（计算数学专业论文）多元样条、弱样条及分片代数簇若干问题研究.pdf

大连理工大学博士学位论文 摘要 多元样条、多元弱样条及分片代数簇是本文的主要研究对象它们在函数逼近、计算 几何、有限元以及代数几何等领域都占有重要的地位，同时具有广泛的应用本文的第二 章和第三章属于多元样条范畴；第四章和第五章属于多元弱样条范畴，最后一章属于分片 代数簇范畴 在第二章中，我们主要研究了一种星型贯穿剖分上的多元样条整体协调方程组所对应 的素摸的生成基的计算方法1 9 7 5 年，王仁宏采用函数论和代数几何的方法，提出了研究 多元样条的“光滑余因子协调法”，建立了任意剖分下多元样条函数的基本理论框架从这 种观点出发，多元样条函数的任何问题可以通过整体协调条件转化为一个与之等价的代数 问题来研究，整体协调条件影响和最终决定了多元样条函数整体协调条件可以看作一个 以各内网线上光滑余因子为未知数的有着多项式系数的代数方程组，而这个代数方程组的 所有解构成了多项式环r x ，引上的素模所以整体协调条件的求解闯题等价于一个多项 式环上的素模求解问题我们研究了星型贯穿剖分上的多元样条整体协调方程组所对应的 素模的生成基的计算方法，所得结果可以应用到求解各类贯穿剖分上的多元样条函数空间 的维数、基底和插值等问题 在第三章中，我们研究了一种特殊的多元二次样条函数空间冀口( ) 在这里剖分就 是由一个正则四边形剖分按照第四型p o w e u - s a b i n 细分格式加细而得到的一种剖分对于 任意的样条s 姥o ( ) ，样条8 的分片次数是二次，且在剖分上的绝大部分网线上是一 阶连续的，而在其他剩余的少部分网线上是0 阶连续的我们求出了这个多元二次样条函 数空间的维数，研究了基样条函数的显式表达式；同时构造了两个拟插值算子，讨论了它们 的逼近性质，并提供了一些数值实验结果来验证这些逼近性质；最后我们还把此种多元样 条和其他的多元样条做了一些比较这样我们在一定程度上推广了p o w e u - s a b i n 细分格式 的应用 在第四章中，我们研究了多元弱样条函数空间w ) ( 其中k 2 p + 1 ) 和i 琚( 日) 多元弱样条以前的结果主要集中在贯穿剖分以及某些三角剖分上在本章中，根据研究多 元弱样条的“光滑余因子协调法”，采用逐步计算自由度的方法，避免了列出并求解巨大整 体协调方程组的困难，解决了一般正则直线段剖分 上的多元弱样条空间w ) ( 其 中k 之私+ 1 ) 和满足某些条件的直线段剖分日上的魄( 巧) 的维数，并给出了一个构 造基底的方法我们首先根据一个适定的多元h e r m i t 插值问题，求出了星型域a ( v ) 上的 弱样条函数空间w ( 五础( 口) ) 钆+ 1 ) 的维数，构造了它的基底；紧接着我们利用星型域 s 芒( 口) 上的维数结果求出了一般直线段剖分上的多元弱样条函数空间i 喈伍) 舡+ 1 ) 的维数，并给出了一个构造基底的方法由于多元二次弱样条的次数2 和光滑度l 很接近， 我们只能求缛满足一定条件的直线段剖分足上的多元二次弱样条函数空间哪( 日a ) 的 多元样条、弱样条及分片代数簇若干问题研究 维数 在第五章中，我们讨论了多元弱样条函数空间和最小确定集之间的关系在本章中，利 用研究多元弱样条的“b 网方法”，我们给出了任意三角剖分五上的多元弱样条函数空 间 瓒伍) ( 其中k 2 芦+ 1 ) 和研限) 的最小确定集的构造方法，根据多元弱样条函 数空间等于其最小确定集的基数的性质，从而求出了它们的维数我们还讨论了最小确定 集构造方法的理论基础以及由最小确定集里面的点所对应的对偶基的局部支集性质 在第六章中，我们研究了求两条给定的分片代数曲线交点的g r o e b n e r 基方法以及 分片代数簇和理想的对应关系本章前半部分给出了求两条给定的分片代数曲线交点的 g r o e b n e r 基方法在给定剖分流向后，引入截断符号参数，把每条分片代数曲线表示成整 体函数的形式，求出它们在字典序下的g r o e b n e r 基，并且在回代求解的过程中引入了区间 算法，使得该方法数值稳定我们给出的算例表明此算法是行之有效的本章后半部分主 要研究了区域d 上关于剖分的c 恤分片多项式环扩( ) 里的理想的加、乘、交、除四 种运算。以及分片代数簇和理想的对应关系理清它们之间的关系对于深入研究分片代数 簇是很有必要的 关键词：多元( 弱) 样条；素模生成基；1 4 确定集；分片代数簇( 曲线) ；理想 大连理工大学博士学位论文 r e s e a r c h e so nm u l t i v a r i a t es p l i n e ，m u l t i v a r i a t ew e a ks p l i n ea n d p i e c e w i s ea l g e b r a i cv a r i e t y a b s t r a c t i nt h i sd o c t o r i a ld i s s e r t a t i o n ，w em a i n l ys t u d ym u l t i v a r i a t es p l i n e ，m u l t i v a