（生物医学工程专业论文）基于小波多分辨率分析的图像重建算法研究.pdf

浙江大学博士学位论文 样方法更符合人类视觉。对算法进行仿真实验，其结果不但具有基于可分离 m r a 的小波重建算法基本相同的局部重建特性，重建质量和运算速度都优于 后者。然后我们在算法中加入了基于小波的阀值化去噪算法，小波系数在经过 基于小波的阀值化去噪处理后重构图像。这样算法不仅具有较好的局部重建特 性、更好的重建质量，还具有一定的去噪功能。 经过理论分析和数值仿真，本文提出的基于可分离m r a 去噪小波重建算 法、基于不可分离m r a 的小波重建算法和基于不可分离m a r 的去噪小波重 建算法，都有一定的创新性和实用性。 关键词：c t小波变换图像重建滤波反投影局部成像 可分离m r a 不可分离m r a 去噪 浙江大学博士学位论文 a b s t r a c t c o m p u t e r i z e dt o m o g r a p h y ( c t ) i sat y p i c a l n o n - i n v a s i v ee x a m i n a t i o n t e c h n i q u e si nm e d i c i n e ，w h i c hc a nd e p i c ta n a t o m i c a ls t r u c t u r e sw i t h o u td a m a g i n g t h eh u m a n b o d y i ti sb a s e do n t h e p r i n c i p l e ：u n d e ran u m b e ro f a n g l e s ，t h ex r a y a a e n u a t i o ni nac t o s ss e c t i o no fah u m a n b o d y i sm e a s u r e db yd e t e c t o rr e s u l t i n gi n as e to f p r o f i l e s t h i ss e to f p r o f i l e si sc a l l e dt h er a d o nt r a n s f o r mo f t h eo b j e c ti n m a t h e m a t i c s t h ep r o b l e mn o wi st or e c o n s t r u c tat w o - d i m e n s i o n a li m a g ev i a i n v e r t i n gi t sr a d o n t r a n s f o r m b u ti nt h ep r o c e s so f t h ei n v e r t e dr a d o nt r a n s f o r m ， t h e r e c o v e r y o fa ni m a g ea t a n y f i x e d p o i n tr e q u i r e s t h e k n o w l e d g eo fa l l p r o j e c t i o n so f t h ei m a g e t h i sm e a n st h a tap a t i e n tw o u l dh a v et ob ee x p o s e dt oa r e l a t i v e l yl a r g ea m o u n to f x - r a y s e v e ni fi tw a sd e s i r e dt ov i e w o n l yas m a l lp a r t o ft h ep a t i e n t sb o d y t h u s ，s e a r c h i n gf o ram e a n st or e d u c ee x p o s u r e ，a n da tt h e s a m et i m et ob ea b l et op e r f e c t l yr e c o n s t r u c tt h er e g i o no f i n t e r e s t ( r o i ) ，s o - c a l l e d l o c a lt o m o g r a p h y ，h a sb e e n o f g r e a t i n t e r e s tr e c e n t l y t h ew a v e l e tt r a n s f o r mt h e o r yi so n eo f t h ee f f e c t i v et o o l st h a tw i d e l y a p p l y t o i m a g ep r o c e s s i n gr e c e n t l y ，w h i c h h a v ec h a r i c r i c t i c so f m u l t i r e s o l u t i o n a n a l y s i s ，f a s t w o r k i n gt i m e ，e t c s o i ti sn a t u r et h a tc o n b i n et h ew a v e l e tt h e o r yw i t hi m a g e r e c o n s t r u c t i o n i nt h i s p a p e r ，f i r s t l y ，w e s t u d i e dt h en e w l yw o r k i n gi nt h ef i e l do ft h e a p p l i c a t i o n o fw a v e l e t st r a n s f o r mu s e di nt h e c o m p u t e rt o m o g r a p h y i n t w o - d i m e s i o n ，a n dm a i n l yf o c u s e di nt h ef i e l do ff i l t e r - b a c k p r o j e c t i o na l g o r i t h m w ea n a l i z e dt h e a p p l i c a t i o no f o n e - d e m i s i o nw a v e l e t st r a n s f o r ma n dt w o - d e m i s i o n w a v l e t st r a n s f o r m ，w ef o u l dt h a tm o s tr e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h mb a s e do nw a v e l e t s d i dn o tc o n s i d e ra b o u tt h en o i s e a n ds o ，w ep r o p o s e dt h ed e n o i s e dr e c o n s t r u c t i o n a l g o r i t h mb a s e d o n s e p e r a b l em r a ，i n w h i c ha d d e dr e g u l a r i z i o nd e n o i s e dm e t h o d b a s e do nw a v e l e t s t h i s a l g o r i t h m n o t o n l y h a v et h ec h a d c r i s t i co f1 0 c a l r e c o n s t r u c t i o nt h a tc o u l dr e d u c et h ea m o u n to f x - r a ye x p o s u r ea n dc o m p u t a t i o n si n r e c o n s t r u c t i o n b u tc o u l dr e d u c et h en o i s ei nt l l ec o n d i t i o n so fk e e ps a n l ei m a g e q u a l i t y a sr e c o n s t r u c t e di nt h ef i l t e r - b a c k p r o j e c t i o na l g o r i t h ma sw e l l a n dt h e n ，w ep r o p o s e dw a v e l e t sr e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h mb a s e do nn o n s e p e r a b l em r a a n dw a v e l e t sd o n o i s er e c o n s t r u c t i o n a l g o f i t h r n b a s e do nn o n s e p e r a b l em r a ，i n r e c e n ts t u d y ，w h e np e o p l ea p p l i e dt h et w o d e m i s i o nw a v e l e t s 浙江大学博士学位论文 t r a n s f o r mi nt h er e c o n s t r u c f i o na l g o r i t h m ，山e yu s u a l l yf i l t e r e dt h ei m a g eb yr o w s a n dc o l u m n si nt u r n ，t h a ti s s u p p o s e dt h ei m a g ec o u l db es e p a r a t e db yv a r i a b l ex a n dy b u ti nt h er e a lw o r l d ，t h et w od e m i s i o ns i g n a l sc o u l dn o tb es e p