（计算数学专业论文）解线性不适定问题的几类正则化方法.pdf

2 0 0 5 上海大学硕士学位论文 摘要 本论文包括三部分考虑求解数值微分的两种正则化方法，探讨线性不适定算 子方程的一种适应性求解方法，分别给出相应的理论分析和数值试验最后采用对 数度量得到了迭代t i k h o n o v 正则化方法的渐进收敛速率 第一章在给出不适定，反问题和正则化的概念后，简单介绍几种本文将要用到 的或者比较重要的线性正则化方法和正则化参数的选取法则第二章到第四章是本 文的主要工作 第二章探讨求解数值微分的磨光方法和积分求导方法，并得到它们逼近高阶导 函数的收敛结果，这两种方法结合正则化参数的选取都得到最优的收敛阶，这使得 对高阶导函数进行逼近成为可能最后给出一些数值结果，证明我们的方法是可行 的 第三章采用t i k h o n o v 正则化方法求解非退化紧线性算子方程，研究t i k h o n o v 正则化方法在扰动数据满足附加单调性条件下的收敛性质并以算子的奇异值为幂 的形式为假设前提，得到正则化解的改善的收敛结果最后给出相应的数值结果， 与理论分析相吻合 第四章考虑求解不适定问题的迭代t i k h o n o v 正则化方法的渐进收敛速率采 用”对数度量”作为广义解u 十的分类标准，对于数据没有误差和有误差的两种情 形，我们都可以得到关于渐进收敛速率的相当精细的结论最后讨论参数的两种后 验选取方法 关键词：线性算子方程，不适定问题，数值微分，正则化方法，收敛速率，t i k h o n o v 正则化方法，磨光方法，积分求导方法，适应性方法，”对数度量” 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文2 a b s t r a c t t h i st h e s i sm a i n l yi n c l u d e st h r e ep a r t s w ef i r s tc o n s i d e rt w ok i n d so fr e g u l a r i z a t i o n m e t h o d sf o rn u m e r i c a ld i f f e r e n t i a t i o na n dt h e nd i s c u s s a d a p t i v em e t h o df o rs o l v i n g l i n e a ri l l p o s e do p e r a t i o ne q u a t i o n r e l a t e dt h e o r e t i c a la n a l y s i sa n dn u m e r i c a le x a m p l e s a r eo b t a i n e d f i n a l l y , b yu s i n g l o g a r i t h m i cm e a s u r e w eg e ta s m p t o t i cc o n v e r g e n c er a t e s o fi t e r a t e dt i k h o n o vr e g l f l a r i z a t i o ns o l u t i o n s c h a p t e ro n eb r i e f l yi n t r o d u c e ss e v e r a ll i n e a rr e g u l a r i z a t i o nm e t h o d sa n dp a r a m e t e r c h o i c es t r a t e g i e sw h i c ha r ei m p o r t a n to rd i s c u s s e di nt h i st h e s i sa f t e rg i v i n gt h ec o n c e p t i o n s o fi l l - p o s e di n v e r s ep r o b l e ma n dr e g u l a r i z a t i o n t h em a i nw o r ko ft h i st h e s i si sd e s c r i b e d i nc h a p t e rt w ot h r o u g hc h a p t e rf o u r c h a p t e rt w od i s c u s s e sm o l l i f i c a t i o nm e t h o da n di n t e g r a ld i f f e r e n t i a t i o nm e t h o df o r s o l v i n gn u m e r i c a ld i f f e