（系统工程专业论文）关于树上高阶马氏链极限性质的研究.pdf

学位论文全文数据库并向社会提供查询，授权中国学术期刊( 光盘版) 电子杂 志社将本论文编入中国优秀博硕士学位论文全文数据库并向社会提供查询。 论文的公布( 包括刊登) 授权江苏大学研究生处办理。 本学位论文属于不保密回。 学位论文作者签名：压。皂老 bif 年6 月l 歹日 指导教师签毫：专谰 加，年6 月r 厂日。 指导教师扬里国教握 申请学位级别簋专业名称丕统王猩 论文提交日期星q ! ! 生圣旦论文答辩日期窒q ! ! 生旦 学位授予单位和日期江菱太堂生旦 2 0 1 1 年6 月 评阅人 c l a s s i f i e di n d e x ：0 2 2 1 6 u d c ：5 1 9 2 1 7 p h d d i s s e r t a t i o n s o m el i m i t p r o p e r t i e s f o r h i g h o r d e r m a r k o vc h a i n si n d e x e db yat r e e b y z h i y a ns h i m a j o r ：s y s t e me n g i n e e r i n g s u p e r v i s o r s ：p r o f w e i g u oy a n g j i a n g s uu n i v e r s i t y , j u n e ，2 0 1 1 摘要 摘要 概率论是从数量上研究随机现象的规律性的学科它在自然科学、技术科学、 管理科学中都有着广泛的应用，因此从上个世纪三十年代以来，发展甚为迅速，而 且不断有新的分支学科涌现概率极限理论就是其主要分支之一，也是概率论的其 它分支和数理统计的重要基础前苏联著名概率论学者g n e d e n k o 和k o l m o g r o v 曾 说过：“概率论的认识论的价值只有通过极限定理才能被揭示，没有极限定理就不 可能去理解概率论的基本概念的真正含义 关于独立随机变量的经典的概率极限 理论在上世纪3 0 年代和4 0 年代已获得完善的发展，是概率论发展史上的重要成果 二十世纪六十年代以来，继独立随机变量和序列的极限理论获得完善发展之后，各 种混合随机变量序列、相伴随机变量序列及鞅的强极限理论又有很大发展，我国 学者在这方面做出了许多出色的工作，在国际上也有一定的影响( 参见 6 6 ，8 0 ，8 4 ， 8 8 ，8 9 ，l1 8 ) 信息论的熵定理也称s h a n n o n - m c m ill a n 定理或信源的渐进均分 割性( a e p ) ，是信息论的基本定理，也是各种编码定理的基础关于熵定理的最新 发展可参考文献e 2 6 树上的随机场是随机过程理论在树一这一新的数学模型上的应用，它产生于 信息理论的编码和译码问题假设一个序列 x 。，甩0 ，其中状态和状态序偶出 现的频率是否遵从大数定律，直接影响到编码方法的优劣，故这一领域一直是众 多学者研究的重点三十几年前，诞生的“随机场这一概率论与统计物理的交 叉学科与其它概率物理分支，代表着当今数学与物理相互渗透的大潮流的一个重 要侧面 近年来杨卫国教授与刘文教授合作，采用与传统方法不同的研究方法( 参见 3 7 ) ，在非齐次马氏链强大数定律、信息论熵定理、任意随机变量序列的极限定 理、任意离散随机变量序列的强偏差定理及树图上马氏链场的强大数定与熵定理 等方面进行了一系列研究，在国内外重要学术刊物上发表了一系列论文 3 7 - 6 5 ， 7 4 - 7 5 ，8 1 - 8 3 ，9 3 一1 1 2 ，1 1 9 本博士论文在杨卫国教授和刘文教授的研究基础上， 进一步研究了树上高阶马氏链的强大数定律和熵定理，以及强偏差定理，推广了杨 卫国等研究的结果 本博士论文共分为七章： 江苏大学博士学位论文：树上高阶马氏链的极限 蛎研究 第一章：基本概念，主要结论和方法介绍 第二章：研究了广义c a y l e y 树上二重马氏链的的强极限理论，作为推论得到 了广义c a y l e y 树上二重马氏链状态序偶频率的极限定理，同时也得到了广义 c a y l e y 树上二重马氏链强大数定律和s h a n n o n m c m i l l a n 定理 第三章：研究了广义一致有界无穷树上二重马氏链的的强极限理论，作为推 论得到了广义一致有界无穷树上二重马氏链状态序偶频率的极限定理最后，得 到了广义一致有界无穷树上二重马氏链强大数定律和s h a n n o n - m c m ill a n 定理 第四章：研究了m 根c a y l e y 树上m 阶非齐次马氏链的的强极限理论，作为推 论得到了m 根c a y l e y 树上m 阶非齐次马氏链状态序偶频率的极限定理最后，得 剑了m 根c a y l e y 树上m 阶非齐次马氏链在口名收敛意义下的强大数定律和 s h a n n o n m c m ill a n 定理 第五章：在m 根c a y l e y 树上，通过任意测度与m 阶非齐次马氏测度比较，研 究了m 根c a y l e y 树上任意随机场关于m 阶非齐次马氏链的强偏差定理，作为推论， 得到了m 