（机械设计及理论专业论文）液体径向动压滑动轴承特性参数的建模分析及优化设计.pdf

沈阳农业大学硕士学位论文 摘要 滑动轴承在气轮机、离心机、空气压缩机等机械设各中应用广泛。其理 论设计基础为流体润滑理论。流体动压润滑理论的研究迄今为止已有1 0 0 多 年的历史了。虽然滑动轴承的润滑设计研究取得了一定进展，但这并不意味 着已经到了十分完美的境地，还需要不断充实和完善，现在的主要问题有： 很难求得实际工况下的性能参数：由于生产力的提高，对滑动轴承的性能也 逐步提高，原有的设计方法已不能满足现在工作性能的需要。随着计算机技 术的发展，及其在工程问题上应用的普及，将现代数学理论和计算机技术应 用到液体径向动压滑动轴承参数分析和设计中，建立数学模型可对液体动压 滑动轴承进行较全面、系统、快速地分析计算，并能保证结果更加客观、准 确，缩短设计周期，提高设计效率。 本文以液体径向动压滑动轴承为研究对象，以雷诺方程的建立、求解过 程和现代数学为理论基础，以m a t t a b 软件为开发工具，利用计算机建立数学 模型对液体径向滑动轴承参数进行了计算和分析，对滑动轴承的几何尺寸进 行了优化设计。主要内容有：采用三角级数逼近压力分布函数，应用迦辽金 方法建立模型，求解各系数值后，得到近似油膜压力分布函数尸( 妒，z ) ，求得 静态压力，进而求出静态参数：根据静态压力在计算机上模拟压力场的分布， 作出压力等高线。应用变分原理，将求解二维r e y n o l d s 方程转化为求解等价 泛函的最小值问题，利用有限元方法，建立了刚度矩阵和载荷矩阵，求得了 动态油膜压力，进而求出了油膜刚度系数和阻尼系数的数值；特别是对于径 向圆柱轴承的刚度系数，不用求解挠动压力就可解出刚度系数的值。根据油 膜压力分布函数e ( e ，力，绘制出静态轴心轨迹：运用h o l l a n d 方法，编制相 应的计算机程序，求解并绘制了动态的轴心轨迹，分析了不同因素对轨迹的 影响。根据压力函数p ( 伊，z ) ，作出偏心率、宽径比、转速对承载力和偏位角 的影响效果图。最后建立了数学模型，在满足国家标准和设计规范的条件下 摘要 合理地确定影响滑动轴承承载能力的各参数值，进行滑动轴承的优化设计， 得到最优的几何参数。本文最大的创新之处是，利用近似的方法求解滑动轴 承的静态系数，并根据求得的结论进行一系列的分析。此方法简单实用，计 算结果和国际标准比较，误差为1 8 6 0 9 ，精度满足设计要求。 本文建立的模型可较快地计算滑动轴承的动、静态参数，计算结果与国 际标准或其他方法比较可知，误差在5 以内：得到的轴心轨迹可用于判断 分析轴承的润滑状态，为分析轴承的支承精度，奠定了基础：直观地显示各 种图像，反映参数间的关系，为滑动轴承的设计提供了依据，提高了设计的 效率；有关程序的编写也为今后有关滑动轴承分析计算软件的开发奠定了基 础。 关键词：滑动轴承；建模分析；优化设计 沈阳农业大学硕士学位论文 前言 ( 一) 液体动压润滑理论的发展 滑动轴承在现代化生产中占有重要地位。其理论设计基础为流体润滑理 论。流体动压润滑理论的研究迄今为止已有1 0 0 多年的历史了。滑动轴承利 用流体润滑理论，用一层流体薄膜把两个相对运动的表面隔开，使之有可能 进行无磨损运转。滑动轴承运动副问要形成流体薄膜，必须使运动副之间的 楔形间隙中充满能够吸附于运动副表面的粘性流体，并且运动副表面之间的 相对运动可以带动润滑流体由间隙大端向间隙小端运动，从而建立起动压分 布以承受载荷。它的发展与人们对润滑和摩擦的研究密切相关。 1 研究动态 宋强( 2 0 0 2 ) 报道，在流体润滑的研究过程中做的开拓性工作主要包括： 牛顿r l n e w t o n ) 莫定了流体润滑的基础，为粘度下了定义：1 8 8 3 年， 俄国科学家彼得洛夫提出完全流体润滑第一个表达式，即有润滑的两同心圆 柱体间摩擦力表达式；1 8 8 3 年，英国学者托耳( b t o w e r ) 研究了滑动轴承 中的压力分布，发现流体动压现象：1 8 8 6 年，奥- 霄诺( o r e y n o l d s ) 提出 有关润滑剂中压力分布的雷诺方程，奠定了流体动力润滑理论的数学基础； 1 9 0 3 年，德国人斯特里贝克艰s t r i b e c k ) 完成了对雷诺方程的基本试验； 1 9 0 4 年，萨默菲尔德( a s o m m e r f e l d ) 求解了雷诺方程中无限长轴承的积 分：1 9 5 3 年，o c v i r k 和杜波依丝( d ub o i s ) 发展了窄轴承理论；近年来， 随着有限元法和有限差分法的发展以及计算机的应用，促进了有限宽轴承问 题的求解；有关滑动轴承气油两楣流润滑和素滚润滑豹研究等。早在1 8 8 6 年，o s b o r n er e y n o l d s 在b t o w e r 的机车轮轴轴承实验的基础上，根据流 体力学提出7 润滑理论的基本方程，成功地揭示了流体薄膜产生动压的机 理，为现代流体润滑理论奠定了基础。从r e y n o l d s 方程的出现到5 0 年代以 前，由于缺乏数值计算的工具，人们将载荷的大小及方向都随时间变化的动 载滑动轴承视为稳载轴承，并只按比压或比压与轴颈速度的乘积进行设计。 