（运筹学与控制论专业论文）偏微分方程与常微分方程的耦合系统控制.pdf

摘要 a b s t r a c t 目录 第1 章绪论 1 1 分布式参数系统概述 1 2 耦合系统概述。 1 3 时滞系统概述 1 4 本文研究的内容 第2 章预备知识 2 1 引用的不等式。 2 2 主要记号。 第3 章偏微分方程与常微分方程的耦合系统控制 3 1 问题陈述。、。 3 2 状态反馈控制器设计 3 3 观测器和输出反馈控制器设计。 3 4 例子 3 4 1 状态反馈控制器及闭环系统的解 3 4 2 观测器，输出反馈控制器及闭环系统的解 第4 章偏微分方程与常微分方程的耦合时滞系统控制 4 1 问题陈述。 4 2 控制器设计。 4 3 稳定性分析。 结语3 6 参考文献 攻读硕士学位期间完成的论文 致谢 3 7 4 1 4 2 ； 一 1 l 2 2 2 4 4 6 7 7 8玛幻幻殂 恐船丝约 j 西南大学硕士学位论文 摘要 偏微分方程与常微分方程的耦合系统控制 运筹学与控制论专业硕士研究生唐姝霞 指导教师谢成康教授 摘要 本文研究由一个抛物型偏微分方程与一个常微分方程所组成并描述的耦合系 统的控制器设计问题，以及偏微分方程与常微分方程的带有输入时滞的耦合系统 的控制器设计问题通过设计控制器，使闭环系统达到指数稳定 在具体研究中，本文主要采用偏微分方程b a c k s t e p p i n g 方法来解耦，它曾成功 用于解决偏微分方程与常微分方程的级联系统的控制器设计问题此方法首先通 过寻求可逆的积分变换将原系统变换成为指数稳定的目标系统，然后通过求得的 变换得出控制器，从而由变换的可逆性得到加上所设计的控制器的闭环系统的指 数稳定性此外，在为偏微分方程与常微分方程的带有输入时滞的耦合系统设计控 制器之前，特别地，通过建立一个连接将输入时滞转换成为空间扩展，从而将原系 统转换成为由一个偏微分方程以及一个偏微分方程与常微分方程的不带时滞的耦 合系统所组成的级联系统，这是解决时滞系统的控制设计问题的一个新方法另 外，本文还用到了一些代数和分析的技巧 与已有的成果相比较，本文的主要特点在于所研究的系统是比已有结果中的 系统更复杂、更有实际意义的耦合系统已有的结果中多是偏微分方程与常微分 方程的级联系统，其中二者之间的作用是单向的，即只有偏微分方程对常微分方程 的作用而本文的系统中，偏微分方程设备和常微分方程设备之间的作用是双向 的，即在偏微分方程作用于常微分方程的同时，常微分方程也反作用于偏微分方程 另外，本文还考虑了输入过程中出现的时滞现象因而本文所得到的结果不仅进一 步发展了现有的结果，而且还有更加明显的应用价值 关键词：耦合系统；控制；b a c k s t e p p i n g ；输入时滞；指数稳定 飞 j 户 西南大学硕士学位论文 a b s t r a c t s t a b i l i z a t i o np d e o d e m a j o r ：o p e r a t i o n a lr e s e a r c ha n dc o n t r o lt h e o r y n a m e ：s h u x i at a n g s u p e r v i s o r ：p r o f c h e n g k a n gx i e a b s t r a c t c o n t r o ld e s i g nf o rac o u p l e ds y s t e mo fap a r a b o l i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( p d e ) a n da no r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( o d e ) ，t o g e t h e rw i t hc o n t r o ld e s i g nf o r ac o u p l e dp d e - o d es y s t e mw i t hi n p u td e l a y , a r ed i s c u s s e di nt h i sp a p e r t h r o u g h c o n t r o ld e s i g n ，e x p o n e n t i a ls t a b i l i z a t i o no ft h ec l o s e d - l o o ps y s t e m si sa c h i e v e d t h em e t h o do fp d eb a c k s t e p p i n gi sr e c u r r e dt o ，w h i c hh a ss u c c e s s f u l l ys o l v