（系统工程专业论文）基于MMsk排队的呼叫中心性能分析.pdf

江苏大学硕士研究生学位论文 摘要 由于c t i ( 计算机电话集成) 技术的发展使呼叫中心得到广泛的 应用。相比较呼叫中心实现技术的发展，对呼叫中心管理的研究显得 有些滞后。而针对呼叫中心的排队模型研究更是如此。本课题就是针 对呼叫中心的重试、反馈、顾客不耐烦等待这些问题，试图建立模型 加以分析，以使对呼叫中心的性能分析更准确、更能应用于实践。 本课题首先基于重试、不耐烦m m s k + m 排队模型对系统进行 分析。然后，又用重试、反馈m m s k 排队模型对系统的反馈问题 进行分析。最后，用重试、反馈、不耐烦m m s k + g 模型对系统性 能进行综合分析，分析各性能指标间的关联关系。上述三种模型是以 往文献所没有讨论的，并且，在模型求解过程中，我们尝试采用矩阵 迭代的新方法，使求解过程简单明了。对有些模型，我们采用数值逼 近的方法给出数值解，并得出一些分析结论。 关键词：排队，重试，反馈，不耐烦，q b d 过程，数值近似，呼叫 中心 江苏大学硕士研究生学位论文 a b s t r a c t d e v e l o p m e n to fc t i ( c o m p u t e rt e l e p h o n ei n t e g r a l ) m a k ec a l lc e n t e r s b ev a s tu s e d c o m p a r i n gw i t hd e v e l o p m e n to fb u i l d i n gac a l lc e n t e r , s t u d yo fi t sm a n a g e m e n tf a l l sb e h i n d ，e s p e c i a l l ys t u d yo f i t sq u e u ep a t t e r n o nt h el i g h to fr e t r i a l ，f e e d b a c ka n di m p a t i e n c ei nac a l lc e n t e r , t h i sp a p e r t r i e st os t u d yt h e s et r a i tb a s e do nq u e u ep a t t e r n ，a n dm a k et h ea n a l y s i sb e m o r ea c c u r a t e ，m o r eu s e f u l f i r s t ，t h i sp a p e rs t u d i e st h es y s t e mb a s e do nm i m s k + mq u e u e w i t hr e t r i a la n d i m p a t i e n c e t h e n ，i t s t u d i e st h es y s t e mb a s e do n m m s k q u e u ew i t hr e t r i a la n df e e d b a c k o nt h ee n d ，i ts t u d i e st h e s y s t e m b a s e do nm m s k + g q u e u ew i t hr e t r i a l ，f e e d b a c ka n d i m p a t i e n c e m o r e o v e r , i ta l s os t u d i e sc o n n e c t i o n sb e t w e e np e r f o r m a n c e m e a s u r e s i nt h i sp a p e r , t h et h r e em o u l d sa b o v em e n t i o n e da r en o ts t u d