日u 舌 马艳艳( 2 0 0 3 ) 报道，直到5 0 年代以后，由于数值计算技术的提高和流体 润滑理论本身的发展，人们开展了对动载轴承油膜压力和轴心轨迹的研究工 作，其中最具有代表性的算法有三种：h a h n 的压力叠加法( 汉法) 、 h o l l a n d - - - b u t e n s c ho n 的承载力矢量叠加法( h b 法) 、b o o k e r 的迁移率法 ( m o b i l i t ym e t h o d ) 汉法是德国学者h a h n 于1 9 5 7 年提出的。该法是采用统一的边界条件， 分别求得动载荷r e y n o l d s 方程旋转效应和挤压效应的油膜压力并进行矢量 合成，建立总承载力与外负荷平衡的方程后求出轴心轨迹。该法从数学上来 说是严格的，缺点是在油膜压力区终点，压力具有不连续性，且计算量很大。 h o l l a n d 法是德国学者h o l l a n d 于1 9 5 9 年提出的。该法为克服动载荷 r e y n o l d s 方程在数学上求通解的困难，在处理油膜压力方程时采用分离法， 将旋转运动和挤压运动分开，按各自的边界条件独立求解，再将旋转油膜承 载力和挤压油膜承载力迭加而与外载荷平衡，从而导出轴心运动微分方程。 b u t e n s c h o n 在求解轴心轨迹时索氏数采用拟合公式，计算速度快。该法由于 根据各自不同的边界条件计算压力分布，求解结果带有定的近似性，但在 工程计算中是可行的。上海交通大学摩擦学研究室用该方法为国内多个厂家 计算了内燃机轴承的润滑特性，结果与实际情况基本吻合。高明等研究了动 载滑动轴承的轴心轨迹计算机模拟中h o l l a n d 方法的改进，通过优化初值选 取和合理控制偏位角变化率，采取奖惩法控制迭代步长，约束偏位角的变化， 可以有效地控制计算精度，加快模拟的实际运算和提高计算精度。实现了轴 心轨迹的计算机仿真中的c a i 动态模拟，达到了良好效果。但由于h o l l a n d 法是把旋转运动和挤压运动分开计算，然后把各自的承载力矢量相加，这样 在轴心轨迹通过轴承中心点时会产生失真。在实际计算中为尽量减少失真， 必须把偏心率的变化率和偏位角变化率的允许上限控制得较小。 迁移率法是美国学者b o o k e r 于1 9 6 5 年提出的。该法的原理为应用无限 窄轴承理论求出油膜压力的解析解，根据油膜承载力与外载平衡求出轴心运 动方程。迁移率法的主要特点是求解轴心运动方程时不需要求解雷诺方程。 沈阳农业大学硕士学位论文 所以该法求解速度快，并具有定的精度，所以在英美等国的内燃机轴承设 计中得到普遍应用。但由于该法采用了无限窄轴承假设，且没有考虑供油特 性，故不适宜用作精确的预测工具。 2 现代分析设计方法趋向 尽管早期的设计方法为内燃机轴承润滑设计的进一步发展奠定了基础， 并已经在工程中得到一定的应用，但他们的共同缺点在于都建立在理想工况 假设的基础上，忽略了实际工况中存在的非线性因素。而今，随着对轴承工 作性能要求的提高以及计算能力的增强，人们逐步取消了那些不符合实际的 假设，在计算轴承负荷时采用连续梁法，在进行润滑分析时逐步考虑供油特 性、边界条件、表面粗糙度以及热效应等影响因素，提出了一下几种方法。 ( 1 ) 轴承载荷的计算方法 轴承载荷是轴承计算的基础，载荷计算精确与否对内燃机轴承的润滑设 计结果有着直接影响。对于多缸内燃机曲轴上各轴承载荷的计算，最原始的 方法是简支梁法，即将曲轴人为地分割成若干段，作为分别支承在两个轴承 上的静定梁。在这种情况下，完全排除了邻段曲轴上受力情况的影响，这和 实际之间有很大的差异，所以如何确定轴承负荷，一直是内燃机轴承研究中 的个重要课题。国内外许多学者都对轴承负荷的连续粱计算法作了探讨。 在我国具有代表性的研究是上海交通大学李校国等提出的弹性支承连续梁 法，其基本思路是；将多拐曲轴转化为换算刚度阶梯变化的当量连续粱，在 考虑支承弹性等因素的情况下建立连续梁五弯矩方程，并由此求出当量连续 梁各支承处的弯矩；以一个曲拐为研究单位，求在外力和支承弯矩同时作用 时的支承反力，即作为轴承负荷。该研究还比较了用简支架法和连续梁法计 算的轴承载荷对轴心轨迹计算的影响，结果表明：两种计算方法下的轨迹图 有明显不同，连续梁法更接近发动机的实际工况。 ( 2 ) 表面粗糙度对润滑的影晌 当动载轴承表面粗糙度的幅值与最小油膜厚度处于同一量级时，表面粗 糙度对滑动轴承性能的影响不容忽视。复旦大学裘祖干等用c h r i s t e n s e n 的随 前言 机模型对有限长动载粗糙轴承进行了润滑分析，推导出纵向粗糙型和横向粗 糙型的雷诺方程和相应承载力流量系数、摩擦系数公式，对有限长径向轴承 的两种粗糙型雷诺方程用差分方法进行数值求解，得到了粗糙度对轴承承载 力、流量系数和摩擦系数影响的图表及一定工况下保证轴承处于完全流体动 力润滑下轴颈表面与轴承表面粗糙度的临界健。该方法具有一定的实用价 值。