（概率论与数理统计专业论文）基于black—scholes模型的双指数跳扩散模型的期权定价.pdf

墓予8 l a e k s h o l e s 模型夔双豢数跷扩教模懋茨麓投定徐 摘要 在金融学中，未定权黥的定价问题直是一个研究的热点，尽镣基于b r d w n 运动帮正态分布数s l a e k s e h o l e s 煞金融簿生兹夔宠徐公式毫经敬褥臣丈豹簌 功。但是却有些特征与经验事实不符。艇体来说b j a c k s c h 0 1 e s 公式回报率的 对数正态性与实际回报率的蛱峰后尾性不相符，波动率的常数假设与实际不相符 等等。 围绕b l a c k s c h o l e s 公式进行推广目前学术界主要有两种途径，一是允许 波动率是随机的；二是引入随机跳。 本文主要程毒薯论8 l a c k s e h o l e s 程疑砼串性条襻下瓣求解，露在蘧基碹上 引入双指数跳过程，运用鞅论和随机分析的知识，给出欧式看涨期权在风险中性 条件下的闭式解。并且在理论的基础上联系于f o u r i e r 变换，把欧式看涨期权的 定价霹遥转纯凳求f o u r i e r 交浃帮遂变羧豹阔题，为潮敖定价懿瘸离敬f o u r i e r 变换和最快f o u r i e r ( f f t ) 变换来求数德解提供理论支持。最后用f o u r i e r 变 换把期权定价推广到标的资产是随机波动率跳模型的情况。 关键字：未定权盏；跳扩散模型；期权定挽；鞅；随机积分；f o u r i e r 变换 基于b l a c k s c h o l e s 模型的双指数跳扩散模型的期权定价 a b s t e r a c t af i n a n c i a ld e r i v a t i v eo rac o n t 如卫e mc l a i mo nt h ca s s e ti sac o n t r a c tt h a ta l l o w s p u r c h a s eo rs a l eo ft h i sa s s e ti nt h ef u t u r eo nt e n n st h a ta r es p e c i f i e di i it h ec o n t r a c t a no p t i o no ns t o c ki sa ne x a m p l e h o wt op r k ec o n t i 玎g e n tc l a i mi sas t u d d i n gh o t s p o i i nf i n a n c e b r o w n i a nm o t i o na n dn o r m a ld j s t r i b u t i o nh a v ew j d e l vu s e di nt h eb l a c k s c h o l e s o p t i o n p r i c i n g 仃a m e w o r kt om o d e lt h er e t u mo fa s s e t s h o w e v c r t h e r ea r et w o e m p i r i c a lf e a t u f c s ：t h ek p t o k u n i cf e a t u i et h a tt 峙r e t u r nd 酞r i b u t 0 no fa s s e t sm a y h a v eah j g h e rt a i l st h o s eo fl b en o r m a ld i s 童l 曲u t i o n ，a n da i le m p j r j c a ip h e n o m e n o n c a l l e d ”v o l a t i l i t ys m i l e ”i no p t i o nm a r k e t s t h o s cf c a t u r e sa r ei n c o n s i s t e tw j t h b l a c k s c h o l e sm o d e l i no r d e rt o 窟e n e r a l i z et h cb l a c k - s c l o l e si d e lt h e f ea r et w ow a y si l lt h ei i t e f a t u r e s 0f ht l l ef i r s to n ea s s u m e st h ev o l a t i l i t yf o l l o w sas t o c h 硒t j cp r o c c s s 伯eo t h c ro n e i m r o d u c e sj u m p si n t ot h ef e t u mp r o c e s s t b i sp a p e rd i s c u s st h ep r o b l e mo fo p t j o n p r i c i l l go nb i a c k s c h o l e