（生物医学工程专业论文）SARS爆发预测预警的数学模型以及超级传播研究.pdf

s a r s 爆发预测预警的数学模型以及超级传播研究第3 页共4 7 页 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , t h es i j rm o d e l ，s i m p l i f i e df r o mt h es e i j rm o d e l ，i sa d o p t e dt o a n a l y z et h ei m p o r t a n tp a r a m e t e r so ft h em o d e lo fs a r se p i d e m i cs u c ha st h e t r a n s m i s s i o nr a t e ，b a s i cr e p r o d u c t i v en u m b e r a n ds o m ei m p o r t a n tp a r a m e t e r sa r e o b t a i n e ds u c ha st h et r a n s m i s s i o nr a t eb ya p p l y i n gt h i sm o d e lt oa n a l y z et h es i t u a t i o n i nh o n gk o n g ，s i n g a p o r ea n dc a n a d aa tt h eo u t b r e a ko fs a r s t h e nf o r e c a s to ft h e t r a n s m i s s i o no fs a r si sd r a w no u th e r eb yt h ea d j u s t m e n to fp a r a m e t e r s ( s u c ha s q u a r a n t i n e dr a t e ) i nt h em o d e l i ti so b v i o u st h a ti n f l e x i o nl i e so nt h ee r u n o d eo ft h e g r a p h ，w h i c hi n d i c a t e st h eb i gd i f f e r e n c eo ft r a n s m i s s i o nc h a r a c t e r i s t i c sb e t w e e nt h e e p i d e m i cu n d e rc o n t r o la n dn o tu n d e rc o n t r 0 1 耵l i sm o d e lc a na l s ob eu s e di nt h e c o m p a r i s o no f t h ec o n t r o le f f e c t i v e n e s sa m o n gd i f f e r e n tr e g i o n s 1 1 1 er e s u l t sf r o mt h i s m o d e lm a t c hw e l lw i t ht h ea c t u a ld a t ai nh o n gk o n g ，s i n g a p o r ea n dc a n a d aa n dt h e e p i d e m i ci n f l u e n c eo fq u a r a n t i n e dr a t ec a nb ew e l ld e f i n e d a sab y p r o d u c t ，t h e i n d e xo ft h ee f f e c t i v e n e s so fc o n t r o li nt h el a t t e rp e r i o dc a nb ea c q u i r e d a tt h es a m e t i m e ，s u p e rs p r e a de v e n t s ( s s e ) i ns i n g a p o r ea l ea l s oi n v e s