（应用数学专业论文）不确定环境下几种新式期权的定价问题.pdf

孛支撩要 摘要 期权是一种有效的套期保值和风险管理的工具新式期权是由标准期权变化、组合、 派生出来的准确地为期权定价是其功能发挥的基础期权的价格受到许多因素的影响一 方面，由于客观原因的干扰，有些变量并不能由精确的数据估计，更何况在观测和统计中也 难免会产生误差；另一方面，人们在进行市场投资时，都会不自觉地带上自身的主观判断， 从而影响市场由于新式期权比标准期权复杂，所以使得新式期权的定价问题也就更加复 杂 正是基于上面的认识，论文在传统的期权定价方法的基础上，分析了已有方法中不全面 的地方，发现实际的定价问题往往是在随机性和模糊性共同作用的不确定环境下产生的 在假设原生资产的价格服从几何标准过程的基础上，从2 0 0 9 年l i u 提出的不确定环境下欧式 看涨和看跌期权定价公式出发，综合地运用不确定理论的相关知识，得到了一些相对来说 比较容易操作的几种新式期权的定价公式通过使用m a t l a b 程序，验证了这些结果对金 融实践具有一定的指导意义 文章结构如下：首先综述了期权定价理论的起源、发展及其模型方法等内容；其次介 绍了不确定理论的相关知识；以下部分都假设原生资产的价格服从几何标准过程第三章 得到了不确定环境下彩虹期权收益函数的价值表达式：第四章讨论了不确定环境下障碍期 权的定价并且给了几个例子；文章最后研究了不确定环境下几种价差策略( 牛市价差，熊市 价差，蝶状价差) 的期望收益问题并且给了几个算例 关键词：不确定理论，期权定价，新式期权，彩虹期权，障碍期权，价差期权组合策略 第1 页 上海师范大学硕十论文 a b s t r a c t o p t i o ni sa ne f f e c t i v et o o lf o rh e d g i n ga n da v o i d i n gr i s k n e wo p t i o n sa r ed e r i v e df r o m s t a n d a r do p t i o n s c o r r e c t l yo p t i o np r i c i n gi st h eb a s i so ft a k i n go ni t sf u n c t i o n t h ep r i c eo f a no p t i o ni si n f l u e n c e db ym a n ya s p e c t s o nt h eo n eh a n d ，d u et ob e i n gd i s t u r b e db yo b j e c t i v e f a c t o r s ，s o m ev a r i a b l e sc a l ln o tb ea c c u r a t e l ye s t i m a t e db yd a t a ，a n ds o m ed a t ab yt h eo b s e r v a t i o n a n ds t a t i s t i c sw i l li n e v i t a b l yp r o d u c ee r r o r s ；o nt h eo t h e rh a n d ，p e o p l ea r ea l w a y sw i t hs u b j e c t i v e j u d g m e n tw h e nt l l e ) rw i l li n v e s t b e c a u s en e wo p t i o n sa r em o r ec o m p l i c a t e dt h a ns t a n d a r do p t i o n s ， t h en e wo p t i o n sp r i c i n gp r o b l e ma l em u c hm o r ec o m p l e xt h a ns t a n d a r do p t i o n s b a s e do nt h et r a d i t i o n a lo p t i o np r i c i n gm e t h o d s ，t h i sp a p e ra n a l y z e st h ee x i s t e n tm e t h o d sa r e n o ta l l i n c l u s i v e ，a n dw ed i s c o v e rt h a tt h ep r a c t i c a lo p t i o np r i c i n gp r o b l e mi sa l w a y sa c c o m p a n i e d b yt h er a