（运筹学与控制论专业论文）结构化模型下公司债券及信用衍生产品的定价研究.pdf

摘要 信用风险是当今金融领域一个十分重要的课题。信用风险管理的核心是违约债 券的定价，信用衍生产品是2 0 世纪9 0 年代新兴的一类金融产品，它最大的特点是可 以用来对冲信用风险。 本文首先介绍了三种主要的定价信用风险的模型：结构化模型，约减形式模型 及信用等级迁移模型在结构化模型下，首先基于m e r t o n 的经典模型，在各种不同 的假设条件下，与新型期权联系，定价贴现债券对于息票债券，分别在常数利率 和随机利率的情况下对于连续息票和离散息票债券建立了定价模型，对于公司价值 的跳跃现象，用跳扩散随机过程建立了息票债券的模型，同时讨论了随机利率下永 久息票债券的定价问题，并分析了破产费用和利息避税对公司价值产生的影响最 后，我们讨论了信用衍生产品中的两种代表产品一互换期权和信用违约互换对于 互换期权，在常数利率和随机利率假设下分别建立了定价模型；对于信用违约互换， 分别求出了连续支付和离散支付的现金流，并在离散现金流支付下，定价了一篮子 信用违约互换 关键词：信用风险，结构化模型，公司债券+ ，信用差价，信用衍生产品，交换期 权，信用违约互换 1 1 a b s t r a c t c r e d i tr i s ki sav e r yi m p o r t a n ts u b j e c ti nt h ef i e l do ff i n a n c es t u d y t h ek e yo f m a n a g e m e n to fc r e d i tr i s ki sc o r p o r a t eb o n d sp r i c i n g c r e d i td e r i v a t i v e s ，w h o s em o s t s i g n i f i c a n tf e a t u r ei sh e d g i n gc r e d i tr i s k a r en e wd e r i v a t i v e si n1 9 9 0 s i nt h i sp a p e r ，t h r e em o d e l so np r i c i n gc r e d i tr i s ka r ei n t r o d u c e df i r s t ：s t r u c t u a l m o d e l ，r e d u c e d f o r mm o d e la n dt h ec r e d i tc l a s st r a n s i t i o nm o d e l a l lt h ep a p e ri sb a s e d 0 1 2t h es t r u c t u a lm o d e l f i r s t ，u n d e rd i f f e r e n th y p o t h e s i s e s ，w el i n kw i t ht h ee x o t i c s o p t i o n sa n dp r i c i n gt h ez e r oc o u p o nc o p o r a t eb o n d so nt h eb a s i so fm e r t o n sm o d e l ； a st oc o u p o nb o n d s ，w eb u i l dt h ep r i c i n gm o d e l sf o rd i s c r e t ea n dc o n t i n u o u sc o u p o n s p r o v i d e dw i t hc o n s t a n ti n t e r e s tr a t ea n ds t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t e a st op h e n o m e n o n o fu n e x p e c t e dj u m p so fc o r p o r a t e sv a l u e ，w eb u i l dt h em o d e lo fc o u p o nb o n d sb yt h e j u m p - d i f f u s i o ns t o c h a s t i cp r o c e s s t h e n ，w ed i s c u s st h ep r o b l e mo fp r i c i n gp e r p e t u a l b o n d sf o rs t o c h a s t i cr a t ea n da n a l y s eh o wb