（概率论与数理统计专业论文）基于可靠性的备件库存优化.pdf

中文摘要摘要：生产系统的可靠性是现代市场竞争的重要指标。设备的正常运行是保障生产系统可靠性的重要条件。而备件直接影响设备的维护、检修和抢修工作，所以备件的管理直接与企业的正常生产和经济效益密切相关，即对生产系统的可靠性起着至关重要的作用。大中型制造企业由于拥有大量的机器设备，所以属于非生产原料的备件消耗量大，且备件需求规律性差，随机性强，很难预测，备件管理常常困扰着企业的管理者。备件如果储备过多，生产容易保证，但占用企业大量的流动资金；如果储备过少，生产无法保证，导致设备停止生产，失去市场机会，甚至造成重大经济损失。现在我国不少企业的备件存量高达企业设备投资的1 0 以上，而且由于设备改造更新，每年都会有一定量的备件报废。造成大量资金的浪费。本文首先对现在的备件管理现状和可靠性理论等相关知识做了阐述，然后从保证生产系统一定可靠性指标的目标出发，确定了最优备件库存的存储量。其中将备件分为不可修备件和可修备件，分别就备件的可修和不可修情形，建立了相应的数学模型。对于不可修备件，论证了其生产替换过程符合更新过程，在此基础上，主要运用更新过程数学模型，求得了在满足系统一定可靠度的约束条件下的最优库存量；对于可修件，论证了其故障维修过程，满足排队论m i mi n l m + n i m 和m i m i l l 肼+ n i 聊排队模型和马尔可夫可修系统下的7 o ( m + ) 表决系统模型，在此基础上，分别对可修备件为串联系统和并联系统时进行了分析研究，得到了在满足系统一定可靠性指标下的备件的最优存储量。最后，对主要研究成果作了总结，关于进一步工作的研究方向进行了简要的展望和讨论。关键词：可靠性；备件库存优化；排队论；马尔可夫可修系统分类号：0 2 1 1 6 2a b s t r a c ta b s t r a c t ：t h er e l i a b i l i t yo fp r o d u c t i o ns y s t e m si sa l li m p o r t a n ti n d i c a t o ro fm a r k e tc o m p e t i t i o nn o w w h e t h e rt h ep r o d u c t i o ne q u i p m e n tr u nn o r m a l l yi st h ei m p o r t a n tc o n d i t i o no fe n s u r i n gt h es t a t e dr e l i a b i l i t yo fp r o d u c t i o ns y s t e m s a n ds p a r ep a r t si m m e d i a t e l yi n f l u e n c et h em a i n t e n a n c e ，o v e r h a u la n de m e r g e n c yr e p a i rw o r ko ft h ee q u i p m e n t s ，t h e r e f o r em a n a g e m e n t so fs p a r ep a r t sa r ec l o s e l yr e l a t e dw i t he n t e r p r i s e sr e g u l a rp r o d u c t i o na n dt h ee c o n o m i ce f f i c i e n c yd i r e c t l y , t h a ti s ，t h es p a r ep a r t sa r ep l a y i n g 龇v e r yi m p o r t a n tr o l et ot h er e l i a b i l i t yo fp r o d u c t i o ns y s t e m a sar e s u l to fl a r g ea n dm e d i u m - s i z e dm a n u f a c t u r i n ge n t e r p r i s e sh a v eal a r g en u m b e ro fm a c h i n e sa n de q u i p m e n t ，a n dt h e r e f o r en o n - p r o d u c t i o nm a t e r i a l sa r ec o n s u m e di nl a r g eq u a n t i t i e so fs p a r ep a r t s ，a n dt h er e g u l a r i t yo fs p a r ep a r t sd e m a n di sb a d ，h a v i n gq u i t er a n d o m i c i t y ,a n di ti sd i f f i c u l tt op r e d i c t , s ot h em a n a g e m e n to fs p a r ep a r t so f t e nt r o u b l e st h