i e di nt h e p a s tl i t e r a t u r e s i nt h ep r o c e s so fr e s o l u t i o n ，w et r yt ou s ea n e wm a t r i x m e t h o d t h i sm a k e st h ep r o c e s sb es i m p l e m o r e o v e r , w ea l s ou s e n u m e r i c a lc a l c u l a t i o nm e t h o dt os o l v et h ep a t t e r n s ，a n dg i v es o m e c o n c l u s i o n s k e yw o r d s ：q u e u e ，r e t r i a l ，f e e d b a c k ，i m p a t i e n c e ，q b dp r o c e s s ， n u m e r i c a lc a l c u l a t i o n ，c a l lc e n t e r s i l 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学位保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部内容或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在 年解密后适用本授权书。 不保密匝 学位论文作者签名：第如详 指导教师签名： 铷p f 年辱月，日i 矿口岁年中月夕日 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：纤、亿详 日期：二一”f 年中月日 江苏大学硕士研究生学位论文 第一章绪论 1 1 研究背景 计算机电话集成技术( c t i ) 的发展使得呼叫中心的功能大大增强，并与传 统的呼叫中心相比，显示出巨大的差别。这种差别主要表现在两个方面： 1 、排队机( a c d ) 的使用。即到达的呼叫遇所有的座席人员都忙时，可以 在排队机中等待空闲服务台的出现。而传统的呼叫中心是呼叫遇服务台都忙时便 遇忙音，需要重叛呼叫。 2 、服务类型多样化。传统呼叫中心提供的是人工对话，而新型呼叫中心提 供的服务有人工对话、数据查询、e - m a i l 、传真、多媒体服务等等。可以是人工 的，也可以是自动的。 由于呼叫中心性能的大大增强，使得呼叫中心得到了广泛的应用。在运营呼 叫中心的过程中便产生了怎样高效地运营呼叫中心这个问题。要解决这个问题。 首先得需要对呼叫中心的性能进行科学的分析。由于呼叫中心功能的改变，使得 传统的呼叫中心数学模型已不能够准确地描述新型的呼叫中心。需要建立新的模 型以尽可能准确地对系统进行分析。本课题就是源于这种应用的需要而提出的。 由于不同呼叫中心的功能区别很大，试图用种模型来描述所有的呼口q 中心 是不可能实现的。所以，本课题主要把目标集中在上述区别的第一点上，即排队 机的使用对呼叫中心数学模型的改变。显而易见，排队机的使用，首先为到达的 呼叫提供了等待位置，并且，排队机的容量是有限的，也就是说这种等待位置是 有限的：其次，顾客在排队机中等待时间超过其等待耐心限度时，顾客会放弃等 待而挂线。此外，顾客呼叫到达遇到忙音时，顾客可能重新呼叫，以及在顾客的 问题一次性未彻底解决时，顾客会再次重试，即反馈拨号。并且，常见的呼叫中 心大多是拨入式的呼叫中心。归纳起来，本课题主要针对多服务台、多个等待位 置、负指数分布服务时间和到达间隔、拨入式的呼叫中心中的反馈、顾客不耐烦 等问题建立相应的排队模型来分析系统。 1 2 研究的目标与内容 研究的目标是应用排队理论，根据呼叫中心的重试、反馈和顾客不耐烦等待 等特征，建立排队模型并求出模型的解析解或数值解。