r i a t ew e a k s p l i n ea n dp i e c e w i s ea l g e b r a i cv a r i e t y t h e ya r ei m p o r t a n ta n dh a v eb e e nw i d e l ya p p l i e d i nm a n yf i e l d ss u c ha sf u n c t i o na p p r o x i m a t i o n ，c o m p u t a t i o n a lg e o m e t r y , f i n i t ee l e m e n t ， a l g e b r a i cg e o m e t r ya n ds oo n m u l t i v a r i a t es p l i n ei sm a i n l ys t u d i e di nc h a p t e r2a n d c h a p t e r3 ；m u l t i v a r i a t ew e a ks p h n ei sm a i n l yi n v e s t i g a t e di nc h a p t e r4a n dc h a p t e r5 ；a n d t h el a s tc h a p t e ri sd e v o t e dt op i e c e w i s ea l g e b r a i cv a r i e t y i nc h a p t e r2 w eg i v ea c o m p u t a t i o n a lm e t h o df o rt h eg e n e r a t i n gb a s e so ft h ep r i m e m o d u l ed e t e r m i n e db yt h eg l o b a lc o n f o r m a i i t yc o n d i t i o no ft h es p l i n eo v e rs t a rc r o s s c u t p a r t i t i o n i n1 9 7 5 r h w a n go r i g i n a l l yi n t r o d u c e dt h es o - c a l l e d “s m o o t h i n ge o f a c t o rc o n - f o r m a l i t ym e t h o d ”f o rs t u d y i n gm u l t i v a r i a t es p l i n eb a s e do nt h em e t h o d so ff u n c t i o nt h e o r y a n da l g e b r a i cg e o m e t r y f r o mt h i sp o i n to fv i e w ，a n yp r o b l e mo nm u l t i v a r i a t es p l i n ec a n b es t u d i e db yt r a n s f e r r i n gi ti n t oa ne q u i v a l e n ta l g e b r a i cp r o b l e m t h eg l o b a lc o n f o r m a l i t y c o n d i t i o nc a nb er e g a r d e da sa h o m o g e n e o u sa l g e b r a i cs y s t e mo fl i n e a re q u a t i o n sw i t ht h e u n k n o w n so ft h es m o o t h i n gc o f a c t o r s ，a n di t ss o l u t i o n sf o r ma p r i m em o d u l eo v e rr k ；引 w ed i s c u s st h eg e n e r a t i n gb a s e so ft h ep r i m em o d u l ea n dt h er e s u l t sc a nh e l pl i bt os o l v e t h ep r o b l e mo fd i m e n s i o n ，s p l i n eb a s e sa n di n t e r p o l a t i o nf o rt h em u l t i v a r i a t es p l i n eo v e r a n yc r o s s c u tp a r t i t i o n i nc h a p t e r3 ，w es t u d yas p e c i a lm u l t i v a r i a t es p l i n es p a c e 谚( ) ，w h e r e i san e w t r i a n g u l a t i o no b t a i