（机械设计及理论专业论文）齿轮—五杆组合机构连杆曲线特性的研究.pdf

西北工业大学硕士学位论文 摘要 齿轮一五杆机构由于比铰链四杆机构具有更多的参数，因而它能够实现比四 杆机构更为丰富的轨迹，并且其轨迹曲线往往比较复杂而难以预测。由于齿轮一 五杆机构中的参数比较多，故研究各参数对齿轮一五杆机构轨迹曲线的影响也变 得困难一些。 本论文主要研究了齿轮一五杆机构中与机架相连的两连架杆的双曲柄的存 在条件、齿轮一五杆机构的分类以及在每一分类中齿轮一五杆机构能够整周转动 时其相位角和传动比的范围。然后，针对能够整周转动的齿轮五杆机构，研究 了其上的一点在齿轮机构的传动比、初始相位角、杆长以及两杆之间的夹角变化 时的轨迹曲线以及速度和加速度曲线的情况。 首先根据| 杆机构的理论，得到了五杆机构的分类以及五杆机构中两相邻杆 的夹角为周转角时的充分必要条件以及五杆机构能够整周转动时的充分必要条 件。然后详细的讨论了五杆机构在每一种分类情况下机构中存在双曲柄时机构的 传动比及相位角的范围。根据该条件所得到的算法，以w i n d o w s 为平台，以面 向对象的v i s u a lc + + 6 0 为开发工具，开发了一套智能化的齿轮一五杆机构的轨 迹生成软件系统，实现了机构参数的可视化输入、机构的轨迹曲线、速度和加速 度曲线的动态生成，从而实现了齿轮一五杆机构轨迹曲线的动态模拟。 以该软件系统为平台，研究齿轮一五杆机构中的各参数对轨迹曲线的影响。 由于齿轮一五杆机构轨迹图像的可控参数比较多，我们就详细的讨论了在只有一 个参数改变时机构的轨迹图像变化情况，然后总结了齿轮一五杆机构在齿轮的传 动比、初始相位角、杆长以及两杆之间的夹角变化时的轨迹曲线的变化规律。这 对利用轨迹来设计齿轮一五杆机构中的各参数具有很重要的指导意义。 关键词：齿轮一五杆机构双曲柄轨迹曲线计算机图形仿真 西北工业大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h e g e a r e d f i v e - b a rl i n k a g eh a sm o r ed i m e n s i o n p a r a m e t e r s t h a nf o u r - b a rl i n k a g e s oi tc a nr e a l i z em o r ev e r s a t i l el o c u s c u r v e sa n di t sc u r v e sa r e c o m p l e x a n d u n p r e d i c t a b l e t h e n i t sm o r ed i f f i c u l tt or e s e a r c h g e a r e d f i v e - b a rf o ri t sm o r e p a r a m e t e r s t h ee x i s t e n c eo fac c ( c r a n k - c r a n k ) t y p eo fg e a r e df i v e - b a rl i n k a g e sl i n k e dw i t h t h eg r o u n dl i n k ，t h ec l a s s i f i c a t i o na n dt h er a n g eo f g e a rr a t i oa n dp h a s ea n g l ei nt h e f u l l yr o t a t a b i l i t yo fg e a r e df i v e b a rl i n k a g e sw e r em a i n l ys t u d i e di nt h i sd i s s e r t a t i o n t h e nt h el o c u sc u r v e so fo n ep o i mi nt h eg e a r e df i v e b a rw e r es t u d i e dw i t ht h ec h a n g e o f t h e g e a rr a t i o ，t h ep h a s ea n g l e ，t h eb a rl e n g t h a n dt h ea n g l eb e t w e e nt w ob a r s t h e n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ei n p u ta n g l et ob er o t a t a b l ea n g l e o fn b a rl i n k a g e sa n dt h er o t a t a b i l i b , o ff i v e - b a ra r ef i r s t l yp r o v e da c c o r d i n gt ot h e t h e o r yo fn b a rl i n k a g e s 。