（概率论与数理统计专业论文）混合系数线性模型与约束线性模型的参数估计.pdf

摘要 本文主要研究了混合系数线性模型以及有约束的线性模型参数估计的改进问题给出 了混合系数线性模型参数的局部根方估计，岭估计和线性约束下的线性模型参数的s t e i n 型 估计及其改进估计；讨论了各估计的优良性具体工作如下： ( 1 ) 给出了混合系数线性模型参数的局部根方估计五( ) 和五( ) ( o k 1 ) ，并证明了 通过参数k 的选取，可使局部根方估计以( k ) 和无( k ) 在均方误差意义下优于l s 估计，并 针对五( ) 讨论了局部根方估计的可容许性、优效性及其对l s 估计抗干扰性的改进 ( 2 ) 给出了混合系数线性模型参数的俩种岭估计，并证明了在均方误差意义下，岭估计 要优于l s 估计，讨论了岭估计的可容许性以及参数的选取 ( 3 ) 给出了一种线性约束下的线性模型参数向量的s t e i n 型估计，分别得出了在m s e m 和m s e 意义下新的估计优于约束最z 、- - 乘估计的充要条件，最后讨论了参数的选择 ( 4 ) 讨论了对线性约束下线性模型参数的s t e i n 型估计的改进，得出了在m s e m 意义下 改进后的的估计优于约束最j 、- - 乘估计的充要条件，由最小化均方误差法得到一个广义的 s t e i n 型估计 关键词：最小二乘估计；岭估计；根方估计；s t e i n 型估计；线性模型；线性约束 m s e ：m s e m a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o ns o m er e s e a r c h e so ni m p r o v e de s t i m a t i o no fp a r a m e t e r sf o rm i x e d e 圩b c t c o e f f i c i e n tl i n e a rm o d e la n df o ral i n e a rr e g r e s s i o nm o d e lw h e na d d i t i o n a l1 i n e a rr e s t r i c t i o n so f t h ep a r a m e t e rv e c t o ra r ea s s u m e dt oh o l d l o c a lr o o te s t i m a t o ra n dr i d g ee s t i m a t o rf o rm i x e d - e f f e c tc o e 毋c i e n tl i n e a rm o d e la n dr e s t r i c t e ds t e i n r u l ee s t i m a t o ra n di t si m p r o v e de s t i m a t o r a r ei n t r o d u c e d i si so r g a n i z e da sf o l l o w s ： l o c a lr o o te s t i m a t o rf o rm i x e d - e 乳c tc o e m c i e n tl i n e a rm o d e li si n t r o d u c e di nc h a p t e r2 t h es u p e r i o r i t yo fn e we s t i m a t o ro v e rt h el s eu n d e rm s ei s p r o v e d s o m ep r o p e r t i e s ，s u c ha s a d m i s s i b i l i t y , e f f i c i e n c ya n da n t i i n t e r f e r e n c ea r ed i s c u s s e d i nc h a p t e r3 ar i d g ee s t i m a t o rf o rm i x e d - e f f e c tc o e f f i c i e n tl i n e a rm o d e li si n t r o d u c e d w i p l o r et h en e we s t i m a t o rd o m i n a n tl s eu n d e rm s ea n dd