（应用数学专业论文）股票期权对经理人的私人价值.pdf

摘要 现代金融理论的核心问题是资产定价，标准的金融理论的核心假设 就是理性假设和期望效用假设。以此为基础建立了c a p m 模型，m m 及b l a c k - s h o l e s 期权定价等理论对金融资产的一种朴素想法是t 估计 未来价值的各种可能性，然后计算其平均值。并以这一平均值作为它的 估值；或者用数学工具来描述，把金融资产的未来价值看作一个随机变 量，那么这个变量的数学期望就可当作金融资产的当前价值自上世纪 七十年代以来，最优投资以及与之密切相关的资产定价问题引起了学术 界广泛的关注其中在完全或完备的金融市场条件下的金融理论已日趋 成熟。这些理论简化了理论计算，与金融市场的本来面目存在一定的差 距，其结论无法完全满足实际的需要本文致力于不完备金融市场的资 产定价，主要是利用效用无差别定，得到了一个关于经理人的私人价值 的一个近似公式 本文第一章介绍了本文所需的一些预备知识这一章分为两节，第 一节主要介绍经理人报酬和股票期权基础知识，第二节在统一的公式给 出了效用函数的一个概述第二章研究近年来国际上比较热的效用无差 别定价，并给出了它的大部分性质第三章是对现有关于股票期权的研 究做了一个综述第四章是本文的主要部分，通过建立一个连续时间效 用模型，在经理人为幂效用函数下，给出了一个股票期权对于经理人私 人价值的近似公式即 定理2 - 当丸( 踯) 0 且h 无上界，经理人效用函数为u ( x ) 盎 z 】i 一- - 孙r ( i 口。1 ) ，在时刻t ，经理人获得入单位的九( 岛) ，初始财富为z 则此时股票期权对经理人的保留价格为 d ，ra2 t i n s 2 p ( t ，z ，s ，a ) = p = a 曰 ( 曲) 一入2 芸7 2 ( 1 一矿) 伊常砒+ o ( 入2 ) 关键词- 经理人报酬；股票期权；效用无差别定价；幂效用 i a b s t r a c t o n eo ff u n d a m e n t a lp r o b l e m si nm o d e r nf i n a n c et h e o r yi st h ec a p i - t a la s s e tp n c i n g t h ef u n d a m e n t a la s s u m p t i o n si nt h es t a n d a r df i n a n c i a l t h e o r ya r et h er a t i o n a lh a p o t h s i sa n dt h ee x p e c t a t i o nu t i l i t ya s s u m p t i o n ， a n db o t ho ft h e ma r et h ef o u n d a t i o no fs e v e r a lw e l l - k n o w ne c o n o m i ct h e - o r i e s ，s a y , c a p m ，m ma n db - so p t i o np r i c i n g i no r d e rt op r i c i n gt h e c a p i t a la s s e t ，o n es i m p l ea p p r o a c hi st oe s t i m a t ei t sf u t u r ev a l u ea n d t a k et h e i re x p e c t a t i o na st h ev a l u a t i o no ft h i sa s s e t s i n c e1 9 7 0 8i nl a s t c e n t u r y , t h ep r o b l e m so no p t i m a li n v e s t m e n ta n dc a p i t a la s s e tp r i c i n g a p p e a lt om o r ea n dm o r er e s e a r c hi n t e r e s t sf r o ma c a d e m i cs o c i e t ya n d f i n a n c i a li n d u s t r i e s t h ef i n a n c i a lt h e o r yo nc o m p l e t em a r k e th a sb e e n f u n yd e v e l o p e d h o w e v e r ，t h e s er e s e a r c h e ss i m p l i f yt h et h e o r yo fc o n d i - t i o n s ，w h i c hi n c o n s i s t e n tw i t ht h ef i n a n c i a lm a r k e t s ，t h u sb e i n gu n a b l e t os a