n d o m n e s sa n df u z z i n e s s i n2 0 0 9 ，e u r o p e a nc a l la n dp u to p t i o np r i c i n gf o r m u l a su n d e r u n c e r t a i ne n v i r o n m e n ta r ep r o p o s e db yl i u c o m p r e h e n s i v e l ya p p l y i n gr e l a t i v ek n o w l e d g eo f u n c e r t a i n t yt h e o r y , o nt h eb a s i so ft h ea s s u m p t i o nt h ep r i c eo fu n d e r l y i n ga s s e t sf o l l o w sg e o m e t r i c c a n o n i c a lp r o c e s s ，t h i sp a p e rg e t ss o m ee a s yt ou s er e s u l t sf o ri n v e s t o r s b yu s i n go ft h em a t l a b p r o g r a m s ，w ev e r i f yt h e s er e s u l t sm a yp r o v i d es o m er e f e r e n c ev a l u e sf o ri n v e s t o r s t h i sp a p e ri ss t r u c t u r e da sf o l l o w s ：f i r s t ，w es u m m a r i z et h eo r i g i n ，d e v e l o p m e n t ，m o d e l sa n d m e t h o d so f t r a d i t i o n a lo p t i o np r i c i n gt h e o r y t h es e c o n dc h a p t e ri n t r o d u c e st h er e l a t i v ek n o w l e d g e o fu n c e r t a i n t yt h e o r y t h ef o l l o w i n gs e c t i o n sa s s u m et h a tt h ep r i c eo fu n d e r l y i n ga s s e t sf o l l o w s g e o m e t r i cc a n o n i c a lp r o c e s s c h a p t e r g e t st h ep r i c i n ge x p r e s s i o n so fr a i n b o wo p t i o n su n d e r u n c e r t a i ne n v i r o n m e n t i nc h a p t e ri v , t h eb a r r i e ro p t i o n sp r i c i n gu n d e ru n c e r t a i ne n v i r o n m e n ta r e d i s c u s s e d ；i nt h ee n d ，w es t u d ys e v e r a lk i n d so fs p r e a d s ( b u l ls p r e a d s ，b e a rs p r e a d s ，b u t t e r f l y s h a p e ds p r e a d ) a n dg i v es o m ee x a m p l e s k e yw o r d s ：u n c e r t a i n t yt h e o r y , o p t i o np r i c i n g ，n e wo p t i o n s ，r a i n b o wo p t i o n s ，b a r r i e ro p - t i o n s ，s p r e a d s 第1 i 页 论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作所取得的 成果尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含任何他人享 有著作权的内容对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以 