i s c u s si t sa d m i s s i b i l i t y i nc h a p t e r4 w ei n t r o d u c eas t e i n - r u l ee s t i m a t o rf o rt h ev e c t o ro fp a r a m e t e ri nal i n e a rr e g r e s s i o nm o d e lw h e na d d i t i o n a ll i n e a rr e s t r i c t i o n so f t h ep a r a m e t e rv e c t o ra r ea s s u m e dt oh o l d t h e e s t i m a t o ri sag e n e r a l i z a t i o no ft h ew e l l - k n o w nr e s t r i c t e dl s ea n di sc o n f i n e dt ot h ef a f f i n e ) s u b s p a c ew h i c hi sg e n e r a t e db yt h er e s t r i c t i o n s n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h es u p e r i o r i t y o ft h en e we s t i m a t o ro v e rt h er e s t r i c t e dl s ea r ed e r i v e d i m p r o v e de s t i m a t i o nf o rr e s t r i c t e ds t e i n - r u l ee s t i m a t o ri sd i s c u s s e di nc h a p t e r5 n e c e s s a r y a n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h es u p e r i o r i t yo ft h en e we s t i m a t o ro v e rt h er e s t r i c t e dl s ea r ed e r i v e d t h en e we s t i m a t o ri sd e r i v e db ym i n i m u m i n gm s e k e y w o r d s ：l s e ；r i d g ee s t i m a t o r ；r o o te s t i m a t o r ；s t e i n - r u l ee s t i m a t o r ；m s e ；l i n e a rr e s t r i c t i o n ；l i n e a rm o d e l 1 1 一、学位论文独创性声明 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了 谢意 二、关于学位论文使用授权的说明 签名：日期： 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复 印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内容和纸 质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包 括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理。 签名：导师签名 第一章绪论 1 1引言及预备知识 十九世纪初g u a s s 和l e g e n d r e 创立了最小二乘法，至今已将近两百年，这一时期也是回 归发展的一个时期回归系数的最小二乘估计具有许多良好的性质，其中最重要的是g u a s s m a v k o v 定理它表明在一切线性无偏估计中，l s 估计具有最小方差这些性质奠定了l s 估计的重要地位 当人们在形成线性模型时，总是想尽量多考虑一些因素( 白变量) ，但过多的因素使它 们之间产生近似的线性关系从而导致设计阵x 的列向量近似的线性相关，我们称这样的 设计阵为病态的当x 呈病态时，x x 接近奇异，这时虽然l s 估计的方差在线性无偏估 计类中最小，但其值却很大，使得l s 估计精度比较差，表现出相当的不稳定 如果我们的估计不限于无偏类，且估计的优良性指标也不必限于最小方差，而我们关 心的问题是估计量和真值之间的距离( 在统计决策理论中，它可用平方损失函数来定义) 。 