张朝等分析了剪切变薄的非牛顿流变学特性和两表面都具有的纵向、横 向和各向同性粗糙度对动载有限宽径向滑动轴承性能的综合影响： c h r i s t e n s e n 的粗糙表面流体动力润滑的随机模型和g r e e n w o o dt r i p p 接触 压力的计算模型用于处理粗糙问题，并考虑了磨合对粗糙高度分布的影响； 幂律流体模型用来表征剪切变薄的流变学特征，质量守恒的油膜破裂算法用 于雷诺方程的求解。计算结果表明：粗糙度总是使最小名义油膜厚度减小， 并使油膜压力在接触区剧烈振荡，其幅值大于光滑表面时周期内的最大名义 油膜压力；名义最小油膜厚度在纵向粗糙时最大，横向粗糙时最小；粗糙纹 理相同时，相同粗糙结构下的名义最小油膜厚度在牛顿流体时大于不同粗糙 结构时的相应值，在非牛顿流体情况下，结论相反。 ( 3 ) 润滑剂非牛顿性的影响 实际上，通常所说的牛顿流体在一定条件下都会表现出非牛顿性。而且 无论在常规条件还是在弹流接触条件下，润滑油都具有极限剪切强度。如果 假设润滑油为简单的牛顿流体计算光滑或粗糙表面间的弹流油膜厚度，都不 会出现油膜破裂现象。因为当凸蜂上的油膜厚度足够薄时，建立的动压力足 以将凸峰压入金属表面内，而不产生金属间的直接接触。解释接触表面间油 膜破裂的唯一原因就是润滑油具有非牛顿性。 为了改善润滑油的粘温性能，减小粘度隧温度的变化现代内燃机润滑 剂多采用多级油。多级油是在基础油中加入聚合物丽成，它表现出流体的非 牛顿性主要有剪切变薄和粘弹效应。p a r a n i p e 研究了剪切变薄效应对内燃机 轴承润滑性能的影响，结果表明：对于一个存在典型剪切变薄效应的非牛顿 润滑油，当采用非牛顿模型进行计算时，其功耗比牛顿流体模型减少2 5 ， 沈阳农业大学硕士学位论文 最小油膜厚度减少3 0 ，最大油膜压力增加1 5 ，流量增加了2 5 - - 一3 5 ， 而计算时间仅增加了5 0 。 以m a x w e l l 和幂律流体为对象分析非牛顿流体流变学特性的影响，研究 结果表明：粗糙度与流体的流变特性对轴承性能的影响是相关的。m a x w e l l 流体的这种相关性基本上与牛顿流体的相等。对幂律流体来说，剪切变薄f 幂 律指数n 1 ) 时的 承载能力大于牛顿流体。 另外，在加入高聚物添加剂后，润滑油会呈现出非牛顿流体的特性，表 现为存在应力偶。王晓力等首次推导出了基于应力偶流体模型的动载润滑 r e y n o l d s 方程。数值计算结果表明：与牛顿流体相比，应力偶流体的润滑有 利于增大油膜厚度，提高动载轴承的承载能力，降低摩擦系数，从而提高轴 承运转的可靠性。 ( 4 ) 考虑热效应影晌的润滑分析 在工程实际中，由于发动机轴承工作条件苛刻，轴承的许多损坏形式都 与热效应密切相关。如咬粘现象就是由于轴承严重发热，导致合金层软化甚 至熔化，在轴颈的拖动下，发生粘附和轴承表面材料迁移；油膜中的热效应 还会使润滑表面受热变形，使油膜减薄，降低油的粘度，加速润滑状态的转 化，导致润滑失效。计入热效应的流体动压润滑滑动轴承的理论分析主要有 热流体动力学分析( t h e r m o h y d r o d y n a m i c ，简称t h d ) 和热弹性流体动力学分 析( t h c r m o e l a s t o h y d r o d y n a l n l c ，简称t e h d ) 。 ( 二) 课题的提出 1 现存的问题 动载滑动轴承的润滑设计研究取得了一定进展，但这并不意味着已经到 了十分完美的境地，还需要不断充实和完善，主要问题有： ( 1 ) 很难求得实际工况下的性能参数。 同一种工况参数的轴承用不同假设条件下的计算模型所求得的结果有 前言 很大差异。如用非牛顿流体模型计算的轴心轨迹与弹流模型的轴心轨迹就不 具备可比性。存在这个问题的主要原因在于：现有的计算方法和计算条件的 限制使得目前的计算模型不可能同时考虑多种非线性因素，如考虑表面粗糙 度的影响时没有考虑非牛顿性的影响，而在实际工作中这些影响因素是并存 的，所以已经取得的各种精确模型也只是在相对意义上的精确。 ( 2 ) 快速求解法的计算精度有待于改善。 精确计算法虽然能够比较精确地预测各性能参数，但由于其计算时间漫 长而无法为用户接受，所以用户真正需要的是能反映精确模型精度的快速预 测方法。目前的快速法一般来自于分析法、图解法和曲线拟合法，这些方法 中有的精度较低，有的缺乏在各种工况下的通用性，所以有待于进一步探讨。 2 课题研究的内容及意义 随着计算机技术和数学的发展，为求解r e y n o l d s 方程提供了更多的方法 和手段。本文应用现代的数学方法利用计算机和m a n a b 等软件建立了数学模 型计算液体径向滑动轴承的油膜力、刚度系数、承载量、油膜偏位角等系数。 主要内容有： ( 1 ) 将一种计算静态参数的级数近似方法应用在m a u a b 上，可方便、快捷、 准确地计算轴承静态压力分布，承载量，油膜偏位角等静态参数。 ( 2 ) 将变分原理应用到动压润滑理论中，将r e y n o l d s 方程转化为等价的变 分问题，用有限元方法求解出压力分布，进而求出丹0 度系数等动力特性参数。 ( 3 ) 在计算机上模拟油膜压力分布，作出等高线图，为分析奠定基础。 ( 4 ) 静态和动态轴心轨迹的计算机模拟。 ( 5 ) 作出主要参数对承载力等的影响效果图，用以判断和分析。 ( 6 ) 建立模型对滑动轴承进行优化设计。 本文的研究为滑动轴承的设计提供了依据，提高了设计的效率，也为今 后有关滑动轴承分析计算软件的开发奠定了基础。 沈m 农业大学颀上学位论文 一、径向滑动轴承流体动压润滑理论基础 ( 一) r e y n o l d s 方程 1 r e y n o l d s 方程的基本形式 早在1 8 8 6 年，o s b o r n er e y n o l d s 在b t o w e r 的机车轮轴轴承实验的基 础上，根据流体力学提出了润滑理论的基本方程，成功地揭示了流体薄膜产 生动压的机理，为现代流体润滑理论奠定了基础。解决滑动轴承油膜问题的 基础是：质点运动方程、质量连续方程和牛顿粘性定律。在一定假设的基础 上，推导出了纳维尔- 斯托克斯方程( n a v i e r s t o k e s ) 并h 雷诺方程( 0 r e y n o l d s ) 。 其中雷诺方程是滑动轴承油膜分析的基本方程，形式如下： 旦玉f t 丛, j 至0 x ) + 旦砂f l 丛, s 塑o y ) = 6 昙( 叫) + 导( 恸) + z p 一) ( 1 ，) 各个符号的意义如下： 油膜厚度： 盱一润滑油粘度： p 一油膜压力； 严润滑油密度； 甜o 润滑油流入速度； 旷一润滑油流出速度； ( ，_ 一两表面沿x 方向的相对运动速度，u = u o + u h ， 、分别为两表面沿x 方向的运动速度； 肛一两表面沿y 方向的相对运动速度，净p 矿圪， 、分别为两表面沿y 方向的运动速度。 求解滑动轴承油膜压力分布的过程，实际上就是针对不同形式的滑动轴 承求解雷诺方程的过程。虽然数十年来，已经发展了许多求解方法，然而， 雷诺方程本身所带有的不可避免的众多假设仍旧为它的有效应用设置了重 大障碍。 2 r e y n o l d s 方程的简化 r e y n o l d s 方程是一个二维二阶非线性偏微分方程，用解折方法求解十分 困难因而需要采取一系列的简化。虽然，由于当今电子计算机技术的迅速 二： 堡堕塑垫垫垦堕笪垫垦塑塑堡笙苎型 发展，使得这些简化远不如以往重要。但是，从节省计算时间着眼，简化仍 然有一定的价值。 通常采用如下的简化形式： ( 1 ) v - - 0 、u 不随x 变化 通过适当地选择坐标系统，例如使两固体表面相对运动的方向与坐标轴 重合，总可以使1 - - 0 。通常的固体表面沿运动方向各点的速度相同，即u 不 是x 的函数。这样，r e y n o l d s 方程可以化简为： 昙( 譬罢) + 昙 字考 = s u 昙) + ：p h 一) 1 z ， 舐l ，7 缸咖l 叩砂l 街”7 ”6 ”j 一 ( 2 ) 甜 - 甜口2 0 如果固体表面不是多孔性材料，无流体渗入或渗出。此时， 和c o o 表 示两表面沿膜厚方向的运动速度，而( c o c o o ) 可写成堕。 在理论上说，处于稳定状态下工作的轴承润滑旦生应为零。但在实际机 械中，由于振动往往使pi o h 与u 晏( p h ) 具有相同的量级。因此，由于忽略 挤压效应即令 咖俨o 的根据不足。但由于包含挤压项的r e y n o l d s 方程求解非常复杂， 同时忽略挤压项以后的计算偏于安全，通常对于稳态工况的轴承，r e y n o l d s 方程简化为： 昙 譬罢 + 导( 字考 = 6 u 未妇) c - 舢 缸l 叩舐j 砂i ，7 砂j 。文7 。 ( 3 ) 对于不可压缩流体，流体的密度p 为常数 在压力和温度变化不大的条件下，液体润滑剂的密度可视为常数，则适 用于液体润滑的r e y n o l d s 方程为 丢晤卦昙晤势鲫芸 c ，4 ， ( 4 ) 等粘度计算，将粘度j ，取为常数 当润滑膜中的热效应不是十分显著时，可视为等温状态，即流体粘度在 整个润滑膜中保持不变，此时r e y n o l d s 方程变为 沈阳农业人学硕士学位论文 鼢势辨势蚴夏o h s ， ( 5 ) 无限长近似，罢：o 如果润滑表面在z 方向的宽度为b ，沿y 方向的长度为l 。当l 远远大 于b 时，则孚远小于宴，近似取宴= 0 ，即沿y 方向无流动，此时得到一 t r y o xd v 维的r e y n o l d s 方程 ， 黔妾) = 6 t z ，威d h m s ， 积分一次后，可得： h 3 搴= 6 u 砷+ c ( 1 - 7 ) 积 若在某一点h = 石处，存在譬= 0 因此积分常数c = 6 浙 ，于是该方程可 饿 耋= 嘶掣h出 3 ( 1 8 ) 必须指出：上式中的万是待定系数，它的数值应根据边界条件来确定。 ( 6 ) 无限短近似，a - t , ；0 当三远小于b 时，则譬远大于霉，此时可近似地令拿：0 ，称为无限 砂 a t x 咖 短近似，通常h 只随x 变化而与y 无关，所以 号p 考j = 叻鬈 c 聊 积分两次后，得： 、 径向滑动轴承流体动监润滑理论基础 p = ，坳菩差蝎： 由边界条件：当y = 詈时，p 2o ；当y = o 时，由于对称性，塞= o ，求 c l _ o ，c ：= 一3 叻万l 2l ) ，2 一了l 2 ) p = 3 嘶矿1 忑d hl , y 2 一等) ( 1 - 1 1 ) 爿譬势群刳 = q 掣+ 等等产粤等产 + p 以一怖i n 伊) 属同数量级，故通常监及竖 q ，上式可简化为： 沈阳农业大学硕上学位论文 专南 譬嚣) + 导 譬考 = s q 掣+ p c _ c 。