t h e nw e c o n c l u d et h ef i v e - b a r sc l a s s i f i c a t i o na n dt h eg e a r r a t i oa n dp h a s ea n g l ei ne a c hc l a s s i f i c a t i o nt ob ef u l lr o t a t a n l i t y a c c o r d i n gt ot h e a l g o r i t h m ，w i t h t h et o o lo fv i s u a lc + + 6 0 ，id e v e l o p e das e to fi n t e l l i g e n ts o f t w a r et o d y n a m i c a l l y c r e a t eg e a r e df i v e - b a r sl o c u sc u r v e sa n dv e l o c i t ya n da c c e l e r a t i o nc u r v e s ， a c h i e v et h ev i s u a l i z e di n p u t o nt h es o f t w a r ep l a t f o r mw es t u d i e dt h ee f f e c to ft h ef i v e - b a r sp a r a m e t e r so n t h e l o c u sc u r v e s b e c a u s et h e r e i r es e v e r a lp a r a m e t e r st oc o n t r o lt h el o c u sc u r v e s ，w e p a r t i c u l a r l yp r e s e n t e dt h el o c u sc u r v e s i nt h ec a s et h a to n l yo n ep a r a m e t e rc h a n g e w h i l eo t h e r sr e m a i n f i n a l l y , w ec o n c l u d e dt h el a wo fg e a r e df i v e b a r sp a r a m e t e rt o e f f e c to r b i tc l r v e s t h i si sv e r yh e l p f u lt od e s i g ng e a r e df i v e b a r sp a r a m e t e r su s i n g i o c u sc u r v e s k e y w o r d ： g e a r e df i v e - b a r , d o u b l ec r a n k , l o c u sc u r v e s ，v i s u a t i z a t i o ns i m u l a t i o no f c o m p u t e r 西北工业大学硕士学位论文 1 i 本文的研究意义 第一章绪论 随着计算机技术的发展，计算机的图形图像处理能力也日益增强，这也使 得计算机辅助设计能够较好的得以实现。而计算机辅助设计又使得机构学发展到 一个新的阶段，它把机构设计理论方法和参数选取等设计者的智慧与计算机系统 所具有的强大的逻辑推理、分析判断、数据处理、运算速度，二维和三维图形显 示等功能结合起来，可以用人一机对话的方式，简便、直观、快速、最优地完成 设计工作。 在动力机械、汽车、机床、纺织、印刷及其它各种加工领域中，在各种精密 仪器仪表中，由于生产的发展，自动化、机械化程度的提高运动形式和规律目 趋复杂，人们对机构的输出运动提出了更加多样化的要求。由于各种基本机构性 能的局限性，使得仅采用某种基本机构往往不能很好的满足设计要求。因而常把 几个基本机构组合起来加以应用，这就构成了组合机构1 1 】。利用组合机构不仅能 满足多种设计要求，而且能综合应用和发挥各种基本机构的特点，因而组合机构 得到了越来越广泛的应用。组合机构是由子机构按串联、并联、封闭和装载等形 式组成，而其子机构可以是基本机构，也可以是由基本机构按照上述组成形式所 组成的机构。 由于组合机构的结构较复杂，设计计算亦繁复，对它的计算也变得困难。近 年来，运用了电子计算机和采用了最优化方法，极大的推进了它的研究进展。 组合机构可按其基本机构的种类及组成的结构型式进行分类。 按组合机构的基本机构种类分类 从广义上看，组合机构可以是机械、液压、气动和电动传动方式的组合。而 在机械式中，又有剐性和挠性构件的不同。它可以是由同一种类的机构组合，也 可是由不同种类的机构组合。 按组合机构组成的结构型式分类 其基本类型不外乎有串联式、封闭式、并联式和装载式四种。串联式组合机 构由基本机构串联而成。封闭式组合机构是用自由度为1 的基本机构去封闭一个 多自由度的基本机构而成。