（概率论与数理统计专业论文）极小极大原理及相关问题研究.pdf

摘要 摘要 极小极大原理起源于博弈论，自j y o nn e u m a n n 在1 9 2 8 年建立了第一个极 小极大定理以来，许多数学工作者对它作了深入的研究，特别是k yf a n 的工作 极大地推进了这一理论的发展极小极大原理，连续选择，不动点定理，k k m 原理，变分不等式在一定条件下是等价的而连续选择定理也是证明极小极大 不等式，不动点定理，k k m 原理，变分不等式的有效工具本文的主要目的是 在一定的空间与函数凹凸性及连续性条件下建立新的极小极大定理，k k m 定 理，连续选择定理及给出他们相互之间的一些应用同时，我们也讨论了变分包 含解的存在性问题 在第二章中，我们主要讨论两个函数极小极大定理和集值映射的广义k yf a n 不等式在2 2 节，我们利用2 0 0 1 年f o r 9 6 提出的单调变换技巧及l i n q u a n 的 混合泛函值方法，建立具有严格单调变换的非线性两个函数极小极大理这一结 果推广了1 9 9 1 年l i n - q u a n 在阶梯条件的极小极大定理和1 9 9 6 年k i n d l e r 在数 量拓扑条件下的极小极大定理在2 3 节，我们利用c h e n g 在1 9 9 7 年给出的涉 及两个空间、两个函数的k yf a n 极小极大不等式，通过把其中函数的凹凸性转 移到另一个函数上，建立了集值映射下的广义k yf a n 不等式 在第三章中，我们主要在f d 空间上基于w g - f k k m 映射建立新的匹配 定理和若干相交原理，在非紧拓扑空间上基于弱广义k k m 映射建立广义k k m 定理应用这些结果，我们给出了f c 一空间中的一些极小极大不等式，以及非紧 拓扑空间上一个广义向量平衡问题解的存在性 在第四章中，基于1 9 7 2 年h i m m e l b e r g 提出的几乎凸集概念，在拓扑向量空 摘要 间中给出连续逼近选择定理在具有度量结构的空间中研究连续选择一直是令人 感兴趣的问题，很多拓扑空间类可以用度量空间的某种连续映射的像来刻划，所 以我们还讨论了度量空间的序列覆盖像的性质以期拓展对连续选择问题的研究 在第五章中，我们在h i l b e r t 空间中利用r u v e r m a 引进的( a ，叩) 单调算 子，联系( a ，叼) 一单调算子的预解算子技巧，我们证明了一组新的变分包含组解的 存在性，构造了逼近这类变分包含解的迭代算法并且分析了相应算法的收敛性 含 关键词：极小极大定理； k yf a n 不等式；k k m 定理；逼近选择；变分包 i i a b s t r a c t a b s t r a c t m i n i m a xp r i n c i p l eo r i g i n a t e df r o mg a m et h e o r y m a n ym a t h e m a t i c i a n sh a v e m a d ei n t e n s i v e l ys t u d i e so nt h em i n i m a xp r i n c i p l es i n c et h ef i r s tm i n i m a xt h e o r e mw a se s t a b l i s h e db yj y o nn e u m a n ni n1 9 2 8 e s p e c i a l l y , k yf a n sw o r k s t r e m e n d o u s l yp u s h e df o r w a r di t sd e v e l o p m e n t i ti sw e l lk n o w nt h a tt h em i n i m a x t h e o r e m sa r ee q u i v a l e n tt of i x e dp o i n tt h e o r e m s kkmt h e o r e m sa n dv a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e su n d e r c e r t a i nc o n d i t i o n s m e a n t i m e ，c o n t i n u o u ss e l e c t i o nt h e o r e m sa r e a l s ov e r s a t i l et o o li nt h ep r o o fo fa b o v er e s u l t s i nt h et h e s i s ，o u rm a i na i m sa r e t oe s t a b l i s hs o m em i n i m a xt h e o r e m s 、kkmt h e o r e m sa n dc o n t i n u o