r e n t i a t i o np r o b l e m c o n v e r g e n c er e s u l t sf o ra p p r o x i m a t i n gh i g h o r d e rd e r i v a t i v ef u n c t i o n sa r ea l s oo b t a i n e d t h et w om e t h o d sg e to p t i m a lc o n v e r g e n t r a t e sc o n n e c t i n gs o m er e g u l a r i s e dp a r a m e t e r s t h u sh i g ho r d e rd e r i v a t i v ef u n c t i o n sc a n b ea p p r o x i m a t e dw i t ht h em e t h o d s f i n a l l yw eg i v es o n l en u m e r i c a le x a m p l e s ，w h i c h p r o v et h a to u rm e t h o d sa r ea p p l i c a b l e c h a p t e rt h r e et a l ( e st h et i k h o n o vr e g u l a r i z a t i o nm e t h o dt os o l v en o n d e g e n e r a t ec o r n - p a c tl i n e a ro p e r a t o re q u a t i o n ，i nw h i c ht h en o i s ed a t aa r es u p p o s e dt os a t i s f ys o m ea d d i t i o n a im o n o t o t i ec o n d i t i o n w i t ht h ea s s u m p t i o nt h a tt h es i n g u l a rv a l u e so fo p e r a t o r h a v ep o w e rf o r m ，i m p r o v e dc o n v e r g e n c er a t e so fr e g u l a r i z e ds o l u t i o na r eo b t m n e d f i n a l l y w es h o ws o m en u m e r i c a le x a m p l e sc o i n c i d i n gw i t ht h et h e o r e t i c a le s t i m a t e s c h a p t e rf o u rc o n s i d e r sa s m p t o t i cc o n v e r g e n c er a t e so fi t e r a t e dt i k h o n o vr e g u l a r i z a - t i o ns o l u t i o n sf o ri l l - p o s e dp r o b l e m s aq u i t ep r e c i s ep i c t u r eo fa s m p t o t i cc o n v e r g e n c e r a t e sf o rb o t hc s s e so fe x a c td a t aa n di n e x a c td a t ai so b t a i n e db yu s i n g l o g a r i t h m i cm e a - s u r e a st h ec r i t e r i o nf o rc l a s s f i c a t i o no f + w ea l s od i s c u s st w o8p o s t e r i o r ip a r a m e t e r c h o i c e s k e y w o r d s ：l i n e a ro p e r a t o re q u a t i o n ，i l l - p o s e dp r o b l e m ，n u m e r i c a ld i f f e r e n t i a t i o n ，r e g u - l a r i z a t i o nm e t h o d ，c o n v e r g e n c er a t e s ，t i k h o n o vr e g u l a r i z a t i o nm e t h