（应用数学专业论文）几类数学生态模型的持久性研究.pdf

江苏大学硕士毕业论文 摘要 生态系统的持续生存性和灭绝性问题是数学生态学理论中的个 重要组成部分。所谓持续生存性，从生态学的角度，就是这个生态系 统中所有种群都能长期生存下去；灭绝性，就是生态系统中的某一种 群或某些种群将导致灭绝，而不复存在。在非常注重保护生物多样性 的今天，研究生态系统的持续生存和灭绝问题有重要的现实意义。 本文系统的讨论了二种群三。t k a v o l t e r r a 收获与投放模型的永久持 续生存问题，利用经h u s t o n 改进后的平均l y a p u n o v 函数定理，得出了 二维三o t k a v o l t e r r a 投放与收获模型永久持续生存的充分条件。 在文【1 8 ，3 4 】的基础上，讨论了具确定时滞的三种群上。砌一踟妇，m 食 饵一捕食模型的持续生存和全局稳定性，得到了系统一致持续生存的 充分条件以及正平衡点存在和全局稳定的充分条件。 讨论了四维工。砌一踟加w 模型的永久持续生存问题，将文【l 】中的 已有结果推广到四维l o t k a v o l t e r r a 模型上，同时给出了带有线性反馈 控制项的四维。t k a v o l t e r r a 模型的永久持续生存的充要条件。这些定 理对于再生资源的开发和利用以及实施环境调控，有一定的应用价 值。 在文【3 8 ，4 1 1 的基础上，讨论了一类两斑块册模型中传染病的一致 持续生存和灭绝，得到了传染病一致持续生存和灭绝的阀值。 关键词：l o t k a v o l t e r r a 系统，持续生存，灭绝，投放与收获，密度制约， 阀值，时滞，全局稳定。 江苏大学硕士毕业论文 a b s t r a c t t h ep r o b l e ma b o u tp e r s i s t e n c ea n de x t i n c t i o no fe c o l o g i c a ls y s t e m i sa ni m p o r t a n tp a r to fm a t h e m a t i c a le c o l o g y f r o mt h ev i e w p o i n to f e c o l o g y ，p e r s i s t e n c eo fam a t h e m a t i c a le c o l o g i c a ls y s t e mm e a n s t h a t a l lt h ep o p u l a t i o ni nt h es y s t e ms u r v i v e sp e r m a n e n t l y , e x t i n c t i o no fa s y s t e m m e a n st h a to n eo rm o r ep o p u l a t i o ni nt h es y s t e mw i l l d i s a p p e a ri nt h el o n gr u n n o w d a y s ，t h ed i v e r s i t yo fe c o l o g yi sv e r y c o n c e m e d ，s ot h er e s e a r c ho fp e r s i s t e n c ea n de x t i n c t i o no fe c o l o g i c a l s y s t e mi sv e r ye s s e n t i a l i nt h i sp a p e r , t h ep e r m a n e n tp r o b l e mf o rt w o - - - s p e c i e sl o t k a v o l t e r r a m o d e l sw i t hh a r v e s ta n dt h r o w - i ni ss y s t e m a t i c a l l yi n v e s t i g a t e d ，s o m e s u f f i c i e n tc o n d i t i o no fp e r s i s t e n c ef o rt h es y s t e mi so b t a i n e db yu s i n gt h e i m p r o v e dl y a p u n o v t h e o r e m b a s e do nl i t e r a t u r e 1 8 ，3 4 】，t h eu n i f o r mp e r s i s t e n c ea n dg l o b a ls t a b i l i t y f o rt h r e ed i m e n s i o n