其中多自由度的机构是组成封闭式组合机构的基础， 称为基础机构，而约束( 或封闭) 多自由度基础机构的机构，称为附加机构。并 联式组合机构是由九个自由度为1 的基本机构的输出件与一个自由度为n 的基本 机构的运动输入件分别固联而成。装载式组合机构是将基本机构装载于另一基本 机构的运动构件上而构成的。 在机构学中其研究内容常概括为两个方面的问题：一是机构的分析，包括 机构的结构分析、运动分析和动力分析；二是机构的综合，它是根据运动和动力 西北工业大学硕士学位论文 性能方面的要求来设计新的机构。 在设计机械运动简图时，与机构设计类似，需要解决两个基本问题：型综台 ( 结构综合) 和尺度综台的问题。 在工程实践中齿轮连杆机构的种类最多，是一种应用较广泛的组合机构， 通常由定传动比的齿轮或轮系和变传动比的连杆机构组合而成，两者的叠加运动 输出可以实现复杂的运动规律，包括多种规律和运动轨迹，改变齿轮传动比即可 调整从动杆的运动规律或轨迹。齿轮一连杆机构具有结构简单、紧凑、易于加工、 精度便于保证和运动比较可靠等特点。它与凸轮一连杆机构和凸轮一齿轮机构相 比，由于没有凸轮，制造方便，为人们乐于采用，并具有如下功用： 1 ) 实现变速回转运动。可用来实现单向变速运动、短暂停歇的步进运动、 长时间近似的步进运动和具有后退的步进运动i 2 ) 实现定传动比的等速回转运动； 3 ) 实现大摆角、大行程和一端停歇的往复运动； 4 ) 实现两连架杆数对对应位置和再现函数； 5 ) 近似实现给定的轨迹； 6 ) 实现刚体导引。 对齿轮连杆机构的研究可以搞清其组成原理提出比较简单直观的类型综合 方法。进行齿轮连杆机构的类型综合是机构创造发明的重要一环，只有列举出所 有的齿轮连杆机构类型，才不至于漏掉最优方案。齿轮连杆机构类型综合也是建 立类型方案库的基础工作。所以应深入研究齿轮连杆机构的结构组成原理及类型 综合问题。 平面四杆机构只有一个自由度。当需要增加自由度的时候，就需要增加杆， 这样就得到了杆机构。由于有多个自由度，则需要输入多个独立运动。如果这 些输入是独立的，那么连杆机构就可以实现可编程控制。如果这些输入是相互关 联的，那么就成为只有一个自由度的机构虽然只有一个自由度，但仍然能够实 现运动的多样性。 相比四杆机构，五杆机构由于具有较多的尺寸参数、不同的驱动方式及其不 同的传动比要求，因此它能实现比四杆机构更为丰富的轨迹。 一般的平面五杆机构有两个自由度，需要两个原动件，比较复杂。但若将两 个原动件以定传动比的齿轮副相连接，则可以使机构简化为只需要一个原动件。 但这种齿轮连接必须要保证将齿轮连接到五杆机构的曲柄上才有意义，才能够保 证齿轮的整周转动性。故判断五杆机构的双曲柄存在条件就显得非常重要，目前 国内外对这一方面也已经做了很多的研究。本论文首先讨论了杆机构的曲柄存 在条件，进而研究了五杆机构的双曲柄存在问题。 在研究齿轮一五杆机构中点的轨迹曲线特性时必须保证机构中双曲柄的存 在。由于要不断的进行试验，那么用实验的方法进行研究将会非常的麻烦，并且 西北工业大学硕士学位论文 由于齿轮一五杆机构中的参数比较多，研究各参数对齿轮一五杆机构轨迹曲线的 影响的工作量也将变得非常庞大。而借助于计算机仿真的方法，我们可以编制五 杆机构的轨迹特性分析软件，通过软件我们可以方便的研究齿轮一五杆机构中参 数对轨迹曲线的影响，并可以进而研究机构中的速度和加速度的变化情况。 1 2 文献综述 对齿轮连杆机构进行运动特性研究，可以搞清其运动规律，发现原来没有发 现的新的运动特性，运动分析是运动综合的基础工作。所以应深入研究齿轮连秆 机构的运动分析方法。 近些年来，齿轮连杆机构得到了广泛的应用【3 l 。国内外许多学者都对齿轮连 杆机构进行了研究i s - l q ，在运动学分析上，齿轮连杆机构的运动分析方法概括起 来有以下的4 种，即复数矢量法【2 2 】、分组运动分析法邮】、一般解析法【2 3 1 和广义 型转化法 4 - 7 。前三种都是针对每一种机构建立数学模型，再用一定的数学方法 求解，不但不具有通用性，而且求解比较复杂。如s a n d o r 口2 1 用复数矢量法对几 种常见的齿轮连杆机构进行了运动综合与分析，该方法的缺点是针对每一种机构 就需要建立一套不同的非线性方程组，方程组的维数比较大，求解繁复。文献【l “”】 用复数矢量法对齿条一齿轮连杆机构进行了运动分析与综合。其中文献 t t - t 5 1 对用 于函数生成的齿条一齿轮连杆机构进行了运动分析。文献0 5 1 中还分析了用于轨 迹生成的齿条一齿轮连杆机构。牧野洋用复数矢量法列出了三齿轮四杆机构的运 动分析表达式。 文献【1 5 1 对齿轮连杆机构的分组运动分析进行了研究，将齿轮连杆机构分解 为主动件和几种构件组的组合，并建立了3 种常见构件的运动分析数学模型，并 且用解非线性方程组的方法对其进行了运动分析求解，从而可以解决许多齿轮连 杆机构的运动分析问题。朱友民还研究了齿轮连杆机构基本杆组的计算机识别。 但上述文献中所列的几种构件组并不是最基本的杆组，并且很难列全所有的构件 组，故仍有大量的齿轮连杆机构的运动分析问题不能解决。