a n k r u p t c yc o s ta n dt a xs h e l v ei m p a c tt h e c o m p a n y sv a l u e ；a tl a s t ，w eb u i mt h em o d e l so ft w ot y p i c a lk i n d so fc r e d i td e r i v a t i v e s ： e x c h a n g eo p t i o n sa n dc r e d i td e f a u l ts w a p w ep r i c ee x c h a n g eo p t i o n su n d e rt h ec o n s t a n t i n t e r e s tr a t ea n ds t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t e t oc r e d i td e f a u l ts w a p iw eg e tt h ea n s w e r so f d i s c r e t ea n dc o n t i n u o u sc a s hf l o w ，a n dw ep r m i n gab a s k e tc r e d i td e f a u l ts w a pp r o v i d e d w i t hd i s t r e t ec a s hf l o w k e yw o r d s ：c r e d i tr i s k ，s t r u c t u a lm o d e l ，c o r p o r a t eb o n d ，c r e d i ts p r e a d ，c r e d i td e r i v a - t i v e ，e x c h a n g eo p t i o n ，c r e d i td e f a u l ts w a p i n 刘霞倩硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 饿童，毅授华拘中测 主席 藉鲁耿酬教授肆剁千躺 遘生蓖副教坟乎奇：汗大掌 贰罐晖 科忡 半轴帕艚书玮 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写 过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说 明并表示谢意。 作者签名： 型毖堡 日期：伽b 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位论 文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文 的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的 学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名： 日期：) 町6 刻霞惰 导师签名： 日期：厶蜉占if 第一章概述 1 1 基础知识 1 1 1 基本定义 定义11 1 布朗运动 随机过程 ，t 0 是一个p 布朗运动当且仅当在p 测度下 ( 1 ) 毗是连续的，且w o = 0 ； ( 2 ) v t ，当5 t 时，w ：一m 满足n ( 0 ，8 一t ) 的正态分布： ( 3 ) v t o ，t 。且0 t o t l 0 。 如果x 关于q 是鞅，概率测度q 是x 的等价鞅测度。 下面介绍一些基本的抛物偏微分方程的知识： 定义1 1 4 维热传导方程 对于一维热传导方程初值问题： 甓= 辔一o o x o i 札( z ，o ) = 妒( z ) 一。 。 + 这个问题的解可用p o s s i o n 公式表示： , 4 - o o u ( x ，t ) = ( z ，友o ) 妒( ) 凿 其中核函数： 脚，“删= 焘e 一学 1 第一章概述 k w t = 黜a 2 w x x0 x 巍 ：ut蓍=窨a2二；+。：f，(丢x,二t)毛zo。2x。 1 1 2 基本概念 下面介绍本文中出现的一些重要的概念： 信用( c r e d i t ) ：是一种建立在授信人对受信人偿付承诺信任的基础上的能力，不 用立即付款就可获取资金、物资、服务。 信用风险( c r e d i t 陆k ) ：若资金、物资、服务的提供者与使用者签定合约，使用 者在其应允的时间期限内付款或还款，且与提供者达成一致。在这种交易过程中永 远存在着一定程度的风险。这种风险就成为信用风险。 