e d c o n t r o ld e s i g np r o b l e mf o rc a s c a d e dp d e - o d es y s t e m s f i r s t l y , a ni n v e r t i b l ei n t e - g r a lt r a n s f o r m a t i o ni sl o o k e df o rt oc o n v e r tt h eo r i g i n a ls y s t e mi n t oa ne x p o n e n t i a l l y s t a b l et a r g e ts y s t e m s e c o n d l y , ac o n t r o l l e rc a nb eo b t a i n e dt h r o u g ht h et r a n s f o r - m a t i o n t h e n ，w i t ht h ei n v e r t i b i l i t yo ft h et r a n s f o r m a t i o n ，e x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo f t h ec l o s e d 1 0 0 ps y s t e mi sa c h i e v e d w h a t 。sm o r e ，b e f o r ed e s i g n i n gc o n t r o l l e rf o rt h e d e l a y e dc o u p l e dp d e - o d es y s t e m ，t h em e t h o do fe s t a b l i s h i n ga ni n t e r c o n n e c t i o n t ot r a n s f e rt h ei n p u tt i m ed e l a yi n t oas p a c ee x t e n s i o ni se m p l o y e dt ot r a n s f o r m t h es y s t e mi n t oac 嬲c a d eo fap d ew i t hac o u p l e dp d e - o d es y s t e mw i t h o u tt i m e d e l a y s o m ea l g e b r a i ca n da n a l y t i c a ls k i l l sa r ea l s oe m p l o y e d c o m p a r e dw i t ht h ea c h i e v e m e n t st h a th a v eb e e na c q u i r e d ，t h em o s ti m p o r t a n t f e a t u r eo ft h i sp a p e rl i e si nt h em o r ec o m p l i c a t e da n dm o r ep r a c t i c a lc o u p l e ds y s t e m s c o n s i d e r e di nt h i sp a p e r t h ee s t a b l i s h e dr e s u l t sm o s t l yd i s c u s sc a s c a d e dp d e - o d e s y s t e m s w h e r et h ei n t e r a c t i o n sb e t w e e n t h ep d e sa n dt h e0 d e sa r eo n e - d i r e c t i o n a l ， t h a ti s o n l yt h ep d e sa c to nt h eo d e s w h e r e a si nt h es y s t e m sc o n s i d e r e di n t h i sp a p e r ，t h ei n t e r a c t i o n sa r et w o - d i r e c t i o n a l ，t h a ti s ，t h eo d e sa c tb a c ko nt h e p d e sw h e nt h ep d e sa c to nt h eo d e s w h a t sm o r e ，i n p u td e l a yh a sa l s ob e e n c o n s i d e r e d t h e r e f o r e ，t h er e s u l t