明确方式标明 签名： 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交 论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影 印、缩印或其他复制手段保存论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名：乏基叠渔 e l 期：区芝l 上江一 导师签名： 日期： 第一章前畜 第一章前言 1 1 期权的简单介绍 期权就是指这样一种选择权，其持有者在确定的时间，按确定的价格向出售方购( 销) 一 定数量和质量的原生资产，但不必承担购入或( 销售) 的义务它是衍生证券的一种期权的 历史由来已久，1 7 世纪晚期，在荷兰的阿姆斯特丹股票交易所就己经有了期权这种形式的 证券交易但期权的发展最快的阶段还是最近几十年现在期权已成为国际金融市场中不 可或缺的交易产品，且品种越来越丰富作为一种风险管理和套期保值的有效手段，它的作 用主要表现为以下几点：可分散投资者的投资风险，增加市场的投资渠道，完善市场功能 虽然期权1 9 7 3 年才正式开始在美国芝加哥期权交易所交易，但当时几乎没有人能够预料到 在其后的三十几年中，它会对财务金融理论带来如此巨大的影响和冲击今天，期权市场已 成为全球金融市场的一个重要组成部分 按照所赋予的权利不同，期权可分为看涨期权( c a l i lo p t i o n ) 和看跌期权( p u to p t i o n ) ；按照 执行时间的不同，期权又可分为欧式期权( e u r o p e a no p t i o n s ) 和美式期权( a m e r i c a no p t i o n s ) 随着期权产品形式的演变，目前交易的期权产品，特别是场外交易的期权产品已不再 仅仅是标准化的欧式期权和美式期权国际金融衍生品市场已经涌现出大量由标准期权变 化、组合、派生出来的新式期权，如障碍期权、亚式期权、回望期权、彩红期权、两值期 权、一篮子期权等，这些新式期权的出现不仅繁荣了衍生证券市场，同时也促进了期权定 价理论的完善与发展另外，期权的魅力还进一步体现在：任何投资者都能根据自身对市场 的预期和对风险的偏好，利用不同执行价格、不同期限和不同头寸的看涨期权和看跌期权， 构造出灵活多样的期权组合交易策略由于早期期权及其它衍生产品较少，可供投资者选 择的投资策略也就极其有限随着期权的发展，可供选择的投资策略也大大增加这些策略 可以满足不同的市场观点和需求从而更加精细地匹配投资者对市场预期的细微差别，使 投资者在各种市场状况下都有风险收益方案可供选择一般交易策略有买入看涨期权、看 跌期权和卖出看涨期权、看跌期权而牛市价差、熊市价差、蝶状价差、跨式期权等，都 已经成为经典的期权组合策略 1 2 传统期权定价的主要理论与方法 从2 0 世纪开始，美国纽约一直是世界的金融中心，而华尔街则是美国金融的大本营在 金融发展史上，曾有两次被称为“华尔街革命”的事件一次是1 9 5 2 年m a r k o w i t z 3 0 提出 的证券投资组合选择理论：另一次则是1 9 7 3 年b l a c k 和s c h o l e s 1 8 所提出的期权定价理论 这两次“革命”无一例外都与金融资产定价理论有关，可见资产定价理论对于金融学的重 要性期权定价的产生和不断完善推动了金融衍生产品的开发和设计，降低了交易成本，扩 第1 页 上海师范大学硕十论文 展了风险共担的机会，促进了金融市场的完备，进一步提高了市场的流动性，彻底变革了全 球的金融市场期权定价的方法则已被广泛应用到许多金融领域甚至非金融领域，包括各 种衍生证券定价、企业价值评估、公司投资决策等学术领域内的重大进步推动了金融部 门的发展，期权定价的技巧对产生全球化的金融产品和金融市场作用巨大 由于布朗运动无规则且有连续性的特点与股票市场较吻合，b a c h e l i e r 1 6 在1 9 0 0 年把它 引入到金融里面来，后来就引起了学者们的广泛注意1 9 6 5 年，s a m u e l s o n 3 8 提出了用几 何布朗运动来模拟股票价格巧合的是，和期权正式开始在交易所交易同一年，即1 9 7 3 年， b l a c k 和s c h o l e s 1 8 、m e t r o n 3 2 在s a m u e l s o n 3 7 ，3 8 及其他前人工作的基础上，通过使用随 机分析和一个等价论证，提出了用偏微分方程对期权进行定价的理论，这被认为是随机数 理金融发展的一个里程碑b l a c k s c h o l e s 定价模型指出，在一定条件下，人的集合行为是满 