n e df r o mar e g u l a rq u a d r a n g u l a t i o nr e f i n e da st h e4 t hp o w e l l - s a b i ar e - f i n e m e n t f o ra n yq u a d r a t i cs p l i n ei n 韪u ( ) ，i ti sg 1o v e rt h em a j o ri n t e r i o re d g e s ，a n d c oo v e ra l lt h eo t h e ri n t e r i o re d g e sw h i c ha r et h em i n o r i t y w eg e ti t sd i m e n s i o n ，c o n - s t r u c ti t sb a s i ss p l i n e s ，a n do b t a i nt h ee x p l i c i tr e p r e s e n t a t i o n so ft h eb a s i ss p l i n e s a n dt h e a p p r o x i m a t i o np r o p e r t i e so ft w oc o n s t r u c t e dq u a s i - i n t e r p o l a t i o no p e r a t o r sa r ed i s c u s s e d ， s o m es u p p o r t i n gn u m e r i c a lr e s u l t sa r ep r e s e n t e d w ea l s oc o m p a r eo u l - s p l i n ew i t hs o m e t r a d i t i o n a ls p l i n e s i nc h a p t e r4 ，w em a i n l ys t u d yt h em u l t i v a r i a t ew e a ks p l i n es p a c ew z ( i , a ) ( w h e r e 南22 p + 1 ) a n dw ( e ) b yu s i n gt h e s m o o t h i n gc o f a e t o r - c o n f o r m a l i t ym e t h o d ”f o r s t u d y i n gm u l t i v a r i a t ew e a ks p l i n e ，w ec a l c u l a t et h ef r e ed e g r e e ss t e pb ys t e pa n do b t a i n t h ed i m e n s i o n so fm u l t i v a r i a t ew e a ks p l i n es p a c e sw t ( i 1 ) ( k 2 p + 1 ) a n d 孵( 目) ， i i i 多元样条、弱样条及分片代数簇若干问题研究 w h e r e1 1 色i sa na r b i t r a r yr e g u l a rr e c t i l i n e a rp a r t i t i o na n di ；i sar e c t i l i n e a rp a r t i t i o nw i t h s o m ea d d i t i o n a lr e s t r i c t i o n s t h er e s t r i c t i o n sr e s u l tf r o mt h ef a c tt h a tt h ed e g r e e2a n dt h e s m o o t h n e s s1o fq u a d r a t i cw e a ks p l i n ei st o oc l o s e r w ea l s op r e s e n tam e t h o dt oc o n s t r u c t t h eb a s e sf o rt h es p a c e s t h em e t h o da v o i d st h ed i f f i c u l t yo fs o l v i n gt h eh u g es y s t e m so f g l o b a l - c o n f o r m - e q u a t i o n ss oi ti ss i m p l ea n dc o n v e n i e n t i nc h a p t e r5 ，w ed i s c u s st h er e l a t i o nb e t w e e nm u l t i v a r i a t ew e a ks p l i n es p a c ea n dr a i n - i m a ld e t e r m i n i n gs e t b yu s i n gt h e “b - n e tm