a ll o t k a v o l t e r r am o d e lw i t ht i m e d e l a y e d i n v e s t i g a t e d ，t h es u f f i c i e n t c o n d i t i o no fu n i f o r mp e r s i s t e n c ef o rt h e m o d e l i so b t a i n e da n dt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o nu n d e rw h i c ht h e r ee x i s t s a p o s i t i v ee q u i l i b r i u ma n df o rt h eg l o b a ls t a b i l i t yi sa l s oo b t m n e d t h ep e r m a n e n tp r o b l e mf o rf o u r - - s p e c i e sl o t k a v o l t e r r am o d e l si s i n v e s t i g a t e d ，t h e t h e o r e m2 2 3i n l i t e r a t u r e 【l 】i s e x t e n d e dt of o u r d i m e n s i o n a ll o t k a v o l t e r r as y s t e m ，a n ds o m es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r y c o n d i t i o no fp e r s i s t e n c ef o rf o u r - - s p e c i e sl o t k a - v o l t e r r am o d e l sw i t h 江苏人学硕士毕业论文 t h el i n e a rf e e d b a c kc o n t r o li so b t a i n e d t h e s et h e o r e m sa r ev e r yu s e f u l f o rt h em a n a g e m e n to fr e n e w a b l er e s o u r c e sa n de n v i r o n m e n tc o n t r o l b a s e do nl i t e r a t u r e 3 8 ，4 1 】，t h ep e r s i s t e n c ea n de x t i n c t i o no fd i s e a s ei n at w op a t c h e ss i sm o d e li si n v e s t i g a t e d ，t h et h r e s h o l do fu n i f o r m p e r s i s t e n c ea n de x t i n c t i o no f t h ed i s e a s ei so b t a i n e d k e yw o r d s l o t k a v o l t e r r a s y s t e m ，p e r s i s t e n c e e x t i n c t i o n ，h a r v e s t a n dt h r o w i n ，d e n s i t yr e s t r i c t i o n ，t h r e s h o l d t i m e 一- d e l a y e d ，g l o b a ls t a b i l i t y 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的 规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以 将本学位论文的全部内容编入有关数据库进行检索，可以采用 影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口 本学位论文属于，在年我解密后适用本授权书。 不保密日 学位论文作者签名：羟豇 加。厶年6 ，月协日 指导教师签名 锄易 6 岁移年5bf 磬日 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指 导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引 用的内容以外，本论文不包括任何其他个人或集体已经发表 或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和 集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明 的法律结果承担。 