s p + 吒s i n 妒) ， 如果用偏心e 方向的速度圪和轴心绕轴承中心转动的速度表达轴心变位速 度，则上式右方第二项为p ( kc o s 庐, + s i n 妒) 。 ( 二) 积分边界条件 在积分r e y n o l d s 方程中求解压力分布中，需要应用压力分布的边界条件 来确定积分常数。一般来说，根据几何结构和供油情况是不难确定油膜起始 点和终止点位置的，但是，对于某些润滑表面诸如径向轴承，它们同时包含 收敛和发散油楔，如图1 - 1 为径向轴承的展开，在收敛油楔部分无疑将形成 油膜，而在发散油楔部分如何确定终止点位置上存在着不同的观点。 z_+ui 图1 t 径向轴承展开图 f i g 1 1r a d i c a lb e a r i n gd e v e l o p e df i g u r e 1 s o m m e r f e l d 边界条件 最早提出来的是s o m m e r f e l d 边界条件。其要点是收敛区形成正压力， 发散区形成负压力，而且压力分布是反对称豹。即在最大间隙丙。和最小间 隙h 。h 处，压力p = 0 。然而这种条件在物理上是不可能满足的，因为实际的 油膜不可能承受数量大而持续作用的负压力。润滑油只能承受较高负压的冲 击波或者很小的持续负压。显然，在负压区油膜将破裂，混入空气或蒸汽而 造成空穴现象，从而丧失承载能力。但由于s o m m e r f e l d 边界条件可以方便 地求解压力分布，有时用作润滑问题的定性分析。 径向滑动轴承流体动压润滑理论基础 一 蕊3 r 二卜歹 ii ，- 弋一7 y o l j - l 翻1 - 2 积分边界条件图 f i g 1 - 2 i n t e g r a lb o u n d a r y c o n d i t i o n f i g u r e 图中l 为s o m m e r f e l d 条件，2 为半s o m m e r f e l d 条件，3 为r e y n o l d s 条 件。 图1 2 中绘制了三种边界条件所得出的压力分布曲线。实际测量的结果 与r e y n o l d s 边界条件比较接近，但由于这种边界条件的油膜终止位置必须根 据计算确定，使用时不及其它条件方便。 2 半s o m m e r f e l d 边界条件 为了排出负压问题，简单的方法是采用半s o m m e r f e l d 边界条件。假设 收敛油楔的油膜压力与s o m m e r f e l d 边界条件相同。在。和h 晌处，令0 。 而在发散区内，取全部压力为零。在收敛区和发散区的流量不相等，破坏了 连续条件。但由于它使用方便，所给出的压力分布与实际情况相当接近而且 偏于安全，所以常应用于工程计算。 3 r e y n o l d s 边界条件 r e y n o l d s 边界条件是应用较多而又比较合理的方法，它既克服了发散区 的负压问题，也满足流量连续条件。r e y n o l d s 边界条件将油膜的起始点取在 最大间隙处，即在自处，令p = 0 。而油膜的终止点是根据油膜的自然破 裂确定的，它的位置在最小间隙之后发散区的某点，该点同时满足p = 0 以 及印缸= 0 的条件。r e y n o l d s 边界条件可以保证流动连续性，在油膜起始 点和终止点之间，润滑膜是连续的。而在终止点之后，由于间隙逐渐扩大， 润滑油不可能充满整个间隙，因而分裂成条状流动，一部分为液体，一部分 为空气或真空。 1 4 沈阳农业大学硕上学位论文 二、径向动压滑动轴承油膜压力分布和静态特性计算 ( 一) 基本方程及其无量纲化处理 对于动压式轴承进行分析计算时，常以无量纲形式进行。这样，一方面 可将问题归纳成最紧凑的形式，突出各有关因素的作用，并使所处理的变量 的数值尽可能不致大到天文数字或小到徽乎其微，以便于用计算机运算。并 且，分析所得结果，可直接以无量纲形式推广应用到相似的轴承问题中去。 这里采用相似理论的方法来推导无量纲形式。 图2 1 径向滑动轴承工况圈 f i g 2 1o p e r a t i o nm o d eo f r a d i c a lb e a r i n gf i g u r e 以式( 1 - 1 ) 为例，先将r e y n o l d s 方程中的自变量( 即坐标x 和y ) 用无 量纲坐标表示。如果坐标原点选在 。处，则以妒角代替x 。妒本来就是无 量纲量，它是由x = ：聊的关系化来的，所以伊就是x 坐标的无量纲值它是 用r 作为“相对单位”来度量x 值的结果：o = x r 。妒的区间是【0 ，2 丌】。相似地， 对于轴向坐标y ，选取轴承宽度露的一半作为相对单位，则y 方向的无量纲 坐标就是 五：生( 2 一1 ) ，2 如果坐标原点放在宽度中央。则a 的区间是一1 s 2 1 。 