em a n a g e r so ft h ec o m p a n i e s i fw er 爱3 e l * v et o om a n ys p a r ep a r t s ，p r o d u c t i o ni se a s yt og u a r a n t e e ，b u tt a k e st h ee n t e r p r i s et h em a s s i v ef l o a t i n gc a p i t a l ；i f 她r e s e r v ei st o os m a l l ，t h ep r o d u c t i o ni su n a b l et og u a r a n t e e ，c a u s e st h ee q u i p m e n ti nv i v od o m e s t i cp r o d u c t , l o s e st h em a r k e to p p o r t u n i t y , e v e nc r e a t e st h eh e a v ye c o n o m i cl o s s m a n ye n t e r p r i s e ss p a r ep a r t ss t o r a g eq u a n t i t i e sr e a c ha sh i g ha st h eb u s i n e s se q u i p m e n ti n v e s t m e n ta b o v e10 i n0 1 1 1 c o u n t r y , a n db e c a u s eo ft h er e n e w a lo fe q u i p m e n te a c hy e a r , t h e r ew i l lb eac e r t a i na m o u n t o fs p a r ep a r t sf o rs c r a p ，r e s u l ti nt h ew a s t eo fal o to fm o n e y i nt h i sp a p e r , f i r s t l yw ed ot h ed e t a i l e di n t r o d u c t i o no ft h ec u r r e n ts t a t u so ft h es p a r ep a r t sm a n a g e m e n ta n dr e l i a b i l i t yo ft h e o r e t i c a lk n o w l e d g ea n ds oo n ，s e c o n d l yf r o mt h ep r o d u c t i o ns y s t e m st oe n s u r et h er e l i a b i l i t yo fi n d i c a t o r so fac e r t a i no b j e c t i v e ，t of i n dt h eo p t i m a ls p a r ep a r t si n v e n t o r ys t o r a g e a n dd i v i d e ds p a r ep a r t si n t or e p a i r a b l ea n du n r e p a i r a b l ep a r t s ，t ou m e p a i r a b l ep a r t s ，u s er e n e w a lp r o c e s sm a t h e m a t i c a lm o d e lt of i n dt h em o s ts u p e r i o rr e s e r v ei nt h ec o n d i t i o no fe n s u r i n gt h ec e r t a i nr e l i a b i l i t y ；t or e p a i r a b l e p a r t s ，u s em mjn | m + n | ma n dm m 、m + n mq u e u i n gm o d e li nq u e u et h e o r ya n dm g ( m + n ) v o t i n gs y s t e mm o d e lo fm a r k o vr e p a i r a b l es y s t e m ，s t u d y i n gt h es e r i e ss y s t e ma n dp a r a l l e ls y s t e m so fr e p a i r a b l ep a r t sr e s p e c t i v e l y , t h e ng e tt h em o s ts u p 谢o rr e s e r v ei nt h ec o n d i t i o no fe n s u r i n gt h ec e r t a i nr e l i a b i l i t y f i n a l l y ，w es u m m a r i z e dt h em a