so b t a i n e di nt h i sp a p e rn o to n l yf u r t h e rd e v e l o p t h ee s t a b l i s h e dr e s u l t s ，b u ta l s oh a v em o r eo b v i o u sv a l u ei np r a c t i c e 1 1 西南大学硕士学位论文第1 章绪论 第1 章绪论 控制论( c y b e r n e t i c s ) 由美国科学家n o r b e r tw e i n e r 最早提出1 9 4 8 年发表的 著名的控制论一关于在动物和机器中控制和通讯的科学，为控制论奠定了理 论基础，标志着它的正式诞生维纳把控制论看作是一门研究机器、生命社会中控 制和通讯的一般规律的科学，更具体地说，是研究动态系统在变化的环境条件下如 何保持平衡状态或稳定状态的科学( 见【3 2 】) 控制论发展至今，其思想和方法已经 渗透到了几乎所有的自然科学和社会科学领域 1 1分布式参数系统概述 分布式参数系统，d i s t r i b u t e dp a r a m e t e rs y s t e m s ，( 与集中式参数系统，l u m p e d p a r a m e t e rs y s t e m s 相对) 是指状态空间为无穷维的系统，因而又称为无穷维系统 分布式参数系统有无穷个自由度，通常用偏微分方程、偏微分积分方程或积分方 程来描述集中式参数系统一般用常微分方程描述而严格意义上，大多数的集中 式参数系统都是在一定程度上对分布式参数系统的逼近描述 对分布式参数系统的控制问题的研究于二十世纪六十年代开始发展起来，可 参考 1 】由于广泛的实际应用背景，分布式参数系统的控制理论，特别是由偏微分 方程系统和泛函微分方程系统的控制理论，一直是独立的重要研究领域，如温度场 的控制、化学过程的控制、弹性振动系统的控制，甚至等离子不稳定性的控制这 种极具挑战性的课题经过控制理论和控制工程界科学家的的不断努力，到目前为 止，在分布式参数系统的控制领域的研究工作已经取得了一些显著的成果 虽然分布式参数系统的控制问题在动力系统理论中具有独特的特性和原理， 但是这一领域的研究成果也促进了偏微分方程一般理论的研究特别地，它在加深 对控制理论的认识和理解的同时，也对数学理论提出更多的挑战，从而也促进了各 种重要的发展，如数学基础理论中新方法、新数学工具的发现和发明 对分布式参数系统控制领域的研究，其中特别值得一提的是，我国科学家作出 了很多显著的工作，并得到了国际同行的广泛认同首先必须要提到的便是钱学森 院士于1 9 5 4 年出版的工程控制论一书，这是经典控制理论方面最重要的著作之 一，主要研究工程设计中被控制系统或被操纵系统两个层次之间的关系，重点在于 提供了更广阔的视野和更系统的解决问题的方法，在世界各国都曾作为大学教材 另外，在偏微分方程系统的能控性和能稳性研究领域，我国数学家也做出了很多具 有深远影响的成果如郭宝珠教授引入了彤e s z 基理论进行研究( 见【8 ，9 ，1 1 】) ，张 1 西南大学硕士学位论文 1 2 耦合系统概述 旭教授借用了c a r l e m a n 估计( 见【6 ，7 ，3 0 】) ，姚鹏飞教授运用了微分几何的理论( 见 【2 ，1 2 ，3 5 ，3 6 】) ，许跟起教授采用了算子半群中的理论( 见 3 ，3 3 ，3 4 】) ，等等 1 2耦合系统概述 在控制理论和控制工程中，耦合系统一直是学者们感兴趣的问题研究人员们 已经做出了很多成果耦合存在于很多实际控制系统中，有着丰富的物理背景，如 电磁耦合、机械耦合和耦合化学反应等等 关于偏微分方程与偏微分方程的耦合系统的能控性问题，已经得到了不少结 果( 见【4 ，1 9 ，2 0 ，2 1 ，2 3 ，3 1 ，3 8 ，3 9 ，4 0 ，4 1 ，4 3 】) 对于偏微分方程与常微分方程 的级联系统( 其中偏微分方程和常微分方程之间的作用是单向的) 的控制器设计问 题也通过运用偏微分方程b a c k s t e p p i n g 方法得到解决( 见【1 4 ，1 5 ，1 7 ，2 4 ，2 5 】) 而为偏微分方程与偏微分方程的耦合系统，甚至是偏微分方程与常微分方程 的耦合系统( 其中偏微分方程和常微分方程之间的作用是双向的) 设计切实可行的 状态反馈控制器和输出反馈控制器( 见【2 6 ，2 7 ，2 8 ，2 9 ，4 2 】) ，却仍是个刚开始研究 的领域 1 3时滞系统概述 时滞是指系统中信号传递的时间延迟严格说来，时滞普遍存在于自然和工程 实际中，如网络控制系统、电网传输系统、机械传动系统对于一个具体的控制系 统，测量元件、测量过程、甚至控制元件、执行元件都有可能单独或共同造成时 