（应用数学专业论文）一类三维向量场的研究.pdf

p o s t g r a d u a t ep r o g r a m s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds t a t i s t i c s c e n t r a lc h i n an o r m a lu n i v e r s i t y s u p e r v i s o r ：z h a n gx i n a n a c a d e m i ct i t l e ：p r o f e s s o r s i g n a t u r e ： a p p r o v e d m a y , 2 0 1 1 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：写迎花 日期：加 年珀3 0 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同意华 中师范大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。 作者签名：子勇l 毙 日期：纠f 年箩月岁db 导师签名：擞士安 日期：2 d ，f 年j 乒月侈乃日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本 人的学位论文提交“c 越s 高校学位论文全文数据库 中全文发布，并可按“章 程，中的规定享受相关权益。同意论文提交后滞后：口半年：口一年；回二年发布。 作者签名：孑辽花 日期： 纠年y 月，d 日 导师签名：7 2 t 罟苗 日期：力f 年岁月弓纱日 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 在本文中，我们通过构造三维拟齐次向量场与三维齐次向量场之间的桥梁，寻 找它们之间的等价关系：它们在球面上诱导的切向量场是相同的，以及齐次向量场 的顶点在原点的不变闭锥一定是拟齐次向量场的不变闭锥利用以上等价关系，我 们就可以把对复杂的拟齐次向量场的研究转移到对较为简单的齐次向量场的研究 而对于尺3 上的齐次向量场，目前研究最多的是二次齐次向量场，所以我们首先借鉴 文献【1 】中构造了r 3 上二次齐次向量场与它所诱导的切向量场及切向量场与切向 量场在n ，上诱导的二维向量场之间的桥梁，这样我们就将较为复杂的三维拟齐次 向量场的研究转移为较为简单的二维向量场的研究，然后又研究了两类较为简单 的拟齐次向量场最后我们证明了若这两类拟齐次向量场所诱导的切向量上存在 闭轨线，则拟齐次向量场在尺3 一定存在闭轨，并进一步得到了一些关于极限环与 同( 异) 宿轨的一些条件 关键词：不变闭锥；拟齐次向量场；闭轨线；切向量场；齐次向量场；同( 异) 宿轨 i 硕士学位论文 ，从s t e r st h e s i s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , ab r i d g eb e t w e e nq u a s i h o m o g e n e o u sv e c t o rf i e l d sa n dh o m o g e n e o u s v e c t o rf i e l d si nr 3h a sb e e nf o u n d ：t h ei n d u c e dt a n g e n tv e c t o rf i e l d so ft w o d i m e n s i o n a l m a n i f o l ds 2a l e t h es a m e ，a n di n v a r i a n tc o n e sw i t ht h ev e h e xa tt h e o r i g i no ft h eh o m o g e n e o u sv e c t o rf i e l d sm u s tb eo n e so fq u a s i - h o m o g e n e o u sv e c t o rf i e l d s b yt h er e l a t i o n s h i p ， w ec h a n g et h ei n v e s t i g a t i o no fc o m p l e xq u a s i - h o m o g e n e o u sv e c t o rf i e l d st ot h ei n v e s t i - - g a f i o no fh o m o g e n e o u sv e c t o rf i e l d s a tp r e s e n t f o rt h eh o m o g e