这样，线性模型参数估计不必限于l s 估计，也不必限于方差最小估计 于是近几十年来，许多学者致力于改进l s 估计，提出了许多新估计其中很重要的一 类估计就是有偏估计，即均值不等于参数向量的估计在众多有偏估计中影响较大的是岭 估计、主成分估计和s t e i n 压缩估计本文就混合系数线性模型和线性约束下的线性模型的 参数估计作了一些研究 在经济分析、可靠性退化分析以及生物学等领域出现一种混合系数线性模型，即线性模 型的系数有一部分是固定的，而另一部分是随机的对于完全随机系数的形式，c r r a o ( 1 9 6 5 ) s w a m y ( 1 9 7 1 ) ，s j o h a n s e n ( 1 9 8 2 ) 等对其参数估计以及大样本性质作了一些研究，对于混合 系数的线性模型庄东辰与茆诗松( 1 9 9 6 ) 分别对固定系数a 和随机系数卢的估计作了一些研 究，他们提出了参数d 的两种形式的l s 估计针对系数矩阵呈病态或接近病态时，刘小茂 和张钧( 1 9 9 6 ) 提出了根方估计，刘小茂和茆诗松( 2 0 0 1 ) 提出了s t e i n 估计，来改进l s 估计但刘小茂和张钧提出的根方估计要求的条件比较强，本文第二章对其进行了改进，提 出局部根方估计，能更广泛更有效的改进l s 估计在第三章中提出了另一种改进的估计一 岭估计 关于一般线性模型的s t e i n 型压缩估计已有不少结果如j a m e s s t e i n 估计，l i n d l y 估 计，最小加权平均平方误差估计( m w m s e ) ，最小均方误差估计，重k 类估计，部分压缩估计 等但对于有线性约束的线性模型的类似估计不多，我们熟知的约束最小二乘估计戽，在设计 阵呈病态时也存在同样的问题s a x k a x ( 1 9 9 2 ) 提出估计廓= t k 虞，t k = ( ，+ ( x ，x ) 一1 ) 一1 ， 东南大学硕士论文 2 但不能满足约束j t t r g e ng r o b ( 2 0 0 3 ) 提出了一种新的压缩估计，并且此估计满足约束，这 两种估计都是岭型估计，本文第四章从均匀压缩的角度出发，提出了一种满足约束的s t e i n 型估计第五章对其进行了改进，即对最小= 乘估计作非均匀压缩，利用最小均方误差估计 的思想得到另一种s t e i n 型压缩估计 下面我们给出有关线性模型的一些预备知识 考虑线性模型 v = x 3 + e ，e 一( 0 ，矿j ) y 为n 1 观测向量，卢为p 1 向量，x 为n p 矩阵 定义1 1 1l s 估计为芦= ( x x ) 一1 x ， 定理1 1 1l s 估计为是卢的无偏估计，且g ( 声) = 口2 ( x x ) 一1 定理1 1 2 e i l 声1 1 2 = 沪是1 耳1 + 1 2 其中九为x x 的特征值 从定理1 1 2 看出若m i n 凡甚小，e l l 声1 1 2 1 2 ，因此l s 估计不可信赖这种情况 就是x 具有近似复共线性关系不少学者从统计决策的观点论述这个问题为了论述的需 要，我们先介绍一些关于统计决策的基本概念 定义1 1 2 损失函数 l ( 0 ，0 ) = ( 一日) 7 ( i 一0 ) = | | 5 一o i l 2 l c e ，0 ) = ( 0 一口) p 一日) 7 后者称为矩阵损失其中自为0 的一个估计 定义1 1 3 风险函数 r ( o ，0 ) = e i l o 一钏2 称为5 的均方误差，记为m s e ( o ) 对损失矩阵，风险函数为 r ( o ，0 ) = e ( o 一口) 一目) 称为5 的均方误差矩阵，记为m s e m ( o ) 定理l ，1 3 m s e ( o ) = t r ( c o ( o ) ) + 0 e ( 5 ) 一引| 2 定理1 1 4 m s e ( 口) = t r ( m s e m ( o ) ) 第二章混合系数线性模型参数的局部根方估计 2 1 引言与模型 在许多实际问题中经常会出现一种混合系数的线性模型，即线性模型的参数有一部分 是固定的，而另一部分是随机的这种模型在经济分析、可靠性退化分析以及生物学等领 域，均有十分广泛的应用但是这种模型的结构与性质，与通常的线性模型存在很大的差 别，一般的，混合系数的线性模型有以下的形式 z ( t ) = 陋( t ) 7 0 + b ( t ) 卢 ( 1 1 ) 其中 x ( t ) = ( z 1 ( t ) ，。