（纺织工程专业论文）三维纵横步进编织过程的置换表达及其算法实现.pdf

三维纵横步进编织过程的置换表达 及其算法实现 摘要 三维编织结构复合材料是八十年代从国外发展起来的新型材料， 经过二十多年的时间，他已经以其独特的优势而迅速发展起来。编织 过程中，所有纱线同时参加织造，每根纱线按一定的规律运动，从而 相互交织在一起，形成一个三维整体织物，具有一次编织成型的特点。 三维整体编织技术具有很好仿形设计动能，能按照要求加工成矩形、 工字形、u 形等复杂截面形状织物；研究表明，以这种织物为增强结 构的三维编织结构复合材料具有轻质、不分层、强度高、整体性能好 和结构设计灵活等持点，为复合材料应用于承载结构提供了广阔的前 景，已在航天、航空、武器装备、汽车、体育、医疗等领域得到了广 泛的应用。丽且随着技术的进一步提高，应用前景十分看好。三维编 织预型件是构成三维编织复合材料的骨架，故三维编织预型件的编织 技术一直是一个很重要的研究领域。其中，纵横步进编织技术是一个 很受瞩目的研究方向。 在本论文中，将方格阵抽象为数学中的集合，编织模式抽象为对 集合的映射。在设定左边阵的左侧与右边阵右侧相接，形成封闭；上 边阵的顶部与下边阵的底部相接，亦形成封闭的条件下，用置换可以 准确表达纵横编织的每一次步进，编织过程抽象成为数学中的置换过 程。将表达纵横编织的每一次步进的置换写成轮换幂形式时，幂指数 就是纵向阵( 或横向阵) 相应位置的步长。完成一个步进循环就是将 代表每一次步进的置换按照顺序相乘，结果也可表达为一个置换。当 表示一个步进循环的置换表达为不相交的轮换的乘积时，可以从表达 式中得出纵横编织的一些特性，如编织锭子的分组数、每组中编织锭 子的个数等等。 在本论文中通过应用计算机置换算法刘纵横步迸编织过程实现 模拟订算后，很方便的得到了一些重要的编织参数，而且通过实际上 机的编织试验也验证了计算所得的结果与实际编织结果相符台，这就 充分的说明置换表达方法对于纵横步进编织过程的研究具有很高的 实用价值，而且为进一步深入的研究提供了一个很好的数学分析方法 和计算方法。 具体来说，通过计算机置换运算就可以直接计算出锭子的位置表 达式，同时锭子的移动轨迹、分组数、组内锭子数等运动特性也可以 计算得到，因此在纵横步进编织中利用计算机置换算法模拟编织过 程，实现编织过程的数字化，对于从普遍的意义上直观的得到各个编 织要素间的基木关系，从本质上认识和把握编织过程有着重要的实用 价值。 关键词：纺织复合材料，三维编织，纵横步进，置换 d e s c r i p t i o na n d a f i t t m l e t i c a lr e a l i z a t i o no f p e r m u t a t i o no ft h r e e d i m e n s i o n a lt r a c k a n d c o l u m nb r a i d i n g p r o c e d m e a b s t r a c t a d v a n c e dc o m p o s i t e s 谢t l l3 - db r a i d e dp r e f o r m sh a v eb e e ng r e a t l y d e v e l o p e da sn e wp a t t e r nm a t e r i a l sw i t hau n i q u ea d v a n t a g es i n c et h e e a r l y19 8 0 s i nb r a i d i n gp r o c e s sa l ly a m sa r eb r a i d e da tt h es t n et i m e w h i l ee a c hy a r nm o v e sw i t had e t e r m i n a t e dr u l ea n dt h e ni n t e r w e a v e s t o g e t h e ra saw h o l ef a b r i c s t h ec h a r a c t e r i s t i co fg o o dp r o f i l em o d e l i n g d e s i g no ft h eb r a i d e ds l m c l u r em a k e s i t p a r t i c u l a r l y s u i t a b l ef o r c o n f o r m i n g t os u r f a c e so fv a r y i n gc r o s s s e c t i o n a ls h a p e ss u c ha s r e c t a n g l e - s h a p ea n du - s h a p es t r u c t u r e s i th a sb e e ns h o w e dt h a ta d v a n c e d c o m p o s i t e sw i t h3 - db r a i d e dp r e f o r m s a sr e i n f o r c e m e n t s i r e w i