（概率论与数理统计专业论文）模糊数的排序及多准则模糊决策的vague集方法.pdf

摘要 在模糊环境下的决策分析中，决策者通常要对模糊数进行比较和判别模糊数的 排序不是通常意义下的全序关系，而是格结构下的偏序关系，因而关于模糊数的排序 理论和方法就成为模糊决策问题的重要而艰难的任务之一与模糊集相比较，v a g u e 集 能表达内容更为丰富的模糊性信息本文主要对模糊数的排序和v a g u e 集在多准则决 策中的应用作了较为深入的研究 首先，介绍了模糊数和v a g u e 集的概念及基本运算性质对模糊数排序的经典方 法作了简要的介绍，同时提出两种模糊数排序的新方法：一种是将模糊数的截集确定 的一个三角形的面积作为截集( 区间) 的测度，利用此测度的积分构造了一种模糊数排 序指标，给出了排序算法；另一种是基于模糊数中心的排序方法，并研究了模糊数排序 的一些性质最后用实例与已有的排序指标进行比较，体现出新指标的优越性 其次，介绍了模糊条件下多准则决策问题的v a g u e 集方法，指出了采用v a g u e 集进 行多准则模糊决策的现有记分函数的不足根据v a g u e 集隶属度、非隶属度的之间的 大小关系，对由v a g u e 值组成的集合进行划分，提出新的记分函数法以及加权记分函 数法并用v a g u e 集描述方案关于准则集的满足程度与不满足程度，即准则的权重也 由v a g u e 集表示这种方法为决策者做出最优决策提供了一种方便有效的方法 关键词：模糊集，模糊数，排序，多准则模糊决策，v a g u e 集，记分函数 a b s t r a c t i nt h ed e c i s i o na n a l y s i so ft h ef u z z ye n v i r o n m e n t ，f u z z yn u m b e r sn e e dt ob ec o m p a r e d a n dd i s c r i m i n a t e db yd e c i s i o n m a k e r s r a n k i n gf u z z yn u m b e r si sn o tt h et o t a lo r d e rr e l a t i o n s u n d e rt h eo r d i n a r ym e a n i n g ，b u tt h ep a r t i a lo r d e ru n d e rt h el a t t i c es t r u c t u r e t h u st h er a n k i n g t h e o r i e sa n dm e t h o d so ff u z z yn u m b e r sb e c o m eo n eo ft h ei m p o r t a n ta n dd i f f i c u l tt a s ko f f u z z yd e c i s i o np r o b l e m s h o w e v e r , c o m p a r e dw i t hf u z z ys e t s ，v a g u es e t sc a ne x p r e s sm o r e a b u n d a n tf u z z yi n f o r m a t i o n t h er a n k i n gf u z z yn u m b e r sa n dt h ev a g u es e t si nt h ea p p l i c a t i o n o fm u l t i c r i t e r i ad e c i s i o n m a k i n gh a v eb e e nr e s e a r c h e dt h o r o u g h l yi nt h i sp a p e r f i r s t l y ，t h eb a s i cc o n c e p t sa n d t h eo p e r a t i o np r o p e r t i e so fv a g u es e t sa n df u z z yn u m b e r s a l ei n t r o d u c e d t h e n ，w ep r e s e n tt h ec l a s s i cm e t h o d so fr a n k i n gf u z z yn u m b e r sa n dp r o p o s e t w on e wm e t h o d s ：o n ei st h a tt h ea r e ao fat r i a n g l e ，w h i c hi sd e t e r m i n e db yt h ec u ts e to f f u z z yn u m b e r s ，i se m p l o y e da st h em e a s u r eo f c u ts e