t i s f yt h er e q u e s ti nt h ea p p l i c a t i o n t h i sp a p e ri sd e v o t e dt ot h ec a p - i t a la s s e tp r i c i n gi ni n c o m p l e t ef i n a n c i a lm a r k e t ，f o c u s e do nt h eu t i l i t y i n d i f f e r e n c ep r i c i n g ，t h e r e f o r e ，t h ep u r p o s eo ft h i sp a p e rb e c o m em o r e s i g n i f i c a n t t h i sp a p e ri ss t r u c t u r e da sf o l l o w s i nc h a p t e rl ，s o m eb a s i sk n o w l - e d g ei sg i v e n w eb e g i nb yi n t r o d u c t i o ne x e c u t i v ec o m p e n s a t i o na n d s t o c ko p t i o n s t h en e x ts e c t i o n ，ab r i e fr e v i e wo fu t i l i t yf u n c t i o ni s g i v e n w ei n t r o d u c eu t i l i t yi n d i f f e r e n c ep r i c i n ga n dg i v eas u r v e yo f t h el i t e r a t u r ei nc h a p t e r 2 i nc h a p t e r3 , w em a k eas h o r tr e v i e wo nt h e s t o c ko p t i o n s o u rr e v i e wf o l l o w st h eo r d e ro ft h ea b o v er e s e a r c hd e s i g n 。 t h em a i nr e s u l to ft h i sp a p e ri sg i v e ni nc h a p t e r4 is e tu pac o i l - t i n u o u st i m eu t i l i t ym a x i m i z a t i o nm o d e lt ov a l u et h es t o c ka n do p t i o n c o m p e n s a t i o n st ot h ee x e c u t i v er e c e i v i n gi t iu s et h ep o w e ru t i l i t yt o c o m p u t e t h ev a l u et ot h ee x e c u t i v ea n dd e r i v ea na p p r o x i m a t e l ys o l u t i o n t h e o r e m 2 ：f o r h ( s t ) 0 a n dh n o tb o u n d e da b o v e 。t h eu t i l i t yf u n c t i o n o fe x e c u t i v ei s u ( z ) = z l i 一- 孙r ( 一1 ) ，t h et i m etp r i c ep o fa u n i t so f ，i ( s r ) ，g i v e ns tc u r r e n tw e a l t hz 。t h e nt h er e s e r v a t i o np r i c et ot h e e x e c u t i v ei s p 叩，入) - - p - , - a e ? t ( 岛) 埘i r 张1 一矿) 酽z r 鼠2 c s ： 如+ o ( 入2 ) k e y w o r dl e x e c u t i v ec o m p e n s a t i o n ；s t o c ko p t i o n s ；u t i l i t yi n d i f f e r - e n c ep r i c i n g ；p o w e ru t i l i t yf u n c t i o n 1 1 1 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的 研究成果本人在论文写作中参考的其它个人或集体的研 究成果，均在文中以明确方式标明本人依法享有和承担 由此论文而产生的权利和责任 责任人( 签名) ：萋世志、 7 年r 月上1 日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规 