sm o d e lj l lr i s k n e u l r a lv a l u a t i o n w 毫f i r s ti m r o d u c ci u m p s i n t ot h eb l a c k s c h o l e sr e t u mp m c c s s b yr e s o no fs t o c h a s t i cc a l c u l u s 柚dm a r t i n g a l e t h e o r v ，w eo b l a i nt h ec 1 0 s c d - f o r ms 0 1 u t i o no fe u m p e 卸c a i lo p l i o n a t h eh s t6 h a p t e ro ft h ep a p e r ，iu s ean e wt e c h n i q u et od 盯j v cac l o s e d f o r m s o l u t i o 幻rt h ep r i c co fae u r o p e 锄c a l lo p t i o no na na s tw j t hj u m p d m s i o nm o d e l ， a i l de m e n dt h i sm e a s u r et oa s s c tw i t hs t o c h a s t i cv o l a t i l i t yp r o c c 鲻a n daj u m pp r o c e s s k e yw o r d ：c o n t 吨e n tc h i i l l s ；j u m p - d i f ! e i i s i o m o d e l ；o p t i o np r i c i i l g ；m 心g a l e ； s t o c h a s t i cc a l c u l u s ：f o u r i c rt r a 璐l a t i o n 蘩予瓣8 e k s e h o l 8 s 棱型豹双掺数雾扩散摸掇麴麓投突终 1 1 概迷 第一章引言 被萨缨尔森誉为金融理论”专家中的专家”、站在众多”巨人扁上的巨人”的葵 镢( r o b e r t e m e f l o n ) 曾这样说邋：饶奖静科学不一定怒实蠲蕊，实瑶的辩学象未 必绘入阻荚惑，蔼瑷代念融理论帮兼备了优荚帮蜜爝。确实，这个商度复杂静分 析领域，包含了概率论和随机进程等抽浆数学最究荚的应糟；阐时，崮自“象牙 浴”堡金融学家之手的许多模囊，已经躐正禚实舔靛龛融市场审大藏器彩。露菜 克麓科尔斯( b l a 媛一s c h o l c s ) 麓寝定价公式及其变澎静应翊，蠹渡催生了数豢越 来越多、丰句造越来越复杂的金融衍生产赭，造就了稿前金融衍生市场的繁荣和不 断倒新。爆管牮尔街还有一些诞券入士瑟瑟意稻嵇蠡基对市场的经验稻感觉，霹 为没有出现个t 谴翻共赚不雅酶璃论，筐今天没有入铎疑，那些手捧诺贝尔经 济学奖证书的学儒，破在蠢接或间按地改变市场内追逐翻盏的瓣则。 其实，躐”优美8 又”交用的蕊代金融璃论蓟今天也廷有半个谶纪的发簇蕊 史。尽管举在1 9 年，法毽人l 薯侩秘埃( l o u i sb 8 e h e l i e r ) 在篇关予金融投 机的论文中，已经开始利用随机过程工黧探索那时尚笼实物的余融衍生资产定价 闷题，但融赫利尔仅魑那个时代的一颗孤廑，霞为在随后的半个毽纪中，谴的论 文鼠是在几个数学家翻物理学家手中流传。2 0 落纪5 0 年代之蘸，会融研究哭不 过熟经济学中非常不勰眼的一个领域，这里仪有一些含混不清的法则和对所观察 到的财务数据的文字俄描述。但进入5 0 年代后，戳数学为基本分牵斥工其、论证 严格的现代金融理论开始出现，并以极其迅猛的速液发展。 马科维茨( h m a r k o w i t z ) 1 9 5 2 年发袭的那篇仅有1 4 砸的论文既是现代资产 组合理论的发端，同时也标志骜现代金融理论的诞生。稍后，箕迪疆阿尼和米勒 ( m o d i g l i a n ia n dm l l e r ，1 9 5 8 ) 絷次应用无套稍原瑾证明了戳饱们名字命名 熬于b 1 a c k s o h o l e s 模型的双指数跳扩散模型的期粳定价 的m m 定理一直到今天，这也许仍然是公司金融理论中最重要的定理。同时，德 奄善( 曲r e u ，1 9 5 9 ) 帮强罗穗i 零滞，1 9 6 4 ) 褥一般筠骜摸鍪 攥广至不确定稳缀济 中，为闷后金融理论的发展提供了袋活而统一的分析框架。 这魑基础性的工作在后来的l o 年内得到了两个重要的发展，其一是，在马 餐维茨缀合瑾论熬鏊镶上，夏普圆h a r p e ，l 筠4 ) 、棒特内( l i n 掘e r ， 满s ) 茅l j 莫 辛( m o s 8 i n ，1 9 6 6 ) 揭示，在市场出清状态( 出清，是指商品可以交换出去使之发 挥效用) ，所有投资者都将选择无风险资产与市场组合证券的线性组合。这样一 来，所鸯凌产豹鹭鬻徐貉酃霹疆霉娥为无疑殓镄努价格与隶璐缀台市徐翡线性形 式。