t ( i n t e r v a l ) ai n d e xa n da l g o r i t h mo f r a n k i n gf u z z yn u m b e r sa r ec o n s t r u c t e du s i n gt h ei n t e g r a lo ft h i sm e a s u r e ；t h eo t h e ro n ei s t h a tai n d e xo fr a n k i n gf u z z yn u m b e r sb a s e do nt h ec e n t r o i di sp r o p o s e da n d s o m ep r o p e r t i e s o fr a n k i n gf u z z yn u m b e r sa r es t u d i e d a tl a s t , t h i sp a p e ru s e ds o m ec o m p a r a t i v ee x a m p l e s t oi l l u s t r a t et h ea d v a n t a g e so ft h ep r o p o s e di n d e x s e c o n d l y , t h ev a g u es e tm e t h o d so ft h ef u z z ym u l t i - c r i t e r i ad e c i s i o n m a k i n gp r o b l e m s a 陀i n t r o d u c e du n d e rt h ef u z z yc o n d i t i o n sa n dt h es h o r t a g eo fe x i s t e ds c o r ef u n c t i o nf o r t h e m u l t i - c r i t e r i af u z z yd e c i s i o nm a k i n gi s s u eo ft h ef u z z ye n v i r o n m e n ta l ep o i n t e d a c c o r d i n g t ot h es i z eo ft h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nm e m b e r s h i pa n dn o n m e m b e r s h i po fv a g u es e t s ，t h e s e t st h a ta r em a d eo fv a g u ev a l u ea l ed i v i d e da n dn e wm e t h o d sa r ep r o v i d e d t h e ya l ec a l l e d s c o r ef u n c t i o nm e t h o da n dw e i g h t e ds c o r ef u n c t i o nm e t h o d t h ew e i g h to fc r i t e r i ai sa l s o d e n o t e db yv a g u es e t t h i sm e t h o dp r o v i d eae f f e c t i v et o o lf o rd e c i s i o n m a k e r s k e yw o r d s ：f u z z ys e t ，f u z z yn u m b e r s ，r a n k ，m u l t i - c r i t e r i af u z z yd e c i s i o nm a k i n g ， v a g u es e t ，s c o r ef u n c t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：鞑时间：蜥r 月冶日 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复 制手段保存、汇编学位论文。同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传 播学位论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 研究生签名：聋璺垄人 导师签名：鳓 时 间：冽9 年5 月穆日 时 间：咖年r 月d 日 第一章引言 本章首先介绍了模糊( f u z z y ) 集理论的基本内容以及模糊数排序问题的发展现状和应用前景： 之后又简略介绍了v a g u e 集理论的基本内容及研究进展：最后概述了本文主要工作与内容安排 1 1 模糊数学概述 数学的发展是阶段性的经典集合论只能把自己的表现力限制在那些有明确外延的概念和 事物上。