d e l y a p p l i e df o ra i rm a t e r i a l s , s p a c e c r a f t s ，w e a p o n r y , a u t o m o b i l e s ，s p o r t sa n d m e d i c a la p p a r a t u s , a st h e ya r eo fe x c e l l e n tp e r f o r m a n c e s ，i n c l u d i n gl i g h t m a s s ，t h r o u g h - t h i c k n e s sr e i n f o r c e m e n t t o p r e v e n td e l a m i n a t i o n , h i g h d a m a g et o l e r r a n c e , h i g h e ri n t e n s i t y ，s q r u c t u r a li n t e g r i t y ，d e s i g nf l e x i b i l i t y ， a n dp r e c i s i o ne t c t h er e s e a r c ho fb r a i d i n gt e c h n i q u ef o rp r e f o r m si s v i t a l l yi m p o r t a n tb e c a u s ep r e f o r m sa r et h ef r a m e w o r k so fc o m p o s i t e s a m o n ga l lk i n d so fb r a i d i n gt e c h n i q u e s ，t r a c k - a n d c o l u m nb r a i d i n gi sa v e r yp o p u l a rt e c h n i q u e i nd e t a i l , b r a i d i n gl a t t i c e a r r a yi sm a d eo fb r a i d i n gm a i n - a r r a ya n d b o u n d a r y - a r r a y l a t t i c e - a r r a yi sa b s t r a c t e da sm a t h e m a t i cc o l l e c t i o na n d b r a i d i n gp a t t e r n 够s e tm a p p i n g i nc a s eo f t h en u m b e r so f l a t t i c ef o rb o t h s i d e so fb o u n d a r y - a r m ym u s lb ee q u a lf o re v e r yr o wa n de v e r yc o l u m n ， p e r m u t a t i o nc a na c c u r a t e l ye x p r e s se v e r ym o v e m e n to fp a c eo fc a r r i e r s ， s ot h a tb r a i d i n gp r o c e s si s n v e r 划t op e r m u r a t i o np r o c e s s ， w i t hb r a i d i n gp r o c e s s , f i r s t l yd e f i n eb r a i d i n gp r o c e s sp a r a m e t e r s ， s e tb r a i d i n gp a t t e r n si nt h e o r y ，b a s e do nt h e o r i e so fm a t h e m a f i cs e ta n d p e r m u t a t i o n ，e s t a b l i s hm o d e lo fl a t t i c e a r r a ya n db r a i d i n gp a t t e r ni no r d e r t ot r a n s l a t eb r a i d i n gp r o c e s st om a t h e m a t i co p e r a t i o ns o a st op r o v e a c c u r a t e n e s so f t h e o r e t i c a lb r a i d i n gp a t t e r nt h r o u g hc o m p u t e rs i m u l a t i o n b yu s eo fm a t l a bp r o g r a m m e ，r e a l i z et h ec o m p u t e r i n go fb r a i d i n g p e r m u t a t i o np r o c e s sa