a r a t e di n m o s tt i m e ，t h et w od e m i s i o ni m a g es h o n l db ec o n s i d e r sa sa r e a sr a t h e rt h a na s r o w sa n dc o l u m n s ，a n dt h u sc a l lb eb e t t e rh a n d l e db yat r u l yt w od i m e n s i o n a l t r a n s f o r m n ew a v e l e t sr e c o n s t r u c t i o nm g o f i t h mb a s e do nn o n s e p e r a t a b l e v l r a f i l t e r e dt h ep r o j e c t i o nd a t ab yt w o d e m e s i o n sf i l t e r t i l i sk i n do ft w o c h a n n e l s w a v e l e t sd e c o m p o s i t i o nm e t h e dr e c o n s t u c tt h ew a v e l e tc o e 衔c i e n t so f a l l i m a g e f r o mt h er a d o ni r a n s f o r md a t a , a n dt t l e s ec o c f f i c i e n t sw e r em a d er e v e r t e dw a v e l e t t r a n s f o r mo b t a i nt h eo r i g i n a li m a g e w a v e l e t ss u b s a m p l e do nt h eq u i n c u n xl a t t i c e ， w h i c hc a l lh a v ec u t - o f fa t 蛆a n g l ed u r i n gt h ew a v e l e t sd e c o m p o s i t i o n n l i si s b e t t e r p s y e h o v i s u a l l y b e c a u s ei tm e a n st h a t t h e p e r c e p t u a l l y l e a s tv a l u a b l e c o m p o n e n to fv i s i o n i s q u a n t i z e df i r s u s i m n l a t i o n sw e r ec a r r i e do u tw i t ht h e s h e p p - l o g a nb r a i np h a n t o m t h ec o n s t r u c t i o n sd or i o to n l yh a v et h ep r o p e r t yo f l o c a lr e c o n s t r u c t i o na ss a l t l ea st h ew a v e l e tr e c o n s t r u c t i o nm g o f i t h mb a s e do n s e p a r a b l em r a ，b u t a l s oh a db e t t e ri m a g e q u l i t ya n dc o m p u t i o n s t h e n w e p u tt h e s o f t t h r e s o l d i n gd e n o i s i n g m e t h o db a s e do nw a v e l e t si n t h e a l g o r i t h m t h e c o e f f j c i e n t su s e dt os y n t h e s i z et h er e c o n s t r u c t i o na f t e rb e i n gd e n o i s e db yt h e m e t h o d a n ds ot h em e t h o dw h i c h h a st h es a m eq l l a l i t ya sf i l t e r e db a c k p r o j e c t i o n a l g o r i t h m ，u s e dt h ep r o p e r t i e so f w a v e l e tt or e c o n s t r u c tal o c a lr e g i o no ft h ec r o s s s e c t i o no f a b o d y ，u s i n ga l m o s tc o m p l e t e l yl o c a ld a t a , a n dc o u l d r