2 ( t ) ，z p ( t ) ) ； y ( t ) = ( y l ( t ) ，驰( t ) ，轴( ) ) ； z i ( ) ，z 2 ( t ) ，唧( t ) 及9 1 ( t ) ，2 ( t ) ，她( t ) 都是t 的已知函数，a 是p 1 的固定系数向量， 卢是qx1 的随机系数向量，且e ( z ) = b ，c o ( z ) 一e 现对i n 个样品，分别在t t l t i 2 p + q( 1 2 ) 这里的t 觑) 和 叼) 分别是每个样品的随机系数和每次测量的误差，且协) 一( b ，) g i ，) 一( o ，a 2 ) ，均独立同分布并且慨) 与 6 i i ) 独立若记 则可得 ，、，$ 1 ( t 1 1 ) 2 ( 赴1 ) f ? 11，l 。( 妃) $ 。( 场) 盈2 i j 越2 l 、讯i z 1 ( t ；。，) z 2 ( t 。) 、f 掣1 ( t i l ) 掣2 ( t ，1 ) f 5 ：1 1 、，l 蚺。) 。( t i 2 ) e = i 二。j = ly 。；：，管崆。打。， 五= x i a + m 屈+ 矗 3 却( t ；1 ) x p ( t 1 2 ) l l 却( o 帆) 踟( t n ) 啪劫i 铀( t 帆) ( 1 3 ) 东南大学硕士论文 4 式中 屈一( b ，) ，矗一( 0 ，口2 k ，) 这里p 0 ，q 0 ，当p = 0 时固定系数a 不存在，模型化为完全随机系数的形式，当q = 0 时模型化为一般的线性模型这里还要求r a n k ( x i ) = p ，r a n k ( y t ) = q ，r a n k ( x c ，k ) = p + q = g 记g = ( x i ，m ) ，d = ( a ，6 ) ，e i = k 慨一b ) + 矗，则可将( 1 3 ) 写为 z j = g t d + e ，e t ( 0 ，m e y + 盯2 i n 。) i i d ( 1 4 ) 进一步记 z = ( 别，z ；，瑞) ，e = ( e i ，e ；，e - ) ，c = ( q ，岛，) ，d = d i a g ( d 1 ，d 2 ，d 。) 其中d i = m e + r i n ，则可将式( 1 4 ) 写成 z = c d + e ， e 一( 0 ，d )( 1 5 ) 对于完全随机系数的形式，e r r a o ( 1 9 6 5 ) ，s w a m y ( 1 9 7 1 ) ，s j o h a t n s e n ( 1 9 8 2 ) 等对其参 数估计以及大样本性质作了一些研究，对于混合系数的线性模型庄东辰与茆诗松( 1 9 9 6 ) 分 别对固定系数a 和随机系数卢的估计作了一些研究，他们提出了参数d 的两种形式的l s 估 计 由( 1 4 ) 用第i 个样品的数据求得d 的l s e 也= ( q q ) _ 1 q 磊，i = 1 ，2 ，m 因而可得如下估计 -m c = 去文， 由于c c = 墨l q a ，则可由( 1 5 ) 求得d 的另一种形式的l s e m 矗= ( g g ) _ 1 g z = 戳也 i = l 其中矾= ( 銎。q g ) 一1 ( q g ) 为权矩阵，这里有翟1 瞰= 对于这两个估计有 e ( 面= d ，e ( 面= d 东南大学硕士论文 5 ( 由= 去薹恻盯1 q ( k e ) c ；i ( - 1 + o 2 ( c ；c o _ l 】 ( 1 6 ) g ( d ) ( 1 7 ) 从( 1 6 ) 和( 1 7 ) 看出对于这两种估计，若某个c ：c i ( 1 i m ) 或c c 至少有一特征 值很小，则尽管均为无偏估计，但因模型存在复共线性，使得均方误差很大，导致估计精度 差，稳定性不好本章将针对这一问题，从局部根方估计角度来研究对该模型参数的改进问 题 2 2 混合系数线性模型参数的局部根方估计及其性质 为改善因系数矩阵呈病态或接近病态所导致的估计精度差，稳定性不好这一状况，刘 小茂与张钧( 1 9 9 7 ) 给出了混合系数线性模型参数的两种形式的根方估计： d ( k ) ：去r n 反( “ 孟( k ) = ( c c d 一1 q 五，i = 1 ，2 ，m g ( k ) = ( c a ) 2 一c z 其中( o o a 。