文献9 1 提出了“低 代一拆组一还原”法，采用此方法将齿轮连杆机构拆成了相应于a s s u r 组的基本 杆组，这些杆组中有i i 级齿轮连杆杆组，也有i 级以上的齿轮连杆杆组。该方法 需对每种i i 级组和高级组进行分析。文献【2 d l 对1 i 级齿轮连杆机构进行运动分析。 文献1 2 1 中用杆、轮分离法对两种高级齿轮连杆杆组进行了运动分析。 文献【6 - 7 i 提出了齿轮连杆机构运动分析的一种方法一一广义型转化法。这一 方法将齿轮连杆机构分为最基本的单元一一单构件和广义双秆组，将这些有限数 目的基本单元的运动分析编为子程序那么任何齿轮连杆机构的运动分析问题即 转化为在虚拟参数下这些基本单元的子程序调用过程，文献【6 1 阐述了广义型转化 法的基本原理。文献【 1 提出了广义型转化法的具体方法和步骤。 许多文献对一些具体的齿轮连杆机构用一般解析法进行了运动分析。 西北工业大学硕士学位论文 f r e u d e n t e i n 导出了齿轮五杆机构中连接两浮动杆的轴点所生成的轨迹曲线表达 式。p r i m r o s e 对任意函数比的情况进行了研究。o l e k s a 研究了再现函数的齿轮五 杆机构多点分割位置设计问题，进行了齿轮五杆机构的有限位移分析和无限小位 移分析。文献口3 1 对球面两齿轮五杆机构进行了研究，探讨了球面齿轮连杆机构 的位移分析和停歇特性。文献【1 4 1 用一种新方法研究了齿轮五杆机构的几何学， 其关键思想是将一个机构图形看作一个广维图形空间的点，而所有的图形族就被 表示为那个空间的代数曲线。文献【2 ”对6 种类型的齿轮四杆机构进行了研究， 提出了位移表达式，探讨了其运动特性和动力特性。 齿轮连杆机构经常被用来实现预定的功能，轨迹，刚体的运动以及连杆之间 的对应位置。在机构设计中经常遇到的问题是确定机构的整周转动特性，也即机 构能否整周转动。像四杆机构已经由g r a s h o f 条件解决了这个问题m 】。 自从g r a s h o f 在1 8 8 3 年作出了里程碑式的工作，四杆机构的g r a s h o f 标准吸 引了许多研究者的注意，并且成为判断四杆机构运动性的最有效方法。 h a r d i n g 2 7 1 ，p a u l 2 ”，b a r k e r 2 9 1 和j e n g 3 0 j ，以及m i d h a t 3 1 1 等人基于连杆机构在 极限的位置的几何特性延伸并阐明了g r a s h o f 的工作。a n g e l e s 和c a l l e j a s p 2 】以及 w i l l i a m s 和r e i n h o i t z t ”1 等人用输入输出关系导出的多项判别式对它进行了检 验，g u p t a t ”1 则从传动角的极值直接的得到了它。 齿轮一五杆机构可被认为是由一个五秆机构环和齿轮串组成的多环机构。 f r e u d e n s t e i n 和p r i m r o s e ! ”l 在1 9 6 3 年研究了一个简单的齿轮一五杆机构装置的 连杆曲线在给定传动比下的代数、几何和动力学特性。r o t h 和f r e u d e n s t e i n 3 6 i 在 1 9 6 3 年用数学迭代的方法分析了在传动比分别为l 、一l 、一l 2 、一l ，3 时的齿 轮一五杆机构用九点生成轨迹的情况。s a n d o r 和e r d m a n l 3 7 1 ( 1 9 8 4 ， 19 7 1 ) ，k r a m e r e 和s a n d o r l ”i ( 1 9 7 0 ) 用一种一般的平面连杆分析的方法来分 析由摆线曲柄连杆机构的生成函数。s t a m s 和f l u g r a d 口9 】在1 9 9 0 年演示了由连 续法分析一个简单的齿轮一五杆机构的轨迹生成方法。d h i n g r a 和m a n i m l 在 1 9 9 3 年用符号计算的方法分析了有六个齿轮的齿轮机构。d 帕f 每h ”在1 9 8 0 年作 了简单的摆线型和一般型的齿轮机构分析。然而，对比在四杆机构上所做的工作 ( w a l d r o n ，1 9 7 6 1 9 7 9 ) ，在齿轮一五杆机构上，我们会看到到在齿轮一五杆机 构的整周转动特性以及齿轮五杆机构的分类上仍然存在很多的问题。 为了预言齿轮一五杆机构整周转动特性l e e 和f r e u d e n s t e i n ”1 用了一系列 的图谱来进行分析。s o n i 和s h i r k h o d a i r e t 4 3 1 用3 一d 图形并编写了一个计算算法 来进行分析。但这些工作都局限在齿轮机构的传动比为固定时的情况。并没有得 到判定五杆机构的整周转动性所需的基本理论和标准。 这里主要有两种方法来研究连杆机构的分类和整周转动特性。一种是研究连 杼曲线的方法，( m i d h a z h o u a n d h e r , 1 9 8 5 4 4 1 ；w h i t e ，1 9 8 7 4 5 1 ；m i r t h ，d a v i s ， c h a s e ，1 9 9 2 4 6 1o 另外一种是研究连杆机构的转动空间，( m i r t h 和c h a s e ，1 9 9 0 4 7 i ： 4 西北工业大学硕士学位论文 t i n g ，1 9 9 4 【4 8 5 1 】1 。 