这样，在实际管理过程中， 江苏大学硕士研究生学位论文 可以通过这些模型对呼叫中心的统计数据进行分析，以帮助管理人员做出决策。 研究的内容主要是针对呼叫中心中的重试、顾客问题一次性未解决的会反馈 拨号，以及顾客在队列中等待时间超过一定限度会放弃等待的这些特征，分别建 立重试、不耐烦肘m i s l k + m 模型，重试、反馈m 吖j 七以及重试、反馈、 不耐烦m m s k + g 模型，并研究在不同重试概率、反馈概率及不同的不耐烦 分布条件下系统的性能指标变化情况。在模型中，将等待位置和服务台数推广到 有限个，将不耐烦分布推广到一般分布，使模型更能满足实际应用要求。 1 3 本文组织结构 本文分为七章，第一章为绪论。第二章为呼叫中心及其管理，介绍呼叫中心 的发展现状。第三章为呼叫中心的排队模型综述，本课题的研究是建立在这些研 究成果的基础之上。第四章为有关理论及工具，介绍本课题研究中用到的一些理 论和定理。第五章为基于重试、不耐烦m m i s t k + m 排队的呼叫中心性能分析。 第六章为基于重试、反馈m m s k 排队的呼叫中心性能分析。第七章为基于重 试、反馈、不耐烦m m i s l k + g 排队的呼叫中心性能分析。后三章是本课题的 主要工作重点。 2 江苏大学硕士研究生学位论文 第二章呼叫中心及其管理 2 1 呼叫中心的定义及发展 呼叫中心一词来源于英文c a l lc e n t e r 。有关呼叫中心的定义，人们从各自不 同的角度，通过对它的认识程度和切身感受，结合技术的不断发展变化给予了呼 叫中心不同的定义。从总体上讲，主要有以下几种观点： 按传统的定义，呼叫中心是指三个或三个以上人工座席代表( 即话务员) 集 中处理打入或打出电话的场所( 或组织) 。 从本身具有的功能方面，呼叫中心可以理解为是一种将计算机技术与电话技 术统一为一体，将接受过特殊培训的人员进行集中管理的一种专门技术。 如果抛开技术的飞速发展、功能需求的日益增加等方面的因素，呼叫中心可 以理解为是为了客户服务、市场营销、技术支持和其他的特定商业活动而接收和 发出呼叫的一个实体 1 】。 近年来，随着通信和计算机技术的发展和融合，呼叫中心的功能已经有了进 一步的发展。现代呼叫中心是一种基于c t i 技术、多项功能集成、充分利用现 代通信网和计算机网络，并与企业整体流程连为一体的完整的综合信息服务系 统，它能有效、高速地为用户提供多种交互式服务。 统，它能有效，高速地为用户提供多种交互式服务。 图2 1a c d 结构图 江苏大学硕士研究生学位论文 另外，在国际上，呼叫中心的名字也不是唯一的。它的别名和曾用名有：客 户服务中心( c u s t o m e rs e r v i c ec e n t e r ) ；客户关照中心( c u s t o m e rc a r ec e n t e r ) ； 客户联系中，t l , ( c u s t o m e rc o n n e c tc e n t e r ) ：客户支持中心( c u s t o m e rs u p p o r t c e n t e r ) 等。此外，在某些领域和区域，呼叫中心还被称之为技术支持热线、服 务热线、联系热线等。 呼叫中心按其呼叫类型，一般分为呼出型( o u t b o u n dc a l lce n t e r ) ，呼入型 ( i n b o u n dc a l lc e n t e r ) 和呼入呼出型( o u t b o u n d & i n b o u n dc a l lc e n t e r ) 3 种。 按照不同的使用性质分类，又可分成自用型呼叫中心( i n - h o u s e c a l l c e n t e r ) 、外 包型呼叫中心( o u t s o u r c i n gc a l lc e n t e r ) 和a s p ( a p p l i c a t i o ns e r v i c ep r o v i d e r ) 型呼叫中心3 类。 