e d u c en o i s eo f t h e i m a g e k e yw o r d s ：c o m p u t e r i z e dt o m o g r a p h y r e c o n s t r u c t i o n w a v e l e tt r a n s f o r mf i l t e rb a c k p m j e c t i o n l o c a lt o m o g r a p h y s e p a r a b l em r an o n s e p a r a b l em r a 浙江大学博士学位论文 c t c w t d w t i d 、 ，r f b p f f b p f w t m r a m p a r o l r o e 常用缩写 c o m p u t e r i z e dt o m o g r a p h y c o n t i n u o u sw a v e l e tt r a n s f o r l r l d i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o r n i n v e r s ed i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o r n l f i l t e r e db a c k p r o i e c t i o n f a n b e a r nf i l t e r e db a c k p r o j e c t i o n f a s t 、v a v e l e t t r a n s f o r l t l m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s m a l l a t sp y r a m i da l g o r i t h m r e g i o no f i n t e r e s t r e g i o no f e x p o s u r e 浙江大学博士学位论文 第1 章绪论 透射x 线c t 是最早发展起来的计算机断层扫描技术，广泛应用于许多领 域，也是应用最广泛的的医用c t 之一。本章主要介绍介绍透射x 线c t 的发 展历史，并给出本文研究的主要目的、意义和大致结构。 1 1 引言 在很多情况下，人们需要了解一个物体的内部结构，但是由于种种条件的 限制，我们又不能从物理上将物体打开来进行观察。医学成像便是这方面的一 个典型例子，它在临床上要求医生通过非介入式的，无损的方式来获得病人身 体内部的结构和生理信息。由投影进行图像重建的问题，在过去4 0 年中频繁 出现在工业、医学等技术领域中。在所有这些应用中，对人类影响最大的应用 也许就是诊断医学方面：计算机断层扫描技术的出现引起的放射医学上的革 命。穿过人体横截面沿着许多直线由测量到的x 射线衰减的数据重建出人体横 截面的图像，使得它在医学成像方面发挥了巨大的作用。让我们来回顾一下它 的历史。 1 2c t 成像的发展 计算机断层成像技术( c o m p u t e dt m o m g r a p 简称c t ) 是指通过从物体外 部检测到的数据重建物体内部( 横截面) 信息的技术，也称为层析成像技术。 1 8 9 5 年德国人伦琴( r o n t g e n ) 发现了x 射线，这一发现使得非介入式的成像 方法成为可能。断层成像的概念最早由挪威物理学家a b e l 发表于1 8 2 6 年，其 研究对象是轴对称的物体。1 9 1 7 年，奥地利数学家r a d o n 发展了a b e l 的思想， 使得成像对象扩充到任意物体。 上世纪5 0 年代，a l l a n m c o r m a c k 便开始探讨各种c t 的原理并于1 9 6 3 年 首先提出了采用多方向投影重建断层图像的计算方法。这一技术利用了不同的 材料对于x 射线的衰减系数不同这一物理特性，来区分物体内部不同的材料或 浙江大学博士学位论文 组织，并通过计算机对检测器中采集到的数据进行分析，确定在每个射束通路 上的、不同点的人体组织对x 射线的衰减系数，从而用这些数据重显物体内部 的密度分布图像。因此c t 有效地排除了无关截面对成像断面图像的干扰，彻 底解决了影像重叠的问题，提高了空间分辨率，而且还降低了x 射线辐射剂量。 1 9 6 0 年代末期，英国e m i 公司的实验中心g n h o u n s f i e l d 根据c o r m a c k 原理，尝试建立一套c t 设备。g o d f r e y h o u n s f i e l d 是整个实验计划的主持人， 1 9 7 1 年他所领导的工作小组在t k i n s o n m o r l e y s h o s p i t a l 建立了第一套c t 系 统，并于1 9 7 2 年春正式发表头部的c t 影像。由于扫描范围的限制，早期c t 仅用于头部断层检查；到了1 9 7 6 年，r o b e r t l e d l e y 发展出第一套可以扫瞄躯干 的c t 系统。从此以后，c t 正式在临床诊断上扮演其无以伦比的重要角色。 