学位论文作者签名；绦觋 日期：伽。b 年6 月f 兮目 江苏大学硕士毕业论文 第一章绪论 本章概述了本课题的研究背景，现状和选题意义及数学生态系统模型的永久 持续生存问题，并阐述了本文的主要工作。 1 1 本课题的研究背景和现状及选题意义。 近半个世纪以来，生命科学得到了很大的发展，与生命科学相联系的一系列 边缘学科相继产生，如生物化学，生物物理，生物经济等，生物数学是其中最年 轻的边缘学科之一。近几十年来，生物数学的发展更为迅速。数学生态学是其中 的一个重要分支，在数学生态学中，一项长期努力的工作就是研究生态系统中生 物种群个体数量变化的规律。这项研究首先需要建立生态种群的模型。但建摸不 是最终目的，利用所建立的模型进行分析，预测以至调控物种的发展过程与发展 趋势才是人类最终的目的。 目前为止，对数学生态学的研究大致可分为三个阶段：f 1 1 研究 l o t k a v o l f e r r a 模型的性质f 1 ，3 ，2 4 ，2 5 ，2 6 ，3 0 1 ，诸如全局稳定性，一切解的有界 性，空间周期解与极限环等；( 2 ) 研究自治与非自治的l o t c a l o t e r r a 模型及带 有扩散项的肋砌d 9 0 ，d v 等模型的永久持续生存问题【9 ，2 3 ，2 9 ，3 1 ，3 2 ，】( 3 ) 用数 学生态学的模型研究可再生资源的最优开发等问题f 1 0 1 。 从现有的结果来看，人们最为关注的就是生物种群的永久持续生存和灭绝 性。所谓永久持续生存性，从生物学角度来看，就是这个生态系统中所有种群都 能长期生存下去。同样，生物种群灭绝性的研究也是很有必要的( 所谓灭绝性， 就是生态种群中的某一种群或某些种群即将灭绝，而不复存在) 。在非常注重保 护生物多样性今天，这种研究工作具有非常重要的现实意义。有关生物种群的永 久持续生存和灭绝问题虽已形成了一套结论，但大部分都是只对自治系统或两种 群非自治系统而言，还没有见到系统的讨论收获或投放对两种群l o k t a 一踟打8 ，阳 系统永久持续生存的研究以及讨论三种群时滞模型的持续生存研究；对可再生性 资源的最有开发利用问题的研究目前仅局限于单种群的最优收获问题 江苏大学硕士毕业论文 1 0 】，【1 l 】i 2 9 】，对两种群的相关问题仅做了特殊的讨论，并没有得到一般的结论。 鉴于此，本文在第二章研究了二种群l o t k a v o l t e r r a 收获与投放模型的永久持续 生存问题。对低维无时滞数学生态模型的持久性研究已经得到很多结果，但是对 时滞模型，这方面的研究结果还比较少。事实上，在自然界中，时滞现象是很普 遍地。因此很多时候，时滞模型能更真实地反映自然，所以，研究时滞模型的持 久性是一项很有意义的工作。本文在文1 8 ，3 4 1 的基础上，研究了具确定时滞的 三种群l o t k a v o l l e t r a 食饵一捕食模型的一致持续生存和全局稳定性，得到了系 统一致持续生存的充分条件和正平衡点存在和全局稳定的充分条件。另外，运用 现代控制理论研究数学生态系统的持久性也是一个热点，也就是在数学生态系统 模型中加上控制项，以研究人工的控制对该系统永久持续生存的影晌，在什么条 件下，一个原来不能永久持续生存的系统( 即灭绝型系统) 可以变成一个永久持 续生存的系统。在文献1 1 中，曾给出了具有特殊形式的三维l o t k a v o l t e r r a 模型 永久持续生存的充要条件( 文献1 1 中的定理2 2 3 和定理2 2 4 ) 。本文在第四章 里，把文1 的结果推广到四维的情形，同时给出了一个很重要的定理，即可以 通过施加线性反馈控制项，使一个灭绝型系统变成一个永久持续生存的系统。这 个定理对实施环境调控和再生资源的开发有一定的应用价值。本文在第五章研究 了一类两斑块的s i s 模型中传染病的持续生存和灭绝，得到了传染病一致持续生 存和灭绝的阀值。 1 2 数学生态系统的永久持续生存问题的综述 数学生态系统的永久持续生存指系统中的每一种群都永久地生存下去，即不 发生灭绝现象。目前为止，在文献【l 】，【2 】里面数学工作者分别给出了数学生态系 统的永久持续生存的两类精确定义，按照这两种定义又产生了相应的数学生态系 统的永久持续生存的判别方法，下面把这两个系列的有关概念和相关定理叙述一 下。 2 江苏大学硕七毕业论文 1 2 1 第一种永久持续生存的定义和相关定理 给定模型 鲁= t ，( 碱矗) 户1 ，2 ，一0 - 0 假定此模型中的函数z ( x 1x 2 ，) 在锥形 群= ( 鼍，恐，) j 蕾o ，i = 1 ，2 ， 上满足解的存在唯一性条件，于是过任一点x 0 联，模型( 1 1 ) 都存在满足初始 条件x0 ) = x o 的右行饱和解x = 妒( ，x o ) ，f ，这里= o ， 表示解的最大存 在区间。 