根c a y l e y 树上一类m 阶非齐次马氏链的强大数定律与熵定理 第六章：研究树上路径过程的随机条件概率的调和平均的极限性质 第七章：研究有限无穷树上二阶非齐次马氏链和非齐次马氏链的随机转移概 率的调和平均的极限性质 关键词：树；马氏链；随机场；强大数定律；强偏差定理；s h a n n o n m c m i l l a n 定 理；随机转移概率；调和平均 i i a b s t r a c t t h e o r yo fp r o b a b i l i t yi sas c i e n c eo fq u a n t i t a t i v e l ys t u d y i n gr e g u l a r i t y o fr a n d o mp h e n o m e n a ，w h i c hi se x t e n s i v e l a p p l i e di nn a t u r a ls c i e n c e ，t e c h n o l o g i c a ls c i e n c e ，a n dm a n a g e r i a ls c i e n c ee t c h e n c e ，i th a sb e e nd e v e l o p i n g r a p i d l ys i n c e19 3 0 sa n dm a n yn e wb r a n c h e sh a v ee m e r g e df r o mt i m et o t i m e l i m i tt h e o r yi so n eo ft h ei m p o r t a n tb r a n c h e sa n da l s oa ne s s e n t i a l t h e o r e t i c a lb a s i so f s c i e n c eo fp r o b a b i l i t ya n ds t a t i s t i c s a ss t a t e d b y g e n d e n k oa n dk o l m o g r o v ；t h ee p i s t e m o l o g i c a lv a l u eo ft h et h e o r yo f p r o b a b i l i t yi sr e v e a l e do n l yb yl i m i tt h e o r e m s w i t h o u tl i m i tt h e o r e m si ti s i m p o s s i b l et ou n d e r s t a n dt h er e a lc o n t e n to ft h ep r i m a r yc o n c e p to fa l lo u r s c i e n c e st h e c o n c e p to fp r o b a b i l i t y t h e c l a s s i c a ll i m i tt h e o r e m so f p r o b a b i l i t yt h e o r yf o ri n d e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e sh a db e e nd e v e l o p e d s u c c e s s f u l l yi n19 3 0sa n d1 9 4 0s , a n dt h e ya r et h es i g n i f i c a n ta c h i e v e m e n t s i nt h e p r o g r e s s o f p r o b a b i l i t y i n 19 6 0 s ，t h el i m i tt h e o r e mf o rt h e s e q u e n c e so fi n d e p e n tr a n d o mv a r i a b l e sh a sb e e nw e l le s t a b l i s h e d s i n c e t h e n ，t h el i m i tt h e o r e mf o rm i x i n gs e q u e n c e so fr a n d o mv a r i a b l e sa n d c o r r e l a t e ds e q u e n c eo fr a n d o mv a r i a b l e sh a sb e e ng r e a t l yd e v e l o p e d m a n y c h i n e s er e s e a r c h e r sh a v ec o n t r i b u t e do u t s t a n d i n g l yi nt h i sf i e l d t h e i r i n f l u e n t i a lw o r k sh a v eb e e ni n t e r n a t i o n a lr e c o g n