e t h o d ”f o rs t u d y i n gm u l t i v a r i a t ew e a ks p l i n e ， w eg i v eam e t h o dt oc o n s t r u c tt h em i n i m a ld e t e r m i n i n gs e t sf o rt h em u l t i v a r i a t ew e a ks p l i n e s p a c e sw 孝( a a ) ( w h e r ek 之2 弘+ 1 ) a n dw ( z l a ) o v e ra r b i t r a r yt r i a n g u l a t i o n 厶b a s e d o nt h ep r o p e r t yt h a tt h ed i m e n s i o no fam u l t i v a r i a t ew e a ks p l i n es p a c ee q u a l st ot h ec a r - d i n a i i t yo ft h em i n i m a ld e t e r m i n i n gs e t ，w ec o m p l e t e l ys o l v et h ed i m e n s i o np r o b l e mf o r w l ( a a ) ( w h e r ek 2 p + 1 ) a n di 琚( ) o v e ra r b i t r a r yt r i a n g u l a t i o n a n dw ea l s os t u d y t h eb a s i ct h e o r yf o rc o n s t r u c t i n gm i n i m a ld e t e r m i n i n gs e t a n dt h el o c a l - s u p p o r tp r o p e r t i e s f o rt h ed u a lb a s e sd e t e r m i n e db yt h ep o i n t si nm i n i m a d e t e r m i n i n gs e ta r ea l s os t u d i e d ， i nc h a p t e r6 ，w es t u d yt h eg r o e b n e rb a s e si n t e r s e c t i o np o i n t sa l g o r i t h mf o rt w og i v e n p i e c e w i s ea l g e b r a i cc n r v e sa n dt h er e l a t i o nb e t w e e np i e c e w i s ea l g e b r a i cv a r i e t i e sa n di d e - a l s i nc a g d i ti si m p o r t a n tt oo b t a i nt h ec o m n l o ni n t e r s e c t i o np o i n t sf o rt w op i e c e w i s e a l g e b r a i cc u r v e s t h eb e z o u tt h e o r e mo fp i e c e w i s ea l g e b r a i cc u r v e so n l yg i v e su sat h e o - r e t i c a lu p p e rb o u n df o rt h en u m b e ro ft h ec o m l n o ni n t e r s e c t i o np o i n t s i nt h ef i r s tp a r t o ft h i sc h a p t e r ，w eg i v et h ei n t e r s e c t i o np o i n t sa l g o r i t h mf o rt w og i v e np i e c e w i s ea l g e b r a i c c u r v e sb a s e do i lg r o e b n e rb a s e s f o rag i v e nd o m a i nda n dap a r t i t i o nh ，w ep r e s e n ta f l o wa n di n t r o d u c et h et r u n c a t e ds i g n s ，a n dr e p r e s e n tt h ep i e c e w i s ea l g e b r a i cc n r v e si nt h e g l o b a lf o r m w eg e tt h e i rg r o e b n e rb a s e sw t hr e s p e c tt oal e x i c o g r a p h i