定义1 1 旧若对任何z i n t 耻和所有的f 有 熙s u p 吼( ，x ) o 则称系统( 1 1 ) 弱持续生存( w e a kp e r s i s t e n c e ) 定义1 ，2 1 1 3 】若对任意工i n t 膨和所有的i 有 l i r ni n f o , ( t ，x 1 o 则称系统( 1 1 ) 强持续生存( s t r o n g p e r s i s t e n c e ) 定义1 3 f 1 4 1 若对任意x i n t 磁和所有的i 有 聊l i mn 弓眵b z 如。 则称系统( 1 - 1 ) 平均持续生存( p e r s i s t e n c ei n m e a n ) 定义1 4 【1 5 】若对任意x i n t 彤和所有的f ，存在正数占( d 与x 无关) ，使 l i m 。i n fq g i ( t ，x ) j 则称系统( 1 1 ) 一致持续生存( u n i f o r mp e r s i s t e n c e ) 定义1 5 1 l 若系统( 1 1 ) 一致持续生存，并且它的所有勰有界，即 l i m s u p t p , ( 眯吉 3 江苏大学硕士毕业论文 则称系统( 1 1 ) 永久持续生存。 定义1 6 【1 1 若存在系统( 1 1 ) 的一个解妒( ，x ) ，z 群，使得对某个f 有 l i m s u p 妒, ( t ，x 1 = 0 则称系统( 1 1 ) 非持续生存，或称灭绝型的。 对于模型( 1 1 ) 而言，为了寻求其永久持续生存的充分条件，h u s t o n 改进后的 平均l i a p u n o v 函数定理是经常用到的工具z 一。 定理1 【4 1 给定的微分方程 鲁= 巾) ( 1 2 ) ( 这里x = ( 五，x ：，) 7 群) 所确定的半动力系统( x ，r + ，妒) ，设是紧的，s 是x 的紧子集，s 的内部为空的，s 和x s 是正不变的。若存在一个连续可微 函数，即 p ：x s 斗疋 满足 ( i ) p ( x 1 = 0 x s ； ( i i ) g ( x ) = p 1 ( x ) p ( x ) 在x s 上连续，这里 p ( x ) = 去寺= 去巾) 为p 沿系统( 1 2 ) 的全导数； ( i i i ) l i m i n f 】；f ，( y ) 存在，并且由此将y ( x ) 扩张到盖，仍- i _ e ) b y ( x ) ； v 呻j 絮。 ( i v ) 对每个x 五而( q ( s ) = 望q ( x ) ) ，n ( z ) 为过x 点轨线x = 妒( f ，x ) 的 极限集，有 磐p p ( 趴) p o 则存在一个正不变集合，m c x ，使d ( m ，s ) 0 ，且对系统( 1 2 ) 的任何解 4 江苏大学硕士毕业论文 妒( f ，x ) ( x x s ) ，存在屯( t o 0 ) ，使得当t t o 时，妒( r ，x ) c m 。 将上述结沦应用于系统( 1 1 ) 则有下述结论 定理2 ( 4 】若系统( 1 1 ) 的所有解有界，且存在函数 p ：彤_ r 满足 ( i ) p ( x ) 在r ：上连续可微 ( i i ) p 。( 0 ) = b a r ： ( i i i ) y 0 ) = p ( x ) p ( x ) 在i n t r + 内连续且l i m ( _ y ) 存在，并由此将 z ：6 斌 1 m 6 衅 y 0 ) 扩张到群，仍记为( x ) ； ( i v ) 对任何x e q ( 6 嫂) ，有s 叩p 扣( 岛x ) 净 o 则系统( 1 2 1 1 ) 是永久 、 f o ： 持续生存的，特别当q ( 6 枷：) 内仅含孤立平衡点时，若将条件( i v ) 换成 y ( x ) o ，x ( 6 婵) ， 则系统( 1 1 ) 是永久持续生存的。 定理3 2 】若系统( 1 。1 ) 的所有解有界，且在( 6 d 掣，) 存在如文献 1 】中定义的 函数矿( x ) ，使当z ( 6 删，卢) n ( 6 删) 。，伊( f ，x ) n ( b d r ：，) ，t o 时有 y = 矿1 ( 伊( ，x ) ) = 争o 旦x t 矿f x 妒( ，z ) ) 仍( r ，x ) ，( 织( ，x ) ，锻( f ，x ) ，致( z ，工) ) 。( 1 t 3 ) 则系统( 1 1 ) 是强持续生存的。特别当( 1 3 ) 式严格大于零时，系统是一致持续生 存的。 实际上这一定理蕴含着系统( 1 1 ) 的永久持续生存性。 