u ss e l e c t i o n t h e o r e m su n d e rc e r t a i ns t r u c t u r eo fs p a c e sa n dc e r t a i nc o n d i t i o no fc o n c a v i t y - c o n v e x i t ya n dc o n t i n u i t yo ff u n c t i o n s ，a n dt og i v es o m ea p p l i c a t i o n s b e s i d e s ，w e a l s os t u d yt h ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o n so fv a r i a t i o n a li n c l u s i o n s i nc h a p t e r2 ，w em a i n l yd i s c u s st h et w o - f u n c t i o n sm i n i m a xt h e o r e m sa n d t h eg e n e r a l i z e dk yf a n si n e q u a l i t i e sf o rt h es e t v a l u e dm a p p i n g s i ns e c t i o n2 2 ， u s i n gt h et e c h n i q u eo fm o n o t o n e - t r a n s f o r m a t i o ni n t r o d u c e db yf o r 9 6i n2 0 0 1a n d t h em i x i n gm e t h o do ff u n c t i o nv a l u e si n t r o d u c e db yl i n - q u a n ，w ee s t a b l i s ht h e n o n l i n e a rt w o - f u n c t i o nm i n i m a xt h e o r e m sw i t ht h es t r i c t l ym o n o t o n et r a n s f o r m a - t i o n s t h er e s u l t sg e n e r a l i z el i n q u a n sm i n i m a xt h e o r e m sw i t hs t a i rc o n d i t i o n s i n1 9 9 1a n dk i n d l e r sm i n i m a xt h e o r e m s u n d e rq u a n t i t a t i v e - t o p o l o g i c a lc o n d i t i o n s i n1 9 9 6 ；i ns e c t i o n2 3 ，a p p l y i n gk yf a n - t y p em i n i m a xi n e q u a l i t i e si n v o l v i n gt w o s p a c e sa n dt w of u n c t i o n so b t a i n e db yc h e n gi n19 9 7 ，w ee s t a b l i s hs o m eg e n e r a l i z e d i i i 北京工业大学理学博士学位论文 k yf a n si n e q u a l i t i e sf o rs e t v a l u e dm a p p i n g sb yt r a n s f e r r i n gc o n c a v i t y - c o n v e x i t y o ft h eg i v e nf u n c t i o nt ot h a to fa n o t h e rf u n c t i o n i nc h a p t e r3 ，w ee s t a b l i s ho n em a t c h i n gt h e o r e ma n ds o m ei n t e r s e c t i o nt h e - o r e m sb a s i n go nw g - f kkmm a p p i n g si nf c s p a c e s a n ds o m eg e n e r a l i z e d kkmt h e o r e m sb a s i n go nw e a k l yg e n e r a l i z e dk kmm a p p i n gi nn o n c o m p a c t t o p o l o g i c a ls p a c e s a p p l y i n gt h e s er