i z e d ( c f 6 6 ，8 0 ，8 4 ，8 8 ，8 9 ， 1 18 ) t h ee n t r o p yt h e o r e mi ni n f o r m a t i o n t h e o r y ，w h i c hi so fc o r ei n t e r s ti n t h i st h e s i s ，i sa l s of r e q u e n t l ya st h es h a n n o n - m c m i l l a nt h e o r e mo ra s y m p t o t i ce q u i p a r t i t i o np r o p e r t y ( a e p ) i ti sf u n d a m e n t a lt h e o r e mi ni n f o r m a t i o n t h e o r yw h i c hl a y st h ef o u n d a m e n t a lt h e o r e mi ni n f o r m a t i t i o nt h e o r y ，w h i c h a l s ol a y st h ef o u n d a t i t i o no fa l m o s ta l lt h ec o d i n gt h e o r e m s t h em o s t r e c e n t l yd e v e l o p m e n to fe n t r o p yt h e o r e mc o u l d0 ef o u n di n 【2 6 r a n d o mf i e l d so nt r e e sa r ea p p l i c a t i o n so nt r e eo ft h e o r yo fs t o c h a s t i c p r o c e s s - - an e wm a t hm o d e l ，w h i c hd e v e l o p e df r o mc o d i n ga n de n c o d i n g i i i o fat r e n d ，w h i c hi st h ei n t e r p e n e t r a t i o no fm a t ha n d p h y s i nr e c e n ty e a r s ，y a n ga n dl i uh a v es t u d i e dt h es t r o n gl a wo fl a r g e n u m b e r sf o r n o n h o m o g e n e o u s m a r k o v c h a i n s ，e n t r o p y t h e o r e m si n i n f o r m a t i o nt h e o r y ，s t r o n gl i m i tt h e o r e mf o ra r b i t r a r ys t o c h a s t i cs e q u e n c e s ， s t r o n gd e v i a t i o nt h e o r e mf o rs e q u e n c e so fd i s c r e t er a n d o mv a r i a b l e sa n d s t r o n gl a wo fl a r g en u m b e r sa n de n t r o p yt h e o r e mf o rm a r k o vc h a i n sf i e l d s o nt r e e sb yu s i n gt h en e wa p p r o a c h e sw h i c ha r ed i f f e r e n tf r o mt r a d i t i o n a l o n e s m a n yp a p e r s h a v eb e e np u b l i s h e di nt h en a t i o n a lj o u m a la n d i n t e r n a t i o n a lj o u r n a l s ( c f 【3 7 6 5 ，7 4 7 5 ，8 1 8 3 ，9 3 11 2 ，11 9 ) m a n yr e s u l t s c a na l s ob e e nf o u n di n b o o k 41 t h i sd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n b a s e do n y a n ga n dl i u sr e s e a r c h ，f u r t h e rs t u d yt h es t r o n gl a wo fl a r g en u m b e r s 、 e n t r o p yt h e o r e m s 、s t r o n gd e v i a t i o nt h e o r e mo fh i g hm a r