n ds o l v e t h ec a l c u l a t i n g p r o b l e mo fi m p o r t a n t b r a i d i n gp a r a m e t e r s s u m m a r i z i n gt h i sp a p e r ，t r a c k a n d - c o l u m nb r a i d i n gp r o c e s sa r e s y s t e m a t i c a l l ys t u d i e d ，w h i c ha g ee s s e n t i a lt ot h eb r a i d i n gd e s i g no f p r e f o r m s w h a t sm o r e ，t h i sp a p e ro f f e r ss o m en e wi d e a sa n dm e a l a sf o r f u r t h e rr e s e a r c h k e yw o r d s ：t e x t i l ec o m p o s i t e s ，3 - db r a i d i n g ，t r a c k - a n d c o l u m n ， p e r m u t a t i o n 东华大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：我恪守学术道德，崇尚严谨学风。所呈交的学位 诒文是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除 文中已明确注明和引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体 己经发表或撰写过的作品及成果的内容。论文为本人亲自撰写，我对 所写的内窖负贯，并完全意识到车声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：磊友采 日期：尹歹年歹月彳日 东华大学学位论文版权使用授权书 学位论文作者完全了解学校有关保留，使用学位论文的枢定，同意学校保留并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅或借阅。木人授权东华大学可 咀将本学位论文的全部或部分内窖编入有关数据序进行检索；可以采用影印、缩印或扫描等 复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适用本版权书。 本学位论文属于 不保密轴。 学位论文作名签名： 日期：口箩年岁月以日 指导教师签名 蹴扩币移 第一耄弓 言 第一章引言 三维编织结构复合j 哥料是八十年代扶国外发展起来的新型材料， 经过二十年的时间，他已经以其独特的优势而迅速发展起来。第一， 三维编织结构是不分层的整体结构：编织过程中，所有纱线同时参加 织造，每根纱线按一定的规律运动，从而相互交织在一起，形成一个 三维整体织物；第二，三维整体编织技术具有很好的仿形设计功能， 能按照要求加工成矩形、工字形、u 形等复杂截面形状织物，具有异 型件一次编织成型的特点。研究表明，以三维编织织物为增强结构的 复合材料具有轻质、不分层、强度高、整体性能好和结构设计灵活等 特点，为复合材料应用于承载结构提供了广阔的前景，已在航天、航 空、交通、化工、体育、医疗等领域得到了广泛的应用。而且随着技 术的避一步提高，应用前景十分看好。三维编织预型件是构成三维编 织复台材料的骨架，故三维编织预型件的编织技术一直是一个很重要 的研究领域。国内外对三维编织技术的理论研究已取得了一些研究成 果。基本上建立了编织工艺参数、编织结构及其力学径能之问的关系。 但由于复杂的纱线交织结构和制件的外形变化，如何优化设计三维编 织复舍材料仍是一个需要进一步研究的课题。 1 1 国内外研究历史和现状 三维编织技术是二维编织技术的拓展，主要应用于复合材料增强 织物的制作。三维编织复台材料严格地说出现于6 0 年代末，当刚致力 研究的是多向增强复合材料在航天上的应用，美困通用电器公司根据 常规的编织绳原理发明了万向编织机( o m n i w e a v e ) ；到7 0 年代中期， 法国欧洲动力公司也发明了类似的编织机；8 0 年代初美国c u m a g n a 公 司f l o r e n t i n e 博士发明了磁编( m a g n a w e a v ea n d m a g n a s w i r l ) 技术，自 此三维编织工艺迅速发展。 第一章 ；f 言 磁编技术可以根据结构上的要求，使定向增强纤维在较大范围内 具有灵活性，并能柔和地处理脆性纤维，而且通过计算机控制和适当 的排列能直接编织出复杂的骨架。编织原理是，由许多按同一方向排 列的纤维卷装通过纱线运载器精确地沿着预先确定的轨迹在平面上移 动，使各纤维互相交叉或交织构成网络状结构，最后打紧交织面而形 成各种形态增强结构的三维织物。 随着三维编织技术的发展，已有多种编织方法相继出现，目前最 常用的三维编织方法有矩形( 板状) 编织和圆形( 管状) 编织。最常用的 编织工艺有四步法编织、二步法编织和多层内联锁编织。