i nr e s e a r c hr e s u l t s ，f u r t h e rw o r ko nt h ed i r e c t i o no ft 1 1 er e s e a r c hab r i e fo u t l o o ka n dd i s c u s s i o n k e y w o r d s ：r e l i a b i l i t y , s p a r ep a r t si n v e n t o r yo p t i m i z a t i o n ；q u e u i n gt h e o r , f ,m a r k o vr e p a i r a b l es y s t e mc l a s s n o ：0 2 11 6 2v独创性声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。学位论文作者签名缟匈签字日期：2 驴口7 年f 月肠日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，提供阅览服务，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明)学位论文作者签名鸡甸签字日期：口。c 7 年莎月廖日导师签名：你争1j签字日期：。u 1 年6 月乎日致谢本论文的工作是在我的导师付俐教授的悉心指导下完成的，付俐教授严谨的治学态度和科学的工作方法给了我极大的帮助和影响。在此衷心感谢两年来付俐老师对我的关心和指导。付俐教授悉心指导我们完成了实验室的科研工作，在学习上和生活上都给予了我很大的关心和帮助，在此向付俐老师表示衷心的谢意。付俐教授对于我的科研工作和论文都提出了许多的宝贵意见，在此表示衷心的感谢。在实验室工作及撰写论文期间，申晓斌等同学对我论文中的系统可靠性研究工作给予了热情帮助，在此向他们表达我的感激之情。另外也感谢我的父母，他们的理解和支持使我能够在学校专心完成我的学业。第一章引言1 1 研究的背景可靠性是- f - j 新兴学科，它包括可靠性数学、可靠性物理( 失效物理) 及可靠性工程。随着科学技术发展，可靠性水平的高低关系到产品的市场竞争能力，只有高可靠性的产品，才能在国内、国外激烈的市场竞争中取胜。现代科技的发展使得人们越来越重视系统地可靠性，也对它提出了越来越高的要求。系统的可靠性i i j ，一般是指系统的功能在时间上具有稳定性的程度和性质，具体的可用可靠度来衡量：而可靠度是指系统在规定的时间内，并在一定的条件下，维持规定功能的概率。事实上，没有各种系统的可靠性，就没有尖端的科学技术，也不会有工厂企业的高质量产品，甚至不会有安全可靠的生产过程和设备装置。总之，没有各种系统的可靠性，我们将寸步难行。如果能快速而准确的定性分析和定量计算系统的可靠性，则无论对正确估计实际系统的性能指标，还是为提高系统可靠性而进行的可靠性设计，都具有极为重要的意义。可靠性理论基础始建于本世纪3 0 年代初。最初，它运用统计方法于工业产品的质量控制中。二次世界大战期间，许多复杂系统，如航空电子设备、通信系统以及武器装备系统，都暴露出低下的可靠性水平。随后，于五六十年代着手实施各类太空研究计划。这些成为推动可靠性科学的兴起和发展的主要动力。如今，可靠性学科已渗透到各个工业部门，可靠性已成为产品质量指标和产品是否具有竞争力的重要标志。设备是保证系统可靠性的重要条件。设备是现代化企业生产的主要工具，是创造物质财富的重要手段，随着科学技术的迅速发展和生产自动化程度的提高，机械设备正向复杂、成套、自控和机电一体化的方向发展。而在设备运行中，难免会出现故障，及时地维修和保养已成为生产过程中必不可少的新兴的迅速发展的新兴领域。设备发生故障时，不仅会因停产造成损失，而且会危及设备、环境和人身安全。而设备的正常运转，离不开及时地维修和保养，即使是高度现代化的机器人和航天飞机也离不开维修。这个对流程生产行业尤为重要，流程生产行业的产品比较固定，而且一旦生产就有可能是十几年不变；体现在设备上，流程企业的设备是一条固定的生产线，设备投资比较大，工艺流程固定。其生产能力有一定的限制，生产线上的设备维护特别重要，不能发生故障。对于离散) j n - v 业，可以单台设备停下来检修，并不会影响整个系统生产。但是，对于这种生产系统，在生产过程中，往往需要要保证一定的数量的生产设备运行才能在指定的生产任务内，顺利完成生产指标。所以设备对保证系统的可靠性起着这关重要的作用。备件是维修故障设备时，用于替换故障部位的零部件。所以要做到对设备的及时维修和保养，备件的保障是至关重要的。但备件一个重要的特点是单位时间内缺货成本较高，这个特点决定了缺货备件的供应必须在较短的时间内完成。然而，由于许多备件的消耗无法准确预测，备件管理常常困扰着企业的管理者。备件如果储备过多，生产容易保证，但占用企业大量的流动资金；如果储备过少，生产无法保证，导致设备体内国产，失去市场机会，甚至造成重大经济损失。现在我国不少企业的备件存量高达企业设备投资的1 0 以上，而且由于设备改造更新，每年都会有一定量的备件报废。造成大量资金的浪费。