1 3 本论文的主要工作 本论文的主要工作如下： 1 根据g r a s h o f 条件，对四杆机构迸行了分类，然后做出每一种类型的四杆 机构的输入角和输出角的运动曲线图。当五杆机构的传动角取极值0 或 时得到 四杆机构而该四杆机构的运动曲线图便成为五杆机构中输入角和输出角区域的 边界曲线。 2 ，研究了杆机构中输入角为周转角的充分必要条件，讨论了杆机构的 整周转动性以及杆机构分类。将杆机构的理论应用于五杆机构，从而得出 了五杆机构的分类以及五杆机构的整周转动性条件。 3 本文详细的讨论了在五杆机构的每种分类情况下机构中存在双曲柄时 的传动比及相位角的选取情况。然后我们可以就此编制出相应的程序从而判断齿 轮一五杆机构中的各参数是否满足双曲柄的存在条件，并进而绘制出点的轨迹曲 线。 4 以w i n d o w s2 0 0 0 为平台，以面向对象的v i s u a lc + + 6 0 为开发工具，实 现整个软件系统，并能够动画演示运动轨迹及速度和加速度的可视化仿真。本软 件实现了齿轮一五杆机构系统的参数化，即用参数来控制齿轮一五杆机构的轨迹 曲线形状。还可以将软件中的轨迹、速度以及加速度等数据保存在文件中并在 o r i g i n 这个软件中再现运动曲线情况。 5 ，利用该软件详细的研究了齿轮一五杆机构在齿轮的传动比、相位角、杆 长等参数取不同的值时齿轮一五杆机构的轨迹曲线的变化情况。从而我们可以根 据所得到的图谱对齿轮一五杆机构的参数选取作出大概的判断。 两北i ：业火学硕 学他论文 第二章齿轮一五杆机构的运动特性研究 2 1 四杆机构有曲柄条件分析 五抒机构中当传动角等于0 或者石时，就演化成了四杆机构，可以说四杆机 构m 是托杆机构的一种特殊情况。下面我们先讨沦一下四杆机构的情况，以便为 中t 机构的分析打下基础。 圈2 1 铰链四杆机构 c 图2 一l 所示为一铰链四杆机构，它是平面四杆机构的基本形式，其它形式 的四朴机构都可认为是它的演化型式。在此机构中，a df i ：为机架，a b 、c d 两构 件与机架拥连称为连架打b c 杆称为连杼。在连架杆中，能够作整周回转者称 之为曲柄，而只能在一定范围内摆动者称为摇杆。在铰链四杆机构中，各运动副 都是转动副。如组成转动副的两构件能够相对整周转动，则称其为周转副；如果 不能作相对整周转动者，则称为摆转副。 在阿2 一l 所示的例中，要使杆a b 成为曲柄，转动副a 就应成为周转副。 下而是转动副成为周转副的条件。令f 为四杆机构的最长杆j 为四杆机构的最 短期一，p ，q 为另外两杆的长度。则平面四杆机构有曲柄的条件( g r a s h o f 条件) 为： l l n + z p + q ，则该四杆机构不满足g r a s h o f 条件孩四杆机构中任何一 十l ：鄙不能做整周转动该四杆机构为三摇杆机构。如果s + ，= p + q ，在该特殊情 况卜，机构为双曲柄机构或曲柄摇杆机构，当所有的杆共线时机构中存在死点， 凶此机构的运功变得不确定。 西北工业大学硕士学位论文 2 2 齿轮一五杆机构的装配形式 图2 2 三种齿轮一五杆机构 如果给平面四杆机构再加上一杆则变成平面五杆机构。由于五杆机构有两个 自由度，故如果给五杆机构加载一对齿轮副约束，则就变成只有一个自由度的齿 轮五杆机构。由于连杆机构各构件间都有相对运动，为了使装在各构件上的齿轮 副能始终保持啮合，齿轮应装载在连杆机构转动副中心的销轴上。只有当装载在 同一构件两转动副中心的销轴上的齿轮不直接啮合，而通过中间轮相啮合时，这 中间轮才可不装在上述销轴上。这种齿轮一连杆机构有如图2 2 所示的三种主 要形式。 本论文中我们主要讨论( a ) 所示的形式，在这种形式中，我们将两个齿轮都 装置在机座上，这样可以减少当将齿轮装载在连架杆或连杆上时的移动杆的重 量，还可阻避免输入力矩之阃的叠加。 本文中所研究的齿轮机构如果没有特别指明，都是指单环封闭的机构。杆的 长度是从铰接点的中心处所量得的长度。 2 3 杆机构转动性的基本理论 在杆机构中当n 3 时，下面所讨论的杆的装配条件、周转角以及整周 回转条件对于n 3 的各杆长都是适合的。故也适用于我们所讨论的五杆机构。 在v 杆机构中，机构中杆的长度定义为z 。( i = 1 , 2 ，) ，其中f ，f ：f 。， 而，。，。被称为短杆，而，。，。，。被称为长杆。所以杆机构中共有一3 根短杆和3 根长杆。 下面讨论一下杆机构( 当n 3 时) 的几个定理和推理，这将为后面讨论五 杆机构的运动特性打下基础。 西北工业大学硕士学位论文 1 杆机构的装配条件： 根杆组成杆机构的充分必要条件为： 一i k s 疋 ( 2 一1 ) ；i 即最长杆的长度必须小于等于其余杆的长度之和。对于五杆机构为 4 。 ；l 2 周转角 周转角定义：连杆机构中相邻两杆之间如果能够绕它们的转动轴线整周转动 时他们之间的夹角。 