另外，下面的定理给出了系统( 1 1 ) 永久持续生存的必要条件。这一条件在推 导数学生态模型的永久持续生存的充分必要条件时经常用到。 江苏大学硕士毕业论文 定理4 若系统( 1 1 ) 永久持续生存，则在i n t r ? 内必有正平衡点存在。 1 2 2 第二种永久持续生存的定义 定义1 7 i 9 1 称紧致区域q 彤为系统( 1 1 ) 的一致有界区域，如果存在有跟时 间巧= 正( 占，) 使得对任意( 万，z 。) r + r ：有 z ( t ，万，z 0 ) q ， f 墨 这里z ( f ，占，z 0 ) 是系统( 1 1 ) 满足初始条件z p ) = 的解。 定义1 8 1 9 称系统( 1 1 ) 是永久持续生存的，如果存在一个一致有界区域，这 一区域与各超坐标平面的距离为严格正的。 利用定义( 1 ，1 ) 和定义( 1 2 ) 可给出相应的数学生态系统永久持续生存的一些 条件，当然这些条件随着模型的变化而不周。 1 2 3 判别数学生态模型的永久持续生存的方法 上面给出的数学生态系统模型永久持续生存的定义，形式不尽相同，但实质 上是等价的。然而正是因为不同形式的定义，导致了数学生态系统模型的永久持 续生存的不同判别方法。 方法根据定理3 判别系统 百d x = “，和，矗) ，f = 1 ，2 ，船 ( 】1 ) 永久持续生存，首先要证明此系统的所有解有界：其次要证明存在一个l i a p o n o v 函数矿( 五，靠) ，并且这一函数沿着系统( 1 1 ) 的全导数大于零。 方法二根据定义1 8 1 9 1 要证明系统( 1 1 ) 永久持续生存，首先要找系统( 1 1 ) 的 一个正不变区域q ；其次要证明从区域q 内任一点出发的轨线z ：妒( 工) ，当 时间变大时，最后仍落在q 内部。这样也可以证明系统( 1 1 ) 的永久持续生存问 题。 如果系统在其唯一正平衡点处是全局渐进稳定的，则该系统是永久持续生存 6 江苏大学硕士毕业论文 的r 反之未必，即一个永久持续生存的系统，未必是全局渐进稳定的。 1 3 本文的主要工作 本文综合运用矩阵理论，微分方程定性理论以及现代控制理论，针对数学 生态系统模型第一，第二种永久持续生存的定义，讨论了二种群l o t k a v o l t p ，m 收获与投放模型永久持续生存性；具确定时滞的三种群l o t k a v o l t p 啪食饵一捕 食模型的一致持续生存性和全局稳定性性；四种群l o t k a v o l t p r m 模型的永久持 续生存性；两斑块s i s 中传染病的持续生存和灭绝问题，主要工作如下： ( 1 ) 系统的讨论了具有收获与投放的二维l o t k a v o l t e r r d 模型的永久持续 生存问题，得到了它们永久持续生存的充分条件。 ( 2 ) 在文【1 6 ，18 的基础上，讨论了具确定时滞的三种群 l o t k a v o l t e r r a 食饵一捕食模型的一致持续生存性和全局稳定性，得到 了系统一致持续生存的充分条件以及正平衡点存在和全局稳定的充 分条件。 ( 3 ) 在文献 1 】中，曾给出了具有特殊形式的三维l o t k a v o l t e r r a 模型的永久 持续生存的充要条件( 文献f 1 1 中的定理2 2 3 ) ，本文将这一定理推广到四维 l o t k a v o l t e r r a 模型上，同时给出了带有线性反馈控制项的四维l o t k a v o l t e r r a 模型的永久持续生存的充要条件这些定理对于可再生资源的开发和利用以及实 施环境调控，具有一定的应用价值。 ( 4 ) 在文 3 8 ，4 1 】的基础上，讨论了一类两斑块跚模型中传染病的 一致持续生存和灭绝，得到了传染病持生存和灭绝的阀值。 江苏大学硕士毕业论文 第二章二种群三。t k a v o l t 州n 收获与投放模型的永久持续生存 本章系统的讨论了二种群l o t k a v o l t e r r a 收获与投放模型的永久持续生 存问题，利用经h u s t o n 改进后的平均l y a p u n o v 函数定理，得出了二维 l o t k a v o l t e 珊投放与收获模型永久持续生存的充分条件。 2 1 引言 如果两种群a 和b 生活在同一自然环境中，它们之间必然相互影响，每一种 群的增长将与别的种群的存在多少都有关系。假设两个种群的密度分布是均匀 地。以工( 咄y ( ，) 分剐表示种群爿和艿在时刻f 的密度。k o l m q g o r o v 给了在同 一个生态环境中生活的两种群a 和b 的密度增长模型 害叫( w ) 詈= x e ( w ) f 2 】) 1 9 3 5 年，g o u s e 与w i t t 认为对于非常简单的种群( 例如酵母，细菌等) 可线性 化和五的方法来近似表示( 2 1 ) 即为 车= z h + 白r + 咿j a t d - y ：儿0 2 + b 2 x + c 川 d f ( 2 2 ) 这就是通常所称的l o t k a 一，f e r r d 模型。