（系统分析与集成专业论文）高斯迷向凸体及其渐近性研究.pdf

原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了 文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写 过的研究成果参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示了谢意 签名： 日期： 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论 文的全部或部分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：导师签 学位论文 高斯迷向凸体 及其渐近性研究 作者：王雷 导师：何斌吾教授 学科专业：系统分析与集成 上海大学理学院 二零一零年五月 一奄一苓平血月 ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e dt os h a n g h a iu n i v e r s i t y f o rt h ed e g r e eo fm a s t e ri ns c i e n c e s t u d y o ng a u s s i a ni s o t r o p i cc o n v e x b o d i e sa n di t sa s y m p t o t i cp r o p e r t i e s m s c c a n d i d a t e ： s u p e r v i s o r ： w a n g l e i p r o f h eb i n w u m a j o r ：a n a l y s i sa n di n t e g r a t i o no fs y s t e m c o l l e g eo fs c i e n c e s ，s h a n g h a iu n i v e r s i t y m a y ，2 0 1 0 凸体的迷向性研究是现代凸体几何学的重要分支之一，它在信息论、体视学、 机器人学中的几何探索和仿晶学等领域有着广泛的应用例如，其应用分支一“几 何断层学在医学中的x 射线光机、c t 扫描、核磁共振、以及计算机模式识别中 得到了很好的应用 本硕士论文以凸体的迷向性作为重要研究对象内容分为三章第一章介绍了 凸几何分析的发展历史和研究现状；第二章从l e b e s g u e 迷向凸体的物理背景出发， 首先给出了l e b e s g u e 迷向凸体的存在性、唯一性的证明；其次证明了l e b e s g u e 迷 向条件的等价性；再次，计算了几类特殊凸体的迷向常数；第三章则着重阐述了高斯 迷向凸体的基本定义和几个迷向条件以及迷向条件的等价性，然后对应于第二章中 l e b e s g u e 迷向常数的性质，展开对高斯迷向常数的相关性质的研究 作者所取得的主要结果：给出了高斯迷向凸体和高斯迷向常数的定义，证明了 高斯迷向凸体的存在性和j 下交不变性等性质另外，通过对单位体积球体和单位体 积方体的高斯迷向常数进行计算，发现了其与l e b e s g u e 测度下凸体迷向常数变化 相反的性质 关键词：凸体，迷向凸体，迷向常数，高斯迷向凸体 i i t h ei s o t r o p i cp r o p e r t yo fc o n v e xb o d yi so n eo ft h ei m p o r t a n tb r a n c h e so f m o d e r ng c o m e t r i ( a n a l y s i s t h i sf i c h to fr c s c a l c hh a se x t e n s i v ea p p l i ( 。a t i o n si ni n - f o r m a t i o nt h e o r y , s t e r e o l o g y , g e o m e t r i cp r o b i n gi nr o b o t i c sa n dc r y s t a l l o g r a p h y f o r e x a m p l e o n eo fi t sa p p l i c a t i o n a lb r a n c h 一g e o m e t r i ct o m o g r a p h y c o u l db ea p - p l i e do nx r a ym a c h i n e 、c ts c a n n e r 、n u c l e a rm a g n e t i cr e s o n a n c e ，a n dc o m p u t e r p a t t e r nr e c o g n i t i o ni nm e d i c i n ef i e l d t h i sm a s t e rd i s s e r t a t i o nr e s e a r c h e st h ei s o t