co r d e ra n da d o p t t h ei n t e r v a la r i t h m e t i ci nt h eb a c k - s u b s t i t u t i o np r o c e s s ，w h i c hm a k e st h ea l g o r i t h mn u m e r - i c a l l yp r e c i s e s o m en u m e r i c a le x a m p l e sa r ea l s op r e s e n t e da n dt h er e s u l t ss h o wt h a tt h e a l g o r i t h mi sf e a s i b l ea n de f f e c t i v e i nt h es e c o n dp a r to ft h i sc h a p t e r ，w em a i n l ys t u d yt h e i d e a l so f 伊s p l i n er i n g 伊( ) a n dt h ec 忡s p l i n ea l g e b r a i cv a r i e t i e si n 驴w ed e t a i l e d l y e x p l o r ef o u ro p e r a t i o n so ft h ei d e a l so fs t ( a ) ，i e a d d i t i o n ，m u l t i p l i c a t i o n ，i n t e r s e c t i o na n d d i v i s i o n s o m ep r o p e r t i e so fp r i m ei d e a l sa n dm a x i m a li d e a l so f ( ) a r ep r e s e n t e d t h e i n v a l i d i t yo fh i l b e r t sn u l l s t e u e n s a t zi np i e c e w i s ee a s ei sp o i n t e do u ta n dt h ei d e a l - v a r i e t y c o r r e s p o n d e n c ei sa l s os t u d i e di nt h i sp a r t k e yw o r d s ：m u l t i v a r i a t e ( w e a k ) s p l i n e ；g e n e r a t i n gb a s e so fp r i m em o d u l e ； m i n i m a ld e t e r m i n i n gs e t ；p i e c e w i s ea l g e b r a i cv a r i e t y ( c u r v e ) ；i d e a l i v 独创性说明 作者郑重声明：本博士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得研究成果。尽我所知，除了文中特i i ：i i 以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大学 或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究 所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：椎日期：二型弘2 石 大连理工大学博士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用规 定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子版，允 许论文被查阅和借阅本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有 关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文 作者豁邋 导师签名姐 望丑年立月堑日 大连理工大学博士学位论文 1 绪论 多元样条、多元弱样条及分片代数簇是本文的主要研究对象在本章的前三节，我们 分别对它们进行简单的介绍；在本章的第四节，我们将简单概括本文的主要研究工作 1 1 多元样条简介 众所周知，多项式样条函数本质上就是具有一定光滑度的分段或分片多项式样条函 数在函数逼近、数值分析、有限元以及计算几何等众多领域都有广泛的应用 一元样条函数最早是由美国数学家i j s c h o e n b e r g 1 】于1 9 4 6 年提出的，他较为系统 的建立了一元样条函数的理论基础但是，i j s c h o e n b e r g 的工作刚开始时并未受到人们 应有的重视直到上世纪六十年代，随着电子计算机技术的飞速发展，一元样条函数才得到 了迅速的发展和广泛的应用时至今日，一元样条函数已经有了完善的理论系统 