（应用数学专业论文）基于小波变换的数字水印算法和边缘检测.pdf

哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 基于小波变换的数字水印算法和边缘检测 摘要 本论文是基于小波变换进行数字水印算法和边缘检测的研究。首先介绍 了研究数字水印算法和边缘检测的重要性，以及目前国内外的研究现状等基 本问题，作为算法的理论基础部分，详细介绍了离散小波变换，多尺度分 析，二维小波变换和图像处理。具体地，本文完成的工作主要包括以下三个 方面。 第一，利用混沌序列的优良性能，提出了一种在小波图像低频系数中嵌 入水印及检测的算法。从视觉效果考虑，嵌入低频系数会影响图像质量。为 克服这个问题，我们将混沌序列嵌入到视觉不敏感的位置。在2 5 6 x 2 5 6 8 b i t s 的l e n a 图像上测试了算法的性能，实验结果表明，应用本算法所实现 的水印不可见，并对常见的图像处理，例如加噪、j p e g 压缩、抖动等具有 很好的鲁棒性，是一种行之有效的数字水印算法。 第二，利用小波变换、多尺度分析和模局部极大值来检测钢球图像的边 缘。由于钢球图像中的非人为噪声的特点，使得钢球图像的边缘检测难以取 得较好的结果。小波变换不仅可以有效地反映了图像的灰度变化，又尽可能 地避免了噪声干扰。实验结果表明，应用本文算法对带有划痕的钢球图像进 行边缘检测，不仅改变了以前c a n n y 算法计算量大的缺点，而且去除了噪 声干扰，清晰反映了钢球表面的划痕，为进一步实现钢球图像的计算机自动 检测提供了依据。 第三，提出用离散平稳小波变换对测井压力数据进行平滑去噪。在油井 压力测试数据中，由于噪声的存在和某些突变点的影响，使得数据呈现锯齿 状分布，影响了正常数据分析工作。本文应用离散平稳小波变换具有冗余性 的特性，通过折中阈值方法，去除了噪声干扰，平滑了全程数据，而且可以 根据需求选择调整系数来平滑数据，满足了t 程技术对测量数据的要求。 关键词小波变换；数字水印；边缘检测；混沌序列 哈尔滨理工人学理学硕士学位论文 w a t e r m a r k i n ga l g o r i t h ma n de d g e d e t e c t i o n b a s e do nw a v e l e tt r a n s f o r m a b s t r a c t w a t e r m a r k i n ga l g o r i t h ma n de d g ed e t e c t i o nb a s eo nw a v e l e tt r a n s f o r ma r e i n v e s t i g a t e d i n t h i st h e s i s f i r s to fa l l ，i m p o r t a n c ea sw e l la sd o m e s t i ca n d i n t e r n a t i o n a ld e v e l o p m e n to fd i g i t a l w a t e r m a r k i n ga n de d g e d e t e c t i o na r e i n t r o d u c e d a st h eb a s i ct h e o r e t i c so fc o n t i n u ew a v e l e ta n dd i s c r e t ew a v e l e t ， m u l t i r e s o l u t i o n a n a l y s i s ，t w o - d i m e n s i o n w a v e l e tt r a n s f o r ma n d i m a g e m a n i p u l a t i o na r eg i v e n c o n c r e t e l y , t h r e ea s p e c t sa r ef i n i s h e di nt h i st h e s i s f i r s t ，u s i n gc h a o t i cs e q u e n c e s ，a na l g o r i t h mo fe m b e d d i n gw a t e r m a r ki nl o w f r e q u e n c ys u b b a n d o fw a v e l e t t r a n s f o r m i m a g e i s d e s i g n e d b u t t h el o w f r e q u e n c ys u b b a n di sn o ts u i t a b l ef o re m b e d d i n gb e c a u s eo f t h ed e g r a d e di m a g e q u a l i t y i no r d e rt oo v e r c o m et h ep r o b l e m ，c h a o t i cs e q u e n c e sa r ee m b e d d e di n t o i n s e n s i t i v el o c a t