r o p yo fc o n v e xb o d i e s t h er e s e a r c h o ft h i st h e s i sc o n s i s t so ft h r e ep a r t s i nc h a p t e ro n e ，t h eh i s t o r yo fc o n v e xg e o m e t r i c a n a l y s i sa n dt h eg e n e r a la s p e c to ft h es t u d ya r ei n t r o d u c e d i nc h a p t e rt w o ，s t a r t i n g f r o mi t sp h y s i c a lb a c k g r o u n d ，w eg i v et h ep r o o fo ft h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s s o fl e b e s g u ei s o t r o p i cb o d i e s t h e n ，t h ee q u i v a l e n c eo fs o m ei s o t r o p i cc o n d i t i o n s a r ep r o v e w ec a l c u l a t ei s o t r o p i cc o n s t a n to fs o m es p e c i a lc o n v e xb o d i e sa tl a s t 。 i nc h a p t e rt h r e e ，w ef o c u so nt h eb a s i cd e f i n i t i o no fg a u s s i a ni s o t r o p i cb o d ya n d s e v e r a li s o t r o p i cc o n s t a n ta n dt h ee q u i v a l e n c eo fs o m eg a u s s i a ni s o t r o p i cc o n d i t i o n s ， t h e nw es t u d yt h er e l a t e dp r o p e r t i e so fg a u s s i a ni s o t r o p i cc o n s t a n tf o l l o w i n gt h o s e i nl e b e s g u em e a s u r ei nc h a p t e rt w o f o l l o w i n gr e s u l t s a r eo b t m n e di nt h i sd i s s e r t a t i o n ：g a u s s i a ni s o t r o p i cb o d y a n dg a u s s i a ni s o t r o p i cc o n s t a n ta r ed e f i n e da n dw ep r o v et h a tt h ee x i s t e n c ea n d o r t h o g o n a li n v a r i a b i l i t yo fg a u s s i a ni s o t r o p i cb o d y a d d i t i o n a l l y , w es h o wt h a tt h e c h a n g e so fg a u s s i a ni s o t r o p i cc o n s t a n ti sc o n v e r s et ot h o s ei nl e b e s g u em e a s u r eb y c a l c u l a t i n gt h a tg a u s s i a ni s o t r o p i cc o n s t a n to ft h eb a l lo ft h eu n i tv o l u m ea n dt h e c u b eo ft h eu n i tv o l u m e k e y w o r d s ：c o n v e xb o d y , i s o t r o p i cc o n v e xb o d y , i s o t r o p i cc o n s t a n t ， g a u s s i a ni s o t r o p i cb o d y 目录 摘要 i a b s t r a c t i i 第一章绪论 1 1 - 1 学科发展历程与研究现状。 1 1 2 研究问题和主要工作 7 1 3 论文的结构安排 9 第二章 l e b e s g u e 迷向凸体 1 0 2 1 背景知识1 0 2 2 l e b e s g u e 迷向凸体的存在唯一性1 1 2 3 l e b e s g u e 迷向条件的等价性1 3 2 4l e b e s g u e 迷向常数的理论知识1 6 2 5 几类特殊凸体的l e b e s g u e 迷向常数2 3 第三章高斯迷向凸体 2 6 3 1 引言2 6 3 。