典型的呼叫中心包含呼口q 处理、智能路由、自动语言、呼叫和数据集成、网 络和数据库等多种复杂的技术。在实现中有两种典型的呼叫中心解决方案：基于 前置a c d ( 自动话务分配) 呼日q 中心( 见图2 ，1 ) ；基于微机和语言板卡的呼叫 中心。 呼叫中心涉及交换机技术、计算机技术、计算机电话集成( c t i ) 技术、数 据库技术和管理科学等诸多方面。呼叫中，1 1 , 是c t i 技术的最重要的部分。 目前在美国，呼叫中心已形成4 4 亿美元的行业价值，并且每年以2 0 的速 度增长。在全球，由呼叫中一1 1 , 促成的年销售额达6 5 0 0 亿美元，是1 2 年前的6 5 倍【2 。呼叫中心产业被引入中国后，在短短的三、四年里表现出强劲的发展势 头，已为越来越多的行业和企业用户所接受和应用。截止到2 0 0 1 年，中国呼叫 中心坐席总数达到9 6 2 0 0 个，市场规模达到1 0 6 3 8 亿元，分别较上年同期增长 5 1 6 、5 5 2 【3 a 2 2 呼叫中心的管理 在建成呼叫中心后，如何高效、稳定地运营和管理客户服务中心，成为客户 服务中心最重要的问题。在我国，由于管理经验和运营理念的滞后，至今仍没有 在普遍意义上真正实现呼叫中心从“成本中心”向“利润中心”的过度，见 4 。 对呼叫中，i i , 的管理，包括对系统的管理，也包括对员工的管理，还包括对许 多不定因素的管理。对呼叫中心的管理方法，有一些是靠管理艺术来实现的，有 一些则是靠数字量化指标来衡量的，而还有一些根本就是人们在管理上存在的许 4 江苏大学硕士研究生学位论文 多误区。美国普度大学消费品质量监测中心琼安顿教授提出了2 3 个与客户服务 中心运营相关的数字化规范指标【5 1 ，摘录如下： 规范一事后处理时间：建议目标是3 0 s 一6 0 s ( s 表示秒) ； 规范二实际工作率：建议目标是达到9 2 ，或者更高； 规范三平均放弃时间：建议标准范围为2 0 6 0 s , 规范四平均单呼成本：建议标准范围为3 一l o 元： 规范五平均通话时间：建议目标是3 一l o 分钟； 规范六平均持线时间：建议目标是2 0 6 0 s ： 规范七平均振铃次数：建议2 4 次； 规范八平均排队时间：建议目标是：3 0 9 0 s ； 规范九平均应答速度：建议目标为2 0 s ； 规范十平均交谈时间：建议目标为2 7 0 6 0 s ； 规范十一每小时呼叫次数：主要依据呼叫中心性质而定； 规范十二监听分值：建议每个月4 5 次： 规范十三占线率：建议为9 0 或更大； 规范十四呼叫放弃率：建议在3 5 ； 规范十五出勤率：视管理目标而定； 规范十六忙音率：建议目标在1 一3 ； 规范十七一次性解决问题的呼叫率：建议目标在8 5 1 0 0 ； 规范十八队列放置率：建议范围为l o 2 0 ； 规范十九转接呼叫率：建议为1 ； 规范二十已复电话百分比：建议为9 8 ： 规范二十一服务水平：建议8 0 的电话都是在2 0 s 之前做出的回答； 规范二十二总呼叫数：依呼叫中心而定： 规范二十三座席人员流动率：建议目标为1 5 3 0 之间。 从这些规范可看出，呼叫中心与排队模型密切相关。 2 3 一种科学的管理方法 在呼叫中心的管理实践中，定量的方法常常是监视性能，在必要时给予干预。 呼叫中心管理者始终关注性能指示器，当达到他们不能接受的水平时便作出反 江苏大学硕士研究生学位论文 应。例如：太多的顾客在等待，或太多的服务台是空闲的。这些反应主要是基于 主观偏见的经验。如果反应导致的结果比期望的更差，说明这个决策是平庸的或 错误的。 作为一个更科学的方法，管理应是比反应更超前，如：当等待顾客超量时， 应确保减少等待，而不是增加服务台。数学模型对改进手工经验和直觉，对在实 际中支持设计和控制表明是有益的。例如，在【6 的介绍中，通过一个简单的模 型表明呼叫中心对改变内在参数是非常敏感的。在实际中，模型已成为广泛使用 的劳动力计划工具的主要部分，这些模型主要为m i m s 排队模型。