i o n s t h eq u a l i t yo fa l g o r i t h mi st e s t e do nt h el e n ai m a g eo f 2 5 6 x 2 5 6 x 8 b i t s ，t h er e s u l t so fe x p e r i m e n ts h o wt h a tt h ew a t e r m a r k sg e n e r a t e d w i t ht h ep r o p o s e da r ei n v i s i b l ea n dt h em e t h o di sr o b u s te n o u g ht os o m ei m a g e p r o c e s s i n gt e c h n i q u e s ，s u c ha sn o i s e ，j p e gc o m p r e s s i o n ，d i t h e ra n ds oo f f s oi t i se f f e c t i v e s e c o n d ，u s i n gw a v e l e tt r a n s f o r m ，m u l t i - r e s o l u t i o na n dm a x i m u mm o d u l a r , a na l g o r i t h mf o rd e t e c t i n gt h ee d g eo fs t e e lb a l li m a g ei sa d v i s e d h o w e v e r ，i ti s d i f f i c u l tt od e t e c tt h ee d g eo fs t e e lb a l lf o ru n a r t i f i c i a ln o i s ei nt h ei m a g e i n v i r t u eo fw a v e l e tt r a n s f o r m ，t h eg r a yc h a n g eo fi m a g ei sk n o w na n dt h e d i s t u r b a n c e so fn o i s ea r ev o i d e d t h er e s u l t so fe x p e r i m e n ts h o wt h a tt h e c o m p l e xc a l c u l a t i o nd e f e c to fc a n n ya l g o r i t h mi so v e r c a m e ，t h en o i s ee f f e c ti s r e m o v e d ，a n dt h en i c k so nt h es t e e lb a l la r ev i s i b l e t h i r d ，t h ed i s c r e t es m o o t hw a v e l e tt r a n s f o r mi sa p p l i e di n o i ld a t aa n a l y s i s + i no i ld a t aa n a l y s i s ，f o rt h ee x i s t e n c eo fn o i s ea n dt h ee f f o r to fs i n g u l a r i t yp o i n t s ， i n d e n t i o nd i s t r i b u t i o ni sa p p e a r e d ，a n dn o r m a la n a l y s i sw o r ki sa f f e c t e d f o rt h e 1 1 堕兰鎏矍奎兰兰兰翌圭耋堡鎏三 r e d u n d a n c yc h a r a c t e r so fd i s c r e t es m o o t hw a v e l e tt r a n s f o r m ，m i d w a yt h r e s h o l d m e t h o di s a p p l i e dt o r e m o v et h en o i s ed i s t u r b a n c ea n ds m o o t ht h ew h o l e p r o c e d u r ed a t a f u r t h e r m o r e ，r e d r e s s a lc o e f f i c i e n tc a nb ee l e c t e df o rd i f f e r e n t s t a t e sa n dt h er e q u e s to fe n g i n e e r i n gt e c h n o l o g yf o rm e a s u r ed a t ai ss a t i s f i e d k e y w o r d s w a v e l e tt r a n s f o r m d i g i t a lw a t e r m a r k i n g ；e d g ed e t e c t i o n ；c h a o t i c s e q u e n c e s 1 1 i 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文基于小波变换的数字水印算 法和边缘检测，是本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间 独立进行研究工作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不包含 他人已发表或撰写过的研究成果。