我国生产企业现备件供应管理主要存在的主要问题有：1 ) 备件采购效率低尤其对于流程式生产企业，该企业备件品种多、采购批俩小、消耗低且无规律，大部分备件只能从市场上众多的零售商采购，造成备件质量无法保证，严重影响企业的正常生产。据调查估计，备件采购花费生产企业采购部门约8 0 ，但采购金额却只占企业采购机昵的1 0 9 6 左右，采购人员的经历主要花在采购业务的具体运作上，根本谈不上对供应商的战略管理，可以想象，一个生产企业采购上万种备件，管理上千个供应商的效率。2 ) 备件积压严重在我国生产企业尤其是流程式生产企业备件积压问题惊人。例如，某企业总库存品种有1 5 0 0 0 余项，总库存资金达2 5 0 0 多万元，但其中有7 0 0 0 多项、价值近1 0 0 0万元的备件属于设备已经报废或者长达三年半时间未领用过的；某企业1 9 9 6 年底轴承及标准链库存为1 4 0 0 项，3 1 2 4 8 套件，3 8 0 4 5 万元，根据各备件年消耗情况，近五年内均未消耗的备件，库存达2 0 3 4 5 万元，占总库存的5 3 4 8 ；仪征化纤股份有限公司截至2 0 0 0 年底机械类备件库存资金1 2 0 0 万元，但三年以上未使用过的备件总金额达9 0 0 0 万元i 引。备件这种大量积压的状况不是个别企业存在的问题，而是整个流程式生产企业普遍存在的现象。3 ) 过期备件缺乏交易渠道在调查中了解到，由于设备的报废，企业中存在相当一部分过期备件。这些过期备件虽然对本企业来说一般是专用的，但对同行业内的其他企业来说大部分又是通用的，然而，目前尚缺乏这样一个交易渠道，企业中的大量过期备件都只能作为废品卖掉。因此，对备件的管理已成为保证企业生产力，降低生产成本的重要环节，也是充满挑战性和蕴含开发潜力的管理过程。1 2 国内外研究现状国外对备件的研究的文献主要集中在库存模型方面，有大量的研究成果。库存模型有从订货提前期和需求的随机性两个维度进行研究t a k e s h e is h i b u y a ，t a d a s h id o h i 和s h u n j io s a k i 阐述了随机订货提前期下备2件供应的最优连续检查库存策略，并用仿真研究计算了提前期的影响和最优库存策略的决定因素1 3 j 。j e f f e r yk c o c h r a n 和t h e o d o r ep l e w is 研究备件需求近似指数分布的飞机备件问题，提出了比较好的方法，发展了现有排队论库存模型，同时证明了这种方法还可用于优化用户专用的备件供应问题1 4 j 。a a 6 h o b b a r 和c h f r i e n d 研究了飞机维修备件的间断需求，通过经验研究和数字模拟验证了飞机备件的需求与飞机的飞行时间呈线性关系l 引。通过这些我们可以发现国外关于备件的研究还有不足：备件研究的视角主要定位在供应商或制造商上，很少从单个生产企业的实际进行研究。而现在国内关于备件库存模型的研究只限于单机库存问题研究，而且主要领域为军事领域。郑金忠和陆四海运用了排队模型m m c ，确定了飞机中可修件的库存优化问题i 叫。王强、白文科和史超依据装备维修决策理论对某飞机维修各件的储备量进行了科学分析，确定了该型飞机维修备件储备量的计算方法l 引。国内的备件库存系统的研究主要领域为军事配备，而对于生产系统中的备件并没有深入研究，只是从生产管理的角度，对备件进行了特性和分类的研究，还比较欠缺运用数学模型解决生产中的备件库存问题。1 3 研究思路、内容及文章结构本论文主要通过对潍坊钢铁集团、潍柴动力和纺织厂的参观调查得到启发，了解到备件库存系统的可靠性直接影响着生产系统的可靠性，并对其起着至关重要的作用。本文首先表述了可靠性对于现在生产企业的重要性，又逐步讨论了设备对保证生产系统的可靠性起着这关重要的作用，而备件是保证设备正常运行的重要条件，从而引出了备件的保障是保证生产系统可靠性的重要条件。又分析了现在备件库存管理系统存在的主要问题：备件如果储备过多，生产容易保证，但占用企业大量的流动资金；如果储备过少，生产无法保证，导致设备体内国产，失去市场机会，甚至造成重大经济损失。这些为本论文的研究内容，即研究基于可靠性的库存优化问题奠定了基础。同时对国内外研究现状和相关文献的阅读了解，发现了其中的缺点和不足，本论文在此基础上主要把备件分为不可修件和可修件进行研究，分别建立相应的数学模型寻找在保证系统一定可靠性指标的情况下备件的最优库存。在论文研究内容和研究思路的指导下，本文的撰写框架如下：第一章是绪论，包括研究的背景、动机、国内外的研究现状、论文的研究内容思路、内容和文章结构；第二章是预备知识，主要表述了可靠性理论的相关知识、更新过程的定义3和性质、马尔可夫过程的定义和性质：第三章是不可修备件的库存优化，主要就不可修件为单个和多个的情况，根据其不同的寿命分布( 指数分布、威布尔分布、正态分布和r 分布) ，运用更新过程数学模型，确定了在保证系统一定可靠度的情况下的最优库存量。第四章基于可靠度的可修件的库存优化，主要研究了当生产系统不能进行缺额生产，即为所有设备必须同时运行才能保证生产，此处视为可修件为串联系统时，运用m m n m + n m 排队模型，解决了当生产系统可靠度一定的条件下，备件的最优存储量问题。第五章基于可用度的可修件库存优化，本章主要研究了生产系统在可以缺额生产，即可修件为并联系统时，运用了m m l 朋+ n m 排队模型和表决系统聊g ( m + ) 模型，得到在保证生产系统一定可用度的条件下备件的最优存储量。