2 8 ) 可以得到a c 段和b c 段的宽度函 数b 和b ：的表达式t 这里同样利用计算机采用m a t l a b 编程计算得到如下结果： 印塑芝堕。印+ 堕i 芒兰窆_ 遂r 蒜蔫，1 p 堕1 卫。l p 皇1 蔓“( 4 + l ；“+ l ；。 鳢匣坐鳢匠! 竖垫匝! ! e 鳢匣! 堡 l 盟i s 2 掣“鼍篓挚二一 印型+ 互j ( ! 叵! 堡生匠坐 1 + 生、一堂芝j “j 等堑 ( 4 ，舻+ d ! ( 4 ，印+ 1 ) ： ( 2 1 4 驴+ 三堕j _ 【i 盟! 票r r ( _ 二坚吐+ 壁0 ) + j 蔓”岍：+ l ；7 ( 谚+ 分 堡巫：! l ! 坚定1 1 1 坚定! ! 坚定些： ， 一兰 县2 掣一絮笺一l = 黯牟 1 + t 3 - ( 妒，+ 1 ) j ( 帕2 + 1 ) ： ( 2 1 5 ) 当集中力作用在梁的中点时即a = l 时， 即等一。) 旺 m ；2 孝( ) ( 5 7 ) ( 2 舯) 数b ，和b ：的表达式利用计算机采用m a l l a b 编程计算得到如下结果 印一丝毫+ 堡lz f + 望t 日；1 6 f ( i + r i ) r ：6 r 一l - , ) 。 肼 c i 兰兰还，； ( 4 f t ! + l f ( ，2 + 1 ) 2 印掣墨 生! ! 型生兰! 竖 1 + 上i 一型_ 酗+ 盟i ( 2 】8 ) 一【_ i 堂笙裳r r ( j 氅+ 型i ) 。l + 上i 一型t ”m ! + 1 ) ；。( 研7 - 矿譬r ； l + ! 一一= “碲2 + 1 ) 2 ( 4 f t ：+ 妒 ( 2 1 9 ) 这就是在考虑磨具高度的情况下粱中点受集中力时所要求的磨具宽度函数表达 式。通过上述计算表明，只要粱的宽度能够满足式( 2 1 8 ) 和( 2 1 9 ) 的条件当粱 受到集中力f 的作用发生弯曲变形后，就会成为式( 2 4 ) 和式( 25 ) 表示的等距线。 算例： 取：f = 5 0 0 n p = o 0 0 5 e = 2 x 1 0 n _ 则由式( 2 1 8 ) 和式( 21 9 ) 得到以下数据： 羔二嚣二 尊孚 + ， h 一氅兰 当t = o 姗时， b = 1 8 9 4 r m t = l ( ) 0 珊时，b = 0 唧 以梁的宽度中心线为x 轴，长度中心线为y 轴建立坐标系，应用m a t l a b 画出宽 度随x 变化的曲线圈，如图27 所示。可见宽度变化是关于原点对称的，在中心处 宽度最大：在边缘处宽度最小。 圈27 震中点受集中力时宽度变化示意圈 ( 2 ) 受均布载荷作用形成抛物线：粱在 端铰接，在b 端用自由铰链连接，粱 的中点两侧( 关于原点对称) 受到长为2 a 的均布载荷q 的作用。弯曲变形后形成抛物 线，如图2 ，8 a 所示。以a 为原点a 1 3 为x 轴粱的受力方向为y 轴建立坐标系x o y 粱上各点受力情况如图2 8 b 和2 8 c 所示。 f 圜28 a 粱受均布拽荷作用示意留 圈28 b 粱受均布载荷作用的封力珂 匕尘 圉28 e 粱受均布载荷作用的萼矩削 由力学方程求得a 和b 点的支座反力： = 五= q a 设某截面与a 端的距离为x ，则： i l 当0 x l - 口时，弯矩的表达式为； m i ；c x = q a x ( 22 0 ) 2 1 当- d x + 口时弯矩的表达式为： 村：；。一。卜( h ) 塑掣= 弘一孙一( ) 2 = 一：x 3 一；( ，一口) ：+ q x 22 1 3 ) 当l + a f s 2 1 时，弯矩的表达式为： m 3 = q a z - 2 q a ( x 一，) = 2 q a l q a x ( 2 2 2 ) 同理，应用坐标变换，令x = t + l ，得到新坐标系下的弯矩表达式分别为： m l = q a ( t + ，) ，( - i - ie 一日)( 2 2 3 ) 村：= 一；【川r 一等( f a r + 酬( ) ( 一n s ，n ) = 一；，3 一；n 2 + q 插 ( 2 2 4 ) 峨= q a l 一9 “( 口s ，s ，)( 2 2 5 ) 将式( 22 3 ) 代入式( 28 ) 得到a c 段的宽度函数b 的表达式利用计算机采 用m a t l a b 编程计算得到如下结果： a ：型坚：趔， 印型乞+ 三生 _扣+ j 壁马 i ( 二4 f f + i ) ：一兰( 4 f l ：+ i ) 3 一r 卷r c 焘+ 罴，l + 生1 一兰。i + 生1 一兰”( 4 ，“i ；h + i ； 盟应! 壁! 吐二! ! ! ! l ! ! 盟砬：! j ! ! l + 生、一里l _ 垡等r ； ( 4 f r 2 + l p ( 4 衍2 + 】p ( 2 2 6 ) 将式( 2 2 4 ) 代入式( 28 ) 得到c d 段的宽度函数b ：的表达式利用计算机采 用m a d a b 编程计算得到如下结果： 和型i + j 芝j 驷+ j 吐i 啬簟鹫一矗孝芝r 言篝乏纛， t 如曲 2 t 扣何，“。