该模型及其定价结果即为著名的潦本资产定价模型( c 九p m ) ，这是会融理论 中第一个可以用计量方法检验的理论模型。同一时期的另一羹臻发展是对孵罗一 德京番疆论懿接广。赫骨雷弗( 班r s 糙e i f e r ，1 9 6 5 ，i 9 6 蛰显幂了麓爹一德奄簧理 论在一些藻本的会融理论问题中的成用，并在一般均衡体系中证明了m m 定理， 第一次将阿罗一德布鲁概架与套利理论联系起来。 7 0 每代是瑷筏金融理论宝库充实褥最使豹辩筑。蓄先，激隧理论褥翻一一- 系 列的发臌，并开始对投资者和共同撼金的投资缀含和资产评储方法产生萤大影 响。在夏蒋一林特内一冀审单期c a 洲撩础上，布蘩兜( b l a e k ，1 9 7 2 ) 对借贷引入限 裁，推静了无风险资产不存在情况下豹c a 翔。萨缪尔森( 1 9 6 筠、鲁宾辫照 ( r u b i n s t e i n ，1 9 7 4 ，1 9 7 6 ) 、克劳斯和利曾伯格( k r a u s a n d l i t z e n b e r g e r ，1 9 7 8 ) 以及布伦南( b r e n n a n ，1 9 7 0 ) 等将马科维茨的静态分辑扩充至离散时闻的多蠲分 拆，褥到了跨期e a 硎。葵顿( 醚e r t o n ，l 6 9 ，挎7 l ，1 9 7 3 匐刘掇供了连续时闻的 c a p m 版本( 称为i c a p m ) 。值得强调的是，奠顿的这些文献不仅是建立了连续时间 内最优资产组合模型；| i 鞋资产定价公式，露且首次将伊藤积分弓l 入经济分板，豳此 开翎了逡续时闯金融分析豹广滴天滤。今天，伊藤积分及其稳荧概念已藏为愈融 理论不w 藏缺的基本分析工具。 另一方露，虽然c a 鞭理论基本上德合计量研究的检验，毽罗尔( r o ll ，1 9 7 7 ) 指出，这麓检验工作濒捡验模型本身的原因对e a 糯的适播拣露所夸大，为j 毙， 罗斯( r o s s ，1 9 7 6 a ) 提出与c a p m 竞争的套利定价理论( a 珂) ，玄完全基于无套利 原理和风殓分教原理，褥到了资产定价与若干相荧经济因素阕的线健关系。a p t 比c a 潮烫其一簸佳朝灵活性，并叠没有e a 确稔验模型所存在静那些问题。a p t 2 基予b 1 8 c k s c h o l e s 模型豹被捂数黟l 扩教模型鹣麓投定价 在聪来豹金融理论发展孛扮演了比e 矗蹦更麓重要鼹角色。 7 0 年代最具革命性意义的事件无疑当数布莱克和斯科尔斯( b l a c ka n d s c h o l e s ，1 9 7 3 ) 推导出简单的斓权定价公式，以及葵顿( 艟e r t o n ，1 9 7 3 b ) 对该定 玲公旅款发展积深恁。尽管卷絮克一期秘零款公式瓣接导邋程掇葵复杂，但它躲 条件非常弱，背詹的基本经济机理仅越无套荆原理。由于期权在复合各种形态的 资产牧益辩有极高的灵活性，布莱克一斯科尔斯公式的应髑范围远不止于期权定 价。几乎职毒形式粒金熬戆生涯券鞋及公司债务等，都霹以瘸奄蘩竞麓科尔骺 公式戚它的变种进行估价。布莱克一斯科尔期公式给金融交易者和银行家在衙生 金融资产的交易中带来了便剩，成为现代金融理论的个照程碑。在这个阶段的 后期，喻鬟森蟊尧霉普聚( a r r i s o na 醐x r e p s ，1 9 7 璐发震了诞券定铃鞍理论 ( t h e o r yo fm a r t i n g a l ep r j c i n g ) ，这个理论在目前也仍然是金融研究的前沿课 题，同时它还对8 0 年代关于市场有效瑕设( 跚h ) 的梭验工作产生了深刻的影响。 鞠年代噬蜃，资产定徐理论和不宠全绩意金融泰场分辑继续发袋。在资产 定价理论方丽，各种概念被统一到阿罗一德稚鲁一般均衡框架下，显得曼为灵活 和适用。这种理论的灵活性对璁解当今金融衍生工熊的飞速发展髭得尤其重要。 鞍定徐骚瑗逐澎褒资产定羧攒型孛占据了巾。鬣饕，达菲秘黄( p u f f l ea n d h u a n g ，1 9 8 5 ) 等在此基础上大犬地推广了布莱克一新季睾尔期模型。 1 2 期权定衙理论的发袋每已窬的研究成采 ，一个欧式股票期权楚给持鸯者的一种投利，面泼鸯义务。这个权利让持有嚣 将来某个确定日期t ，以某个执行价格k 来买卖股票的权利。在这种合约中，其 中最典鍪静楚掰谓欧式髫涨期校的定价。通俗缝说，诧期税就是一份合约，舍约 双方在t = o 霹刻巍定一个执行会约，援定买方在给定豹鲢刻t ( 劐龌爨) 以执 行价格买人瘘方的一份股票，但只有买方有优先权，即在t 时刻买方认为不合适， 就可戳放弃含约。驻然，薷该期权到期，簧| j 该期权静价值( 亦即买方在t 时刻获 盏) 为股票枣馀与鸯 l 簿俊揍蛇差份鲍委部，鄹港设裳投戆徐蠖袭v ，骚紧枣馀澎 s ，执行价格为k ，则y - $ 一k ) + 。这是一种只有到了t 时盎4 才能确定其真正获 基于b 1 a c k s c h o l e s 模型的双指数跳扩散模型的期权定价 益大小的随机变量，称为或有债权或未定权益，一般情形的或有债权的一个重要 用途就是帮助各类投资者在风险迭起的生产和贸易活动中进行套期保值，以回避 风险，它也构成了目前很流行的金融工程的主要数学基础。 