o d ，m o l l i f i c a t i o nm e t h o d i n t e g r a ld i f f e r e n t i a t i o nm e t h o d ，a d a p t i v em e t h o d ，l o g a r i t h m i cm e a s u r e 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文 3 第一章预备知识 1 1 引言 自2 0 世纪6 0 年代以来，在许多应用科学与工程技术研究领域，如生命科学， 地球物理，地质勘探，图像重建与恢复，材料科学，遥感技术，最优控制和最优设 计中，都存在反问题( i n v e r s ep r o b l e m ) ( 4 ，7 ，3 3 ，3 4 ，4 0 1 ) 粗略地说，如果将由本原求 一个过程或现象效应的数学问题称为正问题，则将由效应反求本原称为反问题反 问题的有效求解对数学学科本身以及相应的应用科学都有着十分重要的意义，有时 是关键所在因此对反问题求解的理论和方法的研究已经成为当代应用数学计算数 学学科中重要且活跃的领域 反问题的一大特点，亦为难点是，一般说来它们在h a d m a r d 定义下是不适定 的，即在反闻题中我们不能完全保证其解的存在性，唯一性或者稳定性( 【1 9 】) 在数 学上我们称这一类问题为不适定问题( i l l - p o s e dp r o b l e m ) 当然，我们可以通过弱化 解的定义来保证解的存在性，通过在解的集合中限定我们最感兴趣的那个解来解决 唯一性问题( 例如，我们可以求解的集合中具有最小范数的那个解) ( 5 ，8 ) 但是不 满足稳定性就会产生一些极其严熏的后果：如果对于一个不满足稳定性的问题，即 它的解不随数据的改变而连续变化，试图采用”传统的”处理适定问题的数值计算 方法来求解，得到的结果就会极不稳定( 7 ，1 0 d 概言之，反问题常常是不适定的， 若不用特殊的方法来求解，将得不到合理的解 正则化方法是处理不适定问题的有效工具一般说来，最具普适性，在理论上 最完备且行之有效的方法，就是由著名学者t i k h o n o v 以第一类积分算子方程为基 本数学框架，于2 0 世纪6 0 年代初创造性地提出。后来得到深入发展的正则化方 法正则化方法的目的是在尽可能保证近似解的稳定性的基础上保留解的尽可能多 的信息( 【8 ，9 ，1 9 】) 正则化常用的思路之一是用一系列”邻近的”适定问题来逼近 原始的不适定问题从而，如何构造“邻近问题”而获得所谓的正则化算子和正则 化解，如何控制与原问题的”邻近程度”而决定与原始资料的误差水平相匹配的正 则化参数就成为正则化理论和方法的核心问题， 考虑具有如下形式的线性算子方程 a x = y 其中，4 是从h i l b e r t 空间x 到h i l b e r t 空间y 上的非退化线性算子一般说来， 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文 4 方程( 1 1 1 ) 可能没有解在解存在的情况下，其解也不一定唯一( 【4 ) 因此我们将 求它的一个特殊的广义解，即极小范数最j 、- 乘解一，称为m o o r e - p e n r o s e 广义解 ( 4 ，1 9 ) 我们将在下面的定理中说明m o o r e p e n r o s e 广义逆算子a + 是将y 映射到 算子方程( 1 1 - 1 ) 的极小范数最小二乘解一的解算予 定理1 1 1 ( 1 9 】) 设y v ( a + ) = n ( a ) - - 冗( a ) 1 ，则方程( 1 1 1 ) 有唯一的极小范 数最小二乘解，它可以表示成 z + ：= a + y( 1 1 2 ) 并且，方程( 1 1 1 ) 的所有的最小二乘解的集合是x + + ( a ) 在许多实际情况下，我们并不知道方程( 1 1 1 ) 的精确右端y ，只知道一个近似 的右端y 6 ，但它满足下面的条件 i l y 6 一洲6( 1 1 3 ) 其中，6 是一个小量( 可以是已知的也可以是未知的) 我们称y 6 为扰动右端，称 6 为误差水平，相应地，方程( 1 1 1 ) 变为 a x = y 6( 1 1 4 ) 在不适定的情况下，由于a + 的无界性，a + y 6 不存在，即使存在，一般也不是a + y 的一个好的逼近( 【1 9 】) 因此，我们必须寻找一的某种更好的近似解，记作z ：，使它 满足：一方面，连续地依赖于右端y 6 ，以使我们可以用一种稳定的方法来计算它； 另一方面，当误差水平6 趋近于零，并且适当地选取参数o z 时，近似解z i 趋近于 极小范数最小二乘解矿通常我们利用正则化方法来实现上述目的：定义一族与参 数a 有关的连续算子凰来代替无界算子a 十，然后将z ：= r 。