足一定数学规律的这一论断打破了传统的“人的行为无法定量描述”的旧观念运用现 代计算机技术，通过数学的定量分析，不仅使投资者可更好地控制自身交易的风险，更为管 理层进行风险管理、减小整个市场的风险提供了可能但是此方法不足之处在于它难以处 理期权价格依赖于状态变量历史路径及其它的一些较复杂的情况 1 9 7 9 年，c o x ，r o s s 和r u b i n s t e i n 1 9 给出了二叉树期权定价模型( b i n o m i a lo p t i o np r i c i n g m o d e l ，c r r ) ，其成果被视为离散期权建模的里程碑由于c r r 方法简单直观，已成为解 释b s 模型的有力辅助工具同时，h a r r i s o n 和k r e p s 提出了多时段的鞅方法和套利1 9 8 1 年， h a r r i s o n 和p l i s k a 又提出了等价鞅测度此外，还有蒙特卡罗模拟方法、有限差分方法、区 间定价方法、确定性套利方法、e 一套利定价方法等 1 3 不确环境下的期权定价 在现实生活中，由于信息不完全等原因，人们对未来状况的估计总是带有不确定因素 的，从而基于个人主观判断或个人风险偏好的决策制定、项目评估的结果就会存在差异 尤其在为股票期权定价时，股票价格运动的不确定性使得投资者制定决策显得较为困难 例如在二叉树定价模型的发展过程中，人们虽然已在其中加入许多现实因素，如股票在期 权执行期间发放红利或股价发生崩盘等，但对股价运动的不确定性却一直没有很好的方法 来进行描述 传统的期权定价的不确定性主要通过随机性来刻画( 即假定股票价格遵循几何布朗运 动) ，但事实上，总有一些不确定性因素无法仅仅利用随机理论来表示比如说到股票价格 的确定，并不能完全用随机性来解释不同于随机性，模糊性是现实世界的一类主观不确 定性z a d e h 4 2 在1 9 6 5 年用隶属度函数定义了模糊集为了发展一套类似于概率论的公理 系统，2 0 0 2 年l i u 和l i u 2 9 提出了可信性测度的概念，为模糊理论提供了更为基础和广泛的 数学支持2 0 0 4 年，l i u 2 7 给出了完善的研究模糊性的公理体系，称之为可信性理论为了 处理随时间变化的动态模糊现象，l i u 2 4 1 2 0 0 8 年提出了l i u 过程、l i u 方程和l i u 积分的概 念，它们分别类似于布朗运动、i t 6 方程和i t 6 积分l i u 假定股票价格遵从几何l i u 过程对应 第2 页 第一章前富 于b l a c k - s c h o l e s 股票模型，l i u 2 4 提出了模糊金融市场的基本模型p e n g 3 3 ，q i n 和l i 3 5 ， g a o 和g a o 2 1 ，y o u 4 1 等分别对该基本模型进行了推广或更深入的研究 但是，现实世界的诸多现象既不完全是随机的也不完全是模糊的为了处理这种复杂 的不确定性，2 0 0 7 年，l i u 2 7 提出了基于规范性，单增性，自对偶性，可列次可加性，乘积测 度公理之上的不确定理论在此基础上，2 0 0 9 年，l i u 2 5 1 又定义了不确定过程和不确定微分 方程不确定过程本质上是一族与时间或空间有关的不确定变量不确定微分方程是由标 准过程驱动的一种微分方程不确定环境下的标准过程和几何标准过程是分别类似于布朗 运动和几何布朗运动的非常重要的不确定过程l i u 假定股票价格遵从几何标准过程对应 于b l a c k - s c h o l e s 股票模型，l i u 2 5 又提出了不确定金融市场的基本模型并给出了不确定环 境下欧式看涨和看跌期权的定价公式，它们的提出为求解不确定事件提供了一门新型的数 学工具，为金融期权定价的发展又指出了一个方向 我们知道，在金融市场中，广泛使用方差或均方差来衡量风险大小衡量风险潜在损失 的最重要的方法就是确定风险的分布这也是当前项目投资风险管理最常用的方法之一 在本文中尝试用不确定分布去对几种新式期权进行定价，借助不确定理论这门新型的数学 工具，试图得到更好的或对金融实践具有指导意义并且易于操作的方法与结论 1 4 本文主要解决的问题 本文要解决的问题主要有以下三个部分：论文在不确定理论的框架下，通过假定股票 价格遵从几何标准过程，研究在不确定环境下几种新式期权的定价问题即改变传统期权 定价理论的输入数据都是随机或模糊的情况，将既不完全是随机的也不完全是模糊的不确 定性引入到股票价格里面，证明了基于不确定理论的几种新式期权的定价公式 ( 一) 彩虹期权是一种非常重要的多资产欧式期权本文通过运用l i u 2 5 给出的期权 定价模型及公式，得到了不确定环境下彩虹期权的收益表达式 ( 二) 