对本文研究工作做出贡献的个人和集体，均 己在文中以明确方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签名： 施阮 日期：2 0 0 7 年3 月1 7 日 哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书 基于小波变换的数字水印算法和边缘检测系本人在哈尔滨理工大学攻 读硕士学位期间在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归哈尔 滨理工大学所有，本论文的研究内容不得以其它单位的名义发表。本人完全了 解哈尔滨理工大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部 门提交论文和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权哈尔滨理工大学可 以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文，可以公布论文的全部或部分内 容。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用授权书。 不保密囤。 ( 请在以上相应方框内打4 ) 作者签名：方施 日期：2 。0 7 年3 月1 7 日 导师签名孓f 移僵日期：2 0 0 7 年3 月1 7 日 略尔滨理r 大学开学硕十学位论文 第1 章绪论 1 1 本文研究的目的和意义 数字水印技术足门新兴的学科交叉的应用技术，它涉及了不同学科领域 的思想和理论，如信号处理、图像处理、信息论、编码理论、密码学、概率论 和随机理论、数字通信，对策论、计算机科学及网络技术、算法设计等技术， 还包括公共策略和法律等问题i i l 。因此，无论从理论角度还是应用角度来看， 开展对数字水印技术的研究，不但具有重要的学术意义，还有极为重要的经济 意义。 对水印技术研究兴趣的突然增长可能源于人们对版权保护问题的关注。近 年来，随着计算机多媒体技术的迅速发展，人们可以方便地利用数字设备制 作、处理和存储图像、语音、文本和视频等信息媒体。这样就引发数字信息传 输的安全问题和数字产品的版权保护问题1 2 l 。其中，如何防止数字产品( 如电子 出版物、音频、视频、动画、图像产品等) 被侵权、盗版和随意篡改，已经成 为世界各国亟待解决的热门课题1 3 1 1 4 1 ”。目前数字水印技术的研究都还很不成 熟，从理论到应用部还足处于发展的初级阶段，有许多问题有待于解决。 图像边缘检测足一种重要的视觉信息，是图像最基本的特征之一。边缘表 示为图像信息的某种不连续性( 如灰度突变、纹理及色彩的变化等) 6 1 。图像边 缘检测作为一个低级视觉处理过程，有着很长的研究历史。边缘检测主要用于 图像处理、机器视觉和模式识别中，是至今未得到解决的经典技术难题之一， 它的解决对于进行高层次的特征描述、识别和理解有着重大影响。随着人工智 能，特别是计算机视觉的发展，模式识别不仅形成了一系列理论和应用技术， 而且扮演着重要角色。其应用领域很多，如遥感医学数据分析、自动视觉检 验、指纹识别、签章识别、图文识别等。一个完整的模式识别系统包括数据获 取、数据预处理、特征提取和分类四个阶段，而边缘检测足数据预处理的一个 重要环节。 m a r t 的视觉理论认为，人的视觉足在不同尺度上大小有序的一张草图，在 大的尺度上聚焦于物体的整体轮廓，在小的尺度上聚焦丁物体的精细结构。生 理结构学表明，这一理论足正确的，人眼中间部分分辨率高，称为视觉凹，离 视觉凹越远，分辨率越低。因此，人眼首先聚焦丁物体的轮廓，通过眼球的转 哈尔滨珲r 人学珲学硕十学位论文 动，视觉凹对准感兴趣的部分，从而聚焦于物体的精细结构。 小波天然的多尺度特性使得模仿人眼的特性成为可能，在大尺度下，聚焦 于信号的整体轮廓，小尺度下聚焦于信号的精细结构，这足传统的边缘检测算 子难于做到的，因此自上世纪9 0 年代以来，对小波理论及其应用在边缘检测 中的方法引起了视觉研究者极大的兴趣。 综上所述，借助于小波变换这一数学理论，对图像进行多尺度边缘检测足 一个具有广阔发展前景的应用领域。 1 2 国内外研究现状分析 1 2 1 数宇水印发展现状 数字水印作为一种有效的数字产品所有权的保护技术，自上世纪九十年代 开始，便因美国军方、政府部门、大学和知名企业的介入而得到迅猛的发展， 取得了一定的成果，并于1 9 9 6 年5 月3 0 日6 月1 日在英国剑桥实验所召开 了第一届国际信息隐藏学术研究会m 。 数字水印利用数据隐藏原理使版权标志不可见或不可听，既不损害原作 品，又达到了版权保护的目的。