鉴于客观事物的多样性和复杂性，开展非张量积形式的多元样条函数的研究，无论 在理论上还是在实际应用中都是有意义的设d 为平面r 2 上的有界单连通区域，用 有限条不可约代数曲线对区域d 进行剖分，将剖分记为，d 被割分为有限个子区域 d 1 ，d ，称为d 的胞腔形成每个胞腔边界的曲线段称为网线，在区域d 的边界上的 网线称为边界网线，其他的网线称为内部网线网线的交点称为顶点，在区域d 的边界上 的顶点称为边界顶点，在区域d 的内部的顶点称为内部顶点有公共内网线的两个胞腔称 为相邻胞腔，同一网线的两个顶点称为相邻顶点以某一顶点y 为顶点的所有胞腔的并集 称为顶点y 的关联区域或星形区域，记为s t ( v ) 则d 上的关于剖分的多元k 次阶 光滑样条函数空间定义为：【2 目 鹾( ) = s c p ( d ) ：s i d , p k ，i = 1 ， ， 其中r 记为次数不超过k 次的二元实系数多项式集合 非张量积形式的多元样条的研究开始于二十世纪六七十年代，经过三十多年的发展， 多元样条的理论也日臻成熟然而在多元样条领域中，仍然有一些重要问题还没有最终解 决，其中之一就是关于任意剖分上的多元样条的计算问题，包括求解任意剖分上的多元样 条函数空间的维数、基底、插值、逼近阶等理论问题以及研究任意剖分上的多元样条在 上述各个领域中的应用问题这些问题的解决可以有效的克服多元样条在某些实际应用中 存在的困难 目前，研究多元样条函数主要有三种方法第一种方法是“光滑余因子协调法”，我们 将在本文的第二章第一节简单介绍此种方法此种方法基于函数论与代数几何，是由王仁 宏1 9 7 5 年在文【4 1 中首先提出的利用这种方法，王仁宏简明深刻的揭示了多元样条函数 光滑连接的内在本质，建立了多元样条函数光滑连接所应满足的协调方程，使求解多元样 条函数样条空间的维数和基底等问题都可以归结为求解协调方程的问题，从而建立了任意 多元样条、弱样条及分片代数簇若干问题研究 剖分下多元样条函数的基本理论框架从这种方法出发，多元样条函数的任何问题均可转 化为与之等价的代数问题来研究近些年来，诸多学者利用这种方法，有效的研究了贯穿剖 分、拟贯穿剖分、1 一型三角剖分、2 - 型三角剖分等剖分上的多元样条函数，有兴趣的读者 请参考王仁宏等关于多元样条函数的专著( 【2 ，3 ) 另一种研究多元样条的方法称为“b 网方法”，我们将在本文的第三章第四节简单介绍 此种方法这种方法起源于多元b e r n s t e i n 多项式，是1 9 8 0 年由g f s x i n 在其博士论文中 提出的，他研究了多元样条的b z i e r 坐标和光滑性之间的关系从而使b 网方法也成为研 究多元样条的重要方法之一( 读者可参考文献【2 ，3 ，5 ，6 】) 另外，中国学者苏步青、刘鼎 元用、郭竹瑞、贾荣庆【目、常庚哲、冯玉瑜等人在b 网方法上也做了许多有意义的工作 一般来说，b 网方法只能有效的研究单纯形剖分上的多元样条，适用性上有一定的局限性 但由于剖分的针对性，b 网方法对处理单纯形剖分上的多元样条有其特殊的优越性 研究多元样条的第三种方法是“多元b 样条法”此方法起源于c u r r y 和s c h o e n b e r g 关于一元样条的工作，此方法的本质思想是研究高维空间上的多面体对低维空间的投影测 度函数一元丑样条是由c u r r y 和s c h o e n b e r g 在1 9 6 6 年提出的1 9 7 6 年，d eb o o r 将其 推广到多元样条，但是这种推广不便于理论研究，直到便于理论研究的泛函形式出现后，多 元丑样条的研究才逐渐活跃起来例如，m i c c h e u i ，d eb o o r ，d a h m e n 分别研究了单纯形样 条，b o x 样条，锥样条d ev o r e 以及贾荣庆f 9 】等学者对此方法也做了许多工作与前两种方 法相比，多元b 样条法对剖分的要求更为严格，一般为均匀剖分，所以在实际应用中也有 很大的局限性本文的研究工作没有涉及到此种方法 1 2 多元弱样条简介 今天，随着多元样条函数理论的发展，在计算机辅助几何设计、有限元以及h e r m i t 插 值等领域出现了一种新型的多元样条这种样条不要求分片多项式在剖分线上处处光滑， 而只要求在指定的几个点上光滑即可我们把这种样条称为多元弱样条下面我们引入多 元弱样条函数的相关定义 1 0 - l s l 设2 为一条直线段，点集s = ( 。1 ，玑) ，( z 2 ，抛) ，( z 。，) 的点都在2 的内部，且点 集s 的元素个数有限，那么点集s 称为直线段? 