滞一般在处理问题时，如果时滞比较小，或者为了成本的考虑，会忽略时滞而如 果时滞比较大，不可以忽略时，所建立的数学模型则为时滞系统 由于时滞常常是系统不稳定性的一个重要因素，并且对时滞系统的分析和控 制存在一定的困难性，所以对时滞的研究在过去数十年来得到了控制理论和控制 工程领域学者的广泛关注研究人员们也已经做出了很多成果 对于带时滞的常微分系统的控制问题，已经有了很多成果，如 1 7 ，1 8 】带时滞 的偏微分方程的控制问题也是个吸引众多学者的领域，其中也已建立少数的结果， 如【1 0 ，1 6 ，1 7 】 1 4 本文研究的内容 本文研究偏微分方程与常微分方程的耦合系统和偏微分方程与常微分方程的 2 西南大学硕士学位论文 1 4 本文研究的内容 带输入时滞的耦合系统的控制问题所研究的耦合系统由抛物型方程和常微分方 程组成，二者之间的作用是双向的，即在偏微分方程作用于常微分方程的同时，常 微分方程也反作用于偏微分方程由于整个耦合系统要比单个的常微分方程或偏 微分方程，甚至偏微分方程与常微分方程的级联系统更复杂，在本文问题的解决过 程中出现了一些困难和挑战 解决耦合系统问题最直接的方法是寻求解耦，但它并不能适用于所有问题本 文主要运用偏微分方程b a c k s t e p p i n g 方法来解耦( 见【t s l ) ，此方法曾成功用于偏微 分方程与常微分方程的级联系统的控制器设计( 见 1 4 ，1 5 ，1 7 ，1 8 ，2 4 ，2 5 1 ) 另外， 为了解决时滞系统的控制设计问题，本文还采用了一个新方法，通过建立一个连接 将输入时滞转换成为空间扩展，从而将原系统转换成为由一个偏微分方程以及一 个偏微分方程与常微分方程的不带时滞的耦合系统所组成的级联系统此外，一些 其他的技巧也在本文问题的解决过程中起到了重要的作用 全文分为四章第一章简述了分布式参数系统概况、耦合系统概况、时滞系 统概况及本文研究的内容第二章预备知识介绍了本文所涉及的基础理论，包括引 用的不等式和所用的主要记号第三章为偏微分方程与常微分方程的耦合系统设 计了状态反馈控制器、观测器和输出反馈控制器，保证了闭环系统的指数稳定第 四章为偏微分方程与常微分方程的带输入时滞的耦合系统设计了控制器，保证了 闭环系统的指数稳定最后，对本文的工作进行了归纳总结，并提出了有待进一步 研究的问题 3 西南大学硕士学位论文第2 章预备知识 第2 章预备知识 本章介绍文中引用的一些不等式和所用的主要记号 2 1引用的不等式 y o u n g s 不等式 1 设( o ) = 0 ，( z ) 当z 0 时连续且严格单调递增；矽( z ) 为其逆函数，因而矽 ) 也满足同样的条件；设a 0 ，b 0 ，则 口6 小帕+ f 0 6 始) 如 这就是y o u n g s 不等式( 见【1 3 】) 2 当 l 0 ，e 0 ) 其中 c ( ) = ( e p ) 一q p q - 1 4 特别地，令 则不等式变为 p = g = 2 ，e = 三 口6 百a 2 + 6 2 4 西南大学硕士学位论文2 1 引用的不等壅 c a u c h y - s c h w a r z 不等式 1 对于内积空间中的任意向量z ，y ，有 i 1 2 l ，( z ) 9 ( z ) d z l 2 i f ( z ) 1 2d z 1 9 ( z ) 1 2 d z p o i n c a r 6 不等式 1 对于在区间 0 ，l 】上连续可微的任意函数硼，有( 见【l s l ) z 1 加2 出2 叫2 ( 1 ) + 4 0 1 砭如 z 1 彬2 如2 叫2 ( 。) + 4 0 1 以d z 2 特别地，当删( 1 ) = 0 或w ( o ) = o 时，有 z 1 坩2 出4 0 1 以如 3 对于在区间【0 ，f 】上连续可微的任意函数珏，若u ( z ) = 0 或u ( o ) = 0 ，则通过变量代 换，有 产出- 0 是l y a p u n o v 方程 p ( a + b k ) + ( a + b k ) t p = 一q ，q = q 丁 0 的解，参数a 0 待定 由b a c k s t e p p i n g 变换( 3 2 2 6 ) 和( 3 2 2 t ) ，可得 i | 叫1 1 2 q 1i i 训1 2 + 口2 i x l 2( 3 2 3 2 ) i l u l l 2 卢1i l w l l 2 + 仍i x l 2( 3 2 3 3 ) l | 叫。0 2 q 3 i l u 。