k o vc h a i n si n d e x e d b yt r e e ，a n de x t e n d sy a n g ，e t c sr e s u l t s t h e r ea r es e v e nc h a p t e r si nt h i sd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n i nc h a p t e r1 ，w eg i v ea ni n t r o d u c t i o no ft h eb a s i cn o t a t i o n s ，m a i n r e s u l t sa n da p p r o c h e su s e di nt h i sp a p e r i nc h a p t e r2 ，w ef i r s ts t u d yal o c a lc o n v e r g e n c et h e o r e mf o raf i n i t e s e c o n do r d e rm a r k o vc h a i ni n d e x e db ya g e n e r a lc a y l e yt r e e a s c o r o l l a r i e s ，w eo b t a i ns o m el i m i tt h e o r e m sf o rt h i sm a r k o vc h a i n f i n a l l y ， w eo b t a i nt h es t r o n gl a wo fl a r g en u m b e r s ( l l n ) a n ds h a n n o n - m c m i l l a n t h e o r e mf o rac l a s so ff i n i t es e c o n do r d e rm a r k o vc h a i ni n d e x e db ya i v a b s t r a c t g e n e r a lc a y l e yt r e e i nc h a p t e r3 ，w es t u d yal o c a lc o n v e r g e n c et h e o r e mf o raf i n i t es e c o n d o r d e rm a r k o vc h a i ni n d e x e db yag e n e r a li n f i n i t et r e ew i t hu n i f o r m l y b o u n d e dd e g r e e a sc o r o l l a r i e s ，w eo b t a i ns o m el i m i tt h e o r e m sf o rt h i s m a r k o vc h a i n f i n a l l y , w eo b t a i nt h es t r o n gl a wo fl a r g en u m b e r s ( l l n ) a n ds h a n n o n m c m i l l a nt h e o r e mf o rac l a s so ff i n i t es e c o n do r d e rm a r k o v c h a i ni n d e x e d b yag e n e r a li n f i n i t et r e ew i t hu n i f o r m l yb o u n d e dd e g r e e i n c h a p e r4 ，w ef i r s ts t u d yac o n v e r g e n c et h e o r e mf o raf i n i t e mt h o r d e rn o n h o m o g e n e o u sm a r k o vc h a i ni n d e x e d b ya n mr o o t e d c a y l e yt r e e a sc o r o l l a r i e s ，w eo b t a i ns o m el i m i tt h e o r e m sf o r t h e f r e q u e n c i e so fo c c u r r e n c eo fs t a t e sf o rt h i sm a r k o vc h a i n f i n a l l y , w e o b t a i nt h es t r o n gl a wo fl a r g en u m b e r sa n ds h a n n o n m c m i l l a nt h e o r e mf o r ac l a s so ff i n i t emt h o r d e rn o n h o m o g e n e o u sm a r k o vc h a i n si n d e x e db ya n mr o o t e dc a y l e yt