e s u l t s ，f u r t h e r m o r e ，w eo b t a i ns o m em i n i m a x i n e q u a l i t i e si nf c - s p a c e sa n dt h ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o n so fg e n e r a l i z e dv e c t o r e q u i l i b r i u mi nn o n c o m p a c tt o p o l o g i c a ls p a c e s i nc h a p t e r4 ，w eg i v es o m ea p p r o x i m a t es e l e c t i o nt h e o r e m sb a s i n go nt h e c o n c e p to fa l m o s tc o n v e xs e ti n t r o d u c e db yh i m m e l b e r gi n1 9 7 2i nt o p o l o g i c a l s p a c e i ti sa l li n t e r e s t i n gt o p i ct h a tt h ec o n t i n u o u ss e l e c t i o nt h e o r e m sa r es t u d i e d i nt h es p a c e sw i t hm e t r i cs t r u c t u r e m a n yt o p o l o g i c a ls p a c e sc a nb ec h a r a c t e r i z e d b yt h ei m a g eo fm e t r i cs p a c e su n d e rc o n t i n u o u sm a p p i n g ，t h u sw ea l s od i s c u s st h e p r o p e r t i e so fi m a g eo fm e t r i cs p a c e su n d e rc e r t a i ns e q u e n c ec o v e r i n gm a p p i n gs o t h a tc o n t r i b u t e st ot h ed e v e l o p m e n to fc o n t i n u o u ss e l e c t i o nt h e o r e m s i nc h a p t e r5 ，u s i n gt h er e s o l v e n to p e r a t o rt e c h n i q u ea s s o c i a t e dw i t h ( a ，叩) - m o n o t o n eo p e r a t o r sd u et or u v e r m ai nh i l b e r ts p a c e ，w es t u d yt h ee x i s t e n c e o fs o l u t i o n sf o rac l a s ss y s t e m so fv a r i a t i o n a li n c l u s i o n s i t e r a t i v ea l g o r i t h m sa r e c o n s t r u c t e dt oa p p r o x i m a t et h es o l u t i o n so ft h es y s t e m so fv a r i a t i o n a li n c l u s i o n s a n dt h es t r o n gc o n v e r g e n c eo fi t e r a t i v es e q u e n c e si sp r o v e d k e y w o r d s ：m i n i m a xt h e o r e m ；k yf a n ：si n e q u a l i t y ；kk mt h e o r e m ；a p - p r o x i m a t es e l e c t i o n ；v a r i a t i o n a li n c l u s i o n i v 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获 得北京工业大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料，与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示了谢意 签名：雄日期：j 兰塑业 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公 布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 丝莹耋日期：型! 