定厦门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送 交论文的纸质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目 的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅，有权将 学位论文的内容编入有关数据库进行检索，有权将学位论 文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用 本规定 本学位论文属于 1 ，保密() ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密( ) ( 请在以上相应括号内打，竹) 作者签名；熏也志、日期：伽日年f 月工f 日 导师签名：协髦k日期：u 。7 年6 月f b 日 第一章预备知识 第一章预备知识 1 1 经理人报酬和股票期权的基础知识 1 1 1 经理| 人报酬的种类 、经理 报酬按照其是否与业绩相关来分类 1 与业绩无关的报酬( 如工资) 2 基于业绩的报酬这又可按所基于的业绩基础分为t ( 1 ) 基于会计基础业绩的报酬，如年度奖金计划或长期业绩计划( 1 0 n g - t e r mp e r f o r m a n c ep l a n ) ( 2 ) 基于市场基础业绩的报酬，如股票期权、限制性股票( r e s t r i c t e ds t o c k ) 、 股票增值权( s t o c ka p p r e c i a t i o nr i g h t s ) 、影子( 虚拟) 股票( p h a n t o ms t o c k ) 等 长期业绩计划是指事先设定个较长时期( 通常为3 年一5 年) 的业绩 目标，当经理 实现了这些业绩目标，就可得到报酬奖励，奖励可以是现金 或股票或两者都有长期业绩计划又可细分为业绩股票计划( p e r f o r m a n c e - s h a r ep l a n ) 和业绩单位计划( p e r f o r m a n c e - u n i tp l a n ) 前者是奖励股票，它 的报酬金额最终受到业绩目标完成情况和计划期间股票市价的变化，所以它 又结合了市场基础业绩在里面；后者是按业绩单位奖励现金( 如1 0 0 单位奖 励多少现金) ，所以它只受业绩目标完成情况的影响典型的业绩目标是以 会计基础业绩来表征的，如在特定时期内的e p s ( 每股盈余) 的增长之类长 期立屿盼恻和限制性股票大约在2 0 世纪7 0 年代在早期和中期被引入企业 实践中( 见s l o a n 1 ) 股票增值权是指赠予经理人的一种在定期间内获 得定数量的股票的增值额( 股票增值权赠予日与合约约定期末的股票市价 之差额) 的权利，到期以现金或股票结算，经常是作为现金股票增值权伴随 着股票期权为经理人的行权提供现金影子股票是赠予经理人的种虚拟而 非真实的股票，当经理 满足特定的条件后才会转为真正股票或现金结算， 条件_ 般为经理人必须在企业工作一定时间( 如5 年一2 0 年) 和经理 必 l 第一幸预备知识 须从本公司退休，经理入从影子股票中得到的报酬为影子股票赠予日至转换 日的股价差额限制性股票是指企业赠予经理人一定数量的股票。但这些股 票的再出售或转让受到限制，通常限制也有一定的期限，有着授权时间安排 ( v e s t i n gs c h e d u l e ) 至于股票期权。将在下节介绍 二：按照是否是直接的现金收入来分类 1 把工资与年度奖金等年度报酬合称为现金报酬( c a s hc o m p e n s a t i o n ) 2 - 2 把股票期权、限制性股票、股票增值权等基于市场基础业绩的非现金 报酬称为基于股票的报酬( s t o c k - b a s e dc o m p e n s a t i o n ，s b c ) ，也可称为所有 权激励( o w n e r s h i pi n c e n t i v e s ) 这些基于股票的报酬形式也可结合在同一 计划之中，如将股票期权或影子股票与现金股票增值权组合在起供经理人 选择，若最终选择种报酬形式，就需放弃另种报酬形式需要注意的是， 基于股票的报酬并非最终只用企业的股票来结算，也可采用现金或其他非现 金资产来结算基于股票的报酬及前述的长期业绩计划也常被称为长期激励计 划( 1 0 n g - t e r mi n c e n t i v ep l a n ) 依据t o w e r sp e r r i n 公司的调查，在大多 数国家，股票期权计划的应用要比长期业绩计划、限制性股票以及其他长期 激励计划广泛得多 三按照报酬是否被递延至未来支付来分类 1 年度报酬包括工资、年度奖金以及其他短期激励( 如当期利润分 享计划) 2 递延报酬( d e f e r r e dc o m p e n s a t i o n ) 递延报酬包括任一种经理人实 际收到日期被递延至未来期间的现金或股票报酬如。