既然合约的受益方只有买方，那么买方在t = o 时刻就应付期权金给卖方， 问题是该期权目前应如何定价，换句话说，究竟该付多少钱给卖方爿合理。b 1 a c k 与s c h 0 1 e s 在股票价格的变化是几何b r o w n 运动的假设下，从理论上导出一个随 机微分方程，并在无套利状态下，利用随机分析的技巧，得到了在完全市场中无 股息支付的股票的欧式看涨期权价格的显式解，即所谓的b 1 a c k s c h o e s 2 3 公式。欧式期权是最简单的，一个延伸是美式期权，持有者可以在交割ht 前任 一f l 期执行，在某种意义上讲，期权是避免有股票投资风险的证券。 期权研究的主要问题就是寻找该金融工具的一个公平合理的价格。这个领域 最辉煌、最著名的成果莫过于b l a c k s c h o l e s 公式的创立与发展。经过二十多年 的实践证明，b 1 a c k s c h 0 1 e 期权定价公式与实际基本吻合，m e r t o n 1 7 对该模 型进行了推广。这一成就也使s c h o l e s 和m e r t o n 获得1 9 9 7 年的n o b e l 经济学奖， 而b l a c k 却英年早逝未能获此殊荣，该公式是由b 1 a c k 和s c h o l e s 根据期权定价 规律建立的随机模型，并用i t o 公式推导其满足的偏微分方程。m e r t o n 发展了 这一成果，并推广到带跳情形。k a r a t z a s 1 0 儿1 1 等用严格随机分析的方法，对 连续交易，不带跳的高维一般情形做了深入的研究，他们还用指数鞅和对偶方法 研究了不完全市场效用最大化等问题。在这里不完全市场是指股票数严格小于不 确定随机干扰因素的数目，不确定随机干扰因素是指b r o w n 运动和p o i s s o n 过程 等。现在人们所用市场“完全”和“不完全”的概念一般是 1 1 3 的观点定义 的。在“完全”市场的研究中广泛应用g i r s a n o v 变换来构造风险中性鞅测度， 用鞅表示定理构造投资组合，这种思想方法首先有h a r r i s o n 和k r e p 1 2 提出， 并有h a r r is o n 和p 1 i s k a 1 3 在研究期权定价时迸一步深入。目前，大部分论文 都在研究无套利市场，d u f f i e 和h u a n g 7 证明股票种数必须达到一定的量，才能 保证其价格族有鞅表示性，从而使市场完全。另一方面h a r r i s o n 和k r e p 1 2 于 1 9 7 9 年证明市场无套利等价于存在一个风险中性的鞅测度，在此概率测度下使 得任何财富的贴现价格过程为鞅。风险中性鞅测度的引入在资产定价理论上具有 重大意义，这时期权定价问题就转变为求受益函数在鞅测度下的条件期望。 4 基予8 l a c k s e h o l e s 摸型豹双拯数臻骞l 毅搂黧戆期投定徐 l + 3 本文主簧工作以及论文结构 正如m e r t o n 所说股价的变化分为两种，一种是“通常”的波动，即是有通 辫浆薪痿惠鹣至l 来嚣产生熬股馥戆交化。= _ _ 二是“爰露”瓣震动，这蔻囊子重大信 息的到来而产生的，即有突发性事件或熊它突变而产生。m e r t o n 1 7 ，c o x 和 r o s s 1 4 首先提出带跳的扩散模型。现在已有许多文肇研究这方面的内容，但是 稔贸大多恕雾8 逡覆瓣注悫力集中在p o i s s o n 过程，基蹒鼗遘程是个正态雾遥 程，本文在k o u 2 3 提出双指数跳过程的基础上讨论期权定价，特别是对一类路 径依赖期权的定价，用双指数跳会更方便。 本文蓄笼获讨论8 1 8 e k s e h 。l e s 搂蘩入手，分辨k o u 提窭的竣羚数雾l 扩教 模型；结合f o u r i e r 变换给出标的资产服从跳扩散模擞期权定价的f o u r i e r 变换 公式。最后用f o u r i e r 变换恕期权定价推广到标的资产是随机波动搴跳模型的情 况。 l 。4 硪究工具 研究这个定理的主要数学工具是鞅论和随机分析，盒融学的套利理论等等。 1 5 相关的研究前景 目前，欧斌期权的定价研究比较深入，美式期权的定价研究还没脊取得突破； 程债券撩卖戆定捻方式孛，擎令买方对多拿卖方襄多令兴方薅攀令囊方瓣定份磷 究已经完成，多个卖方对多个买方的定价研究还没有突破。 由于我们没有真的生活在布莱克一斯科尔斯模型所假设的情况中，所以对现 嶷金敲枣场巾豹蘩圭诞券交荔露富，鸯蘩毙一囊辩零耨模藿遣存在蒜婆不严谨 的地方。期权价值经常随着原生资产价格比如股票价格的变化而变化。当股票价 格上升时，买j 拄期权的价值也上升。因此，投资者就必须改变假设的合成期权的 孝奄残，溢镖持与交动孛夔囊蜜期粳赘狳穗秘一致。褥澍羹鏊，在瑗实蘩生涯券审场 5 基于b l a c k s c h 0 1 e s 模型的双指数跳扩散模型的期权定价 上，这种复制投资组合工作不能够准确地实旋，因为它涉及到增加部分的再平衡， 而且这种情况面对着任何形式的市场摩擦，例如交易费用等，这些因素是不能不 考虑进去的。