y 6 作为矿的一种 近似这样便可以通过一种稳定的算法来求解z i 我们称这族算子吼为正则化算 子，参数。为正则化参数，近似解z ：为正则化解值得注意的是，通常对于正则 化参数n 的要求是t 当误差水平6 趋于零时，正则化解z ：应该趋近于矿因此， 恰当的正则化参数的选取在某种程度上与6 和y 6 ，以及一些关于精确解z + 的先验 信息有关正则化算子的构造以及正则化参数的选取结合在一起便形成了求解不适 定方程的某种特定的正则化方法( 【1 8 ) 正则化参数的选取是正则化方法的研究和应用中十分重要和细致的一环，选 取得合适与否会直接影响到正则化方法的效果粗略地说，目前正则化参数的选取 方法可分成两大类t 先验的和后验的如果我们事先知道关于精确解的一些信息， 例如其光滑程度”，则可选取a 6 赢，这样得到的结果可以达到最优收敛速度 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文 5 o ( 6 j 新) ( 1 9 ) 先验选取正则化参数的有效性的前提是精确知道扩的某些信息 但通常情况下，我们不知道精确解的任何先验信息，在实际问题中它们往往是难 以精确估计的，一旦这些信息估计不精确，就会导致收敛阶的损失因此长期以来 正则化方法的研究中面i | 缶的一个挑战是利用给予的信息( 如a ，6 ，y 6 ) 来后验的确定 o ，并且使得到的正则化解有好的收敛性质后验的方法可分成两大类，一类是我们 已知关于方程右端误差的扰动水平5 ，则可以通过对残量的估计来求解正则化参数 n = n ( 6 ，矿) 这一方法的典型例子就是一直被广泛使用的m o r o z o v 残差准则( 【3 0 】) 另一类后验选取正则化参数的方法是近年来引起各界兴趣的e r r o r - f r e e 方法，即在 不知道扰动误差j 的情况下，仅通过给定的扰动右端及正则化方法本身的特性来求 解正则化参数( 【2 7 ) 在本章最后一节中我们简单介绍一下 1 2 几种典型的正则化方法 线性不适定问题有比较完整的理论基础和数值解法到目前为止，人们已经 提出了许多正则化方法例如，著名的t i k h o n o v 正则化方法( 5 ，7 ，1 9 ) ，n 次迭代 t i k h o n o v 正则化方法( i s ，1 3 ，1 7 ) ，截断奇异值分解方法( 2 6 】) ，a * 光滑正则化方法 ( 3 2 1 ) ，磨光方法等等( 【1 1 ) 作为对于下面章节的准备工作，我们在这一节中简要介 绍一下几种正则化方法的思想 1t i k h o n o v 正则化方法( 5 ，7 ，1 9 ) 我们知道，方程( 1 1 1 ) 的最小二乘解满足法方程 a + a x = a y ( 1 2 1 ) 其中岔是a 的共轭算子由于一= a + y 是方程( 1 1 1 ) 的一个最小二乘解，故也 满足法方程( 1 2 1 ) 又因为自共轭紧算子a 具有非负特征，故对于任意正数a ， 算子( a + 4 + n j ) 具有严格正的特征值( 其中j 是定义在x 上的单位算子) 所以算 子( a + a + a j ) 具有有界逆算子，也就是说，关于求解下述方程( 1 2 2 ) 的问题是适定 的。 ( a + a + o ，) 。= a + 9( 1 2 2 ) 我们称方程( 1 2 2 ) 为方程( 1 2 1 ) 的正则化形式，并称它的唯一解 o 。= ( a + a + 5 i ) _ 1 a 4 口( 1 2 3 ) 为方程( 1 1 1 ) 的极小范数最小二乘解a + y 的t i k h o n o v 正则化近似解 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文6 27 2 次迭代t i k h o n o v 正则化方法( 8 ，1 3 ，1 7 1 ) 它是t i k h o n o v 正则化方法的推广设z 。= 0 ，归纳地定义z 。j 为下述泛函唯一 的极小点 西。( z ，z 。，j 一1 ) = 0 a 一口1 1 2 + n l l z z 。，一1 1 1 2 j = 1 ，2 ，n ( 1 2 4 ) 容易推得，。，满足方程 ( a + a + e i ) x a j = o z o j 一1 + a + y( 1 2 5 ) 消去中间变量，得n 次迭代t i k h o n o v 正则化解 z 。一= o ，一1 ( a + a + o ，) 一a 4 y ：= 如，。y ( 1 2 6 ) 1 = 1 有界线性算子r 。= 。( a ) a + 称为n 次迭代t i k h o n o v 正则化算子，对应的逼 近函数为 ( a ) = 妻。