先进的技术往往首先应用于军事和国家安全领 域，数字水印技术也不例外。美国陆军实验审足最早进行数字水印研究的机构 之一，各种军用影像数据的隐蔽标识与篡改提示是已经公开了的数字水印应用 研究项目。作为数字时代的密写技术，用于隐蔽通信的大数据量信息隐藏技术 也己引起各国情报部门的注意。数字水印一旦成为国防建设的急需，就会带来 巨大的商业利润。除此之外，数字水印正在成为数字作品创作者的宠儿，其 作为个人消费软件的潜在市场也是不容忽视的。目前，用于版权保护的数字水 印技术已经进入了初步实用化阶段，i b m 公司在其“数字图书馆”软件中就提 供了数字水印功能，a d o b e 公司也在其著名的p h o t o s h o p 软件中集成了 d i g i m a r c 公司的数字水印插件口】。实事求足地说，市场上的数字水印产品在技 术上还不成熟，很容易被破坏或破解，距离真正的实用还有很长的路要走。 自1 9 8 6 年以来，小波分析的理论、方法与应用的研究一直方兴未艾。作 为一种数学工具，小波变换是对人们熟知的傅立叶变换和窗口傅立叶变换的一 个重大突破，为信号分析、图像处理、量子物理及其他非线性科学的研究领域 带来革命性的影响，小波分析同样被廊用在数字水印领域。利用小波变换把原 始图像分解成多频段的图像，能适麻人眼的视觉特性且使得水印的嵌入和检测 哈尔滨开t 人学岬学硕十学位论文 可分多个层次进行，小波变换域数字水印方法兼具时空域方法和d c t 变换域 方法的优点。因此，基于离散小波变换的数字水印算法己经成为当前研究的热 点和最重要的研究方向，出现了大量优秀的论文。c o x 等人在1 9 9 7 年提出的 扩展频谱方法；b a m i 等人提出的算法对整个图像做d c t 变换，把一个随机序 列嵌入d c t 的中频系数中；黄继武等人提出：基于对图像d c t 系数振幅的定 量分析，i x ；分量也可用来嵌入水印，而在此之前，d c 分量总足被排除在 外；黄达人等人提出了一个新的嵌入对策：水印首先嵌入小波图像低频系数， 若有剩余再按小波图像频带重要性的排序嵌入高频带。 数字水印在其应用方向主要发展方向体现在以下几方面 9 1 ： 1 结合智能体技术，开发水印a g e n t 和自动追踪版权标志。 2 面向电子商务，提供服务器端的完整性保护和客户端的数据认证。 3 建立水印认证中心，提供各种网上服务。 4 开发基于数字水印技术的数字作品电子销售系统，提供完整的安全与 版权保护机制。 5 为各种付费点播服务，提供基于流技术的数字水印产品。 6 面向更广泛的数字媒体，如三维动画、数字地图等，开发基于数字水 印的安全保护产品。 7 与密码技术，尤其是数字签名技术相结合，构造综合的数据安全系 统。 8 使用各种生物认证技术( 如指纹、视网膜) 构造专人标识水印。 1 2 2 边缘检测发展现状 边缘检测是图像预处理中的关键技术，自2 0 实际7 0 年代起一直受剑人们 的高度重视，至今已提出很多类型的边缘检测算法，主要有以下几种呷】： 第一种足传统梯度算子方法。是根据算子的模板求出图像的梯度，当梯度 的量值超过某个门限时就说存在一边缘。常用的简单梯度算子有r o b e r t s 算 子、p r e w i t t 算子和s o b e l 算子等。这些简单算子是对像素点的邻域操作，即对 像素点及其剧 ；| 的一定领域进行一个综合计算，并根据这个计算值来判断该像 素是否构成边缘点。 第二种是复杂滤波算子方法。如l o g 算子、c a n n y 算子、d e r i c h e 算子和 沈俊算子等。复杂滤波算子足在传统梯度算子基础上发展起来的，较传统梯度 算子的检测效果有了一定的改善，但还有些不足。 哈尔滨卵r 大学珲学硕十学位论文 第三种是统计型方法。如利用假设检验来检测边缘，d h m a r i m o n t 利用 对二阶零交叉点的统计分析得到图像中各个像素足边缘的概率，进而检测出图 像的边缘。 第四种是以能量最小化为准则的提取方法。其特征是运用严格的数学方法 对此问题进行分析，给出一维代价函数作为最优提取依据，从全局最优的观点 提取边缘，如神经网络分析法等。 第五种是小波多尺度边缘检测方法。九十年代，随着小波分析的迅速发 展，小波开始应用于边缘检测，小波在边缘检测方面有着先天的优势。 小波变换是一种时，频两域分析工具，具有良好的局部特性和多分辨率分 析的特点，具有调焦的功能，能多尺度的逼近边缘，用它来检测边缘，可以在 大尺度下抑制噪声，小尺度下精确定位边缘，解决了传统和经典的边缘检测算 法不能解决的问题，为图像边缘检测提供了新的思路和技术路径。 1 3 本文的主要研究内容 本文是基于小波变换进行数字水印和边缘检测算法的研究，作为算法的理 论基础部分，首先详细介绍了小波分析的产生与发展，离散小波变换，多尺度 分析，二维小波变换和图像处理，所描述的小波变换的特点及优势为算法的研 究提供了理论保障。 在数字水印算法的研究中，介绍了数字水印的概念，数字水印系统的基本 框架和数字水印技术的应用，利用混沌作为水印生成器生成水印，考虑嵌入和 检测算法，并对图像进行常规攻击来检测其鲁棒性。 针对钢球图像边缘检测问题，提出通过检测二维小波变换的模极大点确定 图像的边缘点，沿着边界方向将任意尺度下的边缘点连接起来便可形成该尺度 下沿着边界的模极大值曲线。 