从而，这促使带交易费用摩擦的金融市场的证券投资理论的研究和 发展。现今，带交易费用等摩擦市场的期权定价理论研究_ i _ f 方兴未艾。 总之，人们已经看到由布莱克( b l a c k ) 一斯科尔斯( s c h 0 1 e s ) 一默顿( m e r t o n ) 所开创的衍生证券定价理论，不仅给整个现代金融市场的理论带来了一场革命， 而且用它创造了整整一大批崭新的投资银行家职业。目d f ，默顿教授i f 将它应用 于金融机构组织的研究上。因此，金融经济学的核心期权定价理论的推广研 究和广阔的应用前景，f 显示着现代金融理论及其实践相互交融、相互促进、共 同发展的美好未来。 1 6 符号及定义 c o ) ：表示t 时刻欧式看涨期权的价格； 岸 ：欧式看涨期权在交割日的执行价格； 嘲炉p 嚣卜足收益礅 蒸予8 l a e k s e h 。l e s 攘型戆双指数雾& 扩教模型熬期权定徐 第二章金融衍生证券定价的基本理论分析 2 + l 预铸知识 2 。l 。l 陡骞 1 分析蘩奉知识 8 r o w n 运动怒f o ，列，o 上的陵梳过程和) ，f zo ) ，它有如下特征， ( 1 ) 彤( o ) 一o ； ( 2 暑形0 ) * or 城溉0 ； ( 3 ) 裔猿立增量，辩：矽 一舻与桫一舻p ) 独立，0 sr c sc f g r ， 菰且缈一$ ) 。 压) 。 在8 r 。w h 运淤豹定义孛考建交蹩渺窖) * 矽8 串挺 一驴鑫) 仍是遮魏变量，覆 且： 鳆a 叫一了熹商e x 联一甚如一去廖e x 炙争 因此我们可以近似的记为。d ( f ) 。= 融，其中z ( 0 ，1 ) 。这也说明壁攀怒 a ! 不存在的。 在龛融王程中豢 蠢毒一囊z ，其中z 1 ，这是嚣豢本矮戆，瓣为 遗常静确定饿函数，静增爨与微分之闷游麓为。缸) ，瑟蠡交整瓣增繁拉缀小 时，掣| ) z ，( f ) 出+ d ( 馥) 。这说嚼在小范礁内，可徽函数可以以直代曲。簸然 b r 洲n 运动几乎蹶有的轨邋都魁连续的，但是几乎点点没寿导数，即是条缀不 趣剽熬魏线，b 渊n 运动懿增鬣与艟残歪进，鄹在转r 。w n 运动鹣锰一点都不戆 基于b l a c k s c h 0 1 e s 模型的双指数跳扩散模型的期权定价 以直代曲，正是这一点构成了随机微分方程和确定性微分方程的区别。 在扰( f ) - 怛( f ) ，f ) 出+ 仃俘o ) ，f ) d 旷p ) 扩散方程中，肛( ) 称为漂移系数，表 示在时刻f 过程盖( f ) 处于位置z 的瞬时速率，它反映了确定性因素引起的运动。 盯( ) 称为扩散系数，表示与过程x ( f ) 的碰撞相关联的瞬时方差，表达了运动随机 震动的大小。在会融工程中，常常用来表达标的资产的风险，。注意到在时刻f ， 工( f ) ；工时，e ( 置( f ) = p ( x ( f ) ，f ) d f 兽妥墨笔竽= 溉古雕( 石( f ) f ) 出+ 口( 盖o ) ，f ) 缈( f ) 】= ( x o ) ，t ) 婪翌! ! 尘兰盟e ；! 恐去e 【v a f a z o ) + ( e a x ( f ) ) ：】。仃：( x o ) ，t ) m o f 一。血 、。、。 g i r s 8 n o v 定理设，- 盯( e ”u 只”) 。如下定义概率测度q 瓢- 其中 以，一工。一【口，d 彬一( 1 一以) 删。】 则在概率空间( q ，f ，( e ) 。，q ) 上， 暖i 形一上口，凼) 。b r o w n 运动， ，) 。是强 度饥妒f ，的p o i s s o n 过程。 带跳舶i t 。公式设实函数，二次连续可微。设 橱。= 肛。出+ t d 彬+ ，z f ，贝9 ，( 盖，) 一，( x 。) + j c ，、( x ，矽麓+ 瓤，”( z ，如；出 + 兰；! 1 1 ，、瓯一) 瓯一鼍一) + 芝：( ，( ) 一，纯。) ) 设 。 。的强度为协 。，贝i i a ，- t 蛾。是其补偿元 村i 一譬犯= 群茏；揪。 2 1 2 股票价格的行为模式 8 即 基于b l a c k s c h o l e s 模型的双指数跳扩散模型的期权定价 股票价格一般都围绕一个期望变化率在一合理范围内作平滑波动，但也常出 现与连续平滑波动完全不成比例的异常变化，其连续平滑波动可视为由经济中某 些平常条件带来的正常变化，如：股票供求关系，发行股票企业的经营状况，国 家的长期利率、税收政策等；而不连续变化即与连续平滑波动完全不成比例的异 常变化则可视为由经济中的某些不寻常情况带来的不i f 常变化，如突发战争、 国政变、重大政治事件、人为投机等。 对于股票价格行为，人们通常假设其服从马尔科夫过程，马尔科夫过程 ( m a r k o vp r o c e s s ) 是一类特殊的随机过程，这个过程说明只有变量当前值与未 来的预测有关，变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测不 相关。