（理论物理专业论文）相对论情形下非定域性的研究.pdf

中国科学技术大学硕士学位论文 第1 页 中文摘要 本文所讨论的是相对论情形下量子关联的性质。 首先，我们回顾了关于量子力学基本概念完备性的争论，介绍了利 用e i n s t e i n p o d o l s k y - r o s e nf e p r ) 定域实在论检验定域隐变量模型的b e l l 定理，以及能够更直接体现量子力学与定域实在论间矛盾的g r e e n b e r g e r - h o m e z e i l i n g e r ( g h z ) 定理。 进而，我们介绍了描述洛伦兹变换的数学工具一鹿加莱群。介绍了 通过寻找w i g n e r 小群的表示而得到庞加莱群作用在物理态的表示的方法 ( 即诱导表示的方法) ，分别详细阐释了有质量粒子和无质量粒子情形下的 w i g n e r 小群的性质以及它们之间的联系。为了得到w i g n e r 小群群元素的 具体表迭式，我们以无质量粒子的情形为例，介绍了利用群s l ( 2 ，c ) 和 正常的正时洛伦兹群之间正则同态的性质计算w i g n e r 小群的方法。 最后，我们分析了粒子和观测者之间存在相对运动的情况下对b e l l 定 理和g h z 定理的检验。在运动的观测者看来，实验室参考系中制备的粒 子的四动量本征态的自旋方向会发生w i g n e r 旋转。所以运动的观测者检 验b e l l 定理会发现：对实验室参考系中制备的e p r 态测量自旋，如果选 用与非相对论情形相同的自旋变量测量集合，所得的测量结果将可能不 再最大程度地违背b e l l 不等式，而是依赖于粒子和观测者的运动速度。当 然这并不意味运动的观测者无法检验b e l l 定理，因为可以选用不同的自 旋变量测量集合或量子态，使测量结果仍最大程度地违背b e l l 不等式。 运用相同的原理，我们得到的研究结果表明运动的观测者检验g h z 定理 会发现同样的结论：亦即对实验室参考系中制备的g h z 态在原方向上测 量自旋不再满足g h z 关联的特性，需要根据粒子态承受的w i g n e r 旋转恰 当的选择测量的自旋变量才可以验证g h z 定理。 中国科学技术大学理论物理所量子理论组 塞堡塾童苎童圭竺垒室竺堡堡叁 苎! ! 里 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，1w i l td i s c u s sp r o p e r t i e so fq u a n t u mc o r r e l a t i o ni nr e l a t i v i s t i c c a s e a tf i r s t ，ir e c a l lt h ed e b a t eo nc o m p l e t e n e s so fq u a n t u mm e c h a n i c sa n di n t r o d u c eb e l lt h e o r e mb a s e do ne i n s t e i n p o d o l s k y r o s e n ( e p r ) l o c a lr e m i s m ia l s od i s c u s sg r e e n b e r g e r h o m e z e i l i n g e r ( g h z ) t h e o r e m ，w h e r et h ec o n t r a - d i c t i o nb e t w e e nq u a n t u mm e c h a n i c sa n dl o c a lr e a l i s t i ct h e o r i e sa r i s e se v e nf o r d e f i n i t ep r e d i c t i o n s t h e nii n t r o d u c em a t h e m a t i c a ld e s c r i p t i o no fl o r e n t zt r a n s f o r m a t i o n p o i n c a r eg r o u p id i s c u s st h ea p p r o a c ho fd e r i v i n gr e p r e s e n t a t i o no fp o i n c a r e g r o u pf r o mt h er e p r e s e n t a t i o no fw i g n e rl i t t l eg r o u p k n o w n 凸st h em e t h o do f i n d u c e dr e p r e s e n t a t i o n t oo b t a i nt h ee x p l i c i tf o r mo fw i g n e rl i t t l e g r o u pe l - e m e n t ，ii n t r o d u c et h ec a n o n o