第六章结论，这部分主要对作者的研究成果进行了总结并对将来的研究进行了展望。4第二章预备知识2 1 可靠性理论2 1 1 评定系统的可靠性数量指标可靠性理论基础始建于2 0 世纪3 0 年代初。最初，它运用统计方法于工业产品的质量控制中。二次世界大战期间，才真正开始受到重视起基本原因之一是军事技术装备越来越复复杂化的目的在于使技术装备具有更高的性能但是，装备越复杂，往往就越容易发生故障。到了复杂化的程度严重影响设备可靠性时，设备复杂化也就是去了意义。因此，复杂化和可靠性之间存在着尖锐的矛盾。许多复杂系统，如航空电子设备、通信系统以及武器装备系统，都暴露出低下的可靠性水平。另一个基本原因，新的军事技术装备的研制过程是异常争时间争速度的竞赛。但是研制周期又很长，经不起研制过程的重大反复。这就需要有一整套科学的方法，将可靠性的考虑贯穿于研制、生产和使用维修的全过程。因此复杂设备的可靠性成了相当严重而又迫切需要结局俄的问题。从5 0 年代至今，可靠性理论这门新兴学科以惊人的速度发展着，各方面都已积累了丰富的经验。可靠性理论的应用已从军事技术扩展到国民经济的许多领域。可靠性学科已渗透到各个工业部门，可靠性已成为产品质量指标和产品是否具有竞争力的重要标志。粗糙的讲，有一些基本部件( 其中也可以包括人) 组成的完成某种指定功能的整体，称之为系统。系统的概念是相对的。例如一个核电站可以看成一个系统，其中的安全保护装置可以看成是它的一个部件。但是，如果我们单独地研究安全保护装置，则可以把它看成是一个系统，它也是由某些部件组成的完成某种制定功能的整体。在可修系统中，组成系统的部件不仅包括物，也可以包括人修理工。产品( 部件或系统) 丧失规定功能称为失效或故障。通常，对不可修产品称失效，对可修产品则称故障。产品的寿命是与许多因素有关的。例如，该产品所用的材料，设计和制造工艺过程中的各种情形，以及产品在贮存和使用环境条件等。寿命也与产品需要完成的功能有关。当产品丧失了规定的功能，即当产品失效，他的寿命也就终止。显然对同一产品，在同样的环境条件下使用，由于规定的功能不同，产品的寿命将会不同。我们通常用一个非负随机变量彳来描述产品的寿命，x 相应的分布函数为f ( f ) = p x f ) ，t 0( 2 1 )有了寿命分布，( f ) ，我们就知道产品在时刻t 以前都正常( 不失效) 的概率，即产品在时刻t 的生存概率尺o ) = p x f ) = 1 一r ( t ) - o )( 2 2 )其中r ( f ) 称为该产品的可靠度函数或可靠度。由公式( 2 2 ) 可知尺o ) 是产品在时间【0 ，t i 内不失效的概率。因此，可靠度也可以定义为：产品在规定的条件下，在规定的时间内，完成规定功能的概率。对于一个给定的产品，规定的条件和规定的功能确定了产品寿命x 这个随机变量，规定的时间就是公式( 2 2 ) 中的时间i o ，f i 。公式( 2 2 ) 是这里可靠度定义的数学表达形式。不可修产品的主要可靠性数量指标是可靠度及平均寿命( 记为m t t f ) 。本论文主要研究可修系统。由于有修理的因素，产品故障后予以修复。此时产品的运行随时间的进程是正常与故障交替出现的。描述可修产品的可靠性数量指标主要有：1 ) 首次故障前时间分布产品首次故障前时间x 。的分布为e ( f ) = p 忸l f ) 首次故障l i 平均时间( 记m t t f f ) 是麒唧f = 麟l = 【t d f l ( t )2 ) 系统可靠度r ( 0 - - p 口 f = 1 一，( f ) = f o )对于可修产品的可靠度概念，它表示可修产品在【o ，f 】时间内都正常的概率。如果一个可修产品一旦发生故障将要产生灾难性后果的情形，首次故障前时间分布及其平均值是该产品最重要的可靠性数量指标。3 ) 系统可用度对于一个只有正常和故障两种可能状态的可修产品，我们可以用一个二值函数来描述它。对t 0 ，令删= 怯粼( 2 3 )产品在时刻t 的瞬时可用度定义为彳( f ) = p 伍o ) = 1 )( 2 4 )即时刻t 产品处于正常状态的概率。瞬时可用度彳o ) 只涉及时刻t 产品是否正常，对t 以前产品是否发生过故障并不关心。在瞬时可用度彳o ) 的基础上，进一步定义 0 ，f 】时间内平均可用度为彳o ) = 7 1i 彳0 协若极限彳( f ) = 嫩彳( f )6( 2 5 )存在，则称a 为极限平均可用度。而若极限a = l i m a ( t j( 2 6 )存在，则称其为稳态可用度。显然，若稳态可用度存在，则极限平均可用度必存在，且有a = a 。可用度是可修产品重要的可靠性指标之一。在工程应用中特别感兴趣的是稳态可用度。他表示产品经长期运行，大约有彳的时间比例处在正常状态。4 ) ( o t l 时间内产品故障次数的分布可修产品随时间的进程是一串正常和故障交替出现的过程。因此，对t 0 ，产品在( o ，t 时l e 内故障次数o ) 是一个取非负整数值得随机变量。