其中x ，y 的系数均为常数，b l 与c ! 分别 反映两种群的密度作用因素，称为种内作用系数。c ，与b ：反映了两种群相互作用 的因素，称为种问作用系数。a 与。：分别表示两种群的内禀增长率。 ( 一般说来，总假定6 i o ，c 2 0 其5 u - 若b , 0 表示种群a 是密度制约的，乞 0 时有 矿= 矿( 妒( r ，x ) ) 。喜章( 妒( 例锻( “) ，( 仍( m 仍( 蚺，( 例。 ( 2 4 ) 则系统( 2 3 ) 是强持续生存的，特别当( 2 4 ) 是严格大于零时，则系统( 2 3 ) 是一致 持续生存的 这一定理在实际应用中用起来有一定困难，为此，就像f f l 比较法在讨论微分 方程的稳定性是一样，可以通过系统( 2 。3 ) 与纯量方程 鲁= m ( 甜) ( 2 5 ) 相比较，建立它们之间的某种关系，使( 2 3 ) 的持续生存状态过渡到系统( 2 5 ) 定理2 【1 1 若存在函数 v ：础斗r 满足 ( i ) v ( x ) 在彤上连续可微； ( i i ) v 。( 0 ) = 6 姆： ( i i t ) 矿= 瓤3 ) - 喜警t f ( x u x 2 , , x n ) 猢( 工) 则系统( 2 5 ) 的弱持续生存可推出系统( 2 3 ) 的弱持续生存。 利用上述两个定理，可以研究两种群l o t k a v o l t e r r a 收获与投放模型的永久 持续雄存的充分条件，这正是本章所要研究的主要内容。 垒 江苏大学硕士毕业论文 2 2 主要结果 模型( 2 2 ) i d x = x h + 屯h c 1 川 罢叫 也x + c 2 y 按其生态意义可以分为以下三类： ( i ) 捕食与被捕食即一种群充当了另一种群的食饵，此时的c b 2 o ，b 2 0 ，则y 为被捕食者，寄生与寄主系统是这种类型的特殊情形。寄生 时捕食者，寄主是被捕食者( 食饵) 。食草动物与草也是这种类型的特例。 ( i i ) 竞争每一种群的存在对另一种群的增长产生抑制作用。它们可以是 相互搏杀，更多大的情形是共同竞争资源。这时q 0 。例如，蜜蜂与花朵就是互惠的两种群。 在上述三种类型中，通常情况下有b l o ，c ，0 ，即或者密度制约。或者忽略密 度的作用，但也存在种内作用系数为正的特殊情形。例如，成群的狼有利于其捕 猎，从而易于生存繁殖。因而在一定范围内，密度对狼群增长具有促进作用。 下面将就以上三种关系分别给出收获与投放模型的永久持续生存的条件。 2 2 1 二维l o t k a v o l t e r r a 纯收获模型的永久持续生存 考虑模型 1 0 江苏大学硕士毕业论文 鲁叫”6 1 x + q y h 鲁= 爿q 啦+ 卅以 其中b j o ，c 2 0 ，c 16 2 可正可负，1 2 1 ，2 为常数，h o ，k 0 。 定理3 设系统( 2 6 ) 中的两种均为非密度制约型( 6 l = c ：= 0 ) ，即 ( 2 6 ) ( i ) 当两种群互惠共存k o ，也 0 ) 时，如果c t ， o ，日： 0 ，b 2 o ，a 2 0 且h a l x + c i x y ，( 或k 口2 屯+ b 2 x y ) 成立。同时选 取适当的常数一，b 使q ：a + a 。：b 小于零。则系统( 2 7 ) 是永久持续生存的。 ( i i i ) 当两种群互相竞争时( c l o ，b 2 o ) ，如果h 0 ，则系统( 2 7 ) 是永久持续生存的。 ( i v ) 如果两种群相互竞争，a 1 + 吒 0 现来证明系统( 2 7 ) 所有解的有界性。 力p ” q q 虹 h 出一衍妙一出 皇二i 生苎堂堡主兰些笙壅 令 s = a x + 缈 则 s = a x + b y 于是沿着系统( 2 7 ) 的s 为 s t ，= 4 z ( q 工+ c l y ) 一埘+ 砂( a ：+ b 2 x ) 一k b 将此式两端同时加上s s 得( 其中s m i n h l ，j qj ) ) s + e s = a x ( a i + 占) + 哆y ( 啦+ 占) + ( 4c 1 + b b 2 ) x y h a k b 0 的情况给出定理的证明。另一种情况类似。 令矿= 一( 反，吃为待定常数) 痧l ，2 矿l ， d i ( q j h + q y + d ：( d ：一多+ 也x 由已知条件很容易得矿f 。 o 。 现来证明此种情况下系统( 2 7 ) 的所有解的有界性。 