值得一提的是，c o r m a r k 与h o u n s f e i l d 更因在c t 发展上的杰出贡献，分享1 9 7 9 年之诺贝尔医学奖。 一般临床所提及的c t ，指的是以x 光为射源而建立的断层图，称为x 光 c t 。事实上，断层成像技术可以应用多种能量波和粒子波：除了x 射线，其 他如y 射线、电子、中子、质子、红外线、射频波、超声波等。如果诊断用的 能量波是由诊断物体内部发射的，则称为发射型c t ( e m i s s i o nc o m p u t e d t o m o g r a p h y 简称e c t ) ，如正电子c t ( e m i s s i o nc o m p u t e dt o m o g r a p h y 简称 e c n 和单光子射c t ( s i n g l ep h o t o ne m i s s i o nc t 简称s p e c t ) 等：如果诊断用 的数据是根据透过被诊断物体的能量波获得的，则称透射型c t ( t r a n s m i tc t 简称t c t ) ：如果诊断用的数据是根据能量波从被诊断物体内部反射( 或散射) 而取得的，则称反射型c t ( r e f l e e t i o nc t 简称r c d ，如工业上应用的背向散 射康普敦断层成像。 经过数次的发展，c t 的扫描系统已经有了一、二、三、四代之分，甚至 有所谓的第五代c t 。目前在临床c t 成像中，滤波反投影法( f i l t e r e d b a e k p r o j e c t i o n ) 是用得最为广泛的一种算法。该算法首先将在某角度下获得 的x 射线投影进行滤波，然后再把滤波后的投影值反投影到待建图像中，这样 的过程重复若干角度之后，便得到了最终所需要的图像。 1 3 本文的意义、目的和结构 众所周知，c t 成像的基础是r a d o n 交换。而在二维的情况下，r a d o n 变 换是非局部的，即为了恢复图像中任何一个特定的点需要用到待重建物体的所 有投影信息。这就意味着病人需要受到相对更多的x 射线辐射，即使医生只想 第2 页 了解人体的某一局部的情况。而事实上在临床上，只对人体的某个局部感兴趣 的情况是普遍存在的，比如某个特定的器官( 心脏、肺、脊椎等) ，或者某个 剖面的局部病灶等等。在这些情况下，如果能只对感兴趣的局部区域进行图像 重建，即仅仅使用通过感兴趣区域或稍为超出感兴趣区域的x 射线投影来重建 图像，那么不仅能减少人体所接受的x 射线的辐射剂量，而且由于参与运算的 数据量减少也使得算法的运算速度得到相应的提高。于是近年来，寻找一种能 够减少辐射剂量，同时又能准确重建感兴趣区域的图像重建算法，引起了研究 人员的极大兴趣。图l - 1 给出了一个局部c t 图像重建的示意图。 图1 1 局部c t 图像重建的示意图 本文的主要目的是利用近年来在工程界得到了广泛应用的小波作为分析 工具，导出几种基于二维小波变换的多尺度局部c t 图像重建算法。这些算法 与传统的滤波反投影法相似，不同的地方在于，算法中用到的滤波器是与x 射 线的照射角度相关联的，而且反投影后得到的是待建图像的小波分解系数，这 些系数再经过反小波变换就得到了最终的重建图像。在算法中加入了小波去噪 处理，使得算法更具实用性。 本文的内容安排如下。第一章概述c t 成像的物理及数学原理。第二章讨 论传统的c t 重建算法：滤波反投影法，对该算法的的非局部性进行了分析， 并使用s h e p p - - l o g a n 仿真图进行了算法的仿真实验。第三章简单介绍有关小 波的基本知识，重点是多分辨分析的理论和快速小波变换算法。第四章在前人 第3 页 成果的基础上，通过更简洁的方法演绎了一种基于二维可分离m r a 的小波重 建算法，在算法中加入阀值化小波去噪的技术，并将该算法应用于的全局图像 重建、局部图像重建以及加入噪声的图像重建中，最后我们对结果进行了分析。 第五章我们利用不可分离m r a 的理论，对投影数据二通道的小波分解，推导 出一种基于不可分离m r a 的小波重建算法，在算法中使用五点梅花式的抽样 矩阵。我们对算法进行了全局和局部的仿真实验，对实验结果进行了分析和比 较。然后我们在算法中融入了基于小波的阀值化去噪方法，到达去嗓的目的。 第七章我们对小波理论在图像重建方面的发展作了总结和展望。考虑到m a t l a b 工具箱的高效性和简洁性，本文的所有算法将在m a t l a b 6 5 中给予实现。 第4 页 浙江大学博士学位论文 第2 章基本原理 本章将对c t 成像的原理给出物理和数学上的描述。首先说明x 射线的物 理性质，并对成像中涉及的重要物理参量：x 射线衰减系数进行定义。然后介 绍r a d o n 变换，它从数学上对c t 成像过程中x 射线投影的概念进行了定义。 接着引入傅里叶中心切片定理，该定理表明了图像投影的一维傅里叶变换和图 像的二维傅里叶变换之间的联系。 2 1c t 成像的物理原理 图像是用来描述一个物体或物理系统的某些特性分布的。最常见的图像是 那些由可见光被反射或透射经光学仪器直接形成的。