众多复杂的 模型都是在此模型的基础上的变型。 2 4 呼叫中心的性能评价 考虑到呼叫中心中的操作服务水平将被量化，【7 建议集中于呼叫放弃、等待 和重试。性能评价指标是相互关联的，见【8 。顾客平均等待时间与放弃率有明 显的线性关系，它们还能提供更多我们视而不见的信息。例如，区别于等待的统 计数字是客观的，放弃等待、重试的概率则是主观的，它们与顾客的观点相关， 即提供的服务是否值得去等待或熏试。另一个例子表明根据顾客放弃和被服务的 比率，可以量化顾客的耐心。实际上，在 9 】中，表明这种比率也可以是顾客需 要等待的平均时间与顾客期望的平均等待时间之间的比率。 因而，在性能分析中，我们必须考虑不耐烦、重试及反馈给系统造成的影响， 以使我们的分析、预测更趋准确。此外，对于以人工对话为主要服务的呼叫中心， 研究人员发现，用负指数分布来描述呼叫到达时间间隔和服务时间是适合的；同 样，对于重试时间间隔，w i l k i n s o n e l0 】在纽约的研究表明，在有最短重试时间间 隔的限制下( 重试时间间隔不能无限短) ，通常的重试时间间隔趋向于负指数分 布，见【l l 】。 6 江苏大学硕士研究生学位论文 第三章呼叫中心排队模型综述 3 1 呼叫中心排队系统 呼叫中心被视为排队系统是 自然的，也是有益的。从图3 1 中可看得很清楚。在呼叫中心排 队模型中，呼叫者是顾客，服务 者( 资源) 是电话接听者或通信 设备。 基本的处理流程为：一个呼 叫到达后遇到忙音便可能会重拨 或不再呼叫，如果到达未遇到忙 音便进入a c d 机。在a c d 机中， 损失的呼叫 图3 1 呼叫中心简单业务模型 离开 如果无等待且有座席空闲便直接被服务， 否则等待。当等待一定时间后仍未被服务， 不耐烦的顾客可能会放弃等待而离开，或 n 离开后过一定的时间再重试。被服务完的 到达 全! ! 丫 顾客可能有问题没有彻底解决的会反馈再1 坠型 i ! 。 进入系统。r、离开 3 2 常用的几个模型 图3 2e ，l 趴g c 模型 1 、e r l a n g c 模型 简单的e r l a n g c 模型1 2 1 是在呼叫中心 理论分析中应用最普遍的工具。它对应的 列；+ ( ) 排队模型为m ，m b o 。这个模型不考虑 “ 卜 阻塞问题( 见图3 2 ) 。 i 2 ) 、e r l a l l 争b 模型。 离开 e r l a n g b 模型 1 3 对应的排队模型为 图3 3 e r l a n g - b 模型 m m s j 。这个模型考虑了呼叫的阻塞， 没有足够的座席则放弃顾客的呼q 。所有进入呼叫中心系统的呼叫都没有延迟时 7 江苏大学硕士研究生学位论文 间，立即得到服务( 见图3 3 ) 。跟 e r l a n g c 模型相比，e r l a n g b 模型在 呼叫等待和阻塞之间做了权衡。 e r l a n 争c 模型中，通过增加队列来减 呼叫 少到达系统的呼叫阻塞的概率，而 e r l a n g b 模型中没有任何队列等待。 在增加呼叫阻塞的概率的同时，消除 了系统中的呼叫延迟。文献 1 4 】通过 仿真研究表明在吖m n k 系统 o ! 服务完毕 放弃。 呼叫损失 图3 4 e r l a n g - a 模型 中，当k = ( 1 + 1 0 ) n 时，系统就可以得到足够好的性能：通信链路过多，导致 过长的等待时间：通信链路过少，导致忙信号频繁。 3 1 、e r l a n g - a 模型 在重负载的情况下，为了对呼叫中心进行精确模型分析，不仅需要考虑 e r l a n g b 模型中的呼叫阻塞，还需要考虑顾客在队列中等待时可能主动放弃的机 制。对应的排队模型为m 肘s 女+ g ，+ g 表示这种放弃的概率分布是在顾客 之间独立的一般分布。m m s k + m 是这种模型的典型情况。它假定放弃的可 能性服从指数分布。