r e e i nc h a p t e5 ，w ea r et oe s t a b l i s hac l a s so fs t r o n gd e v i a t i o nt h e o r e m s f o rt h er a n d o mf i e l d sr e l a t i v et omt h - o r d e rn o n h o m o g e n e o u sm a r k o v c h a i n si n d e x e db ya nmr o o t e dc a y l e yt r e e a sc o r o l l a r i e s ，w eo b t a i nt h e s t r o n g l a wo f l a r g e n u m b e r sa n ds h a n n o n m c m i l l a nt h e o r e mf o r mt h o r d e rn o n h o m o g e n e o u sm a r k o vc h a i n si n d e x e d b yt h a tt r e e i n c h a p t e r6 ，w es t u d yal i m i tp r o p e r t yo ft h eh a r m o n i cm e a no f r a n d o mp a t hc o n d i t i o n a lp r o b a b i l i t yf o rp a t hp r o c e s si n d e x e db yat r e e a s c o r o l l a r y , w eo b t a i n t h ep r o p e r t i e so ft h eh a r m o n i cm e a no fr a n d o m c o n d i t i o n a l p r o b a b i l i t y o fa s e q u e n c e o fr a n d o mv a r i a b l e sa n da n o n h o m o g e n e o u sm a r k o v c h a i ni n d e x e db yat r e e i nc h a p t e r7 ，w es t u d ys o m el i m i tp r o p e r t i e so ft h eh a r m o n i cm e a no f r a n d o mt r a n s i t i o np r o b a b i l i t yf o ras e c o n d - o r d e rn o n h o m o g e n e o u sm a r k o v c h a i na n dan o n h o m o g e n e o u sm a r k o vc h a i ni n d e x e d b yat r e e a sc o r o l l a r y , w eo b t a i nt h e p r o p e r t y o ft h eh a r m o n i cm e a no fr a n d o mt r a n s i t i o n v p r o b v i 目录 第一章绪论。l 1 1 研究背景及意义1 1 2 基本概念2 1 2 1 条件期望和鞅2 1 2 2 一致可积性4 1 3 树指标马氏链及若干己知结果5 1 3 1 树指标马氏链的标记s 1 3 2 树指标马氏链的若干已知结果1 0 1 4 研究框架1 5 第二章广义c a y l e y 树_ l z 重马氏链上若干极限性质。1 7 2 1 基本概念。1 7 2 2 强极限定理1 8 2 3 若干推论。2 1 2 4 强大数定理和s h a n n o n m c m i l l a n 定理2 3 第三章广义一致有界树上二重马氏链的若干极限性质2 7 3 1 基本概念2 7 3 2 强极限定理2 8 3 3 若干推论“3 0 3 4 强大数定理和s h a n n o n m c m i l l a n 定理3 3 第四章m 根c a y l e y 树m 阶非齐次马氏链的极限性质3 7 4 1 基本概念3 7 4 2 强极限定理。3 8 4 3 强大数定律和s h a n n o n m c m i l l a n 定理4 1 4 _ 4 主要结果证明。4 4 第五章m 根c a y l e y 树上m 阶非齐次马氏链强偏差定理5 1 5 1 基本概念。5 1 5 2 主要结果5 3 第六章树上路径过程随机条件概率的极限性质6 7 v h 江苏大学博士学位论文：树上高阶马氏链的极限性质研究 6 1 基本概念6 7 6 2 主要结论6 8 第七章树上二重非齐次马氏链随机转移概率的极限性质7 3 7 1 基本概念7 3 7 2 主要结论7 4 第八章总结与展望 参考文献。 ! 