用y = b 2 代入式( 1 - 9 ) 之第二项，它成为： 2 昙f 丛至1 ( 2 - 2 ) l fja 丑1 1 2 叩a j 、静态特性参数级数建模分析及计算 对于方程中的变系数( 膜厚 ) ，因其数量级远小于x 和y 方向尺寸的数 量级，而与半径间隙c 同级，故选c 为其相对单位，于是无量纲膜厚为： 至于k 、以和、由前已知，其数量级通常为c q 故即选c q 为 其相对单位，于是无量纲的轴心变位速度为： 玩= ( c q l 吒= k 0 q ) 1 ，( 2 3 ) = t t q l 巧= ( c q ) j p 是未知量，事先难于选定某一特征p 值作为其相对单位，故以某一未 定的p o 暂表之，则无量纲的压力为；p = p t p o 。 如果是用油润滑。可作为不可压缩流体( p = 常数) ，再如果不考虑粘度 变化( r = 常数) ，则式( i 9 ) 可化为： 高3 驯鲁胁3 篆 协。， = 等陆( q p c x v 。c o s 以如9 ) 式中每一项之量纲因子( 均为常数) 都已提在该项前面的括号内，括号 后面部分都是无量纲项了。 因同一方程中并列之各项必定有相同量纲，故以第一项前面之有量纲因 子去除每一项，即可使每一项均成为无量纲项丽得无量纲方程： 品p 3 嚣) + s ) 2 击( 日3 瓦0 t ) 。：剐 = 罴 6 嚣化嘶叫骊叫 方程中出现了两个由有量纲量构成的无量纲因子。一个是直径d 对宽度 b 之比，它是由轴承几何形状决定的：另一个是f “矿2 p 。) ，丽鼬值尚待确 定。由后者的形式可见，如果选p o 等于蛳 f ，2 或其倍数。将使公式最为紧 凑，选 p o = 2 n a ，2 ( 2 - 6 ) 沈阳农业大学硕士学位论文 则最后得无量纲r e y n o l d s 方程为： 南( h 3 嚣 + 睁 2 击 胃3 芸) = 。嚣+ e 眈c 。s 伊+ 露s i n 妒) c z 们 式中 h = l + s c o s 口 式中e = e c ，称为相对偏心或偏心率。 压力边界条件可化为： 两侧， 五= l ，p = 0 起始边上，伊= o ，p = 0 终止边上，p = 0 ，且竺：0 ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 由上可见，圆柱轴承中的无量纲压力p 分布，仅取决于b d 、瓦、巧和 s 值。根据这些给定值求出的p 分布乘以相对单位2 q r l g , , 2 ，即得有量纲的 p 分布。如果是计算轴承在定常工况下的p 及其它性能，则问题仅取决于b d 和e 两个几何量，因此有关的静特性无量纲值( 承载力，阻力，流量等) 都 可以表示为b d 和s 的函数。 如果要计入供油压力p i 。影响的话，则起始边界条件通常近似取为：在 轴向长为b l 的槽内p = - p i 。，由槽端至轴承侧的一段内则由p i n 线性下降为0 ( 如图2 - 4 ) 。即p = 中l 一疗时 在l z l i 1 范围内，p = 匕 在了b 1 争脯。裂 其无量纲形式为： 伊吨埘时，1 2 1 - 鲁，p - 鲁 ( 2 - 1 2 ) 鲁印一瓷端 ( 2 1 2 ) 二、静态特性参数级数建模分析及计算 因此，此时在定常工况下的p 分布除了取决于b i d 和夕卜，还取决于中l 、 良b l 佃这三个几何量及专碧这几个不同类量构成的无量纲量( 实际卜是个 l a g r a n g e 数) ，后者在物理意义上表达了进油条件的静压效应对动压效应的 比例关系。可见，无量纲静态特性是以这五个无量纲量( b i d 、西】、0 、b 1 b 、 s ) 为转移的。 ( 二) 油膜压力分布和静态特性建模分析与计算 如前所述，计算轴承特性时，一般先由r e y n o l d s 方程解出压力分布，然 后积分求出承载力、阻力、流量等。以定常工况下运转( 即：载荷和转速等 均不随时间而变，兰= 0 ) 且具有等温膜( _ = 常数) 的油润滑( p = 常数) 径 向圆柱轴承等基本情况为例，可有以下几种解决方法。 1 无限长轴承 设轴颈线平行于轴承线，则h 不随z 而变。当轴承宽度b 远大于直径d 时，可以近似认为油膜内无轴向流动，压力沿轴向分布，于是无量纲r e y n o l d s 方程( 2 4 ) 可化简为如下的常微分方程( 一维r e y n o l d s 方程) ： 旦f 日3 堡1 _ 3 塑 ( 2 1 3 ) d 妒d 9 ) d 9 将上式积分一次，得： h 3 堡：3 h + c 设以巩表示最大压力靠。处的膜厚，则因为此处粤：o ，故 d c l = 3 h ， 于是r e y n o l d s 方程的一次积分式成为： 嚣= ，陆一铡 再积分一次，得： ( 2 1 4 ) 沈阳农业大学硕士学位论文 p = 3 p ：) 一。，( 妒) 】+ c ： 式中一维函数厶( 妒) 和厶( 妒) 代表以下积分： l + 6 c o s 妒= 黑 求出了这些积分为： 如。