图2 - - 3 推理i ：在杆机构中，只有当角度口能够转动到0 。和1 8 0 对，角度口才是 周转角。 在此，只要我们能够证明如果角口不能够到达0 。到3 6 0 。之间的任意一角， 那么它就至少不能到达0 6 和1 8 0 。这两个角中的一个。 证明：设口为杆机构中第i 杆和第，杆之间的夹角，如图2 - - 3 所示，我们 以虚线所示的a b 作辅助杆于是周转角口意味着对于口l o 。，3 6 0 1 ，杆七和余 下的一2 根秆总是能够组成一l 杆机构。由余弦定理有： q ) = + e 一2 1 , l jx c o s 计” 因此 地州 嘲 而这也定义了口( 0 9 墨口蔓1 8 0 ) 和t ( f 。k ) 之间的一一对应关系。其 8 西北工业大学硕士学位论文 中，。= i l ，一，l ，而f m 舡= f 。+ ，而这也是0 ) 的两个极值。 假设存在某一角度 0 , 3 6 0 。j ，而口始终不等于，则由函数厂以) 的连 续性可知，口不能够到达【o 。，口；】和睇，1 8 0 。j 这两块区域，而只能够到达其中的一 块区域，式中口0 ：，瓴) ，且口：0 , 1 8 0 6j ，因此口不可能o 。和1 8 0 。两者都转到 故推理得证。 定理1 ( 周转角定理) ：在杆机构中，两相邻杆f 和，之间的夹角口为周转 角的充分必要条件为 n - ! “+ s k ，其中f ，= r a i n ( 1 , ，) f ： 式中，。是杆k 的长度，k = 1 2 n ，并有z ，2s f ，而= m i n ( 1 , ，l j ) 。 证明：我们不失一般性，假设f 。，。因此，t = f ，并且f l n 鼬南l 。+ lj s i m + l 。 f 2 2 a ) 当 f 。+ ? ，蔓f 时，有“ ( 2 2 b ) k l l 剖j 一 考虑到( 2 1 ) 式，我们注意到( 2 2 a ) 和( 2 2 b ) 就是( 2 一1 ) 式的演化形式，也即 n i 杆的装配条件，这已经被证明为是成立的。 当口= 0 。时，杆 i n ；，和杆札一f f 组成n l 杆机构a 我们有 9 西北工业大学硕士学位论文 如果k l j f ，有f 。，+ ( 一f ，) ( 2 3 a j 如果0 一，。 ，有0 ，s ，+ f 。 ( 2 3 b ) 因此，由( 2 2 a ) 和( 2 3 a ) 以及( 2 - - 3 b ) 就可以得到周转角的充分必要条件。 一】 1 ) 当时，则有m = n ，就是( 2 3 a ) 中的情况，即“+ ，s 丘，当 - 1 t ，j f ，+ f ， 0 时，( 2 2 a ) 式亦成立 一】 2 ) 如果j = n ，( 2 2 a ) t 垃，则有+ z ，s k ，而当f 。，。- l ，时 锗 ( 2 3 a ) 式成立。 由以上分析，故定理得证。根据该定理我们知满足g r a s h o f 条件的四秆机 构正好有两个周转角，而不满足g r a s h o f 条件的四杆机构则没有周转角。 3 整周回转条件 有，( f21 1 个自由度的连杆机构需要f 个输入才能使机构有确定的运动。 选择机构中f 个转角为输入角在给这f 个转角赋一系列数值的情况下，该机构 可能存在死点位置，而在该位置时连杆机构位置不确定或者是处于失控状态。 因此，有f ( f 1 1 个自由度的连杼机构中连杆的整周回转条件是：无论这f 个转角取什么数值，机构中都不存在死点位置。 推理2 ：在杆机构中，只有当输入角满足以下条件时连杆才具有整周转动 性： 1 ) 每个输入角都至少有一根短杆作为输入角的边； 2 ) 每根短杆都至少是一个输入角的边。 证明：我们假设条件l 不满足，则会有下述的情况：在能够整周转动的杆 机构中角口为输入角并且以杆a 和杆b 0 。，。) 为边，而杆a 和杆b 都是长杆， 则有，一2 j 1 口，由定理1 有 + “ 下面我们由一般归纳法予以证明。 当n = 4 时，则条件( 2 - - 4 ) 有 1 0 ( 2 4 ) 西北工业大学硕士学位论文 + f 4 ，+ + f( 2 5 ) 其中+ 是杆乜，j = 2 ，3 中，由于，。r 且，。，除非f 。= ，f 。= o 否则 这将与定理l 产生矛盾，但这时a 杆实际上就是一短杆了。因此当= 4 时，条 件1 成立。 下面让我们假设当k 时条件1 是成立的。则当= k + 1 时( k 4 ) ， 在能够作整周转动的昏。1 杆机构中，短杆是似等，长杆是鼢。k 。+ 。l ，并且有足一2 个输入角。如果某输入角口以两根长杆a 和b 为边，并设f 。茎f 。，其中 协，b 匕 k l ，k ，k + 1 ，由于k 4 ，则必定有另外的一个输入角卢至少以一根短 杆为边，我们将这两根杆记为j 和，并且i j f ，则有f k 一2 。 当j a 或b 时，我们令卢= 0 。r 2 6 a ) 当- ，= a 或b 时，我们令卢= 1 8 0 。( 2 6 b ) 则当如( 2 6 a ) 所示的情况时，我们得到杆长为 ，z + ，m 1 l - 1 ，州，l k - 2 ，n 一j k + ，。