障碍期权是最重要的一种弱路径依赖期权，由于它要比普通欧式期权价格便宜， 因此受到市场交易者的青睐，被广泛的用来进行风险管理本文通过改变以往用特征函数 定价的方式，运用不确定理论重新对其进行定价，并且得到了不确定环境下障碍期权的价 值表达式 ( 三) 期权组合策略非常多，其中价差期权组合( s p r e a d s ) 就是比较重要的一种策略本 文通过l i u 2 5 给出的不确定分布，得到了不确定环境下几种价差策略的期望收益 第3 页 上海师范大学硕士论文 第二章不确定理论的相关知识 2 0 0 7 年，l i u 2 8 提出了不确定测度，后来形成了基于不确定测度的完备公理化体系的 不确定理论2 0 0 9 年，l i u 2 5 又提出了不确定过程、不确定微分方程、不确定股票模型及 不确定环境下欧式期权定价公式等知识，这为研究不确定环境下新式期权的定价打下了一 定的基础 2 1 不确定理论与不确定过程的几个基本概念 设有非空集r ，c 是由r 的一些子集生成的盯代数中的元素称为事件下面介绍不确 定理论的公理化体系，为了介绍它，l i u 2 8 首先定义了集函数：对每个事件a ，规定一个非负 数朋 a ) 为了保证这个函数a c l a 具有人们直观上期望具备的某些数学性质，l i u 2 8 考虑 了下面四条公理： 公理1 ) 朋满足规范性，即：朋 r ) = l ； 公理2 ) m 是单调递增的，即：当a 2da 1 时，有m 人2 ) m a 1 ) ； 公理3 ) 朋满足自对偶性，即：对任意事件a ，有m a ) _ 卜m a 。) = 1 ； 公理4 ) 朋是可数次可加的，即：对任意可数个事件 凡) ，有m u 几 m 凡) l i = 1ji = 1 如果集函数朋满足上面的四条公理，就称其为不确定测度。称三元组( r ，c ，朋) 为不确 定空问【2 8 】 一个不确定变量就是从不确定空间( r ，c ，朋) 到实数集的一个可测函数 定义1 【2 7 】设是一个不确定变量，则其不确定分布圣：跪一【0 ，l 】为 圣( z ) = 朋 z ) ( 2 - 1 ) 定义2 【2 7 】假设下式右端两个积分至少有一个是有限的，则不确定变量f 的期望值定义 为： 1 + o ot o e 睦】= 朋 r d r 一 m f r d r ( 2 2 ) 设f 是具有不确定分布圣的不确定变量，如果期望值e 阁存在，则上式可以改写为： e 悖】= ( 1 一圣( z ) ) d z 一 圣( z ) d z ( 2 3 ) - ，o j 一 定理l 【2 7 】设是一个取值于 z 1 ，z 2 ，a ；m ) 的不确定变量，并且z l z 2 血 = e x p c r t ，z m x 。e x p ( e t 亡+ 姜c ：t ) 一托z ) 血 = e x p ( - r t ) f o m 五。唧( e t t + 姜q + z ) 血 = x , o e x p ( - r t ) f 五k , 。朋 e 砷( e + 薹q t ) u ) 毗 瑙o e x “- r 侄一1 弛 注4 在极大看涨期权中若取k = 凰= = ，则收益函数简化为： ( m a x ( x l t ，岛? ，) 厶t ) 一k ) + 例1 ：以两支股票为例假设其中一支股票目前卖出价格x 1 0 = 2 5 ，股票漂移率e 是0 0 7 ， 扩散系数向量盯1 为( 0 2 0 ，0 3 0 ，o 2 0 ) ；另一支股票目前卖出价格x 2 0 = 2 6 ，股票漂移 率e 是0 0 6 ，扩散系数向量c r 2 为( 0 3 0 ，0 2 0 ，o 1 0 ) 下面将计算半年到期且有相同敲定价 格k = 3 0 的极大看涨期权的期望收益 为了计算这个收益，可以设计下面的m a t l a b 程序： s y m s x ： y - ( 2 5 , e x p ( 0 0 7 , 0 5 0 ) ( i + e x p ( p i * ( 1 0 9 ( x ) 一0 0 7 * 0 5 0 ) ( s q r t ( 3 ) , o 7 0 , 0 5 0 ) ) ) ) f l = q u a d ( y , 3 0 2 5 ，l o o ) 第8 页 第三章不磺笺环境下彩虹期扳定徐 s y m s x ； y = ( 2 5 , e x p ( 一0 0 6 , 0 5 0 ) ( 1 + e x p ( p i , ( 1 0 9 ( x ) - 0 0 6 , 0 5 0 ) ( s q r t ( 3 ) , 0 0 6 , 0 5 0 ) ) ) ) f 2 = q u a d ( y 3 0 2 5 ，l o o ) 计算结果表明f l = 2 7 0 7 0 ，f 2 = 2 4 0 3 3 ，所以此极大看涨期权的收益为2 7 0 7 0 注5 ：与极大看涨期权相对应，可以考虑在到期日极小看跌期权的收益，其收益函数为： m i n ( 五t 一致) + ，( 砀一鲍) + ，( t 一珞) + ) ，由模型( 2 8 ) 及公式( 2 q 0 ) 可知其中： = e x p c r t ，e ( 匠一x 。