区别矩形编 织和圆形编织主要在于运载导纱器运动的底盘是由纵轨和横轨组成的 矩形还是由环轨和射轨组成的圆形。 国外，美国在这方面起步很早，经过二十多年的研究取得了很多 成果；国内，天津工业大学在三维编织复合材料的研究方面比较系统 化，具有一定的规模，也取得了很多令人瞩目的成绩。 编织复合材料的几何模型是力学分析的基础，国内国外的许多学 者都做过许多研究。 2 0 世纪8 0 年代初f r a n kk o ，之后d u 和k o 2 1 、l i 3 1 、l v i 、k o s t a r 、 和c h o u 4 ，“、w a n g 和w a n g 6 ”、c h e n 1 0 1 “、w a n g 和s u n n 2 】这些国 外学者从不同的角度分析了三维编织体的几何构造，提出了不同的分 析模型，这些分析模型都在不同程度上对编织体实际结构进行了简化； 与实际编织预型件结构还有很人的不同，故还很不完善。 从以上文献中可以得到三维编织物的基本结构是正立方体形盼， 各纤维束沿正立方体的棱、体和面列角线方向组合排列，拓展开来就 形成所谓的三维正交( 如图1 - 1 ) 、三维四向( 如图卜2 ) 、5 向、7 向、 m 1 l l 向、1 3 向结构。 第一童引言 图i - i a 三维正交图卜2 a 三维4 向 图1 1 b 平面投影图1 2 b 平面投影 如图1 - 1 b 和图l - 2 b 所示，若将单元立方体中排列的连续纤维投影到单 元立方体的某一平面上，则任意取向的连续纤维都会在平面上得到一 个点或一条直线。投影为点表示该连续纤维与投影方向平行，而投影 为直线表示连续纤维与投影方向有一定的夹角。从编织的角度来看， 甲元立方体中连续纤维在某一平面上的投影意味着一个编织循环后， 编织纤维起始点与终了点之间的连线。投影为点表示列应的编织纤维 经过一个编织循环后回到了原位置，而投影为直线表示对应的编织纤 维经过一个编织循环后，到达了新的位置。而所有的编织纤维经过一 个编织循环后沿投影方向移动了某一段距离。通过这样的转换，复杂 且困难的三维纤维束空间取向和捧列工作，可以由相对简单的纤维端 第一章引言 点的平面运动结台垂直于平面的移动来获取“”。 对于纵横步进编织过程来说，确定在一定的编织模式f p 纵横步 进阵已知) 下，编织锭子的分组、每组中的锭子枚数、每个锭子的具 体的位置和所有的编织锭子回到初始位置的步进循环的次数等参数， 是编织中的非常重要的问题。文献 3 , 1 6 , 17 给出了“4 步法” 编织规律 下这些参数的经验计算公式，经验公式为：s = ( m + n + m + n ) g 其中，s 是步进循环的次数，m 为编织主体阵行数，n 为编织主体阵列数，g 为 m 和n 的最大公约数，k o s t a ra n dc h o u ”】应用计算机模拟方法。搜寻 出“8 步法”编织规律下的相关参数，但是没有得到一般性的结论。 在国内，李嘉禄、刘谦( 1 9 】采用了一种新的分析方法图像分析 技术对三维编织复合材料中纤维柬走向进彳了分析和研究。 贾呖【”】讨论了二步法三维编织方形预型件的单元体结构，并通过 构造数学算法，建立了可变换视点的几何单冗体显示模型，从不同角 度真实地显示了预型件单元体结构； 成玲【2 1 认为编织过程可以摘述为携纱嚣从一平面网络阵到另一平 面网格阵中的位置置换。其位置点对编织纱线的控制是相对暂时的， 编织纱线将沿携纱器的运动趋势线方向运动。根据所建数学模型，基 于面向对象技术设计开发了三维编织计剪机设计系统。在这一系统中， 通过输入携纱器的排列方式、编织方式、编织纱线的几何特性以及编 织速度等编织工艺参数，实现了三维编织的计算机模拟，获得了编织 纱线的二维和三维的运动轨迹，生成了三维编织结构。 李泽宏【 】根据四步法编织的实际生产过程，利用v i s u a l b a s i e 6 编写 了“四步法编织模拟”应用程序，该程序可以模拟矩形以及其组台横截 面立体编织物四步法编织过程中的纱线运动，有助于分析和设计立体 编织物的结构，并可以扩展到对四步法编织机生产的自动控制。 韩其睿“对复合材料三维编织工艺底盘运动规律进行了探讨，并 给出一些结论。通过这些结论，可以对纱线的交缠情况进行研究和了 解。 在编织锭子的平面运动轨迹计算机模拟这一领域，以上学者都是 第一童引言 采用单步跟踪锭子的移动轨迹的算法来建立任意锭子的当前位置坐标 与纵向步进阵和横向步进阵之闰的映射关系，从而达到跟踪锭子移动 轨迹的目的，进一步实现对于三短编织物空间结构的训算机模拟显示。 纵横步进编织中，编织锭子的移动模式决定了最终三维预型件的 单元结构和截面形状，这一点已经得到众多学者的认同。然而目前有 关纵横编织的研究工作大多数仍是建立在锭子移动模式已知的基础 上，分析锭子的移动轨迹和预型件的结构及性能等。对编织模式本身 的内在特性进行系统研究的报道并不多见。探讨编织模式、单元结构 和三维预型件截面形状之间的基本关系，实现从要求的单元结构和截 面形状入手，获取可实际应用的编织模式的研究尚未见报道。虽然有 资料介绍了一些获取编织模式的方法，但由于基本上是建立在经验的 基础上，因而不具有普遍的意义。而旦通过经验获得的编织模式数量 并不多，这就限制了三维预型件的品种开发。