| 1 2 + q 4 l i u | | 2 + q 5 i x l 2( 3 2 3 4 ) 0 “z l l 2 岛i l 硼z i l 2 + & l l w l l 2 + 风i x l 2( 3 2 3 5 ) 其中 a 1 = 3 ( 1 + g l l c b i l 2 ) ，q 2 = 3 1 1 圣1 1 2 尻= 3 ( 1 + l l l * b i l 2 ) ，仍= 3 1 1 皿1 1 2 q 3 = 4 ，0 1 4 = 4 ( ( c b ) 2 + z l l 圣z b i l 2 ) ，q 5 = 4 1 1 西，2 伤= 4 ，威= 4 ( ( c b ) 2 + 川皿b i l 2 ) ，傀= 4 i i 皿，1 1 2 于是可得 查( 肼+ 玩。) ) v 因此 v ( t ) y ( 0 ) e 一托 记 6 = 否查 则对于任意的t 0 ，有 i x ( t ) 1 2 + m ，t ) l l 备- ( 0 1 ) 5 ( i x ( o ) 1 2 + m ，o ) 1 1 备1 ( 0 f ) ) e 一觇 定理得证 口 3 3观测器和输出反馈控制器设计 在实际问题中，要使系统所有的状态信号都可测量且可用于反馈的假设通常 是不现实的有时即便系统的状态信号都可以直接测量，但考虑到实施控制的成本 和系统的可靠性等因素，如果可以用系统输出反馈来达到闭环系统的性能要求，则 通常选择输出反馈的控制方式所以，只取输出信号作为反馈信号的输出反馈控制 器设计具有重要的理论意义和实际应用价值，实际上很多控制系统都是输出反馈 假设只有u 。( 0 ，亡) 可测，或者为了经济的考虑，只测量( 0 ，t ) ，则为了能对系统 进行控制，需要设计观测器来重新构造区域内的状态 1 3 西南大学硕士学位论文第3 3 章观测器和输出反馈控制器设计 考虑以下形式的观测器 二 x ( t ) = a x ( t ) + b u z ( o ，t ) + p o ( 缸z ( 0 ，t ) 一面七( o ，) ) 讥( z ，t ) = 也茹( z ，t ) + p 1 ( z ) ( u 茁( o ，t ) 一砬z ( o ，t ) ) ，z ( 0 ，z ) 砬( o ，t ) = c x ( t ) 十耽( u 霉( o ，t ) 一玩( o ，t ) ) 砬( z ，t ) = u ( ) 其中岛为常值向量，函数p a ( x ) 和常数仇待定 记观测误差为 f i ( x ，t ) = u ( x ，t ) 一砬( z ，t ) ，2 ( t ) = x ( t ) 一2 ( t ) 并且，为了使观测器误差系统 x ( t ) = a x ( t ) 一晶讥( 0 ，t ) f i t ( x ，t ) = 也霉( z ，t ) 一p 1 ( z ) 雹( o ，t ) ，z ( 0 ，：) 豆( o ，t ) = c x ( t ) 一沈如( o ，t ) 百( f ，t ) = o 达到指数稳定，引入变换 西( z ，t ) = 面( z ，t ) 一e ( z ) x ( 亡) 以将( 3 3 5 ) 一( 3 3 8 ) 转换成为如下指数稳定的系统 x ( t ) = ( a p o e 7 ( o ) ) x ( t ) 一p o 砚( o ，t ) t 乃t ( x ，t ) = 面( z ，) ，x ( 0 ，f ) 西( 0 ，t ) = 0 面( z ，t ) = o 其中e ( z ) 待定，并选择p o 使得a p o e ( 0 ) 是h u r w i t z 矩阵 通过比较( 3 3 5 ) 一( 3 3 8 ) 和( 3 3 1 0 ) 一( 3 3 1 3 ) ，得到如下的充要条件 e ( z ) 一e ( z ) a = 0 e ( o ) = c e ( 1 ) = 0 1 4 3 3 3 3 3 3 3 3 ( 3 3 5 ) ( 3 3 6 ) ( 3 3 7 ) ( 3 3 8 ) ( 3 3 9 ) 3 3 3 3 3 3 3 3 ( 3 3 1 4 ) ( 3 3 1 5 ) ( 3 3 1 6 ) 西南大学硕士学位论文 第3 3 章观测器和输出反馈控制器设计 i ti imi ii m- i i i 和 p l ( x ) = e ( z ) r 仡= 0 ( 3 3 1 7 ) ( 3 3 1 8 ) 因此，只需解常微分方程( 3 3 1 4 ) - ( 3 3 1 6 ) 为了构造常微分方程( 3 3 1 4 ) 一( 3 3 1 6 ) 的解，首先给出如下引理 f = ( ；吾) ，g = ( 。，e f li ) g - 三斋南胪 一g 日= 量焉魄( 口口) 小卅。1 锻2 三斋南m a s ( 口口) = p r a - - - - - o 圳( 2 m + 1 ) 1 毒) l 幸必l ，- c 学 方程( 3 3 1 4 ) 一( 3 3 1 6 ) 的解为 e c 加( ce 即，e f x i ) 3 ， 1 5 西南大学硕士学位论文第3 3 章观测器和输出反馈控制器设计 特别地，令z = l ，得剑 ( ce ，( 。) ) e 剧( 三) = e ( z ) = 。 