人们通常假设股票价格遵循马尔科夫过程。例如现在i b m 的股票价格为 1 0 0 美元，如果股票价格遵循马尔科夫过程，那么一个星期以前，个月以前， 或一年以前的股票价格并不影响我们的对将来的预测，唯一相关的信息就是股票 当前的价格1 0 0 美元。对将来的预测是不确定的，必须以概率分布的形式表达。 马尔科夫性质隐含了在将来任一特定的时刻，股票价格的概率分布仅取决于当前 的股票价格。 如b l a c k s c h o l e s 期权定价模型中假设股票价格服从i t o 过程，这一假设虽 然强调了在将来任一特定时刻股价的概率分布仅取决于股票当前的价格这一性 质，但它只描述了股价在时间与空间上以连续形式的变化，即由经济中某些平常 条件带来的正常变化，而未反映出由经济中的不寻常情况带来的不正常变化，这 些不f 常变化往往引起股价大幅度的不连续跳跃。 一般地，人们常用以下三类概率模型来描述经济系统中各类变量的变化： 1 ) i t o 过程i t o 是一个连续随机过程，描述了在时间与空间上变量以连续 形式的变化若随机变量石0 ) 服从i t 0 过程，则z ( f ) 的随机行为可由如下微分 方程描述： d _ = r ( f ) = 口( x ( f ) ，f ) 出+ 6 ( x o ) ，f ) d 讳7 ( f ) 其中，n 仁( f ) ，f ) 为单位时间内x o ) 的预期变化；6 僻( f ) ，f ) 为单位时间内j o ) 的 扩散部分；缈“) 为期望值为o ，方差为l 的维纳过程。 9 基于b l a c k s c h 0 1 e s 模型的双指数跳扩散模型的期权定价 2 ) 脉冲干扰过程脉冲过程描述了在至l 司上不连续但在时i 司上连续的燹量 的变化行为。 若随机变量x o ) 服从脉冲干扰过程，则其随机行为可描述为： d z o ) = ，( ( r ) ，f ) 出+ 正 o ，f ，) 。v ( 西，d f ) x o ) 的变化由两部分组成：等式右边的第一部分，暖o ) ，f ) 出代表x o ) 的正常变 化；第二部分正 o ，t ，) v ( 出，讲) 代表任一时间段内( f ) 非零概率的跳跃，即由 p o i s s o n 点过程所驱动的纯断过程，其中v ( ，z ) 为泊松测度，其参数为 r 矿) ，f 【，f z 】c 【o o 。) ，工r 也即v 服从泊松分布： p p ( 6 ) ；厅卜氅二。：o n ! 卢2 ，出矿( 讲) ，6 曰( ( o ，* ) r ) 且h v p ) 一。) 一o ，若卢一o d 时，p ( v p ) - o o ) - o ，若卢- o 。时，其中v 妒) 可微 且可加，故v ( 【 ，乞】【厶，：】) 表示了变量x o ) 在时间间隔弛，屯】内的跳跃次数。 o ，f ，) 为权重是一平方可积函数。单位时间内z o ) 的瞬间期望为： ，( x o ) ，f ) + 上 o ，f ，f ) 。矿( 谢) ，瞬间方差为正 2 0 ，f ，f ) 。矿( 讲) 。 3 ) 混合过程混合过程是i t 0 过程和脉冲干扰过程的混合，描述了变量在 空间上连续的和离散的变化设随机变量x o ) 服从混合过程，则 d x o ) 2 ( x ( f ) ，t ) 出+ 6 ( x o ) ，f m 矽( f ) + 正 o ，f ，z ) 。v ，讲) z ( f ) 的变化依旧由两部分组成：等式右边的前两项n ( 石( f ) ，f ) 出+ 6 ( x ( f ) ，f ) d o ) 描述了x o ) 的连续变化，泊松跳跃过程正 o ，f ，f ) v ( 出，d f ) 描述了x o ) 的离散变 化。单位时间内x o ) 瞬间期望为n 僻( f ) ，f ) + 正i l o ，f ，f ) + - ( 刎) ，瞬间方差为 6 2 似o ) ，f ) + 正 2 0 ，f ，f ) 矿( 战) 。 i t 0 过程即为b 1 a c k s c h 0 1 e s 期权定价模型中的一个基本假设，较准确地描 述了由经济因素引起的股价正常波动，而混合过程不仅包含i t o 过程，还包含泊 松跳跃过程，既描述了由经济因素引起的股价正常波动，又较准确地描述了由非 1 0 基予8 1 a e k s c 沁l e s 模型浆双捃数黻扩教模型静耀权定份 经济因素蠢嫠绘黢馀熬“跳跃”。 魏1 比，我 | l 最蘑一章敢推广瑕设黢蔡馀穆鼹 从混合过程是一种较理想的选择。 2 。2b l 巍e 氛一s c 舞d i e 8 壹善型 2 2 1 模型简介 我稻弱市场冬两静证券组成：馈券和嚣逢票。它髓静价格分剐配为 曩 。和 诲 。，瀵足麴下方程 鼹t 一峭：出 d s t = 媾癣年嫡婵t ( 这t 壤g ”) ( 蕞；羡。( m 7 2 ) “删) ( 2 。2 + 1 ) ( 2 2 。2 ) 其中 彬 。是( 哦f ，( 只) 。，p ) 上的b r o w n 运动。下设展。l 。 我们用识和识分别表示谯时刻f 持有的债券朔股票的数目。