t i g a t e di nt h i sp a p e r t h e s i m p l i c i t y o ft h em o d e l c e r t a i n l y d o e sn o t c o m p r o m i s et h e e f f e c t i v e n e s so f f o r e c a s t i n gt h es e v e r i t yo ft r a n s m i s s i o no fe p i d e m i cd i s e a s e s ，w h i c hi st h em a i n s t r o n g p o i n to ft h i sm o d e l a n di to f f e r ss o m eq u a n t i t a t i v ei n d e x ，w h i c hm a yh e l pt h e f u r t h e rr e s e a r c hi ne p i d e m i cd i s e a s e s k e y w o r d s s a r s ，i n f e c t i v eq u a r a n t i n e dr a t e ，d i a g n o s e dq u a r a n t i n e dr a t e ，t r a n s m i s s i o nr a t e ，b a s i cr e p r o d u c t i v en u m b e r , s i j rm o d e l ，s e i j rm o d e l ，i n f l e x i o n ， s s e ，x s s ，o n e p a r a m e t e rm o d e l ，t w o - p a r a m e t e rm o d e l 复黾大学硕士学位论文 s a r s 爆发预测预警的数学模型以及超级传播研究第4 页共4 7 页 符号说明 严重急性呼吸道综合症( s e v e r ea c u t er e s p i r a t o r ys y n d r o m e ) 超级传播 超级传播以外，单个感染者引起的平均感染数目( 一般传播) 易感者一潜伏者一感染者一确诊者一康复者( s u s c e p t i b l e ， e x p o s e d ，i n f e c t i v e ，d i a g n o s e d ，r e c o v e r e d ) 易感者一感染者一确诊者一康复者 总人数 易感人群( 较高感染风险) 易感人群( 较低感染风险) s 2 的感染风险值 无症状的潜伏者具备传染性概率 潜伏者转变为感染者的概率 传染者的确诊率 传染者康复率 病死率( 传染者和确诊者) 确诊者康复率 传播率 死亡人数 确诊者隔离率 感染者隔离率 基本再生数 某一时刻点 s a r s 开始传播的时间点 累计病例数 目标函数 累计比一控制前后每日新增病例之比 复旦大学硕士学位论文 s r 淞她善耋驯 姒n & & p q k 口n 万儿 d；。 如上厂g s a r s 爆发预测预警的数学模型以及超级传播研究 第5 页共4 7 页 1 1背景 第一章引言 从2 0 0 2 年末到2 0 0 3 年6 月，s a r s ( s e v e r ea c u t er e s p i r a t o r ys y n d r o m e ) 肆虐了全世界很多国家，其中，中国大陆，香港，加拿大，新加坡等等地方疫情 尤为严重，给当地的人民生活带来了相当大的影响。6 月份后，虽然s a r s 疫情 基本控制住，但是这期间已先后有8 0 0 0 多人感染，7 0 0 多人死亡，各国经济上 也都造成了不同程度的损失。而到了2 0 0 3 年年末直至2 0 0 4 年，新加坡、台湾和 广东又相继出现s a r s 感染者，这又带来了新一轮的恐慌。因而对s a r s 的流 行病学特征的数学模型研究非常必要，而且对于以后可能出现的各种流行病规律 的探索研究有很好的参考作用。 1 2s a r s 数学模型研究 s a r s 爆发后，有过一些针对s a r s 的数学模型的研究报道。