它明确地限定：每个集合都必须由明确的元素构成，元素对集合的隶属关系必须是明确 的，不能模棱两可对于那些外延不分明的概念和事物，经典集合论却无法反映模糊数学理论是近 四十年发展起来的一门新的数学理论，亦是一项新的数学工具，是继经典数学、统计数学之后的 又一新发展为其做出奠基性贡献的是美国控制论专家l a z a d e h ，他于1 9 6 5 年在i n f o r m a t i o na n d c o n t r o l 杂志上发表著名论文( f u z z ys e t s ) ，提出模糊集概念，奠定了模糊性理论的基础 与其他学科一样，模糊数学也是由于实践的需要而产生的模糊概念( 或现象) 处处存在例 如，在日常生活中的厚、薄，快、慢，大、小，长、短等都含有模糊现象，在生命科学、经济管理领 域中模糊现象也很常见，如感冒、胃病、高产作物、低产作物、早熟型小麦及红壤、黄壤、棕壤 等都是模糊概念而当代科技发展的趋势之一，就是各个学科领域都要求定量化、数学化，当然也 迫切要求将模糊概念定量化、数学化，这就促使人们必须寻找一种研究和处理模糊概念的数学方 法 众所周知，经典数学是以精确性为主的然而，与精确性相悖的模糊性并不是消极的、没有价 值的甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还要好例如，要你在某日上午1 0 时到本校门口去迎 接一个“大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”尽管这里只提供了一个精确信息一男 人，而其他信息一大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都是模糊概念，但是，你将这 些模糊概念经过头脑的综合分析判断，就可以接到这个人，如果这个问题要利用计算机精确地来处 理，那么就要求将此人的准确年龄和身高，胡子、头发的准确长度与根数，眼镜的边宽厘米数，黑色 金属的程度等一一输入计算机，才可以找到此人由此可见太精确了未必一定是好事对于这种模 糊性存在的主要原冈是：人类对事物的特征无法给出一个截然的界限：另外，在实践生活中人们对 事物的评价不需要作出精确的回答扎德教授曾指出：事物的复杂性与其精确性是矛盾的，这就是 著名的z a d e h 不相容理论【l j 但模糊数学决不是把数学变成模模糊糊的学科，它也具有数学的共性：条理分明、一丝不苟 即使描述模糊概念，也会描述得清清楚楚由扎德教授创立的模糊数学是继经典数学、统计数学之 后的一个新发展统计数学将数学的应用范围从必然现象领域扩大到偶然现象领域。模糊数学则把 数学的应用范围从精确现象扩大到模糊现象的领域 1 2 模糊数的排序及应用 在模糊决策中，模糊数常被用于对备择对象的性能进行构模。于是备择对象的选择或排序则 最终归结为模糊数的排序问题例如：在多准则决策分析中，设a l ，a 2 。a n 是n 个备择对象， j 。2j 、。；j | h j ，论乏销节t i苦 c l ，q ，岛是决策所依据的准则，则一个多准则决策问题可通过下列矩阵来描述： 1 1 ： l r 1 2 r ，n 2 r l n n t l 其中，r j 表示a 相对于g 的估值，为反映各准则的重要性，令屿表示g 的权重已知这些信 息，目前有多种方法求得每个a t 总体性能的估值例如，简单加权平均就是一种常用的方法，在这 种方法中a 总体估值计算为忍= 翌1 n ，( t = l ，2 ，n ) 通过对数r l r 2 ，忍的比较，就 可以对a l ，a 2 ，a n 进行选择或排序但在实际问题中，由于系统的复杂性，所获得的数据的不 完全性以及人的思维能力的模糊性等原冈，n ，或有时很难给出精确值当所获得的数据不精 确时，我们可以用模糊量特别是模糊数来对n f 或进行构模，于是得到模糊加权平均模型在 模型中，模糊量的代数运算通过扩展原理来定义通过计算，a l ，a 2 ，a n 的性能估值r l ，飓， 仍为模糊量，由于模糊量已无自然序，所以需要寻找合适的方法去确定冗l r 2 ，的序 关系，最终得到备择对象a 1 ，a 2 ，a n 的排序，这就是模糊量的排序问题【2 1 此外，模糊量排序问题在模糊决策树中对效用的比较，模糊层次分析法中对权重的排序，模糊 群决策中对备择对象的排序，模糊线性规划中构模不等式等问题上都有广泛应用而事实上，只要 涉及到模糊量构模，都会最终牵涉到模糊量的研究因此模糊量排序问题对于研究模糊优化、模糊 决策等问题具有十分重要的意义 1 3v a g u e 集的理论背景 自从1 9 世纪末德国著名的数学家康托( g c a n t o r ) 创立集合论以来，在一百多年的时间里，集 合论已经成为数学中不可缺少的基本的描述工具，集合也己成为数学中最为基本的概念之一经典 集合论对数学的发展起了巨大推动作用，是现代数学各个分支的基础在经典的集合论体系中，集 合有着非常明确的边界，论域中的元素关于任何集合的隶属情况只有“是”或“否”两种情况因 此，可以用取值范围为 o ，1 ) 的隶属度函数来描述一个集合但是，客观世界中有很多概念是模糊 不清的。