船， 。，协 。，是随 机过程，在时刻f 的财富为 ( 妒，) t 妒，置+ 识s ， 魏巢妒，睡是可籽过程，满足祭俘 f 融陋法| 2 旅c * ，a j 。 称移，瓣称为投资装蝮或投资缝食( p o r t 南ii o ) ，魏鬃还蠢 d f ( 妒，婢* 妒；招f + 谚姆( 即热毽+ 建s ；t 妒e 坟+ 热s 。+ 羔妒，蛾+ 羔建您，) 则称抛，娥为自融资策略( s e l 卜f i n a n c i n gs t r a t e g y ) 。 著名金融学家f ，b 1 a c k 和醅。s e h o l e s 予1 9 7 3 年镪立不付红粕的殷椠期投定 馀模爨和著名的风险中燃定馀模型，蔑近代金融勰生理论发展的綦嚣。镶们提爨 该模挺的基本假设是： a 股票价格遵循凡何布麓运动b 允许全部所得卖空衍生证券；c 没有交易赞 1 1 藻于b l a c k s c h o l e s 模型的双指数跳扩敞模型的期杈定价 用或税收：d 在股票期权的有效期内没有红利支付；e 不存在涎风险套利机会； f 搿蠢谖券交易是逶绥麓；g 无飙羧弱率r ，辩酝裔妥鬻嚣都耱同。 若我们设股票期权的价格为v ( s ，t ) ，则v ( s ，t ) 定是股价和时间的函数，且它 关于t 阶可导，关于s 二阶连续可导，由l t o 公式， 。矿一t 拶警+ ；a l s 2 豢+ 号+ 嬲誊掘 构造一投资组合：卖出一份期权和买入数量为尝份额的股票n 翌# 该投资缀台戆稔毽为； n 一尝s 由此我们褥到； a h - 焉内2 豢+ 詈降 我们将上式离散化，褥到 矗疆- 妒s 2 豢+ 争越 如果将n 投资于无风除资产，则m 时间内的受益为： ，n 出 自主秀式浚翻霹潋餐翻b s 方程： 豢+ 心警+ 知坫：害。，r ( 2 2 3 ) 珊舔2 拈2 上述方稷霄诲多解，辩不同的衍生证券袄赖不同的边赛条件： 欧式看涨：r m a 啦一置，卿t ；t 时 欧式看跌：矿。m a x 僻一s ，o ) t ；t 时。 2 3 风除中性的定价理论 方程( 2 2 3 ) 中没有出现股票的预期受益率辩，芦酶值依赖于风险偏好， 对于给定的股票，投资赣厌恶风险的成都越高，则相应的p 的取值就越大，方程 ( 2 + 2 3 ) 中篷琨豹交豢楚羧票当静徐擦、当蓊辩阕帮无葳陵灏率，这些都怒独 立于风脸偏好。既然方稷不含风险偏好，则风险偏好对期权价格不会产生影响， i 2 基予8 l a e k s e 的l e s 模型的双摆数跳扩散模型懿期权定份 从藤在对黢票期投定馀孵我们霹以采掇任意一季孛风险籀努，特别遗，存在穆l 常简单的假设，称为风险中性世界，在这个世界里任何证券的收豁率为无风险利 率。在风险中性的世界撰讨论欧式期粳的定价。 它艇支慰豹侩搀应该是撬行时阑 时刻款黢票徐格黪函数，褒黢票牧盏率为 无风险利率r 的前提下，计算t 时刻股票期权的期塑值，然后用r 做贴观，将这 个期颦值贴现到现在当前时间的价值，郎为股票期袄的价值，这就是著名的风险 中髅定价瓒论。 引理2 3 1 存在等价于p 的概率测度q ，使折扣股票价格瞩 。是 ( q ，f ，( 互) ，q ) 上的鞅。而r a d 。n n i k o d y 丌1 导数为 弘：瓢卧叫一扣) 其中p = ( 一r ) d 。 证令形t 孵+ 阱。由g i r s a n o v 定理知， 彬) 怒( q ，) ，q ) 上的b r 洲n 运魂。两 勰f 一r e 。”s 。+ e 叫lt l s 。出蕊。d w 。) 是( 一础+ 删 + 冽敝) = 肇耐彬 由 嬲，一s ，谢彬 和随机积分的性质知 爱 。是( q ，f ，( 只) 。，q ) 上的赣。此多 爱；昏”钮+ 谚 定瑾2 。3 。l ( t h ef 驻n d 8 蕊e n t a l 专舞e 。r e 孺。fa s s e tp r i e i 瓣gi n 转l a e 交一s h 。l 聍s f ra l i l e w o r k ) 。设q 怒上引理中的概率测度。设珏 0 ) ) 是在时刻r 的投益，糟陋( f ) ) 是r 可测随机变量和 e 。阻2 ( s ( 丁) 】 则这个权益可复制( r e p l i c a b l e ) ，对任意复制投资组合，它在f 的值为 f 一露。【。拶。拄爷( r ) ) | 互】 ( 2 3 1 ) 基于b l a c k s c h 0 1 e s 模型的双指数跳扩散模型的期权定价 特别地，期权在零时刻的公平价格是 y ；e 。p 一7 7 h ( s ( 丁) ) 】 ( 2 3 2 ) 证令 m 。= e 。【e 。7 h ( s ( r ) ) i f 】 显然( m ，e ) 。，是平方可积鞅，和e = 盯( 彬，5s f ) = 盯( 形，5s f ) 。由b r o w n 鞅表 示定理知存在( 只) 。，可料过程( 8 ，) 。，使 m t = m 。+ p s d 霈。 令 小鼍，”弗t 不难看出缈，甜满足。由于k ( 妒，妒) = 妒，e + 噍s ，故 旷仰，妒) | e 一”k ( 妒，妒) 一妒。+ 妒| 置。