n e o u sv e c t o rf i e l d si n r 3 ，t h em o s tr e s u l t sa r ea b o u tt w i c eh o m o g e n e o u sv e c t o rf i e l d s a tf i r s t ，o nb a s eo f 1 】， b r i d g e sb e t w e e nt w i c eh o m o g e n e o u sv e c t o rf i e l d sa n di n d u c e dt a n g e n tv e c t o rf i e l d s ，a n d b e t w e e nt a n g e n tv e c t o rf i e l d sa n di n d u c e dv e c t o rf i e l d si nr 2a r ef o u n d ，s ow ec h a n g et h e i n v e s t i g a t i o no fc o m p l e xq u a s i - h o m o g e n e o u sv e c t o rf i e l d st ot h ei n v e s t i g a t i o no fv e c t o r f e l d si nr 2 t h e nw ei n v e s t i g a t ea n o t h e rk i n do ft h es i m p l e rq u a s i h o m o g e n e o u sv e c t o r f i e l d s a tl a s t ，w ep r o v e dt h ee x i s t e n c eo fc l o s e do r b i t sf o rt w ok i n d so ft h es i m p l e rq u a s i h o m o g e n e o u sv e c t o rf i e l d si nr 3 ，w h e ni n d u c e dt a n g e n tv e c t o rf i e l d se x i s tc l o s e do r b i t s ， a n dg o tm a n yr e s u l t sa b o u tl i m i tc i r c l e sa n dh o m o c l i n i c ( h e t e r o c l i n i c ) o r b i t k e yw o r d s ：i n v a l i a n tc o n e ；q u a s i - h o m o g e n e o u sv e c t o rf i e l d ；c l o s e do r b i t ；t a n g e n t v e c t o rf i e l d ；h o m o g e n e o u sv e c t o rf i e l d ；h o m o c l i n i c ( h e t e r o c l i n i c ) o r b i t 硕士学位论文 m a s t e r st t t e s i s 目 摘要 a b s t r a c t 第一章引言 第二章拟齐次向量场 2 2 1 预备知识2 2 2 建立桥梁5 第三章周期轨的研究 7 第四章同( 异) 宿轨的研究 1 5 参考文献 1 9 致谢2 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i $ 第一章引言 目前，对于平面动力系统的研究已经很透彻了，并且有了比较系统的理论，但对 于三维空间中的非线性动力系统的几何性质，即使是二次多项式系统，至今尚无一 般性的理论如l o r e n z 方程： i ( 口) 出d t = 矿( ) ，一曲 ( 6 ) 匆出= p x y 一冠 ( 1 1 ) i ( c ) d z d t = - f l z + x y 其中几p ，卢0 虽然是一个很简单的三维二次系统，但要研究它的全局几何性质 难度却非常大【6 】 我们知道，要对一个平面多项式系统作全局分析，一般需要解决三个问题： ( a ) 奇点( 包括无穷远奇点) 附近的轨线性质； ( b ) 过奇点的分界线的走向及相对位置( 包括同宿环与异宿环的存在性) ； ( c ) 极限环的存在性，存在的个数，极限环的重数与相对位置 对于一般的平面系统而言，问题( b ) 中的同宿环与异宿环的存在性及问题( c ) 都 是比较难解决的当然，对于三维系统来说就更难了而本文的意义就在于，它能够 帮助解决三维系统的问题( b ) 与问题( c ) 三维空间中最简单的动力系统是线性系统，对于它的奇点，文献【8 