然而在许多需要图像的应 用中，我们只能采用不可见的辐射探测物体做间接测量，x 射线便是这方面的 一个俪子。众所周知x 射线是一种不可见豹高能电磁波，其波长范围为 o 0 0 0 6 5 0 n m 。它对各种物质都具有不同程度的穿透能力。当束x 射线通过 人体时会由于吸收与散射而衰减，射线被吸收的总数取决于它穿过的物质的密 度、原子组成及x 射线的光能频谱。由于存在这种差别，当x 线透过人体各种 不同组织结构时，它被吸收的程度不同，所以从不同角度不同方位到达x 射线 探测器上的x 线量有差异。所以，对x 射线的吸收或散射越多，则图像越浅。 在普通x 射线照片上，往往可以从中看到骨质部分，就是因为骨头部分的物质 密度大，其对射线的吸收量大( 衰减大) ，在照片上感光弱而呈现浅的影像。 利用投影数据和断层衰减图像的数学关系，c t 系统能够重构出待探测截面的 断层图像。最后的c t 图像是以不同的灰度来反映器官和组织对x 线的吸收程 度。黑影表示低吸收区，如肺部；白影表示高吸收区，如骨骼。这样就能把不 同的组织器官区分开来。 x 线成像的物理基础，一方面是x 线的特性，即其穿透性、荧光效应和摄 影效应；另一方面是人体组织有密度和厚度的差别。但是相等强度的x 射线束， 如果一束通过一个具有均匀密度的物质，另束通过个非均匀密度的物质， 检测器记录的两个总衰减值可能相等，在这种情况下检测器不能决定两束射线 之间的差别，因为这两束射线的衰减总值相等。所以传统的x 射线装置对于组 织的分辨力较低，只能区分密度差别大的脏器。要想得到一幅清晰的图像，最 第5 页 浙江大学博士学位论文 好的办法就是能找到一种物理参量，而且对于不同的组织这个参量的值不同， 这样就能把不同的组织区分开来。人体组织对x 射线的衰减系数就恰好是这样 一个物理量，所以接下来就对x 射线衰减系数进行定义。 当一束单色x 射线通过一个密度均匀的小物体时，衰减量由以下方程决 定， i = 厶e 一肚 式2 - 1 式中i o 为x 射线入射强度：l 为射线穿过均匀密度物体的路径长度；i 为 射线穿过长度为l 的均匀密度物体时，透射的射线强度：就是物体对射线的 衰减系数。在式2 1 的两边同时取对数，则该式可改写为以下形式， 1， = l n e ) l 式2 2 通常沿着x 射线束路径上的物体密度是不均匀的。假设将物体分隔为很小 的段，每段长度为w ，w 是足够小的，以至每段中的密度可设想为均匀的( 见 图2 1 ) 。如果我们假定每个段内的衰减系数是均匀的，而长度为w 的第一段 的射线入射强度为i o ，从第一段穿出的射线强度为1 1 ，则 图2 - 1 射线穿过物体的襄减不葸圈 ll = l 学 式2 3 其中“为第- d , 段的衰减系数：i l 为第- d , 段的入射强度，第二段的衰减 系数为z ；1 2 为从第二段出来的射线强度，即 1 2 = l , e 一” 式2 - 4 将式2 3 代入式2 - 4 得： 厶= l o e 咖1 饥 式2 - 5 继续这个过程，可以得到i n ，即最后一段出来的透射强度， l = i o e 一“+ “+ ”+ “渺 式2 6 浙江大学博士学位论文 其中“为第1 1 小段的衰减系数值。将未知数放在左边，上式可改写为 地，= 吉，n 式2 7 此式表明：在x 射线束的路径上，如果已知w 、i o 及i n ，物体的衰减系 数总和i + 2 + 儿+ + 以是可以计算的。 我们不能只用一幅单的视图法求得所有分段的衰减系数，因为此时未知 数比方程式的数目还多。但是如果在不同的方向取得多个视图，就可能得到足 够的数据去解这些方程式，由此确定出每段或每体积元素的衰减系数。 假设用密度函数f ( x ，y ) 来描述所研究的截面，它的值代表截面上某个点 的x 射线衰减系数。因此c t 图像重建的问题是产生物体x 射线衰减系数的 二维密度函数f ( x ，y ) ，它是在多个视角下对穿过物体横截面后的x 射线衰减 数据进行分析求出的。 2 2 二维r a d o n 变换 假如物体的三维结构已知，那么在某一特定的角度计算其二维投影是一个 正向计算，即只要将x 射线所在直线上的每一点的x 射线衰减系数累加起来， 就可以得到x 射线在到达胶片或检测器时的衰减量。然而，计算机辅助断层成 像是一个典型的逆问题，它是一个从物体的有限数目的x 射线投影值出发，去 产生物体的某种物理属性的二维分布图像的过程。相对于正问题来说，逆问题 的计算是一个非常复杂的过程。有关图像重建的一些数学理论相对来说已经具 有了很长的历史。早在1 9 1 7 年，奥地利数学家雷当( j o h a n nr a d o n ) 就证明了 物体二维剖面的重建公式，然而却需要待到计算机技术得到充分发展以后，这 一公式才在实际中得到实现。 r a d o n 变换从数学上对c t 成像过程中x 射线透射的过程进行了建模，它 实际上是式( 1 7 ) 在连续情况下的改写。设八五，工z ) 是一个连续函数， 臼2 ( 口，目：) 是- - 5 n s ：r 2 的单位向量，f 是一个实数，r 是一条直线，定义为： f = 扛r2 ：( 占) = f 式2 8 ，、 一 其中，代表内积( 见图2 2 ) 。