在流行病学方 面，有gc h o w e l l 等提出了s e i j r ( s s u s c e p t i b l e ，e e x p o s e d ，i i n f e c t i v e ，j d i a g n o s e d ，r r e c o v e r e d ) 模型并进行理论推导，但在同实 际数据拟合时候运用的是流行病学经验模型：用指数函数e “( r 为参数) 拟合累 计病例数，并得到了关于香港，加拿大，新加坡的r 值，同时也试图通过这个经 验模型简单的反推出s a r s 传入的天数( 如公式( 1 - 1 ) 所示) ，并对流行病学中 的传播率、隔离率等等参数做了粗略估计，如表1 - 1 所示 2 】。 1 t o = t 一( 二l o g ( x ( t ) ) ) 7 ( 1 1 1 其中，f 。即为s a r s 传入起始时刻点，t 则为之后的某一时刻点，r 为参数。 表1 - 1 香港确诊累积病例数的相关参数定义及数值 t 曲1 - 1p a r a m e t e rd e f i n i t i o n sa n dv a l u e st h a tf i tt h ec u m u l a t i v ec a s en u m b e rf o rh k p o x a m e t e rd e f u a l t i a av 8 i 呻 疗皿剐嘲i 徊r 蛳p e r d 帮 7 5 口 r e l i e v em e l h l u r e 村遍白c i 0 嘣0 碍辫f o rt h e 抽”n p 蛐4 缸cd 渊曰 0 1 1 fr d a t i 伸m e 柚b r eo f r e d u c e d 越m o a o n gd i a 碎a o e a d8 r se 8 8 e 803 8 p r e d u e t i i mi nr i s ko f & a i 韬i n f e c t i o nf o rd 蝴岛0 1 ir a t eo f p r o g r e mt ot h ei n f e c t i o u ss t a t ep e rd a y 1 百 or a t eo f p r o g r e s s i o n f r o m i n f e c t h , e t od i 姆e d p 口d 町 i ，l r a t ea tw h l 曲i d i v i d u a i si nt h ej n = f e c t h d e s 幽嘲n c 砷d a y ! m r 啪a tw h l e hd i 鲫耐i n d i v i d u 山r e c o v e rp e r 抽y e 5 ds a r s - i d u e e dm o r t a l i t yp e rd a y0 0 0 6 pi n i t 迫l p r o p o r t l o a o f t h e p o p u a l _ t i o na t h i 9 5 口r i s ko f s a r s i n f e c t i o n 0 4 复旦大学硕士学位论文 s a r s 爆发颓* 预警的数学耩擞以致超级传捶磷宽 第6 页菸4 7 黄 另外，还有l i p s i t e h 等用比较的办法模拟了s a r s 的流行瘸学特征，运用有 藩鹃数撵遴偻兹量纯了按潮鹫麓靛髂滔；及统诗攀上统计了s a r s 瓣一些数豁帮 特征，运用一个模型来估计基本再生数所受到诸因素的影响。并估计了 的值i j j 。 在r i l e y 等豹文章中，运嗣了窆润动力学模型寒模掇香港s a p s 豹爆发，嗣 时考虑了麓级传播吃公式( 1 - 2 ) 中，r i l e y 等将超级传播和一般传播分开进行 考虑，利用芦“。来简单估计超级传播的基本张生数。 置= 建脚+ p 8 8 黜( 1 2 ) 其中，茸为t 时刻肇个个体产生总的平均感染数e t ，j 1 8 为t 时裁一般传播 中的单个个体产生总的平均感染数目，p “为任感染可能为超级传播的概率， 8 则为一次超级传播中被感染靛平均数丑。r i 蛔等壤据公式( 1 - 3 ) 筠单攘蒋 了一般蕊攒的基本再生数。 