卉q 8 i 叫) = 南卜( 辱扣庸羔 小加d 事c 哪戚n 妒+ 字+ 譬如2 ( 2 一1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 一1 7 ) = 南卜2 ，嘴f k 、v 医l + 6 鲴z ) 也届羔 占2 l f 2s i n t p ( s + c o s p ) i 2 一可磊；彩2j 两次积分中出现的两个待定常数仃。和c z 需根据边界条件确定，如起始 边界条件是舻= o 处p = - 0 ，则c 2 = 0 ，于是 p 2 南卜m ( t + 譬 p 协 + 【_ 9 0 ) + 2 e h 。k + 等s i n 2 h 。值将随着所采用的终止边界条件不同而不同。如果设油膜整周均不破裂 、静态特性参数级数建模分析及计算 ( s o m m e r f e l d 条件) ，则p 是剧期函数： p ( f o + 2 月) = 尸( 妒) ( 2 - 2 0 ) 因此要求式( 2 1 9 ) 中非周期函数的系数为0 ，即 小警 ( 2 - 2 1 ) 于是得： 尸：丝! ! 辈垡! 竺咝( 2 2 2 ) 【2 + p ) ( 1 + s c o s 伊) 取微面积b - r d c p ，将微面积上之力元素p 8 r 如沿偏心方向帮垂直此方向的两 个分量依次积分，即得油膜压力的合力( 承载力) 的两个分量( 如图2 - 1 ) ： f 2 卜归咖叫( 2 - 2 3 ) = r 5 肚s i n 卅妒l 无量纲力可定义为： 乓2 籀l沼：。， 瓦= 篇j 积分结果为： 瓦= 0 e = 2 r 5 p s i n 叫p ( 2 2 5 ) ( 2 + 占2x l 一2 y “ 可见，施用s o m m e r f e l d 条件的结果是。油膜合力f ( 即等于瓦) 的方 向总是垂直于偏心e 方向，亦即：在不同载荷f 下，虽然e ( 或) 值不同， 但偏位角0 总是9 0 。因此轴心静平衡位置轨迹( 即各种载荷值下轴心平衡位 置，连成的曲线) 是一条垂直于载荷方向的直线。 轴颈转动时所受阻力为： 沈阳农业大学硕士学位论文 f 。= 1 。ly = o b r d q 式中k 为剪应力，而由其计算式得： r ，= 一即等+ c y 一争去= 一刁警+ c y 一争恚 所以 乩。叫竺h 一昙赛 代入( 2 2 6 ) 得： f = 枷2 b f ”警+ i 1 卜务妒 其中第一项为剪切流引起的阻力： 耻枷2 b r 4 南= 了r f w b 丽2 j r 第二项为压力流所引起的阻力，用分部积分可得： 耻剩。h f ”p 嚣和 因p l ，。= p l ，：，= o ，故 只：= 一罢f p 老和= 譬f 4 州n 倒伊 由式( 2 2 3 ) 可知f 。p s i n 妒= 鲁，因此 e ：= 寺= e 2 ，f 由f = e ；+ f ：并化成无量纲式，得无量纲阻力为： 霉= 盎= 志+ 等 ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 ，3 0 ) 2 二、静态特性参数级数建模分析及计算 ：量：生笙 ( 2 3 1 ) f3 s 由于s o m m e r f e l d 条件与实际情况相差很远，所以所得的轴承特性也有 较大误差，特别是轴心轨迹。 如果采用半s o m m e r f e l d 条件，则终止边界条件为p ( 而= o ，所得结果恰 好就是解( 式2 - 2 2 ) 得o 半周期内的正压部分。压力合成的无量纲力为： = - 2 f s 却= 焉( 2 - 3 2 ) 瓦= z 肛n 卿2 两赫 。， 合力为； f = 丽= 警磊茅 协s 。， 由于沿偏心方向的分力毋不再是恒等于0 ，所以偏位角口也不再等于 9 0 0 ( 如图2 2 ) 。 图2 - 2 油膜合力示意图 f i g 2 - 2o i lc o m p o s i t ef o r c ef i g u r e t a n 臼：乓：1 2 巫 ( 2 3 5 ) 沈阳农业大学硕士学位论文 如果采用r e y n o l d s 条件，设以妒2 表不油膜破裂处的角位，则p 。2 2 0 ， 竺l ：o 。由后一条件及式( 2 1 4 ) 可知：h 。：魁，故 “妒i 。2 p = 3 ，：( 妒) 一h 2 ，2 ( 妒) 】 再由前一条件，得： 名：= 3 【，：( 妒) 一( 1 + c o s p ：) ，( 妒：) 】= 0 此式可表达为： e ( s i n q , , 2c o s g t 2 一2 ) + 2 ( 一妒2c o s2 + s i n2 ) = 0 ( 2 3 6 ) 由此可用数值计算方法定出不同s 下的妒：值相应地得到妒2 值和4 2 值。压力 分布可表达为： 雎南 g t - c s i n 妒一堕鼍篝焉产型 泣， 求得无量纲承载力( 或称承载量系数) 为： 几而南 掣 协。， + 4 ( s i n2 - q 2c o s l ：f ，2 ) 2j 至于阻力f t 仍分成剪切流阻力f t l 和压力流阻力f a 计算。民仍可按油 膜总的力偶平衡关系得到为： r ：e s i n 0 f ( 2 3 9 ) 凡则需分别在完整油膜区间0 纯及破裂油膜区间妒2 2 耳积分求出。