金手铐( g o l d e nh a n d - c u f f s ) 。就是指将经理人已赚取的奖金递延至未来3 年一5 年支付的一种 计划基于股票的报酬般都是递延报酬 除匕述报酬外，经理人般还有公司被并购时的金降落伞( g o l d e np a r a c h u t e s ) ， 退休金计划( p e n s i o np i a n s ) 、无息贷款( i n t e r e s t - f r e el o a n 8 ) ( 如企业向经理 人提供的无息贷款以使经理 能购买股票期权的股票) ，寿命保险( 1 i f ei n - 第一章预备知识 s u r a n c e ) 、其他特殊津贴( o t h e rp e r q u i s i t e s ) 等形式的报酬 1 1 2 经理人股票期权的定义、时间安排和相关术语 由上可知，经理人股票期权是经理人报酬的部分。更严格地说，是经 理 基于股票的报酬的部分具体而言，经理人股票期权是指企业赠予经 理人的一种选择权利( 而非责任或义务) ，持有这种权利的经理 可以在规 定的时期内以事先约定的价格购买一定数量的本公司股票这个购买股票的 过程叫行权( e r e r c i s e ) ，经理人行权时购买股票的约定价格叫执行价格( e x e r c i s e s t r i k ep r i c e ) 逢企业兼并、股票分割和发放股利等时，执行价格一 般可自动予以调整在行权后，经理入般可在任何时间出售行权所得的股 票 经理人股票期权是一种看涨期权( c a l lo p t i o n ) 美国的经理人股票期 权_ 般是将美式期权( a m e r i c a n - s t y l eo p t i o n ，可以在到期目前任何时间行 权) 与欧式期权( e u r o p e a n - s t y l eo p t i o n ，只能在到期日行权) 的特征结合 于体，那就是，在赠予日( g r a n td a t e ，即公司将股票期权赠予经理人的 日期) ，经理人并不能立即行权，因为通常情况下，经理人不能在被赠予股 票期权后立即获得行权权( e x e r c i s er i g h t 。即行使购买股票的权利) ，而在 行权权的授予日( v e s t i n gd a t e ，即经理人获得行权权的日期) 之后股票期 权的赠予e t 与行权权授予日之间的期间被称为待权期( v e s t i n gp e r i o d ) ，行 权权授予日到股票期权到期日( m a t u r i t yd a t e e x p i r a t i o nd a t e ) 之间的期 间被称为行权期( e x e r c i s ep e r i o d ) 经理 股票期权的行权权般是分期 分批授予的( g r a d e d - v e s t i n g ) 这样。同计划被赠予的股票期权的待权 期就不相同在行权权被赠予后，经理 就可以行使期权购买股票，具体行 权e t 期叫行权日( e x e r c i s ed a t e ) 已授予行权权的期权就被称为可行权股 票期权( v e s t e do p t i o n s e x e r c i s a b l eo p t i o n s ) 通常，经理 股票期权的 有效期为1 0 年( 从赠予日至到期日) ，而其中的待权期为3 5 年有 证据表明。对于1 0 年期的期权，经理天平均在期权授予后5 8 年行权( 见 c a r p e n t e r 2 ) 经理人股票期权通常不能转售给第三方，在到期日前不行权 3 第一章预备知识 就会失效一般来说，在行权权未授予经理人之前，经理人离开企亚，股票期 权就作废，但行权权赠予后，经理人再离开企业，期权不作废若经理人在任 期内死亡，其获赠的股票期权一般可以作为遗产由其继承人来继承；若经理 人在任期内丧失行为能力。一般也可继续由继承人或配偶等来继续行权；若 经理人退休，则可继续持有和行使已赠予的股票期权经理人殿票期权持有 期间没有股利收益。其收益只有来自股价上涨。高于行权价综上所述，经 理人股票期权计划的时间安排如图1 所示 赠与日待期授予日行权期到期日 r f i g u r e1 ：经理人股票期权计划的时间安排 1 1 ，3 股票期权的定价 学者们在研究经理 股票期权时通常采用b - s 期权定价模型( b l a c k - s c h o l e so p t i o n sp r i c i n gm o d e l ) 或其修正模型来计算股票期权的价值用 经m e r t o n ( 1 9 7 3 ) 3 修订的& s 模型来计量经理人的股票的价值主要考虑 以下六个基本因素。