总之，应用纵横编织法 编织特定单元结构和异形截面三维预型件问题并没有得到系统解决； 李毓陵2 3 “卵首先提出一种新的表达三维纵横步进编织的方法 编织图和方格阵的描述方法，对实际编织过程进行书面表达，全面清 楚地反映了实现编织过程的基本要素，方格阵中所有的方格全面准确 地表达了编织轨道的结构。用不同的色泽标识出不同作用的锭子时， 方格阵清楚地表达了锭子在编织轨道上的初始排列状态，同时还可以 从载纱锭子的排列形状看出所编织的预型件的截面形状。步进阵简单 明了地表达了编织模式，步进阵中的数与锭子的纵横移动直接相剐应， 以数阵形式来表示编织模式，将大大方便进一步的分析和研究。然后 从编织方格阵的构成和锭子在编织轨道上的排列两方面归纳总结实现 实际编织所必须遵循的一般原则： 1 编织轨道上的锭子一定要采用整行和整列的方式移动，这是纵 横编织中必须遵守的基本编织原则； 2 合理的方格阵中，任意一行或一列两侧边阵中的方格数必须相 等： 3 在实际编织丑- j ，考虑到机构上实现锭子移动的难易程度和编织 第一章引言 轨道的品种适应性等因素，采用所有的列的边阵相等和所有的行的边 阵相等的方式设计编织轨道； 4 在主体阵内不能有轨道空档存在，必须以锭子填满主体阵； 5 边阵中一定要有一定数量的锭子。此外，锭子在边阵中也必须 是相邻排列。 以上这些编织原则可以看作是纵横步进编织过程计算机模拟的初 始条件，必须事先确定下来。 1 2 本课题的研究内容、方法和意义 1 2 1 研究内容： 从上述国内外研究中可以看到，近年来随着信息科学技术的飞速 发展，计算机软硬件性能的极大提高，已经有很多学者在已有研究成 果的基础上，从编织过程出发，在编织预型件的空间几何结构和编织 锭子的平面运动轨迹计算机模拟这一领域进行了丈量的开拓性研究工 作，得出了一些结论。但是进一步分析后，可以发现： ( 1 ) 预型件纱线空间结构的模拟必须首先搞清楚编织盘上锭子的 平面移动规律，才能进一步准确的表达真实的纱线结构。 ( 2 ) 现有的系统设计所针对的对象一般都是具体的某种编织过 程，如“2 步法”或“4 步法”，因此，其结论不具有一般陛和通用性， 也就是适用范围有限，因此，有必要去寻找一种适用范围广，实用性 强的计算机算法来解决纵横步迸编织中一些问题的求解。 ( 3 ) 在具体的计算机算法实现程序中，在编织盘上任意锭子的初 始位置确定后采用单步跟踪锭子的移动轨迹的算法来建立任意锭子 的当前位置坐标与纵向步进阵和横向步进阵之问的映射关系，从而达 到跟踪锭子移动轨迹的目的。对于编织盘上每个锭子的移动轨迹可以 得到，但是锭子与锭子之问是否存在某种相互关系呢? 是否可以归类 分组呢? 对于更加深入的理解编织的本质问题，单步跟踪法是无能为 力的，因此有必要探索新思路和新方法，可以设想采用编织锭子位置 的整体数组输入，整体数组输出的方法来获得对于编织过程的整体把 6 第一章日t言 握首先解决三维编织工艺底盘上编织锭子的平面运动模拟i l 算，迸 而更好的来实现基于三维编织过程模拟的真实纱线三维结构的仿真。 1 2 2 方法： 基于以上分析，本课题将利用李毓陵采用数学中集合和置换理论 所建立的编织模式与方格阵之间的数学模型，将编织过程转换为数学 运算过程，然后利用计算机m a t l a b 语言，编程实现数学置换算法， 计算得到重要的编织参数，为将来避一步做编织预型件空间结构模拟 显示做好准备，同时还可以在一定意义上验证经验所得理论编织模式 的正确性。课题的关键突破口在于不断深入课题的专业研究中去，找 到合适的计算机算法来实现数学置换模型。 1 2 3 意义： 对于编织过程中各个编织要素及其相互关系的相关研究中，前人 的研究手段人多数是建立在经验的基础上，得出的一些结论只能针对 某一个具体的编织过程，难阻应用在其他的编织过程中，不具有普遍 意义和通用性。例如：编织盘上锭子的初始位置和类型在以前的文献 资料中都是通过经验摸索并通过编织实践才能确定。对于简单的编织 模式可以比较快速准确的进行手工计算，还可以进行上机实际编织实 验来验证，但是对于结构复杂的三维编织预型件来说，由于其复杂的 编织模式的不确定性，如果还是采用手工计算的方法来计算编织参数 鲍话，郡实在是费时费力；还不一定准确。另外受编织机车氪条件的限 制，不可能所有的复杂编织模式都通过实际编织的方法来验证。 在本论文的研究中，通过计算机置换运算对纵横步进编织过程中 锭子的平面运动过程实现模拟后。就可以直接计算出锭子的位置表达 式，同时锭子的移动轨迹、分组数、组内锭子数等运动特性也可毗计 算得到，而且通过实际上机的编织实验也验证了计算所得的结果与实 际编织结果相符舍，因此在纵横步进编织中利用计算机置换算法模拟 编织过程，实现编织过程的数字化，对于从普遍的意义上直观的得到 第一章引言 各个编织要素间的基本关系，从本质上认识和把握编织过程有着重要 的实用价值，而且为进一步深入的研究提供了一个很好的数学分析方 法和引算方法。 第争纵横步进编织过程6 自抽象描述r ，置换表达 第二章纵横编织过程的抽象描述与置换表达 木沦文将依掘李毓陵所采用数学集合和置换理论所建立的编织模 ，j 力格阵之i 训的数学模型，为此奉章将列这模型进行较为洋细的 介绍，以利丁数学模型的计算机编程实现。 