无法精确描述，如“高个子”、“老年”、“青年”等概念，经典集合论显然无能为力1 9 6 5 年 扎德( l a z a d e h ) 等对这种模糊性问题进行研究提出了模糊集合理论( f u z z ys e tt h e o r y ) 模糊集理 论最基本的特征是：承认差异的中介过渡，也就是承认渐变的隶属关系，即一个f u z z y 集a 是满足 某个( 或几个) 性质的一类对象，每个对象都有一个互不相同的隶属于a 的程度，他们是把经典集 合论隶属函数的取值范围从 0 ，1 ) 扩展剑闭区间【0 ，1 】，这样论域中的元素相对于集合的隶属程度 再也不是非此即彼的0 和l ，而是可以取【0 ，1 】中的任意实数从此，集合的边界再也不是原来那么 分明后来，一些科研人员在研究类似“投票模型”的决策问题时发现f u z z y 集理论存在一个严重 的弊病，就是报喜不报忧，即它只考虑赞成票也就是支持证据，而不考虑反对票即反对证据为弥 补这种不足，1 9 9 3 年g a u 和b u e h r e r 提出v a g u e 集理论【3 】，它是z a d e h 模糊集的种推广与改进， 与a t a n a s s o v 4 提出的直觉模糊集( i n t u i t i o n i s t i cf u z z ys e t s ) 在处理不精确数据的描述方面具有相 似的表达能力，但它的形式更为简洁、物理意义更明确且易于被人们所理解它的主要思想是采 用真、假隶属函数来分别刻画论域中元素隶属于或不隶属于一个集合的程度v a g u e 集理论是在 f u z z y 集理论只有一个真隶属函数的基础上增加了一个假隶属函数v a g u e 集相比f u z z y 集是一种 2 。j ：疆j 、帧i 。f j 沦乏锄一q -，j i占 更加符合人们思维的新型理论，其特点是同时考虑隶属l j t f 隶属两方面的信息，这使得v a g u e 集在 处理不确定信息时比传统的模糊集有更强的表现能力且更具灵活性，对于数据本身未知性的描述 也更有效f u z z y 集和v a g u e 集都是边界不确定性集合，v a g u e 集本质仍为f u z z y 集 1 4 研究目的及意义 在决策分析中，决策者往往会面临在众多的决策事物中作出选择的情形由于模糊环境下的 决策对象常被表示为一系列的模糊数，因此，对于模糊数之间的比较及其排序问题的研究有着重要 的理论意义与实用价值本文研究的目的就是要找到一种较合理的模糊数的排序方法，并将其应用 到实际问题中自从十九世纪末，c a n t o r 首创集合论以来，集合论迅速渗透到数学各个分支，成为基 础数学1 9 6 5 年美国控制论专家z a d e h 第一次提出了f u z z y 集概念，给c a n t o r 集合理论作了有益 的推广，受到j l 泛的重视，迄今已形成了较为完善的数学分支，并且在很多领域中获得了卓有成效 的应用1 9 7 6 年r j a i n 在解决模糊决策问题中首次提出一种模糊数排序方法从此以后，许多学者 对模糊数的排序进行了深入的研究，并取得不少成果，目前有关此类问题的研究已逐渐引起了人们 的重视要求排序的领域也越来越广泛，专门讨论排序的文章也越来越多，比如：模糊决策树中对效 用的比较，模糊层次分析法中对权重的排序，模糊线性规划中构模不等式，以及在模糊矩阵对策甚 至医疗方面都能找到它的应用 另一方面，在决策过程中，由于受决策者知识结构、判断水平和个人经验等众多因素的影响， 再加上事物本身的模糊性和不确定性，不同决策者对同一问题往往会给出不同的偏好形式，甚至同 一决策者对同一问题在不同时期也会给出不同的偏好形式在将各决策者的偏好汇成一个总的群 体偏好时，集结算子的选择和表示也是当今学者们研究的重点因此，如何恰当地表示决策者的偏 好，如何更好地集结决策的信息，直接影响到决策者的效率和质量v a g u e 集同模糊集、粗糙集、 灰色集等一样是描述现实世界中模糊和不确定现象的有力工具之一v a g u e 集的特点是同时考虑 隶属和非隶属两方面的信息如果用投票模型来解释的话，即在投票过程中，同时考虑支持、反对 和弃权三部分的信息，这使得v a g u e 集能更好地表示决策者的偏好信息目前，市场竞争日益加剧， 关键信息难以精确把握，如何在不确定的环境下作出正确的决策，关系到企业能否把握机遇，赢得 竞争优势因此，研究基于v a g u e 集理论的决策方法具有较好的理论意义和应用价值本文另一个 目的就是给出一种较合理的记分函数对v a g u e 集进行排序，并将其应用到实际问题中 1 5 主要成果和内容组织 本文的研究主要包括两个方面的内容：一方面主要是在模糊集理论的基础上，对模糊数的捧 序进行了讨论，一种是以模糊数的截集为基础，提出了基于三角形面积的模糊数的排序方法，另一 种是以模糊数的中心为基础，提出基于中心的模糊数排序方法，并研究了它的一些性质这两种 方法都能够有效的弥补以往用此类方法排序所存在的不足；另一方面，在v a g u e 集理论的基础上， 提出了一种新的v a g u e 集( 值) 间的排序方法，研究了它的一些性质并给出了多准则模糊决策的 v a g u e 集新方法，算例表明该方法的有效性和实用性 本文共分五章 第一章：引言，主要对模糊数学进行了概述，阐述了模糊量排序问题的产生及他在模糊优化、 3 j ：岖j 、。