（机械设计及理论专业论文）金属软管力学性能的非线性有限元法研究.pdf

南京航空航天大学硕士学位论文 摘要 本文运用非线性有限元方法，研究了金属软管的静力学和动力学特性。运 用大型通用有限元分析软件a n s y s 作为开发平台，开发了基于参数化设计思想 的金属软管力学性能有限元分析专用软件。 首先，采用三维8 节点壳单元s h e u 9 3 表述波纹管，采用三维3 节点空间梁 单元b e a m l 8 9 表述网套，运用耦合表述多层波纹管层与层之间的关系，运用约 束方程表述波纹管与网套之间的相互作用关系，考虑金属软管的材料非线性、 几何非线性和大变形等非线性特性，建立了参数化的金属软管三维有限元模型。 其次从静力学的角度，研究了金属软管在承受轴向拉伸、轴向压缩和横 向弯曲等各种外载荷单独作用和联合作用下，金属软管的变形和应力分布情况； 研究了波纹管的各主要参数对其力学性能的影响、网套最佳平衡编织角的确定 问题以及端部连接工艺对金属软管静力学性能的影响。 最后，从动力学角度，研究了金属软管的振频和振型，以及金属软管在简 谐激励和瞬态激励下的振动响应。并将有限元分析结果与实验结果相比较，其 中静力分析结果与实验结果相当吻合，动力分析结果与实验结果也基本吻合， 验证了有限元分析软件的可靠性。为工程设计人员提供了参数化的金属软管力 学性能有限元分析软件，具有重要的工程应用价值。 关键词：金属软管，波纹管，网套，耦合，约束方程，有限元法，非线性， 振动响应 金属软管力学性能的非线性有限元法研究 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , t h es t a t i ca n dd y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c so ft h em e t a lh o s eh a v e b e e n s t u d i e d ，w h i c hb a s e do nt h en o n l i n e a rf i n i t ee l e m e n tt h e o r y t h ep a r a m e t r i cf i n i t e e l e m e n ta n a l y s i ss o f t w a r ea b o u tm e t a lb o s e sm e c h a n i c a lc h a r a c t e r i s t i c sh a sb e e n d e v e l o p e d w i t ht h ea n s y s p l a t f o r m f i r s to fa l l - t h eb e l l o wi sd e s c r i b e db yt h et h r e e - d i m e n s i o n8 一n o d ee l e m e n t s h e l l 9 3a n dt h em e t a ln e ti sd e s c r i b e db yt h et h r e e d i m e n s i o n3 - n o d ee l e m e n t b e a m l8 9 n 他r e l a t i o nb e t w e e nt h el a y e r so ft h eb e l l o wi sd e s c r i b e db yt h et h e o r yo f c o u p l i n ga n dt h er e l a t i o nb e t w e e n t h eb e l l o wa n dm e t a ln e ti sd e s c r i b e db yt h et h e o r y o fc o n s t r a i n t e q u a t i o n c o n s i d e r i n gt h e n o n l i n e a re h a r a c t e r i s t i c ss u c ha sm a t e r i a l n o n l i n e a r i t y , g e o m e t r yn o n - l i n e a r i t ya n dl a r g ed e f l e c t i o n ，t h ep a r a m e t r i cs t a t i ca n d d y n a m i cf i n i t ee l e m e n tm o d e l so f t h em e t a lh o s eh a v eb e e ns e tu p s e c o n d l y ，i nt h es t a t i cr e s e a r c h 。