违约债券( d e f a u l tb o n d ) ：带有信用风险的债券，本文中的公司债券都是违约债 券。 资本结构( c a p i t a ls t r u c t u r e ) ：通常是指公司用来为资产融资的债务、股权及其 他类型负债的组合。 m o d i g l i a n i - m i l l e r 理论：在某些简单的假设条件下，资金的成本独立于债务和股 权的组成结构。 信用等级( c r e d i tc l a s s ) ：根据评估公司对债务人所负各种债务能否如约还本付 息的能力和可信任程度的综合评估，给出的针对不同债务人的债务偿还风险级别。 2 第一章概述 1 2 背景介绍 2 0 世纪9 0 年代三次大的金融危机( 欧洲货币危机、墨西哥金融危机、亚洲金融 危机) 刺激了各国政府及金融机构在宏观经济和金融体系中不断寻求合理高效的风 险管理方法，以完善和巩固本国的金融体系，增强抵御金融风险的能力。这里金融 风险主要包括市场风险、信用风险和经营风险。其中信用风险是金融市场上最为古 老的一类风险，随着全球经济、政治、技术急速变化的背景下，信用风险以指数方 式增长着，日箍严重的银行不良贷款以及潜在的金融危机反映了信用风险对于整个 金融市场的重大影响。因而信用风险的管理成为了一门重要的科学。 信用风险管理的核心就是对违约债券的估价。传统的关于信用风险文献有三种 主要的方法定价违约债券：结构化模型，约减形式模型及信用等级迁移模型。结构 化方法明确的建立了公司破产过程的模型，它根据公司的资产和负债定义了违约事 件和债券持有者在违约时得到的支付。约减形式模型建立一个带有瞬时违约筹价的 模型，将违约事件完全用一个外生的跳跃过程描述，d u f f l ea n ds i n g l e t o n ( 1 9 9 9 ) 证明 了任何无风险期限结构模型可以用来定价带有违约风险的债券。信用等级迁移模型 是由j a r r o wa n dt u r n b u l l ( 1 9 9 5 ) 提出，将信用风险与信用等级的迁移相联系，因而 债券的价值随着公司信用定级的变化而变化。比较之下结构化模型在简单的资本 结构的假设下，将违约的发生与公司的特征联系起来，模型中违约时间定义为公司 价值y 首次越过违约边界k 的时刻。 结构化模型的方法是由b l a c ka n ds c h o l e s ( 1 9 7 3 ) 和m e r t o n ( 1 9 7 4 ) 提出，所有的 债务都在同一天到期，而且违约只发生在到期日当公司价值低于所有的债务的面值 时。这个模型无法处理不同到期日的债务，而且对于违约时问的限制不符合实际。 b l a c ka n dc o x ( 1 9 7 6 ) 的模型拓展了m e r t o n 的模型，将违约时间放松到债券的整 个生命期前，即当公司价值首次低于常数值k 时。而l o n g s t a f fa n ds c h w a r z s ( 1 9 9 5 ) 则放松了利率为常数的条件。l e l a n da n dt o r t ( 1 9 9 6 ) 的模型中在利率为常数的情况 下设违约边界是内生的，即违约可能由公司自身的原因产生，而并非仅仅由公司的 债务本金决定。 信用衍生产品是用来缓解信用风险和违约风险的金融工具，让银行在保留资产 的前提下，分离出信用风险。信用衍生产品是商业银行于2 0 世纪9 0 年代推出，现 已成为衍生产品市场发展最快的一种合约。 信用衍生产品双边交易的简单形式是双方当事人同意在预定的期限内交换预定 3 第一章概述 的现金流，这魑现金流与一个给定的信用事件相关联。这种事件可以是违约或评级 的下降，或者其他的。 从信用衍生产品目的和市场前景来看，它们无疑是复杂和高级的风险管理工具。 对于信用衍生产品的定价还处于起步摸索阶段，主要的文献中都采用了约减形式模 型为产品定价。 1 3 本文主要内容 本文首先在第一部分简要介绍了违约债券定价的三种基本方法。由于结构化模 型把信用风险和单个公司联系起来，使得违约概率带有个体特征，也使得债券以及 衍生产品定价更有针对性和实际意义。因而本文采用结构化模型，分别对贴现债券、 息票债券、以及新兴的信用衍生产品做了定价研究。 对于贴现债券的定价，本文旨在m e r t o n 的经典模型基础上，进行修改，使得模 型更符合实际，并在各种条件下，与新型期权的定价联系起来。可提前违约的公司 债券与移动障碍期权的联系，带清算延时的公司债与巴拉期权、巴黎期权的联系。 此外还研究了信用著价、违约概率、期望违约时间等问题。 在定价息票债券部分，分别在利率为常数和利率服从随机过程两种情况下分别 对连续息票债券和离散息票债券建立了定价模型。用跳扩散随机过程来描述公司价 值的突然跳跃，并得到了息票债券的定价方程。