产品在( 0 ，f 】时间内故障次数的分布为只( f ) = p o ) = k ) ，k = o ，l ，2 ，( 2 7 )产品在( 0 t 水t r b j 内平均故障次数为m ( f ) = e ( f ) = 圮o )当膨( f ) 导数存在时，称m o ) = d m ( t )为产品的瞬时故障频度。在工程应用中，m ：l i m 趔，+ f更感兴趣的是产品的稳态故障频度( 2 8 )如果极限存在的话。2 1 2 可靠性系统的主要数学模型1 串联系统系统由一个部件串联而成，若，1 个部件都正常工作，则系统处于工作状态，当某个部件发生故障，则系统处于故障状态。2 并联系统由刀个部件并联而成，即只有当这行个部件都失效时系统才失效。3 系统表决系统七g b ) 表决系统的定义，即系统由n 个部件组成，当刀个部件中有k 个或k个以上部件正常工作时，系统才能正常工作0 k 刀) 。即当失效的部件数大于或等于刀一k + 1 时，系统失效。2 2 排队论基础知识2 2 1 排队系统的特征或组成一、输入过程71 顾客总体可以有限或无限( 如流入水库的水) 。2 顾客到达系统的方式可以逐个或成批。3 顾客相继到来时间间隔可分为确定型( 比如定期航班，定期的课程表等)和随机型( 比如看病的病人，候车的旅客，进港口的船舶) 。4 顾客到达系统可以是独立的或相关的，输入过程可以是平稳、马氏、齐次的等。二、排队规则排队规则可分为三种制式：损失制顾客到达系统时，如果系统中所有服务窗均被占用，则到达的顾客随即离去，比如打电话时碰到占线，用户即搁置重打或离去另找地方或过些时再打等此种情形。等待制顾客到达系统时，虽然发现服务窗均忙着，但系统设有场地供顾客排队等候之用，于是到达系统之顾客按先后顺序进行排队等候服务。通常的服务规则有先到先服务，后到先服务，随机服务，优先服务等。混合制它是损失制与等待制混合组成的排队系统，此系统仅允许有限个顾客等候排队，其余顾客只好离去永不再来；或者顾客中有的见到排队队伍长而不愿费时等待，当队伍短时愿排队等候服务；也有排队等候的顾客当等候时间超过某个时间就离队而去均属这种系统。三、服务窗( 员)1 系统可以无窗口( 如自选自付款购物) 、一个窗口或多个窗口为顾客进行服务。2 在多个服务窗情形，顾客排队可以可以平行多队排列，串列或并串同时存在的混合排队。3 一个服务窗可以为单个顾客或成批顾客进行服务。4 各窗口的服务时间可为确定型或随机型。服务时间往往假定是平稳的。2 2 2 排队模型的分类与记号记x 为顾客相继到达系统的间隔时间丁的概率分布；】，为服务窗口所耗费的服务时间f 的概率分布；z 为服务系统内服务窗的个数；朋为系统内( 最大) 排队容量或顾客在系统中排队所允许的( 最大) 长度( 包括正在服务和排队等待的顾客) 。又令m 为负指数分布：d 确定型分布；臣为k 阶爱尔兰( e r l a n g ) 分布；g为一般分布；g i 为一般独立的分布。通常用记号x i y i z m ( 或) 来表达排队模型。为方便起见，当系统最大排队容量为o o 是，就可以略写为x y z 。2 3 马尔可夫过程设 x ( f l f o 是取值在e = 0 ，l ，) 或e = 0 , 1 ，n ) 上的一个随机过程。若对任意自然数n ，即任意刀个时刻点0 t l t 2 - 2 p o ( t ) = 1j e最0 域0 ) = 弓0 + u ) e( 2 1 1 )若令e = 尸肛o ) = j ) ，e它表示时刻t 系统处于状态_ ，的概率，则有e ( f ) = 只( o 峨o ) ，( 2 1 2 )七对于标准矩阵有如下引理：引理2 1 设马氏过程 x o ) f o ) 的转移矩阵p ( f ) 是标准的，则有9( 1 ) 躲掣一槲( 引( 2 1 3 )( l i mp o f ( t ) = g 扩= 既( o ) ( 0 有层f ) = 丑f + d ( f ) ( 丑 o )i of ) = h h d ( f ) ( h o ，鳓= o ) i l( 2 1 8 )= 卜( 乃+ 1 4 ) t + o ( t )f 0= d ( f )l i - j i 2l o所以由公式( 2 1 6 ) 可得乃( f ) 所满足的方程i 力( f ) = 一( 竹+ 乃) 丹( ，) + 乃一。乃一( f ) + 纷+ 。乃+ 。( f ) l【成( t ) = 一九风( f ) + h a ( t )而如果马氏过程存在平稳分布，则( 2 1 8 ) 变为i ( 一+ z j ) p y ( t ) = a j 一。乃一。( f ) + 一+ 。p 川t ) j f 1【凡( f ) = 一只( t )2 3 更新过程( 2 1 9 )( 2 2 0 )设x 。，x ：，是独立同分布的非负随机变量序列，它们的分布函数为f ( f ) ，均值为i s ，且满足p 似。= o - - k 一p p ) 七+ 1 = p 叙丁 一尸 足+ 。t ，= p 喜五t ) 一尸 艺1 = 1 墨丁)= p 五 一尸 墨丁l 扣ljlj又因为f ( “) ( f ) 为，( f ) 的卷积函数，所以p n ( t ) = k f f i ，( 仃) 一f ( 川( r l七= o ，i 1 “证毕。定理3 1 在备件库存系统中，如果不可修备件数为，则在一定的时间t 内，系统地可靠度为尺仃) = 【，仃) 一，似+ 1 p ) l( 3 2 )证明：由系统可靠度的定义，系统的可靠度r 仃) 是从初始时刻起，直到时刻r系统一直处于工作状态的概率。