大学物理 振动和波.ppt

第十五章机械振动,基本内容：,谐振动的特征谐振动的描述谐振动的合成,机械振动：物体在一定位置附近来回往复的运动。其轨迹可以是直线，也可以是平面曲线或空间曲线。,机械振动可分为周期性振动和非周期性振动，最简单的机械振动是周期性的直线振动简谐振动。任何复杂的振动都可认为是由若干个简谐振动合成的。,15.1简谐振动的特点,位置A：小球所受合力为零的位置，称为振动系统的平衡位置。,将小球推离平衡位置并释放，小球来回振动，如果摩擦阻力小，小球振动的次数就多。假如一点阻力也没有，小球只受弹性回复力，振动将永久持续下去，这种理想化的振动是简谐振动。,一、谐振动中的理想模型弹簧振子,如果振动物体可表示为一质点，而与之相连接的所有弹簧等效为一轻弹簧，忽略所有摩擦，可用弹簧振子描述简谐振动。,以平衡位置为坐标原点，水平向右为正，则小球所受弹性力F与小球离开平衡位置的位移x有以下关系：,二、谐振动的特点：,1、动力学特征：,从动力学观点，若物体仅受线性回复力作用，它就作简谐振动。,动力学特征：质点所受得力大小与位移成正比，方向相反。,K是弹簧的弹性系数，负号表示力和位移方向相反。,回复力,2、运动学特征：,令,积分得：,从运动学观点，若物体离开平衡位置的位移随时间变化的规律是正弦或余弦的函数，它就作简谐振动。,运动学特征：物体离开平衡位置的位移随时间变化的规律是正弦或余弦的函数。,3、能量特征：,其中,能量特征：谐振动的机械能等于x为A时的弹性势能，或速度最大时（平衡位置）的动能。振动过程中动能和势能相互转换，机械能守恒。,一个周期内的平均动能与平均势能：,例6.谐振子在相位为,其动能为,求其机械能。,解：,1、方程中各参量的物理意义,x:表示t时刻质点离开平衡位置的位移。,A:质点离开平衡位置的位移最大值的绝对值振幅。,15.2简谐振动的描述,一、谐振动的代数描述法,：,又,比较知,称为圆频率,仅决定于振动系统的力学性质。,t+:,称位相或相位或周相，是表示任意t时刻振动物体动状态的参量。,:,称为初位相，是表示t=0时刻振动物体状态的参量。,2、位移、速度加速度,v的位相超前x/2,问题：是描述t=0时刻振动物体的状态，当给定计时时刻振动物体的状态（t=0时的位置及速度：x0v0)，如何求解相对应的？,（1）、已知t=0振动物体的状态x(0),v(0)求,可得：,A与由系统的初始条件x(0),v(0)决定,（2）已知t=0振动物体的状态x(0)及A时求,最终确定初位相的值,例1：如图所示，将小球拉至A释放，小球作谐振动。如果已知k,，以小球运动至A/2处，且向x负方向运动作为计时的起点，求小球的振动方程。,解：问题归结于求,t=0小球向x负方向运动，因而v0=+600,例2如图所示,弹簧处于原长,当子弹射入后,求系统的振动方程。,解：,t=0,x(0)=0,v(0)=v,例3垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b。求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。,取平衡位置为坐标原点，静平衡受力分析如图,kb-mg=0,证明：,则有：,任意位置时小球所受到的合外力为：,F=mg-k(b+x)=-kx,小球作谐振动,A=b,=,由mg-kb=0得：,由题知：,t=0时，x0=-b，v0=0,则可得：,所以运动方程为：,二、谐振动的图线描述法,两类问题：,1、已知谐振动方程，描绘谐振动曲线,2、已知谐振动曲线，描绘谐振动方程,三、简谐振动的旋转矢量表示法,1、旋转矢量,M点在x轴上投影P点的运动规律为振动方程：,注意：旋转矢量在第1象限速度v0,则称振动2超前振动1，振动1滞后振动2,若周相差=2-10,2、用旋转矢量分析位相与振动的关系,若周相差=0，则称两振动同步,若周相差=，则称两振动反相,t=1时,x1=0,例4一谐振动的振动曲线如图所示，求、以及振动方程。