学t 1 j f ? i 沦之 旅争- j i，i 模糊决策中的重要意义，并介纠了v a g u e 集的理论背景及本文的研究内容和组织结构 第二章：详细介绍了模糊集的基本概念、基本定理，模糊数的理论背景和基本概念及v a g u e 集的基本概念和v a g u e 集理论的研究进展，并描述了它们的主要运算性质 第三章：主要介绍了模糊数排序方法的分类和模糊数的经典排序方法，并提出了两种新的排 序方法。即以截集为基础的基于三角形面积的排序方法和以模糊数中心为基础的排序方法，将新的 排序方法与现有的排序方法进行了比较 第四章：主要介绍了v a g u e 集( 值) 的排序方法，提出了一种新的v a g u e 集( 值) 间的排序方法， 并将其应用到多准则模糊决策方法中 第五章：对论文t 作进行了总结，对后续研究进行了展望 4 j ：迎j 、一帧i + j 化论| 迁讹争修r 伍jv a g u ef ：删i f - 渺j 生 皇詈皇! 皇! ! ! ! ! ! ! ! 苎! 皇曼鼍苎! ! 詈! ! ! ! ! 曼! 鼍! 鼍! ! 詈! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 。 ii i = i ! ! ! 曼巴 第二章模糊集与v a g u e 集理论概述 美国控制论专家z a d e h 于1 9 6 5 年将经典集合论里特征函数的取值范围由 o ，1 ) 推广到闭区 间【0 ，1 】，提出f u z z y 集理论f u z z y 集理论在模糊控制、模糊专家系统、模糊决策支持系统等智 能系统中处理由模糊性引起的不确定性问题起到了较好的作用v a g u e 集理论是处理模糊信息的 一种新的集合理论，是模糊集合理论的推广与完善，本质上仍是模糊集本章介绍了模糊集、模糊 数、v a g u e 集的基本概念、性质以及有关的运算规则 2 1 模糊集理论 2 1 1 模糊集的基本概念 设x 为论域，对于x 的一个子集a ，空间x 中任一元素z ，要么z a ，要么z a ，二者居 其一这一特征可用一个函数表示为 x a c z ，= 三：二主三： x a ( z ) 为集合a 的特征函数将特征函数推广到隶属函数，在经典集合中只取0 ，1 两值，推广到模 糊集中可取区间【o ，1 】中的所有实数 5 1 定义2 1 1 设论域x 到【0 ，1 】闭区间上的任意映射 p a ：xh 【0 ，1 】， z h p a ( z ) 确定了x 上的一个模糊( f u z z y ) 集a ，p ( z ) 称为a 的隶属函数( 或称为z 对a 的隶属度) ，使 p a ( z ) = 0 5 的点称为a 的过渡点，此时该点最具模糊性 这样，对于论域x 上的一个对象z 和x 上的一个模糊集合a 这里不能简单地判断z 是属于 还是不属于a ，e p ：不能简单地说z 具有还是不具有集合a 所代表的性质只能说z 在多大程度上 属于集合a ( 具有集合a 的性质) ，i u a ( x ) 只是属于集合a 的程度的度量 由定义可以看出模糊集a 是由隶属函数“a ( z ) 唯一确定的，以后总是把模糊集a 与隶属函数 p a ( z ) 看成是等同的还应指出，隶属度的思想是模糊数学的基本思想当p a ( z ) 的值域为 o ，1 时，模糊集a 就是经典集合，而p a 缸) 就是它的特征函数可见经典集合是模糊集的特殊情形 模糊集a 有各种不同的表示方法： 一般情形下，可表示为 a = ( z ，肛a ( z ) ) l z x ) 5 如果x 是有限集或可数集，即x = x , 1 ，x 2 ，z n ) ，可表示为 或表示为向量 a = u a c = d x i ， a = ( p a ( z 1 ) ，u a ( x 2 ) ， i a ( x n ) ) 如果x 是无限不可数集，可表示为 ， a = p a ( z ) z ， ， z e x 式中厂，不是通常的分数线，只是一种记号，它表示论域x 上的元素z 与隶属度p a ) 之间的对 应关系；符号“”及“厂”也不是通常意义下的求和与积分，都只是表示x 上的元素z 与其隶属度 p a ( z ) 的对应关系的一个总括 现实生活和多数研究领域中很多事物之间是不能截然分开的，通常都存在着由此及彼的过渡 过程所以模糊集理论中集合的边界是不清晰的，对人们显示生活中大量使用的一些含义确定但 不准确的语言表达，模糊数学可以较好地表示因此，模糊数学的产生，为人类处理模糊性和不确 定性信息提供了一个强有力的工具，使人类从此可以用结构化和公式化的数学手段处理边界不确 定的信息，从而在模糊环境中做出正确的决策事实上，模糊集的理论符合人类的认知方式人类 的大脑正是基于模糊规则进行判断、推理和决策的 由于模糊集中没有点和集之间的绝对属于关系，所以模糊集运算的定义只能由隶属函数之间 的关系来确定下面用f ( x ) 表示论域x 上的全体模糊集。