t h ed e f o r m a t i o na n d t h es t r e s sd i s t r i b u t i o no ft h e m e t a lb o s eh a v eb e e ns t u d i e du n d e rt h ec o n d i t i o no ft h es i n g l eo ru n i t e da c t i o no f t h ev a r i o u sk i n d so fl o a ds u c ha sa x i a lp u l l i n g ，a x i a l c o m p r e s s i n go rt r a n s v e r s e b e n d i n g m e a n w h i l e ，h o w t h eb e l l o w se a c hm a i np a r a m e t e r i m p a c t s o ni t s m e c h a n i c a lc h a r a c t e r i s t i c s ，t h eb e s tb a l a n c e a b l ew e a v i n g - a n g l eo ft h em e t a ln e ta n d h o wt h ei o i n tb e t w e e nt h eb e l l o wa n dt h em e t a ln e te f f e c t so nt h em e t a lb o s e ss t a t i c m e c h a n i c a lc h a r a c t e r i s t i c sh a v eb e e nd i s c u s s e d f i n a l l y i n t 1 1 e d y n a m i cr e s e a r c h ，t h ei n h e r e n tf r e q u e n c i e sa n dt h ev i b r a t i o n s h a p e sh a v eb e e ns t u d i e db yt h em o d a la n a l y s i s t h em e t a lh o s e sv i b r a t i o nr e s p o n s e t ot h ea x i a lh a r m o n i ce x c i t a t i o na n dt h er a d i a lt r a n s i e n te x c i t a t i o na r ea l s oa n a l y z e d t h ef e a a n a l y s i ss o f t w a r ei sp r o v e dt ob er e l i a b l et h r o u g hc o m p a r i n gt h ea n a l y s i s r e s u l to ff i n i t ee l e m e n tw i t ht h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t n 地p a r a m e t r i cf i n i t ee l e m e n t a n a l y s i ss o f t w a r ea b o u tm e t a lh o s e sm e c h a n i c a lc h a r a c t e r i s t i c sh a sb e e no f f e ：r e dt o t h ee n g i n e e r i n gd e s i g n e r s ，w h i c hh a si m p o r t a n te n g i n e e r i n gv a l u e k e y w o r d s ：m e t a lh o s e , b e l l o w , m e t a ln e t , c o u p l i n g ，r e s t r a i n te q u a t i o n ，n o n l i n e a r , f i n i t ee l e m e n t ，v i b r a t i o nr e s p o n s e i l 承诺书 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的 研究成果不包含任何他人享有著作权的内容。对本论文所涉及的研究工作做出 贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人授权南京航空航天大学可以有权保留送交论文的复印件，允许论文被 查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本承诺书) 作者签名：整邀盎 日期：主缉绍瑚 金属软管力学性能的非线性有限元法研究 注释表 ，：应力偏量第二不变量d 广波纹管外直径 s 。克希霍夫应力f 二波纹管的壁厚 e 。格林应变，波峰半径 【k ，切线别度阵r 广波谷半径 【k 】。常规有限元法中剐度矩阵曲直板段倾斜角 【足 。