2 1 纵横步进编织的抽象描述 本论文采用李毓陵建立的新的表达三维纵横步进编织的方法一 编织圈和方格阵的描述方法，对实际编织过程进行书面表达。即借用 机织物组织图和上机图的描述思想，用一个方格阵表示编织轨道，用 符号或色泽表示锭子在编织轨道上的初始排列状态，在方格阵的占：侧 棚心位置用数阵的形式表示锭子的横向所有行的移动规律，顶侧相应 化管用数阵的形式表示纵向所有列的移动规律，并将此两个表示移动 模，的数阵与方格阵起称为纵横编织图，简称编织图。 一j + + l 一 一l + 十i 一 00 t i( 00 00 00 0o 00 0( j 十】一 图2 - 1 “8 步法”编织图( 方管) 罔2 - l 为“8 步法”方管编织图。图中的每一个方格代表锭子在编 织轨道上可能占据的位置。灰色方格表示相应位置被载纱锭子占据： 0 0 0 o + 一 + 一 一 十 一 十 第二荦级横步进编织d 程的抽象描述与置换表达 空白方格表示投有占据，是轨道空挡；浅灰色方格表示空载锭子，即 锭子只参与移动，但不装上编织纱。粗线区域内的方格构成的是主体 阵。位于主体阵四周的方格组成边阵，可以看出边阵分为4 个部分， 分别是上边薄，下边阵，左边薄帮右边阵。主体薄和边阵一起构成编 织方格阵，简称方格阵。方格阵就是编织轨道的抽象结果，它表达了 编织轨道的结构。在方格阵的上方的数阵中，列出的是每列锭子的移 动规律，称为纵向步进阵，简称缴向阵，记为z 。z 的最上面一行为第 l 行，代表纵向的第一次移动，憩行数就是纵向移动的总的次数：在方 格阵的左侧的方括号中，列出的是每彳了锭子的移动规律，称为横向步 进阵，简称横向阵，记为h 。h 的最点侧一列为第l 列，代表横向的 第一次移动，总列数就是横向移动的总的次数。纵向阵和横向阵舍称 为步进阵，纵向移动的总次数与横向移动的总次数之和就是步进阵的 总移动次数。“4 步珐”和“8 步法”中的4 步和8 步就是指步迸阵的 总移动次数；步进阵中的数字代表对应的每列( 或行) 锭子每次运动 的距离，数字前面的正负号代表锭子运动的方向。由于锭子运动的距 离一定以锭位为单位，在方格阵中以方格为单位，因此锭子的移动也 稀为步逑，步迸阵中的每一个数字与其前面正负号一起称为步长，相 应的总次数称为总步数； 2 2 纵横步进编织过程的数学抽象 为了能从普遍的意义上建立纵横步进编织过程中各个编织要素之 问的关系，从本质上认清编织过程，采用数学中集舍和置换理论建立 编织模式与方格阵之间的数学模型，从而将编织过程转换为数学运算 过程。 2 2 1 数学原理 置换定义：设集合a 中含有n 个元素，a = a a ：a 。 。若列集合 a 的变换庐一定是元素8 j 的一一变换，即自身到自身的申满映射，则 庐叫作列集合a 的置换，也叫n 元置换。 第二章纵横步进编织过程的抽象描述与置换表选 置换乘积：两个n 元置换庐l 和声2 的乘积定义为；爹l 庐2 ( i ) 一函2 ( 声 l ( i ) 1 ，乘积妒l 矿：的作用定义为先作用毋1 后作用多：，曲1 妒2 也可写 成妒1 庐2 。 轮换：如果一个置换以下述的方式作用在一个集合上： 口1 6 2 ，a 2 一口，a 3 一a 4 ，a 4 一口l 则称这个置换为轮换。通常写成( 口- t 2 2 a t ) 的形式。 轮换不相交：两个轮换中如果没有共同的元素，则称这两个轮换是不 相交的。 2 2 2 纵横步进编织过程的置换表达 利用组合数学中集合原理，可以将的研究对象一编织方格阵 抽象为个集合，记为f ，将方格阵中每一个方格抽象成为此集舍f 中的元素。步进阵z 和t - i ( 即编织模式) 可以抽象为作用在f 上的映射 矿( z ，i - i ) ，方格阵按步进阵( z ，h ) 运动的结果成为映射妒作用在f 上的结果。为了使集合f 中的元素在咖( z ，i - i ) 下的像都保持在集合f 中。即所有方格都在方格阵内交换，谩定左边阵的左侧与右边阵右侧 相接，形成封闭；上边阵的顶部与下边阵底部相接，亦形成封闭。这 样，庐( z ，h ) 成为作用在f 上的变换。又由于方格阵中的方格数总是 有限的，且方格在交换过程中既不会增加，也不会减少，因此变换庐 ( z ，h ) 就成为作用在f 上的置换，简记为 z ，h ) 。采取了上述的抽象 之后，编织过程转纯成为了对集合f 中有限元素豹置换。利用置换这 一成熟的数学工具，可以对编织模式和编织锭子的移动模式之间的关 系进行数学分析，从中获得普遍意义的结论： 1 对纵横步进编织过程进行数学抽象之后，纵横步进编织过程转 化成为了对二维数缌矩阵的数学置换运算过程。对于表达步进循环的 置换，记为b ，它是表达每一次步进的置换的乘积，而表达每一次步 进的置换又是整列( 或整行) 的轮换幂的乘积【”】。 2 由于数学置换的特点，置换的过程与置换元素的值无关。 第二章纵攒步迸编织过程的抽聋描述与置换表达 下面通过一个简单“4 步法”编织实例来具体说明置换表达 主体阵为m n = 2 2 图2 2 ( a ) 为m n 为2 2 的“4 步法”的编织图。 雕- 1 。1 f o ，2 k 。 厂1 1 ，2 ，j k以1以2几j 矗，1知。