当a 没有形如一七2 7 r 2 1 2 ，k n 的特征值，可得 + e ，( 0 ) - - c ( ，。e f l g - 1 因此，方程( 3 3 1 4 ) 一( 3 3 1 6 ) 的解是 e c z ，= ( c c ( j 。e f l ( 三) g 一1 ) e n ( 三) c 3 3 2 。， 选择p o 使得a p o e 7 ( o ) 是h u r w i t z 矩阵，则通过( 3 3 1 7 ) 和( 3 3 1 8 ) 可以确 定p l ) 和p 2 至此，为了运用观测器( 3 3 1 ) 一( 3 3 4 ) 所需的量都已确定 系统( 3 3 1 0 ) 一( 3 3 1 3 ) 是指数稳定的热方程( 3 3 1 1 ) 一( 3 3 1 3 ) 和指数稳定的 常微分方程( 3 3 1 0 ) 的级联系统，显然是指数稳定的从而由变换( 3 3 9 ) 的可逆性 定理3 3 1 假设矩阵a 没有形如一七2 7 r 2 1 2 ，k n 的特征值，则由( 3 3 1 7 ) ， ( 3 3 1 8 ) 和( 3 3 2 0 ) 来定义增益函数的观测器( 3 3 1 ) 一( 3 3 4 ) 确保了观测器误差 系统有经典解并在范数 1 1 ( 2 ( 0 ，配t ) ) 1 1 2 = 1 2 ( t ) 1 2 + i i 叱t ) l l 备( o ，1 ) 的意义下是指数稳定的，即2 ( t ) 和砬( t ) 在此范数意义下指数地跟踪x ( ) 和u ( 0 证明由变换( 3 3 9 ) ，可得 i i 西i | 2 2 1 1 面1 1 2 + 2 1 1 e l l 2 1 2 1 2 ，l i 面z i l 2 2 l i 霞z i l 2 + 2 l i e ，| 1 2 i 贾1 2 l l 面1 1 2 2 1 1 西1 1 2 + 2 1 1 e l l 2 1 2 1 2 ，l i 面z l l 2 2 l i 面z i l 2 年2 l i e ，1 1 2 i 贾1 2 定义l y a p u n o v 函数 嘲= 又t 户贾+ 弘( ，卵+ 扣肌) 0 2 其中户= 户t 0 是l y a p u n o v 方程 p ( a p o e 7 ( o ) ) + ( a p o e 7 ( o ) ) t 户= 一国，国= 国r 0 1 6 堕墼笺些丝鳖墼皇型坚墅坚竺些 嗣j 8 竿 通过计算可得 _ q ( i - 2 ( t ) 1 2 + 娜) 岫o i c ) ) 矿百( 即) 1 2 + 愀) 慨o f ) ) 其中 m i n i ， ，a 咖( 户) 里2 忑面可可靳i 丽而瓦i 可 否= m a x a 1 ，l e 们i + a l e l 2 + 入一( p ) ) 沿着系统( 3 3 1 0 ) 一( 3 3 1 3 ) 的解计算l y a p u n o v 函数的导数，则 痧一学降卜蒜一半) i i 西x l l 2 - 螂) 2 其中最后一个不等式根据a g m o n s 不等式和以下不等式 而得到取 则由p o i n c a r 6 不等式， 其中 汹t n 器，南( 1 _ 2 诵i p p o l 2 一等) ) 。 记 q = 圣恒 则对任意的t 0 ，有 i x ( t ) 1 2 + o 面( ，t ) l l 备。( 。，1 ) e ( 1 2 ( o ) 1 2 + l i 面( ，o ) l l 备- ( 0 f ) ) e 一孤 这说明误差系统( 3 3 5 ) 一( 3 3 8 ) 在范数 1 1 ( 2 ( t ) ，豇( ，t ) ) 1 1 2 = 1 2 ( t ) 1 24 - 愀，t ) l l 备- ( o ，z ) 的意义下达到指数稳定，定理得证 1 7 口 也 半 川 + _ y 西 o 孙 屯 枷一 一o 垆一k 二y t ： 仆 得 西南大学硕士学位论文 第3 3 章观测器和输出反馈控制器设计 i i ii m 在( 3 2 2 8 ) 中分别用色( 耖，) 和又( t ) 代替u ( y ，t ) 和x ( t ) ，得到输出反馈控制器 ， ( t ) = 圣( z 一秒) 砬( y ，t ) d y b + 垂( z ) 戈( ) ( 3 3 2 1 ) ，0 定理3 3 2 假设矩阵a 没有形如一后2 7 r 2 1 2 ，k n 的特征值，则对于相容的 初始条件x ( o ) ，2 ( o ) r 和u ( ，o ) ，砬( ，0 ) h 1 ( o ，z ) ，由设备( 3 1 1 ) 一( 3 1 3 ) ，控制 器( 3 3 2 1 ) 和观测器( 