改谢 攻读博士学位期间的科研成果8 8 v i ! i 绪论 绪论 强极限理论在概率论中占有十分重要的地位二十世纪六十年代以来，继独 立随机变量和序列的极限理论获得完善之后，各种相依随机变量序列强极限理论 有了很大发展，我国学者在这方面做出了许多出色的工作，在国际上有一定影响 ( 见 6 6 ，8 0 ，i1 8 ，8 8 ，8 4 ，8 9 ) 信息论的熵定理也称s h a n n o n - m c m ill a n 定理或信源 的渐近均分割性( a e p ) ，是信息论的基本定理，是各种编码定理的基础，在大偏差 理论中也有重要的作用( 见 7 8 ) ，关于信息论的熵定理的系统介绍( 见 2 6 ) 马氏随机场是马氏过程推广到多维指标情形，由于有广泛的应用前景而受到 物理学、概率论、信息论界的广泛兴趣，它是近年来发展起来的概率论重要分支 之一随机场大致分为格上随机场与树图上随机场，其中重要内容是格上与树图 上的马氏随机场( g i b b s 随机场) ( 参见 2 5 ) 文献 5 给出了树图上马氏链一般定 义关于树图上随机场研究的最新进展见 2 5 ，8 5 ，5 ，6 ，7 3 ，1 1 5 ，1 1 6 ，8 7 ，2 4 ， 1 7 ，7 6 随机场理论的系统介绍也可参见 2 5 文献 1 5 的第一部分系统的研究了齐次马氏链的强大数定律、中心极限定理 及重对数律由于缺乏有效的工具，非齐次马氏链和随机场强极限定理与熵定理 方面的研究一直未取得系统性突破近年来，杨卫国教授与已故刘文教授合作， 采用与传统方法不同的研究方法( 见 3 7 ) ，在非齐次马氏链强大数定律、信息论 熵定理、任意随机变量序列的强极限定理、任意离散随机变量序列的强偏差定理、 树图上马氏链场的强大数定律与熵定理等方面进行了一系列研究，在国内外重要 学术刊物上发表了一系列论文，其中部分结果已总结在专著 4 1 中 通常认为研究树图上随机场的强极限定理是十分困难的树图上马氏随机场 的强大数定律及具有g e 收敛性的熵定理是一个没有解决的公开问题，甚至对最简 单马氏随机场一i s i n g 模型，这方面问题也没有解决由于树图上马氏随机场与树 图上马氏链密切相关( 参见 2 5 ，p 2 3 8 ) ，本人希望7 i ，、后在这方面的研究有所突破 另外，树指标平稳随机过程的强大数定律及熵定理也是一个值得研究的问题 本博士论文采用已故刘文教授提出的，后被杨卫国教授与其合作者不断发展 江苏大学博士学位论文：树上高阶马氏链的极f 艮出贡研究 的研究概率论强极限定理的新方法该方法的要点是通过构造含参数的似然比或 鞅，利用似然比几乎处处收敛或鞅收敛定理来证明某些极限几乎处处存在本文作 者用这种方法成功的研究了树图上有限高阶马氏链的强大数定律及熵定理，而强 偏差定理是这种方法特有的结果本博士论文采用的研究概率论强极限定理的新 方法，是与传统方法不同的利用该方法开展的马氏随机场强极限定理及强偏差定 理的研究，本文作者认为这是传统方法不易做到的由于树图是不可控群，用传统 方法研究树指标随机过程的强极限定理是十分困难的，对于研究树图上马氏链的 强大数定律与熵定理，传统方法甚至没有办法给出满足强大数定律与熵定理的矩 条件同时将信息论的概念与概率论的定理结合起来进行研究是本博士论文的特 色 1 2 基本概念 1 2 1条件期望和鞅 定义1 2 1 设( q ，厂，p ) 为一概率空间，占为厂的子仃一代数，设x 为数学 期望存在的随机变量，即m i n e x + , e x 一 o 。定义d 如下： v ( a ) = i x d p ，a 尸， j 则d 为广义测度，且d 关于p 绝对连续，即p 棚，则x 的期望存在，且e 【x 。f f 】个e 【xl s 】n e ( 2 ) 设x 。上x ，a 七r e x 。】 - o o ，且对每个刀1 ，有x 。】，口以，则唧l l f x 。 的期望存在，且有 e 【l i i n i n f j 乙i 占】i i m i n f e x 。i 占】，口幺 ( 2 ) 若存在随机变量y ，使e 【y 】 o o ，且对每个n 1 ，有x 。y 口以，则l i r a s u p x 。的 n 期望存在，且有 e 1 i m s u p x 。is 】l i r a s u p e x 。ls 】，口巴 耳 引理1 2 5 ( 控制收敛定理) 设x 。丝一x ( 相应地x 。与x ) ，若存在非 负可积随机变量y ，使ix 。庠l ，口乜，则x 可积，且有l i m e x 。if 】- e 【xis 】a , e ( 相 3 江苏大学博士学位论文：树上高阶马氏链的极限 生质研究 应地研x 。i 占】与研xig 】) 定义1 2 6 设 x 。，石，刀0 为随机适应序列，如果每个x 。都可积 e x 榭i 巧】_ x 。( o 为一非负p 上鞅 引理1 2 8 ( d o o b 鞅收敛定理) 设 x 。，n o 为一上鞅， 如果 s u p e x ；】 o 。( 或等价的s u p e ix 。