文献【1 5 】中应用仿真软件i p r o f i l e r 1 6 ，用某银行系统呼叫中 心的统计数据证明：在所需的各种经验参数都很准确且满足到达、服务持续时间 符合前提分布的情况下，e r l a n g a 模型对系统性能参数的估计较其他两种模型精 确。 3 3 研究进展 1 ) 重试模型：考虑到呼叫中心中的阻塞后会重试和反馈重试，这就导致了 重试模型的产生。而用于呼叫中心的模型主要为多服务台的重试排队，对于这种 排队模型，文献 1 7 ，1 8 ，1 9 ，2 0 ，2 1 ，2 2 ，2 3 ，2 4 】都分别进行了研究。其中 1 7 ， 2 0 研究的模型具有等待位置； 1 8 】是研究带访问策略的模型； 1 9 ，2 1 】研究了具 有不耐烦顾客和反馈的模型：【2 2 研究的是交换机中的重试； 2 3 是f f l 究轮询系 统中的重试；【2 4 】中的重试模型具有等待位置。近来，j r a r t a l e j o 等在 2 5 中对 m m c 模型进行了研究，并给出了数值解。a k r i s h n a m o o r t h y 在 2 6 1 中对 g i m 门1 重试模型进行了探讨。 8 江苏大学硕士研究生学位论文 考虑到重试、不耐烦等待和反馈是呼叫中心系统的重要特征，本课题主要针 对系统的这些特征对系统进行分析，具体模型见第五、六、七章。 2 ) 多通道、带优先权模型：在 2 3 中，b r a n d t 等考虑了个具有有限线路、 负指数耐心分布、有优先权等待、长语言应答信息的呼叫中心模型。这个模型是 个二维的网络，只能取近似解。在 2 7 1 0 0 ，两个b r a n d t 用一般耐心分布和有限线 路来对这个模型求解，并且，在 2 2 1 0 0 ，两个b r a n d t 研究了具有一般耐心分布和 2 个队列的系统，并给出了这个二维网络的近似解。 3 ) m g s 模型：由于这种模型目前是无法进行逻辑分析，只能用近似的方 法。一种近似方法是把服务时间对系统性能指标的影响，通过一个变量系数 c = 影来分析，即e ( m g s ) = e ( m m s ) 旦；_ ，其中盯为服务时间的标 准差，e 为平均服务时间。这种方法由h a l f i n 和w h i r r 在 2 8 】中用于m p h s 模 型。在【2 9 中也类似的方法进行探讨。近来，在 3 0 1 中，j a g e r m a n 等试图用另一 种近似方法对m g s 模型进行分析。 9 江苏大学硕士研究生学位论文 第四章有关排队理论及工具 4 1 马尔可夫链口1 1 1 、连绥时间参数的与尔口 天链 定义：设连续时间参数随机过程 x ( f ) ，r 0 ，状态空间e = o 12 ) ，如果 对于任意的非负整数玎，以及任意0 t l f 2 o ，k 与：1 ，即圯，j = o ，l ，七 为平稳分布。 2 ) 、对无限状态e = o ，1 ，2 ，”) 的生灭过程，若有条件 t + 嘉篱 o ，只= 1 ，即也，= 0 , 1 ，2 ，j 为平稳分布。 4 3 拟生灭过程( q b d ) 定义：考虑一个二维m a r k o v 过程 卫( ，) ，( r ) ，有状态空间 n = ( 女，n 女o = 1 , 2 ，m ) ，状态集 ( 后，1 ) ，( 七，聊) ) 称为水平七，k 0 ，如果将 状杰按字典顺序排序后，其生成元可写成下列分块三对角形： q = a o b l c 0 4 ic i b 2a 2c 2 b ，a nc ， 则称讧( f ) ，j ( f ) ) 是一个拟生灭过程( q u a s i b i r t ha n dd e a t h p r o c e s s ，简记q b d ) ，其中所有予块是棚阶方阵，a ( 七0 ) 有负的 对角线元素，并且行和非正，b k 和g 都是非负阵，满足 江苏大学硕士研究生学位论文 ( 一o + c o ) 8 = ( a k + b k + c k ) p ，k 1 。 