给出模糊集常见的运算及性质【5 】： 定义2 1 2 设a ，b f ( x ) ， 如果比x ，卢a ( z ) b ( z ) ，则称b 包含a ，记作：a b ： 如果a b 且b a ，则称a 与b 相等，记作：a = b 定义2 1 3 设a ，b f ( x ) ，则定义 ( d 并集：p ( a u m ( x ) = m a x p a ( z ) ，弘b ( z ) ) = p a ( z ) vu s ( x ) ，v x x ： 交集：p ( a n m ( x ) = m i n p a ( z ) ，p b ( z ) ) = = p a ( z ) ap b ( z ) ，、，z x ； 补集或余集：p ( a 。) ( z ) = l p a ( z ) ，比x 定理2 1 1 设a ，b ，c f ( x ) ，则f ( x ) 上的u ，o ，c 运算具有下列运算规律： ( 1 ) 幂等律：aua = a ，ana = a ； ( 2 ) 交换律：a u b = b u a ，a n b = b n a ： ( 3 ) 结合律：au ( buc ) = ( aub ) t jc ，an ( bnc ) = ( anb ) nc ； ( 4 ) 分配律：au ( bnc ) = ( aob ) o ( auc ) ，an ( b u c ) = ( a nb ) u ( anc ) ； ( 5 ) 吸收律：au ( bna ) = a ，an ( bua ) = 诅； ( 6 ) 复原律：( a 。) c 4 ( 7 ) 0 - 1 律：au 咖= a ，an 西- - - 妒；aux = x ，anx = a ； ( 8 ) 对偶律：( a u b ) 。= a c n b 。，( a u b ) 。= a 。n b 。 6 2 1 2 模糊集的基本定理 分解定理、表现定理和扩张原理是模糊集的三个基本定理分解定理把模糊集合转化为普通 集合，并说明一个模糊集可以由它自己分解出的集合套来表示表现定理说明任给一个集合套都 能表示一个模糊集扩张原理则把普通集合的分析方法引申到模糊集合之中下面分别予以介绍 首先介绍截集和集合套的概念【5 】 定义2 1 4 设a f ( x ) ，q 【0 ，l 】，称集合 a 口= z x f p a ( z ) o ) 为模糊集a 的q 一截集，q 为置信水平( 阈值) ；称集合 a 矗= z 义i p a ( z ) a ) 为a 的一个q 一强截集 由定义可知a a 是一个经典集合对比x ，当i 【a ( x ) a 时，就说z 厶，意即在入水平上， z 属于模糊集a ：当i 比a ( x ) o 为a 的支集，记s u p p a ；s u p p a k e r a 称为a 的边界 定义2 1 5 若集值映射 日：【o ，l 】一f ( x ) ， qh 日( q ) ， 满足 v a l ，q 2 【0 ，l 】，a l q 2 号h ( a 1 ) 日( q 2 ) ， 则称日为x 上的集合套 定理2 1 2 ( 分解定理i ) 设a 是论域x 上的模糊子集，a q 是a 的。一截集，q 【0 ，l 】则 a = u a a a ， a e o ，1 j 其中a a 。是常数与普通集合的数量积，它们构成x 上的一个特殊的模糊集，其隶属函数被定义为 m 如，= 毒：主0 注：定理2 1 2 中a 的n 一截集a 口换成强截集a a 也成立 7 j 二钽j 、! j 。f j 沦之第昂。 ( ! 胡t f 、jv a l m ct j 、j 1 j l i 分_ ，j 生 ! - m 。mmm m。 m ! ! ! ! ! ! ! ! ! 定理2 1 3 ( 分解定理i i )设a f ( x ) ，若存在集合值映射 h ：【0 ，l 】一f ( x ) ， qh 日 ) ， 使得【0 ，l 】，a dg 日( q ) a a ，则 a = ua 玩； o 【o ，l 】 1 ，0 2 【0 ，1 】，a l ”，则称a 是严格凸模糊集 定理2 1 4 a 是凸模糊集，当且仅当【o ，1 】，截集a a 为凸集 定理2 1 5 ( 表现定理) 设日是x 上集合套，则 u 以 a e o ，1 】 是x 上的一个模糊集，记作a 并且枞，口【0 ，1 】： a a = n 日( a ) o t o ； a a 定义2 , 1 7 设a i f ( 五) ( i = l ，2 ，n ) ，a l ，a 2 ，a n 的直积为 a t a 2 a n = ；垒l r l ，p 。