对于该系统，系统一直处于工作状态的概率等于在给定的时间t 内，备件需求的数量小于等于给定备件数量的概率。则有r 仃) = p 仃) = k n )= 附仃) = 后) = p ( k )= 【州仃) 一f “1 仃) l证毕。在此基础上，根据备件的不同寿命分布得到以下推论：推论3 1 当系统中备件的寿命置o = 1 , 2 ，) 服从，仃2 ) 正态分布时，如果不可修备件数为n ，则该系统在时间t 内的可靠度为即，= 参( 等h 罐訾) 】3 ，证明：因为备件的寿命x ，( f ：1 ，2 ，) 服从如，仃：) 正态分布，所以窆五服从参数为- 羔肛，盯 ：窆仃z 的正态分布f i5 i ，又因为t = 1i = 1删= 上去e x p ( _ 警卜且此处墨独立同分布，所以川咖志r 唧挚所以由定理3 1 可得r ( r ) = 芝 ，( ( r ) 一+ 1 ( r ) = 射志r 唧挚一丽1h 钳= 差【( 警) 一吐罐半) 】证毕。推论3 2 当系统中备件的寿命置( f - i ，2 ，) 服从参数为五负指数分布时，如果不可修备件数为，则该系统在时间t 内的可靠度为尺仃) = 垦( k 堕- 1 ) e x p ( - x r ) ( 3 4 )证明：因为备件寿命服从参数为名的负指数分布，即有( f ) = ；t e x p ( - a t ) ，f o ) = l e x p ( - a t )所以七重卷积计算公式为【1 ，f o ) _ l _ 艺掣甑p ( - 办)一o ) - 1 - 圭掣e x p ( - 2 t )证毕。尺仃) ：兰【，( t 仃) 一f ( 川( 丁) 】= 卦善孕唧) - 1 _ 喜孕e x “丁) = 姜跞唧)1 4推论3 3 当系统中备件的寿命置o = 1 , 2 ，) 服从参数为( ，名) 韦布尔分布时，如果不可修备件数为n ，则该系统在时间t 内的可靠度为尺c r ，= 善【喜错一喜错，c 3 5 ，证明：由于备件的寿命服从韦布而分布，我们可以得到( f ) = 印( 加厂e x p ( 一以卢)f o ；，旯 of ( t ) = l - e x p ( - 2 舢t ) t o其中称为形状参数，名称为尺度参数。可得七重卷积为【1 4 1聊) = 喜错其中，a b 可由下面方法得到么l 一= 尾；当万 k ，n - 1a 。一= 一a h ，尾= 七一i以= r 0 猡+ 【1 觑”所以由定理3 1 可得g ( r ) - - z 【一( r ) - f “1 ( 丁) 】= 善【喜嘿筹一砉错】证毕。推论3 4 当系统中备件的寿命x ，( f = 1 , 2 ，) 服从参数为( 口，) 的f 分布时，如果不可修备件数为n ，则该系统在时间t 内的可靠度为即) 2 荟n 【南j c r i 声x k a - l e - x 出一素南p 川k 训， 6 ，证明：由于备件寿命服从i 分布，我们可以得到它的概率密度函数儿) 掣一可e x p ( - 矿t l f l )其中口为形状参数，为尺度参数。可得七重卷积为【1 4 】砂仃) = 南卜胁l p _ 5 出1 5所以由定理3 1 可得尺( r ) = 【f ( o ( r ) 一h 1 ( r ) 】= 薹【南j c r # x k a - l e - x 出一素南p k 圳证毕。3 2 对于多个不可修备件的库存优化对于多个不可修备件的库存优化问题是在单不可修备件优化问题的基础上，考虑设备中同时包含有聊个相同类型的不可修部件且m 个部件之间属于串联关系，即只要该系统中有一个部件失效，整个系统就失效。引理3 2 当系统中含有m 个相同类型的不可修部件，且m 个部件之间属于串联关系时，该系统在( o ，t i 内正好需要k 个备件的概率为i j ：舷) = 。) + m ：) + 雕。) 】，( 3 7 )其中k ii = i ，2 ，m 表示第f 个需要备件处在( o ，r 】需要的备件个数。定理3 2 当系统中含有m 个相同类型的不可修部件，且m 个部件之间属于串联关系时，如果不可修备件数为n ，则该系统在( o ，丁】内的可靠度为nr ( 丁) = p ( 七) = 尸( 毛) + 尸( 屯) + + p ( 吒) ( 3 8 )k = ok f f i ok l + k 2 + = i证明：本定理由引理3 1 、定理3 1 和定理3 2 显然可得。推论3 5 当系统中第f 个部件墨( i = l ，2 ，m ) 寿命服从参数为a 负指数分布时，如果不可修备件数为n ，则系统在( o ，r 】内的可靠度为州= 姜器讲柳刎( 3 9 )证明：因为备件寿命服从参数为兄的负指数分布，即有厂( f ) = 2 e x p ( - 2 t ) ，f o ) = l e x p ( - 2 t )由引理3 1 得尸 仃) = 尼) = ，( 仃) 一f ( 川仃) ，k = 0 , i ，即对单个部件p ( i ) = ，( 白( r ) 一f ( ( 丁) ，i = l ，2 ，m ，所以有1 6吼声篙孕醐班悻呼e 计= 踽e x p 丁)由定理3 2 得，尺( r ) ：羔p ( 七) ：羔 p ( 墨) + 尸( 乞) + + p ( 吒) = 善器e x p ( 删证毕。