的定点集设有界区域dc 形，用有限 条直线段对区域d 进行割分，记为若对每一内网线给定定点集，则这种剖分称为定 点直线段剖分，记为j 若每条内网线上只有一个定点，则把这种特殊的定点剖分记为 五本文主要研究这种每条内网线上只有一个定点的特殊定点剖分上的多元弱样条，用 b 0 = 1 ，2 ，t ) 表示定点剖分j 的胞腔，用s j ( j = 1 ，2 ，l ) 表示定点剖分j 的定 点集，用) ( s ) 表示在s = u 二ls 中每个点都达到卢阶光滑的二元函数集合，则对整数 k p 0 ， 矸管( ，) = 叫( z ，y ) c 1 ( s ) 1 w c x ，y ) j d , p k ，v d j 称为定点剖分j 的k 次口阶光滑的多元弱样条函数空间，此处r 为次数不超过k 的二 2 大连理工大学博士学位论文 元多项式集合， 事实上，多元弱样条的直观形态早已经出现，并且在上述领域中有了广泛应用例如 在有限元中，m o r l e y 元【m 1 目就是一种二次弱样条，它在薄板弯曲的研究中比较有用；同时， 非协调z i e n k i e w i c z 元f 1 4 ，l s j 是一种三次弱样条还有在机械制造工业中，一些铆接操作也 已经含有了多元弱样条的朴素原始的思想所以开展多元弱样条的研究是很有意义的 目前。研究多元弱样条函数主要有两种方法第一种方法是“光滑余因子协调法”，它对 任意直线段剖分上的多元弱样条均有效，我们将在本文的第四章第一节介绍此种方法利 用这种方法，王仁宏1 1 q 建立了多元弱样条函数理论框架，许志强【1 3 】解决了贯穿剖分上多元 弱样条函数空间的维数问题在本文的第四章，我们将利用这种方法解决一般正则直线段 剖分 上的多元弱样条空间w 等( i i a ) ( 其中后2 p4 - 1 ) 和满足某些条件的直线段剖分 蜀上的聊( 耳a ) 的维数以及基函数构造问题， 第二种方法是“b 网方法”，同样的，这种方法只对三角剖分上的多元弱样条比较有效， 我们将在本文的第五章第一节介绍此种方法利用b 网方法，许志强1 1 2 1 目研究了1 型三角 剖分上的多元弱样条函数空间哪m 珊) 的维数和局部支集基问题在本文的第五章，我 们将利用这种方法研究任意三角剖分下某些多元弱样条函数空间的最小确定集的构造理 论与方法，并利用构造出的最小确定集求出了相应空间的维数 1 3 分片代数簇简介 在数值分析以及计算几何中，用多元多项式对给定散乱数据进行插值或拟合是一个重 要的研究课题根据h a a r 定理【1 9 ，2 0 在构造多元插值多项式时，插值结点组的选取是一个 关键的问题因为并不是对任意给定的插值结点组，多元插值多项式都是存在唯一的这个 不同于单变元多项式插值同样的问题也会产生在多元样条插值问题中 王仁宏在研究多元样条插值问题时首先提出了分片代数曲线协司的概念分片代数曲 线定义为样条函数8 戢( ) 的零点集 ( o ，分) d i s ( x ，f ) = 0 ，5 掣( ) 他指出，给定的插值节点组是适定的充分必要条件是它们不落在同一条分片代数曲线上 显然分片代数曲线的定义是经典代数曲线定义【2 1 矧的推广但是由于剖分的复杂性以及 分片代数曲线在某些胞腔上可能是空集的特点，使得分片代数曲线的研究有着本质的困难 近年来，很多学者在分片代数曲线( 分片代数簇) 这个领域做了很多工作，古典代数几 何里关于代数曲线的b e z o u t 定理【，驯，n 6 t h e r 定理【2 5 j ，c a y l e y - b a c h a r a e h 定理【2 6 j 等都被 推广到了分片代数曲线另外分片代数曲线还与四色猜想有着密切的联系i ”，嚣】事实上， 四色猜想成立等价于对任意的三角剖分存在三条线性连续分片代数曲线，使得它们的并集 是这个三角剖分所有三角形的三条中位线的并集因为任意三角剖分是2 顶点符号的( 即 可用黑白两种颜色对顶点进行染色，使得这个三角剞分中的每个三角形的三个顶点颜色不 全一致) ，又可知四色猜想等价于对任意三角剖分存在三种不同的染色方法同时分片代数 3 多元样条、弱样条及分片代数簇若干问题研究 曲线还是研究传统代数曲线的一种有效工具，实代数曲线里的p 阻g s d a l e 猜想 2 1 就是借助 于分片代数曲线丽被否定的 众所周知，代数几何主要研究对象是代数簇，而代数簇本质上就是n 维仿射或射影空 间中多项式方程组的解作为代数簇的推广和发展，分片代数簇则是多元样条方程组的解 上面提到的分片代数曲线显然是分片代数簇的特例分片代数簇不仅是一个代数几何里的 概念，现在在计算几何、数值分析等领域都有一定的应用王仁宏【2 3 】、罗钟铉【2 q 、苏志 勋【2 9 】、赵国辉( 3 q 、刘秀平【3 l j 、赖义生、朱春钢f 3 3 】等对分片代数簇做了较深入的研究， 建立了分片代数簇的基本理论基础下面给出分片代数簇( 2 t3 的相关定义 设驴：= ( d 1 ，a 2 ，0 f 1 ) f 瓯七，t = 1 ，2 ，n 为七上的n 维仿射空间k x l ，。2 ，j 是k 上的n 元多项式环我们用 z ( f ) ：= d = ( a l ，a 2 ，) 叫，= o ，w f ， 表示任给的多项式集合fc 陋1 ，x 2 ，】的零点集特别的，若f = ， ，则z ( f ) = z ( ) 称为k ”中的超曲面更进一步，若多项式，的次数是1 ，则z ( f ) = z ( f ) 称为护中的 超平面 定义1 1设dck ”是一个有界单连通区域，用有限个超曲面对区域d 进行剖分， 记为a 用p ( a ) ：= l i r a 陋1 ，z 2 ，z 。】) 