e ，叩( 龟t + 耋c 幺) ) + 】 = e x p c r t ，z a 彳 血 = 唧c 一哪，耋朋 毗 = 砾x p ( - 田瓦 1 + e x p z r ( e i v 5 t l n u 、 m 丁 j = l d u 注6 ：在极小看跌期权中，若取k = 冠= = ，则收益函数简化为：( k m i n ( x l t ，x z r ，r ) ) + 例2 ：以两支股票为例假设其中一支股票目前卖出价格x x o = 3 0 ，股票漂移率e 是0 0 7 ， 扩散系数向量口l 为( 0 2 0 ，0 3 0 ，0 2 5 ) ；另一支股票目前卖出价格x 2 0 = 2 8 ，股票漂移 率e 是0 0 6 ，扩散系数向量c r 2 为( 0 3 0 ，0 2 0 ，0 1 5 ) 下面将计算半年到期且有相同敲定价 格k = 2 5 的极小看跌期权的期望收益 通过设计下面的m a t l a b 程序可以近似计算这个收益： s y m s x ； y = ( 3 0 , e x p ( 一0 0 7 , 0 5 0 ) ( 1 + e x p ( p i , ( 0 0 7 , 0 5 0 l o g ( x ) ) ( s q r t ( 3 ) , 0 7 5 , 0 5 0 ) ) ) ) f 1 = q u a d ( y 0 2 5 3 0 ) s y m s x ； 第9 页 上海师范大学硕士论文 y - ( 2 8 , e x p ( 一0 0 6 , 0 5 0 ) ( 1 + e x p ( p i , ( o 0 6 , 0 5 0 - l o g ( x ) ) ( s q r t ( 3 ) , o 6 5 , 0 5 0 ) ) ) ) f 2 = q u a d ( y , o ，2 5 2 8 ) 计算结果表明f l = 1 2 2 1 9 ，f 2 = 1 3 4 6 7 ，所以此极小看跌期权的收益为1 2 2 1 9 公式表明：任何彩虹期权的收益函数均有价值表达式，但如果标的资产的个数比较多， 这时扩散系数向量的确定将是很困难的因此，对于彩虹期权，存在价值表达式只是处理问 题的第一步，如要解决问题还需有针对地作具体分析，找到有效可行的简化方法 第1 0 页 孳疆章不确窀环境下簿礴韵坟定价 第四章不确定环境下障碍期权定价 本部分研究一种弱路径依赖期权( w e a k l yp a t h d e p e n d e n to p t i o n s ) ，即期权的最终收益与 在期权有效期内原生资产是否达到某个( 或几个) 合约规定的水平有关，其中最重要的一种 是障碍期权所谓障碍期权是指在其生效过程中受到一定限制的期权，其目的是把投资者 的收益或损失控制在一定范围之内在金融市场上障碍期权是一类相当普遍的期权，投资 人购买这类期权的原因是：相对于标准欧式期权来说，它们更便宜且无需冒大的风险按 照原生资产到达规定水平后的状态，障碍期权可以分成两大类一类足敲出期权，这类期权 的特点是：当原生资产价格达到一个特定的水平时，期权终止有效如果在效期内原生资 产价格大于这个水平时，那么称为下降敲出期权；如果在效期内原生资产价格小于这个水 平时，那么称为上升敲出期权另一类是敲入期权，这类期权的特点是：当原生资产价格到 达一个特定的水平时，期权开始有效同样根据期权价格与这个水平之间的关系，可分为下 降敲入期权和上升敲入期权两种由于每种欧式期权又可分为看涨和看跌两种，所以最终 可以把障碍期权分成8 种形式m e r t o n 3 2 1 在1 9 7 3 年首次提出了下降敲出期权的解析定价公 式，r e i n e r 和r u b i n s t e i n 【3 6 1 后来陆续补充了其它类型欧式障碍期权的定价公式 本部分主要是通过改变传统障碍期权定义的方式，把取值只能为0 或l 的特征函数推广 为一个取值在【o ，l 】区间内的不确定测度，当股票价格触及上下障碍价格时，分别给予期权 合同规定的收益，期权终止此时期权的特点是：股价上涨、期权最终收益不会高于合同规 定的期权收益，有利于遏制分配性行为动机；当股价跌进下障碍价格时，仍能获得适当的回 报，有利于调动投资者的积极性，同时也可避免重新定价的麻烦 4 1 敲出障碍期权 4 1 1 上升的敲出看涨障碍期权 有敲定价格k 和到期时间t 的上升的敲出看涨障碍期权价格定义为： f = e e x p ( 一r 丁) ( 硌一k ) + 】朋 擢笛k 。) ， ( 禾1 ) 这里q 是敲出障碍 定理4 ：假定五和k 满足不确定股票模型( 2 7 ) 刻画的价格动态方程，则上升的敲出障碍 期权的定价公式如下： 础晌t ，m 躐垤 第1 1 页 焉砖( t r ( 1 n x 蓊- e t ) 、n 件2 ， 上海师范大学硕十论文 e e x p ( 一r t ) ( y t k ) + 】朋憾m a x 。