,t=0时,解：,1=t1+,本题的另一种求法:,15.3简谐振动的合成,一、同方向、同频率两个谐振动的合成,1、利用三角函数公式合成,令,则可得：,其中：,2、利用旋转矢量合成,结论：同方向同频率的两个简谐振动合成后仍为一简谐振动，其频率与分振动频率相同。,讨论：合振动的加强与减弱,一般情形：二分振动既不同相位也不反相位，合振动振幅在A1+A2与|A1-A2|之间。,二、同方向、不同频率的两个谐振动的合成,一般情况下合成后的振动是一个复杂的运动。一种特殊情况拍现象,t,t,t,x,x,1,2,x,=,2,0.25s,0.75s,0.50s,=,=,2,16,18,1,利用旋转矢量分析，作出李萨如图形（观察演示）,三、相互垂直的同频率的两个谐振动的合成,例5已知,求：合振动的振幅及初相位，并写出合振动的表达式。,解：,例6一物体沿x轴作简谐振动，振幅为0.12m,周期为2s，当t=0时位移为0.06m，且向x轴正方向运动，求（1）振动表达式；（2）t=0.5s时，物体的位置、速度和加速度；（3）从x=-0.06m且向x轴负方向运动到返回平衡位置所需的时间,解:（1）,由于物体此时向x正向运动，,故,（2）,（3）注意相位与状态相对应。,质点沿x轴负向运动，,设时，x=-0.06m.,故,质点返回平衡位置的相位为，设该时刻为。,所以,第十六章波动学基础,波动是振动的传播过程，也是动量和能量传播的过程。,机械波：机械振动在媒质中的传播过程。电磁波：交变电磁场在空间的传播过程。,基本内容：,机械波的产生与传播机械波的几个特征量波动方程波的叠加原理（特例）波的干涉。,各类波的本质不同，但都伴有能量的传播，都能产生反射、折射、干涉和衍射等现象，且有相似的数学描述。,16.1机械波的产生与传播,1、波源2、弹性媒质,横波：质点的振动方向和波的传播方向垂直,纵波：质点的振动方向和波的传播方向平行,二、机械波的分类,一、产生机械波的条件,特点：具有波峰和波谷（如绳子上的波）,特点：具有疏密相间的区域（如声波）,横波的波动,波的传播方向,特点：具有波峰和波谷,纵波的波动,波的传播方向,质点振动方向,特点：具有疏密相间的区域,三、波的形成和传播（以横波为例）,1、过程分析：由于媒质内各质点间存在相互作用力，故当一个质点振动后，在媒质内部的弹性力作用下，将带动其周围其它的质点也相继振动起来如此依次带动，振动状态由近及远地传播开去,形成机械波。,（静止）,（振动状态传至4）,（振动状态传至7）,（振动状态传至10),（振动状态传至13）,2.结论,（1）各质点仅在自己的平衡位置附近振动，并不随波前进。,（2）振动状态以一定的速度传播波速。（注意波速不是质点的振动速度）,（3）波的周期与质点的振动周期相同。沿波的传播方向，各质点的相位依次落后。,（4）波形在空间移动行波。,四、波的几何描述,同相面（波面）：,由振动周相相同的点所组成的面。,波阵面（波前)：,某时刻波动所到达的点所组成的面。,波线（波法线）：,表示波的传播方向的线。在各向同性介质中与波面法线相同。,在各向同性媒质中波线和波阵面垂直,平面波：,球面波：,波阵面为一球面。,波阵面为一平面。,2019/12/12,40,可编辑,横波波速,G切变弹性模量密度（单位体积质量）,波长在同一条波线上,周相差为2的两质点间的距离。周期传播一个波长距离所用的时间。频率在单位时间内通过某一观察点的完整波数目。,波速波在单位时间内所传播的距离。,16.2机械波的几个特征量,频率和周期只决定于波源，和媒质无关。,纵波波速,流体（气体、液体）,固体,Y:杨氏弹性模量,B:容变弹性模量,波速是与媒质有关的一个物理量,任意点（B点）的振动方程为：,参考点O点的振动方程为：,y表示在波线上任意一点（距原点为x处）质点在任意时刻的位移,也就是平面简谐波的波动方程。