e a lh o m o m o r p h i s mb e t w e e nt h eg r o u ps l ( 2 ，c ) a n dt h ep r o p e ro r t o c h r o n o u sl o r e n t zg r o u pa n dc a l e l f l a t ew i g n e rl i t t l eg r o u pi n t h em a s s l e s sc a s ef o ra r b i t r a r yl o r e n t zt r a n s f o r m a t i o n f i n a l l y ，ii n v e s t i g a t eb e l lt h e o r e ma n dg h zt h e o r e mc o n s i d e r i n gas i t u a t i o n i nw h i c hm e a s u r e m e n t so fs p i n sa r ep e r f o r m e db ym o v i n go b s e r v e r s t h em o v - i n go b s e r v e r sw i l lf i n dt h a tt h ed i r e c t i o n so fs p i n so ff o u r - m o m e n t u me i g e n s t a t e i nl a b o r a t o r yf l a m er o t a t ei nt h e i rf l a m e ，i e w i g n e rr o t a t i o n w h e nm o v i n g o b s e r v e r st e s tb e l lt h e o r e m ，t h e yw i l lf i n dt h em a x i m u mv i o l a t i o no fb e l l si n e q u m i t yn ol o n g e ro c c u r sf o rr e l a t i v i s t i ce p r s t a t ei nl a b o r a t o r yf r a m e i ft h e y c h o o s et h es a m es e to ft h es p i nv a r i a b l e sa si nn o n - r e l a t i v i s t i cc a s e t h ea m o u n t o fv i o l a t i o nd e p e n d so nt h em o t i o n so fp a r t i c l e sa n do b s e r v e r sb u tt h i sd o e s n o tm e a n st h er e s t o r a t i o no f1 0 c a lr e a l i s t i et h e o r i e sb e c a u s ed i f f e r e n ts t a t e so r d i f f e r e n ts e to fs p i nv a r i a b l e ss t i l lv i o l a t eb e l l i n e q u a l i t ym a x i m a l l yi nt h eo b s e r v e r s f r a m e s i m i l a r l yw h e nm o v i n go b s e r v e r st e s tg h z t h e o r e m ，t h e y w i l lf i n d 中国科学技术土学理论物理所量子理论组 ! 堕塑童垫童圭丝丝圭塞堡垒叁 ；墨型! g h zc o r r e l a t i o nf o rr e l a t i v i s t i cg h z s t a t ei nl a b o r a t o r yf r a m en ol o g e rh o l d s i s h o wt h a t ，t ot e s tg h zt h e o r e mi nm o v i n gf r a m e ，t h eo b s e r v e r ss h o u l dc h o o s e s p i nv a r i a b l e st ob em e a s u r e da p p r o p r i a t e l ya c c o r d i n g t ow i g n e rr o t a t i o n 中国科学技术大学理论物理所量子理论组 中国科学技术土学硕士学位论文 第1 页 第一章b e l l 定理和g h z 定理 就量子力学基本概念的完各性问题，e i n s t e i n 与b o h r 曾有过多年的争 论，并在1 9 3 5 年他与p o d o l s k y 和r o s e n 共同发表了一篇重要文章f 1 1 。