( a + 矿k ；( 1 一( 熹) n ) ( 1 2 7 ) ，。( a ) = 。1 ( a + o ) 一k ( 1 一( t 备) ”) ( 1 - 2 7 ) ，= l 当n = 1 时，即为通常的t i k h o n o v 正则化算子 3 截断奇异值分解方法( t r u n c a t e ds v d ) ( 2 6 ) 设h ；地，仇) 墨 是方程( 1 1 1 ) 中紧算子a 的一个奇异系，奇异值吼按由大到 小的顺序排列， 蛳) 和似) 分别是子空间( a ) 上cx 和万丽cy 的标准正交基 ( 【2 6 1 ) 若方程( 1 1 1 ) 的m o o r e p e n r o s e 广义解存在，则可表示成 o o 矿= a + f = 叮1 ( 矿，v i ) u i ( 1 2 8 ) i = 1 若方程( 1 1 1 ) 的右端存在扰动误差曲，即y 6 = y + 妇，则用类似( 1 2 8 ) 式表示的近 似解为 = 叮1 ( 矿，地) 毗 ( 1 2 9 ) = 1 其与一的误差为 如= 一矿= o - 1 ( 曲，v i ) u i ( 1 2 1 0 ) t = 1 由( 1 2 9 ) 式可看出，吼越小，扰动误差曲在近似解与精确解矿之间的误 差如中所起的影响就越大当i 一。时，矶将趋近于0 故截断奇异值分解方法的 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文7 基本思想就是，将( 1 2 8 ) 式右端进行截断，即仅保留前面k 个对应于较大奇异值的 部分，将后面的对应于较小奇异值的部分删掉，从而避免扰动误差被过分地放大 但为使近似解更加逼近精确解，还应该尽可能地保证k 比较大因此k 在这里起到 了正则化参数的作用，我们又称其为截断奇异值分解方法的截断阶，而方程( 1 1 4 ) 的t s v d 解即可表示成 x 2 = o 昌( 矿，v 1 ) “i ( 1 2 1 1 ) = 1 贺国强教授针对t s v d 方法的不足作了改进，提出了典则t s v d 方法( 1 4 1 ) 该方 法有效的避免了t s v d 方法对数据的限制，并可达到最优收敛阶贺国强教授针 对紧算子方程讨论了a 一光滑正则化方法( 3 2 ) ，它是一种特殊的h i l b e r t 尺度上的 t i k h o n o v 正则化方法零阶a 一光滑正则化方法即为t i k h o n o v 正则化方法，而无 穷阶a 一光滑正则化方法即为典则t s v d 方法( 1 4 1 ) 4 磨光方法( 1 1 1 ) 设x ，y 是两个b a n a n a 空间，a 是x y 的无界线性算子，它的定义域d ( a ) 在x 中处处稠密对于给定的z d ( a ) ，要求计算 y = a x ( 1 2 1 2 ) 当数据x 有小扰动变成粕，虽然有l | 一硎sd 1 ，但由于a 是无界算子，l l a x 6 - a x l i 可以任意的大，甚至不属于d ( 以) 因此无界线性算子的求值是不适定的，它也 是实际中经常遇到的典型的不适定问题 求值问题可以转化为方程问题，例如，第二章将要介绍的函数求导问题y = x 7 可以转化为如下的积分方程 y ( s ) d 8 = z ( t ) j 0 然后采用解不适定方程的正则化方法来求解这里介绍直接应用于求值问题的磨光 方法，它的思想如下( f 1 1 ) ： 1 建立空间列 ) 0cx ，使得任意的h i o x h = x ，x hn d ( a ) 西并且限定在上的求值问题是适定的 2 寻找磨光算子列m h ：x 一凰，磨光算子m h 将一映入x h n d ( a ) 为使磨光方法有效，给出如下条件 条件1 2 1 ： 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文 8 i ) 逼近性t 存在函数m ( ，- ) ，使得l i m h x x l i m ( h ，i i x l l ) ，且。固定时，满足 l i “ ，o m ( h ，i i x l l ) = 0 i i ) 有界性：存在c 0 ，h o 0 ，使得当0 o ，a ( o ，i i a i l 2 1 c ) 叭( 0 ，i i a l l 2 】，函数 帅) ：_ ( ( n ) ，( a ) ) _ 1 垦掣脚) 关于a 严格递增 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文 8 i ) 逼近性t 存在函数m ( ) ，使得i i m h x z i l m ( h ，i x l l ) 且2 2 固定时，满足 l h l l h o m ( h ，i f z 0 ) = 0 i i ) 有界性：存在c 0 ，h o 0 ，使得当0 o ，ae ：( o 2 1 c ) ( 0 ，恻h 函数 蝴) ：( 忡) 耿硼1 塑掣脚) 关于n 严格递增 关于n 严格递增 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文 9 如果l i m 一。