庐= f i t s( 1 3 ) 这里，为传播率，t 为感染持续时间，s 则趋一个代表地区差异的因子。 忿终r i l e y 等估计了霰设在不强条磐下s a r s 疫壤在香港懿发疑，絮霞i - 1 掰示。 07 霉戮2 _ b 鬟爱4 2 毒辅巷3 7 7 78 4 孵鹅蠢) 图l * l 假设在不同条件下s a r s 痰情在香港的发展 f i g 1 - 1t h e e f t _ c e to f a l t e r n a t i v ec o n t r o ls c e n a r i o so np r o g r e s s i o nah y p o t h e t i c a l e p i d e m i cw i t hh o n gk o n g - l i k ec h a r a c t e r i s t i c s 图中，a 一没有任何控制措施 b 一在爆发3 0 天后，提前入院两天，减少1 9 的传播 e b 基旗上，在第4 5 天，宠全箨囊邈送阉活动，疆少7 6 豹鼗撵 d b 基础上，在第4 5 天，减少5 0 的接触率，刚好控制住 e d 基础上，在第5 5 天，减少7 0 的医院传播，足够控制住疫情 复垦大学颈圭学位论文 _耋谢、嘲锵钓黝静 銮发病走数 s a r s 撵发预测预警的数学模型以及超级传播研究 第7 页共4 7 贞 在此基础上有c h r i sd y e 和n i g e lg a y 模拟了s a r s 的早期传播动力学模型： 另外通过分析r i l e y 和l i p s i t c h 的模型，认为照然结果不错，位其中对越级传播 和控制措施的影响的分祈仍然缺乏足够的数恭，并不十分准确释t 。 藩奇志等述觚隧辊模型毽发澍瘸薅予s a r s 数据静统计援簿对s a r s 传攒进 行了磷究峨一家德国搬纸运露了撂数些线去拟合累计病猡 | 数 7 】，参见潮1 2 。 图1 - 2 累积瘸铡数指数撅会 f i g 1 2e x p o n e n t i a lc u l - v et ot h ec u m u l a t i v e 图1 3 香港流行病学特镊描述 f 逸1 3e p i d e m i o l o g i c a ld e s c r i p t i o no f s a p se p i d e m i ci nh o n gk o n g a ：不同群体的每网新增病例数 b ：每万人中病例数的地区分布 e ：每万入中瘸镝数的年龄分布 d ：淘大花圈每爵病翻数及y 分布拟古 复旦大学硕士学位论文 s a r s 爆燕预测预警的数学模型以及越级传播研究第8 贾共4 7 页 o l i v e rr a z u m 等则在此撼础上分析了指数以及线性两种拟合，指出两者间存 在瓯大的差别，认为这两种拟合以及通过它进行的预测缺乏依据；并认为通过每 爨豢壤痿倒鼗熬找到滚露病学土更多熬鬟簿蹲l 。d o n n e l l y 等瑙深入臻究了香港 s a r s 爆发的流行病学的各种特征，并进行统计学上的分析1 9 】。基本的流行病学 参数统计如图1 3 ，但这篇文章中，运用的怒对于新增病例数的指数拟合以及y 分 鸯熬会疾痰流行烧律，瑟葵镑对豢诗病爨数，懿图l 堪。 台 d n t 竹o m o n s e t t oa c h b o i 帅i d 砷o i t i m e n b m 州i h 日自o n 曲d e 自蜘嘲t i m ( t 黼e d m b - s i c e l t 。d m o 嗽晦曲捧 围1 - 4 巷港流行痍学最大可戆性倍诗 f 毽。i - 4m a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t e s a ：从感染到爆发的概率分布b ：从爆发到入院控制的概率分布 c ：从入院控制到死亡的概率分布d ：从入院控制到康复的概率分布 e ：从爆发垄4 入院控制的观测概率分布同俄计的y 井布拟会 有研究对于s i r ( s s u s c e p t i b l e ，i i n f e c t i v e ，r r e c o v e r e d ) 模 复旦大学硕士学位论文 1；，j1j；， 蝴 蝴 。懈。 #霹s甜目尝蛊罐暮菱 雠撇。 、，；，1111， 蝴 。 