2 = d i a g ( a i h 十1 ， 岫) ，i = l ，2 ，m a = d i a g ( ) 、l ，a 2 ， 9 ) ， 入l 2 h 1 + l 9 0 ， a 2 = d t 口9 ( 入h + 1 ，a 9 ) 茸中0 1 为根方参数显然k = o 时即为d 的l s 估计，即c i ( o ) = d ，蠢( o ) = 蠢 定理2 2 1 局部根方估计的期望向量和协方差矩阵分别为 e ( d l ( ) ) e ( d l ( 詹) ) a 是) 即 ( 2 1 ) 、 ，lr ，d 【2 2 ) a 2 c m c 如c 七，= 未；委c r i ( a 五1a 譬。) r ：c ：c k 巧，c 。r i ( a 五1 + 盯2 r 。( a 五1a 咎一。) r ：， g 。”c 豆lc 南， = r ( a f l 。一。) i 、c g 7 a 彳g ，r ( a f la 。一。) r + 口2 r ( a f la ；。一，) r 6 一m r i 、踯 圳 铲 皿 心 a 东南大学硕士论文 其中 证明 e ( 如( i ) ) = = 饿叼( h e 叫，b 琚，瑶) = d i a g ( ) 、, l ， t 2 ， 池) = d i a g ( a l ， 2 ，h ) ：二f r nz e ( 五) ) = e r | 厂 = e rr ， 。) q ( q q ) 。q 五 n t 2 = f ( ，a ；) n 因为z i 相互独立，所以五l ( ) 也相互独立。所以有 c o y ( d l ( ) ) = + a 2 厶、) q ( 蛾q ) 一1r t c z ) r ，( q g ) - 1 d ( k y i a 皂) r ， = 去势( “a 袅p 旭盯1 淝绷却：卜 + 一2 r ；( 厶a 乜) r ：c q g 。，一1 r 。( 厶a & ) r ：， 7 m h 舢 ，一 屯 r 。等汹 磊0 鬲 剧 矾 r 0k 厂忉叩 响 0 a a ， ” 唣 七 缸 ”，、 n m汹m：i ，一 ，一舻 r 、，睦 东南大学硕士论文 一嘉塾( 札 + a 2 f ih 鸽 = 嘉扣； t = l 搿r t f a 五1 a 是) 州黜e w ) c i r t a y ( ) ( 搿) 膊一，1 一) 儿 2 a 毳 i ! 嬲in 卜五1 g 。”c a ：c 砷，= r ( 。a 。) r c g g ，一1 c g 7 。g ，c g ， = f ( 7 ；) a 一1 r ，g 7 c m + a z - ，g f a = r ( a i la ；。) r c g 肘f ，r ( a i l + 盯2 r ( a f la ；。一。) r 7 定理2 2 2 局部根方估计屯( k ) ，d d k ) 是有偏、压缩估计，即 i i e d l ( k ) l i ll d l i l i e d l ( k ) 1 1 l i d l l 证明，记 因为a 转 ， d ) ( r ：d ) ( r ：d ) 鸱) r ： 8 r l， 肛住 a r ， 、r 2、 a 女2 一 r a、 ， o 骨厂i鸠 dr 、lj七挖 a k ，k r | j 的 d 以所 口 、， ： 、弘 螬 a k p 郇弋叫刮 r l i ；正 以 抛 i l = = 酽限协 东南大学硕士论文 9 所以 i i z d z ( k ) l j 2 = 嘉( ( ) ) ( 嘞( 女) ) = 嘉( e ) 办( 女) t = l = 1i ， m - 拄( i d i ( k ) 1 2 + i l d j ( k ) l 2 ) 2 l i d i l 2 从证明过程可看出，q d 的后g h i 个分量均菲零时，当且仅当= 0 时才有等号成立 因为a 蝥 ，所以 f e 五( e 2 = i | r ( 。a lf d i = d f ( a 争v d d d = l i d 旷 而且从证明过程可看出，u d 的后g h 个分量均非零时，当且仅当= o 时才有等号成立 引理2 2 1 设 ( 砷= 打( ( a 1a 1 ) a ) 其中a t = d i a g ( a t ，沁，h ) ，a 2 = d i a g ( a a + l ，a h + 2 ，a 9 ) ，a 的对角元素为。 