，m 所示的能够整周转动的k 杆 机构。并且不论杆长? ，一f ，是否等于零，输入角口都是由两根长杆所组成。但是 由我们前面的假设知，这种置杆机构是不能够作整周转动的。这就与我们最初开 始的假设产生了矛盾。因此杆a 必须是短杆，故当= k + 1 时条件1 成立。 当如( 2 6 b ) 所示的情况时，则我们得到杆长为z 。，f 2 ，f 。，。，z 。， ，川，f k 2 【f ，+ z ，l ，p f “，的k 杆机构。这其中p ，”j = k l ，k ，k + 1 ) 。输入 角口的两个边亦由两长杆组成。跟上面所讨论的情况类似，这同样与我们的假设 存在矛盾，因而杆一在丘+ 1 杆机构中也必须是一短杆。通过( 2 6 a ) 和( 2 - - 6 b ) ， 条件l 得到了证明，下面我们再来证明条件2 。 为了证明这个条件的成立，我们首先假设存在能够整周转动的杆机构不满 足这个条件。也就是说，以一根短杆为边的两个转角都不是输入角。下面我们用 反证法予以证明。 首先我们令所有的输入角都等于1 8 0 。，这样就得到如图2 4 所示的最终以 三根杆为边的三角形机构。 西北工业大学硕士学位论文 图2 4 在该三角形三杆机构中的三个内角都是非输入角。而设边1 和边2 都是由一 根或多根杆所组成。在图2 4 中，我们根据杆机构中长杆的分布情况选取一 个或两个输入角。如果三根长杆恰好都落在边1 或边2 上时，我们选择两个输入 角，如图2 5 中标记为“0 ”所示，这样就在新得到的五杆机构中将3 根长杆分 离开。当三根长杆分别在边1 和边2 上时，我们选择一个输入角，如图2 6 标 记为“0 ”所示，同样的，在新得到的四杆机构中，将3 根长杆都分离开。 c 图2 - - 5图2 - - 6 在如图2 6 所示的情况中，输入角由两根长杆所组成，除非 ，m i n ( f 日，c ) = z f( 2 - - 7 ) 当，。m i n ( 1 。，i c ) = ，。不成立时，我们由条件1 知该四杆机构是不能够作整周 转动的，因此组成该三角形的| v 杆机构也不能够作整周转动。当 f 。r a i n ( 。，? 。) = 成立时，有唯一的结论就是b 或者c 在杆机构中是由一根 单独的长杆所组成，并且这根长杆的长度与短杆i 的长度一样。例如，在四杆机 构中，1 ：，：= 1 3 茎1 4 ，那么c = 2 ，i = l ，这时我们将i 称为长杆，而c 称为短杆， 那么该杆机构也不违反条件2 。 在如图2 5 所示的情况中，同样的，考虑到条件1 ，只有当c 是短杆的时候， 这五杆机构才能够整周转动，即 1 2 西北工业大学硕士学位论文 m i n ( 1 a ，屯，) 七f ( 2 8 ) 否则的话，图2 5 中标记为0 的任意一个输入角都将有两个长杆作为它 的边，而这又与条件1 产生矛盾。由图2 5 的装配条件知 1 + l a l8 + ! c 十t d 由条件( 2 8 ) 和条件( 2 9 ) 知， m a x 仉，k ，f c ) = ， 但事实是杆c 相对于长杆b 和d 是可以整周转动的( 由定理1 知) ， | c + l s l l + i8 + t o ( 2 - 9 ) ( 2 1 0 ) 并有 ( 2 1 1 ) 由( 2 8 ) ，( 2 - - 9 ) 和( 2 一1 1 ) 得到，c 只是由原来的杆机构中的一根长杆所组 成，并且它的长度等于短杆i 的长度。因此，我们调换杆i 和杆c ，并将杆i 称为 长杆，而杆c 成为一边有输入角的短杆。因此杆机构与条件2 之间并没有矛 盾。故条件l 和条件2 都得证。从这个推理中我们可以得到以下的结论。 结论l ：在能够整周转动的杆机构中，当所有的输入角都等于1 8 0 4 时，将 演变成三角形机构，并且三根长杆分布在三角形机构的三条边上。 证明：假设有两根长杆，如_ ，和j + ，当所有的输入角都等于1 8 0 4 时，分布在 三角形机构的一条边上。由推理2 的条件l 可知，和，之间必须还有搠根短杆 相连，并且其中的转角都是输入角。我们令除了，与邻杆的夹角以外的剩下 的j 和，+ 之间的m + 1 个角都等于1 8 0 。并将坍个短杆的长度设为f ，让 ，= ，+ ，也即设杆的长度等于的长度与，杆的长度之和。于是n 杆机构 演变成为n m 杆机构，并且有一个输入角卢的两条边为两根长杆_ ，和，而这 与推理2 的条件2 是相矛盾的。因此，在能够整周转动的| 杆机构中，两根长柯 之间不能够用连续的输入角连接在一起。 推理3 ：杆机构能够整周转动的必要条件是： 1 1 每个输入角都至少有一根短杆作为它的边； 2 ) 每根短杆都至少是一个输入角的边； 3 1 杆长条件满足下面的不等式： 西北工业大学硕士学位论文 图2 7 证明：由于条件1 和条件2 前面都已经证明了。现在我们只需要证明条件3 就可以了。对于任意给定的能够整周转动的杆机构，我们把以杆一1 和杆 一2 为边的输入角设为06 ，而其余的输入角都设为1 8 0 。，这样就可以得到如图 2 7 所示的三角形机构。