0 #羹口童眷g_营一鲁嚣茳 s a r s 爆发预测预警的数学模型以及超级传播研究第9 页共4 7 页 型在数学上进行了深入研究，并着重对于香港淘大花园的s a r s 爆发进行了模拟 d o 。 t u e n w a i n g 等则在s i r 模型的基础上发展了s e i r p ( s s u s c e p t i b l e ，e e x p o s e d ，i i n f e c t i v e ，r r e m o v e d ，p p r o t e c t i o n ) 模型，考虑到了另 一部分在一定隔离下的传播，从而针对一些案例，对参数进行了估计 ，模型 如公式( 1 4 ) 所示。 s e 专，专r ipj r p 鲁= 删州邓们) 警删州一b e ( d 知d r 训 m 。， 矿a i ( t ) v 鲁邓蚀) _ a ，l p ( d 誓咆l p ( f ) 其中，和r ，分别表示受保护之下的感染者和移除群体( 康复者和死亡者) ， ，和0 分别为未受保护和保护之下感染率，b 为潜伏期到感染的转化率，a 和a ，为 1 3流行病学研究回顾 在流行病学研究方面，人们对流行病学数学模型s e i r ( 易感染者s s u s c e p t i b l e ，潜伏者e e x p o s e d ，传染者i i n f e c t i v e ，康复者r r e c o v e r e d ) 和与其相近的模型也进行了很多研究。a m n 等最早提出了s e i r 模 型【”】。有文章对于s e i r 模型进行了理论上具体的分析，包括o d e 模型，马尔 复旦大学硕士学位论文 s a r s 爆发颈测琰繁弱数学模型班及超级抟攒研究篓 。页共4 7 负 可夫禳墅，j 马尔可夫摸登和筒鼙的空滴模鍪【1 4 t ，冀串o d e 模鍪辩公式( i - 5 ) 所示： 查：蒯一解一b s i v s d e ：b s i + v s m e 一挠g d t ( 1 - 5 ) d l i = 盛e 一黻l g l 警= 移一搬霆 总人数为： n = s + e + j + 震 感染强度为： b = b o o + 岛c o s ( 2 m ) ) 上述公式中，s 为易感者，i 为感染者，v 为从易感者发展到潜伏者的壤率， e 为潜伏者，r 为康复者，t 为时刻，a 为从潜伏者发展到感染者的概率，g 为廉 复率，m 为隔蓠率。 图1 - 5 传染病流行爆发流程图 f i g 1 - 5e p i d e m i cf l o w c h a r ti nt h ee v e n to f o u t b r e a k 复量太学硕士学拉论文 s a r s 爆发预测预警的数学模型以及超级传播研究 第1 1 页共4 7 页 e a r n 等人介绍了曾利用s e i r 模型并引入时间序列在理论上模拟麻疹的传播 ”“。j e f f e r y 等对于s i s ( s u s c e p t i b l e ，i n f e c t i v e ，s u s c e p t i b l e ) ，s e i r 模型以及带 有周期接触率的这两种模型分别进行了数学上的分析【m 1 。m i c h a e l 等着重从数学 上分析了s e i r 模型分化的几种情况的局部平衡和全局稳定性【1 7 1 。g a l l a n t 等将 e m m ( e f f i c i e n tm e t h o do fm o m e n t s ) 方法运用到分析s e i r 模型中剐他】。g a n i 等将s e i r 运用于模拟天花的传播 1 9 1 o l o h w a n p i n g 和t a n y i n g r o u 等由s e i r 模型出发，建立了一个更加完全，复杂的模型( 如图1 - 5 ) ，并详细讨论了疾病 流行的前提的合理性及可行性脚1 。 a l v e s 等着重讨论了在流行病学概率系统里面基本再生数r o 的作用1 2 1 1 。在 人v i 动力学以及流行病学模型研究上，y a n g 等从数学上深入分析了s e i r 模型， 并提出了两元人口动力学模型【2 2 1 。 