( 1 ) 可以购买股票的市价( p ) ； ( 2 ) 股票期权的执行 价格( e ) ；( 3 ) 股票期权从赠予到行权时的时间期限( t ) i( 4 ) 时间期限 内股票的预计股利率( d ) ；( 5 ) 时间期限内的无风险利率( r ) ；( 6 ) 时间期 限内预计股价波动率( 口2 ) 需要指出的是，由于b s 模型计算的是可交易 型股票期权的价值，而经理 股票期权是不可交易的；b s 模型计量的是 欧式看涨期权的价值，而经理人股票期权般是美式与欧式期权的结合除 此之外，m u r p h y ( 1 9 9 9 ) 4 】，h a l la n dm u r p h y ( 2 0 0 2 ) 5 还讨论了利用 b - s 模型来进行经理人股票期权计价的其他缺陷，如该模型假定股利支付和 股价波动是稳定的。这对长达1 0 年的期权来说是不敏感的；经理人在期权 行权权被授予前离开公司，期权就会作废，这意味着会减低期权的成本和价 值，b s 模型会高估股票期权对经理人价值和对公司的成本；b - s 模型假定 期权只有在到期日才可行权( 欧式期权) ，而经理人股票期权在行权权授予 经理人后就可行权，这降低了期权对公司的成本，同时提高了期权对经理人 4 第一章预备知识 的价值，t 就不是股票期权的有效期，而是个基于股票期权有效期和经理 人预计行权及行权权授予后终止聘用情况的影响的估计期间为此。在采用 & s 模型来计量经理人股票期权的价值时应该就经理人股票期权的不可交 易性、执行价、提前行权和作废概率对期权计价模型进行调整，才能采用诸 如b s 模型或二叉树( b i n o m a lt r e e s ) 等标准方法对外部投资者愿意为期 权支付多少做出合理的估计需要注意的是，e 述这些期权计价模型计算出 来的仅仅是经理人股票期权对股东的经济成本，并非经理人股票期权对经理 人的私人价值，两者是有很大差异的对于后者，还需要结合经理人的风险 厌恶程度，私人财富及其多元化投资程度等来调整计算，这将在第四章作详 细的讨论 1 2 效用函数概述 定义效用函数u ( z ) 为具有二阶可导的连续函数且u ( z ) 是严格单调 递增 ( ( 霉) 0 ) 和凹( 扩( 舅) 0 ， 此时如= r ；当b 0 时， a 为任意实数规定当z 0 且b 1 时，由( 1 1 ) 式可解得 v ( x ) ；百呈了( a + j e i z ) 卜刍+ d ；c o ，d r ，z 一百a 这里c 和d 都是积分常数匕述效用函数也叫广义幂效用函数( e x t e n d e d p o w e ru t i f i t yf u n c t i o n ) ，详见h u a n ga n dl i t z e n b e r g e r 6 般地，当a = 0 时，b 拣亡成为般( 狭义) 的幂效用函数( n a r r o w p o w e ru t i l i t yf u n c t i o n ) 。即 u ( z ) = 型b - 1z l 一击+ d ； g 。，d 兄，z o 特别地，令r = 刍，d 一0 ，c 客b 古时。有 u ( z ) 。= i ， r l ，z 0 ( 1 2 ) 上式即为通常所说的幂效用函数，它是常数相对风险厌恶( c o n s t a n tr e - a l t i v er i s ka v e r s i o n ，c r r a ) ，这里r r ( z ) 一x r 。( x ) 茹吉( 常数) ( 2 ) 当b 一1 时，由( 1 1 ) 式，h a r a 效用函数变为对数效用函数， 即 ( z ) = c l n ( a + x ) + e ，c 0 ，e r ，z - a 其中c 和e 都是积分常数特别地，令a = 0 ，e = 0 ，c = 1 。则 v ( x ) 一l l l ( z )( 1 3 ) ( 3 ) 当b = 0 时，h a r a 效用函数变为指数效用函数，即 u 扛) = 一丢e 一夤+ g ， f o ，a o ，g r ，z 兄 6 第二章效用无差别定价7 其中f 和g 都是积分常数，特别地当g o ，a = 专，f 霉1 时， 矽( z ) = 一言e 一 ( 1 4 ) 这就是常见的指数敦用函数此时它是常数绝对厌恶( c o n s t a n ta b s o l u t er i s k a v e r s i o n ，c a r a ) ，即凡( z ) 盘- y 1 2 2 非h a r a 效用函数 个在文献中经常用到的非h a r a 效用函数为二次效用函数( q u a d r a t i c u t i l i t yf u n c t i o n ) 。即在( 1 1 ) 中，令b - 1 ，a 0 ，则 u ( z ) - - - x - - 砑1 z 2 ， z r ( 1 5 ) 此时。有 兄( z ) 霉熹 辟( z ) 2 忐 故。冠 ) 0 ，即随着财富的增加，绝对风险厌恶会加大直观的经济含 义是。具有这种类型效用函数的人。