则 c 砷= 打c ( 。a 。) ( 。：。a 。) a ， 其中l n a 2 = d i a g ( 1 n a h + 1 ，l n a h + 2 ，l n a g ) 证明： m h pa ；) 舻弘汁。豁 m 卜；势孙曲c ( 。a 2 。1 ( 。m ：h = h + l “ “l 2 定理2 2 3 存在偏参数0 k l ，使得局部根方估计d l ( ) ，五( ) 在均方误差意义下 优于对应的l s 估计c ，i ，即 m s e ( d l ( k ) ) 0 ，所以i n a i j 0 ，j = h f + l ，g 设a = d i a 盯( a l ，a 2 则定义l n a = d i a g ( 1 n az ，m k ，轨a 。) 因为( r q m e ) c r d z 0 ，所以 记r 。= ( r f l ， ，i ( 南) 爿( ) r f 2 ) 尼( ) a 警_ 2 、 。2 户g ：( 垴y s q r 1 ) 警“f n l 衄( q ( k e 巧) g r t ) 打0 a 器。a 。：) r ：，c d ( 2 ha 知) 巧一。d + 一c r ；( 厶。a 磊) r ：一。c d ( 。a 打认 = 嘉驴m 汀劫( 。蜘；。) m 灯劫。 巧) d a 。) 1 0 、， 址论 a o ， 打 m ：l 三舻 ，蝌 m m 三舻 0以 一 垮 ，蚺 m 斌 壁舻 | | a 舡! a打 m 渊 竺舻 0 ， 蚶 上舻 = 、 弘 东南大学硕士论文 ( ( 吼酬( 乜嗨) ( 咿叫 + d ，( ( r t ，f i z ，( a 耘) c r t - ，r t 。，一d ( ( 吼酬( 。晦呐：) ( 咖d ) = 嘉等 d ，( a 是m 1 2 r ：2 ) ( d ：( 嗨一d 巧。) d + d ，f r 。2 a 一，) r ，) f r i 2 a 如f n a i ，】r ：。) d 1 弱( ) 为k 的连续函数，且“( o ) = o ，于是l i 吼_ + o + f i ( k ) = 0 ，因此，k 充分小时 ，7 ( k ) = f i ( k ) + ，5 ( k ) + ，5 ( k ) 0 从而k 充分小( 0 1 ) 时，( k ) 为减函数，因此有，( k ) ，( o ) ，即m s e ( i l ( k ) ) 0 ，所以f n 0 ，i = h + 1 ，g 因为( r 7 c m c r ) “0 ，所以 g i ( 七) = 2 t r ( ( 。a ；。一。 1r ，c m c r ) i n a 2 一dr 、 k ， r 吓、 田 。 一 附 喧 、l 东南大学硕士论文 1 2 = 2 a r 2 l n ) , d f c m c p ) i i o g ：( ) ：2 a 2 t r ( a 尹1 i n a 2 ) = 2 a 2 a 1 i n t i 0 蟊( k ) = r ( 。2 ( a l j ) a ：。a 。) r d 砖( ) 为k 的连续函数，且如( o ) = 0 ，于是l i m k - + o + 9 i ( k ) = 0 ，因此，k 充分小时 9 1 ( k ) = 9 i ( k ) + 9 ：( k ) + 9 ：( k ) 0 从而k 充分小( o 1 ) 时，9 ( i ) 为减函数，因此有g ( ) 9 ( o ) ，即m s e ( d ( k ) ) m s e ( d ) 引理2 2 2 e ( d ) ) = e ( d ( ) ) g o ”( d ( 血) ) g ( d ( ) ) 引理2 2 3 证明 三声( 暖g ) d m 置 ( g ) d 嘉壹i = l 【( q g ) 一1 q 嘶) g ( q g ) 一1 + 口2 ( q q ) 2 一1 1 ( g ) 一1 ( a m c ) ( c g ) 。一1 + 盯2 ( g 7 g ) 2 一1 m s e ( d ( k ，= 去姜州舻。2 r ：q m q + 象姜州醛“， + 嘉( 眦沁卅( r j a ；i 、卜i ) d m s e ( d ( 州：打( h 2 k - 2 r ，c m c r ) + 嘉州胪。) + 一( a - 1 ) 2 d m s e ( d ( k ) ) = 打( g ( a ( ) ) ) + i i e g ( k ) 一训2 = 嘉霎州( 创倪广1 9 巧) a ( g g 广1 ) + 一嘉蚤打“q 2 卜1 ) 一 m + 丽1 【( q a ) d d 7 ( q 岛) d d 】 东南大学硕士论文 1 3 2 嘉薹r ( a ；k - 2 t 1 i c , 。