该文 的基本思想认为，借助理想实验的逻辑论证方法，可以表明量子力学不 能给出微观系统的完备描述。从而引发了人们尝试通过引入隐变量理论 以给出完备描述的尝试。在这方面，b e l l 作出了重要贡献。在1 9 6 4 年他 提出了不等式形式的定理。定域实在性的隐变量理论应该符合这个刁：等 式而具有量子关联的态却会违背它2 ，3 。b e l l 的不等式是通过统计的方法 来研究量子非定域性的，事实上可以不涉及几率而在一次实验上完全揭 示量子非定域性质。这方面最具有代表性的工作是g r e e n b e r g e r ，h o m e 和 z e i l i n g e r 在1 9 8 9 年提出的g h z 定理f 4 ，5 ，6 。下面我们首先介绍这些问题。 1 1 e i n s t e i n p o d o l s k y ，r o s e n 佯谬和量子理论的完备性 e i n s t e i n ，p o d o l s k y 和r o s e n ( e p r ) 认为，一个物理理论完备的必要条 件是每一个物理实在元素必须在该理论中有一个对应。而物理实在元素 中的实在是指：如果系统没有任何扰动，人们可以肯定地预测物理量的 值，于是该物理量存在一个相应的物理实在元素。 量子力学中，对于两个非对易的算符所表示的物理量，若精确得知其 中之一的值，则不可能精确得知另一个的值。这说明要么波函数所表述 的实在性是不完备的，要么这两个物理量不能同时具备实在性。在证明 其观点时，e p r 用了以下的波函数1 1 ： i e p r ) = 鼽刊= 蚍q ) ( 1 1 1 ) 上面的波函数描述了一个两粒子曲系统的纠缠态，满足 ( 吼一q b ) i e p b ) = 0 ( 只+ r ) i e p r ) = 0 中国科学技术土学理论物理所童子理论组 ( 11 2 ) ( 1 13 ) 中国科学技术文学硕士学位论文 第2 页 由于这性质，可以通过测量一个粒子的坐标( 或者动量) 而肯定地知 道另一个粒子的坐标( 或者动量) 。同时，如果这两个粒子是类空分离的， 则根据相对论，对一个粒子的测量应该不影响另一个粒子的状态( e i n s t e i n 定域性) 。比如，可以同时测量q 。和r ( 因为这两个算符对易) ，并分别 得到测量值q 和p 。于是可以确切地知道粒子。的坐标和动量似乎同时具 有确定值g 和一p ；但是根据h e i s e n b e r g 不确定关系，这又是不可能的。这 就是著名的e p r 佯谬。 e p r 原先的论述是针对粒子的连续变量系统进行的( 即粒子的动量和 坐标) ，b o h m 改用离散变量体系( 即粒子的自旋) 把e p r 的思想表述得更简 洁并与实验结果相近7 1 。遵循e p r 文章中的原始论证思路，1 9 5 1 年b o h m 建议：考虑有1 2 自旋的两个相同原子a 和b 组成的一个双原子分子， 处于总自旋为零的状态上，分子因受某种影响而分解，两个原予反向飞 出，但是它们的自旋仍处于如下状态： 1 1 中) a b = ( i1 ) 口一l1 ) lt ) b ) ( 1 1 4 ) 、， 反向飞行使它们彼此闻的距离拉开的越来越大。于是，只要对它们做两 次分别测量的时刻足够接近，这两次测量所构成的两个事件将是类空间 隔。因此对原予a 的测量将应当不会原子口造成任何影响。 首先考虑可观测量口：。若对a 测得盯? = + 1 ，则可以肯定地推断b 处 于盯? = 一1 ；反之，若测得盯：a = - 1 ，则知旷 = + 1 。总之，一旦对a 做 了吼的测量，则b 的口：值在客观上就是确定了的。并且，因为测量时间 与距离所构成的间隔是类空的，从狭义相对论的定域因果律得知，对一 的测量不会影响到b 的状态。这样，按定域实在论的观点，盯? 应当是一 个物理实在的元素。就是说，不论人们是否对b 做测量，盯尹在客观上是 确定地存在着的。 其次，考虑可观测量口。若对a 测得仃詈= + 1 ，应该可以推知盯。b = 一1 。因为此时 a ( 盯。= - f i i 妒 a b = 历1 ( 。( ti + 一( 川砂) 们 i ( b 一。) = 击k ：_ 1 ) b ( 1 1 ，5 中国科学技术文学理论帕，l 所量子理论诅 中国科学技术土学硕士学位论文 第3 页 同样，若测得a = 一l 则知盯。b = + l 。总之，对a 做了口。测量，便能 肯定地知道口暑的数值，而又不会干扰b 粒子的状态。这就是说，口暑也 是一个物理实在的元素，客观上也有确定值。 同理，的情况也一样。霹也是一个物理实在的元素，客观上也有 确定值。 概括起来说，盯 、仃亨和口罗都是物理实在元素。这就是说，它们在( 对 b 粒子做1 测量之前，客观上就是同时确定地存在着。然而按照量子力学 的观点，由于相应算符彼此不对易，它们在客观上就是不能同时具有确 定值的，甚至每个粒子自旋指向本身也不确定，而是概率的态叠加。这 就反映了e p r 佯谬的思想。 按照e i n s t e i n 的想法，由于定域实在论认为类空间隔的两个子系统之 间的实际状态是独立的，所以以上佯谬只可能说明：量子力学利用波函 数的描述方式是不完备的。