】，【2 】已经给 出了局部分析，另外【1 2 】还讨论了它在无穷远奇点处的几何性质及其全局拓扑分 类 三维空间中另外一类较为简单的动力系统是齐次多项式系统早在2 0 世纪6 0 年 代末期c c o l e m a n 已初步的探讨过它的轨线与积分曲面的性质【1 3 】但c a m a c h o m 【1 】对于齐二次向量场在球面上所诱导出的向量场q 7 _ ( u ) 的研究是最具有启发的 受它的启发，文献【9 】，【1 4 】在研究齐次向量场时都是借助于它在s 2 所诱导的向量场 q r ( u ) 的而在本文中，我们也借助于s 2 上的向量场q 7 ( u ) 来建立齐次向量场与 拟齐次向量场之间的桥梁 本文全文分为四部分：第一章引言主要是介绍本文的意义及出发点；第二章首 先给出了相关概念的定义，然后建立拟齐次向量场与齐次向量场的桥梁，目的是要 将齐次向量场的部分结论推广到拟齐次向量场；第三章是将第二章的理论应用于较 为简单的拟齐次向量场中，并根据它们的特殊性，进一步给出关于周期轨的结论；第 四章是将第二章的理论应用于较为简单的拟齐次向量场中，并根据它们的特殊性， 进一步给出关于同( 异) 宿轨的结论 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 2 1 预备知识 第二章拟齐次向量场 定义2 1 对于微分方程 x = q ) 其中x = ( 工l ，娩，扔) r 3 ，q = ( qj ( x l ，x 2 ，巧) ，q 2 ( 工l ，x 2 ，物) ，q 3 ( x l ，x 2 ，妁) ) ，如果 q i ( x ) ( 1 f 3 ) 为三元t 1 次齐次函数，我们就称向量场q 为r 3 上的齐次向量 场 为了清晰齐次向量场q ( x ) 与它在二维流形球面s 2 上诱导的切向量场之间的 关系，我们做中心投影变换：r = 妖孓两，u = 7 x ，可将微分方程文= q ( x ) 化为系统： 裂d 出t 耋篇q 淼严御趣x 亿2 ， i ( 易) 办 = ( u ，( u ) 、 我们再通过变换d t l = r m - 1 出，引入新的时间变量t l ，便可得如下方程( 仍用t 表示 时间) ： ( a ) d u 出= q ( u ) 一u ( u ，q ( u ) ，( 2 3 ) l ( b ) d r d t = 厂 、7 记r ( u ) 兰( u ，q ( u ) ，q 7 _ ( u ) - - q ) 一u ( u ，q ( u ) ，我们称q r ( u ) 为向量场q ( x ) 在 二维流形球面s 2 上诱导的切向量场由于中心投影变化和上述时间变换保持拓扑 结构，因此系统文= q ( x ) 的流与系统( 2 3 ) 的流是等价的 而为了研究q 丁( u ) ，我们还需要进一步将s 2 上的切向量场映到尺3 中的平面上： 取图册( 坼，妒f ) ( w ，样) ，( i = 1 ，2 ，3 ) 【1 8 即 懈b ) y ，篇o i ( u 亿4 ， i ( 7 = ) 、7 其中 兰 u s 2 ：u i o j ， v 三i u s 2 ；t t i o ；l 曼a l l a l e ； p 三易l l ；q 兰b 1 2 一c t 3 ；，兰b 2 2 一c 2 3 ； ( 2 9 ) im 詈a 1 2 一c 2 3 ； n 曼a 2 2 萎=)，x+alxa+a2xy+易a33)iy22-x(clx2+c2xy+c3y2),blf+b2xy - y ( c l x 2c 2 x y + c 3 y 2 ) ( 2 1 。) i 窑= ) ，+ + 易3 ) 1 2 + 卜7 d ry + b l 妒+ b 2 x y + b 3 ：一y ( c l x 2 + c 2 x y + c 3 y 2 ) l d x2x+alx2+a2xy+a3y2-x(clx2+c2xy+c3y2)2庀 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s ( 其中y = k x ) ，我们可以验证，当k 满足三次方程b l a l k + b 2 k 一口2 k 2 + b 3 炉一a 3 1 7 = 0 时，y = k x 为系统的不变直线 令x = x ，y = y 一缸，则系统( 2 1 0 ) 化为： 弘+ 口2 y + + 西j + ( 2 1 1 ) ) 对此系统作p o i n c a r e 变换：x = ：1 ，y = ：，并作时间变换磊d t = z 2 得 如果，我们把( 口) 式右边括号里关于u 的二次多项式的判别式记为 当a 0 或h 0 时，二次多项式有两个 实根“l ，u 2 ，此时系统由三条不变直线u = 0 ，u = “1 ，u = u 2 ，且它们将平面分成了四 个区域，而在每个区域内字都是定号的，所以整个平面内无极限环当a = 0 时，有 类似的讨论 再作p o i n c a r e 变换：令x = ；，y - - ，并作时间变换：；d t = z 2 ，我们可以得到 ( v ，z ) 平面内无极限环 另外由l ( n 2 ，n 3 ) 与：( ：，；) 的对称性及p o i n c a r e 变换、中心投影变换、 时间变换为拓扑同胚映射，我们有以下定理： 定理2 3 如果齐二次向量场在l ( 丌2 ，r 1 3 ) 上诱导的平面向量场所对应的系统 具有一个星型结点，则二次齐次向量场在s 2 上诱导的切向量场无极限环 定理2 4 如果齐二次向量场在l ( n 2 ，n 3 ) 上诱导的平面向量场所对应的系统 具有一个星型结点，则二次齐次向量场无极限环 而我们要研究的向量场比齐次向量场要复杂一些，但我们希望能用类似子研 究齐次向量场的方法来研究它我们首先给出它的定义： 定义2 5 对于微分方程 x = q + 职，( 嗣， 4 麟奶暇则 吨+ 哦 麓一 n 一越麓葛 以h缸础卜心 + 2 b b冀鬈删一舅札嘲瑾如 帆小脚墨茹 + p乒-锄。拍州篇妇 七+ c笼 地咄搬 口 一r 擞地”蛾 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 其中x = ( x l ，x 2 ，x 3 ) r 3 ，q 仞= ( q 1 ( x l ，娩，物) ，q 2 ( x l ，娩，x 3 ) ，q 3 ( x l ，x 2 ，均) ) ，如果 q f ( 1 f 3 ) ，r 分别为j c l ，j r 2 ，x 3 的m ( m 之l ，m z ) ，r ( n 0 ，n z ) 次齐次 函数，我们就称向量场q + x r 为r 3 上相对于m 次齐次向量场q 的n + 1 次拟齐次向量场 类似于齐次向量场，我们对拟齐次向量做同样的中心投影变换和时间变换，系 统文= q ( x ) + x 只( x ) 可化为： 。 ( a ) d u 拈q ( u ) 刈 ，g ( u ，r ) 兰 0 ) 次齐次函数，且对于任意x x = ( x i ，x 2 ，x 3 ) ：f ( x ) = 0 1 ， q l ( x ) 筹+ q 2 ( x ) 差+ q 3 ( x ) 篆= 。 实际上，我们知道 ( q i ( x ) + 工l r ( x ) ) 筹+ ( q 2 ( x ) + x 2 e , l ( x ) ) 差+ ( q 3 ( x ) + z 3 r ( x ) ) 薏ox、0 x2 0 x 、 5 = q ，( x ) 筹+ q 2 ( x ) 篆+ q 3 ( x ) 篆+ ，筹+ z ：磊o f + 勋瓦o f ) r ( x ) = o + ( 劫婴十娩篓+ 勋姿) 只( x ) o x io x 2u j 【3 又由于向量文= ( 工l ，砣，x 3 ) 为点x 处的径向量，而锥面在点x 处的法向量为 矗= ( 筹，筹，筹) ，且锥面为顶点位于原点的锥面，所以x 呐a f x 以a f ；+ x ，丽o f = 0 ，将 其代入上式我们就得到了： ( q i ( x ) + 工l r ( x ) ) 篓+ ( q 2 ( x ) + 恐p ，l ( x ) ) 罢+ ( q 3 ( x ) + x 3 p , o x io x 2。( x ) ) 鍪o x 3 = o 因此，齐次向量场q c x ) 的顶点位于原点的不变锥面一定是拟齐次向量场q ( x ) - l - x r ( x ) 的不变锥面 进一步，我们给出下面引理： 引理2 8 若y 是切向量场q r ( 在s 2 上的轨线，则c ( y ) = p u ：u y ，p 【o ，+ ) i 是向量场q 仞在尺3 上的不变锥面 i d l ! 明：为了证明c ( y ) 是向量场q ) 的不变锥，我们只需要证明锥面上任意一 点x o c ( y ) 处的法向量都垂直于向量q ( x o ) 首先，我们证明若u o 是y 上的任意一点，则锥面在点u o 处的法向量敢) 垂 直于向量q o ) 设v o 是点u o 的半径向量，因为敢砺) = o o x ( q 7 _ ( u o ) ) = o o x ( q ( u o ) 一u o 0 ) 次齐次函数我们可以很容易地证明v ( f ( r x ) ) = r k - 1 v ( f ( x ) ) ， 所以政x o ) = 蕊xv ( f ( x o ) ) = i l 蜀瞅v oxq r ( u o ) ) ，也就是法向量敢弱) 平行于敢矾) ， 由q 的齐次性，很明显，x o c o , ) 垂直于向量q ( x o ) 这样就完成了引理的证明 6 硕士学位论文 b 矗a s t e r st h