，( o ，y 6 ) r d 2 ，那么补充定义o ( 正y 6 ) = + 。，对应的正则化解理解 为当n 一十o 。时的极限，有 。笔：= 。里z ：= 0 将g f f e r e r 准则应用于n 次迭代t i k h o n o v 正则化方法时，确定正则化参数的方 程( 1 3 1 ) 转化为 0 2 n l ( ( a + a + 理j ) 一( 2 n + 1 ) q 蛳，q 蜘) = g 占2( 1 3 2 ) 其中c l ，扰动数据蜘满足 i 一引i d 0l l a 。：一y , f 0 t ( f )( 1 3 4 ) 其中r 1 是一个常量 由于泛函 o l 一| j 旌一矿0 是右连续的，故( 1 3 4 ) 式中的极大值可以取到，从而亦有 i i a $ ：( 6 ，矿) 一矿0 r 6 如果对所有的o l 0 均有l i a r 一矿8 柑，那么a ( 6 ，y 6 ) = - i - c ) 此时，：( 6 ，扩) 在某 种意义上可被理解为当a 一+ 。时的极限，并且 z ：= 舰。：= 0 由上知，残差准则是通过比较残量( 残差) l i a z i 一矿0 和已知误差水平6 来确定正 则化参数的 3 e r r o r - f r e e 方法( 1 1 2 ，2 1 ，2 5 】) 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文 1 0 e r r o r f r e e 方法是这样一种参数选取方法：它不需要知道关于误差水平的任何消 息，而是根据所选取的正则化方法的实现情况来确定正则化参数的b a k u s h i n s k i i ( 1 ) 指出这类参数选取方法不能总是保证正则化方法的收敛性，但目前仍然有例子说明 有时e r r o r f r e e 方法可以产生比一些复杂的按阶最优的参数选取准则更好的收敛阶 ( 2 6 】) 目前有两种常见的e r r o r - f r e e 参数选取方法一种是w a h b a 提出的g c v 方法 ( g e n e r a l i z e d c r o s s v a l i d a t i o n ) ( 1 2 ，2 1 】) 另外一种是由h a n s e n ( 2 5 ) 提出的l - c u r v e 准 则这里我们不再详细叙述，感兴趣的读者可以参考相关的文献 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文 第二章两种数值微分方法 导数是数学分析中的一个基本概念在许多实际工程和科学研究中，我们需要 计算一个函数的导数例如，图象处理过程中的不连续点的确定问题( 【2 8 】) ，化学分 析中的实验数据的波峰分离问题( 2 4 ) ，数学物理方程的反问题( 2 3 】) 等问题的研究 过程中都出现了数值微分问题由于这是一个不适定问题，即任何测量中的误差都 可能导致最后的计算结果有非常大的误差( 【5 ，8 ，2 3 ) ，在数值处理和实际应用上有 着很大的困难很久以来，许多学者进行了这一方面的研究通常采用的方法是用 有限差分来作为导函数的一种近似，但是这个方法有一个缺点，如果测量数据含有 误差，测量点之间的距离不能太小或测量点的数目不能太多，否则最后结果的误差 反而会增大，即多的测量数据反而不能得到好的结果本章我们讨论连续函数的数 值微分问题，文3 8 1 中提出了两种新的正则化方法，并作了初步分析，本章作进一 步的讨论 2 。1 磨光方法求解数值微分 设$ c 1 i o ，6 ，v i a ，纠，忪一i | 6 区间【a ，6 的任意给定的均匀分划 7 r = 茁t ) 6 + 1 ：n = z o z l 叩 o 孚 【= 0 吲学 m = 0 的情形，仅在z = 士l 2 对倒外 2 ) m 兰1 时，n m ( - x ) = q m ( 茁) 3 。) 厶n m ( 。) 如- 1 4 ) d 2 n 。= q m 1 引理2 1 2 ( 3 5 ，3 6 ) q 。，。( z ) 有下列重要性质； 1 ) 当川p 时，n 。，。( z ) = 0 2 ) 当t r 时， ；知一字，打= ， 引理2 1 3 ( a 5 ，3 6 】) 1 ) 对任意的非负整数m ，n ，若z c n + r c ，川，有： 懒z 叫is 鲁爵胪 其中；当n 为奇( 偶) 数时，r = l ( 2 ) ，c = n p ，d ：b + p h ， m m m = s ，u p z ( n 州( t ) i 。