不失一般性，包含第一1 杆的边我们称为边l ，包含 第一2 杆的边我们称为边2 ，而包含第杆的边我们称为边3 。这样我们得到 杆长 k ，l = ，_ i 一f r = l h z ：= f 。一艺f 2 ， r l i k l ，= “一， 式中f 、，表示f 边上的第，根短杆，并且有k 。+ k ：+ k ，= 一3 ，也就是全部 的短杆数目。 在图2 7 所示的三角形机构中 ，3 ，i + ，2 也就是 ，+ 0 i + ，2 + + ，一，) z 一2 + 0 一l ( 2 1 2 ) 当式( 2 1 2 ) 中的等号成立时，图2 - - 7 所示的三角形机构的三条边将落在同 一条直线上，这是一个不确定的位置。排除这种导致产生不确定位置的情况，我 们就得到了条件3 。 西北工业大学硕士学位论文 推理4 ：满足以下条件的杆机构能够整周转动 1 ) 在每对非输入角之间有且仅有一根长杆； 2 ) 杆长满足以下的不等式 “+ ( ，1 + ，2 + + ，一3 ) 4 的情况，我们用 数学归纳法予以证明。 设当n k 时命题成立。对于满足推理5 的条件l 和条件2 的足+ 1 杆机构。 我们选择以杆j 和杆，为边的输入角口，并设，曼f ，。因为满足条件1 ，所以杆i 是 短杆。如果输入角能够转动到o 。和1 8 0 。，而得到的世杆机构也满足推理5 的条件 1 和2 ，那么我们由开始的假设知对于n = k 十l 该命题是成立的，该推理也得证。 下面考虑在杆，的长度不同时的情况。 1 当，k 一2 时，为一短杆。 ( 1 ) 当a = 1 8 0 4 时，得到杆长为1 ，1 2 ，。，。，l - l ，? 川f f 一2 ，也+ f ，) ， l k - i ，。，的k 杆机构。k + 1 杆机构的条件2 保证了新杆也+ z ，) 仍然是根短杆 而条件1 则保证了在新杆的一边上有一个输入角，而这个特性也传递给了新的丘 杆机构。最后，k 杆机构中条件2 中的杆长不等式与足+ 1 杆机构是一样的。 ( 2 ) 当口= 0 9 时，得到杆长为“，2 ，。，。，l i + 。l x 一：，也一f 。) ， f 。，f 。，f 。的k 杆机构。很明显【f - l ，) 是短杆，这样，条件1 得到了满足。而由 于 k + l + ( f 1 + + l j 一1 + 0 i + + ，一1 + l + l + + ，月一2 ) + o ，一f ，) - - l r + 【+ 0 l + + f h + ? f + 1 + + ，r 一2 ) ，f “+ “+ + z f 一2 ) l x 一】+ k 因此条件2 也是成立的，故当，是短杆的时候，命题是成立的。 2 当f = k 一1 或足时，为一长杆，但却不是最长杆 ( 1 ) 当口= 1 8 0 6 时，得到杆长为1 1 , f 2 ，f j - 1 ，f f + 】，f h ，p ，- 4 - f o f ，k + i 的k 杆机 构，其中，为d ，j = 噼- 1 ，k 。因为新成立的杆是一根长杆，所以条件1 是满 足的。至于条件2 中的杆长不等式，它取决于条件，+ ，。是否满足。 西北工业大学硕士学位论文 1 ) 如果f ，十f ，k + 1 ， r + l 杆的杆长不等式条件为 ，e + l + 0 1 + f 2 + + f r + 2 ) l r i + ， 因此，k + + “+ ，：+ + 一。+ z 。+ + z 。) ，。，那么新组成的杆为最长杆，并且不等式为 也+ ，) + ( + ，：+ + ，。+ f 。+ + ，。一：) ，+ ，。+ ， 该不等式等价于 f ，+ ( f l + ，：+ + ，。+ ：) ，。+ z ，杆长的不等式亦得到。 ( 2 ) 当口= o 。的时候，得到杆长为，f ：，f 。，。，k 。也一l ，k + 的k 杆机构 同( 1 ) 中的情况一样，我们从k + i 杆机构的条件2 得到新杆n 一) 依然是长 杆。在这种情况下，k 杆机构的杆长不等式条件和原来的n 1 杆机构的杆长条件 是一样的。 因此，当j = k l 或k 时，在口= 0 。或1 8 0 。时足杆机构中的条件1 和2 都 是满足的。 3 + 当，= k + 1 时，为最长杆。 ( 1 ) 当d = 1 8 0 。时，我们得到杆长为f 。，? ：，。，。，k 。( f ，一f ，l f ，。的k 杆机构。很明显，新杆是最长杆。足杆机构的条件1 是满足的。而且，杆长不等 式对于足杆和n l 杆都是成立的。 ( 2 ) 当口= 0 。时，我们得到杆长为0 f ：，。，。，f 。+ k ，( 。一) 的k 杆机构。在这种情况下，新杆必然是长杆。该杆是否为最长杆要取决于以+ 一，) 是否比，。杆长。条件1 对新杆也是成立的。下面我们根据新杆是不是最长杆来讨 论杆长不等式。 1 ) 当( f 。一) k 的时候，由于 西北工业大学硕士学位论文 0 f + 1 一，) + o l + ，2 + + ，l 一】+ ，。+ 1 + ，f + 1 + “+ ，2 + + k 一2 ) k “+ ，* ， o r “一，。) + “+ z 2 + + 1