初应力或几何刚度阵e 波纹管左端直管长度 彭】初位移刚度阵或大位移刚度阵e 尺波纹管右端直管长度 f ) 体载荷 n 面载荷 ，) _ 结构反力 ，单元内任一点的位移列阵 t 节点位移列阵 f 等效节点力列阵 形函数矩阵 日单元几何矩阵 应变矩阵 盯应力列阵 d 材料的弹性矩阵 s 单元的应力矩阵 k 。单元刚度矩阵 世结构刚度矩阵或总体刚度矩阵 盯，蝴服极限 泊松比 e 棚性模量 p 黼度 v i l l 矿波纹管的波数 三波纹管的层数 d 网套锈邕值陉 口f 孽套嗣缁黼 m 网套钢丝的锭数 n 网套 陛练蹦豹报数 a 。瞬酬挺蚋平鼹辫确 国系统的固有频率 口。瞬鼓陛结嘏诒群移礴 m 。锤盎糌被测对象的质量 m 。脉冲锤锤本体质量 m ，力传感器、锤头垫等的质量 i 。脉冲锤中支承弹簧刚度 k ，力传感器的刚度 b 。粘性阻尼系数 国系统的固有频率 ，。蒯谢撇 ，连杆撇 南京航空航天大学硕士学位论文 第一章绪论 i 1 论文的选题背景与意义 金属软管是管路的连接和补偿装置，它具有可靠的密封性、耐压性、耐高 低温性、耐腐蚀性以及可挠曲性和抗疲劳性等诸多优良性能，广泛应用于航空、 航天、核能、造船以及新型建筑业等工业部门，成为现代工程技术中不可缺少的 元件【1 1 。现在，工程中采用的橡胶管、塑料管和刚性光管等已逐渐被各种结构类 型的金属软管所代替，从而使产品性能提高了一个档次。例如，某国产轿车的 排气消烟装置中使用了一种新型结构的会属软管，从而使轿车在排烟、消除噪 声等性能指标上达到发达国家水平。因此，金属软管具有广阔的应用前景。 目前，在工业发达国家，金属软管从设计到生产制造已经实现了标准化与 系统化【2 4 】。例如：目前德国标准化、系统化的金属软管已有近1 4 0 十。我国研制 和生产金属软管起始于2 0 世纪5 0 年代，它发展的非常快，经过不n 3 0 年的时间， 就走过了其他国家近百年的路程。但是，在世界范围内，金属软管仍属于一门 年轻的工业。1 9 9 4 年中国石油设备工业协会进行了一次国内膨胀节失效问题的 调查，具体分析了四十起失效事件，并从失效类型和失效原因两方面进行分析 统计 5 】，从统计数字可以看出我国当前在金属软管设计和使用方面存在的问题相 当多。究其原因，主要是因为目前我国对金属软管的研究还不够深入全面，不 少设计人员对金属软管的结构和力学性能还不十分清楚，在设计和使用时没有 统的国内标准可以参照。目前我国在进行金属软管的设计时，主体波纹管的 设计标准一般采用e j m a 6 】标准，这与我国的国情客观上存在一定的差距。而对 于金属软管网套钢丝的设计，更没有统一的标准做依据。因而，如何准确分析 和掌握金属软管的力学性能，从而设计出符合_ 工程使用要求的金属软管以适应 现代工程的迫切需要，成为急需解决的问题。 本文采用非线性有限元法，利用大型通用有限元分析软件a n s y s 的参数化 设计语言a p d l ，利用耦合和约束方程理论正确描述了波纹管与网套之间复 杂的相互作用力，建立了参数化的金属软管三维有限元模型，对会属软管的静 力学和动力学特性进行了分析研究，并通过实验证明了用有限元法分析会属软 金属软管力学性能的非线性有限元法研究 管力学性能的可靠性。同时研究了波纹管的主要参数对其力学性能的影响，网 套的最佳平衡编织角的确定问题以及端部连接工艺对金属软管静力学的影响。 研究过程中使用了参数化的设计思想，编制了可以对各种类型的金属软管力学 性能进行分析的有限元专用软件，为工程设计人员提供了可靠便捷的分析工具 并为金属软管的系列化和标准化提供了参考依据。 i 2 国内外研究现状 金属软管独特的优良性能己被工程界所公认，随着金属软管应用领域的不 断扩大，对其性能指标的要求也与日惧增。从二十世纪5 0 年代至今，包括美国、 英国、俄罗斯、日本、韩国和中国在内的许多国家都在一直进行金属软管的研 究工作。目前，国内大多生产和研究机构都是从事金属软管的主体部分波 纹管的分析研究工作，而对于网套钢丝的研究涉及较少。对波纹管的研究分析 主要采用以下几种方法： 工程近似法：这种方法大多采用直梁或曲梁模型对波纹管进行简化处理， 而后应用材料力学的方法给出一些简单的设计公式和图表以供工程使用。其主 要目的是寻求波纹管实用的、简便的设计方法。著名的美国膨胀节制造商协会 标准e j m a 标准就是以此作为其应力设计的基础【6 。从现有文献资料来看， 工程近似法在波纹管的设计分析中广泛应用：文献【7 】研究了u 形波纹管在内压和 外压作用下的失稳机理，并给出其平面失稳临界压力公式；文献【8 】对波纹管在 外压作用下的临界破坏压力进行了梁式模型理论计算和实验验证；文献 9 用比 拟的方法对e j m a 标准未涉及到的波纹管在端部转角和横向位移载荷下的应力 作理论和实验研究等。 解析法：把波纹管看成由两个半圆环壳与圆环板组合而成，将其求解问题 看成圆环壳与圆环板的求解问题。利用圆环壳和圆环板的线性理论，把圆环和 圆环板的有关方程式代入连接条件，形成一系列的方程，通过联立求解，得到 了u 形波纹管在轴向自由位移与内压下一系列的刚度及最大弯曲应力曲线及公 式，并将其结果作了实验比较 1 0 j 。