j a m e s 等在研究狂犬病的流行时同样也运用了s e l r 模型t 2 3 1 。f u 等讨论了包 括s e i r 在内的传染病模型：微分方程模型，m f t 模型( m e a n f i e l d t y p e ) ，c a 概率模型( c e l l u l a r a u t o m a t a ) ，并描述了模型中的参数 2 4 1 。a r i n o 等提出多地域 的s e i r s ( s s u s c e p t i b l e ，e e x p o s e d ，i i n f e c t i v e ，r r e c o v e r e d 。 s s u s c e p t i b l e ) 模型，分析了基本再生数，着重研究了跨地区的模型，如公 式( 1 6 ) 所示 2 5 1 。 誓= 喜& 嘲，一砉诋静圳孵吨舢r 百d e l2 扣秣一舡静巾瑚e m 。、 等= 喇_ g i i 一e 。- ( y + d ) l i ? 孥：窆r j k _ g j z 。+ 巩却瑚r ， 其中，i j 为两城市，1 d ，1 e ，l y ，1 o 分别为平均寿命，潜伏期，感 染期和临时免疫期。 gc h o w e l l 等运用s e i r 模型对非洲刚果和乌干达的e b o l a 病毒传播进行了 模拟，对其中的参数，尤其基本再生数进行了深入分析和估计1 2 6 。 1 4小结 以上这些文章基本都是对s a r s 或者普遍的流行病学的特点进行回顾性的 研究，而其中仅仅非常小的一部分文章或篇幅是对s a r s 传播进行比较粗略的预 测，这种粗略指的是运用经验模型，不考虑自然状态或控制状态的差别，通过简 复旦大学硕士学位论文 s a r s 爆发袋测预警的数学模型以及超级传播研究第1 2 页燕4 7 页 单的计算进行预测。而这些预测也并没有同各地的实际发展趋势进行过对比。如 露疰爱数学摸鳖来预测来来豹流行趋骛，或者对采稽不同蘸于颈耱壹搔施在未来 产生的效聚进行评估以及如何量化描述超级传播等的研究尚未见报道。 2 0 0 3 年的s a r s 流行初期，由于人们对这种类型流行病了解不多，疾瘸在 大多数遣方熬旱热流 亍状态基本上怒蠡然数，来受翱有效控到鹣。当一令楚嚣疾 病发展到陇较严重状态时，各国( 或地区) 政府才加大预防和控制措施( 如隔离， 限制人员交流等) 。因此在香港，新加坡和加拿大等地区的发瘸人数的曲线上存 在聪显拐点，即控制翦和控制后的发瘸规律存在较大差异性。藤谯吴子牛等的文 章在运用大系统理论对s a r s 送行颟测豹时候，鬟爨了关予政麝强干预控隶l f 携 点的概念【2 ”。在本文中，我们将s e i j r 模型简化为s i j r 模型，这样尽量减少模 型中的不确定参数，以利于参数识别和分析，又保证了模型能基本反映疾病流行 特 歪。裁鼙参数模型 瑟豢，我襄先农发病未茬弱麓采瘸毅台豹方式获褥该圭| 囊嚣 s a r s 病模趟中的传播率，爆发时间等重要参数。当政府采取严格措施后，我们 调整模型中反应隔离率程度的参数1 德，以此来推算以后的疫情发展情况，通过 对香港，裁嬲坡和加拿大等遗区豹实际诗算发现，只要选取适囊弱? 篮，摸黧豹 预示盼结聚帮戬后实际发生的情猛非常吻台，表圈采用这种筒肇的方法藏可黻 ：瑟 测以后的黛化规律。进一步我们还可以通过回顾性的研究来梭验不同地区的z 值，以判别和评价该地隧对s a r s 控制措施的有效性，为今后这类疾病的控制提 供了定羹豹疆檬。奁藏纂旗上，本文考虑将怼于感絷者豹隔褒率魏缨入蘩蒺囊( 双 参数) 中，这样相对更贴近实际，能够更准确的捕述s a r s 爆发的情况，并臆可 以用来比较感染者隔离率与确诊者隔离率的水平对于整体趋势的影响大小。上述 模型霾对坡瘦焉到超级转播上进彳亍分辑。 复虽火学硬士学位论文 s a r s 爆发预测预警的数学模型以及超级传播研究第1 3 页共4 7 页 第二章s a r s 理论预测模型分析 2 1s a r s 的基本流行病学特征 s a r s 主要的特征为：飞沫和局域性接触传染。患者被感染后不易立即确诊， 隔离也可能相互传染。康复者无传染性，有免疫力。易感人群易感程度存在差别。 病死率与年龄有关，有超级传染者。隐性带病者的传染性不确定。被感染人群 对总人口是一个小量，范围局限于某个地区。