我们把过直线r 对函数，的线积分， 第7 页 r f ( a ，f ) = ，( x ) 出 r 式2 9 定义为函数，的r a d o n 变换。在c t 成像中函数，( 工) 表示物体在点x 处对 于x 射线的衰减系数。对于固定的和f ，线积分可 ，f ) 称为一条射线投影，而 对于固定的口，被称为投影( 见图2 - 2 ) 。和算子五对应的是反投影算子r 4 ， 其定义如下： r 。g ( z ) = s g ( o ，k a ) ) a a 式2 1 0 算子r 对直线f 上的所有点进行积分，而算子r 4 对经过某点的所有直线进 行积分。 r t 狡刚 、 | i 、 x 1 、 、 、 图2 2 直线f 的= 维r r c l o n 变换中的参数目和t 针对上述线积分，目前在c t 中存在着两种不同的采样方式。一种是平行束扫 描。该方式在一个固定方向采集一组平行线束的线积分，然后再在若干不同的 方向重复这一过程。另一种是扇束扫描。在该方式中，由一个点源发射出的线 束的线积分被采集，然后再在若干不同的点源上重复这一过程( 见图2 2 ) 。 本文将只讨论基于平行束扫描方式的图像重建算法，丽基于扇束扫描方式的重 建算法可以从平行束算法转化得到。 第8 页 浙江大学博士学位论文 裁 尽 攀 慈 n 蓬 茂 ( a ) 平行束扫描 图2 - 3 c t 的采样扫描方式 ( b ) 扇束扫描 2 3 傅里叶中心切片定理 傅里叶中心切片定理将图像投影的一维傅里叶变换和该图像二维傅里叶 变换的一个切片联系起来。即：图像厂( x ，y ) 在角度p 得到的平行束投影r o 的 一维傅里叶变换等于厂( 工，y ) 的二维傅里叶变换f ( “，v ) 的一个切片，该切片与“ 轴的夹角为目。换句话说，r e 的傅里叶变换给出了图2 - 4e f l 的f ( u ，v ) 沿着直 线b 的值。 扫 空域频域 圈2 - 4 图像投影的一维傅里叶变换和持建图像二维傅里叶变换之间的关系 下面对傅里叶中心切片定理做一个简单的证明。定义函数的二维傅里叶变 换如下： 第9 页 浙江大学博士学位论文 v ( u ，v ) = 广广f ( x ，) ，) p 。啦+ r d x d y 式2 - 1 i 并定义在角度口获得的投影的一维傅里叶变换为： 意) = r 岛( f 沁“西 式2 - 1 2 该定理最简单的一种情况是当秽= 0 时。在频域中考虑v 20 时图像的傅里 叶变换。积分式2 1 l 这时可以简化为： f ( u ，o ) = r ：f ( x ，y ) p “2 ”西回 式2 1 3 相位因子不再依赖于y ，因此上面的积分可以分为两部分， f ( “，o ) = l ，( 少) 咖i e “2 “出 式2 - 1 4 括号中的积分是一组平行直线的投影，而对这组平行直线中的任意一条直 线来说，其上面的点的横坐标值均为x ，由式2 - 9 可得： 如。o ( x ) 2i 。，( x ，y ) d y 式2 - 1 5 将此式带入式2 1 4 得： f ( u ，o ) = = r ( 工) e “2 ”d x 式2 1 6 上式的右边代表着p = 0 时获得的投影的一维傅里叶变换，由此可以得到 如下公式： f ( u ，o ) = r 口= o ) 式2 - 1 7 它反映了图象垂直方向上的投影和其二维傅里叶变换之间的关系a 设坐标 系( f ，s ) 由坐标系( x ，y ) 旋转了角度口后得到的，它们之间的关系可以用下面的 等式表示出来， ( ： = 。一c 。o i s n 8 口s i n 。o 口八) r y x 式2 - 1 8 运用这一关系，可以得到： 屯( 脚) = 厂( 训) e 1 2 肺一“”印a x d y 式2 - 1 9 其中等式右边代表图像在空域向量= o ) c 0 8 p ，”5 8 t m p ) 上的二维傅里 叶变换。这一结果构成了众多c t 图像重建算法的基础。 如果有无限多个角度和无限条射线可以采集，那么就能求得”v 平面中任意 一点对应的，t 越，”的值，进而通过反傅里叶变换就可以得到目标函数，( 工， ， f ( x ，y ) = ii f ( u ，v ) p “”+ 9 d u d v 式2 - 2 0 一般来说，要计算一个函数的r a d o n 变换是比较复杂的。然而，如果我们 使用一些简单的函数，比如椭圆，那么就有可能给出计算某一角度0 下函数沿 着直线，的射线投影的解析表达式。对于一个特定的0 ，这些表达式能够计算 出函数沿着任意条直线的线积分，从而形成函数在这个角度下的投影。取若干 不同的角度，那么在不同角度下得到的投影就形成了函数的投影集合。因此在 实际c t 成像的过程中个标准的平行束扫描过程是这样的：首先将半圆弧 ( o 万) 均匀分成p 个角度，然后在每一个角度上计算2 m 条在空间上均匀分 布的直线的线积分，从而形成投影。其中疗b ，撒b ，r ，b 是函数，的带宽， ii a 这样由采样定理可知，当俐 b 时我们可以忽略函数的傅里叶变换，( 珊) 的值。 由于只能取有限的角度n 和射线数2 m ，所以重建出来的图像会产生伪影，比 如吉不斯( g i b b s ) 现象。 2 4 滤波反投影算法 滤波反投影法是目前c t 图像重建领域使用得最为广泛的一种算法，其有 效性和准确性也在临床上得到了验证。