这导致了很多人猜测量子力学之外有隐变数 存在。 b o h r 在对e p r 挑战的回答中指出8 1 ：“对粒子a 的测量正是影响了 对确定体系未来行为所做出的预言类型的条件。”具体的说，对粒子a 做盯。的测量，就确定了对粒子b 未来行为做出预言的类型，即我们只可 以预言一宇而不能是喀和盯 。由于决定自旋三个分量的安排是相互排斥 的，因此只能确切预言粒子b 的一个自旋分量而不是三个。结论是：量 子力学的波函数描述是完备的。 仔细地分析e p r 的逻辑前提可以知道 9 ，1 0 】，e i n s t e i n 的定域因果性 原理作为对测量影响的原则度量是正确的( 它已融合在相对论量子场论 中) ，e p r 佯谬中错误的只是物理实在论的观点。一方面，e p r 强调的 是，对粒子a 的测量没有干扰粒子b ，所以粒子b 的所有的物理量都 有确定的值。但是，h e i s e n b e r g 和e i n s t e i n 讨论他的量子力学矩阵表述时 说，只有可观测量才能进入理论。e i n s t e i n 说f 1 1 1 ：“哪些量是可观测量不 应是我们的选择，而应由理论给出，由理论向我们提示。”自旋的三个 分量能否同时都存在相应的物理实在元素，不能人为的把经典力学搬到 微观体系来认定，而应该经过实验来考验量子力学理论的结果。在认定 中国科学毡术大学理论物理所量子理论组 中国科学技术大学硕士学位论文第4 页 自旋的三个分量存在相应的物理实在元素这类问题上，e i n s t e i n 并没有遵 守他自己作出的正确判断。另一方面，虽然测量事件是类空间隔，但是 由一个粒子的测量结果立即可以预言另一个粒子的性质并非是测量中存 在( 经典) 信息传递的缘故。事实上，w h e e l e r 建议的推迟选择实验结果 证明了在进行测量中不存在信息传递的问题f 1 2 ，l 3 1 。这种由一个粒子的测 量结果立即可以预言另一个粒子的性质是由于角动量守恒通过波函数产 生( 量子) 关联而产生的。也就是说，子系统的b 粒子本身已不独立， 它的白旋取值醒”和粒子a 的自旋取值盯氛，。紧密关联，形成统一系统的 一个统一状态。因此对于a 的测量将会影响b 的取值。 迄今为止，实验一直支持量子力学，支持以下观点： a ) 量子力学的描述是完备的，不存在隐变数( 塌缩的不确定性是本质 的，并非量子力学描述不完备的体现) 。 b ) 自旋态的构造以及自旋态的塌缩都是非定域性的，而不是定域的。 c ) 物理实在论的观点是不对的。其错误不仅在于要求微观粒子在任何 状态下的可观测量都必须客观上是确定的：而且还在于它对测量的看法： 对测量的影响一一塌缩持定域的观念，并且不理解不同的测量会造成不 同的塌缩。 1 2 b e l l 定理 1 9 6 4 年b e l l 根据：( a ) 量子理论之外有隐变数存在：( b ) 定域实在论， 推导出一个不等式 2 ，3 。在文章中他指出，任何基于隐变数和定域实在 论的理论都必定遵守这个不等式，但是根据量子力学却可以预言这个不 等式能够被破坏。他的这一论述在后来往往被称为不等式形式的b e l l 定 理。 b e l l 想法的关键是考虑a 和b 两处测量之间的关联。假设有某个隐变 量理论，这个理论中，测量事实上是决定论的。只是由于某些自由度不 知道，表现出为随机的。比如，对于量子力学中一个自旋指向。轴的纯 态if ：) ，一个“更深层次的隐变数理论”认为它应当是lt ：，a ) 。这里，a 是个隐变数，它的数值按照人们目前尚未知道的某种规律变化，取值也 中国科学技术大学理论物理所量子理论组 竺：塑塑童丝兰查堂垒圭竺垒竺叁： 苎! 里 不能为现时实验技术所控制。不失普遍性，在下面论证中我们可以假设 a 的变化区闯是f o ) 1 j ，于是可以认为它以一个未知的几率分布p ( a ) 在【o ，1 i 中取值。 现在，对于a 和b 两个粒子的自旋纠缠态( 1 1 4 ) ，a l i c e 对a 粒子沿给 定五方向测其自旋，而在类空间隔内b o b b 粒子沿给定方向i 测自旋。 于是各自测量结果分别为a ( 矗，a ) ( 为+ l 或一1 ) 和b ( 丘a ) ( 值为十1 或一1 ) ，将它们对应相乘。由于i 砂) 中a 、b 自旋反向关联的特性，当矗：i 时， 应当有 a ( 五，a ) b ( 瓦a ) = 一1 ( 1 2 1 ) 一般若五6 ，此结果不成立。假如对多个样品进行多次这样的测量，对 应相乘平均结果应当是对随机变化的隐变量a 的积分平均结果。f 百，i ) 两 个方向测量结果的关联函数为 p ( 瓦两= d k p ( a ) 以( 瓦a ) b ( 瓦a ) ( 1 2 2 ) 同样的，如果进行沿万和f 两个方向的另一组的实验和沿i 和f 的另一组 实验，将分别得到p ( 五，司和p ( 瓦西。于是 l p ( 试两一p ( 瓦司l = lj 厂d a p ( a ) a ( a ，a ) b ( 匠a ) d a p ( a ) f a ( 疗，a ) 口( 蟊a ) 一 j ，d a p ( a ) j a ( 厅，a ) b ( 瓦a ) d a ，) ( a ) j a ( 五，a ) b ( 瓦a ) 1 一a ( 五，) 、) b ( t a ) a ( g ，a ) b ( 瓦a ) f 。