考虑到测井数据本身特点，提出采用离散平稳小波变换进行去噪和平滑， 由于对平滑有额外的要求，通过调整系数来达到一种软硬阈值折中的状态，以 满足工程技术对测试数据的要求。 晴尔滨理r 人学胛学硕十学位论文 第2 章小波变换与图像处理 2 1 小波分析的概述 小波分析是f o u r i e r 分析理论发表1 7 0 多年来对其最辉煌的继承和发展。 由于小波变换具有良好的时频局部性，在工程中得到了广泛的应用。小波分析 源于信号分析，它的思想来源于函数的伸缩和平移方法。它是f o u r i e r 分析、 g a b o r 分析和短时f o u r i e r 分析发展的直接结果。先从f o u r i e r 分析说起， f o u r i e r 分析是把信号投影到一组正交集p “上，投影系数即f o u r i e r 系数，由于 每个p “实际上是一正弦波，所以f o u r i e r 分析在频域上是完全局部化的。又由 于单个正弦在时域具有全局性( 即从一m 到+ 0 0 1 ，因此正弦基函数在时域没有任 何局部化，即f o u r i e r 分析在时域上没有任何局部化，它是对信号的总体统 计，这在非平稳信号分析和适时信号处理中是不完全适用的。时频分析是指某 频域或某频带内的信息和时域中某时刻或时宽内的信息有直接对应关系，而 f o u r i e r 分析不能进行时频分析，但是时频分析在工程中却是非常有用的。针对 f o u r i e r 分析缺少时频分析功能，g a b o r 分析通过引入窗函数对信号在时域和频 域进行局部化处理。由于信号刷期和频率成反比，故理论上要求高频时时窗应 较窄，低频时时窗应较宽，即需要一个可调窗，然而g a b o r 分析时窗同定。于 是又引出了短时f o u r i e r 分析，这时不同的窗函数确定的时窗宽度各不同，但 对任一固定窗函数，其时窗宽仍然同定。事实上，人们的目的是要找到一组基 函数，它们在时频轴上都有有限的支撑，即在0 0 必须衰减为0 ，这样基于它 们的变换首先就有了时频分析能力，这组基函数就是。小波”函数。这组基由 单个函数( 基小波) 经频率伸缩而成，但为生成整个直线，这组基又可沿直线平 移。这些不同频率的函数的不同时移将形成一组基，它们的线性相加作和可以 逼近实直线上平方可积的任何函数，这样对该函数的小波分析就具有了时频分 析能力，因为它提供了一个灵活的时频窗，能够随信号自适应变化叫。 小波的具体发展历史最早应追溯剑1 9 1 0 年，h a a r 提出的正交小波基，由 于它不具备良好的计算性质，因而没有引起人们的重视。直到1 9 8 4 年，法国 地球物理学家m o r l e t 在分析地震波的局部性时首次采用了小波变换。这个变换 中的参数随频率的高低不同而变化，并可用来进行时频局部分析。此方法在 地质数据处理中取得了巨大的成功。由此建立起了m o r l e t 小波l i “。m o r l e t 与理 哈尔滨理t 大学珲学硕十学位论文 论物理学家g r o s s m a n n 以及法国数学家m e y e r 共同展开了对m o r l e t 方法的系 统性研究。m e y e r 成功构造出了具有一定衰减性质的光滑函数，其二进尺度 伸缩与平移产生的函数系构成函数空间r ( 月) 的标准正交基，即m e y e r 基m 】。 为小波分析学科的诞生和发展做出了重要的贡献。特别应指出的是，1 9 8 6 年 m a l l a t 在多尺度逼近的基础上提出了多尺度分析( m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ，简称 m r a ) 的概念。多尺度分析的基本思想足把信号投影到一组互相正交的小波函 数构成的子空间上，形成了信号在不同尺度上的展歼，从而提取了信号在不同 频带的特征，同时保留了信号在各尺度上的时域特征。若从逼近的角度来讲， 如果把尺度理解为镜头，当尺度由大到小变化时，就相当于将镜头由远及近接 近目标，在大尺度空间中，对应远镜头下观察目标，只能观察到目标的大体形 状，而在小尺度空间里，对应近镜头下观察目标，可以观察到目标的细致部 分，即随着尺度由大到小的变化，在各尺度上可以由粗到精地观察目标( 逼近 函数) ，这就是多尺度思想i 。他还给出相应的算法一m a l l a t 算法，应用于图像 分解与重构。1 9 8 8 年，比利时的年轻女数学家d a u b e c h i e s 构造出具有有限支 集的正交小波基( d a u b e c h i e s 小波基) ，并给出一套完整地构造理论。她的专 著( t e nl e c t u r e so nw a v e l e t s 被公认为足小波分析的纲领性文献。此后，崔锦 泰、王建忠及m e y e r 进一步充实了小波分析理论，一个比较系统地小波分析 理论形成了。 近年来，一种简明有效的构造小波基的方法提升法得到了广泛的发展和 关注。利用提升法可把现有的所有紧支撑小波分解成更为基本的步骤。另外， 它还为构造非线性小波提供了一种方案。因此，利用提升法构造的小波被称为 第二代小波。