：二，、i 。，： i a ：! ! ：二生：! 塑! ，| ! ! 庄竖蝗匠! ! ! 鲤丛! i ! 堕匠! 竖 ， 兰 州j 警釜弗 ( 和铲+ l ff 4 一：+ l r ( 22 7 ) 将式( 2 2 5 ) 代入式( 2 8 ) 得到c d 段的宽度函数b ，的表达式利用计算机采 用m a f l a b 编程计算得到如下结果： 印一麴毫+ 三生，靖+ ! 盟。 ! 理业! ! 碰! 卫一f f ! 碰! i ) ! f f ：! 坐! ! + ! 塑! f + 生1 一芒1 l + 坚1 一芝”( 4 + 1 ；( 4 + l ； 坚吐：! ! ) ：( 垡! ! ! ! !f ! 吐! 业生：! ! ! l + 塑一塑鲁 s 掣“等当犁l r = 芒兰兰窭r ； ( 4 p 。， + 1 1 ：( 4 p ：t 。+ 汴 这就是在考虑磨具高度的情况下，粱受均布载荷时所要求的磨具宽度函数表达式。 通过上述计算表明只要梁的宽度能够满足式( 22 6 ) 、式( 22 7 ) 和式( 22 8 ) 的条 件，当粱受到均布载荷q 的作用发生弯曲变形后。就会成为式( 2 4 ) 和式( 2 5 ) 表 示的等距线。由表达式可以看出在点x = 一a 和x = 8 处是连续的，这就保证了磨具宽度变 化的连续性，从而保证了较好的工艺性。 算倒： 取：8 - 1 0 m m 1 = l o o m m q = 1 0 0 n 啪 p = o0 i h = 2 唧 e = 2 x 1 0 nm 以粱的宽度中心线为x 轴，长度中心线为y 轴建立坐标系应用m a t l a b 画出宽 度随x 变化的曲线图，如图29 所示。可见宽度变化是关于原点对称的。 圈29 粱受均布载荷作用时宽度变化示意圉 椎据宽度函数表选式( 2 2 6 ) 、( 2 2 7 ) 和( 22 8 ) 绘制表格2l 、22 和2 3 表21b 陋x 的变化关系 t ( m m ) - 1 0 0 8 06 5m 4 0 - 2 0- 1 0 b f m m ) 05 05 35 8 1 75 74 74 77 l3 80 8 3 6 4 7 表22b ，匏x 的变化关系 t ( m m ) - 1 05 051 0 b 】( r a m ) 3 64 73 6 3 93 63 43 63 93 6 4 7 表23b ，随x 的变化关系 t ( m m ) 1 02 04 06 06 58 01 0 0 b 1 ( r a m ) 3 6 4 73 80 84 7 7 1 5 74 7 5 8 1 7 5 0 5 3 0 23 小结 本章讨论了在考虑磨具高度的情况下，磨具弯曲成形法研磨抛物面的基本理论。 在假设待加工零件表面廓形曲线的母线为抛物线标准方程的条件下推导出与其相距 为磨具高度的一半距离的中性层曲线方程 粱在受弯矩，集中力和均布载荷的作用下 即抛物线的等距线方程。然后分别讨论了 弯曲成形形成抛物线的过程利用力学及 数学知识建立了数学模型并推导出几种裁荷作用下的宽度函数表选式。通过具体算 例分析给出了几种载荷作用下宽度变化的示意图，由图可以清楚的看到所要求的磨 具基扳的形状为下面的磨具设计提供了理论依据。 通过比较几种载茹作用下抛物线的形成过程可以看出，考虑磨具高度时磨具宽 度函数的表达式非常复杂。当粱上各点力矩发生变化时磨具宽度也会发生复杂的变 化：当粱上各点力矩为定值时宽度变化相对简单。所以当粟受弯矩作用时宽度 的变化要比粱受集中力和均布载荷作用时简单，在实际的磨具加工中，我们应该选择 较为容易的实现方式，选择合适的载荷作用形式以减少不必要的工作量提高加工 精度。 第三章考虑磨具高度时，高次抛物面弯曲成形理论的研究 上节已经详细讨论了考虑磨具高度时研磨二次抛物面工件的摩具弯曲成形 的研磨原理。本节以上述原理为基础继续讨论当要加工工件表面廓形曲线为高 次抛物线时如何建立弯曲成形的数学模型，并最终确定磨具的宽度函数表达式。 31 等距线方程的建立 为求磨具的中性层曲线方程我们假设实际加工曲线( 磨具加工表面母线) 为三次抛物面的一条母线方程： y = p x ( 3 ，1 ) 设a 为其上任一点( x o ，n ) 过a 作抛物线法线交等距线上点b ( x ，y ) ， 如图2 2 所示仍有式( 2 2 ) ： f x = + a r i y = 儿一a y 对式( 3 1 ) 求导得： ，= 3 p x 2 一= 3 硝= t a n o = “姐 设这两条曲线之间的距离为e 磨具厚度为h ，则： f h ，2 这样有： 打3 + v 2 。p 2 如- 2 ( 】+ 9 p 2 ) = ， 由上述两式得到式( 32 ) ： j 驴“一，舟”j ( 3 2 ) i a x = 3 p x ：e ( 9 p 2 矗+ 1 ) j 将式( 32 】代入式( 22 ) 并令l = x 得到： j = t + 3 p t2 h 2 ( 9 p 2 ，+ 小 ( 33 ) ，