( ) ( z ，z 2 ，z n ) ， x lx x 2 x x ” 且a i a 2 a 。f ( x 1 ) f ( x 2 ) f ( x n ) ，其中 x 1 x 2x x - 0 = ( z l ，x 2 ，x n ) i z t j 已，i n ) 显然。直积集的隶属函数为 p ( a lx a 2 x x a n ) ( z 1 ，2 2 ，z n ) = i 圣lp 。( z i ) 定理2 1 6 ( 扩张原理) 设映射：x lxx 2 矗一y ，由，可诱导出映射 ，：f ( x 1 ) f ( x 2 ) f ( 矗) 一f ( y ) ， 8 对于a i f ( x i ) ( i = 1 ，2 ，n ) ，有 ，( a 。a 2 a n ) ( 可) ： ，( 霉。，霉。_ ，霉。) ：掣( ；： g a , ( a t i ) ) ，一1 ( ) ， 1 0 ， i - i ( 矽) = 这里f - i ( ! ，) 是f 的逆映射 当他= i 时，定理2 1 6 给出的扩张原理可简化为 ，( a ) ( 秽) ： ，( 霉v ) ：v p a ( x ) ，一1 ( 秒) ， 1 0 ， 1 - 1 ( ! ) = 。 2 1 3 模糊数的理论背景 众所周知，实数理论是经典分析学的基础同样，模糊数理论也是模糊分析学的基础关于模 糊数的研究，最早可追溯到1 9 7 2 年c h a n g 和z a d e h 的工作他们将实数域r 上的一类具有与概率 分布函数类似性质的模糊集称为模糊数【6 1 其后，m i z u m o t o 和t a n n k a l 7 、n a h m i a s l s l 、d u b o i s 和 p r a d e 9 ，l o 】等对模糊数的性质，特别是代数性质进行了研究随着对模糊数各种性质的深入讨论，特 别是在研究建立模糊数的微分和积分理论时，人们越来越多的将模糊数与区间分析和集值映射联 系起来，并逐步形成了竹维欧氏空间p 上模糊数的概念 设五p 是j 沙上的模糊集合全体，a 至严，若a 满足：( 1 ) a 是一个正规模糊集；( 2 ) a 是凸模 糊集；( 3 ) a 是上半连续的；( 4 ) a 的支集s u p p ( a ) 的闭包是紧集则称a 为n 维模糊数，简称模 糊数，模糊数的全体称为模糊数空间，记为上严 关于模糊数空间e 1 的序结构，首先是由n a n d a b l l 研究的1 9 8 9 年。他利用区间数的偏序关 系，在e l 上引入了偏序关系在这偏序关系下，可以自然地定义一族模糊数的上、下确界1 9 9 7 年，吴从忻和吴冲 1 2 1 证明了模糊数集的确界存在定理，并给出了上、下确界的具体表达式他们 的工作保证了有界模糊值函数的r 一积分和r s - 积分的上、下和以及上、下积分的存在性，对 模糊积分理论的建立具有极其重要的意义 模糊数的排序问题是模糊优化和模糊决策的基本问题，由于模糊数不象实数一样具备自然线 性序，人们提出了很多排序方法，如b a s s 和k w a k e m a a k 、j a i n ，y a g e r 、l e e 和“的方法等但很难 比较其优劣，只能在特定的情况下选用特定的序 模糊数的表示定理在模糊分析学的研究起着十分重要的作用 1 3 1 n e g o i t a 和r a l e s c u 将模糊 数视为j p 中满足某些特定条件的非空子集族 a q i n 【0 ，l 】) ( 此处，a n = x l a ( x ) n ) 为a 的 o t 截集) ，从而建立了模糊数的截集形式的表示定理g o e t s c h e l 和v o x m a n 给出了模糊数函数形式 的表示定理，即证明了可以用两个满足特定条件的函数族 ( 口( 口) ，b ( a ) ) l a f 0 ，1 1 来表示r 1 上的 模糊数这两个表示定理为利用区间分析理论来研究模糊数提供了有效的工具 在论域上建立适当的度量是数学方法解决实际问题以及进行理论分析的最基本的出发点为 了需要，如为了模糊数值函数的积分、微分等的需要，各在模糊数空间上引进了各种各样的度量 1 3 1 模糊数空间上最常见的度量是由p u r l 和r a l e s c u 引入的上确界度量屯： 9 。i 二呸j 、“哑i 。；：f ji 仑卫 可j7 jf j ! f j ：1jv a g u eq 、j 。i ii 分h * j 茎 曼i i om _i i ii i i i ! 曼鼍皇! ! 苎! 