1 一a ( 五，a ) b ( 弓a ) j 1 + a ( a ，a ) b ( 巨a ) 【】23 ) 其中利用了b ( i ， ) = a ( 砖入) ，这是因为以( t a ) 丑( t a ) ：一1 和a ( 瓦a ) 2 ： 1 。注意到i a ( e 入) 日( 己a ) i 1 ，j a ( f f ，a ) 日( 瓦a ) j ；1 ，于是可得到b e l l 不等 式： l p ( 万，西尸( 瓦刁 1 + p ( 云司0 2 4 1 对于任何定域实在论的隐变数理论，在三组( 西，( 屈，刁，( 瓦司) 实验的统计 平均数据( p ( 五，两，p ( 矗，动，p ( 瓦刁) 之间，应当满足上面的不等式。 中国辨学技术土学理论枷理所量子理论柱 中国科学技术土学硕士学位论文 第6 页 但是，按照量子力学，a 和b 两个粒子构成一个统一的纠缠态，对a 粒 子沿葫向和b 粒子沿唠向的测量所得的平均值为 p 【a ，两= ( 妙；( 方a a ) ( 子b ，两 妒) = 一c o s ( 舀，两 ( 12 5 ) 于是b e l l 不等式成为 ic o s ( 五，两一c o s ( 互b i 1 一c o s ( e 砷 ( 1 2 6 ) 现在就容易用实验来检验谁是谁非，迄今为止所做的实验大多都是支持 量子力学，破坏b e l l 不等式的，亦即实验支持量子力学是完备的。 上面的b e l l 不等式可以做多种推广，其中最著名的是c l a u s e r - h o r n e - s h i m o n y - h o l t ( c h s h ) 不等式【1 4 】。c h s h 不等式( 也叫做b e l l 型不等式) 在 推广b e l l 不等式中，考虑到这类关联测量实验中的一些失误或误差因素， 选择可观测量为： q = 吼， r = o - y ， s _ 专手， ( 1 删 丁2 专手， 其中，q 、r 是a 粒子的自旋算符，s 、t 是b 粒子的自旋算符。定域实 在性的隐变量理论应该满足c h s h 不等式： ( q s ) + ( r s ) + ( r t ) 一( q t ) 2 ( 1 2 8 ) 在此，( q s ) 表示q s 的测量期望值。 但是按照量子力学，这个不等式是可以被破坏的，特别的，e p r 态( 1 1 4 ) 最大程度地违背这个不等式，值为2 以。这是由于e p r 态具有完 全量子关联( p e r f e c tc o r r e l a t i o n ) 的特性。 1 3g h z 定理 不等式形式的b e l l 定理是借助于各种b e l l 不等式的破坏来揭示量子态 的非定域性。但由于其中的关联函数均为态中的平均值，因此都是统计性 中国科哮技术大学理论物理所量子理论组 ! 皇塑童垒童叁壁垒室童垒丝兰 苎! 里 地研究量子态的非定域性。事实上也可以找到无不等式的b e l l 定理，从非 统计的角度来揭示量子态的非定域性。这里介绍一种很重要的无不等式的 b e l l 定理：即由g r e e n b e r g e r ，h o m e 和z e i l i n g e r 提出的g h z 定理 4 ，5 ，6 】。 它分析了一种由三个自旋1 2 粒子组成的被成为g h z 态的三体纠缠态： m b c 5 麦a m i t c + 1 蚓川 ( 1 3 1 ) 其中it ) 、id 分别是吼的本征值为4 - i 的本征态。利用下面性质 如1 ) = l1 )it ) ；一i ld li ) = 1 ) i ) 一i t ) ( 1 32 ) 容易得到本征值方程： b a 宇i 母) = 一l 中) 盯g a 。b c i 妒) = - i 砂) a 。a u 。b 。c l 妒) = 1 妒) a o 。b c i 妒) = 1 砂) ( 1 3 3 ) 即四组力学量盯z a u 9 b u v c 、a 盯。b u _ c 、盯。a u 9 b u # c 和盯。a u 。b u 。c 彼此相互对易，有共 同本征态。在下面的讨论中，我们将会清楚地看到，正是上式体现了g h z 定理的非统计性。 如果按照定域实在论的观点来解释上面的结果：首先考虑可观测量 口，a ，由上面式子，如果对粒子b 、g 测量将得到砖q c ，= 1 ，那么就可以 肯定地推断粒予a 处于a = 一1 的状态；反之如果测量得出盯。b = 一1 ， 就知道卵= + 1 。因此，不管对b 、c 的测量结果是怎么样的，只要对 他们作了关于吒b u 。c 的测量，那么粒子a 的酲的值就是确定了的。考虑 到a 、b 、g 三个粒子彼此之间以类空间隔分开，从狭义相对论的定域 因果性得知，粒子b 、g 的测量决不会影响到粒子a 的状态。因此按照 定域实在性的观点，寸璺就应该是一个客观存在的物理实在元素，在此将 它记做m 璺。用同样的论证可以得出，相应于玎宇和的物理实在元素为 m ，b 、m ，c 。