e s i s 第三章周期轨的研究 在第二章中，我们已经借助于s 2 上的切向量场建立了齐次向量场的不变闭锥 与拟齐次向量场的不变闭锥之间的桥梁，这样我们可以将齐次向量场的有关不变闭 锥的性质都推广到了拟齐次向量场而为了能够得到关于周期轨的更好的结论，我 们将在这一章及下一章中研究两种特殊情况 目前对齐次向量场的研究主要还是针对齐二次向量场的研究【1 】【3 】【1 6 ，所以 我们先来研究二次齐次向量场的月+ 1 ，n 2 次拟齐次向量场( 也就是m = 2 ) 而当m = 2 ，系统( 2 1 3 ) 可以写为： j ( a ) d u d t = q ( u ) - u ( u , q 丫) ，( 3 “) l ( b ) d r d t = ，( + ，一r ( u ) ) 、 通过第二章，我们知道，对于这个特殊系统定理2 6 ，定理2 7 和引理2 8 仍然成立，并 且更好的结果可以证明： 如果0 是切向量场q r ( u ) ( 也就是q ；( u ) ) 的闭轨线，我们知道c ( 是向量 场q ( x ) 的不变锥面，当然也是向量场q ( x ) + x n ( x ) 的一个不变锥面，现在我们要 证明的是向量场q ( x ) + x r ( x ) 在满足一定条件时，也存在闭轨线 定理3 1 如果向量场q r ( 在球面上有一个周期为丁的闭轨线0 = 伙s ) ，并且 cr ( o ( s ) ) d s 0 及r ( 日( s ) ) o ，则向量场q 御+ 配( 的在r 3 上也有一个闭轨线0 ， 且矿是q 仞慨的其余轨线的吸引子 证明：由定理2 6 ，我们知道系统( 3 1 4 ) ( a ) 有一条周期为r 的闭轨线0 = 伏s ) ， 并且向量场q ( x ) + x r ( x ) 在月3 上的流与系统( 3 1 4 ) 的流是拓扑等价的，因此我们 只需证明系统( 3 1 4 ) ( b ) 有唯一一个周期为t 的周期解r ( t ，吒) ( 呓 0 是初值条件) 为了得到系统( 3 1 4 ) ( b ) 的周期解，令，1 一厅= z ，我们得到一个新系统： d z d t = ( 1 一，1 ) 尔( u ) + ( 1 一以) r ( u ) ， 此为一个线性系统，它的解可以轻松得到： 则 ，吁 z ( f ，z 0 ) = p ( 1 一 皿( 联曲) 出+ f ( 1 一n ) 尸。( p ( s ) ) p f 伽一l 坍( 联f ) ) a r d s ( 3 1 5 ) j 0 z ( f + r ，z o ) ：p 盯( 1 一帕r ( 俄曲协【z o + r 7 ( 1 一，1 ) r ( 以s ) f 伽一1 1 烈倒呦打d s 】 j 0 7 由j c r ( 1 - 使得z p + l 石) = z ( 六石) 也就证明了向量场q ( x ) + x 尸n ( x ) 有唯一的闭轨线0 ，进一 步，由引理2 8 知此闭轨位于不变闭锥c ( 上 下面，我们证明矿是向量场q ( x ) 的其余轨线的吸引子： 对于r o 呓，考虑满足初值条件心，o ) = r e 的解，( ，厂o ) 的p o i n c a r e 变换的符 号： s i g n ( ，( 丁，r o ) 一r o ) =- s i g n ( z ( t ，z o ) 一z o ) z ( lz o ) 一z d = p f ( 1 一n 冰( 取s ) m 【z o + r ( 1 一n ) 尸。( p ( s ) ) p f ( ，l l 诹仇f ) ) 打d 胡一z o 0 由于z ( r ，磊) = 茹) ，所以r ( 1 一n ) r ( 以j ) ) e r ( 1 一n 冰f 鲥r 胁如= ( i - d o ( j _ n 冰( 烈曲灿) 磊，所以， z ( l z o ) 一z o = r ( 1 叫蹦a 如f f t l - n ) r ( e ( r ) ) d t d 8 + f f ，( 1 - n ) r f o ( s ) k l s 1 ) z o 。 = ( p 鼻( 1 - n ) r ( o ( 5 ) 一1 ) ( z o 一石) 0 通过s i g n ( r ( t , t o ) 一r o ) = - s i g n ( z ( t ，z o ) 一z o ) ，我们可以得到r ( t ，r o ) 一r o 0 及p n ( 口( s ) ) 0 ，则向量场q ( x ) 在r 3 上也有k 个闭轨线啡因此，如果想研究三维向量场q ( x ) 的性质，只需研究切向量场q7 i ( u ) 在s 2 上的性质而为了研究q 7 _ ( u ) ，我们还需要进步将s 2 上的切向量场映到尺3 中的平面上： 8 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 