= ，9j n 。，。( t ) l l t l n 打d t c t dj n 2 ) 在( 0 一p h ，b + p h j 上，d 。 靠= m h d 3 ) 公式( 2 1 1 ) 对次数不高于2 n 的多项式函数是精确成立的 可以看出磨光算子a 如满足条件1 2 1 - 我们得到的主要结果如下，其中的范数 1 1 ，为区间，上的连续范数 定理2 1 4 假设z c 【n p 日，6 + p h i ，l n ，0sf k ，则h 。0 时有： 慨( 2 j 圹 三嚣2 ：薹笔：+ 。 2 0 0 5 上海大学硬士学位论文 1 3 证明： 由g l 理2 - 1 2 和引理2 1 3 ，可得当t 陋，6 】时： 。划= 慨呦) 圳= ；伫“。( 字) ( 以巾沁) ) d 丁 ( 2 1 2 ) 当1 k 2 q + 2 + f 时， ) ( 亡) = ，塞，删( 亡) 错帕啪) ( 2 1 3 ) ，= i + l v， 其中( _ t ，) = o ( 一一t ) 。) ，r t 时 将( 2 1 3 ) 代入( 2 1 2 ) ，并由引理2 1 _ 3 ，得， 扳t _ t + 。p hn 。( 宰) ( 川) j - t d t = ( 川) 州= 。川+ 1 ) ， 从而有： 。z ( t ) 一以t ) = 。l _ f 细t + p hn 。，。( t - - 厂t ) n ( r ，t ，) 打 令8 = ( t t ) l h ，有 d i m h z ) 一z ( ；( t ) ：，9n 。，。( 8 ) 。1 ( 8 ，) d 8 其中当h 一0 时，a l ( s ，t ，) = o ( ( ) 2 ) i d z m h z ) 一z ( ( t ) i - 9i n 。，。( 。) l d s s u pi 。1 ( s ，k ) l ：卢( ) 一l 其中卢( ) 一0 ，h 一0 时 当k 2 9 + 2 + 1 时，由于 以巾以归2 。q 至+ 1 + ，1 删错_ 1 - x ( 2 q + 1 + 2 ) 百( r - t 可) 2 q + 2 f = 一1 、j， 、x 。“， 又因为 ；伫? n 。( 宰”一t ) j - t d t = ( h 少2 = 。川+ 1 ，m + f + - 所以 d f 慨坤) - x ( o ( 牡列1f 却t + 。p aq 。一宰) x ( 2 q + z + 2 ) 等打 令8 = ( t t ) h ，有 删旷砸) = 仁n 础2 州十2 ) 篙黼出j pl q t ，： 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文 1 4 i d i m h 球) 一f ) ( 驯s 南仁l q m ( 8 ) 弘+ 2 如- 吲。一溉圳】l x ( 2 q + l + 2 ) 伊2 结论显然成立 由此定理可知，用d 2 m h x ( t ) 求解。( ) ( t ) 的代数精确度为2 口+ l + f 下面考虑数据含有误差的情形 定理2 1 5 假设。，c b p h ，b + p h i ，l i x 一护i i 6 ，f n ，1 f m ，则存在 与m ，l 有关的正常数u k 。，使得 l i d 。m h x d m h x 6 1 1 o ，q u k 。雨。 证明：利用引理2 1 1 和引理2 1 3 。酬旷。印) = ；艨嘉叫字) = 六e 砩一字) = 嘉砧一州“ 。( 下) 一茁6 ( r ) ) d r z ( r ) 一。6 ( f ) ) d r ( 令t t f = s h ) 一z 6 “一s h ) ) d s f 2 ，1 4 1 其中礁，。( t ) = ；一g 妒q m l o j ) ，从而有 i d 2 螈z ( t ) 一d m k ( t ) l5 占， 一p 。r i t c m i 一( 8 ) l d s 令u ，。= 肥。i n ( t ) i 出，即得证 定理2 1 6 假设。c 【o p h ，b + p 盯】，z 6 g 【n ，酬，i i x z 6 i i 6 ，z n ，0sf m i n k ，m ，则可选取h = h ( 6 ) ，当6 0 时，h ( 6 ) 一0 ，并且 扎h u = 警2 “。：薹艺：+ 。 证明：由定理2 1 4 和定理2 1 _ 5 可得，当6 0 时 归。m h x d - x ( z ) i i 叫嚣：薹鬟：+ 。 皿： 其中当h 一0 时，p ( ) 一0 当2 q + 2 + 1 ，取h + = ( d ) ，使得6 彬与h 2 q + 2 为6 的同阶无穷小量此时， h + = d 1 ( 2 q + 2 + “，f h ( 2 1 5 ) 式，当6 0 时 l i d 。