翌：圭：三9 第1 章绪论 第l 章绪论 极小极大原理起源于博弈论，它是非线性分析的一个重要研究内容自j v o n n e u m a n n 在1 9 2 8 年建立了第一个极小极大定理以来，许多数学工作者对它作了 深入的研究而且取得了丰富的成果极小极大原理现在已广泛应用于博弈论，数 量经济学，最优化理论，微分方程等诸多领域 极小极大原理要研究的是在一定的空间条件和函数条件下，以下不等式 ，：2 掣i n y fz s u x pf ( z ，可) 。s u x pv i n r f g ( z ，可) = ：夕 ，：= i n 、f ，s u p ，( z ，可) s u p 夕( z ，多( z ) ) = ： 毛扛，咖( 王) ) y erx e x 王x ( 1 1 ) ( 1 2 ) 是否成立及它们的应用，其中x ，y 是两个非空集合，夕是x y 上两个 实函数且在x y 上满足f g ，妒是x 到y 的映射我们通常称不等式 ( 1 1 ) 为两个函数极小极大定理，称不等式( 1 2 ) 为两个函数极小极大不等式特 别的，当f = 夕时，不等式( 1 2 ) 退化为极小极大不等式，而不等式( 1 1 ) 则蕴含 着f = ，即极小极大定理成立 极小极大定理根据泛函值的性质可分为实值函数的极小极大定理，向量值的 极小极大定理和集值型的极小极大定理；从形式上可分为一个函数的极小极大定 理和两个函数的极小极大定理对于实值函数的极小极大定理，我们又可分为数 量极小极大定理，拓扑极小极大定理，数量拓扑极小极大定理极小极大定理是 否成立取决于空间结构和泛函的性质j v o l ln e u m a n n 1 , 2 】最早在欧氏空间的有 限维单形及非空紧凸子集上分别给出相应的极小极大定理 北京工业大学理学博士学位论文 定理1 1 ( j y o nn e u m a n n 1 】) 假设a 是一个仇竹矩阵，z 和y 分别为具 有单位和的、非负的行向量和列向量若，( z ，y ) = x a y ，则，4 = ， 这里的x 和y 是有限维单形，函数，是双线性且联合连续的1 9 3 7 年，他 又把这一结果推广到欧氏空间中非空紧凸子集上( 见文献【2 】) 1 9 5 2 年，f a n 3 】 将极小极大定理推广到无限维空间，建立了一个局部凸拓扑线性空间中紧凸子集 上的极小极大定理 定理1 2 ( f a n 3 】) 假设x 和y 是两个局部凸拓扑线性空间中非空紧凸子集， 函数，：x y _ r ，如果，在x 上是上半连续而且是凹的，在y 上是下 半连续且是凸的，则有，+ = 对于极小极大定理，早期的研究工作主要是在拓扑向量空间中讨论的关于 拓扑向量空间上的极小极大定理，还可参见文献【4 - 1 0 等由于在拓扑向量空间 中线性结构的存在，使得极小极大定理的发展存在局限性，所以后来人们寻求在 一般拓扑空间或一般点集上中建立非线性的极小极大定理1 9 5 3 年，f a n 1 1 】用 函数值的大小关系替代了凹凸性假设，给出了第一个紧致h a u s d o r f f 拓扑空间上 的数量极小极大定理1 9 5 8 年，吴文俊【1 2 】把相关函数的凹凸性假设用连通性条 件替代，给出了第一个纯拓扑极小极大定理 定理1 3 ( w u 1 2 】) 设y 是紧致可分的而x 是弧连通的如果厂( - ，y ) 在x 上是强连通的而且厂( ，y ) 在x 上连续，( z ，) 在y 连续则广= 这种拓扑条件的极小极大定理要求截口有某种连通性，数量条件的极小极大 定理要求函数有某种弱的凹凸性受此驱动，1 9 6 8 年，k s n i g 1 3 】提出；- 拟凸( ；一 拟凹) 概念推广了f a n 1 1 】的数量极小极大定理；1 9 7 7 年，n e u m a n n 1 4 】取代互1 一 拟凸( ；一拟凹) 提出了s 一拟凹( t 一拟凸) 概念；1 9 9 0 年s i m o n s 1 5 】提出向下( 向 第1 章绪论 上) 概念；1 9 9 4 年，a d o m o k o s 1 6 】又提出弱向下( 弱向上) 的概念建立了数量 型的极小极大定理1 9 7 2 年，t e r k e l s e n 1 7 j 在拓扑与数量的混合条件下讨论极小 极大定理；g e r a g h t y l i n 1 8 1 与l i n c h e n g 1 9 1 在混合条件下推广了一些拓扑数量 极小极大定理；随后，c h e n g - l i n 2 0 】和r e c c e r i 2 1 】研究了一些纯拓扑极小极大定 理；1 9 9 2 ，k s n i g 2 2 得到了迄今被认为最好的纯拓扑条件的极小极大定理此 外，k i n d l e r 2 3 ，驯在这方面也做了很多有意义的工作随着这种较弱的凹凸性概 念的提出及与某种连通性的混合使用，人们得到了一般点集上或拓扑空间上不需 空间线性结构的极小极大定理( 参见文献 2 5 - 3 7 ) 在一般点集或一般拓扑空间上讨论极小极大定理虽然克服了空间线性结构这 一局限性，但这时对函数的性质要求较苛刻，在证明中需要很强的构造技巧，从 而阻遏了极小极大理论的发展，这促使许多数学工作者寻求弱于线性结构但与凸 性有一定联系的空间上讨论实值函数的极小极大定理c h o r v a t h 3 8 - - 4 1 】在这方 面做了突出性的工作，提出了广义凸结构的基本框架( d 空间或日一空间) 并在 文献【4 1 】中证明了下列极小极大定理 定理1 4 ( h o r v a t h 4 1 】) 设( x ，r 1 ) 是紧日一空间，( y r 2 ) 是日空间，函数 f ：x y _ r 满足： ( i ) v y y ，( ，y ) 在x 上是上半连续的； ( i i ) 比x ，f ( x ，) 在y 上是下半连续的； ( i i i ) y ，( ，y ) 在x 上是h - 拟凹的，比x ，( x ，) 在在y 上是 皿拟凸的则= 1 9 9 7 年，p a r k 4 2 】和f 4 3 】分别独立地引入g - 凸空间，并且t a n 在g - 凸 空间上证明了下列极小极大定理 北京工业大学理学博士学位论文 定理1 5 ( t a n 4 3 】) 设( x ；r 1 ) 和( y ；r 2 ) 是紧g 凸空间，对任意a ( x ) 和 b ( y ) ，g c d ( 4 ) 和g c 0 ( b ) 是紧的假设函数j f ：x y _ 矗满足； ( i ) v y y ，厂( ，y ) 在x 上是上半连续的； ( i i ) 比x ，( z ，) 在y 上是下半连续的； ( i i i ) 对任意r r ，关于第一变元x 是r - 广义g 一拟凹的，即对任意有限子集 d 1 ，z n cx ，存在子集 可1 一，y n ) cy 使得对任意子集( 玑。，y i 。 c y l ，铷) 和任意y o g c d ( 玑。，y i 。) ) 都有r m a x l g 奄，( z 幻，y o ) ) 则广= 2 0 0 5 年，d i n g 4 4 又引进了f c - 空间，于是大量广义凸空间中的非线性的 极小极大定理随之涌现( 参见文献 4 1 - 5 3 ) 两个函数极小极大定理是一个函数极小极大定理的推广形式，是非合作博弈 的数学模型两个函数的极小极大定理通常有如下三种表现形式： ( a ) 厂在x 上 被赋予某种凹性，9 在y 上被赋予某种凸性； ( b ) 厂在y 上被赋予某种凸性， 夕在x 上被赋予某种凹性；( c ) ，g 具有关于，g 的混合凸凹性条件第一个两 个函数的极小极大定理由f a n 5 4 】在1 9 6 4 年给出 定理1 6 ( f a n 5 4 】) 设x 和y 是拓扑线性空间的紧凸子集，g ：x y 一冗 是两个实函数且厂g 对任意的z x ，( z ，) 在y 上是下半连续的，对任 意的y y ，夕( ，y ) 在x 上是上半连续的若满足； ( i ) f 在x 上拟凹； ( i i ) 夕在y 上拟凸则有广仇 1 9 7 8 年l i u 5 5 推广了此定理，不要求x 具有任何拓扑结构1 9 8 1 年s i m o n s 2 7 】 垂 第1 章绪论 给出了第一个( b ) 形的极小极大定理1 9 9 6 年c h e n g - l i n 5 6 4 又推广了s i m o n s 的 这一结果1 9 9 1 年l i n - q u a n 卅给出了第一个( c ) 形的极小极大定理关于( c ) 形的极小极大定理还可参见c h e n g - l i n 5 8 】等文献 极小极大不等式是极小极大定理的特殊形式1 9 7 2 年，f a n 5 9 j 给出第一个 极小极大不等式 定理1 7 ( f a n 5 9 】) 设x 是拓扑向量空间的紧凸子集若，：x x r 是 实函数对任意的z x ，( z ，) 在y 上是下半连续的；对任意的秒x ，( ，y ) 在x 上是拟凹的则，s u p ( x ，z ) z 五 由于这个极小极大不等式的形式简洁且应用广泛，因而它在非线性分析和数 理经济中起着非常重要的作用且从多方面被推广1 9 8 0 年及1 9 8 7 年，h a 6 0 , 6 1 1 把f a n 的极小极大不等式推广到两个空间上在1 9 8 1 年，y e n l 6 2 】把f a n 的极小 极大不等式推广为两个函数的情形1 9 9 7 年c h e n g l 6 3 】给出一个极小极大不等式 同时涉及到两个空间和两个函数当然对于f a n 的极小极大不等式还有其他方向 的推广，如减弱空间的紧性和函数的连续条件( 参见h b r 4 z i s 6 4 ，c h e n g 6 5 1 ， c h o w d h u r y 