推论3 6 当系统中第f 个部件墨( 扛l ，2 ，聊) 寿命服从0 ，o r 2 ) 分布时，如果不可修备件数为n ，则系统在( o ，t 1 内的可靠度磷口击懿p ( _ 警mf 去e x p ( - 簪h 证明：证明过程同上，e h 定理3 2 我们可得到荆= 口去e x p ( 一警mf 志e x p ( 一警h 由定理3 3 可得磷口志唧( - 警mf 击唧( - 嗲h 证毕。推论3 7 当系统中第f 个部件置( f - - 1 ，2 ，聊) 寿命服从参数为( ，五) 韦布尔分布时，如果不可修备件数为，则系统在( o ，丁】内的可靠度为尺( r ) = 芝叫l p ( 棚卢) e x p ( 掰，) r( 3 1 0 )k = o证明：证明过程上，由定理3 2 我们可得到尸 ) ：c ：h - - e x p ( 旯丁，) 【e x p ( - 名丁p ) r -由定理3 3 可得1 7枷=、-，r，jr脚=、l ，下，_rr ( 丁) = 薹磷 1 一e x p ( 一2 t 声) e x p ( 棚，) r女= 0。推论3 8 当系统中第f 个部件置( i = 1 ，2 ，m ) 寿命服从参数为( 口，) 的f 分布时，如果不可修备件数为n ，则系统在( o ，r 】内的可靠度为即，= 薹 南j c r ，x a - ie x p h ，出 南f 卢广坼帅r 证明：证明过程上，由定理3 2 我们可得到特磷 南r p x a - te x p ( - 工叫 高f 广钾m r由定理3 3 可得即) = 姜q r p x a - me x p h 州高l ) 出r证毕。定理3 4 若假定在约束条件系统的可靠度为r 的情况下，不可修备件的最优存储量为n = m i n n l r ( r ) r 这样由前面求得的单不可修件和多不可修件不同寿命分布情况下的可靠度，由定理3 4 ，就可求得在不同系统约束条件系统的可靠度为r 的情况下的备件最优存储量。这样本章就解决了在保障系统一定可靠度的情况下，备件的最优存储量。在接下来的两章，将对于备件为可修件的情形加以研究。第四章系统可靠度的可修件备件的库存优化本章主要运用了m m i n l m + n l m 模型解决了在生产系统中，当可修件为串联系统时，即设备必须同时运行时，也可视为系统不能进行缺额生产时，在保证系统一定可靠度的条件下，备件的最优存储问题。4 1 问题描述在日常的生产系统中，往往存在当且仅当系统中的n 个相同部件同时运作时，系统才能正常运作。对于这种系统，我们视为由刀个部件组成的串联系统。一般该系统一旦出现故障，将会损失严重，如钢铁企业中的重要可修部件，一旦出现故障不能及时地更换，将会导致严重后果。所以对于含有可修件的串联系统，要保证该系统在时间r 内达到一定的可靠度，备件的保障是至关重要的。可是往往可修备件比较昂贵，如果备件数量过多，会造成资金积压，所以对可修备件的库存优化是非常重要的。下面主要研究了在保证含可修件系统一定可靠度条件下，确定可修备件最优库存量的问题。系统中的可修部件，在任务期间失效，立刻用备件换上，换下的失效部件可以通过维修恢复到完好状态，然后重新作为一个备件使用。4 2 数学模型建立4 2 1 问题假设1 ) 可修件在一定的时间范围内都可以修好，恢复如新。2 ) 如果发现部件出故障，则立即由备用件替换，替换瞬时完成。3 ) 维修工将修好的部件作为备用。4 ) 备件不能满足需求时，系统瘫痪。4 2 2 模型建立对于该类部件的库存管理系统，我们假设有聊个部件j 下在j 下常运行，个部件备用，且配有n 个维修工。如果发现部件出现故障，则由备用件作替换，而维修工将修好的部件继续作为备用。假如当出现故障的部件数大于时，整个系统则不能运行。部件发生故障的时间是随机的，此处，我们假定部件发生故障的时间间隔服从参数为兄的负指数分布，同样假定部件的修复时白j 服从参数为的负指数分布。疗个维修工即为疗个服务窗，出现故障的部件为到达服务窗的顾客，修复时间即为服务时间，系统容量为聊+ n ，潜在服务数为加，显然这些满足m m i n l m + n l m 排队模型得条件。这样我们就建立了一个m m n m - i - n m多服务窗有备用件的排队模型。定理4 1 在上述模型假设中，当刀n 时，该系统在( o ，t l 内的可靠度为1 9尺c r ，= l 一了篓j 露三嚣乏一即出，( 4 1 )其中，x j 为多项式肘+ g ) 的零点，m 州g ) 由下面的递推式得：m 。g ) = 1m - b ) = 计m 2( 4 2 )m 川g ) = b 一朋名+ 屯m ，g ) 一如旯地m h b )其中t = 鬈恐，证明：记系统中出故障的部件数为系统可能出现的状态，那么，状态空间应为e = o ，1 ，2 ，+ 1 ) 设状态以( f = o ，1 ，2 ，) 表示任务中恰有f 个备件被消耗的状态，而状态州表示整个系统失效、任务无法完成的状态。因为万n ，所以系统的状态流图为m 2m 2m 彳朋名i s2 tn i t挖i z图l对于0 状态，表示有m 个部件运行，个备件备用；对于l 状态，表示有m 个部件运行，一1 个备件备用；对于状态，表示有m 个部件运行，无备用；对于+ 1