q b d 是经典生灭过程从一维状态空间到二维状态空间的推广。经典生灭过 程的状态x ( t ) = k 视为被分解成m 个子状态 ( i ，1 ) ，( i ，川) 。这结构顺应了刻 画过程在多层次、多相位及变动参数情况下演化的要求。e v a n s ( 1 9 6 7 ) 首先在排 队论分析中使用这类过程，w a l l e a e ( 1 9 6 9 ) 在计算机系统研究中也遇到这类过程， 并由他引入了“拟生灭过程”这一术语。 迄今广泛使用的只是一类特殊的q b d ，即生成元q 中的子块从某一水平开 始不再发生变化的情形。这时，过程生成元如： q = 。二十世纪7 0 年代以来，n e u t s ( 1 9 8 1 ) 等系统地发展了处理这种特殊q b d 的矩阵分析方法，通过求率矩阵来求解。对 于一般的q b d ，尚未建立起平行于经典生灭过程的理论和处理方法。 c c a o a b “b i ic 吼 c a a b 江苏大学硕士研究生学位论文 第五章基于重试、3 q 耐t n m m s k + m 排队的呼叫中心性能分析 为对呼叫中心整体性能和a c d ( 自动话务分配) 的统计数据进行科学的分 析，本章针对呼叫中心中顾客到达有遇忙音而重试( r e t r i a l ) 和在a c d 中排队时 会因不耐烦( i m p a t i e n c e ) 而放弃等待的特点，讨论了重试和不耐烦 m m i s l k4 - m 排队模型。然后，尝试种新的求解方法对模型求解，并给出解 析解和有关指标的计算公式。最后，给出了数值计算示例和在单个服务台有同等 服务强度的情况下，大系统更能使顾客感到满意等结论。 5 1 模型描述 计算机电话集成技术( c t i ) 的发展使呼叫中，c l 的服务功能大大增强，使得 呼叫中心得到更广泛的应用。在英国、美国，大约3 的劳动力从事与呼叫中心 相关的工作1 如。在实践中，要 重 想通过量化指标来高效、稳定地 运营和管理客户服务中心，就需 要科学的方法来对系统整体性 能和a c d 提供的统计数据进行 分析。本章所讨论的模型是针对 呼叫中心排队中顾客遇占线将 按一定概率重试和顾客在排队 机中因不耐烦而放弃等待的特 图5 1 排队模型 ( f i g u r e l ，q u e u e i n gp a t t e m ) 点而建立的。模型描述如下：系统分为两个区域( 见图5 1 ) ，即等待、服务区域 和重试区域，有j 个服务台，o s c o ：有k s 个等待空间，o k j o 。顾客到 达时间间隔服从参数为 的负指数分布，0 2 c o ，顾客源为m 。服务时间服从 参数为的负指数分布，0 1 o o ，服务规则为先到先服务( f c f s ) 。设口为顾 客耐心等待的时间限度，护服从参数为v 的负指数分布，o v 0 时，顾客便放弃等待，立即离开队列，也不再重试。当顾 客到达时遇队列满时，便以概率口进入重试组，o o t 1 ，以概率( 1 一口) 离开，不 再重试。假设重试组最大能容纳的重试人数为r ，o sr c o 。当重试人数为r 时， 江苏大学硕士研究生学位论文 新到顾客遇占线以概率1 离开。重试组中的每个顾客的重试时间间隔服从参数为 的负指数分布，0 丑 o o 。可见，此模型是一个重试、不耐烦m m j k + m j j 队模型。 关于不耐烦的排队模型早就有研究，如文献 3 4 和【3 5 】等。近来，文献 2 7 】 和 3 6 分别又以不同的方法对不耐烦模型进行了研究。对于重试排队模型，研究 无等待位置和1 个等待位置的文献较多，如 2 6 等。由于多个等待位置的重试模 型的方程求解困难，这方面文献较少。本文所讨论的模型是上述文献及相关文献 所没有讨论的，并且，对有限状态的拟生灭过程尝试一种新的求解方法，并给出 模型的解析解和相关指标的计算公式。与本章较接近的是文献【l l 】，但该文献对 其所提出的模型没有给出解析解，只作一种近似。 