2 高斯迷向体的存在性与正交不变性2 7 3 3 高斯迷向条件的等价性2 8 3 4 两类凸体的高斯迷向常数3 0 参考文献 3 3 攻读硕士学位期间公开发表及完成的论文4 0 致谢4 1 上海大学硕士学位论文 第一章绪论 本文选题来源于导师主持本人参与的国家自然科学基金项目“超球截面函数和 b o u r g a i n 问题”( 批准号：1 0 6 7 1 1 1 9 ) 凸体的迷向性是以凸体在特定测度下所呈现的迷向性质为主要研究对象，它以 测度论、微分几何、泛函分析、偏微分方程、点集拓扑为基础，是现代凸几何分析学 中重要分支之一 在绪论中首先介绍本论文所属学科的发展历程及研究现状，里面穿插主要代表 人物以及我国数学家在此领域所做的工作，接着阐述本硕士论文研究的主要问题及 作者所取得的成果，最后说明论文的结构安排 1 1学科发展历程与研究现状 凸几何分析不同于微分几何、代数几何、几何拓扑等现代几何学科，有其独特 的研究对象和研究方法下面我们将介绍凸几何学的研究概况 一、凸几分析的研究概况 凸几何分析( c o n v e xg e o m e t r i ca n a l y s i s ) ，通常被称为凸几何( c o n v e xg e o m - e t r y ) 或凸分析( c o n v e xa n a l y s i s ) ，是以凸体或星体为主要研究对象的现代几何学 它于上世纪初期初步形成并在上世纪中期蓬勃发展，是以泛函分析、微分几何、点 集拓扑、偏微分方程等学科为基础的现代几何学凸几何分析应用主要涉及数学规 划、优化问题等领域上世纪三十年代，前苏联数学家a d a l e k s a n d r o v 在该领域所 做的一系列创新性工作大大带动了凸几何分析的发展近几十年来，凸几何分析自 身迅速发展的同时也带动了相关学科的进步在美国，t m c o v e r ，m h m c o s t a ， j a t h o m a s 等人的经典理论于近年来已经成功地应用于信息论中 1 5 ，1 6 ，1 9 】；美 国微软公司总部设立的凸几何分析研究部门促进了凸几何分析与软件等学科的交叉 与结合，我国知名数学家宗传明教授曾在此做研究工作；著名数学家r j g a r d n e r 和a v a s s a l l o 将其广泛地应用于体视学( s t e r e o l o g y ) 、机器人学中的仿晶学( s r y s l a l l o g r a p h y ) 、几何探索( g e o m e t r i cp r o b i n g ) 和数理经济学等领域；凸几何分析的应用 上海大学硕士学位论文 2 分支一“几何断层学”( g e o m e t r i ct o m o g r a p l y ) 已在医学中的x 射线光机、c t 扫描、核磁共振、以及计算机模式识别中得到了很好的应用在欧洲，j b o u r g a i n ( 1 9 9 4 年度菲尔兹奖获得者) 、v d m i l m a n 和a p a j o r 使凸体几何分析方法在概 率论、偏微分方程等领域得到广泛的应用 6 ，5 l 】 由于一些欧美及前苏联科学家的大力推动，凸几何分析得到了迅速的发展在 此过程中，凸几何分析不仅本身得到了丰富，而且它与其它学科，如群论、泛函分析、 代数拓扑等相结合，产生了许多新的数学分支它在随机几何、微分几何、b a n a c h 空间理论、m i n k o w s k i 几何、乃至组合论等数学学科中均有广泛的应用直到上世 纪6 0 年代，凸几何分析已经成为现代数学的一个重要研究领域，特别是上世纪末和 本世纪初，凸体几何理论已逐渐从经典的向三口空间中发展，并已取得了一系列丰硕 的成果 3 9 】 凸几何分析和其它经典的数学分支的紧密结合也引起其它领域科学工作者的 广泛关注，它的理论研究与实际应用的范围正在迅速深入与扩大下面对凸几何分 析中的一些主要研究方向做一个概述 ( 1 ) 经典b r u n n m i n k o w s k i 理论 经典的b r u n n m i n k o w s k i 理论作为经典的数学分支之一，它通常被称为凸几何 分析，主要是由h m i n k o w s k i 5 2 ，c m p e t t y 5 4 ，5 5 】，r s c h n e i d e r 5 9 】等著名数 学家逐渐发展起来的一个学科它的主要内容包括：等周问题 5 4 ，5 5 】、混合体积理 论 5 2 】、表面积测度 3 7 】、投影体理论和均质积分 3 4 】 经典理论的第一位代表人物是俄罗斯数学家a d a l e k s a n d r o v ，他对经典b r u n n m i n k o w s k i 理论的主要贡献是建立了a l e k s a n d r o v - f e n c h e l 不等式和发现了一种研 究椭圆型偏微分方程新的几何方法 1 】此外还有h b u s e m a n n 1 0 ，1 1 ，1 