本章将讨论这一算法及其实现。 得 2 4 1 算法 将公式( 1 2 0 ) 中积分变量的坐标系从直角坐标系u v 转换成极坐标系，臼 ，( x ，y ) = r 5r f ( w ，口弦。2 杠“y “哪w d a r l o 利用傅里叶变换的对称性并用p o ( w ) 替换f ( w ，臼) ，上式可以写为 ( 暑y ) = j r b ( w ) l 叫e 。d w d o 第1 1 页 其中2x c 0 8 占+ y s i n 口。乘数川在频域里有着明确的物理意义，它代表着 滤波因子，这里我们把例称为r a m p 滤波器( 斜滤波器) ，其在空域和频域 的响应示于图2 5 中。而与积分变量口相关的积分对应着反投影算子r 4 。这样 式2 2 2 可以简单的表达为算子的形式， 厂= r ( r f ) 式2 - 2 3 其中+ 代表一维卷积，表示空域里的r a m p 滤波器。这一公式就是求解 反r a d o n 变换的滤波反投影算法的根据。 ( a ) 空域( b ) 频域 圈2 - 5 r a m p 波器的空域和频域响应 在实际实现时，我们只能取上式的离散形式，即r a d o n 变换矽( 占，r ) 的值 只能在有限个离散点哆，q ) ，_ ，= l ，一p ，= q + l ，口上取得，其中， 护，= f 。s 。i n 3 办妒。) 1 ，办：万( j 1 ) p ，。，：脚，】，：】9 式2 - 2 4 这里假设，( x ) 的支撑区间在单位正方形内( 工在这里代表二维向量) ，即 当h 1 时厂o ) = o 。另外r a m p 滤波器俐这一具有无限带宽的理想滤波器是 不能实现的，为了使重建出来的图像既有足够的精度，又能够实现，一般的做 法是利用窗函数对斜滤波器进行修正。常用的窗函数有s i n c 函数，汉宁 ( h a r m i n g ) 窗函数等。因此离散情形下的卷积反投影算法可以如下描述： 第一步，对所有j = l ，n ，对投影系列p ( f ，目，) 补零后，计算f f t 。 第二步，付变后的投影数据与斜滤波器( p ) 相乘后，进行傅立叶逆变换。 片( p ) = l p f ( p ) 第1 2 页 浙江大学博士学位论文 函数w ( p ) 将会在后面加以说明。 第三步，对每一个待重建的点工，计算离散反投影： n - i f ( x l ，工2 ) = 户( 而c o s n a + x 2s i n n a ) n - o 式2 - 2 6 图像的重建是在2 r e x 2 m 的点阵上进行的，这样的取法是为了和每个角度 的射线数目相对应。对于矿( 力，称为带限窗r j 函数。一种可能的选择是 s h e p p - l o g a n 滤波器，即： h ( p ) = l p l s i n c ( p d ) r e c t ( p d ) 式2 - 2 7 该滤波器的截频是b = 石肋。实际上该滤波器就是由r a m p 滤波器经过 s i n c 函数修正后得到的，即在频域里用h 和函数相乘而得到的滤波函数 俐8 i n 。，其空域和频域响应见图2 - 6 。 ( a ) 空域 ( b ) 频域 图2 - 6 用s i nc 函数修正后的r a m p 滤波嚣的空域和频域响应 2 4 2 实验模型 为了能够评估以后几种图像重建算法的准确性，寻找一幅参考图像是有必 要的。该图像应该由一些简单的物体组成，以便能够比较容易的计算图像的 r a d o n 变换。在c t 图象重建中，s h e p p l o g a n 标准头部模型( 见图2 - 7 ) 得到 了广泛的应用，本文将沿用这一图像作为测试算法的模型。该图像由1 0 个椭 圆组成，每个椭圆的具体参数列在了表2 - i 中。 固2 - 7 s h e p p - l o g a n 标准头部模型 使用上述头部模型的优越性在于，可以解析地计算某个角度下图像的投影 值。由于r a d o n 变换具有线性性质，所以为了计算一个包含几个椭圆的图像的 投影值，可以先通过计算每一个椭圆的投影值，然后再把这些投影值累加起来。 表2 - 1s h e p p l o g a n 头部模型的参数 圆心主轴长度 次轴长度旋转角度 吸收系数 ( 0 ，0 )o 6 9o 9 2ol ( 0 ，0 0 1 8 4 )o 6 6 2 40 8 7 4oo 8 ( 0 2 2 ，0 ) o 1 1o 3 11 8o 2 ( o 2 2 。0 )o 1 60 4 11 8o 2 ( 0 ，一0 3 5 )0 2 l0 2 50o 1 ( 0 ，0 1 )0 0 4 60 0 4 6 oo 1 ( 0 ，0 1 )0 0 4 60 0 4 6o o 1 ( o 0 8 ，0 6 0 5 ) 0 0 4 60 0 2 3oo 1 ( 0 ，0 6 0 5 ) 0 0 2 30 0 2 3o0 1 ( o 0 6 ，0 6 0 5 )0 0 2 3 0 0 4 600 1 这个累加和便是图像的投影值。假设八x ，y j 是包含在图像中的一个椭圆，其圆 心位于坐标原点处( 见图2 8 ) 。 f ( x 川：jpf o