例如：钱伟长从r e i s s n e r - - m e i s s n e r 轴对称壳 方程出发，提出细环壳的一个一般解，并利用这个一般解将波纹管单元按证负 两个细环壳处理，对其在轴向力和内压作用下的变形和应力分布进行了系统的 计算，给出了环壳一般轴对称问题的精确解【“】。钱伟长还利用解析解与摄动解 南京航空航天大学硕士学位论文 相结合的方法，分析了u 形波纹管的大挠度问题【】“。 数值分析法：这是伴随着计算机和计算数学的发展而产生的，主要是有限 元法、有限差分法、边界元法和加权余量法等。以计算机为基本手段的有限元 法的出现，使得古老的固体力学焕发了青春，已成为工程数值分析的有力工具， 它在波纹管力学性能的计算中也得到了广泛应用。有限元法将结构本体离散成 若干单元，认为单元之间只在节点上产生联系，将载荷按照静力等效原则简化 至各个节点上，通过弹性力学的基本方程和能量原理建立起以节点位移为基本 未知量的代数方程组，通过求解节点位移，进而可求解应力和应变。有限元分 析以其在解决几何非线性、材料非线性和大变形等非线性问题的独特优势而被 愈来愈多的研究人员所接受。 总之，有关波纹管静力学问题的研究被大量涉及，除了采用传统的方法外， 也有采用有限元法，但是均采用轴对称单元或体单元 i3 ” 。从几何结构上看， 波纹管是薄壁壳体结构，选择轴对称单元可以大大减少单元数目，节省计算时 间。但是，从波纹管的受力情况来看，它不仅受轴向力还有横向位移、弯曲位 移或角向位移等补偿，有时还承受扭矩，这使得轴对称单元难以准确地描述波 纹管的静力学特性，尤其对于波纹管的失稳问题，轴对称单元的有限元计算结 果与实验结果还有较大的差距。另外，对波纹管的设计，都没有考虑动力问题， 引起金属软管在工作中因共振而自行损坏，造成巨大的经济损失和恶劣的社会影 响。而对于网套钢丝或钢带的编织参数的设计涉及较少【1 ”，一般工程应用中都 把承受流体介质压力的金属软管视为簿壁容器，把介质压力产生的横向负荷乘 以一个比例系数看作由波纹管壳体承担，而产生的纵向负荷则主要由编织网套 的金属丝承担【1 6 。而对于网套钢丝的作用机理、力学特性、网套平衡编织角的 设计，都未见有文献论述。因此，利用有限元数值分析理论准确的分析金属软 管的力学性能，实现金属软管结构的最优化设计，以适应现代工程的追切需要， 是当前金属软管的设计和使用中迫切需要解决的问题。 1 3 论文的研究内容 运用非线性有限元方法来分析研究会属软管的力学性能是个崭新的课 题。本文采用非线性有限元方法，在大型通用有限元分析软件a n s y s 平台上， 对金属软管的静力学和动力学性能展开了详尽的研究，编制了金属软管力学性 金属软管力学性能的非线性有限元法研究 能有限元分析专用软件。本文的主要研究内容如下： ( 1 ) 分析了金属软管的结构特性，及金属软管的材料非线性、几何非线性 和大变形特性，确定了运用非线性有限元方法对其进行分析研究。同时介绍了 运用非线性有限元法对金属软管力学性能进行研究中涉及到的主要理论。( 详 见第二章) ( 2 ) 从单层波纹管有限元模型的建立、多层波纹管有限元模型的建立、网 套有限元模型的建立、网套与波纹管之间的相互作用以及负载与边界条件模拟、 求解方法与求解器选择等方面展开研究，建立多层金属软管的参数化有限元模 型。对典型金属软管在承受内压、轴向拉压、横向弯曲等静力载荷单独作用和 联合作用下的静力特性进行分析。并将有限元分析计算结果与实验结果进行了 对比，有限元分析结果与实验结果糨当吻合。( 详觅第三章) ( 3 ) 在金属软管静力分析的基础上，研究了波纹管的主要参数对其力学性 能的影响、网套钢丝最佳平衡编织角的确定问题以及端部连接工艺对余属软管 静力学性能的影响等。( 详见第三章) ( 4 ) 根据结构振动特性的有限元法建立了会属软管的动力学有限元模型。 剥_ 爵；i 此有限元模型对金属软管进行模态分析，计算出其固有频率和振型，研究 会属软管在简谐激励和瞬态激励下的振动响应。并将有限元计算结果与实验结 果进行了对比，有限元分析结果与实验结果基本吻台。( 详见第四章) ( 5 ) 基于结构参数化设计思想，利用a n s y s 的参数化设计语言a p d l 语言，将金属软管力学性能的分析程序实现参数化，以便对各种结构尺寸结果 以及各种工况下的金属软管进行相应到的力学性能的分析。( 详见第五章) 本文的上述工作系统地完成了金属软管静力学特性和动力学特性的分析研 究，为工程设计人员提供了参数化金属软管力学性能分析软件。在工程应用中 具有重要的实用价值。同时，对进一步提高金属软管的性能指标，开拓金属软 管的使用领域以及对金属软管的系列化、标准化都具有重要的意义。 南京航空航天大学硕士学位论文 2 1 引言 第二章金属软管的结构及其研究方法 金属软管结构形式复杂，同时包含材料非线性和几何非线性和大变形等非 线性因素。因而，采用常规研究方法和解析法都很难准确分析金属软管的力学 特性，本文采用非线性有限元法对金属软管展开研究。 2 2 金属软管的结构特点 根据国家标准g 1 3 t 1 4 5 2 5 9 3 中的定义，金属软管是波纹管、网套和接头的 组合，或波纹管和接头的组合i l 】。金属软管的结构简图如图2 1 所示。 