t y e q r t ) + 磊州档2 h l j + 嘉d ，( 眦嬲一项d a ；r ；叫d m s e ( g ( k ) ) = 打( g d ( i ( ) ) ) + i l f ( ( i ( ) ) 一d l f 2 = 打( ( g ) 一1 c d c ( c 7 a ) 一1 ) + d ，【( g 7 g ) 一司， ( g 7 g ) 2 一明d = 打( a 2 一2 r c m c r ) + a 2 t r ( a 2 k - 1 ) + d r ( a 一j ) 2 r 7 d 定理2 2 4 对( 0 k 1 ) ，有 m s e ( d l ( k ) ) m s e ( d ( k ) ) m s e ( d l ( k ) ) m s e ( d ( k ) ) 证明：因为0 l ，由定理2 2 3 的结果知 m s e c 如c ，= 嘉耋押c ( a 五2 警一。) r ：c ：c m e w ) c i r i ) + 三2 ；薹r n ；打c ( 五1a 銎一，) ， + 嘉； ；d ，c r t ( h a 如) r ：一dc 。( 九a 知) r ；一d a i 芦主m ；打c ( a 磬一2a 蝥一。r ：qc m e 叫，a r 。，+ 孑0 2 兰m ；打c ( a 棼一1 a 蝥一，) ， + 未；d ，c r t ( a 矗a 是) r ：一dc d ( a 嚣a ) 巧一d “ m s e ( d l ( k ) ) 谬一。r c m c r ) + a 2 t r ( ( 町1 垮一。) ( 咖驴) 吮 打c ( a 一2a 梦。) r 7 a m g r ，+ a 2 t r c ( a 一1a 驴一。) + 打f ，( a f 一妒 、 。a ；柚。) n 。 o a， ，t 州 “ = 东南大学硕士论文 = m s e ( j ( k ) ) 定理2 2 4 说明，从m s e 标准看屯( ) ( 五( ) ) 比c i ( ) ( c i ( ) ) 更进一步逼近真值d 2 3 参数k 的选取 ( 1 ) 极小化均方误差法 对于估计五( ) ，由定理2 2 3 可得 g ( k ) = m s e ( 五( ) ) = 打c ( a i 2a ；。一。f i c m c f ) + a 2 t r ( ( a i l) 州r ( 。 1 4 ( 峥驴) r d 兮i f ( c m g ) r “= a i i ，( r d ) = 6 。，则 ，c e ，= 。打c ( 。a ；。一。a 。) p ( c 7 m c ) f ) + 2 a 2 t r c z n a ：a ；一1 ， + 2 d ，r ( 。a ；一日。n a 。a ；) r 7 d 令g t ( ) = 0 ，即 壹( ；k - 2 l n ) 、i ) 。卅。壹a r m ；+ ga ；( a ；一，) m i 皤：。 即 k 的求解要用到数值方法，此处从略 可以看出k 的最优值k 。与未知参数有关，因此在应用上我们以未知参数的估计值代替 相应的未知参数来求解k 的最优值例如将庄东辰与茆诗松( 1 9 9 6 ) 得到的各参数的无偏估 计代入立得舻的估计对于估计屯( ) 同样可以求得k 的最优估计但由于在一般情况下 这两种局部根方估计是有差别的，如( ) 是独立的提取信息嗣中关于d 的信息，然后将这 些信息的作用简单叠加起来，而五( ) 是统一的综合z i 中关于d 的信息对d 做估计，并且 从实际计算的角度看，关于五( ) 的参数k 求值比较方便。 砖 礼 k i a ，毗 i i6 + 一t 盯+o l n ，卅 东南大学硕士论文 1 5 ( 2 ) 极小化均方误差的无偏估计法 根据文【4 提出的极小化均方误差的无偏估计的思想，构造均方误差的一个无偏估计，用使 其达到最小的k 4 作为k 的最优估计。由文【3 】中定理3 1 ， e c 矛f ( 。a 。一d 。) r ，面= r ( 。a ；一，。) r a + 打“r ( 。( a l d 2 ) 一( ( a ) 一1 ( e m g ) ( g g ) - 1 + i f 2 ( g 7 g ) 一1 ) ) = d ，i 、( 。