取图册( ，咖) ，( w ，群) ，( f = 1 ，2 ，3 ) 【1 8 】即 i ( 口) y = 晚( u ) ， l ( b ) y = 妒f ( u ) 其中 兰 u s 2 ：u i 0 ， w 三 u s 2 ；u i o i 办= 面u ：_ h i 兰l y = ( ) ，l ，y 2 ，y 3 ) r 3 ：y i = l j ， 驴；= 一丽u ：一：兰 y = ( y ：，蝇，y 3 ) r 3 ：) ，：= 一l ， 这样就可以将系统( 2 1 3 ) 中的( a ) 化为 l ( 口) 百d y = 衅川( q ( y ) 一yq f ( y ) ) ， i ( 易) 警= ( 一1 ) m u m 。1 ( q ( y ) + y q i ( y ) ) 令叩一d t = d z ，得( 我们仍用t 来表示时间) ： fo ) 石a y = q ( y ) 一y q i ( y ) ， i i ( 6 ) 百d y s = ( 一1 ) ( q ( y ) + y q i ( y ，) ) 其中y f ，y 7 n ； ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) 引理3 2 1 5 1 切向量场q 7 ( t o 在( ) 上的流拓扑等价于向量场q ( 1 ，) 一y q i ( y ) ( ( 一1 ) 肌( q ( p ) + r q ( p ) ) 在平面f ( ，) 上的流 不失一般性，我们总可以通过线性变换使得，点( o ，0 ，1 ) 成为向量场q 7 ( u ) 的 一个奇点假设奇点( 0 0 ，1 ) 是中心或焦点，则此时( q l ( x ) ，q 2 ( x ) ，q 3 ( x ) ) 可以被写 为下面形式： q l ( x ) 兰a l l + a 1 2 x i x 2 + a 1 3 x l x 3 + a 2 2 x ；- i - a 2 3 x 2 x 3 ， q 2 ( 工) 三易l j 砰+ b j 2 x l x 2 + b 3 x l x 3 - i - b 2 2 x ；2 + b 2 3 x 2 x 3 ， ( 3 1 9 ) q 3 ( x ) 兰c l l + c 1 2 x i x 2 + c 1 3 x i x 3 + c 2 2 x ；2 + c 2 3 x 2 x 3 + c 3 3 x ；3 其中( a 1 3 = b 2 3 ，a 2 3 芝一易1 3 o ：l 兰a l l a t 3 ； ，三b 2 2 一c 2 3 ； ( 3 2 1 ) y 沈l = = a c f 孝+ + b b r 刁, ， a = 一l 一咒。 b = 一p r c = 一p r ，d = l + n ， 我们可以把系统( 3 2 0 ) 变为下面系统： ( 3 2 2 ) f 等= 鸳+ ，7 + 口1 铲+ ( 口2 + 2 b 1 ) ：r + c a 3 一a i ) 矿+ 氰口4 护+ 口5 纫+ ( 口6 - 1 弛) 7 7 2 ) ， t 窑= 一f + 幻+ 易l 护+ ( 6 2 - 2 a l 渤一易l ，7 2 + 砜幽严+ 口5 纫+ 一口4 ，7 2 x ( 3 2 3 ) 其中 6 l = 罚币石桶( 一p 咒p 一2 i n 2 p - - n 3p + l m p 2 + m n p 2 + ，l p 3 一尸p 口一 2l n p q n 2p q + 1 3 r + 2 1 2nr + i n 2 ，+ 2 l m pr + 2 m n p r l p 2r + 2 n p 2 r 一1 2 口r 一2l n 鼋r n 2qr + t i n ? + ，竹，lr 2 21 pr 2 + n pr 2 一z r 3 ) ， a 2 = ( - l m m n + 2i p + pq 一2 nr + 牙r ) ， b 2 = ( 2 2 + n q + ，( 2 n + 留) + 2p r + 2 ，2 + m ( p + r ) ) ， 口3 = 舯+ n ) 2 + ( p + r ) 2 ) a 4 = ( 1 2c l l + 2 1 n c l l + n 2c l l + i pc 1 2 + n p c l 2 + i r c l 2 + ，l r c l 2 + p 2c 2 2 + 2 p r c 2 2 + ，2 c 2 2 ) 。 