i 】 0 ，使当a 厂，rp ( a ) 万，有 s u pi i f i 卯 4 一个树图g = 丁，e 是一个没有回路的连通图对于任意两个顶点x y t ， 设叫是连接x 与少的唯一路径，路径叫中含有的边数记为d ( 而y ) ，称为x 至l j y 的 距离本文的树是指无限的，局部有限的连通图，且有一个根点，图上没有连通 的圈，且考虑的树都是没有叶子( 叶子是指只有一个相邻顶点的顶点) 我们首先 选定一个顶点作为根顶点( 简称根) ，并记为0 设仃，f 为树的两个顶点，如果f 位 于连接d 到盯的唯一路径上，则记f ，且记h 为这条路径上的顶点数对任意 的两个顶点o r ，f ，记盯 f 为两者中满足o r a f 伊且仃 f f 且离0 最远的顶点 如果盯o ，则我们称盯为仃的子顶点，且盯盯且i - i = 1 0 - 1 如果i o r i = 以， 我们称之为在树r 的第n 层上记r ( ”) 为丁的子图，它包含了从0 层到第n 层的所 有顶点，记。为第刀层上的所有顶点记s ( 仃) 为顶点仃的所有子顶点 若树丁上的每个顶点都有+ 1 个相邻的顶点，则我们称之为b e t h e 树，记作 同时本文也讨论的另一种树铆姆树，记作砭在毛上，根顶点有 个相邻顶点，而其他顶点有+ 1 个相邻顶点，即所有c a y l 缈树的顶点都有个子 顶点当n = 1 ，即砭。= n o 时即为非负整数序列瓦和乏都称为齐次树容易 看出，如果丁是b e t h e 树，则i s ( d ) j = + 1 i s ( 盯) i = np d ) 如果z 是c a y l 缈树， 则i s ( o - ) i = n 若树上的每个顶点的相邻的顶点数目是一致有界的，则称r 为一致 有界树 设5 为有限或可列集，丁为b e t h e 树t b ，q = s r ，厂为q 中所有有限维柱 5 江苏大学博士学位论文：树上高阶马氏链的极f 艮1 1 蝣研究 集全体生成的盯代数我们定义( q ，刀上随机过程如下：对于任何 m = q ，t 丁 q ，令x ， ) = q 设为可测空间( q ，一上的概率测度，我们 也称为随机场设g 为r 的图自同构变换( g r a p h a u t o m o r p h i s m ) 群，( 即对于任 意的g ，为丁到r 的双射变换，并且矽( x ) 与矽( y ) 为相邻顶点当且仅当x 与y 为 相邻顶点) 对于任意的g ，我们自然可以定义q 到q 一可测变换( a c t i o n ) 乃 如下：设矽将丁中的顶点f 变为( f ) ，对任意的国= q ，t r eq ，令 【乃 ) 】，= q t ( o 设是( q ，门上的随机场，如果对任意g ，q 任意的有限 维柱集a ，有l ( a ) = 从乃 ) ，缈a ) ，则称为g 不变的设b 厂，如果对任 意矽g 有乃p ) = b ，其中乃p ) = 乃 ) ，彩曰 ，则称曰为g 不变集 由于磊是二分图，我们可以把瓦 中的顶点集分成两个等价类，其中口与等 价当且仅当口与之间的距离为偶数，我们分别称这两类为e v e n s 和o d d s 显然 当口与之间的距离为奇数时，口与属于不同的类 设p p g 为丁中保持顶点类不变的图自同构变换群，对于任意的矽p p g ，类 似地可以定义q 到q 可测变换( a c t i o n ) 死，设是( q ，厂) 上的随机场，如果对任 意矽p 尸g ，q 任意的有限维柱集a ，有1 2 ( a ) = 乃 ) ，缈a ，则称为p p g 不 变的类似地可以定义p p g 不变集和p p g 遍历 设( q ，厂) 为可测空间， x 盯，仃t 是定义在( q 厂) 上且取值于 s = o ，1 ，2 ，b - 1 ) ( 6 是正整数) 的随机变量族，是可测空间( q ，厂) 上的概率测度 我们称为树z 上的随机场 记 以，盯t 在下的分布为 x 一町= z 一町) = ( z 一町) 设后，es ，最( 后，国) ( 简记为 ) ) 是x 一”= 以，盯丁月) 中k 的个数， s 。( 七，f ，缈) ( 简记为最( 七，是随机变量序偶 ( x o ，置) ，f 厶，( t ，t ) ，o e 厶，f s ( 仃) ，l 1 ) 为一列正的随机变量设 e ( 国) = e g ( k ，x ，) ， q ( 缈) = e e ( g ( 以，t ) l k ) 记 a = 国：。l i + m 。a n = o 1 i m 。s 。u p l g ( 缈， 1 ) 为一列正的随机变量设 以( 缈) = ( 置，五) ， g ( ) = 萋，町岛( 五，五) i 五， t e t ( “) f d ， 。 。 记 曰= 国：。l i m 。a n = ) ， 一卜翟屯m e 9 2 f ( 矽i g f ( 巩墨。 = m ( e o ) o 且p ( y i 力为正的随机矩阵，“，p 为( q ，厂) 上两个概率测 度，且 置，te t 在概率测度p 下为树指标马氏链令 咖，= 鹣， 砸) - 警p 南1 n 纯 ( 1 3 1 1 ) 缈( 缈) 称为渐进对数似然比 定理1 3 1 2 ( 见 3 9 ) 设与口：是( q ，厂) 上的两个概率测度，d 厂， 饥，l q 是一列正值随机变量，使得 唧南地叫彻， 则 - i m s u p l 吒h 器o ，”栅 定理1 3 1 3 ( 见 3 9 ) 设z f 为可测空间( q ，厂) 下概率测度，缈 ) 如( 1 3 11 ) 1 3 江苏大学博士学位论文：