5 2 数学模型 令n ( t ) = ”表示时刻，在等待和服务系统中逗留的顾客数为n ，0 n k ； m ( r ) = m 表示时刻r 在重试组中的顾客数为m ，0 m r ；以( t ) 表示在时刻r 且 等待和服务区域中有n 个顾客时，不耐烦顾客离去的速率。因顾客耐心等待的时 间限度服从负指数分布，由负指数分布的无记忆性和相互独立性，可知不耐烦顾 客离去的时间间隔服从负指数分布，且参数以( t ) 为：n ( t ) 2 f ( ( r 孓。) ，菇罱；： 令工( f ) = ( ( r ) ，吖( ，) ) 表示时刻r 系统的状态，有状态空间 e ( m ；o ”s k , o m 蔓r ) 。由于到达、重试、耐心等待和服务的时间间隔都服 从负指数分布，故z ( f ) 是状态空间e 上的马氏过程。根据模型描述，系统从状态 ( n ，m ) 转移到各状态的转移速率为： 当0 n j 时：( n ，聊) 一 ( 一1 ，m ) ( 门，m ) + l ，m 一1 ) + 1 ，埘) 其他 1 4 兄 + 掣m咀兄o 一 江苏大学硕士研究生学位论文 当j k 时：( ”，m ) _ 当”= k 时：( 尼，m ) 斗 ( n 一1 ，)s t t + ( ”一s ) v ( 船，m )一( s , u + ( 门一s ) v + 五+ 埘 ) ( i + l ，m 一1 )m ( 5 2 ) 伽十1 ，研) 旯 其他0 ( k 一1 ，m ) ( 七，m ) ( ，m + 1 ) ( 女，m 1 ) 其他 掣+ ( t s ) v 一( 掣+ ( 七一s ) v + 口五十( 1 一口) 朋五) 矾( 5 3 ) 由( 5 1 ) 、( 5 2 ) 、( 5 3 ) 式可得q 矩阵 q = a o c b la l c b 2a 2 c b 一1a f 一1 c b ra r ( 1 一c t ) m 4 0 ( 5 4 ) 其中：q 为p + 1 ) ( 七+ 1 ) 阶方阵，状态按字典顺序排序，a o ，a 。，b l 】一，b r c 均为( r + 1 ) 阶方阵，其值分别为 a ，= a k = a k o 似 d la 1 1 以 l一( 五十歹丑+ 口d0 f s ，o j r 吩2 1 _ + 见+ 掣+ ( i - s ) v ) 刚 赶o ，r d io b a a 以一la k 一1 积 d ，嘶， ( 5 5 ) ( 5 6 ) 江苏大学硕士研究生学位论文 i - ( w + ( k 一曲v + ( 观+ ( 1 一c 吐以) o s ， r 2 1 一( 掣+ 一j ) v + ( 1 一叻啊) 1，：， b ，= 夙玩 反= 掣+ 箸一。，。：i ：i ： c = 兄 c 五 c 。五 。= 朔 从q 矩阵的结构可看出x ( t ) 是一个有限状态的拟生灭过程。 ( 5 7 ) ( 5 , 8 ) 5 3 模型求解及相夫指标 引理5 1 不论p 2 么为何有限值，对参数固定的x ( r ) 都存在唯一的平稳分布。 证：由于b ，( 0 i s 女) ，c 主对角元素大于0i j d , y - o o ，a t 的次对角元素大 于0 且小于m ，可知状态空间e 的所有状态都是相通的，因而马尔柯夫链( f ) 不 可约、非周期。又因为状态空间e 有限，所以石( ，) 正常返。因而不论p = 形为 何有限值，此马尔柯夫链均存在唯一的平稳分布乃，r x o = 名f ( 1 m ) ， 其中表示当f 一。时，系统从状态( f ，) 出发再返回到( f ，) 的平均返回次数。 定理5 1 令冗，= o r , 。，乃l ，一，乃) ( 0 s f 的为。) 的平稳分布，则z 。= z ；万1 ， z 。：丌；月，( 1 f 女) 。其中： r 。= i ，i 为单位阵；r = 一去a 。；r ，= 一( r i a t + c ) ； r ，= 一三( r 一l aj _ l + r 。一2 c )