风险对他来说好比是劣质商品，随着自 己财富的增加，对风险的厌恶会变大 第二章 效用无差别定价8 第二章效用无差别定价 效用无差别定价( 文献【1 0 】是个相当全面的综述) 是指个投资者 在期初t = 0 时不投资的效用和用矿支付( 买入) 而在t 盘t 时得到未 定权益c ，的效用是无差别的考虑有( k 0 ) 份的未定权益假定投资 者的初始财富为z ，令 v ( x ，七) = s u pe u ( x r + k c r )( 2 1 ) 孙a ( 善) 这里a ( z ) 表示初始财富z 在时刻t = t 所产生的收益集合则效用无差 别买价矿就是满足方程 y 一矿( 七) ，k ) = y ( x ，0 )( 2 2 ) 的解即投资者在t 驾t 时，为获得k 份未定权益c l 。在亡誊0 时最多 愿意支付矿类似的，效用无差别卖价矿是投资者t = 0 时至少要获得 矿( 七) ，才在t t 时卖出k 份未定权益c 即，矿( 尼) 是满足方程 y ( x + p 8 ( 后) ，- k ) = v ( x ，0 )( 2 3 ) 的解从而，显然有矿( 七) ；- p 。( - k ) 因此，我们记p ( 后) ( 七r ) 表示 满足( 2 2 ) 式的解 根据效用无差别的定义可以得出以下一些i 生质， ( 1 ) 效用无差别定价是。非线性定价。 在资本资产定价模型中，“线性定价法则”的作用很大，它实际上可用来概 括b l a c k - s c h o l e s 期权定价理论以前的金融经济学的几乎所有主要结果，而 b l a c k - s c h o l e s 期权定价理论无非可归结为。正线性定价法则m l q 与之不 同的，效用无差别定价则是个。非线性定价的法则。即我们有如下命题。 命题【1 0 j ，对投资者来说，有矿( 七) k p b ( 1 ) 即购买k 份的未定权益的 价格将低于七倍盼未定权益的价格之和；而对出售者来说，有矿( 一k ) 置矿( 一1 ) 即出售k 份的未定权益的价格将高于k 倍份未定权益的价格之 和 第三章 股票期权研究概况9 ( 2 ) 致性 在完备且完全的市场条件下，传统的资产定价理论与效用无差别定价理 论得出的结论是相同的如果市场是完备巨完全的。未定权益c 是可复制 的，则在无套利条件下，效用无差别定价p ( k ) 等于在完备市场中k 份资产 的无套利价格少。即p ( k ) = 惫矿 ( 3 ) 单调性 假设表示第i 种未定权益的价格。且四僻，则有矿矿 ( 4 ) 凸性 如果记纵为未定权益爻锝+ 入c 孚( 其中入【o ，1 】) 的效甩无差别定 价，贝0 有p x 卸1 + ( 1 一入) 矿 第三幸股票期权研究概况 1 0 第三章股票期权研究概况 自上世纪9 0 年代以来，经理股票期权已经获得了极大的发展，并成为 了经理1 人报酬的个重要组成部分2 0 0 2 年，在英国经理人的殷票期权占 经理人报酬的达到2 4 ，而在美国则高达为5 8 早期，l a m b e r t ( 1 9 9 1 ) 7 首先利用。确定性等价。方法来估计股票期权对经理 的私人价值，这方 法是按经理人愿意用来交换股票期权的无风险现金报酬的金额来计价m u r - p h y ( 1 9 9 9 ) 4 】利用。确定性等价。方法计算期权对经理人的价值，研究发现， 随着经理人的风险厌恶的程度的增大。经理人财富与企业联系越密切( 投资 多元化程度越低) ，股票期权对经理 的私人价值就越低h a u ( 2 0 0 2 ) s l 指出 大部分文献关于经理人股票期权的的研究论文都是按照b l a c k - s c h o l e s 模型 来计量其价值，但经理人股票期权在些关键的方面的方面是与b l a c k - s c h o l e s 模型可计量的的股票期权是不同的；如经理人股票期权是不能交易的；经理 人是风险厌恶的且未能多元化自身投资；不能通过卖空股票来为自己持有的 股票期权的风险进行套期；而b l a c k - s c h o l e s 模型中的股票期权是可以自由 交易的，耳其持有者为风险中性，能为自己持有的股票期权的风险进行套期 以上文献在讨论股票期权对经理人的私人价值时，并未区分系统风险与 企业特定风险对期权价值的影响h e n d e r s o n ( 2 0 0 5 ) 9 构建了个连续时 间效用模型来计量股票和期权报酬，他假定经理人除不能交易自己公司的股 票( 从而不能对期权进行套期以分散企业特定风险) 外可进行市场交易以分 散系统风险，但仍暴露在企业的特定风险之下 然而文献 9 】9 的模型仅考虑经理人的效用函数为指数效用( 常绝对风险 厌恶) ，即在u ( x ) = 一；1e x p ( 一，y z ) ( 7 0 ) 的情况下，得出了个关于经 理人私人价值的解析表达式，即 片：一望唔墨三掣l o g 伊 唧( 一入，y ( 1 一矿) ( 岛一k ) + ) 】 ( 3 1 ) 但在现实中，经理人更多的是具有幂效用函数( 常相对风险厌恶) ，即v ( x ) = 号兰若( 冗1 ) 本文正是在此基础上，利用效用无差别定价与对偶方法( 文 第四章股票期权1 1 献【1 0 提供了个关于效用无差别定价的全面综述) ，得到了个关于经理 人的私人价值的个近似公式 第四章股票期权 第四章股票期权 1 2 4 1 连凌故用模型 经理人股票期权是种看涨期权，美国的经理人股票期权般是将美式 期权与欧式期权的特征结合于体，也就是在赠与日，经理 并不能行权， 而是在行权权的授予日之后 6 1 。