小波理论及其应用仍然处在发展中，其未来将在非线性多尺度分 析，非规则集上的小波构造及非平稳、非均匀、时变信号处理等方面得到更深 入的研究。 2 2 离散小波变换 小波( w a v e l e t ) ，e p , i 、区域的波。小波函数的确切定义为：设妙( f ) 为一平方 可积函数，即少( ，) r ( j r ) ，若其f o u r i e r 变换驴( 纠满足条件 j f 峨 o ，r r ( 2 - 2 ) “ 由于伸缩因子和平移因子都足连续变化的，因此，( f ) 为连续小波基函数。它 们是由同一母函数( ，) 经伸缩和平移后得到的一组函数系。 将v f ( t ) r ( 月) 在连续小波基下展开，称这种展开为函数，( f ) 的连续小波 变换( c o n t i n u ew a v e l e tt r a n s f o r m ，简记为c w t ) ，其表达式为 j ，j ( r 一，x 口，r ) ，( f ) ，( f ) - 口2i 。，( ，) ( l 句d t ( 2 3 ) “ a 在实际应用中，为了方便用计算机进行分析、处理，信号f ( t 1 都要离散化 为离散序列，伸缩因子和平移因子也必须离散化，成为离散小波变换。 伸缩因子和平移因子分别取为离散形式的2 - j 和2 k ，其中 k z 。令伸 缩平移后的函数为妒( f ) ，则有 y ，j ( r ) = 2 - j 2 y ( 2 t k ) ， k z ( 2 - 4 ) 由于伸缩因子和平移因子都足离散的，因此_ 【f ，“( f ) 为离散小波基函数。对 于f ( t ) r ( r ) ，相应的离散小波变换为： 盯j ( ，七) ，( f ) ，t ( f ) 2l f ( t ) g t j a t ) d r ，j ，k e z ( 2 5 ) 特别地离散正交小波函数族在小波分析中占据重要地位，它形成了平方可 积函数，( f ) 的一组正交基，即 l 2 ( r ) 2 驴杪n ( f ) l 。z 当j 一定时，妒m 构成了i f ( r ) 上闭子空间的正交基。即 = s p a ”杪( f ) l 。： 这样，空间f ( r ) 被分解为系列子空间的直和f ( 月) 2 曼，从而，( ，) 的小 波级数表示为，( f ) = 。小( f ) a j t 4 晴尔滨珲r 大学砰学硕十学位论文 对于尺度及位移均离散变化的小波序列，若取口= 2 a r = 0 ，即相当于 连续小波只在尺度上进行二进制离散，而位移仍取连续变化，我们称这类小波 为二进小波，表示为 妒f i = 2 j z 妒( 2 t - k ) ，k z 定义2 1 设函数i c j ( f ) ) ，如果存在两个常数一，且ke ( r b 0 a b = 2 叫”i f ( t ) 9 ( 2 7 t - k ( 2 7 ) 其相应的逆变换为 ，( f ) = c ，厂( 咖，2 ，( 2 - j t - k ) d k ( 2 8 ) j e z 二进小波介于连续小波和离散小波之间，它只是对尺度参量进行了离散 化，而在时问域上的平移量仍保持连续变化，因而二进小波变换仍具有连续小 波变换的时移共变性，这是它较之离散小波变换所具有的独特优点，也正因为 此，它在奇异性检测、图像处理方面十分有用。 2 3 多尺度分析 若我们把尺度理解为照相机的镜头的话，当尺度由大n d , 变化时，就相当 于将照相机镜头由远及近地接近目标。在大尺度空间里，对应远镜头下观察到 的目标，只能看到目标大致的概貌。在小尺度空间里，对应近镜头下观察目 标，可观测到目标的细微部分，因此，随着尺度由大到小的变化，在各尺度上 可以由粗及细地观察目标。这就是多尺度( 即多分辨分析) 的思想。 定义2 2 令 一 e z 为r ( r ) 中的一个函数子空间序列。若下列条件成立： 1 一致单调性：n c v ，z ； 2 渐进完全性：n 一= 0 ；u 一= e ( r ) ； |ez。|ez。 3 伸缩规则性：( f ) 一营f ( 2 t ) 矿。； 哈尔滨王甲t 人学开学硕十学位论文 4 平移不变性：( ，) f ( t - k ) e ，对所有的k z ； 5 r i e s z 基：存在，使得 柙一i ) “构成的一个r i e s z 基。即 烈f t ) 。是线性无关的，且存在常数a 与b ，满足0 a g b + a o ，使得对任 意的f ( t ) e v o ，总存在序列 q 。，2 使得 厂( f ) = q ( f t ) 且 一 a n s l l - 0 为平滑的尺度。 由e ( u ，订定义两个二维小波为 婚咖掣( ) = 掣 啪，沪睁匀 咖，v ) - 7 i 2 ( 矧 啊( 删，v ) = f c 以y ) 纠孚，孚) 蚴 = ( ，+ 剜) ( ) 哈尔滨珲丁人学开学硕十学位论文 时“”) = i c 以y ) ；y 2 ( 孚，孚) 蚴 = ( ，刃) ( ) 其中，刃0 ，v ) = 7 1 】l f ，j ( _ “，一v l t = 1 ，2 。 容易证明， 言( ，巧) ( ) 昙( ，狮，v ) = s v ( 厂互) ( ”) 因而，【厂巨h ，v ) 燃i v f f + 巧k ，v ) 的模与如下小波变换的模成比例 。