另外，中国大陆早期资料短缺。 2 2单参数模型理论推导( 不考虑感染者隔离的s l i r 模型) 本文将不考虑感染者隔离的s a r s 流行病学s i j r 模型简称为单参数模型， 根据s a r s 流行病学特征，我们已知最完整的s e i j r 模型及其相应的方程组1 2 1 。 女口图2 1 平口公式( 2 1 ) 【2 】。 图2 - 1s e l i r 模型图 f i g 2 - 1s e i j rm o d e l 其中，人群分类：易感染者s s u s c e p t i b l e ，潜伏者e e x p o s e d ，传染 者i i n f e c t i v e ，确诊者j d i a g n o s e d ，康复者r r e c o v e r e d ，均为时间t 的函数，总人数n = s + e + i + j + r 。s l 和s 2 分别表示易感人群中具有不同易感 程度的两个人群，s 2 的感染风险较低，值为p ，无症状的潜伏者具有传染性的概 率为q ，潜伏者转为感染者的概率为k ，隔离率为，传染者的确诊率口，传染 者的康复率n ，传染者的病死率占，确诊者的康复率y ：，病死率占。传播率 定义为单位时间内一个易感染者因与i 类接触而平均产生的感染人数。 复旦大学硕士学位论文 s a r s 爆发预测预警的数学模型以及超级传播研究 第1 4 页共4 7 页 鲁一p s i ( 。盟学盯rv 拿一tips2(atf ) 盟掣v 警喇+ 酬) 半删 f 2 1 、 d _ i = 七e ( f ) 一( 口+ n + 占) ，o ) 皇善= 口，( f ) 一( ，：+ j ) j o ) 粤：椰) + 7 2 j ( f ) 基本假设：传播在一个封闭系统中，不考虑潜伏期。不区分易感程度，病 死率相同，康复者有终生免疫力。只能确诊者隔离，不考虑其他原因死亡。在此 假设下，我们需要考虑的人群分类：易感染者s s u s c e p t i b l e ，传染者i i n f e c t i v e ，确诊者j d i a g n o s e d ，康复者r r e c o v e r e d ，均为时间t 的函数， 总人数n = s + i + j + r 。因此，s 1 ，s 2 整合成为s ，其他的p ，q ，k ，e 等参数 就已经不需要再考虑了。 这样，我们依据上面的假设，可以将图2 - 1 和公式( 2 - 1 ) 简化，得到s i j r 模 型，如图2 - 2 以及公式( 2 2 ) ： 图2 - 2s i j r 模型图( 单参数) f i g2 - 2s i j rm o d e l d s 口s i + u ， d t n 肇2 【一( 口+ + 巧) 】，+ ， ( ：) 等刊也埘 一 罢强一 复旦大学硕士学位论文 s a r s 爆发预测臻警抟数学攘型娃爰越级传播研究第1 5 页共4 7 更 在公式( 2 。2 ) 中，第二和第三个方程封闭，如下： i d i = 眇( 搿+ + 卯+ i p j ， 罢= a i - ( y ：埘 同时定义翻德条件为： i ( o ) = 1 t ，( o ) = 0 令叠= 搿牛苁+ 5 逸篇y 2 + 艿 4 = ( 卢：髓一l 壤p )k 一， 那么翻翔这个一阶微分方程缀，郄可通过求解得到： ，。，= 皆e ”十笪主；三 e 砧 一如如一 其中，矗粕磊为矩阵_ 的特征篷，同时，定义五为累计病铡数，那么应该 有： 堡：搿? 扶面得蜀累计病铆数趋辩间的变纯翘襻为： 以e ，。2 口 丢e 却十薏e 也f 一( 妻+ 乏) 。：一。， 这样褥至l ( 2 - 3 ) 式，是秘翔禳鍪面推导出来的公式，蕊藩醣蓠曼多采用鹃经验 模烈g “。这样对于数据的模拟与疫情的预测就可以更加准确更加客观。 其中 。：p - d , - & ：壁二垒= 当 一厶一 定义气为予员测s a r s 传入并开始传播的时间。这样，利用实际发生的累计病 绸数据y ( f ) 就霹叛褥到进行参数 鑫诗懿嚣栋涵数： ，( ，t o ) ：妻( 以( ，f + t o ) 一m ) 2 那么，奁s a r s 滚行秘麓，逶过最速下舞渡迭我浚敛，裁霹醵蠢藏褥裂嚣令 重露的参数值芦和f o ，这样就可以对各地的参数进行估计。 