蒺头波纹t阿套 图2 1 金属软管的结构简圈 1 波纹管的结构 波纹管也称波纹柔性管，是一种具有横向波纹的圆柱形薄壁壳体( 见图2 1 ) 。 在轴向拉力或压力作用下，可以伸长或者缩短，如果给它施加一个弯曲力矩的 横向力，则可以沿轴平面得到相应的位移。由于它在特性接近于线性和有效面 积几乎不变的情况下能够产生相当大的位移，因此，在工程中得到广泛的应用。 波纹管的材料大都是采用奥氏体不锈钢材料，其性能除了与材料有关外，还 金属软管力学性能的非线性有限元法研究 取决于它的结构形式，目前，广泛的用作会属软管本体的波纹管，主要有环形 波纹管和螺旋形波纹管两大类。 a ) 环形波纹管：环形波纹管是若干圆环膜片外缘与若于凹面向心的半圆环 相切接，内缘与若干凹面背心的半圆环相切接的特殊几何形状的管子( 见图2 2 ) 。 环形波纹管由无缝管材或焊接管材轧制而成，通常长度都较短，一般是在较短 的管路或设备上选用。其优点是：弹性好、刚度小，柔性好。适宜用来制作承 受一般工作压力，对挠性要求较高的大、中通径的金属软管。 b ) 螺旋形波纹管：螺旋形波纹管是一定长度的绕簧状的膜片外缘与绕簧状 的凹面向心的半圆环相切接，内缘与绕簧状的凹面背心的半圆环相切接的特殊 几何形状的管子( 见图2 3 ) 。它的波纹呈螺旋状排布，波纹与波纹之间有一个螺 旋升角，所有的波纹都可通过一条螺旋线连结起来。螺旋形波纹管具有强度高、 刚性大、制造简单等特点，适宜用来制作对挠性要求般，强度要求较高的高、 中压力，中、小通径的金属软管。 图2 , 2 环形波纹管图图2 3 螺旋形波纹管图 2 网套钢丝的结构 网套是由互相交叉的若干锭金属丝或金属带按一定顺序编织而成，以规定 的角度套装在金属波纹管的外表面，起着加强和屏蔽的作用( 见图2 1 ) 。 网套可以保护波纹管的波峰部分不直接与周围物体接触，避免引起各种撞 击、摩擦等机械损伤，还可以在流体沿着管道流动产生压力的条件下保证金属 软管安全可靠地工作。编织了网套的波纹管，其强度可以提高十几倍至几十倍， 最高屏蔽能力达到9 9 5 左右。 网套的材料般与波纹管材料相同，也有使用镀铬或镀锌钢丝。根据波纹 管的通径大小及使用要求的不同，网套常以直径为o 3 o 8 r a m 的线材或厚度为 o 2 o 5 r a m 的带材来制作。线材每股4 1 5 根，带材每锭一根。目前，生产的 6 南京航空航天大学硕士学位论文 钢丝网套多为2 4 股、3 6 股、4 8 股或6 4 股，特大通径的金属软管最多做到1 4 4 股。一般在通径0 3 0 0 r a m 以上的金属软管，大多采用钢带编织网套。 3 接头形式 接头的作用首先是将网套与波纹管联接为一体，同时，接头又是金属软管 与金属软管或其它管件、设备相连接的部件。它保证介质在管路系统中正常地 工作。 接头的材料通常与波纹管、网套的材料相同，以不锈钢为主。接头的结构 形式大体上分为直管式、螺纹式、法兰式和快速式四大类( 见图2 4 ) 。 日蕊 姻 ( a ) 童管式 ( c ) 法兰式 她) 螺纹式 幽2 4 金属软管的接头形式 2 3 金属软管的材料非线性及其屈服准则 材料非线性是指材料的本构关系是非线性的，即应力与应变呈非线性关系。 若结构恢复卸载状态( 无外载) 无残余应变存在则称为非线性弹性；若结构恢 复卸载状态存在残余应变则称为弹塑性7 l 。 金属软管的材料一般都是奥氏体不锈钢材料。这种材料在小载荷情况下， 其应力一应变成线性关系，但当其承受高压或有较大位移补偿时，结构处于高 应力状态，材料纤维有很大的平移和转动，材料不再呈现线性状态，所以会属 软管具有材料非线性特性。针对会属软管材料的应力一应变关系，对余属软管 的材料非线性分析采用弹线性强化的应力一应变关系，其屈服的判定准则采 金属软管力学性能的非线性有限元法研究 用v o nm i s e s 准则，下面简单介绍一下冯米赛斯( v o nm i s e s ) 的核心理论口0 】： 冯米赛斯( v o nm i r e s ) 应力也称为等效应力，当等效应力超过材料的屈服应 力时，将会发生塑性变形。对单向受拉试件，可以通过简单的比较轴向应力与 材料的屈服应力来判断是否有塑性变形发生。但是，很多情况下应力状态是否 到达屈服点并不是明显的。本文中在对金属软管进行力学特性研究时，采用 冯米奏斯w o nm i s e s ) 屈服准则判断金属软管变形后是否有塑性变形发生。 冯米赛斯准则认为，对于各项同性材料，应力偏量第二不变量，等于某 一定值时，材料屈服。在复杂应力状态下，某点的应力状态由六个分量确定， 即以应力分量或应变分量为坐标的空间，空间中每一点代表一个应力或应变状 态，将处于屈服应力状态下的点连成面即为屈服面，可用应力分量表示： ，( 仃i ，仃2 ，盯3 ) = k ( 2 - 1 ) 式中，k 为与材料相关的屈服极限。试验证明，应力偏量第二不变量 达到下 式条件时材料屈服： 1 jt=乇o；(2-2) j 式中0 - 为材料单轴试验屈服应力。 把一个多维应力状态同单轴应力等效起来，则 1 j 2 = 主【 i 一0 - 2 ) 2 + ( 盯2 一盯3 ) 2 + ( 口i - 0 - 1 ) 2 】 ( 2 3 ) u 在三维主应力空间，冯米赛斯屈服条件可以表示为： 盯，= c ( 0 - , 一0 - 2 ) 2 + ( 口2 一a r 3 ) 2 + ( 仃3 - - 0 - 7 1 ) 2 】 ( 2 4 ) - - 式中0 - 。