3 3 1 ) 一( 3 3 4 ) 组成的闭环系统在范数 ( x ( t ) ，u ( ，) ，2 ( 0 ，色( ，t ) ) 1 1 2 = i x ( t ) 1 2 + i l u ( ，t ) 1 1 2 h - ( o ，j ) + i x ( t ) 1 2 + i i 色( ，t ) | l 备- ( o ，1 ) 的意义下达到指数稳定 证明变换 ，霉 西( z ，t ) = 砬( z ，t ) 一圣( z 一秒) 色( y ，t ) d y b 一西( z ) 又( t ) ( 3 3 2 2 ) ，0 将( 3 3 1 ) 一( 3 3 4 ) 转换为系统 文( ) = ( a + b k ) 又( 亡) + b 西霉( o ，t ) + ( b + r ) ( 也( o ，t ) + e 7 ( o ) 贾( t ) ) 姒州) 她永+ 0 t ( 垆吣) ( b + p o ) 一o - o ( z 刊p - ( 州b ) 他( o ，t ) + e ，( 0 ) 贾( t ) ) ，z ( o ，2 ) 而( o ，t ) = o ，西( 2 ，t ) = 0 ( 3 3 2 3 ) ( 3 3 2 4 ) ( 3 3 2 5 ) ( 艾，西) 系统( 3 3 1 0 ) 一( 3 3 1 3 ) 和( 又，而) 系统( 3 3 2 3 ) 一( 3 3 2 5 ) 的齐次部分( 去 掉又( t ) ，砚( o ，t ) 项) 分别达到指数稳定合起来的( 又，西，贾，面) 系统是级联系统， 从而也达到指数稳定事实上，这可以通过加权的l y a p u n o v 函数 即) = 又t 户爻+ 扣( i 驯| 2 + 扣蚶1 1 2 + e 矿 ( h 2 6 ) 来证明，其中矩阵户= 户t 0 是l y a p u n o v 方程 p ( a + b k ) + ( a + b k ) t 户= 一国，国= 国t 0 的解，常数a 和加权常数e 待定 西南大学硕士学位论文第3 3 章观测器和输出反馈控制器设计 计算( 3 3 2 6 ) 关于时间的导数，则 应一又丁国又+ 2 又r p ( b 仍z ( o ，亡) + ( b + r ) ( 也( o ，o + e 7 ( o ) 又( t ) ) ) 一a i | 西。1 1 24 - a 西( z ) 1 ( z ) 一圣 ) ( b + p o ) 一z z 垂 一y ) p ( 可) 咖b ) ( 砚( 。+ e ，( 0 ) 贾( t ) ) 如 一0 西z z i l 2 + 也( z ) ( 硝( z ) 一垂7 ( z ) ( b + p o ) 一c b p l ( x ) e ，( 0 ) 文( 亡) ) 如 一2 岛一型l 卜n a i n i n ( q )厂 p = m a x 扣z ) 一吣) ( b + p o ) 一f o x 垂( z 刊p ( 彬y b ) 秽= m a x 舯) 一州州b + p o ) 一c 却，( z ) 一z 霉耿z 刊州洲y b ) 则由p o i n c a r 6 ，a g m o n ，s 和y o u n g 不等式，经过一些复杂的计算，得到 亩一e lj 宏1 2 一e 2 l i 西1 1 2 一e 3 i 又1 2 一e 4 l i 西。| 1 2 其中 e = 竿_ e i 即+ 驯2 ，e 2 = 垒2 一互1 4 丽i p b l 2 一t l + l 选择正常数a 和e 使得 然后选择正常数e 满足 2 ) i e ，( 0 ) 1 2 4 旦望到2 _ 4 a 0 2 1 3 _ 0 2 l a m i n ( q ) e 忑2 、( 1 + 4 & 一0 卿3 彬z ) e 一 +正f o + 秽fi a m i n ，、一。 1 9 m ；n ( q ) b + 岛) 1 2 i o ，( 0 ) 1 2 =一 b 晚 一 曲 尸 ，i i 、 ，l “ _ x 垆门叩 可 q 一 一 “一2 z 删一 k 迪 圣 z 厂 r 厂弋 一 十 舻 一 十、 t 一- 铲 h 了 砒 生。 4 一 + 一， 1 一e f i l qg 墅相 一 。