6 6 】) ；代替空间的线性结构为非线性结构如伪凸空间和日空间，( 参 见j 0 6 一k a s s a y 2 引，w u x u 4 9 ，d i n g 6 7 】) 近年来，由于多目标规划的需要， 极小极大不等式向集值形式发展并得到了一些集值型的极小极大不等式( 参见 k r i s t l y - v a r g a 6 引，m d u r e a 6 9 】) 著名的k k m 原理实质上是一种单形的覆盖性质，它最早由波兰的三位数 学家b k n a s t e r ，k k u r a t o w s k i ，s m a z u r k i e w i c z r o 所提出 定理1 8 ( k n a s t e r - k u r a t o w s k i m a z u r k i e w i c z 7 0 】) 设晶， ，r 是单形 n 的闭( 或开) 子集，使得对于任何选择0 i o ，i k n ，有c o e i 。，e i 。) c 5 - 北京工业大学理学博士学位论文 u 冬o r 则n 岛只仍其中， e 0 ，) 表示欧氏空间舻“的标准正交 基，n 表示关于标准正交基的标准伽维单形 k k m 原理及其各种等价形式不仅随着空间结构的扩展而发展，而且在确定 的空间条件下随着各种k k m 映射的提出而得到推广m 理论实质上就是 对k m 映射及应用的研究1 9 6 1 年， k yf a n 把定理1 1 9 推广到无穷维空 间上 定理1 o ( f a n 7 1 】) 设e 是h a u s d o r f f 拓扑向量空间x 是e 的非空子集 t ：x 一2 e 是具有闭值的k k m 映射( 所谓k m 映射是指对任何有限集 z 1 ，z n ) cx ，其凸包c o x 1 ，z n ) cu 翟l t ( x i ) ) ，而且存在点x o x 使t ( x o ) 是e 中的紧集，则n z x t ( z ) d 1 9 8 3 年，h o v a t h a s 以可缩集取代凸包给出了k m 定理的一个纯拓扑转 变受此驱动，1 9 8 9 年，s p a r k 7 2 】引进了广义k k m 映射的概念从而获得了 广义k k m 定理和广义匹配定理在 7 3 中，他进一步研究了涉及上半连续映 射的k k m 定理，匹配定理，相交原理，重合定理和极小极大不等式的等价性 1 9 9 1 年，c h a n g - z h a n g 4 6 】给出了更广义的k k m 映射并得到相应的k k m 定 理；1 9 9 2 年，c h a n g - m a 4 7 】又把这些结果推广到日一空间上1 9 9 6 年，d i n g 7 4 】 在日一空间中研究了广义h k k m 映射1 9 9 7 年，t a n f 4 3 】研究了一类从非空集 到g 凸空间的广义g - k k m 映射，并给出了一些g - k k m 定理以及对极小极 大不等式和鞍点问题的应用1 9 9 6 年，c h a n g - y e n 7 5 】对k k m ( x ，y ) 映射类做 了系统的研究在文献 7 6 】中，l i n - k o - p a r k 通过引进一类关于某一映射丁的 广义g - k k m 映射，进一步推广了c h a n g - y e n 的结果1 9 9 9 年，v e r m a 7 7 】在 g - h 空间中首先获得了涉及r - k k m 映射的一个相交原理，2 0 0 4 年，b a l a j 7 8 】 6 - 第1 章绪论 在g _ 凸空间中引入关于某一映射t 的弱广义k k m 映射从而丰富了k k m 原 理的研究2 0 0 5 年，由d i n g “1 引进的f c 空间再次推广了g _ 凸空间，椐此， 许多新的k k m 原理及应用被得以建立正是日一空间，g 凸空间及f c 空间 及各种广义k k m 映射的的出现，极大推进了k k m 原理及相关理论的发展 ( 参见文献 4 9 - 5 3 ， 7 9 - 8 4 ， 8 5 9 1 ) 连续选择定理指的是：对于一个集值映射t ：x 呻2 y ，是否存在连续单值 映射，：x y 使得对任意z x ，都有( x ) t ( x ) 1 9 5 6 年，m i c h a e l 9 2 】 建立了第一个连续选择定理 定理1 1 0 ( m i c h a e l 9 2 】) 设x 是仿紧空间，y 是b a n a c h 空间，t ：x 一2 y 为闭凸值下半连续集值映射，则t 有连续选择 自1 9 5 6 年m i c h a e l 建立第一个连续选择定理以来，数学工作者主要针对空间 的线性结构，集值映射值的凸性和集值映射的半连续性加以推广并给出其对不动 点，极小极大不等式的应用，目前主要针对像空间y 是b a n a c h 空间，线性赋范 空间，日一空间( 或d 空间) 的情形加以讨论连续选择所依赖的连续性条件以 d e u t