令 s = a x + b y ( a ，b 为待定丁f 数) 1 2 江苏大学硕士毕业论文 则 s = a x + b y 利用与( i ) 中同样的手法可得 s a 2 y 有 s + 8 s = a x ( a i + 占) + 墨y ( q + 占) + ( 爿q + b b 2 ) x y h a k b s + e s ( a t + s 、4 x + b e y h a + ( a c i + b b 2 ) x y 上述不等式除b s _ y 为正外，其余各项的代数和均可由一，口适当取值使之为负。 因此 s + s c o 这样不等式的解是有界的，且有 s ( r ) 0 现来证明系统的所有解的有界性。令 s = a x + b y 则 j = a 工+ b y 运用与( i ) ( i i ) 中同样的手法有 占+ g s = 彳x ( q + 占) + 置y ( 呸+ f ) + ( 一q + b 6 2 ) 砂一h a k b 选取适当的爿，b ，h ，k 能使右端对任意的x , y 都有界，即 江苏大学硕士毕业论文 5 + s s c o 这样此微分不等式的解是有界的，且有 s ( r ) 詈+ 阿“ 因此系统( 2 ，7 ) 在正象限中的所有解是有界的，根据定理1 【2 1 知命题成立 ( i v ) 令 v = x y 则 i l o = v l ， ( q + d ：) + ( 6 l + 6 2 ) x + ( q + q ) y j h 一多 根据条件有 矿k v b ( q + 口：) 又 害= 甜”啦) 因为( q + a 2 ) 0 ，故根据定理2 【1 1 有系统( 2 7 ) 是非持续生存的。 证毕。 定理4 设系统( 2 6 ) 中的两种群均为密度制约型( 6 1 0 ) ，如果q o ，呸 0 ，且 h a l x + b j x 2 + q x y , k a 2 x + b 2 x y + c 2 y 2 中有一个式子成立，则系统( 2 8 ) 是永久持 续生存的。 ( i i ) 当两种群存在捕食与被捕食关系时，只要 h a l x + b l x 2 + c 】x y ，k o ( f _ 1 ，2 ) ，q 0 ，h o ，k 0 如果收获量 a l 一6 1 x + c l y ) 墨投放量七 破，( 表示远远大于) ，就有v b 0 。 另外，令s = 血+ 印( a ，b 为待定正数) 则 ；= 爿二+ 占；= 4 x ( q b 、x + q y ) + b y ( 一口2 6 2 x ) 一h a + k b 将此两端同时加上船，其中s = m i n 1 口i i ，f 口：1 ) 这样有 s + g s = a x ( a 1 + c - y 一争毋( - a 2 + s ) + k b q 脚 ( a i + g ：- - m y 一妻) + k b 可1 脚 三q 聊 江苏大学硕士毕业论文 c 爿x 卜哪w 一争弘1 脚 取充分大的b 且取满足 ( a t - b x + c 。y ) x 的h ，一定能使上面不等式地右端， 对任意的x ，y 有界，即 s + s o ； ( i i ) ( x + ，) 是局部稳定的； ( i i i ) 6 l 且 ( i i i ) 岛 0 定理8 系统( 2 1 0 ) 永久持续生存的充分条件是 a e t 地， ( i i ) 存在后与h 使得 ， 1 7 m 七 协芝 地 鹏 出一西方一出 江苏大学硕士毕业论文 ( i i i ) b l o ，g 。“) o ，p ：( 一) s 0 ，i = 2 ，3 。 在自然界中功能反应函数总是单调函数和凹函数，且h o l l i n g1 1 型功能性反 应函数满足条件f 1 2 ) 。 1 9 江苏大学硕士毕业论文 3 2 主要结果 考虑系统( 3 1 ) 的边界平衡点。据( h 1 ) 可知，边界平衡点蜀( o , o ，o ，蜀( 5 ，0 , 0 ) 总是存在的。为了讨论其余的平衡点，还须作下列假设： ( h 3 ) ：存在 e ：( 毫，j z ，0 ) ， 使得毫g ( 暑) 一叠：p ：( 毫) = 0 且 一d l + 属见( j l j - - 0 2 2 毫= 0 ，其中o 墨 k ，o x 2 。 ( h 4 ) ：存在 互，( 写，0 ，写) ， 使得 葛g ( 夏) 一墨岛( 夏) = 0 且 一吐+ f 1 3 p 3 ( i ) 一a ”焉= 0 ，其中0 夏 k ，0 0 ，( n 1 ) 。又据，在 o ，。) 的一致连续性可知，存 在一个正数s ，使得当p 一f ss ，聆i 时，( f ) ( ，2 ) 。假定区间以一j ，+ j ) 两 两不相交，则对任意的自然数有 o + 5 驴( ，p j f ( t ) d t n r s 这与，( f ) 在 o ，o 。) 上可积矛盾，故引理结论成立。 证毕。 下面来讨论县：的全局稳定性，先定义： ( ) = 生蔓垒王铲( 而一毫) 。 