在随机利率下建立了永久息票债券、 破产费用、避税价值的定价模型，并在公司资本结构不变的情况下，解释了破产费 用以及避税价值对于公司总价值产生的影响。 最后，本文用结构化模型对交换期权以及信用违约互换进行定价。对于交换期 权，分别讨论了常数利率和随机利率两种情况，得到了定价模型。关于信用违约互 换，首先考虑了两种支付现金流的方式：连续支付和离散支付，并在这两种支付方 式下求出了信用违约互换的价格，然后在离散现金流支付下，从单项风险资产推广 到了多项风险资产，定价了一篮子信用违约互换。 4 第二章贴现债券 传统的定价信用风险的方法有三种。其中结构化模型沿用了b l a c k - s c h o l e s 的期 权定价理论，将公司价值的变化建立为一个对数正态随机过程，从而将公司债务的 价值与公司价值联系起来，揭示出了债务价值与公司价值的内在关系。本章中将根 据不同的债务保护条款，分别与不同的新型期权定价模型联系起来。 2 1 三种主要定价方法 2 1 1m e r t o n 的定价模型 m e r t o n 在1 9 7 4 开创了定价公司债券的结构化模型，他沿用了b s 模型的假设： a 1 不存在交易费用，税费，破产费用。 a 2 存在无风险常数利率r 。 a 3 个体可卖空任何证券，包括无风险证券。 a 4 可进行连续的交易。 a 5 个体的行为不影响证券的市场价格。 a 6m - m 理论成立：公司的价值不受资本结构的影响。 a 7 公司价值k 服从对数正态随机过程： d k = p k d t + 盯k d w t 其中p 表示公司价值的漂移率，盯表示公司价值的波动率，眦表示布朗运动。 假设公司只发行了股票以及贴现债券，股权价值为f ( k t ) ，贴现债券b ( k t ) 到 期日为丁、面值为k ，公司价值由股东权益和债务价值组成，即v = e + b 。公司 对债务承担有限责任，债务较之股权有优先求偿权，在t 时，若公司价值大于k ， 公司不会违约，将支付k 给债权人；若公司价值小于k ，公司就会违约，公司的全 部资产将转让给债权人。 由无套利定价原理，b t ) 在区域 o v t ) 】 = 豆 貂 豆p 绷+ 1 ，训 = z 仕t ) d + ( 1 一碍( ， 丁) l 其中z ( t ，t ) 为无违约风险零息票债券价值，6 为违约时的挽回率，蜀( ) 表示q 下 的条件期望，1 。是集合w 特征函数。 第二章贴现债券 生： 其中 在连续时问上，连续齐次马尔可夫链 仇：0 t r ) ，由k k 生成矩阵q 产 q = ( 吼j ) q l j 0 ，i = 1 ，k ，j = 1 ，k ，且i j 且 g “= 一q , j ，i = 1 ，k ， j = l ，i 定义 p ( t ，t 7 ) = e x p ( t 一t ) q 在等价鞅测度q 下的生成矩阵q 满足： 百( t ) = u ( t ) q 其中u ( t ) = d i a g ( u l ( t ) ，u k 一1 ( t ) ，1 ) 。参见文献【7 】，得到： 声( t ，t ) = e x p ( d i a g ( u l ，k 一1 ，1 ) q ( t 一) 在这个模型下，我们可得到违约债券在信用定级为i 时的信用差价s ： 2 2 可提前违约的模型 2 2 1 基本定价方程 m e r t o n 的定价模型最大的不足在于违约只发生在到期日，但在实际中，债务人 有权提前宣布破产，而债权人都会在借款合约中加上一唑保护条款。也就是在债券 的牛命期中，公司价值低于某个事先约定的值，或者更进一步约定一个随时问变化 9 七 = 电 ， d 仉 一 | | 1 一引 。 h 鞴 调一 卜一 絮圳 第二章贴现债券 sk ，则在定解区域 v + 。，0 ts 研得到b ( u ) 和e ( k t ) 的定价方 程分别为： f 酉g ) e b t - 乏i 泖2 韶+ r 矿韶一r b = o 口( e r ) = m i n k ，y ) lb ( v b ，t ) = f 酉o e 叩12 y 2 积例貂一r e = o e ( v t ) = m a x v k ，o ) le ( v b ，t ) = 0 这里，我们可将e ( k t ) 看做一个向下敲出看涨期权，因而我们直接得到： e m t ) = v n ( 一k e - r ( t - t ) n ( 蚴一( 茜) 一鲁( m k e l ( t - t ( 茜) 一参“n ( h t ) 可得到，口( v t ) 的解为： b ( = y m + 耳e - r ( t - o n ( h 。) + ( 茜) 弓m s ) + 肛“n ( 茜) 弓“n ( h 4 ) 其中 虻巡照掣。历 。 口、( t 一) 。 