s h k e n d e r o v 9 3 】和p r z e s l a w s k i r y b i n s k i 9 4 95 1 ，g u t e v 9 6 】的几乎下半连续和 弱下半连续最为典型一般地，要得到连续选择，可以首先证明逼近选择定理， 再在一定的拓扑结构中得出连续选择定理1 9 8 1 年，h a d 2 i d 9 7 】研究了拓扑向量 空间中一致u 连续集值映射的逼近选择问题，1 9 9 7 年，z h e n g 9 8 】在拓扑向量空 间中研究了次下半连续的逼近选择；1 9 9 1 年，h o r v a t h 4 1 】给出了c 空间( 或 日空间) 中一类非空日一凸值的下半连续映射的逼近选择和连续选择定理；利用 h o r v a t h 4 1 】的连续选择定理，h a d 乏i 6 9 9 】在具有一致结构的日空间研究了具有 广义z i m a 型下半连续映射的几乎不动点问题；1 9 9 9 年，w n “1 0 0 】提出了拟下 北京工业大学理学博士学位论文 半连续概念进一步推广了日一空间中连续选择定理，同年，w u - y u a n 1 0 1 】研究了 广义z i m a 型下半连续映射的连续选择和几乎不动点问题；2 0 0 6 年，k i m - l i 1 0 2 在d 空间中证明了广义z i m a 型的几乎下半连续映射的逼近选择定理局部交 性质是对集值映射逆值性质的一种刻画利用此概念，y a n n e l i s p r a b h a k a r 1 0 3 】， t a r a f d a r 1 叫，w u - s h e n 1 0 引，d i n g - k i m t a ni 1 0 6 】，m a o 10 7 】分别得到了连续选 择定理关于连续选择定理对极小极大不等式，变分不等式和不动点问题的应用 还可参见文献【1 0 5 ，1 0 8 - 1 0 9 在具有度量结构的空间中研究连续选择一直是令人感兴趣的问题，很多拓扑 空间类可以用度量空间的某种连续映射的像来刻画，所以有可能把连续选择定理 与这种一般拓扑空间联系起来，在这种用度量空间的像刻划的拓扑空间中得到新 的选择定理对于度量空间映象方面的工作，1 9 6 6 年来，p o n o m a r e v 1 10 】对具 有各种覆盖性质空间的象进行了研究从而开创了一种研究拓扑空间的新的方法一 p o n o m a r e v 方法并引进了7 r 一映射，从而极大推动了空间分类理论1 9 6 6 年，e m i c h a e l 1 1 1 1 引进了紧覆盖映射的概念1 9 8 8 年，林寿 t 1 2 引进了强s - 映射的概 念1 9 9 4 年，林寿【1 1 3 】进一步把7 r 一映射与8 8 映射结合起来研究了度量空间的 商丌一8 8 象( 1 1 引1 9 9 9 年，李进金【1 1 4 】推进了这一工作 变分不等式和变分包含在物理学，优化控制论，非线性规划及经济学中有着 广泛应用这一理论主要涉及以下问题：一是刻画各种变分不等式和变分包的解 的定性理论，如存在性、唯一性及灵敏性( 即不等式中含有参数时，参数对解的影 响程度) ；二是寻求一些有效的数值方法去求变分不等式的近似解在文献 11 5 第六章中利用极小极大定理给出了经典的变分包含解的存在性对于变分包含的 求解问题，我们主要采用辅助原理技巧和预解算子技巧1 9 9 4 年，h a s s o u n i 和 8 - 第1 章绪论 m o u d a f i 1 1 6 1 在h i l b e r t 空间中利用预解算子技巧研究了一类变分包含( 一些变分 不等式及拟变分不等式是其特例) 问题在变分包含问题的研究中，映射的单调性 也起着非常重要的作用2 0 0 3 年，h u a n g - f a n g 1 17 】在h i l b e r t 空间中引进了极大 叼- 单调映射，f a n g h u a n g 1 1 8 】引入了日一单调映射，在文献【1 1 9 】中，他们又引进 了广义单调算子和( 日，叩) 一单调算子，并利用预解算子技巧给出了涉及该映射的 一类变分包含解的迭代算法及算法生成的序列的强收敛性2 0 0 4 年，v e r m a 1 2 0 】 引入了比日单调映射更加一般化的a 单调映射，利用广义预解算子技巧讨论 了涉及该映射的一类非线性变分包含解的存在性2 0 0 6 年，r u v e r m a 1 2 1 - 1 2 2 1 进一步引进了a 一单调松弛算子和( a ，叩) 一算子的概念，从而研究了一类更广泛的 变分包含解的存在性并证明了构造的迭代序列的收敛性 极小极大定理与变分不等式、连续选择定理、不动点定理、k m 定理是紧密 联系的事实上，k yf a n 极小极大不等式与b r o u w e r 不动点定理、l e r y s h a u d e r 不动点定理、k a k u t a n i s 不动点定理、k m 定理、变分包含解的存在性定理 