2 ( a )编织图( b )二维数组矩阵 图2 - 2“4 步法”的抽象( 皿n = 2 2 ) q 剃织觌髋书习唯= ： “4 步法”由4 步构成一个步避循环，每一步都可以表达成二维数 组矩阵的置换，而且每一步的置换表达与步序无关，因此可以设第1 步为纵向移动。对应于纵向阵第1 行第1 列盼步长“+ 1 ”对应于主体 阵第l 列的锭子全部岛 三移动一个锭毽在相应集合f 中，这将导致： 1 一 ，l ，l 一 ，l正，l 一 ，l正，l f o ，l 对应丁纵向阵第1 行第2 列的步长“一l ”，对应丁主体阵第2 列的锭子 全部向上移动一个锭位，在相应集合f 中，这将导致： 五2 一五，2五，2 一五2最，：一而，z五2 一而，2 而行边阵中的锭子在纵向步进时保持不动，即： ，o 一五，0五。一五，0 ，3 一 ，3五，3 一疙3 按照置换理论，在置换中保持不变的元素可以不写出，用置换p - 表示 第l 步纵向移动，有： j ， 名 0 一九 啦 = ， 非 玷 ， 对 珀 ， 厶瞬 = p 第二章纵横步避编织过程的抽象描述与置换表达 观察后发现。p l 中的前4 个元素和后4 一个。元素各自成为一个轮换，且 两个轮换中没有共同元素，因此p ，可以表示为这两轮换的乘积，即： p 。：( ，n ，。，。工，) ( 厂。兀，厂， ，) 、一l 川 按照约定，轮换中的元素也应当写成坐标升序的形式，则p 1 的后一个 轮换要写成： ( ：兀：厂1 ：厂0 。) ：( 厂0 ，：厂1 ：厂。 。) 。 置换的逆在这里表现为反向交换，囚此p - 写为： p ，：。丘，。厂。) ( 厂0 ： ： ： ：) 1 将省略的幂指数“+ l ”填上，则式( 2 - 1 ) 成为： p ，：，。厂。，。m 。：，。厂；：) 一 同理，用置换p 2 表示第2 步横向移动，有： p 2 = ，。，厂。：厂1 ，) “( 九。，2 。厂2 ：工，) “ ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 用置换p 3 表示第3 步纵向步进和置换p 4 表示第4 步横向步进，分别 有： p 。2 ，t ， ，、- l 。工： 。兀2 ：) + j ( 2 - 4 ) p 4 沙。，。，。，；3 ) 。1 杪：。，：，：，。f z ， ( 2 _ 5 ) “4 步法”完成一个步进循环意味着要将代表每一次步进的置换按 照编织顺序相乘。若蚓b 表示一个步进循环后的首换结果，且规定第 1 次步进总是纵向步进，则有： b = p 1 p 2 p 3 p 4 第二章纵横步进编织过程的抽象描述与置换表达 进一步展开可得： b = ( 。厂：，。厂。) ( ，。，：。厂：，：厂。) ( ，犁) ( ，。 ( ；。) ( 厂。 由此可以得到编织锭子的相互位置关系，如图2 - 3 所示 ( 2 6 ) 图2 - 3 锭子位置关系 从式( 2 6 ) 和图2 - 3 中可以看出： b 中有4 个元索即 ，l 、而 2 、正，o 和，l ，3 为恒等元素，对应图2 - 3 中 自色的方格，即这4 个元素经过一次步进循环后保持不变。对照图2 2 ( a ) 中的方格阵可以看出，这些元素对应的是边阵中的空格。这说明 通过置换方法可以计算出边阵中空格的位置。 b 有两个不相交的轮换，这意味着，图2 2 ( a ) 所示的“4 步法” 编织中，所有的锭子可以分成两个组，对应图2 - 3 中红色和蓝色方格， 分别以两种移动模式运动。置换的轮换表达中，不相交的轮换的长度 的公倍数等于置换的阶1 2 6 “2 9 1 。b 中两个轮换都有4 个元素，两个轮换 的长度都等于4 ，因此b 的阶也为4 。这也意味着，图2 2 ( a ) 所示 的编织，经过4 个步进循环后，所有的锭子都回到初始的位雹。b 中， 参与轮换的元素共有8 个，这些元素都是确定的，这意味着实现图2 2 ( a ) 所示的编织，需要8 枚锭子，而且这些锭子安放的位置也是确定 的。 从b 中还可以清楚看出每次步进循环后，锭子之间所发生的位置 1 4 第二章纵横步进编织过程的抽象描述与置楱表达 变化关系，并可知位置的变化关系都是确定的。从而为追踪锭子的移 动轨迹，分析锭子的移动特性提供了基础。 第三童级攒步进编织过程的算茫实现 第三章纵横步进编织过程的算法实现 表达编织过程的数学置换模型虽然可以得到编织锭子的运动参 数，但从上一章的分析计算过程可以看出，人工计算过程是比较繁琐 的，血珏果锭子数量比较太，则训算起来非常困难。随着训算机软硬件 性能的极太提高，以及计算机算法的快速发展，使得可以在已有研究 成果的基础上，从编织过程出发，描述编织模式与编织参数的关系， 从而使得采用计算机模拱技术实现纵横步进绽织的耩勋计算成为可 能。故而本章将对第二章所建立的纵横步进编织过程的数学置换模型 进行计算机编程实现，以达到快速准确获得编织锭子运动规律的目的。 3 1 工具软件 对于计算机模拟技术的实现来说，首先必须选择一门高效实用的 程序设计语言来实现计贳：方法的表达，在本论文工作的开始阶段，首 先分析了前人所采用的编程语言，如微软公司的开发工具软件v i s u a l c + + ，还有v i s u a lb a s i c 等，它们都是非常优秀的面向对象的可视化开 发工具，界面设计漂亮，使用灵酒，功能也非常强人，是编程人员广 泛使用的工具。