u ( 蹦，v ) ：痧石习可丽 梯度方向与水平方向“的夹角( 相角或幅角) 为 瓶班一 锱 于是，计算一个光滑函数( 厂巨h ，v ) 沿着梯度方向的模极大值等价于计算小波 变换的模极大值，记为 弓( ) = ( c o s ( 2 。”) ，s i n ( 2 ，刚) ) 则单位矢量- ，0 ，v ) 与梯度矢量v ( 厂巧h ，v ) 是平行的。因此，在尺度s 下，若 t 葜u f ( s ，“，v ) 在点0 ，v ) 沿着0 ，v ) = 0 ，u ) + 五w o ，v j ) ；h 允分小时取到局部极 大值，则点0 。，v ) 就是【厂巨h ，v ) 的一个边缘点，从而是，0 ，v ) 的一个突变 点。而边界的方向与瓦0 ，v ) 垂直。这表明，通过检测二维小波变换的模极大值 、， 、j、， y v w 八w 八 刃 ， ， ，k j = 、， d 叶 “ s 品 ，i ， i 2 矿旷 ，l 坠堡篓竺! 查兰矍兰堡圭兰堡兰三 点可以确定图像的边缘点。由于小波变换在各尺度上都提供了图像的边缘信 息，所以成为多尺度边缘。沿着边界方向将任意尺度下的边缘点连接起来可形 成该尺度下沿着边界的模极大值曲线。 在实际应j j 中，为能够快速计算，通常取s = 2 7 ，使j f j 的小波函数为双正 交小波，称为对偶的两个小波分别j j 于信号的分解和重构，双正交小波解决了 线性相位和正交性的要求的矛盾。 4 2 图像的边缘检测 目前对图像进行小波变换并采用分解系数进行估计、测量和判断以达到边 缘提取、分割、识别以及分类、去噪等目的的信号处理方法已得到广泛应用。 在实际问题中，我们经常处理的是数字图像，在基本原理方面，数字图像的多 尺度边缘检测与连续图像相同，但在一些具体处理技术上有一些不同点，下面 介绍一下具体的处理过程和方法。 1 计算数字图像的二维小波变换，分解的尺度数根据需要而定。计算二 维小波变换有两种方法可供选择。一是连续小波变换，首先将已知的离散信号 通过适当的插值还原为连续的信号，然后利h j 连续小波变换求出各尺度下的小 波系数；二是二进小波变换，适当选择小波及其滤波器，如样条二进小波，对 数字图像信号直接利川离散快速二进小波变换算法，求出各尺度下的小波系 数。 2 计算每一点的模值 矿( 2 ，m ，”) 和相角4 厂( 2 ，n ) 的正切值。对每个像 素点( m ，”) ，计算 r： 彬( 2 。，m ，一) = 护，( 2 ，m ) h 矿2 厂( 2 。，m 矿 叫z j m 小篙等 3 求边界点，设定阈值，若某点的模值取得局部极大值则该点为模极大 点。 4 在各尺度上连接边界点，形成各尺度下沿着边界的极大曲线。 4 2 1 算法步骤 本文针对钢球图像特点，提出通过检测二维小波变换的模极大点确定图像 堕查堡矍二查兰! 兰筌三兰堡堡三 的边缘点，沿着边界方向将任意尺度下的边缘点连接起来便可形成该尺度下沿 着边界的模极大值曲线，从而检测到l 璺i 像边缘，算法流程图如图4 一l a i 原始图像l 0 进行三层小波变换 计尊楔佰和相角 各尺度下模极大值检测 合并各尺度结果 工 按规则复台多尺度边缘链 i l 边缘特征图l 图4 - l 算法流程图 f i g4 - 1f l o wc h a r to f a l g o r i t h m 检测算法如下： 1 在尺度2 ，下，对数字图像g ，y ) 进行三层小波变换，我们可以锝到 w ，( 2 ，m ，h ) ，w 2 ，( 2 y ，? r ，月) ，n , m = o ，1 ，n - i ，这里1 j j = l 0 9 2 n 。本 文j = 3 。 2 计算各层小波变换后每一点的模值 矿( 2 ，m ，”) 和相角4 厂1 2 ，m ，”) 。 3 对各层的模值沿相角方向求局部模极大点，得到所有可能的边缘像素 集合。由于噪声和精细纹理的存在，边缘像素集合【 】有许多非边缘点，两这些 点的模值普遍较小。冈此采川阂值法去除模值小于一定阈值的点，以减小非 边缘像素点对后续步骤的影响。 4 对极值点矩阵归一一化，把各尺度得到的结果按由粗到细的规则合并。 5 复合多尺度边缘链，形成沿着边界的极大曲线。极大曲线是通过将图 坠尘鎏翌：查兰矍兰堡耋堡丝三 像离散采样格点种两个相邻的边界点( ”，m ) 与( ”，m ) + 歹“m ) 连接起来形成 的，其中尹( 胁) 垂直于扇形区c o d e a f ( 2 j , n , 用) 对应的梯度方向。 4 2 2 实验结果 本文采取带有划痕的钢球图像，经过处理后如图4 - 2 ( a ) ，采 1 j 经典的 c a n n y 算法提取边缘如幽4 - 2 ( b ) ，可见对于噪音的干扰完全没有办法，采川本 文算法得到的边缘如幽4 - 3 ( c ) ，显然，其检测结果优于c a n n y 算法。 图4 - 2 测试结果 f i g4 - 2r e s u l t so f t 。s t 实验结果表明，本文提出的算法不仪改变了以前的c a n n y 算法计算量大的 缺点，而且以较少的运算便可得到较挥想的图像处理结果。而且，通过多尺度 分析，小波变换不仪能有效地反映幽像的灰皮变化，又尽可能地避免噪声干 竺查堡堡! 查兰呈茎竺：堡篁三 扰。 