本文仅考虑股票期权为欧式期权，而把欧 式期权看成是美式期权的近似，这实际上。也给出了美式期权的个匕界 因为在待权期( v e s t i n gp e r i o d ) ，期权并不能执行 我们假定， ( 1 ) 经理人不能交易自己公司的股票，从而不能对期权进行套期保值以 分散企业特定风险，但可进行市场交易以分散系统风险市场指数m 服从 几何布朗运动，即 等一p 班删口 ( 4 1 ) 其中b 是标准布朗运动公司股票价格s 遵循一下过程 百d s v d t - - - r l ( p d b + v 百- p 2 d w ) ( 4 2 ) 这里w 是和b 独立的标准布朗运动股票价格s 的总方差为r 1 2 ，它包含 两部分部分为系统风险矿7 7 2 ，另部分为企业特定风险( 1 一矿) 7 7 2 当p 一0 时，风险全部为企业特定风险；当p 一1 时，风险仅为系统风险。 而系统风险时可通过市场交易分散掉的 ( 2 ) 无风险利率为r ，经理入的初始财富为x ，并将其中的o x 投资 于市场，其余投资于无风险资产。则 d x = 0 等州x o ) d t ( 4 3 ) ( 3 ) 经理人被授予a 份j 嗍权，经理人的效用函数为u ( z ) 窭x l l 一- 孙rt 一r 1 ) ，经理人最大化其期望效用，他的价值函数为 v ( t ，五，& ，入) = ，。s 、u p 、最 u ( 婚+ a ( s 一k ) + ) ( 4 4 ) & ) f t t ) 。 第四章股票期权 1 3 这里v ( t ，k ，& ，a ) 表示在时刻t 。经理 的财富为x ，他在t 时刻将获 得a 份股票期枕 4 2 股票期权对经理人的私人价值 利用效用无差别定价和对偶方法h e n d e r s o n ( 2 0 0 2 ) 7 对包含种不可 交易资产时，其最优套期保值及保留价格给出一系列有用的结果假设在时 刻t ，经理入将得到 ( 曲) 的收益。那么我们有以下定理： 定理1 ：( 1 ) 定义q e ，th ( s t ) ，掣；静，当h ( s t ) 0 且h 无上 界，a o ，厂( z ) = z 1 1 一- 孙r ( e 1 ) 时。最优执行策略矿为 口 ，z ，s ；a ) = 0 1 ( t ，z ，3 ；a ) + d ( a )( 4 5 ) 这里 p ，( 亡，z ，s ；入) = 言( z + a g ) 一7 - - 盯- p a s 口 ( 4 6 ) ( 2 ) 利用目l ，我们定义 晰一炉x ( 1 1 一- 月r ) e o _ r ) m , 【1 + a 磐譬v 2 ( 1 - p 2 ) e t r 警妒矗 ( 4 7 ) 这里 茄一唧 雩胁一互1 ( 雩闭，m 一互1 孤# 2 ( 4 8 ) 则有价值函数 v ( t ，z ，3 ；a ) = k 0 ，z ，s ；a ) + d ( a 2 )( 4 9 ) 证明。通过证明巩是最优执行策略，然后对价值函数进行展开给出 它的上下界 第四章股票期权 1 4 f 界的估1 m 百先亏虑个零收益网越，用( i o ，皑) 覆不最优财 富，策略对则删= 卵鲁，酲= 孵且 霹= 知e x p ( 轰b t + 蒜一而# 2 t ) ( 4 1 0 ) 接下来考虑他在t 时刻将得到a h ( s t ) 的收入 固定k ，令 如霉t n f u ：z 霹1 ( 一篇g + 警& 口) ( 萼一t t 兄d t ，、= k ) ( 4 1 1 ) 假定a 去考虑由初始财富为x o 产生的财富过程x 1 一，执行策略为 露k 盘孑一n k a c d c t 鲰) ) 一警& 口亿 鲰) ( 4 1 2 ) 南( 去g 一譬& 碟) ( 鲁一簧砒) ) ( 4 m ) 注意到当h k t 时，有砧x = 衅( 1 一a k ) ，更般的有碌k 衅( 1 一a k ) 接下来考虑露，耳= 耐，k + a g ，利用期权价格c 满足的偏微分方程，有 聊k = 去露一下d p + 久& 霹刀v f - p a d w ( 4 1 4 ) 因此，当t 鲰时，有 矿= 肆 1 + 入( 掣+ z 筹叩舟) ) 他埘 且z k = 义争k + a h ( s t ) 叉孕( 1 一a k ) + a h ( s t ) 义罩( 1 一a k ) 由t a y l o r 展开式，有 u ( 爹+ h ) - - u ( 爹) + 毳u ( 可) + 互1 毳2 矿妇+ f ) ，f 一专( 入，k ，。) 【o ，l 】 ( 4 1 6 ) + rl 砰 聋x 则 埘。 第四章股票期权 令可= 肆和h 蕾z 多k 一肆，我们逐项考虑各项的期望值首项e ( c ，( 肆) ) 一 v ( o ，x o ，s o ；o ) 对第二项，有 u f x o ) 2 石a 唧( 雩t ) d p 这里户是最小鞅由于x o 和x t k 在p 是鞅，有 e 【( 砼x x o ) u , c x o ) 】一x o 兄e o - a ) 柑酽( 地( 曲) ) 注意到最后项，当f 盘荨( 入，k ，u ) 【o ，1 】时， 肆+ ( 砼k 一肆) 肆( 1 一入k ) ( 4 1 7 ) ( 4 1 8 ) ( 4 1 9 ) 冉由u ”早调增刀明。