复里大学硬士学位论文 s a r s 爆发预测预警的数学模型虬及超级传播研究 第1 6 负共4 7 负 2 3 双参数模型理论推导( 考虑感染者隔离的s i j r 模型) 本文将考虑感染者隔离的s i j r 模型简称为双参数模型。在2 2 的基本假设 中，模型中只是考虑了对于确诊者的隔离，而实际上同时存在对于感染者的隔离， 为了更准确的描述整个流行发展过程，我们将感染者的隔离考虑在内，这样，我 们依据上面的假设，可以将图2 2 和方程( 2 2 ) 简化，得到s i j r 模型，如图2 3 以及方程( 2 5 ) ： 图2 - 3s i j r 模型图( 双参数) f i g 2 - 3s i j rm o d e l 鱼d t = 一筇型n ， j， 毫2 一( 口+ + 占) 】，+ z 卢，( 2 5 ) 等刊一( y 2 + 8 ) j ， 、 警州w 若对感染者也采取隔离措旄，引入参数7 _ ( 0 f 兰1 ) ： 罢= 陋七+ n 埘 川m 警刊一( y 2 删以 复旦大学硕士学位论文 s a r s 爆发预测颈警蚋数学模型班及越级嫱攒研究第1 7 贾共4 7 蠹 r o = 缶n 毒 同时定义初值条件为：，( 0 ) = 1 j ( o ) = 0 令d 】= 口+ y i + j0 2 = 儿+ j 肚n 最兰j a一坫， 那么利用这个一阶微分方程组，即可通过求解得到： i ( 0 ：z t _ - d _ , - 五+ p t _ - d _ , - 4 一 一 其中， 和如为矩阵a 的特征值，同时，定义以为累计病例数， 那么应该有： 盟：壁， 从而得到： 以c ，。= 口 暑e 却+ 笔e 也t 一( 卺+ 乏 捏。、 其中， b ：墼：垒二墨 4 一也 n ：p t - d , - & 如一曩 这样，利用现实数掇y ( f ) 就可以得到进行参数估计的目标函数： f ( f l , t o ) ：幺五( 孱+ t o ) 一冀) 2 1 ( 2 7 ) 那么，通过最速下降法迭代收敛，就可以由此得到两个羹要的参数值和气， 这撑裁可以对各地的参数避霉亍估计。 复旦太学礤士学位论文 s a r s 爆发预测预警的数学模型以及超级传播研究 第1 8 页共4 7 页 第三章单参数模型预测实例 3 1参数估计 在目标函数( 2 7 ) 中，只有和气两个参数未知。当目标函数取得最小值时， 那么也就使得模型中计算得到得数据同实际数据吻合得最佳。利用香港，加拿大 和新加坡等地的s a r s 实际数据 2 8 - 3 1 1 ，不考虑感染者的隔离率，就可以得到反映 各地疫情特征的参数t o 。这样代入以( ，i + t o ) ，就可以得到模型的数据拟合 曲线。通过计算，我们获得这三个地区的卢和气值，如表3 - 1 所示。 表3 - 1香港，加拿大和新加坡三地s a r s 疫情的基本特征参数值 t a b 3 - 1s a r sp a r a m e t e ri nh o n gk o n g ，c a n a d aa n ds i n g a p o r e 另外，在这里，利用各地的采取控制措施的一些情况 3 1 - 3 5 1 ，我们将控制前 后的时间段分别取为： 香港为3 月1 7 日一4 月1 4 日，加拿大为3 月2 5 日一4 月1 5 同，新加坡为 3 月8 日一4 月1 日。 3 2单参数模型s a r s 控制前期数据拟合 根据前面的参数估计，取隔离率f _ 1 ( 即认为在控制前，不存在任何隔离措 施) 代入( 2 6 ) 式，可以计算各地的以，从而得到各地采取控制措施以前数据拟 合曲线。这里分别用虚线和“+ ”代表模型拟合曲线( 公式( 2 6 ) ) 和实际发展数据。 同时，我们也利用这些前期拟合得到的流行病学的参数( 列于表3 1 ) ，把它们 作为后面的对s a r s 流行预测的基础。 复旦人学硕士学位论文 s a r s 爆发预测预警的数学模型以及超级传播研究 第1 9 页共4 7 负 人 数 天数 图3 1 控制前香港数据拟合图( 3 月1 7 日一4 月1 日) f i g 3 一lt h em o d e l f i tc u r v eo f h o n g k o n gb e f o r ec o n t r o