从而按照定域实在性的观点，从前面的一组本征值方程就可以 中国科学技术太学理论晒理所童子理论但 中国科学技术土学硕士学位论文 第8 页 得到如下的结果 m a t f l b 。c 。 m a 口h l z bf l c u m a 7 b t ，c m z a t ，。z b 。c = 1 = 1 = 一1 =1 ( 1 34 1 但是很快便发现，上面这几个根据定域实在性的解释所得到的等式相互 不自洽。试将前三式相乘，得到 m 。a z b 。c = 一1( 1 , 3 5 ) 这显然与最后一式相矛盾。 综合上面的讨论，量子力学结果不能用定域实在性来解释，这反映了 定域实在性和量子力学只见存在的矛盾。可以将上面的一系列论证过程 概括为下面的g h z 定理：对于g h z 态，存在组相互对易的可观测量， 对于这组力学量的测量，量子力学会给出与经典定域实在论不能相容的 测量结果。 中国科学技术土管理论扮理所量子理论组 中国科学技术大学硕士学位论文 第9 页 第二章庞加莱群及其诱导表示 1 9 3 9 年，为了研究相对论粒子的时空对称性，w i g n e r 使用庞加菜群 ( p o i n c a r 6g r o u p ) 做为描述时空洛伦兹变换的数学工具 1 5 1 。进一步，通过 引入“小群”的概念，他建立了研究相对论粒子内部时空对称性的理论 框架f 1 6 ，1 7 1 。现在人们已经知道，由群表示理论的观点，量子态在洛伦兹 变换下的变换规则即为庞加莱群作用在物理态上的幺正表示，通过构造齐 次洛伦兹群的某些子群可以得到这些表示。子群代表的洛伦兹变换保持菜 些给定的四动量不变，主导了粒子的内部时空对称性，被称为w i g n e r 小 群。对于有质量粒子的物理态，相应的w i g n e r 小群是空间转动群s 0 ( 3 ) ： 对于无质量粒子的物理态，相应的w i g n e r 小群是欧氏( e u c l i d e a n ) 平面内 的刚体运动群e ( 2 ) 。通过“群收缩”( g r o u pc o n t r a c t i o n ) 的方法，在大动量 或零质量极限下可以由有质量粒子情形的s o ( 3 1 群得到无质量粒子情形 的e ( 2 ) 群f 1 8 ，1 9 ，2 0 。这就使得人们能够以统一的视角描述粒子内部时空 对称性。 最近人们发现量子理论、相对论和信息理论三者之间存在着密不可 分的关系f 2 1 ，2 2 1 。狭义相对论给距离遥远的系统之间的信息传输带来了 重要的限制。研究这些问题需要知道洛伦兹变换对量子态的具体影响， 即w i g n e r 小群群元素的具体表达形式。这可以通过群s l ( 2 ，c ) 和群l l s o ( 1 ，3 ) 。之间的正则同态关系得n 2 a ，2 4 。这里将以无质量粒子的情形为 例，具体计算群e ( 2 ) 作用在物理态上的幺正表示 2 5 】。 2 1 有质量粒子情形 这部分讨论荷载了庞加莱群不可约表示的有质量粒子态的变换规 则，我们将会看到，有质量粒子物理态相应的w i g n e r 小群是空间转动群 s o ( 3 ) 1 1 5 ，1 6 1 。 为了明确定义具有自旋的有质量粒子的动量本征态，首先在有质量 粒子的静止系中考虑问题。质量为m 的粒子的静止系四动量记为炼= ( m ，d ) = ( m ，0 ，0 ，o ) 。由于四动量算符的各个分量相互对易，很自然地可以 中国科学技术大学理论物理所量子理论组 ! 里塑塞垫童查竺垒塞竺堡塞叁 ：苎! ! 圣 u ( r ) l o ，o = d ( 3 ) r 0 口) ( 2 1 4 ) 7 p l mp 2 mp 3 m 、 铲l ；m1 劳1 ，鼎矧7 - 1 ) p 坩i p 3 卜 p 3 m( 7 一1 ) p 1 p 3( 7 1 ) p 2 p 3l + ( 7 1 ) p 3 p 3 中国科学技术大学硕士学位论文 第1 1 页 现在来分析一般惯性参考系中动量本征态的性质。它满足： p “l p a ) = p “i p a )( 2 1 9 ) 但不满足 j 3 l p a ) = ：入i p a ) 这是因为现在l ，3 包含了轨道运动的贡献，所以有 ，p 1 】_ i p 2 j 3 ，p 2 = 一i p l 因此i p ”不是j 3 和声的共同本征态。与在静止系中不同 j 3 的本征值，而是表示粒子自旋的z 分量的本征值。 另外，三维d 函数6 ( 3 1 ( 石一两不是洛伦兹不变的。而 ( 2 1 1 0 ) ( 2 1 1 1 ) f 2 1 ，1 2 ) 指标a 不表示 以稀护( 齐一西( 2 1 1 3 ) 是满足质壳条件p o = v 1 两骊的洛伦兹不变的j 函数。取态的归一化 为： ( p ，仃a ) = ( 讥稀m ) 6 以6 ( 3 ( 云一动( 2 1 1 4 ) 从而得知，任意洛伦兹变换a 对动量本征态的作用为 u ( a ) i p ，口) = u ( a ) u ( l p ) l o ，玎) = u ( l a p ) u ( w ( a ，p ) ) j o ，盯)( 2l1 5 ) 其中， w ( a ，p ) = l i ：a k( 2 1 1 6 ) 叫做m 9 佗e r 转动。