表示区域d 上关于剖分的分片多项式 环则 s ”( ) ：= f i r c 严( d ) np ( ) ) 称为区域d 上关于剖分的伊分片多项式环，其中盯表示区域d 在剖分下的胞腔， 丘表示分片多项式在胞腔盯上的限制 很明显，k x l ，x 2 ，0cs ”( ) ，而且伊( ) 是一个n 5 t h e r 环 定义1 2 对于任给的多元榉务集合f c ( ) ，则v ：= z ( f ) 称为分片代数簇 特别的，空集和k “都是c 怔分片代数簇且有限个c 怔分片代数簇的并仍是伊分片代数 簇：任意多个伊分片代数簇的交仍是伊分片代数簇 另外我们还有： 定义1 3 若y 是d 上的c 恤分片代数簇，则z ( v ) - ，眇( ) l ，( p ) = 0 ，坳y ) 旅为c 恤分片代数簇矿的理想 定义1 4 若理想，c ( ) ，则v ( z ) ：= p k l ( p ) = o ，v ，毋称为理想，所 确定的c 审分片代数簇 4 大连理工大学博士学位论文 1 4 本文主要工作 本文主要研究多元样条、多元弱样条及分片代数簇其中，本文的第二章和第三章属 于多元样条范畴；第四章和第五章属于多元弱样条范畴，最后一章属于分片代数簇范畴 在第二章中，我们主要研究了星型贯穿剖分上的多元样条整体协调方程组所对应素模 的生成基的计算方法1 9 7 5 年，王仁宏采用函数论和代数几何的方法，提出了研究多元样条 的“光滑余因子协调法”，建立了任意剖分下多元样条函数的基本理论框架从这种观点出 发，多元样条函数的任何问题可以通过整体协调条件转化为一个与之等价的代数问题来研 究，整体协调条件影响和最终决定了多元样条函数一方面，整体协调条件在一定意义下等 价于一个线性代数问题，即整体协调条件对应一个以各内网线上光滑余因子系数为未知数 的齐次线性方程组，所以这类齐次线性方程组的解的存在及其性质，自然就成为研究多元 样条函数的关键；另一方面，整体协调条件的求解问题还等价于多项式环上的素模求解问 题事实上，整体协调条件可以看作一个以各内网线上光滑余因子为未知数的有着多项式 系数的代数方程组，而这个代数方程组的所有解构成了多项式环r 陋，鲥上的素模罗钟铉 在文【3 4 ，3 5 】中研究了耳】环上的素模生成基理论和方法，给出了一种新的约化准则，得 到了模中生成基的结构，并给出一种机械化计算素模生成基的方法，文中的方法本质上简 化了传统模中的g r o e b n e r 基方法，而且这个方法在多元样条理论研究中也有一定应用我 们的方法不同于文【3 4 ，3 5 】中素模生成基机械化算法，而且简便易行，可以应用到求解各类 贯穿剖分上的多元样条函数空间的维数、基底和插值等问题 在第三章中，我们研究了一种特殊的多元二次样条函数空间s 三o ( ) 众所周知，对原 始三角剖分进行加细可以有效克服具有一定光滑度的多元样条的分片次数太高的问题，且 在多元样条的研究过程中，学者们提出过很多实用的细分格式在这里剖分就是由一个 正则四边形剖分按照第四型p o w e u - s a b i n 细分格式【3 6 j 加细而得到的一种剖分对于任意的 样条8 爰冉( ) ，样条s 的分片次数是二次，且在剖分上的绝大部分网线上是一阶连续 的而在其他剩余的少部分网线上是0 阶连续的我们求出了这个多元二次样条函数空间 的维数，研究了基样条函数的显式表达式；同时构造了两个拟插值算子，讨论了它们的逼近 性质，并提供了一些数值实验结果来验证这些逼近性质；最后我们还把此种多元样条和其 他的多元样条做了一些比较这样我们在一定程度上推广了p o w e l l - s a b i n 细分格式的应用 在第四章中，我们研究了多元弱样条函数空间w m ) ( 其中k22 p + 1 ) 和w ( 巧) 多元弱样条以前的结果主要集中在贯穿剖分以及某些三角剖分上在本章中，根据研究多 元弱样条的“光滑余因子协调法”，采用逐步计算自由度的方法，避免了列出并求解巨大整 体协调方程组的困难，解决了一般正则直线段剖分五上的多元弱样条空间w 2 ( i 1 a ) ( 其 中后之2 p + 1 ) 和满足某些条件的直线段剖分巧上的w ( 耳a ) 的维数，并给出了一个构 造基底的方法我们首先根据一个适定的多元h e r m i t 插值问题，求出了星型域毹( 口) 上的弱 样条函数空间w s t ( ) ) 2 p + 1 ) 的维数，构造了它的基底；紧接着我们利用星型域 5 多元样条、弱样条及分片代数簇若干问题研究 s t ( v ) 上的维数结果求出了一般直线段剖分上的多元弱样条函数空间i 碟帆) 2 p + 1 ) 的维数，并给出了一个构造基底的方法由于多元二次弱样条的次数2 和光滑度1 很接近， 对任给的直线段剖分 我们无法求得其上的多元二次弱样条函数空间- 谤( ) 的维数， 只能求得满足一定条件的直线段剖分贯上的多元二次弱样条函数空间- 堙( 耳) 的维数 在第五章中，我们讨论了多元弱样条函数空间和最小确定集之间的关系最小确定 集p 7 】本来是研究三角剖分上的多元样条函数的一个有效工具，在本章中，利用研究多元弱 样条的“日网方法”，我们给出了任意三角剖分五上的多元弱样条函数空间i 瞪) ( 其 中七2 p + 1 ) 和- 咯) 的最小确定集的构造方法，根据多元弱样条函数空间等于其最 小确定集的基