江苏大学硕士毕业论文 ( _ ) = 一 五g ( _ ) 一x 2 p ：( _ ) ( 一毫) 一， a l 。= m i n 庐( 一) y ( 五) ， o i h r a = = q i ；最磊( o ) o 一妻屈五( o ) o 一昙岛p ：( o ) 一圭尼反( o )如 现在给出互：在 一x 2 平面上全局渐进稳定的条件。 定理1 假定( h 1 ) 一( h 3 ) 成立，并且进一步假设 一度 p 2 ( o ) 2 0 则巨：在x i 一而平面上全局渐进稳定。 证明。考虑下面的厶y 印绷o v 函数矿( x ，( f ) ，而( ) ) ， 这里 ( 3 3 ) 哪) ) _ 产铲r + x 2 - x 2 - 讪s 彬： + c 1 五( s ) 一毫 2 凼， 其中c l 是一个待定的正常数。 则函数v 沿着( 3 1 ) 的子系统( 3 4 ) 有 毫= 而g ( - ) 一t 见( 工) 一屯岛( z 。) 岛= x ，e - d , + 屋仍( 五p r ) ) 一玎2 ：而 ， i d v ：丝垃筹盟毫+ ( 屯一是) 誓+ c l ( 1 一i十一j，l一1l， 廊p 2 ( 气) ” “毪 ” 一c i ( 五o r ) 一毫) 2 ( 3 4 ) = 兰生竺铲 g ( 一) 一是色( 气) 一p z ( ) ( x z 一乏) 2 1 一 一一望蚕盔堂堡主望些堡壅 + ( t 一岛) 屈 岛( 五( ，一r ) ) 一p ：( 毫) 一呸：x 2 一乏) + c 1 ( _ 一量) 2 一c 1 ( t - - 7 ) 一毫) 2 = 一 庐( 置) y ( 气) 一c 1 ( 五一童。) 2 a 2 2 ( 工：一曼：) 2 r ) 一毫) 2 屈p ：( ) ( 一毫) ( 屯一是) + 属五( 口) ( 屯一是) ( 五o v ) - f c l ) ， 其中葺o r ) 口 毛，置 o ，绞 。，磊( 。) o 和( h 2 ) 可得 警s j l q 。( _ 一毫) 2 嘞( t 一是) 2 一扣( 五( ) 一毫) 2 + 愿p ：( o ) 玉一毫 1 一是 + 岛p j ( o ) l 毫一是i i 一( ，一r ) 一毫 = 一x t a x 这里x 7 = k 一毫i ，i 而一毫i ，x ( t - r ) 一毫| 矩阵彳为正定矩阵的充要条件是a 的所有顺序主子式都是正的。显然，定理 3 i 的假设保证了4 的所有顺序主子式都是正的。因此 警删纠2 o 则巨，在x 一x ，平面上全局渐进稳定。 定理3若系统( 3 1 ) 是耗散的，且定理1 和定理2 的条件成立，并进一步 假设一破+ 屈岛( 毫) o ，一4 + f 1 2 p ，( i ) 0 ，则系统( 3 1 ) 是一致持续生存的。 证明：由定理的假设可知：( 3 1 ) 定义在砭的边界上的子系统的缈极限集就 是边界平衡点昂，5 ，巨：和巨，所组成的集合。 江苏大学硕士毕业论文 令 p ( ( r ) ，叠( f ) ，黾( f ) ) = _ ( f ) 。x 2 ( f 厂1x 3 ( t ) 4 ，( q ，口z ，是待定的正数) x 1 ( 手) x i ( t ) ( ，一f 兰手f ) ，贝0 p 。( 葺0 ) x 2 0 ) ，南( f ) ) = p ( _ ( f ) ，趋0 ) ，岛( f ) ) 呸( g ( x 、) 一x 2 五( x ，) 一x ，厶( 五) ) + ( 一碣+ 屈p ，x j ( t r ) - - a 2 2 ) + ( 一d + f 1 3 p 3 ( x 。( t r ) ) - - a 3 3 x 3 ) p ( 0 ) ，x ：( ，) ，x 3o ) ) p ( f ) 其中 d ( f ) = a ，g ( x 。) 一而厶( 气) 一弓厶( 墨) ) + 髓：( 一碣+ 屈仍( ) 一日：屯) + 吒( 一d 2 + f 1 3 p 3 ( x 1 ) 一q ，x 3 ) 若取口。= l ，并限制口：，鸭充分小，则g ( o ) 一o t 2 d t 一啦破 0 ，从而p ( f ) 在点e o 处的值为正。由一吐+ 屈岛( 毫) o 可得一盔+ p 3 p 3 ( k ) o ； 同样由 一吐+ 屈n ( _ ) o 可推出一4 + f 1 2 p ：( k ) 0 ，故p ( ，) 在点茸处的值也为正a 由 一吐+ 店岛( 毫) o 和一西+ f 1 2 p 2 ( - ) 0 可推出p ( f ) 在点骂：和e ，处的值也都为 正，从而可选取适当的d ：和码，使得p ( f ) 只在( 3 1 ) 的边界平衡点处的值为正。 由上面的讨论知道，( 3 ，1 ) 的边界平衡点所组成的集合是( 3 1 ) 定义在疋边界 上的子系统的极限集。因此，据文