2 等等 经典理论的第二位代表人物是立陶宛籍的h m i n k o w s k i ，他在哥尼斯堡( k o n i s b e r g ) 接 受教育，主要贡献是在b r u n n 的基础上证明了被称为m i n k o w s k i 存在定理的凸体构 造性定理和b r u n n m i n k o w s k i 不等式f 5 2 ，m i n k o w s k i 的混合体积是这理论的主 要研究工具b r u n n m i n k o w s k i 理论最核心的定理是b r u n n - m i n k o w s k i 不等式：设 a 和b 为两紧集，属于n 维欧氏空间r n 中，则 v o l ( ( 1 一a ) a + a b ) 元( 1 一a ) v o l ( a ) 寺+ a v 0 1 ( b ) 寺，v 入 0 ，1 】， 当且仅当a 和b 是位似时等号成立经典参考书籍可见59 1 3 b r u n n m i n k o w s k i 不等式作为b r u n n - m i n k o w s k i 理论的基石，其深刻的几何 内涵主要体现在：b r u n n - m i n k o w s k i 理论灵活地把体积和欧式空间中的向量加进 行了连接，将之渗透到各个数学学科领域中，成为征服各类涉及表面积、体积和宽 度等度量关系难题的一个比较方便的工具；b r u n n m i n k o w s k i 不等式又可看成卷积 泛数的y o u n g 不等式加强形式的特殊情形；a l e k s a n d r o v - f e n c h e l 不等式 5 9 1 作为 b r u n n m i n k o w s k i 不等式的一种最强的形式，与代数几何紧密联系也同趋凸显：用 来解决容积的m i n k o w s k i 问题的b o r e l l 容积不等式也包含在b r u n n - m i n k o w s k i 不等 式之中；r j g a r d n e r 和p g r o n c h i 的离散b r u n n m i n k o w s k i 不等式与离散数学、 组合理论和涉及离散等周不等式的图论联系紧密 25 】另外，以b r u n n m i n k o w s k i 不等式为中心，环抱着一系列与之有关的仿射等周不等式，如c m p e t t y 的投影不 等式 5 5 1 和g y z h a n g 的仿射s o b o l e v 等周不等式与岛一仿射s o b o l e v 不等式 4 3 1 b r u n n m i n k o w s k i 不等式与混合体积相结合后，凸体几何理论的发展极为迅 速经典对偶b r u n n m i n k o w s k i 理论也可归为经典b r u n n m i n k o w s k i 理论，它源 自著名数学家e l u t w a k 于1 9 7 5 年引入星体的对偶混合体积的概念，它与由w b l a s c h k e 、a d a l e k s a n d r o v 、h m i n k o w s k i 等开创的经典的凸体理论有着惊人 的相似，其基本想法是“凸体”对应“星体”、“混合体积”对应“对偶混合体积”、“ m i n k o w s k i 和”对应“m i n k o w s k i 径向和 、“投影体”对应“截面体”、“支撑函数” 对应“径向函数”p r g o o d e y 2 8 】、e l g r i n b e r g 【2 9 】、h g r o e m e r 3 0 、p m g r u b e rf 3 1 1 等科学家也在该领域作出了突出贡献2 0 世纪9 0 年代，该理论空前繁 荣，并解决了一系列长期未能取得进展的重要课题 2 3 ，3 6 ，6 6 ，6 7 】例如，1 9 9 9 年， 华人数学家张高勇在a n n a l sm a t h 上发表的关于b u s e m a n p e t t y 问题的论文 6 7 】 ( 2 ) l 口一b r u n n - m i n k o w s k i 理论 起源于w j f i r e y 于1 9 6 2 年所定义的凸体的f i r e y 线性组合的己口一b r u n n - m i n k o w s k i 理论f 2 1 1 也是凸几何分析的一部分该理论的建立归功于著名数学家 e l u t w a k 上世纪九十年代的系列工作e l u t w a k 于1 9 9 3 年中把凸体的f i r e y 乓一组合引入到经典的b r u n n m i n k o w s k i 理论【3 9 】，提出了k 混合体积、岛一 表面积测度、l 一混合表面积测度、厶一混合均质积分等概念，并建立了相应 的积分表达式，从而把经典的b r u n n m i n k o w s k i 理论推广到l 口一空间中进行研 究随后于1 9 9 6 年，e l u t w a k 在文献f 4 0 1 中又把w j f i r e y 于1 9 6 1 年定义 