、0 - ：、o 3 是三个主应力，上式的几何意义表示为以三个主应力皿、 、c r 3 为坐标轴的应力空间中的等倾圆柱面，i i 1 此圆柱的轴线与q 、盯：、吒三 个坐标轴的夹角均相等，这个面表示屈服面。 在主应力空问中萄出v o n m i s e s 屈服准则，如图2 5 ( a ) 所示，屈服面是一 个以0 1 = 0 - 2 = c r 3 为轴的圆柱面；在二维平面上，屈服面是一个椭圆，如图2 5 ( b ) 所示。 其物理含义是：如果应力点在等倾圆柱面内，则只产生弹性变形；如果应 力点在等倾圆柱面上就开始屈服；如果应力点在圆柱厦外继续产生塑性变形。 南京航空航天犬学硕士学位论文 a 1 ( a ) 主应力空闻上冯米赛斯_ | 茁服面( b ) 主应力平面上冯米赛斯屈服面 图2 5 冯米赛斯准则几何圈形 2 4 金属软管的几何非线性及其运动描述 在固体力学中，对位移量超过构件本身几何尺寸的行为称为大变形，对于 应变量远小于1 的行为称为小应变。物体在大变形( 如受载的薄板，薄壳) 、小 应变情况下和大变形、大应变( 如金属碾压成形) 情况下，位移与应变不在呈 现线性规律，必须考虑位移与应变的非线性关系或采用大应变理论。也即，几 何非线性问题包括大位移，小应变以及大位移，大应变。波纹管属于柔性薄壁 结构，具有较好的柔性，在工作中承受内压、轴向拉压、弯曲、横向错动等力 的作用，使其位移量大于其几何尺寸( 壁厚) ，属于大变形、大挠度行为。网套 由于存在螺旋角受力后可以滚动，其也属于大变形、大挠度行为。在对会属软 管进行弹性或弹塑性分析时，其应变数量级小于1 0 ，小范围局部区域的应变值 较大，而大部分区域仍在小应变范围，因此，金属软管的运作状态可咀看作处 于一种大变形、小应变的几何非线性状态。对于变形体及其上的质点运动状态， 根据不同的坐标选取有拉格朗日( l a g r a n g e ) 描述、欧拉( e u l e r ) 描述和更新的 拉格朗日描述等。拉格朗日描述由于坐标附着在物质点上，易于引入本构关系 和处理自由表面外载问题，因而本文在研究中运用拉格朗日法表述金属软管的 几何非线性。下面简要介绍一下全拉格朗日法的核心理论旧： 从变形的角度来说，物体的变形过程实际上是从一种构形变换到另一种构 形的过程，如图2 6 所示，在t = 0 时，该物体有构形。厂，物体中有一质点o p ， 其坐标为( o x ，o x ：，o x ，) ；在时间t = t 时，物体运动到构形， ，质点o p 运动到p ， 其坐标为( x ，x ：，g ，) ；在时间t = t + 血时，物体运动到“厂构形，质点运动至 9 金属软管力学性能的非线性有限元法研究 “p ，其坐标为( t + d a x l ，“x 2 ，t + d g x 3 ) 。 喇2 6 燹形体的运动描述翻 假定对于时问0 a t ，2 a t t 时的解已知，用虚功原理描述f + ，时刻的 物体平衡： r 。s f 扩咎口d v = 矿“矽 ( 2 吲 式鹊为克希霍夫应力，毛鼍l 每+ 磬+ 簧每) 为格林应变。当物体 从，时刻变化到f + f 时刻时，参照构形o ，有： “等s ”= o t s 口+ “ o s ( 2 6 ) “等e 口= i e f + “a 。, e ( 2 - - 7 ) “等“= ：“+ “等“( 2 - - 8 ) 为了方便起见，将上标“r ”略去，仅讨论在h f 时刻的问题，并由应变 张量的概念，可将式( 2 - - 8 ) 表示为： a 。e ，= ：e + 等曩 ( 2 9 ) 枷：e , j j 1c 訾+ 警+ 警訾+ 警警，； = 圭c 訾警 二口工a 。x 南京航空航天大学硕士学位论文 根据亚弹性材料的本构关系( 比较符合经典理论的玎惯) ，并依据虚功方程， 可以得到以下的本构关系： a o s f = o c 洳丝f ( 2 1 0 ) 式中。c k 是在f 时刻参照构形o ，的增量材料性质张量。 将式( 2 - 6 ) 及( 2 - - 7 ) 代入式( 2 - 5 ) 中可得： j p ( 。s 口+ 。s p ) 占( 。e 口+ a o e p ) 柚d v = 艿唧 ( 2 1 1 ) 将式( 2 - - 9 ) 及( 2 - - l o ) 代入上式并加以整理得： j ，“g 。一一i 。 l 、，i 。一，_ 1 n 。l 一。一。l ，一n 。l 一。一。一n 。l 弓沙 + j ，s , j 点a n l 。, 4 , = 矿6 ，w j ，g s f 融：e 。d v ( 2 1 2 ) 把式( 2 - - 1 2 ) 写成矩阵形式： ( k 】o + 【置】，+ 【k 】) 缸 = k 】r a x ) = f 卜p 丁) 一 尸 ( 2 1 3 ) 式中 k 。= j 。，【：占】7 【c 】【；b 】咖 ( 2 1 4 ) 【x 】。= ，万o n 】7 吲瓦o n 】西( 2 - - 1 5 ) k 】。