口5 = 一 ( 一2 1 pc l l 一2 n p c j i 一2 1 r c l l 2 n rc j l + 1 2c 1 2 + 21 nc 1 2 + r t 2c 1 2 一p 2c 1 2 2pr c l 2 一，2c 1 2 + 2 l p c 2 2 + 2 n p c 2 2 + 2l r c 2 2 + 2 nr c 2 2 ， a 6 = ( ( f + ，1 ) 2 + ( p + r ) 2 ) ( c l l + c 2 2 ) 利用m a 仇m a n c a 软件，我们可以获得系统( 3 2 3 ) 1 拘q 5 阶细焦点( s e e 【1 7 】) 螂 2 nn = 暑 一铲 一 ； 一 r h ! 巩加口 曼 兰 三 口 p m + 口岣矿伽咖 0 产+ 玎 2 舢h 甲 + 矿p 秆却 + f ，2 拼 m 矿 严 ， 眦川 “鳓矿 矿矿他 产 月r 砰 栅旷 儿，矿“h 妒引+ 严扎 n 节一 l一+ 0 2 r 唱惑一 一i l 矿胁 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s h o ) = a ；以1 ) = 瓴一a 3 a 2 ；以2 ) = 口3 f ；l ( 3 ) = i a 3 而f p ，以4 ) = 口；m m ；以5 ) = 口3 m 甲，其中 f = 一3 2 a 1 2 a 2 3 a 2 3 + 2 0 口la 2 a 3 + 1 2 8 a l0 4 8 0 a 3 啦+ 1 6 a 2 a s 一2 0 a 2 2 b l + 6 4 a sb l 一3 2 a 2b j 2 + 8 a j 口2 幻一5a 2a 3b 2 3 2 a 4b 2 2 0 a 3b j1 , 2 + a 2b 2 2 + 4 易i 如2 ， f = 口la 2 一1 6 a 4 一口26 2 4 b lb 2 ， 妒2 2 5 6a s 3a 2 + 1 6 a l a 2 3 + 4 3 2 a 1 2a 2a 3 + 3 5a 2 3a 3 3 0 0 a la 2a 3 2 7 0 a 2 a 3 3 1 0 2 4 a 1 2 a 4 6 4 a 2 2 鳓+ 5 1 2 a la 3 口4 + 8 0 a 3 2 幽+ 1 2 8 a la 2 2 b 1 + 2 2 4 0 a 1 2a 3b l + 4 2 0 a 2 2a 3b l 一11 2 0a la 3 2b l 一2 8 0 a 3 3b l 一5 1 2a 2 函b l + 2 5 6 口i 1 1 2b l z + 1 6 8 0 a 2a 3b 1 2 1 0 2 4 a 4b 1 2 + 2 2 4 0 a 3b 1 3 1 9 2 a 1 2 a 26 2 4 a 2 3b 2 2 1 6 a la 2a 3 如+ 7 5a 2a 3 2b 2 + 5 1 2 a ia 4 易2 1 2 8a 30 4b 2 2 5 6 a 1 2b lb 2 4 8a 2 2b lb 2 9 9 2 a i 1 ：1 3b lb 2 + 3 0 0 a 3 2b lb 2 1 9 2 a 2b 1 2b 2 2 5 6b 1 3b 2 + 4 8 a la 2b 2 2 + 2 7a 2a 3b 2 2 6 4 a 4b 2 2 + 1 2 8a lb lb 2 2 + 1 0 8 a 3b lb 2 2 4 口26 2 3 1 6 b lb 2 3 ， q = 1 6 a 1 2 + 0 2 2 8a la 3 3a 3 2 + 8a 2b l + 1 6 b 1 2 8a lb 2 + 2 a 3b 2 + 易2 2 ， 另外o ，甲分别为a l ，a 2 ，a 3 ，b i ，的6 ，8 次多项式通过计算焦点量，我们可以 得到系统( 3 2 3 ) 的原点为五阶细焦点的条件 引理3 3 系统p 2 刃的原点为五阶细焦点，如果下面条件成立：f r j ja = o j但j a 3 0 ，= l a 2 a 3 ； 口) a 2 + 4 b l 0 ，f = 1 6 ) t t , 0 0 7 jf 0 ，妒= 0 i 佰jq 0 ，o = 0 ； 证明：如果以上条件成立，我们可以得到：以o ) = 以1 ) = 从2 ) = u 3 ) = l ( 4 ) = 0 ，l ( 5 ) 0 所以，系统( 3 2 3 ) 的原点为五阶细焦点，进而，利用分支理论，我们可以 得到下面引理3 4 引理3 4 4 j 7 系统佃2 3 j 在原点附近可以分支出五个极限环 证明：我们知道在引理3 3 的条件下和、王，不能同时为零，所以原点作为系统 ( 3 2 3 ) 的细焦点，它的阶数最高为5 那么有分支理论我们为你知道，原点附近最多 可以分支出5 个极限环 现在我们通过选取系统( 3 2 3 ) 的适当系数，将这5 个极限环分支出来令： 11 ( 3 2 4 ) m a s t e r s t h e 娜 曼! ! 三三三! ! 竺! 苎詈皇篁鼍詈皇! ! 竺! 竺! = = 皇= = = 暑篁鼍詈! ! ! = = = 詈皇詈詈詈皇詈! ! ! ! ! 