p一_ 一入 一q 一 一 “一2 五 型2 g 入一 e = = 彩 艮 a一以 一2半 器 西南大学硕士学位论文 第3 4 章例子 再选择正常数a 使得 蒜+ t 1 + 1 + 吾( 4 氅铲删f ) 则通过冗长的计算，可以得到 e - r e 其中 ，= 皿n e l 雨，高，瓦e 丽3 ，丽2 丽e 4 所以，( 又，西，贾，西) 一系统达到指数稳定 因为变换( 3 3 9 ) 和( 3 3 2 2 ) 可逆，所以( 又，西，贾，面) 系统的指数稳定性确保 了( 又，色，灾，豇) 一系统的指数稳定性，从而确保了闭环( x ，u ，又，砬) 一系统的指数稳定 件 口 3 4例子 考虑以下的标量耦合控制系统 x ( t ) = x ( 亡) + u ( o ，亡)( 3 4 1 ) t ( z ，t ) = u z z ( x ，t )( 3 4 2 ) u ( o ，t ) = 一x ( t )( 3 4 3 ) u ( 1 ，) = u ( 亡) ( 3 4 4 ) 目标是求出其状态反馈控制器、观测器、输出反馈控制器以及闭环系统的显示解 3 4 1 状态反馈控制器及闭环系统的解 假设初始条件为u ( x ，0 ) = - 5 x ，x ( o ) = - 1 0 首先，取反馈增益k = 一2 使得a + b k 是h u r w i t z 矩阵，则 。= 0 ：) ，圣c z ，= 一( 1 3 e d x 1 ) 其次，通过( 3 2 2 8 ) 得到b a c k s t e p p i n g 控制器为 u ( t ) = 圣( 1 一y ) u ( u ，t ) d y + 西( 1 ) x ( ) ( 3 4 5 ) 西南大学硕士学位论文 第3 4 章例子 并且目标系统是 x ( t ) = 一x ( t ) + w z ( o ，t ) w t ( x ，t ) = 叫茹茹( z ，t ) w ( o ，t ) = 0 w ( 1 ，t ) 卸 然后，由( 3 2 2 9 ) 可得热方程( 3 4 7 ) 一( 3 4 9 ) 的显式解，其中 一杂器( e d4 m 2 7 i 2 + 9 i ) 5 m 丌( m 2 7 r 2 6 ) 5 m 4 7 r 4 + 3 m 2 7 r 2 + 1 m 丌 再由( 3 2 3 1 ) 和( 3 2 1 9 ) 可得闭环系统( 3 4 1 ) 一( 3 4 4 ) ，( 3 4 5 ) 的显式解 其中 即) = 一1 0 e - t + 2 器e 一2 砘( m r 2 - 1 ) t _ _ 1 ) 让( z ，t ) = l o e ( c o s h ( i x ) 一2 is i n h ( i x ) ) + 2 e 一2 矿。 = 鬲磊 j ( ( m 2 丌2 + 1 ) s i n ( m 丌z ) + m 丌c o s ( m 丌z ) 一m 7 r e ( 砌2 - 1 ) ( c 。s h ( i z ) 一2 汹n h ( i z ) ) ) ( 3 4 6 ) ( 3 4 7 ) ( 3 4 8 ) ( 3 4 9 ) ( 3 4 1 0 ) ( 3 4 1 1 ) 由( 3 4 1 0 ) ，( 3 4 1 1 ) 可以很明显地看出，当t 趋于无穷大时，x ( t ) 和u ( x ，t ) 指 数趋于零 3 4 2 观测器，输出反馈控制器及闭环系统的解 首先 0 7 ( o ) = c o t h1 ，o ( x ) = c o t h1s i n hx c o s h x 西南大学硕士学位论文 第3 4 章例子 然后取p o = 2t a n h1 ，则b a c k s t e p p i n g 观测器为 x ( t ) = x ( t ) + u z ( o ，t ) + 2 t a n hl ( u z ( 0 ，t ) 一色z ( o ，) ) 色t ( z ，t ) = k ( z ，t ) + 2 ( s i n hx t a n h1c o s hz ) ( i t 霉( o ，t ) 一砬z ( o ，t ) ) 也( o ，t ) = 一x ( t ) ，1 砬( 1 ，t ) = ( 1 一可) 砬( 可，t ) d y + 圣( 1 ) x ( t ) j 0 取观测器的初始条件为砬( z ，0 ) = 0 ，2 ( 0 ) = 0 并且按照3 5 1 中寻找闭环系统的解 的步骤，可以得到误差系统的显式解为 又( t ) = 一l o e - t + 4t a n h 1e m ，t t 了e - r n 2 a 2 t 1 - e ( m r 2 - ) t ) 风( 3 4 - 1 2 ) 豇( z ，t ) = l o e ( c o s hx c o t h 1s i n hx ) + 2 e 。仇2 施风 ( 3 4 1 3 ) m = l 其中 豇m = 一1 0 鼎+ 5 c o i s ( m 7 i - ) = s i n ( m 丌卅，2 翥( t a n h 1 c o s hx - - s i n h z ) ( e ( m r 2 - 1 ) t _ 1 ) 由( 3 4 1 2 ) 和( 3 4 1 3 ) , - ir a 看出，误差系统达到指数稳定 西南大学硕士学位论文 第4 章偏微分方程与常微分方程的耦合时滞系统控制 第4 章偏微分方程与常微分方程的耦合时滞系统