前者 为：枷2 b f 警：计算后者时，需考虑到油膜在破裂区间的有效宽度6 ， 则流量为了b h u 。它一定等于破裂边界p 2 流量鱼学，因此： 6 ：b 堕 h ( 2 4 0 ) 、静态特性参数级数建模分析及计算 于是得破裂区间内的剪切流阻力为： 枷2 f ；e 警= 归2 眠f 睾。 因此得无量纲阻力为： 亏= t s i n o f + r 2 百d ( o + h ：辟 ( 2 - 。，) 相应地得阻力系数为： f p 一般而言，用r e y n o l d s 条件所得的结果优于另两种条件结果。 用无限宽轴承理论时，理所当然地不能计算出油向两侧流出来的“侧泄 量”来。 2 无限短轴承 设轴承宽度b 远小于直径d ，则 协 片3 嚣) l 曙 2 高( 日3 筹 l 于是略去前者而将r e y n o l d s 方程简化为： ( 鲁) 2 刍黝= ，面d h 沼。， 从物理意义上看，这表示略去了轴向压力流的作用，因此流量连续关系中 只包含周向剪切流和轴向压力流。 因h 与量无关，故上式可写成： 磐：3 俜 2 去一d h ( 2 - 4 3 a ) 丽叫l i j 可面 “q 姐 此式右方与 无关，因此可对五积分二次，得： m ( 翁雨1d 引h ( 2 ：2 州加4 ： 由轴承两侧的边界条件： 2 4 堕2 一 蚴吐滞 誊| 叫丝心 爹 五 沈阳农业大学硕士学位论文 得a l = o ，a 2 1 2 。因此， p ：一三f 耵唑防- i ) ( 2 - 4 4 ) 2l d ( 1 + 6 c o s 妒) ” 由于两次积分都是对a 的，所以积分常数都是由a 方向的边界条件确定， 在伊方向不能任意旌加边界条件。实际上，由式( 2 4 3 a ) 可知，p 沿妒的分 布规律早已由该式右方的专等目1 1 ( 1 - + e 。s 。i 。n 妒( o f 所确定了，亦即短轴承理论 必含有掣：0 时尸：0 的后果，而这恰好符合圆柱轴承的s o m m e r f e l d 或半 d d s o m m e r f e l d 边界条件。至于r e y n o l d s 条件，就非短轴承理论所能适应的了。 由式( 2 4 4 ) 还可以看到，按段轴承理论，在轴向方向上，压力是成二 次抛物线分布的。 如果采用半s o m m e r f e l d 条件，则可在p = o 叫c 范围内用公式( 2 - 4 4 ) 求 出性能数值如下： f = ( 笥南瓜丽 。s ， t a t l 目：三型! 二曼!( 2 4 6 ) ：当丝1( 2 4 7 ) y 1 一s 2 1 + 占f 短轴承理论可比无限宽轴承理论多算出一个性能数据，即测泄量： o = 2 f - 1 2 脚坚r3乱却y=112 3b d 觎k 无量纲侧泄量为： 虿= 掣= 一如3 乱却= z 掰 协a s ， 短轴承理论在b d 较小时有一定实用价值，b d 越小则其结果越准。至 印一砂旦脚 二、静态特性参数级数建模分析及计算 今他仍被一些人用来分析或用以设计轴承。 3 有限长轴承 ( 1 ) 公式推导 根据有限宽轴承实际情况而由不经进一步简化的二维r e y n o l d s 方程解 出压力分布，当然比无限宽或短轴承理论为佳。但通常找不出二维r e y n o l d s 方程的封闭解。如果用一般数理方程解法即分力变量法，亦即只能得出很繁 复的无穷级数来表达压力分布，此外从繁复的压力表达式在进一步作数学处 理计算承载力等性能数值甚不方便，因此实用上更多地是索性就用近似方法 来求解压力分布。 有限长轴承的二维r e y n o l d s 方程的无量纲形式为： 南( 嚣 + ( 刳2 刍( 盖) = 。券 c ：书， 式中p 为油膜压力，p 轴承为转角，d 为轴承直径，占为轴承长度， = 2 z b ， 日为无量纲膜厚，h = i + c o s ( 妒) ，其中e = e c ，称为相对偏心或偏心率，e 为偏心距，c 为半径间隙。 因r e y n o l d s 方程的解p ( 妒，z ) 是二维连续函数，应可用二维的f o u r i e r 级数逼近之。如果在周向和径向都用各阶三角函数作为基函数，构成二维三 角级数，则可将j p 的近似表达式p 写成： 站喜套a vs i n 警署c o s 学 s 式中妒l 和妒2 依次为油膜起始角和油膜终止角，m 胛个都是待定系数。 其中m = 5 ，n = 5 可满足精度要求。这个表达式已满足了全部边界条件，现在 要确定各个a i i ，使其最佳地满足方程( 2 5 0 ) ，这样就得到了压力分布地近 似解。因为p 是近似解，所以它代入方程后，一般不会使方程左、右方恰好 相等。设左右方之差为r ( p ，力，即 露：旦f 日，堑1 + 峰1 2 旦f ，壁 一3 塑( 2 - 5 1 ) a 妒la 妒l b 0 3 ia 五jd p 将式( 2 5 0 ) 代入，得 沈阳农业大学硕士学位论文 肚静 - 焐2 j ：- 1 讣d 、 3 s i n 掣+ ；：， 型l h ：掣c 。s 刿 c o s ( 2 j - 一1 ) r , 2 3 塑 为了保证芦在一定意义上最佳地满足方程，应用逝辽金法。此方法要求 残量正交于每个基函数