= j ，( ；口】7 c 】 n 。l 廿j + l n 。l 口】7 c 】【j b 】“鼍矗】7 【c 】【等b 】) 咖( 2 1 6 ) 公式( 2 1 3 ) 是全拉格朗日列式法的最后公式。其中， 芷b 为切线刚度阵， 表示载荷增量与位移增量之间关系；【足】。为常规有限元法中刚度矩阵：眯l 称 为初应力或几何刚度阵，表示在大变形情况下初应力对结构刚度影响；瞵k 称 为初位移刚度阵或大位移刚度阵，是由大位移引起的结构刚度变化； 毋为体载 荷， 研为面载荷， p 为结构反力。 2 5 金属软管研究的非线性有限元法及其求解方法 有限单元法的基本思想是：把一个连续体人为她分割成有限个单元，在单 元体内假设近似解的模式，用有限个节点上的未知参数表征单元的特性，然后 l l 金属软管力学性能的非线性有限元法研究 用适当的方法，将各个单元的关系式组合成包含这些未知参数的方程组，求解 这个方程组，得出各节点的未知参数，利用插值函数求出近似解【”j 。随着单元 尺寸的缩小，也即单元数目的增加，解的近似程度不断改进，如果单元是满足 收敛要求的话，近似解最后收敛于真实解。下面介绍一下非线性有限单元法分 析的基本过程： 1 结构离散化：所谓离散化也就是网格划分，就是将要分析连续体( 结构 或系统) 分割成由有限个单元组成的有限元模型，单元与单元之间仅通过节点 相连接。一般情况下，单元划分越细则描述变形情况越精确，但计算量也越大。 2 选择位移函数：结构离散化后，要对单元进行力学特性分析，需要把单 元中任一点的位移分量d 。表示为坐标的某种函数，这一函数称之为单元的位移 函数。它反映了单元的位移形态并决定着单元的力学特性。 由于多项式的数学处理比较容易，尤其便于微分与积分运算，位移函数一般 采用多项式形式。 对于二维问题，位移函数的一般形式为： u ( x ，y ) = a + 口z z + a ，y + 口。x ! + e l s x y ，+ c t t , y 2 + - + t 2 m y ，n。 i v ( x ，y ) = a ，“+ a m + 2 x + t ) l 。+ 3 y + 口。+ 4 x + a 。十s x y + 口。+ 6 y + + 口! ，y “ 式中 m = 罗i ：瑾，口：口：。等为待定系数，也称为广义坐标或广义坐标幅 值。因此，位秽函数的这种描述方式成为广义坐标形式。 由所选的位移模式可以导出用节点位移表示单元内任点位移的关系式，其 矩阵形式为 厂= n d 。 ( 2 一1 7 ) 式中，为单元内任一点的位移列阵：d 。为节点位移列阵；n 为形函数矩阵， 它的元素是位置坐标的函数。 3 分析单元力学特性：选定位移函数后，就可以进行单元力学特性的分析， 其步骤如下： a ) 利用几何方程，导出用节点位移表示的单元应变的关系式： 占= b d 。( 2 1 8 ) 式中s 应变列阵，b 称为单元几何矩阵，它反映了单元中任一点的应变与单元节 点位移之间的关系。 b ) 利用物理方程，导出用节点位移表示应力的关系式： 仃= d s = d b d ，= s d ， ( 2 - - 1 9 ) 南京航空航天大学硕士学位论文 式中盯是应力列阵；d 是材料的弹性矩阵，它反映单元材料方面的特性：s 称为 单元的应力矩阵，它反映了单元中任一点的应力与节点位移之间的关系。 c ) 利用虚功原理建立单元的刚度方程 fp=kpdp(2-20) 式中足。称为单元刚度矩阵，最后导出： k 。= l 廖。d b d v ( 2 - 2 1 ) 吒 在以上三项中导出单元刚度矩阵是单元特性分析的核心内容。 4 计算等效节点力：弹性体经过离散化后，假定单元与单元之间只通过节 点相连接，单元之间的作用力通过节点传递到另一个单元，但是，作为实际的 连续体，力是从单元的公共边界传递到另一个单元的。因而，这种作用在单元 边界上的表面力以及作用在单元上的体积力、集中力等都需要用等效节点力来 代替所有作用在单元上的节点力。 5 形成整体刚度矩阵，建立整体平衡方程：这个过程是根据变形协调条件 和平衡条件，将各个单元的刚度矩阵k ，集合成为整个结构的剐度矩阵k ；将作 用于各单元的等效节点力列阵f 集合成总的载荷列阵p ，建立整体平衡方程： p = k d( 2 - - 2 2 ) 式中，k 称为结构刚度矩阵或总体刚度矩阵，简称总刚。 6 求解未知节点位移和计算单元应力：由集合起来的平衡方程组( 2 2 2 ) ， 解出未知位移，再根据弹性力学的基本公式，可以很容易地由位移计算出单元 的应力和应变。 在线弹性材料的情况下，结构的本构关系是线性的，即在应变一位移关系 占= b d ，和应力一应变口= d 占关系中，矩阵曰不随单元节点位移而变，矩阵d 也 不随应变丽变，因此，通过式( 2 2 1 ) 所得到的单元刚度矩阵e 为常数矩阵， 因而式( 2 2 0 ) 所建立的单元刚度方程是线性的，由此组集而成的整体刚度方 程( 2 2 2 ) 也是线性的，这叫做线性有限元法。但是由于金属软管包含材料非 线性和几何非线性，所以b 和d 都是非线性的，即 b = b ( d e ) d = d ( 占) = d ( d ，) 这时由( 2 2 1 ) 所确定的单元刚度矩阵足，就是单元的节点位移列阵d ，的函数矩 阵。