2 2 2 违约概率及期望违约时间 债权人关注的一个关键问题是公司在债券到期日t 前违约的概率，因而我们引 入一个函数p ( k t ；t ) 表示己知公司价值在t 时刻的价值为矿，在t 前公司价值矿 低于的概率，这个函数是一个累计分布函数，满足向后方程： 箬+ 2 翥州丽c o p = o ( 2 2 1 ) 如果y 位于边界值上，那么在这个时候违约的概率就是1 ；负i 果在到期日丁时， 就不可能再违约了，因而另外相关的边界条件为： p ( k t ；t ) = 0 ，p ( v 茜，t ) = l 1 0 第二章贴现债券 通过解上述定解问题，可以求得违约概率的分布函数p ( v t ；丁) ： p ( v 亡t ) ：( k ) + ( 善) 1 一鲁( 6 ) 其中 ：趟坐t r - c t 蔓- t 型，k ：型呜掣 设。= 苦，下面我们通过图象来研究违约概率p 和各个参数之间的关系： 由图一可见，违约概率p 随着时间t 的增大而减小，当t 趋于到期日时，违约 f i g u r el ：违约概率p 关于时间t 的函效三条曲线的波动率仃分别为0 2 ，0 3 和0 4 其他参数 u = 0 1 ，t = 1 ，z = 1 5 概率趋于0 ；对于相同的时刻t ，波动率口越大，则违约概率越大。因而公司价值的 波动率越大，风险就越大。 由图二可见，违约概率p 随着z 的增大而减小，当x 等于1 时，即公司价值 达到违约边界时，违约概率等于1 ：对于相同，漂移率越大，则违约概率越小。 因而公司价值的漂移率越大，风险就越小。随着。的不断增大，违约概率减小的越 慢。 在知道了违约概率分布之后，很自然我们就想知道违约时问的期望。我们用 ( v 妨表示已知t 时公司价值为矿的违约时间的期望。 首先定义u ( v t ) ： “( 删= t 叫秘 第二章贴现债券 f i g u r e2 ：违约概率p 关于z 的函数。三条曲线的波动率p 分别为0 1 ，0 2 和0 3 ，其他参数伊= 0 3 ， t = 2 。t = 0 ， 对上式分部积分后，得： ，r 乱( v 妨= l p ( v t ；t ) d r 7 对u ( u t ) 求导，得到( k t ) 满足的偏微分方程： 裳+ 互1 押2 翥p 矿丽o u = 一- 可以直观的得到相应的终值条件和边界条件： “( v t ；t ) = 0 ，札( v b ，；t ) = 0 可得乱( v ；t ) 的表达式： 牡( k t ；t ) = t 一一p ( v , t ；s ) d s 由图三可见，对应于不同口的三条曲线都在直线乱= t t 下方，即每个时刻 期望违约时问总小于t t ，这是因为有违约概率存在，越接近到期日时，期望违约 时间越短，且期望违约时间减小的越快。另外，波动率越大，期望违约时间就越短。 1 2 2 2 3 可变的违约边界 我们可以进一步般化这个模型，假设一个随时间变化的违约边界函数e n ( t - t ) ， 第二章贴现债券 u f i g u r e3 ：期望违约时问u 关于时间t 的函数。三条曲线的波动率矿分别为0 ，1 5 ，0 2 和0 2 5 其他参 数“= 0 1 ，t = 1 ，b = 2 0 0 ，v = 2 2 0 同样，我们可得到b ( v t ) 和e ( k t ) 的定价方程分别为： f 镑+ 押2 券+ r y 韶一r b = o b ( u t ) = m i n k ，y ib ( v s e 一。( t 一“，t ) = v s e 一8 ( 7 一。) f 筹+ 彬积州笏一r e = o e ( u t ) = m a x v k ，o le ( v b e ”( 7 “) ，t ) = 0 由公司的股权价值f ( v t ) 满足的微分方程可见，e ( k t ) 等同于一个移动障碍期 权( m o v i n gb a r r i e ro p t i o n s ) ，可得到e ( ut ) 的解为： e ( u t ) = y ( 坼) 一e - r ( t - o n ( 蜷) 一( 长) 一壶扣一) 十1 【( 可v s ) ( 憾) 一e - r ( t - o n ( k ) 】 f n ( 要) + ( r a + 譬) ( t 盯、厅二巧 脏：丛釜! ! ! 垒! 坚= 盟 。 a 口一t ) h i = h ；一口坩一t h 净绣一a 瓜 第二章贴现债券 同样，根据股权价值和债务价值的关系v = e + b ，可得到关于债券价值b ( kt ) 的解： b ( k t ) = y ( 一噬) + k e - r ( t - t ) n ( 惦) + ( 丢) 一专p 咄) + 1 ( 等) ( 砖) 一e - r ( t - o n ( 蜢) 】 在这种情况下，违约概率p ( k t ；t ) 同样满足方程( 2 2 1 ) ，相应的边界条件为： p ( e 一。