有 刍( 番一一肆) 2 扩( 衅+ ( 砧x 一衅) ) ( 磷) 2 ( 壁掣+ r - & - x 凹f 叼以i 劢) 2 ( 磷( 1 - a k 腿坛 + ( ( s ) 一叉孚k ) 2 u ( 叉孚( 1 一a k ) ) i ( n k 0 定义 t k 盘i n f t ：i 眠l + 【 死1 = k ) 选择k 充分大，使得 应【m r 一【m 致】 令q 耳 箬= 唧( 一等胁一骞) 唧( 一冗入一互1 胁2 m t k ) 则 e 尸( 口( q 箬) ) 薯熹q ( r _ 圳 这里 ( 4 2 5 ) ( 4 2 6 ) ( 4 2 7 ) ( 4 2 8 ) a k = e e x p ( 一趔嘉旦历+ 宅嘉刁唧( ( 1 一功a + 互1 冗( 1 - r 2 妒m 强) = e m ( 1 - r ) t r 亩卜( 三c 1 - r 2 ) 研m 豫) 第四章股票期权 由于【m 取是有界的，因此a k 能按入展成级数，故 a x e r a ( 1 一r ) 彤屁 又 e m ( 1 一r ) t r 注意到 则有 e q 冀h ( s r ) 1 + 三( 1 一帮) 砸嘲氏+ d ( 砷】 1 + 三( 1 一确冰雪 蛐一e 丘胁1 ) ) + o ( e h ( 岛) 箬p 2 棚 ) 矽( ( 曲) 【1 一a r + d ( 入) 】) = e o h ( s t ) 一) r e o ( m t k h ( s t ) ) + o ( a ) e o m t 足h ( s t ) 罩铷亩魄霉知亩 m 】取， e q k h ( s t ) 盘e o h ( s r ) 一入戕酽陋卵反+ d ( 入) 酽 ( ) 一a r x o ( e m t e ) + o ( 入) ( 4 2 9 ) 因此， s u pe ( u ( x t + a 岛) ) x t呼 禹q 警a g + a x o + a a 俨叫) ) 击( a k ) r ( z 。+ a e q 叫曲) ) l r 所以3 c o r ，便碍卜式成立，即 i 妒( m 警) + q ( x o + e q k h ( 圳) k ( o , x o , s o ；a ) + 嘲2 ( 4 3 0 ) 口 推论l ：令h ( s t ) 一( s t k ) + 时。有 曰( 一k ) + = g 聋e 6 ( r ) s n ( d 1 ) 一k n ( d 2 ) 昙霹( 岛一k ) + = 四= e 6 ( r - t ) n ( d 1 ) 第四幸股票期权 1 8 由= 哇烨加哇案著型扣矿一等 代入b 鲞公式，即可得到价值公式 推论2 ：当九( 曲) 霉岛时，有 v 4 ( t , z , s ；) = 篱e ( 1 - r ) m l 1 + 入三扩搿； 5 ( s 2 r f r ( 1 f - - p 2 ) ) e ：z a , ( e r - 1 ) 卜矗 ( 4 3 1 ) 其中 r 耐( 1 一p 2 ) + ( 卯一轰) 2 m 墨三基，6 = y 一了t t p q 因此，当经理 持有n 份股票，被授予入份股票期权时，经理人在t 时刻获得的收益h ( s t ) 盘s t + ( s t k ) + 的价值为 v 聋+ k ( 4 3 2 ) 定理2t 当h ( s r ) 0 且h 无上界，经理人效用函数为矿p ) = z 1 1 一- 刖r ， 1 ) 。在时刻t ，经理人获得a 单位的h ( s t ) 。初始财富为z ，则此时股 票期权对经理人的保留价格为 船南s - - - - p - - a e ? t 幡h 2 扣嘲妒z r 警如删) 推论1 ，当h ( s t ) = ( s t k ) + 时，即经理人在时刻t 获得期权的价值。 有 p = 域曲卅+ 卅知嘲妒z ? 警如+ o ( 川 ( 4 t 3 3 ) 其中 霹( s 一) + = e 6 ( t 一) s n ( d 1 ) 一k n ( d 2 ) 哇学如哇烨 第四章股票期权 6 ；| ，一幽 口 推论2 ：当i i ( 岛) = ( b r ) 2 时，即经理人在时刻t 获得期权的价值，有 p：入s2ec26+，产，crt，一2入2r叩2cl一矿，专兰!三等+。c入2，c4弘， 因此。当经理 i 将在t 时刻获得入份股票期权。经理人为幂效用时， 股票期权的保留价格为 p 一母( 阶a 2 知钠伊? 警砒+ d ( 鹚 ( 4 3 5 ) 参考文献 r e f e r e n c e s 【1 】s l o a n r ，a c c o u n t i n ge a r n i n ga n dt o pe x e c u t i v ec o m p e n s a t i o n j ，j o u r