皇= = = = = = 詈! 暑皇苎皇! ! 篁詈= = = 詈皇= = 皇= 鼍= 皇詈暑兰 这样可以得到： 以o ) = 以1 ) = l ( 2 ) = l ( 3 ) = l ( 4 ) = 0 ， 以5 ) = 圭一2 12 3 7 9 7 5 7 6 0 0 5 0 7 2 2 3 9 2 0 因此，在满足条件( 3 2 4 ) 的情况下，原点o ( 0 ， 点 若令b l = 那我们再取系数： 0 ) 为系统( 3 2 3 ) 的5 阶稳定细焦 ，通过前面的妒= 0 我们可以得到a 4 = 其中卢 0 ，0 0 ，l ( 5 ) 0 ，l l ( 4 ) i i l ( 5 ) i 由此，我们可以推出系统( 3 2 3 ) 在系数满足条件( 3 2 5 ) 时，至少存在一个极限 曼矿 0 = = m 确 m 叫 = a 奶 环r 1 围绕原点o ( o ，0 ) 与上面方法相同，我们选取系数： 卜2 絮i 篙乩幻一o ，协宰， 2 6 ， 1 口，= 0 ，口4 = 二三垒黑+ y 。j 。u 7 l 1 2 8 、3 2 + v 1 0 0 9 - # 其中0 y - , a l ，这时我们可以得到：l ( 3 ) 0 ，l ( 5 ) 0 ，0 i l ( 3 ) i 这样我们就可以推出系统( 3 2 3 ) 在系数满足条件( 3 2 6 ) 时，至少存在两个人极 限环r l ，r 2 围绕着原点o ( o ，0 ) 再选取系数： 卜0 ，铂= 翌= 纛咖，“也一o = ；+ 宰， 2 7 ， 13 5 ( 2 9 + 网 u 。 l a 52e ，a 4 = j 下= 。声三圭- i - y i 1 2 84 3 2 + 、1 0 0 9 _ 卢 其中0 0 ，以3 ) 0 ，以5 ) 0 ， 0 l 以2 ) i l 以3 ) i i 以4 ) i i l ( 5 ) i 此时，系统( 3 2 3 ) 在系数在满足条件( 3 2 7 ) 时，至少存在三个极限环r l ，r 2 以及 r 3 围绕原点o ( 0 ，0 ) 再取系数： ia = 0 ，a 6 = 反a l = ；，a 2 = 0 ，a 3 = i ，b 2 = 0 ， ， 卜扛避6 4 鹏- c ，砸= 啬需 。2 8 其中0 6 一e y _ 卢1 ，这时我们可以得到：以1 ) 0 ，l ( 3 ) 0 ，l ( 5 ) 0 ，0 0 ，a 6 = 5 , a j = i ，口2 = o ，a 3 = l ，b 2 = 0 ， 6 。= 脬，奶= e ，纵= 糯+ y 3 2 9 硕士孝位论文 m a s t e r st h e s i s 其中0 0 ，以1 ) 0 ，以3 ) 0 ，以5 ) 0 c 3 3 0 ， ( r ( s ) ) s0 以及条件 口2 9 ) 时，二次齐次向量场的n + 1 次拟齐次向量场q + x 在r 3 中至少存在 五个极限环 证明：由引理3 5 ，我们知道二次齐次向量场q ( x ) 在s 2 上诱导的切向量场 q r ( u ) 在点( 0 ，0 ，1 ) 附近至少存在五个极限环r l ，r 2 ，r 3 ，r 4 以及r 5 ，并且f scf 4c f 3cr 2cf l ，我们用死表示极限环n ( f = 1 ，5 ) 的周期通过引理2 6 及定 理3 1 ，要想证明二次齐次向量场的n + 1 次拟齐次向量场q ( x ) + x 只，( x ) r 3 中至少存 在五个极限环，我们只需证明。g ( u ，厂) 一r n o r ( u ) d s 0 也就是f 尺( n ( f ) ) 出 0 ( i = 1 ，5 ) 由于f i = r f ( f ) ( i = l ，5 ) 位于点( o ，o ，1 ) 的附近，而r ( u ) 是u 的连续函数，所以一定有尺( n ( d ) r ( 0 ，0 ，1 ) = c 3 3 0 ( i = l ，5 ) 当然 f 尺( r f ( f ) ) c f f 0 ( i - l ，5 ) 所以向量场q ( x ) + x r ( x ) 在尺3 上至少存在五个 极限环 1 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第四章同( 异) 宿轨的研究 在这一部分，我们要研究另一类拟齐次向量场q ( x ) + x ，也就是取r ( x ) = 1 ( 也就是r ( x ) 为0 次齐次多项式) ，其中q ( x ) 仍为m 次齐次向量场，此时系统( 2 1 3 ) 可以写为： 馏删dt=q(u，)-u(u矿,q(mu)b)drdt r ( u x ( 4 3 0 ) l ( = ，q ( u ) ) + r 2 一 、7 类似与上一章的定理3 1 ，对于这个向量场，我们可以得到以下定理