等都是等价命题( 参见文献【1 1 5 第六章) ； 而连续选择定理可以导出相应的极 小极大不等式、k k m 定理及其等价形式、不动点定理和变分不等式( 参见文献 【1 0 0 1 0 1 ，1 0 4 ，1 0 8 - 1 0 9 ) 从以上可以看出，极小极大原理及相关理论主要涉及空 间的性质与相关函数( 映射) 的性质，因而它们的的推广主要沿着以下几个方面： 一是通过削弱空间的线性结构，二是泛函的凹凸性，三是泛函值的性质，四是函 数的连续性各种广义凸空间及较弱的连续性与凹凸性概念的提出，极大地推动 了极小极大原理及相关理论的发展本文的主要目的是在一定的空间与函数凹凸 性及连续性条件下建立新的极小极大定理，k k m 定理，连续选择定理及给出他 们的一些应用同时，我们也将讨论变分包含解的存在性问题全文安排如下： 北京工业大学理学博士学位论文 在第二章中，我们首先利用f o r 9 6 - j 0 6 2 9 】的平均函数思想，f o r 9 6 3 0 】的单调变 换和l i n q u a n 2 8 】的混合泛函值方法，证明了包含严格单调递增变换阶梯条件和 数量拓扑条件的两个函数极小极大定理从而推广s s i m o n s 3 3 1 ，l i n - q u a n 3 5 ， j k i n d l e r 2 4 1 ，c h a n g 1 2 3 】的相关结论到具有严格单调变换的情形其次，我们 利用c h e n g 6 3 】的结论，从如下两方面得到了新的广义k yf a n 不等式：一是所考 虑的泛函定义于两个不同拓扑空间的乘积空间上，二是把其中函数的凹凸性转移 到了另一个函数上，从而扩张了文献【6 8 】，【6 9 及【1 2 4 中相关结论 在第三章中，我们在f c 一空间中引进w g p k k m 映射，在一般拓扑空间 中引进弱广义k k m 映射的概念，给出这些映射的一些性质，证明了f c 一空间 中一个新的k k m 型定理和k yf a n 型匹配定理，应用此k yf a n 型匹配定理， 我们证明了f d 空间中基于w - g - f - k k m 映射的相交原理在一般拓扑空间 中，基于弱广义k k m 映射，给出了一般拓扑空间上的广义k m 型定理利 用f c - 空间中基于w g - f k k m 映射的相交原理和一般拓扑空间上基于次广 义k k m 映射的广义k k m 型定理，我们证明了一些极小极大不等式并讨论一 个广义向量平衡问题解的存在性 在第四章中，利用h i m m e l b e r g 1 2 5 1 于1 9 7 2 在局部凸拓扑向量空间中引进的几 乎凸集概念确立了新的逼近选择定理我们的结果是z h e n g 9 s 】，w u - s h e n 1 0 引， d i n g - k i m t a n 1 删和m a o 1 0 7 】中结论的转变或改进此外，我们还研究了度量空 间的某种序列覆盖映像的结构 第五章中，在h i l b e r t 空间中利用v e r m a 1 2 2 】引进的( a ，叩) 一算子的概念，联 系( a ，叼) 一单调算子的预解算子技巧，我们证明了新的变分包含组解的存在性，构 造了逼近这类变分包含解的迭代算法并且分析了相应算法的收敛性 1 0 第2 章极小极大定理 2 1 预备知识 第2 章极小极大定理 极小极大定理及相关理论主要涉及相关空间与函数的性质为了获得一般结 论，通常的做法是减弱空间结构的限制，减弱函数的凹凸性和连续性的要求，将一 个函数的情形推广到多个函数的情形，将实函数的情形推广到集值映射的情形 本章将给出具有严格单调变换的两个函数极小极大定理和集值映射下的广义k y f a n 不等式为此，我们回顾一些概念和基本事实 定义2 1 1 ( 1 ) 设y 是一拓扑矢量空间，( x ，) 是一序拓扑矢量空间单值 映射妒：y x 称为凸的( 相应地，凹的) ，假如对任意入【0 ，1 】及y 1 ，y 2 y ， 有 妒( 入可1 + ( 1 一入) 可2 ) ( 相应地，) 入妒( 可1 ) + ( 1 一入) 妒( 可2 ) ( 2 ) 设( ) 是一序拓扑矢量空间，x 是一非空集集值映射s ：y 一2 x 称为单调增加的( 相应地，单调下降的) ，假如对任意y l y 2 ，有 s ( 可1 ) ( 相应地，) s ( 可2 ) 定义2 1 2 ( 参见【1 1 5 1 ，p p 5 7 ) 设e ，g 是拓扑向量空间，y 是g 的 凸子集， s ：y 一2 e 是集值映射集值映射s 在y 上称为凸的( 相应地，凹 的) ，如果对所有秒1 ，y 2 y 及入 0 ，1 】，都有 入s ( 夕1 ) + ( 1 一入) s ( 可2 ) ( 相应地，2 ) s ( a 可1 + ( 1 一入) 可2 ) 1 1 北京工业大学理学博士学位论文 入p 净n 。a 竺三二_ ， m 驭。a ，p ， 1 2 第2 章极小极大定理 定义2 1 5 【3 6 】t ：x