n = e x p ( 一r t ) m 。m a o 佃m k e x p ( e t + a ) 一k z ) 妇 幽x p ( 川) m 踌m 。卜廖忡x p ( e m 国胁) 毗 蜥x p ( 川) 朋 l n 小乱 幽x p ( 川) 朋如悸一乩 例3 ：假定一支股票目前卖出价格k = 3 5 ，目前每个季度的无风险利率r 是0 0 8 ，股票漂 移率e 是o 0 6 ，扩散系数盯是o 3 0 障碍水平n 是3 8 假定。m ( 。a x t y t 口等价于礓o 下面将 计算半年到期的有敲定价格k = 4 0 的上升的敲出看涨障碍期权的价格 s y l n s x ； y = ( ( 3 5 , e x p ( 一0 0 8 , 0 5 0 ) ( 1 + e x p ( ( p i 宰( 1 0 9 ( x ) 一0 0 6 * 0 5 0 ) ) j ( s q r t ( 3 ) 卑o 3 0 , 0 5 0 ) ) ) ) 木( 1 一( 1 以1 + e x p ( p i , ( 1 0 9 ( 3 8 3 5 ) 0 0 6 , 0 2 5 ) ( s q r t ( 3 ) , o 3 0 , 0 2 5 ) ) ) ) ”； f = q u a d ( y , 4 0 3 5 1 0 0 ) 计算结果表明f = 0 7 3 2 3 ，即此看涨期权的价格大约是7 3 分 4 1 2 上升的敲出看跌障碍期权 有敲定价格k 和到期时间t 的上升的敲出看跌障碍期权价格定义为： f = e e x p ( 一因( k 一埒) + 】mf l 。m 蜓a x t y t ，件3 ) 这里a 是敲出障碍 定理5 ：假定五和k 满足不确定股票模型( 2 7 ) 刻画的价格动态方程，则上升的敲出看跌 障碍期权的定价公式如下： d z ( 4 4 ) k 一 厂厶 页 一， 眩 n 曾口 9 第 k 踌 mt叫 以 饮 = 孳疆章不确窀环境下簿礴韵坟定价 证明： e e x p ( 一r t ) ( k 一硌) + 】m 路k 。) = e x p ( - r t ) m = e x p ( - r t lm 。卜f ( k 一p ( e t + a + 。) o 佃z 4 k 一脚( e t + a 国胁) 血 k 幽x p ( 川) m ， 件5 ) 这里a 是敲出障碍 定理6 ：假定五和k 满足不确定股票模型( 2 7 ) 刻画的价格动态方程，则下降的敲出障碍 期权的定价公式如下： ，蜥x p ( - 删m 恐k n ) 应y o o l + e x l p 杀v g e t 如件6 ， 一 口)o巧一(rc(et-lnx)n(4-8) 例6 ：假定一支股票目前卖出价格y o = 4 0 ，目前每个季度的无风险利率7 是0 0 8 ，股票漂 移率e 是o 0 6 ，扩散系数口是o 3 0 障碍水平。是3 8 假定授嚼m 口等价于疆口下面将 计算半年到期的有敲定价格k = 3 5 的下降的敲出看跌障碍期权的价格 要计算这个障碍期权价格，可以设计下面的i v i a t l a b 程序： s f m s x ； y = ( ( 4 0 , e x p ( 一0 0 8 , 0 5 0 ) ( 1 + e x p ( p i , ( o 0 6 , 0 5 0 一l o g ( x ) ) ( s q r t ( 3 ) , 0 3 0 , 0 5 0 ) ) ) ) 宰( 1 ( 1 + e x p ( p i , ( 1 0 9 ( 3 8 4 0 ) 一0 0 6 * 0 2 5 ) ( s q r t ( 3 ) , 0 3 0 , 0 2 5 ) ) ) ) ) ； f = q u a d ( y , 0 ，3 5 4 0 ) 计算结果表明f = 0 1 6 6 7 ，即此看涨期权的价格大约是1 7 分 第1 4 页 孳疆章不确窀环境下簿礴韵坟定价 4 2 敲入障碍期权 4 2 1 上升的敲入看涨障碍期权 有敲定价格k 和到期时间丁的上升的敲出看涨障碍期权价格定义为： r、 ，= e e x p ( 叫t ) ( y t k ) + 】m 憾m a x t y t 。 ，( 4 - 9 ) 这里a 是敲入障碍 定理8 ：假定五和k 满足不