由( 2 1 6 ) 式的定义经简单计算可知，w i g n e r 转动保持静 止系四动量硝不变， w ( a ，p ) “，p ：= p s( 2 1 1 7 ) 这说明w i g n e r 转动是空间转动群5 0 ( 3 ) 的群元素。可以这样来分析w i g n e r 转动：对静止参考系施加洛伦兹变换厶得到运动参考系1 ，随后施加洛 中国科学技术大学理论曲理所童子理论组 ! 塑塑竺塞塞查童丝兰堂堡丝苎 叁! ! 里 静出参考系 一 ! ：2 i 运动聋考系1 k 运动参考系2 ， a p 图2 1 ：w i g n e r 旋转。洛伦兹变换a 工p 和工 p 的效粜相差s o ( a ) 转动，即为w i g n e r 旋转。 伦兹变换a 得到另一个运动参考系2 ，如图2 1 所示。最后对运动参考系2 施加洛伦兹变换l 急，会再次得到粒子的静止参考系a 但是由( 2 1 1 6 ) 知， 此时得到的静止坐标系和起先的静止坐标系并不一样，它们之间相差一 个空间的s o ( a ) 转动。 由： ：w i g n e r 转动实质是空间转动，从( 2 1 4 ) 式分析可知， u ( h ) l p ，a ) = d g ：( ( 人，p ) ) i a p ，盯7 ) ( 2 1 1 8 ) 口， 这里指标d g ：( w ( a ，p ) ) 是w i g n e r 转动的自硒表示，在后面的研究中一般只 考虑j = 1 2 的情形，但是向更高维推广是直接的。 2 t 2 无质量蛙子情形 这一部分讨论无质量粒子态在洛伦兹变换下的变换规则，我们将会看 见，无质量粒子态相应的w i g n e r 小群是欧氏( e u c l i d e a n ) 平面内的刚体运 动群e ( 2 ) 1 5 ，1 6 ，2 6 ，2 7 。 与有质量粒子不同，在任何惯性参考系中无质量粒子都不会静止，所 以应该考虑粒子标准四动量为护= ( 七，云) = ( k ，0 ，0 ，七) 时的惯性参考系。其 中的是 0 ，其数值固定，所以我们按照文献1 2 5 1 中的约定，鱼接取= 1 。 在这个标准的参考系中定义动量本征态a ) “8 如下： p i k ，口) 8 埘= 胪盯) 剌 j 3 1 惫，盯) 酏4 = 盯1 七，盯) 戚d 中国科学技术太学理论物理所量子理论组 ( 2 21 ) ( 2 22 ) 中国科学技术太学硕士学位论文 第1 3 页 其中j 3 表示z 方向的总角动量的分量。注意到此时粒子动量也沿2 方 向，所以盯是角动量在运动方向的分量，即螺旋度。由于粒子沿z 方向 运动，系统的对称性不再是三维空间转动群s o ( 3 ) ，而是欧氏( e u c l i d e a n ) 平面内的二维刚体运动群e ( 2 1 。其群元素p 。可做如下分解： r ( a ，p ，驴) 一，= f s ( o ，p ) 兄( 妒) r 。 ( 2 2 3 ) 其中， 表示沿z 轴旋转砂角的操作； 1 + 跏捌。li 一( 一三l ( 2 2 5 ) 一pi 1 一e 表示平移操作，这是因为 【s ( 丘，声) s ( n ，p ) 】= s ( a + q ，届+ p )( 2 2 6 ) 其中( 2 2 5 ) 式中的= ( 0 2 + 卢2 ) 2 。对应于p 。的幺正算符应该是 u ( t ( q ，口，砂) ) = u ( s ( n ，p ) ) u ( 垃( 妒) ) = e i c e a + p be 母7 3 1 2 2 7 1 其中，与转动生成元j 3 相联系的物理自由度如上所述就是无质量粒子的 螺旋度。而平移生成元a 和b 是幺正算符： a = 一j 1 3 + j ”= j 2 + k 1 日= 一j 2 3 + j 2 0 = 一j 1 + k 2 ( 2 28 1 ( 2 2 9 ) 对于光子态而言，算符a 和b 的本征值为0 ，无需考虑与4 和口相联系 的物理量。事实上，在w i g n e r 的原始文章中虽然指出了生成元a 和b ， 却并未涉及与它们相联系的物理量【1 5 。因此多年来人们一直认为，仅 中国科学技术大学理论物理所量子理论组 、， 砂砂 。-；咖o。渤。 c _ 1 o 0 o ，jiljil、 = 吵 r ! 曼墅丝堡垒叁丝垒窒垒丝竺苎一。；竖 仅是算符a 和b 的0 本征值才是有物理意义的表示【2 8 ，2 9 1 。一直到1 9 7 1 所以，对应于t ”，的幺正算符作用在无质量粒子( 这里主要讨论光 类似于有质量粒子的处理手段，只是需要考虑一般的参考系中如何定 义无质量粒子四动量本征态。设某参考系中，无质量粒子的四动量为 矿：( i 翻2 囝= ( i 司2 ，矿，p 2 ，p 3 ) 。这能通过洛伦兹变换岛得到： 脚，= ( 竺糍眨s ， 月) 是把空间( j i tj = ( o ，0 ，1 ) 旋转到j ；= ( s i n 8 c o s ，s i n o s i n c ? ，c o s 0 ) 的纯 中国科学技术大学硕士学位论文 第1 5 页 但不满足 j a i p ，口) = 口l p ，o - ) ( 22 1 7 ) 这是因为x o y 平面内存在运动而且指标盯表示螺旋度而非j 3 的本征值， 所以i p ，口) 不是p p 和j 3 的共同本征态。