即 金属软管力学性能的非线性有限元法研究 k 。= k 。( d 。) 此时式( 2 - - 2 0 ) 建立的单元刚度方程是非线性的，由此组集而成的整体刚度方程 ( 2 2 2 ) 也是非线性的，这就是非线性有限元方程： k ( d ) d = p ( d 、 ( 2 - - 2 3 ) 式中，足( d ) = k 。( d 。) 为整体刚度矩阵；d 为整体节点位移矩阵；p ( c t ) 为整体 节点载荷矩阵。 对于非线性方程( 2 2 3 ) 的求解本文采用牛顿一拉斐逊法【30 1 。求解非线性 方程一般都采用线性化方法，即把非线性问题转化为一序列线性问题求解，如 何转化为线性问题，其作法是多种多样的，对于在总载荷( 或全部载荷，或原 有载荷等) 作用下进行线性迭代计算的方法，称之为全量迭代法。这种方法是 从求解非线性方程的根提出来的。在数学上，对于没有直接方法求根的非线性 方程，往往采用线性化序列来逼近。将式( 2 2 3 ) 改写成如下形式： k ( d ) d p ( d ) = 0 ( 2 - - 2 4 ) 为了讨论方便，令 庐( d ) = ( d ) 一p ( a ) ( 2 - 2 5 ) 式中 妒( d ) = k ( d ) a ( 2 2 6 ) 若d 是方程( 2 2 4 ) 的解( 即根) ，则有 ( d ) = 庐( d ) 一p ( d ) = 0 退化到一维情形，则如图2 7 所示。 从力学角度看，( d ) 是内力，而( d ) 就是内力与外力不平衡的力。只有当 找到精确解d 时，则不平衡力为零，即= ( d ) = 0 。 总载荷法，就是要构造一个线性逼近序列 d i o ) ，d d d ，( 2 - - 2 7 ) 使其当月寸0 0 时，有 d ”1 哼d ( 精确解，一维情形如图2 7 所示) ( d ”) 一0 南京航空航犬大学硕士学位论文 幽2 7 一维情形fn - - r 法线性序列逼近精确解的过程 如何构造序列式( 2 2 7 ) ，n e w t o n r a p h s o n 提出了t a y l o r 展式构造法。人 们把这种方法成为n r 法。 对于具有一阶导数的连续函数庐，若已知d 抽) ， 则在d 处作一阶t a y l o r 级数展开，就可以得到近似计算公式： = ”+ k ：”( d d 扣) ( 2 - - 2 8 ) 式中庐n ，k 分别为d ”处的不平衡力和切线刚度矩阵，且 矿圳= 妒( d ”) = 芗( d ”) 一p ( d ”1 ) = k ( d ( “1 ) d 刖一p ( j h 1 ) 斛们= 盟o d l r ( 盟o d 一翌o c l ) l 。 l 。一。 l 。， ( 2 2 9 ) 如果利用式( 2 - - 2 8 ) 在满足不平衡力为零的条件下，求新的逼近值d ( “) 则有 。 4 + 彤：”1 ( d 4 + ”一d 4 ) = 0( 2 3 0 ) 由此，可得到构造线性逼近序列的公式： k ，a d “1 _ 一“ d ”+ 。) = d 8 ) + d ( 一) n = ( 0 ，l ，2 ，) ( 2 3 1 ) 金属软管力学性能的非线性有限元法研究 将式( 2 - 3 i ) 退化到一维情形，其线性序列逼近精确解的过程，如图2 7 所 示。 由式( 2 3 t ) 构成的每次迭代计算，都要重新形成切线刚度矩阵k ! ，因 而对多自由度的工程结构，其计算量是相当大的。但由于是沿切线方向逼近精 确解，故收敛较快。 为了避免重新形成切线刚度矩阵k ，可以代用修正的n e w t o n - - r a p h s o n 法 ( 简称m n r 法) ，即在每次迭代计算中，将足：”改用某种不变的刚度矩阵，例 如初始切线刚度矩阵 k ? = k ? = k 这样，构造线性逼近序列的公式( 2 3 1 ) 则变为 k ：d 扣= 一n d ”+ ) = d 抽1 + d 4 ) ”= ( o 12 ) 退化到一维情形，m 。n - r 法的逼近过程如图2 8 所示。 烈d ) 出i 。i 。+ 1 ( 2 3 2 ) 图2 8 一维情形fm - n r 线性序列逼近精确解的过群 很明显，m n r 法比n r 法计算过程简便，但收敛较慢，迭代次数增加， 其结果可能导致计算总量增加。 为了提高收敛速度，可采用在每两次迭代之后，对后一次结果进行修正。在 南京航空航天大学硕士学位论文 一维情形，其逼近过程如图2 9 所示。 砂( d ) 击c “ 。+ 1 o 2 , 9 一维情形。fn r 法和m n r 法结合线性序列逼近精确解的过群 对于非线性方程组的平衡迭代而言，需要一个有效的收敛准则来判断是否 结束迭代。用于结构力学的收敛准则主要有三种： 1 不平衡力( 残余力) 准则 不平衡力表示为： 只 = f 一 式中 f 为外载荷矢量， 卑 为第i 次迭代终了时与内力相平衡的节点力矢量， 静力分析时即为【墨】 ) 。 力的收敛准则为： i l 硎口， ( 2 3 3 ) 2 位移准则： 位移的收敛准则为