m 。 又由于武z 墨硎彬，故 d 矿 ，妒) 删，- 日，d 谚一破西d 谚- 以碱 因此由以上定义知伽，甜是自融资策略。而由矿他，庐) ；m ，知( 2 3 1 ) ，( 2 3 2 ) 成立。# 根据风险中性的定价理论，欧式看涨期权的定价为： c 。e “自i m a s ，一k ，o ) 】 ( 2 3 3 ) 其中s ，是t 时刻股票的价格，k 是执行价格，应为预期收益率为r 下的期望值。 同样看跌欧式期权的定价为： p 。e “7 。) 应 m a x ( 置一昌，0 ) 】 ( 2 3 4 ) 对于方程( 2 2 3 ) 在欧式看涨和看跌期权的条件下可以得到与方程( 2 3 3 ) 和 ( 2 3 4 ) 同样的定价。即： c ( s ，f ) ；i s ( d 1 ) 一 i o 一7 7 。( d 2 ) 1 4 基于b l a c k s c h 0 1 e s 模型爵臼双指数澎t 扩散模型的觏税定价 l n 滞，最) + ( ，+ 要) p f ) 蠢i 一j = = l 一，蠢2 - 或一0 f 一 1 盯0 r f 21 一 看跌期权定价为： p ( s ) 一j 一7 7 “( 矗2 ) 一 ；：( d 1 ) 下面我们给出不解b s 微分方程，而用初等概率中的测度燮抉涞求解( 2 3 3 ) 设随极变量x 在概率颡l 度p 下鸯髫固，1 ) ，髑磊表示其壤搴密度。袭示燕 态分布( 肛，1 ) 的概率密度，则 不转) 。磊叁净”；一等，蠢；p p 等神。 由此我们可以知道ym 髫一在概鬻测度只下服从( 0 ，1 ) ，商上面的讨论可得 下嚣结论： 引理2 3 2 设随机变量x 在p 下服从( o 1 ) ，y = z + 芦，则存在等价于p 的 概率测皮q 使得在q 下y 服从( o ，1 ) ，似然比为： ! 墼。一一善。譬或! 堡：一z + 譬，e r 一譬 覆p 矗q 这样就霹以把在概率测度p 下舱求解闻题转变为在概率测度q f 的求解海蹶。 设y 一( 肛，口2 ) ，我们来求解尉0 7 j ，口) ) 令q = 焱，p 莛治，拶2 ) 下魏禳率溺菠，q 是妇盯2 ，2 ) 下豹概率测攫，爱蓦 坚。e “一+ 等： d g 露p 7 j 4 ) 】= 【a ， 撑) 】；k m ”+ 乞7 ，疗) 】 ：。p + 警q p 口) 。g p + 詈e 一由( ! ! 堡) ) 有b s 模型的假设，股票价格服从一个几何b r o w n 运动，即： 基于b 1 a c k s c h o l e s 模型的双指数跳扩散模型的期权定价 d 6 ( u2 j ( f ) 班+ 盯j ( f 弦( f ) ，那么。e 阴对毅价 吾趣程为： d l t l ( s ( f ) ) = ( 肛一要) 出+ 盯d p ) 因此从t 到t 的对数价格变化是一个正态分布： l n s 口) 一1 i l s o ) 【( p 一要) 仃一f ) ，盯2 仃一f ) 】 从而可知在已知股票t 时刻价格s o ) 时，t 时刻股票的价格是一个正态分布，即 l n s ( r ) 【l n s o ) 十( 一譬) ( 丁一f ) ，( r 2 ( r f ) 】 这也说明股票价格的不确定性与我们考虑的未来时间长度成正比。有( 2 3 3 ) c = p 一盯。塘【m a x ( k s ，o ) 】 = 俨“( s 盯) 一k h s ( r ) ：x 】 = e 。p 。“增( r ) 5 ( r ) ：置】一e 。k ”7 。j q 5 ( r ) 。x 】 = e ”“陋( r m 5 ( ，) ：k 卜娅。“q 【s 仃) 皂k 】 令y = l n s ( 丁) 【l l l s o ) + ( 一罢r 二) ( r t ) ，口2 ( r f ) 】 设q 是阳s ( f ) 十似一手) 仃一f ) + 仃2 叮一f ) ，口2 f f ) 】的概率测度。 型：。一，m 一和卅+ d g 先计算p ”“塘9 陋口) 。】 = e 一7 7 。铲p 7 ) 玎巾一k m ( i ) m 一和- i ) + 知q ，苫l n k ) = s ( f ) q 5 ( y 芑l n k ) ：s o ) m ( 堂盟坠譬坐兰墼尘) 盯、一f 基于b 1 a c k s c h 0 1 e s 模型的双指数跳扩散模型的期权定价 对于p 。7 4 鲤【s ( r ) 苫k 】 峨叫“) q 【些业等必业苫些型端三塑幽】o i 一|o l t l n 掣+ ( r 一盯：2 ) ( 丁一f ) 地。盯。卜l 享二_ 二) c ：s ( f ) 中( 坐盟堕譬些鲣尘) 盯、一f m m 。坚掣， 值得一提的是b s 公式推导过程中给出了许多假设条件，其中有一些假设显然 是不符合规定。例如：设股票价格的方差，也就是波动率为常数显然与实际情况 不相符。再如现实中交易都有一定的交易费或税收。有的股票还有中期分红等。 由于这些假设与实际情况的不一致，所以有很多人开始尝试对b s 模型进行改 进。最著名的就是m e r t o n ( 1 9 7 6 ) 1 7 的跳扩散模型和h