事实上，由于 所以有 u ( r ) ) 】_ 1 ( ，p ) u ( 冗( 芦) ) = j 3( 22 1 8 ) ，k 3 】- 0 ( 2 2 1 9 ) ，】；i p ，盯) = 口旧，o - )( 2 2 2 0 ) 由上所述可知，任意洛伦兹变换a 对动量本征态的作用为 其中 u ( a ) i p ，口) = u ( l a p ) u ( i 矿( a ，p ) ) i 凫，口) 5 坩( 2 2 2 1 ) w ( z ，p ) = l 乏a 岛 ( 2 2 2 2 ) 即为w i g n e r 转动。由( 2 2 ，1 1 ) 式的定义经简单计算知，w i g n e r 转动保持标 准系四动量不变： w ( a ，p ) “。= k “( 2 2 2 3 ) 所以，w ( a ，p ) 是群e 2 的元素，由( 2 2 1 0 ) 式知 u ( a ) i p ，o - ) = e 4 p ( “，咖i h p ，o - )( 2 2 2 4 ) 其中，砂( a ，p ) 由群e ( 2 ) 形如式( 2 2 3 ) 的分解决定。其明确表达式将在下 文中利用群s l ( 2 ，c ) 和正常的正时洛伦兹群吐之间同态关系计算得到。 注意由于洛伦兹变换仅仅改变无质量粒子态的相因子，所以螺旋度是洛 伦兹不变的物理量。 中国科学技术太学理论物理所童子理论组 ! 堂塑童苎塞圭童垒兰童垒丝叁 量! ! 里 2 3 群e ( 2 ) 和群s o ( 3 ) 的关系 狭义相对论的一个优美之处在于，对于有质量粒子和无质量粒子，存 在相同的能量动量关系p o = 、厢矛丽。另一方面，通过上文讨论我们知 道，研究相对论粒子内部时空对称性的一种重要方法就是研究w i g n e r 小 群所代表的时空坐标变换。对于有质量粒子的情况，w i g n e r d 、群是s o ( 3 ) 群；对于无质量粒子的情况，w i g n e r d 、群是e ( 2 ) 群。很自然的，人们就 想到，是否存在一种统一描述粒子内部时空对称性的方法，使之既适 用于有质量粒子的情况又适用于无质量粒子的情况。换言之，群e ( 2 ) 是否是群s o ( 3 1 的一种极限情况。1 9 5 3 年，i n 6 n i i 和w i g n e r 引入“群收 缩”( g r o u pc o n t r a c t i o n l 的方法得知。大角动量的球谐函数的极限情况可 以得到群e ( 2 1 的无穷维幺正表示 1 8 1 。随后大量工作已经表明，在大动量 或零质量极限下，可以由有质量粒子情形的群s o ( 3 ) 得到无质量粒子情 形下群e ( 2 ) 1 9 ，2 0 。这一部分我们采用文献f 3 2 1 的表述，首先利用群收缩 的方法在三维欧氏空间中由群s 0 ( 3 ) 得到e ( 2 1 ，随后显示了在四维闵可 夫斯基f m i n k o w s k i l 空间中w i g n e r 小群是如何在大动量或零质量极限下由 群s 0 ( 3 ) 过渡到e ( 2 ) 的。 e ( 2 1 群是由二维x o y 平面内的转动和平移构成的，其在三维空间中 的有限维非幺正表示为： 脚属炉焉s i n 砂b ；) s - ， 这个变换把三维空间中的列向量( z ，y ，i ) 变为( ，y ，1 ) 。 化为 d 沁，卢，妒) = e 4 ( 。p 1 + 4 p 2 e 。4 3 ( 2 31 ) 式可以指数 莒) ，马= ( ；i 吾) ，如= ( ；言 ( 2 3 2 ) 332 ，i 、l， 0 0 o 为 0 0 0 元 0 0 0 成r 0 生 l | ， r 中其 ! 里墼童丝叁丝垒塞童堡垒苎 丝! ! 里 【r ，尸2 l = 0 ，【l a ，p 1 1 = i p 2 ，【l 3 ，尸2 = 一z p l ( 2 34 ) 上，= ( i ； z ) ，l 。= ( 呈。ii ) c 23 5 ， 为了从l ，和l 2 得到p 1 和p 2 ，考虑三维空f a 中半径很大的球在北极附近 区域的行为f 3 3 。北极附近区域的z 坐标数值很大，与球的半径r 近似相 = ) ( i ) 。， l 3 = v 工3 y 一1 p l = ( 1 r ) v l 2 v 一1 p 2 = - 0 r ) y 厶y “ ( 237 ) ( 2 38 ) ( 2 39 ) 通过这样的极限过程就从s o ( 3 ) 的生成元得到了e ( 2 ) 的生成元。这种处 理方法就叫从s 0 ( 3 ) 到e ( e ) 的“收缩”。 上面的处理方法是数学的，现在我们从物理角度阐释群s o ( 3 ) 和e ( 2 ) 的关系。人们已经知道自由粒子的内部时空对称性与w i g n e r 小群密切相 关：对于有质量粒子的物理态，相应的w i g n e r 小群是空间转动群s 0 ( 3 ) ： 对于无质量粒子的物理态，相应的w