对任意的a ，b e n ，定义 d ( a ，b ) = s u p 日( 厶，既) ) ， q 【o ，l 】 其中日是空间j 乙( 舻) ( j p 上的所有非空紧凸子集的集合) 上的h a u s d o r f f 度量 k l e m e n t 、p u r i 和r a l e s c u 在e 1 上引入了l 型度量d l ；之后，d i a m o n d 和k l o e d e n 将其推广 为如型度量而： d p ( a , b ) = m 1 ( 驯p 如r d i a m o n d 进一步在礼维模糊数空间驴上建立了与d p 拓扑等价的度量p p ： 柑= 叭l 脚州( q 脚) d 0 i 吉， 其中a + 是a 的支撑函数，即( q ，z ) = s u p ，( a ，z ) ix 铲一，i = 【0 ，1 】，铲一1 是r ，i 的单位球面， 是舻中的内积，p 是铲_ 1 上的l e b e s g u e 测度 k l o e d e n 从模糊数的图形角度出发，定义了模糊数空间上p 上的度量d o o ： d o o ( a ，b ) = h ( g a ，g s ) ， 其中日是k 0 ( j p + 1 ) 上的h a u s d o r f f 度量，g a = ( t ，z ) i p ( z ) t ) ，g b = ( 亡z ) l p b 扛) st ) 分别 是a b 的下方图形 模糊数空间上还可赋予一些非度量导出的拓扑【1 3 1 k a l e v a 和s e i k k a l a 提出了水平收敛的概 念：对a 。，a f ，称厶水平收敛于a 当且仅当对所有q 【0 ，1 】，( a 。) 口按h u a s d o r f f 度量收敛 于a 。上上相应于水平收敛的拓扑通常称为水平收敛拓扑b a d a r d 借助于另一种收敛引入了m s 拓扑：在( e n ，m s ) 中，模糊数a n 收敛于a 当且仅当对任意o t 【0 ，1 】，( a n ) d 收敛于日( q ) ，其中 当口1 时，a a = n 日( a ) ，a 1 = 日( 1 ) a a 为了运用泛函分析的工具来研究取值于模糊数的函数，p u r l 和r a l e s u c ，将模糊数空间驴等 距同构地嵌入到某b n a a c h 空间x ，并且作为其内的顶点为p 的闭凸锥【蚓然利用该嵌入算子及抽 象函数理论可以定义模糊函数的微分等，并且也能将模糊数空间的性质研究与b a n a c h 空间理论联 系起来，但由于并未明确地给出b a n a c h 空间的具体结构，这就影响了普瑞一拉列斯库嵌入定理的 更深入的应用 由于模糊数空间已成为一个较为完善的结构，人们已逐步开始了取值于模糊数的关系方程、 取值于模糊数的度量和取值于模糊数的测度等方面的研究除了模糊数的理论应用外，模糊数概念 本身就是从语言变量、近似推理等应用领域的需要提出来的，因此，模糊数理论己自然地应用在控 制论、模糊数据分析等众多领域中 2 1 4 模糊数的基本概念 上一节介绍了模糊数的理论背景，下面具体介绍模糊数相关概念和运算性质【引 1 0 j ：辽j 、。埘! j f - i 沦七 玎；jf p j f j 、jv a g u e 卵： i 夸_ 述 ii i。i i i i i ! 曼! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 曼 定义2 1 8 设r 为实数域，称闭区间【a ，6 】为区间数，其中a ，6 r a b 若0 a b ，则 称【a ，b 1 为正区间数；若a b 0 例2 1 1 ( 模糊数的乘积)已知三角模糊数a 和b 的隶属函数分别为 p a c z ，= 一z x - 2 + 2 5 ，2 ，兰兰三茎三： 弘b c z ，= z 一2 z - + 3 6 ，2 三茎三茎三： 参见图2 1 模糊数a b 的口截集分别可写成 从而 a a = 陋+ 2 ，- 2 a + 5 】，玩= 【2 a + 3 ，- - + 6 】 陋b 1 口= 【( a + 2 ) ( 2 q + 3 ) ，( 一2 q + 5 ) ( 一q + 6 ) 】= 【2 a 2 + 7 a + 6 ，2 a 2 1 7 a + 3 0 1 1 2 j ：辽j 、。f f 啦i ? ：f ? i 沦上毵j f 谴! f j 、jv a g u ef j # t i t 跑m 述 曼! ! ! ! i i - 曼! 曼i 一一i 一 一一一一一一i i i i 一i i i - l 一 令 则 o23 561 5 3 0 x 图2 1两个模糊数的乘积 x z ：= 2 2 a q 2 2 + 一7 l a 7 a + + 6 3 , 。 雠a = ( - 7 7 一- f 蒜 因此 肛a b 21 ( 1 7 一厕) 4 ，1 5 1 一t m 一，m 换言之，图2 3 ( b ) 中三角形a b c 是v a g u e 集三维图形( 三角形a b d ) 的正交投影，如图2 4 所 示，这里a b c d 是边长为1 的正方体图2 4 关于v a g u e 集的解释也是研究v a g u e 集( 值) 之间的距 离和熵的出发点 2 2 3 v a g u e 集( 值) 的运算和性质 以下给出v a g u e 值及v a g u e 集的运算规则和性质 定义2 2 5 设v a g u e 值z = 【t ，l 一厶】，y =