4 3 本章小结 本章首先介绍了小波变换边缘检测原理，建立二维小波变换模极大值与图 像边缘点之间的对应关系，通过检测二维小波变换的模极大点可以确定图像的 边缘点，沿着边界方向将任意尺度下的边缘点连接起米便可形成该尺度下沿着 边界的模极大值曲线，实验结果表明，由于小波变换系致不仪有效地反映了图 像的灰度变化，又尽可能地避免了噪声干扰，对带有划痕的钢球幽像的边缘检 测取得了很好的结果。 哈尔滨珲1 = 大学珲学硕+ 学位论文 第5 章基于离散平稳小波变换的测井数据处理 目前，人们已根据噪声的统计特征和频谱分布的规律，开发了多种多样的 信号去噪方法。其中最为直观的一种方法是，根据噪声能量一般集中于高频， 而信号频谱分布于一个有限区问的特点，片】傅立叶变换将含噪信号变换到频 域，然后采用低通滤波器进行滤波。当信号和噪声的频带相互分离时这种方法 比较有效，但当信号和噪声的频带相瓦重叠时( 比如当信号中混有白噪声时) ， 则效果较差，因为低通滤波器在抑制噪声的同时，也将信号的边缘部分变得模 糊：而高通滤波器可以使边缘更加突出，但背景噪声也同时被加强。因此基于 傅立叶变换的去噪方法存在着保护信号局部性和抑制噪声之间的矛盾。小波变 换具有良好的时频局部化性质，为解决这一问题提供了有力的工具。 当前，小波技术在信号去噪中得到了广泛研究并获得了非常好的应用效 果，已成为信号去噪的主要方法之一小波去噪方法之所以取得成功是冈为小 波变换具有以下重要特点：其一，低熵性。小波系数的稀疏分布，使得信号变 换后的熵降低；其二，多尺度率性质。由于采用了多尺度率的方法，可以非常 好的刻画信号的非平稳特征，如边缘、尖峰、断点等，以便于特征提取和保 护：其三，去相关性。因为小波变换可以对信号进行去相关，且噪声在变换后 有白化趋势，所以在小波域比在时域更利于去噪；其四，小波基选择的多样 性。由于小波变换可以灵活选择变换摹，所以可以针对不同应刚场合选用不同 的小波函数，以获得最佳的处理效果【3 “。 在油井压力测试数据中，由于噪声的存在和干扰，使得测试结果不能满足 要求，而且受某些突变点的影响，使得数据线呈现锯齿状分布，影响了正常数 据分析工作。本文利用离散平稳小波变换消除了噪音干扰，平滑了全程数据， 而且可以根据需求选择调整系数来平滑数据，满足了工程技术对测试数据的要 求。 5 1 离散平稳小波变换 离散平稳小波变换( s w t ) 是由n a s o n 和s i l v e r m a n 于1 9 9 5 年提出来 的，并成功f j 于数理统计领域。它与离散正交小波变换( d w n 有内在联系。 离散平稳小波变换的实现过程比较简单，即在正交小波变换的每一阶段不进行 二抽取，因此，尺度分解结果与原始信号具有相同的长度。在多尺度分解时， 坠堡兰! ：查兰曼兰至兰竺当三 为了保证分角j ! 结果长度不变，相应的每一阶段的高通和低通滤波器要进行补零 插值。 给定长度为的信号s ，离散平稳小波变换的第一步是将j 分成两个系数 集，低频系数以和高频系数嵋，前者通过将j 和低通滤波器l o d 卷积得 到，而后者是和高通滤波器臻一d 卷移 得到。注意，以和c 母的长度都为n ， 而不是离散小波变换的n 2 ，如图5 - 1 所示。 图5 - 1 离散平稳小波变换第一步 f i g5 - 1f i r s ts t e po f s w t c c q 下一步是将低频系数以使用相同的方法分成两部分。但是，这里是崩鸥代替 j ，而且对前面的滤波器进行插值得到新的滤波器。然后，变换产生吐和 c 岛。依次类推，如幽5 - 2 表示 c 毛 c l c b 1 ( a ) 弓一 卜铂 q 一 卜 ( b ) 图5 - 2 离散，f 稳小波变换第二二步 f i g5 - 2s e c o n ds t e po fs w t 离散平稳小波变换的重建过程丰要有两种模式，一种是由s w t 的结果得 竺查圣星三尘兰至兰堡三兰竺丝兰 到抽取d w f 的重建模式，g 是由0 和i 组成的序列；另一种是对s w t 每一 尺度的分解结果做偶抽取和奇抽取，由两种抽取方式的重建结果得到重建信 号。 5 2 小波去噪原理 小波去噪的基本方法有：1 ) 利用小波变换模极大值去噪；2 ) 基于各尺度下 小波系数相关性去噪；3 ) 采用非线性小波变换阈值法去噪、平移不变量小波去 噪。此外，还有基于投影原理的匹配追踪去噪法以及多小波去噪法等。小波去 噪是一个正在研究中的课题，新的方法不断提出。 设长度为n 的信号正被噪声巳所污染，所测得的含噪数据为 x = f 。+ e 。 我们的目标是，从含噪数据x 得到信号，的一个逼近信号于，使得在某种误差 估计下于是，的最优逼近。也就是说，去噪的丰要任务是，最大可能地将实际 信号与噪声信号分离开，保留真实的信号，去除噪卢信号，以达到去噪1 7 t 的。 人们通常利j j 数学变换将信号去噪问题从时域转换到频域加以解决，如傅 立叶变换和小波变换。由于小波变换是线性的，所以含噪信号x 的小波变换等 于信号厂的小波变换与噪声p 的小波变换的和。基于这个变换特点，小波去噪 的基本方法是，首先对经过预处理的含噪信号进行多尺度小波变换，然后在各 尺度下尽可能提取出信号的小波系数而去除属于噪声的小波系数，最后片j 逆小 波变换重构信号，达到去噪的日的。其中的关键是用什么准则来去除属于噪声 的小波系数，增强属于信号的部分。 5 2 1 小波阈值去噪法 小波闽值去噪的丰要