但是仔细分析本论文的实际情况，发现需要对大量的 数组矩阵进行计算处理，用上述开发工具实现起来非常囚难，又考虑 到论文工作的时间有限，学习并熟练使用上述开发工具也要花费较长 时间，故而没有选用。 m a t l a b 是由m a t h w o r k s 公司开发的性能优良的计算机数学运算 软件，功能十分强大，语言开发环境友善，使用也很方便，特别是列 于需要大量的数组矩阵处理的开发工作f 常高效实用，实现计算方法 也是报方便，使开发者大大简化开发工作，提高了工作效率。为此本 论文将在上述的三维编织过程置换分析的基础上，运用高级计算机编 程语言m a t l a b 来实现上述的数学模型，从而达到快速准确的编织参数 计算的目的。 本文所设计的系统选用高级程序设计语言m a t l a b 来进行置换算法 第三童纵横步进编织过程的算法实现 的实现，所用版本为m a t l a b6 5 。 3 2 置换表达的算法实现 对于简单的编织模式可以比较快速准确的进行手工计算，还可以 进行上机实际编织实验来验证，但是对于结构复杂的三维编织预型件 来说，如果还是采用手工计算的方法来计算编织参数的话，那实在是 费时费力，还不一定准确。另外受编织机构条件的限制，不可能所有 的复杂编织模式都通过实际编织的方法来验证。接下来的一节详细说 明表达编织过程的数学置换模型的计算机算法实现。 3 3 系统功能框架图 依据第二章的数学模型，考虑到软件的使用要求，设计系统功能 框架图为 第三章纵横步进编织过程的算法实现 熏统默迎界面 初始化 簧换运茸模块 编织规律运算横块 退出系统 辘 主体醉行列擞m n 行边降方格教t 。蜘边辟方格教c 输入步进循环教r 输入纵向步迸降z 槽同步进阵h 对集合f 醺初信，得到韧位置矩胖f i r s t 判断步进的方向：纵横步进醉中元素值的正负 每一次步进的置换：幕钉( 列) 的轮换幂的计算 鞠出一个步进循环后锭子的最终位置矩j 串 f i n a l 编织盘上空培位鼍 编织锭子的分蜘和纽内锭子救数 所有蝙织锭子回剑初始位簧的步进循环数 输出上述计算结果 图3 1 系统功能设计框架圈 其中，系统欢迎界面的作用是提供友好的人机交互环境，欢迎使 用本系统；初始化模块主要解决纵横步进编织过程最基本的编织要素 的定义，从而实现编织方格阵和编织模式的数学矩阵形式表达；置换 运算模块主要解决编织过程中，锭子纵横商交替运动的置换表达，并 且计算得到一个步进循环后锭子的最终位置；编织规律运算模块主要 解决编织盘上空格，编织锭子分组形式，以及所有锭子回到初始位置 时步进循环的次数的计算。各个功能模块具体的实现如下： 3 3 1 系统初始化模块 系统首先要求输入实现编织的最基本的初始化参数，包括编织主 第三章纵辎步进鳊织1 i 程的算拄实现 体阵行数m 和列数n 、行边阵方格数t 和列边阵方格数c 、步迸循环 数r 以及数组矩阵形式的纵向步进阵z 和横向步进阵h 。本模块通过 乔面文字提示方式淆用户输入上述初始参数值，然后根据得到的参数 值由程序自动生成_ 维数组矩阵形式的方格阵和纵横步进阵。具体实 现分析如下； 结合第一章1 ，1 节中李毓陵总结的编织所遵循的基本原则，得到 了编织轨道的合理结构，进一步可以给出集合f 的一般形式。令主体 阵行列数为m n ，行边阵方格数为t ，列边阵方格数为c ，且要求m ， n ，t 和c 都为正整数，为了便于分析和理解，对集合f 的每个冗紊作 上标记ij ，其中i 是元素的行坐标，与主体阵对应的第1 行为1 ，从 上到下按升序排列；j 是元素的列坐标，与主体阵对应的第1 列为1 ， 从左到右按升序排列，从而得到集合f ，如图3 - 2 所示： - g + 1 ，1c + 1 ，n 1 ，“1 1 ，11 ，1 1 1 ，n + t i g l ，- t + 1m ，1 m n i n ，n + l l r f l + o 、1 m + cn ，、 z ：愕：粤j ，i 叱2 ， j = 1 ，2 ，n u u z k 再3 第三章纵横步连编织过程酊篝i 壬实现 fh 。h ，；1 h = i i ，j = 1 ，2 ，k ；i = l ，2 ，r n l h 。，h 。，j 为了方便计算机对编织方格阵进行计算处理，将m 行i 1 列的主体 簿扩展成为( m + 2 * c ) 行和( n + e * t ) 列，将图3 - 2 变为矩阵形式，如 图3 - 3 所示： 1 1 1 ，t + 11 ，t + n1 ，n + 2 t 1 + c ，1 1 + c t + 1 1 + c ，t + n l + c n + 2 t i i i + c 1 i i i + c ，t + 1 i i i + c t + nm + c n + 2 t m + 2 c 1 m + 2 c ，t + 11 t a + 2 c ；t + n m 2 c n + 2 t 图3 - 3 矩阵化的集台f 将扩展后的方格阵阵抽象为一个二维数组矩阵，记为b o d y ，然后 将二维数组矩阵b o d y 进行初始化赋值，得到纵横步进编织中的初位置 矩阵，记为f i r s t ，可以认为二维数组矩阵b o d y 中每一个数组元素对 应于编织盘上相应的每个锭子所