且磊z 6 一盘( 。| | = ( u m + g ) 6 ( 2 口+ 2 ) ( 2 q + 2 + ) = o ( 6 ( 2 q + 2 ) ( 2 4 + 2 + 2 ) 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文 1 5 当1 k 0 ，c a ，b l ，睁一| i 5 ，我们采用如下的积分形 式来近似z 的2 m + 1 阶导数，m 为正整数令 d 坤) ：= 元品如) z o + r h ) d r t l a , b 1 ，0 h h ( 2 2 1 ) 其中奇函数9 ( t ) = 。n k ：+ m 1a 2 k l t 2 k - 1n 为正整数下面来确定g ( t ) 假设z c 2 卅2 m + 1 k eb + 日 ，于是由t a y l o r 定理，当一1 t l 时， + 雄) + 爱掣) t z ( t ) + 产( r ) t = l 苫掣( 圳t 十 i 一+ 2 t ! 。一 。! ! ! ! ：! 塑， 。( 2 m + 1 ) ! 、 x ( 2 n + 2 m + 1 ) ( ) ( 2 n + 2 m + 1 ) r 蚋2 + 1 其中e = e ( t ) 位于t 和t + t h 之间所以由g ( t ) 的奇函数的性质有 嘲，= 南胁，f “蔷1 篙等芦1 + 篙篆等p 1 打 ：击h 2 m + “篆1 筹胁户“打 一 1 急 ( 2 j + 1 ) ! j l “。 一 十两篙研咖) 2 时1 ) ( 咖加+ 2 m 十1 打 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文1 6 为了找到a 2 k 一1 ，= 1 ，2 ，n + m ，使得d h x ( t ) 近似z ( 2 ”+ ”，我们令 1 9 ( r ) r 2 j + l ：o ，j ：o ，1 ，一，m 一1 ，m + 1 ，n + m l ，19 p ) r 2 m + 1 ：( 2 m + 1 ) j 一1 j 一1 整理得 i r t + m 骊2 a 2 k - 1 = ( 2 m + 1 ) 【；等赫= o 令 蚴= ( 三2 三2 三2 熏2 ( 2 2 2 ) 跏一2 叶1 ) ( 卅丽篙而9 扣+ 2 m “) ( c ) t 2 n + 2 7 t l - t - 1 打 c k z ( t ) ：丽1 ，1 ，( f ) 。( t + r h ) d r t 。，6 】，o h h( 2 ，2 3 ) 魄。( 。) ：2 而- 1m ) 。( h 7 7 刚，o 0 定理2 2 5 假设。c 【凸一h ，b + 】，c a h ，b + h i ，忙一1 | 6 ，则可选 取h = ( 6 ) ，使得当6 0 时， ( 6 ) 一0 ，并且 i l d h x 6 - x ( 2 m + 1 ) i l i a , b = 篇三2 n + 2 。m ，“u 篡 2 n + 。州2 m + l 证明：证明同定理2 1 6 的证明相同，利用定理2 2 1 和定理2 2 4 可得证类 似的我们有； 定理2 2 6 假设c 。 o h ，b + 叫，c a h ，b + h i ，岭一i l 6 ，则可选 取h = h ( 6 ) ，使得当6 0 时，h ( 6 ) 一0 ，并且 l i c h x e - x ( 2 m ) l l , b = 豢= ；蕊2 n + 。2 川m 。 显然有 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文1 9 推论2 2 7 假设c 【。一h ，6 + 翻，1 2 m + 1 ，。6 c a h ，6 + ，i i x 一。6 i ls 5 ，则适当选取h = ( 6 ) ，使得 d h x 6 ( ) _ x 2 m + l ( t ) 6 _ 0 推论2 2 8 假设。c a h 扣+ ，1 2 m 兰k ，。6 c a h ，b + ，i i 嚣一z 6 | | 6 ， 则适当选取h = ( 6 ) ，有： c h x 6 ( t ) _ z 2 “( t ) 5 0 由以上两个推论可知，积分求导方法是一种求解数值微分的正则化方法 2 3 数值实现与算例 为了获得已知函数的近似导数，采用复合梯形求积公式 f 他* 壹i = 0 小。 这里。o = 。k = h l 2 ，u i = h i ，i = 1 ，2 ，一，k 一1 ，且矾= a 十i h 1 ，i = 0 ，1 ，一，h 1 = ( b o ) 由( 1 4 ) 知 d t m h x 6 ( t ) = 1 。j 一p 。k 。lm ( s ) z