( a l d 。) r ，d + t r c r ( 。a 。一。) ( a i la i 。) r c m c ，r ( a i la i 。) r 7 ， + a 2 打c r ( 。a 。一。) ( a i la i 。) r ， = r ( 。a l 一，。) v d + t r ( ( 。a ；一，一a i 。，。) r c g m g ，p ) + a h r ( c a 一，2 a 孑1 ， 所以 层c 矛r ( 。a 。一d 。) r i 一打c ( 。a ：一。一a i 。，。) r c g m c ) r ) - 押c c a s - i ) 2 a ；j ， 刮，r ( 。( 峥妒) 心 因此d ，r ( 。( a 2 一d 。) r ，d 的无偏估计为 毋r ( 。a 。一，。) r ，j 一打c ( 。a ；一。一a i ，。) r 7 c g 肪g ，f ，一d 2 t r ( ( h ；一，。a i - ， 则构造五( ) 的均方误差的无偏估计如下： i c * ，= 打c ( a i 2a ；。一。) r ，c g 7 疳g ，r ，+ 乒打c ( a i la 笋一，) ， 东南大学硕士论文 验证如下 + 即f o j 0 一打( 1 i t r ( r t l g t 殛 + 打f o f ( a 一，) ：) r 7 i ( a 5 _ 胪) 州 r ( 肪g ) r ) 一毋打( ( a 5 一j ) 2 a 彳1 ) a i 。) ，+ 乒打c ( a i l 。a ；一，一a i 。) ， e c * ，= 凹c 打c f 7 c e 7 肪g ，r ( a i 2 。a ；一。一a i 。) ， 。a 。一，一a i 。) ，+ 孑r ( 。人；一，。) r 西 打c r c c m c ) r ( a i 2 ：a l 一。一a i 。) ， + 盯2 打( 坩c ( ( a _ 12 a 。一，一a i ，) ，+ d ，r ( 。 。( 垮。吨1 ) 2 ) 叩蚓r ) + 州( a ；- i ) 2 a i l ) = 打c ( a i 2a ；。一。f c m c f ) + a 2 t r ( ( a i la 挚。) ， + rf o = g ( 詹) 其中财= d i a g ( y i z y f ，硷金写 的无偏估计： 1 6 是庄东辰与茆诗松( 1 9 9 6 ) 得到与口2 崎_ 一 a 1，一 扣： r 一1 ， r 袅 + dr 、， 2 r i k 2 a d r 、 2 r 一 2 a 乒 砰 与m 汹 e 一m ， = 乒 砼 gk 东南大学硕士论文 1 7 其中 a = 足( m p g ) ，且= ( z i q 五) 旧一q 五) 宝2 磊与萎& 一击乒( 巧只k ) 1 m 1”l 其中 s i = ( 反一8 ) ( 岛一5 ) ，p i = i n 。一x t ( x ：x 。) 一1 x ： 令( ) = 0 ，即 打c r 7 c g 肪e ，r ( 。a ；一：。a 。) ，+ 。打c z a 。一1z n a ：，+ z 留c r ( 。a ；。a 。一，：。a 。) r 7 i = 。 由上式解得k 的最优估计对于估计五( ) 同样可以求得k 的最优估计 2 4 可容许性、优效性及对l s e 抗干扰性的改进 这一部分主要针对j ( ) 来讨论其可容许性、优效性及对l s e 抗干扰性的改进 引理2 4 1 对于模型= x 卢+ e ，e 一( o ，y ) ，假定x = ，则a y 一卢的充要条件为 ( 1 ) a v 对称( 2 ) a 的所有特征根在f 0 ，1 1 内。 定理2 4 1 一局部根方估计( i ( ) 是参数d 的可容许估计的充要条件为 ( 7a 5r ( c d c ) r = r ( c d c ) r ( 7a 1 ) 证明：将模型( 1 5 ) 变为 ( g 7 e ) 一1 c 7 z = d + ( g g ) 一1 c e ， ( g g ) 一1 c 7 e ( o ，( g g ) 一1 c 7 d c ( c g ) 一1 ) j l ( k ) = r ( 7a 。) r c g g ，一1 g z 垒a ” 其中 a = r ( ，a ；) r ， = c g 7 e ，一1 g z ， y = c g 7 c ，一t e ，。g c g ，e ，一- 东南大学硕士论文 由引理2 4 1 知， av= ( a v