4 0 经典对偶b r u n n m i n k o w s k i 理论中去，提出了岛一 、l p 一曲率映像、l p 一对偶混合体积等概念这些 - m i n k o w s k i 理论的同时，也标志着对偶如一b r u n n - m i n k o w s k i 理论的初步形成在该理论研究领域，国际上异常活跃的领军人物当数 e l u t w a k ，d y a n g ，g y z h a n g ( 华裔数学家张高勇教授) 及r j g a r d n e r 等 著名数学家，他们引入了岛一质心体 4 7 】、l p 一投影体 4 2 】、新椭球【4 1 】、l p - j o h n 椭 球、岛一带体 4 6 】等概念，并系统地研究了l p - s o b o l e v 不等式【4 5 】、l p 一仿射等周不 等式 4 2 】、l p - m i n k o w s k i i ；- 题 4 6 】、岛一子空问中的体积不等式【4 5 】等问题而新椭 球的概念在信息科学应用中【4 4 】也着实在数学界引起了一番轰动此外，还有众多数 学家也在该领域作出了突出贡献近十多年来，伴随l 口一b r u n n - m i n k o w s k i 理论得 到迅速发展，当今国际上的数学家已把它列为几何分析的热点研究领域之一 ( 3 ) b a n a c h 空间的局部理论 被称为泛函分析与凸体几何结合体的b a n a c h 空间的局部理论是现代国际数学 研究方向的活跃领域之一此研究方向源于2 0 世纪a h u r w i t z 的工作，a h u r w i t z 于1 9 0 1 年发表了关于平面区域等周不等式的f o u r i e r 级数的证法，并在后继的论 文中运用球面调和分析对3 维空间的凸体证明了类似的不等式随后，数学家h m i n k o w s k i 用球面调和分析的方法证明了3 维常宽凸体的有趣特征，由此开辟了运 用分析和球面调和研究几何相结合的方法，此方法具有很强的生命力，v d m i l l m a n 和j b o u r g a i n 是该方向的代表人物，在该领域作出了大量的学术贡献【4 9 ，5 0 其中一篇关于凸体b l a s c h k e - s a n t a l o 不等式的逆的著名论文是接受f i e l d s 奖时j b o u r g a i n 所引用的第一论文同时，g p i s i e r 5 6 】等数学家在数学领地的发展也作 出了卓而有效的努力 该理论目前主要研究两个不同的主题： ( a ) 无穷维赋范空间与它的有限维子空间的关系； ( b ) 当几趋于无穷时的情形佗一维赋范空间的几何量变化情况 b o u r g a i n 问题是b a n a c h 空间局部理论中重要的未解决的问题阐述如下：若 l k 为k 的迷向常数，是否存在通用常数c 0 ，使得对任意有限维凸体k 都有 l k 如果甄满足 阡d ( z ) = g ( k 1 ) t ，k 1 则我们称凸体硒为高斯迷向体，其中s l ( n ) 为保体积变换的集合再令 g = 【熹g ( k ) 】；， 常数g k 就是凸体k 的高斯迷向常数 ( 二) 高斯迷向凸体的等价性质 定理r n 中l e b e s g u e 测度为1 、质心在原点的高斯迷向凸体k 满足下列条件， 对于任意口s 舻1 有 k x , 9 2d ( z ) = g 女， 上海大学硕士学位论文 9 上述高斯迷向凸体k 满足的条件( 1 ) 式等价于下列3 个等式 ( ) 对任意y r n ， k 2d ( z ) = g 女计 ( i i ) 对任意i ，j = 1 ，n ， 上娩巧d ( z ) = g 之锄， 其中z 1 ，z n 是z 对应于某组标准正交基的坐标，妨是k r o n e c k e r 符号 ( i i i ) 任意t l ( r n ) ， k ( z ) = g 莨( 打t ) ， 这里t r t 是线性变换丁的矩阵的迹 篓1 3 论文的结构安排 本文总共由三章组成第一章我们简要介绍作为论文选题的学科一凸几何分析 和积分几何学的发展历程与研究现状，着重叙述了凸几何分析的理论发展，简要叙 述了本文研究的主要问题与取得的结果；第二章针对传统意义的l e b e s g u e 迷向凸 体的定义和性质进行概述，包括定义、定理和主要定理证明过程等；接下来的第三 章针对经测度变换后创新地提出的高斯迷向凸体所取得的成果进行了详尽地阐述 和论证 1 0 b q g u e b e s g u e 迷向凸体 述问曲1 卒 2 1背景知识 首先针对文章中所用到的一些记号做个简单介绍n 维欧氏空间标记符号为 黔，佗维欧氏空f b j _ l = 定义的范数标记为i x l 2 = ( x ，z ) ，其中( ，) 表示两向量间的内积， p 中欧几罩得单位球定义为彤= 目l1 0 i 1 ，0 r n ) ，r n 中的单位球面定义为 s 舻1 = pi | 0 i = l ，0 r n ) ，i k i 为凸体k 的体积，r n 中所有线性变换的全体 标记为l ( r n ) ，酞n 中可逆变换与保积变换全体分别标记为g l ( 佗) 和s l ( n ) ，r n 中正 交变换的集合记为0 ( 扎) 向量x 的转置标记为x r ，k r o n e c k e r 记号标记为如，即 西： 1 邹刮时， i o ，当i j 时 物理模型是建立源于前人对物理现象的总结，物理学家将物理模型的趣味性衍 生到物理理论，而许多的科学家在探讨物理现象时产生困惑便将物理模型交给数学 家进行理论的完备，l e b e s g u e 迷向凸体即是在这样的背景下提出的 力学中一个经典事实可如下陈述：礼维欧氏空间r n 中任何一个紧子集k ，都存 在唯一的椭球c = ( k ) ，使得对任一转轴口都有相同的惯量矩通常称椭球c 为k 的l e g e n d r e 椭球 由上述阐述可知椭球满足下列等式 上( z ，p ) 2 d x = 么( z ，p ) 2 出对任意的p r n 该物理模型建立在数学的基础上就可以发展成为如下关于l e b e s g u e 迷向凸体 的理论 定义2 1 1 j 胜kcr n 是l e b e s g u e 测度为l 且质心在原点的凸体，若存在常 数q 0 ，使得对任意的y 时，都有 ( z ，) 2 d x = 0 1 2 川2 ， jk 则称k 为l e b e s g u e 迷向凸体 ( 2 1 1 ) 通常称等式( 2 1 1 ) 为凸体k 是l e b e s g u e 迷向体的充要条件，简称等式( 2 1 1 ) 为凸体k 的迷向条件，q 称为k 的l e b e s g u e 迷向常数 1 0 上海大学硕士学位论文 1 1 2 2l e b e s g u e 迷向凸体的存在唯一性 设k 是质心在原点的凸体，k 经过丁g 三( n ) 后变为t k ，丁k 为k 经过可 逆变换所形成的另外一个凸体，也称为k 的一个位置若t k 满足迷向性质，则称 丁k 为k 的迷向位置 l e b e s g u e 迷向凸体的存在性阐述可由下述定理给出 定理2 2 1 胆刀设kcr n 是一个质心在原点的凸体则存在t a l ( n ) ，使得 丁k 是迷向的 证明首先定义线性算子如下：任意的凸体kcr n ，任意的y p ，线性算子 m ：r n _ r n 被定义为 m ( 可) = 上( z ，可) z 如， 事实上对于v 可1 ，y 2 黔，k 1 ，k 2 r ，m 的线性性质可有下面推理证得 m ( 忌，爹，+ k 。y 2 ) = ( x , k t y l + 如可2 ) z 如 = 后上( 舢- ) z 如+ 上( 。，咖如 = k l m ( y 1 ) + k 2 m ( y 2 ) 向量z 关于酞n 中的一组标准正交基e l ，e 2 ，e 几的坐标为( z 1 ，z 2 ，z n ) m ( e t ) = 丘( z ，e t ) z 如= 上铂z 如 令n 巧= 厶x t x j d x ( i ，j = 1 ，2 ，3 ，钆) ，则线性算子在标准正交基e 1 ，e 2 ，e n 下 的矩阵为m = ( a i j ) n n 即m 在标准正交基e 1 ，e 2 ，e n 下的矩阵为m = ( 厶甄x j d x ) 肌 vy r 竹 事实上，当y 0 时， m y t - - - = = 上( z ，扩如 o 因此m 是j 下定的对称变换令m = s 2 ，即s 是m 的正的平方根，同时s 为又为正 圭塑奎堂塑主堂垡垒窒一 1 2 一_ 一一 定对称矩阵假设露= s i ( k ) ，则有 五( z 州2 如= d e t s 。1k ( s - l x , y ) 2 如 = l d e ts i _ 1 ( z ，s _ 1 1 ，) 2 d x = f d e t s i _ 1 ( ( z ，s - 1 y ) z ，s _ 1 可) 如 = l d e t s i 。( m ( s 。可) ，s - l y ) = id e t s 川2 圾2 = i s _ 1 ( k ) j - 1 i n s - 1 则有l 丁( k ) j = l ，且 z 。k ，( z ，剪) 2 如= 黟毒南z 叫k ，( i s 。( k ) p z ，y ) 2 如 2 庐丙1 s - 1 阿2l k ，( 啪) 2 如i( k ) j 1 + 吾厶一，( k ) 、。驯 2 两两而阿| 2 由定义，这说明t k 处于迷向位置一 l e b e s g u e 迷向凸体的唯一性阐述可由下述定理给出 定理2 2 2 声! j 设k 为l e b e s g u e 测度为1 、质心在原点的凸体记 b ( k ) ：i n f ( 2 2 2 ) 风是k 的迷向位置的充分必要条件是? 小 2 d x = b ( 研 若k 1 ，鲍为k 的两个不同的迷向位置，则存在正交变换u ，使得鲍：u ( k 1 ) 即 在相差一个正交变换条件下，眈6 e 凹乱谜向凸体的迷向位置是唯一的 证明根据上面所阐述的l e b e s g u e 迷向凸体的存在性定理2 2 1 ，若蜀为k 的 一个迷向位置，则存在q 0 ，使得对任意的t l ( r n ) ，都满足