,16.3波动方程,一、平面简谐波的波动方程,质点的振动速度：,平面简谐波的波动方程为:,其中减号表示波向x轴正向传播，加号表示波向x轴负向传播,表示在t1时刻的波形,3、t与x都发生变化,t=t1时,表示x1处质点的振动方程,二、波动方程的物理意义,1、x=x1（常数）,2、t=t1（常数）,t=t1+t时,表示在t1时刻x处的位移y1，在经过t时间后，同样的位移发生在x处，波向前传播了ut的距离，即某一固定周相传播了ut的距离。,可以证明三维的波动方程为：,其中为质点的位移,从上两式可得波动方程：,三、波动方程的一般形式,例1、已知波源在原点的平面简谐波的方程为,式中A、B、C为正值恒量。,试求：（1）波的振幅、波速、频率、周期与波长；,（3）任何时刻，在波传播方向上相距为D的两点的周相差。,（2）写出传播方向上距离波源l处一点的振动方程；,解：（1）波动方程的标准形式,波的振幅为A,波速,频率,波长,（2）,（3）,例2以P点在平衡位置向正方向运动作为计时零点，写出波动方程。,例3波速u=400m/s,t=0s时刻的波形如图所示。写出波动方程。,例4一横波在弦上传播，其方程是,式中x、y以米计，t与秒计。,（1）求波长、周期、波速；,（2）画出t=0,0.0025s,0.005s时弦的形状。,解：（1）方法一：与标准方程相比较,波长,周期T=0.01S,波速,方法二、依各量的物理意义求解,（2）方法一：根据各时刻的波形方程逐一画出波形。,方法二：只画出t=0的波形，然后采用移动波形的方法。,例5、一平面简谐波在空间以速度u传播，已知p点的振,就下面四种选定的坐标系，写出各自的波函数。,动方程为,例6、沿x轴负向传播的平面简谐波在t=2s时的波形曲线如图，设波速u=0.5m/s求原点0的振动表达式。,解：由图知,t=0原点0:,例7、,一平面简谐波沿x轴正向传播，其振幅和圆频率为,A、,波速为u，设t=0时的波形曲线如图。,（1）写出该波的波函数；,（2）求距0点为,（3）求距0点为,处的质点的振动表达式；,处的质点在t=0时的振动速度。,y,x,0,u,解：（1）t=0时，0点的相位，即初相位,故波函数,（2）,（3）,16.4波的能量能流密度,一、能量密度,取体积元dV，,能量密度:,平均能量密度：,能流P:单位时间通过某一面积的波能。,P=Swu,二、能流密度,波的强度I（能流度）:通过垂直于波的传播方向的单位面积的平均能流。,总结：波是能量传播的一种形式。,波真正传播的是振动、波形和能量。波形传播是现象，振动传播是本质，能量传播是量度。,16.5惠更斯原理,一、惠更斯原理,波动所到达的媒质中各点，都可以看作为发射子波的波源，而后一时刻这些子波的包迹便是新的波阵面。,用惠更斯原理解释折射定律,二、惠更斯原理的应用,沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加,两水波的叠加,16.6波的叠加原理,一、波的叠加原理,1、波的独立传播原理:有几列波同时在媒质中传播时，它们的传播特性（波长、频率、波速、波形）不会因其它波的存在而发生影响。,2、波的叠加原理:在几列波相遇的区域内,媒质质点同时参与这几列波所引起振动，其位移为各波单独存在时在该点所引起振动的合振动。,二、波的干涉,相干波源：若有两个波源，它们的振动方向相同、频率相同、周相差恒定，称这两波源为相干波源。,波源,P点,干涉加强(A最大)条件：,干涉减弱(A最小)条件：,问题：对于相干光波，干涉条件如何？,两波的波动方程分别为：,驻波：一对振幅相同的相干波，在同一条直线上，沿相反方向传播时，叠加而成的波。,三、驻波,波腹位置：,波节位置：,相邻两波节（或波腹）的距离:,驻波的特点：1.有波节、波腹；2.波节两侧质点的振动周相相反，相邻两波节之间的质点振动周相相同。3.波的强度为零，不发生能量由近及远的传播。是一