( 7 “) ，t ；t ) = 1 终值条件为： p ( v t ；t ) = 0 通过计算我们可以得到在可变的违约边界条件下，违约概率为： p ( k 姻= 嘲) + 丽v ：而 1 一掣删) 其中 驴型弓害型，祭 一f r l 茜+ ( p 一2 a 一t t ) d q t t 2 2 4 存在破产费用的公司债 前面的模型中，我们都假设不存在破产费用，也就是当公司价值到达违约边界 时，债权人将接手公司，作为对债务的补偿。但是在实际中，公司的破产清 算费用是一笔不小的支出，如果要正确的定价公司债券，我们有必要在模型中考虑 破产费用。假设当公司价值到达违约边界时，破产费用为w t ，w t 可以是随时 间变化的数。以下部分我们假设在到期日t 不会出现违约情况，即只要t 日前不违 约，债权人必能在t 日得到债务本金，做这一假设易于处理不同到期日的债务，同 时简化了模型。在其他条件不变的情况下，这时债务价值b ( k t ) 满足如下的定价方 程： 旧a b 。1o r 2 v 2 帮州韶一r b = 0 b t ) = k ib ( ，t ) = ( 1 一毗) 1 4 第二章贴现债券 如果姚= 叫为一个常数，在区域d = v o 。，0 t t 求解这个偏微分方 程，得到解： b ( v t ) = 耳e _ r f 一【( d ，) 一( 瓦v b 一) 1 _ 紊( d 2 ) l + ( 1 一叫) 【( 茜) ( d 3 ) + ( 茜b ) 一嚣( 也) 】 y y 日 y 虻竖害型，如：趟呜害幽 如：趟弓害型，血：型噶害型 信用著价s 为： s = 一击m ( d 1 ) 一( 茜) 1 。舅( d 2 ) + 百v b ( 1 一酬( 茜) ( 如) + ( 茜) 弓( d 4 ) f i g u r e4 ：公刊债券b 关于时问的函数。三条曲线的盯分别为0 2 ，0 3 和0 4 ，其他参数r = o 1 t = 1 。v b = 2 0 0 ，v = 3 0 0 ，k = 2 5 0 ，w = 0 4 由图四可见，图中的虚线表示无违约风险的债券价值，公司债券口的价值随着 时间t 的增大而不断增大，当的时间趋于到期日r 的时候，b 的值不断趋于债务 本金，三条曲线都位于虚线的下方，说明带违约风险的债券价值都不会超过无违 约风险的债券价值，在相同的时刻，波动率口越大，则公司债券的价值越小，这与 图一中得出的结论是一致的，波动率越大，违约概率越大，风险越大。 1 5 第二章贴现债券 f i g u r e5 ：信用差价s 关于时间t 的函数。三条曲线的盯分荆为0 2 ，0 3 和0 4 ，其他参数r = 0 1 ， t = 1 ，= 2 0 0 ，v = 3 0 0 ，k = 2 5 0 ，w = 0 4 由图五可见，信用差价8 随着时间t 的增大而不断减小当时间t 趋于到期日t 的时候，s 的值趋于0 ，在相同的时刻，波动率一越大，则信用著价越大，信用差价 是对违约风险的补偿，所以这个结论也是显然的，波动率越大，违约概率越大，风 险越大，因而信用差价越高，因而这也是和图一的形状类似的原因。 2 3 带清算延时的公司债 前义中，对于提前违约假设，我们是这样设置违约边界的：当公司价值一旦达 到某个固定的值时，公司就必须马上宣布破产，债权人来接管公司。但实际情况也 有可能是这样的，一旦当公司陷入财务困境，公司价值下降到一个比较低的位置， 债权人往往会给债务公司一段继续经营的时间，如果在约定时间内，公司财务状况 仍然得不到改善，则公司就必须进入破产清算程序。带有这样条款的债券称为带清 算延时的债券。 所谓的清算延时，也就是公司价值停留在违约边界以下的时问。一般来说 可以有两种算法：一种是计算累计徘徊时间，另种是计算持续徘徊时间。模型的 建立还需要一个延时d ，d 般而言是在债务合约中事先约定的。这样建立的模型 就类似于巴拉期权( p a r a s i a no p t i o n s ) 和巴黎期权( p a r i s i a no p t i o n s ) 。 1 6 第二章贴现债券 我们在第一种情况下的模型，如果公司价值停留在违约边界以下用累计徘 徊时间计，首先用风表示在【0 ，t 公司价值停留在违约边界以下的累计徘徊时 p t = h ( 一y 。) d s 即，= 。1 燕 这种情况下公式债券价值与公司价值y 和累计徘徊时问p 有关，即b ( u p ，t ) ，在定 解区域 o v 时，筹+ 押2 积+ r y 貂r b = o 矿时，西o b l 一, 万o b + 口2 y 2 貉+ r y 韶一r b = o 终值条件和边界条件分别为： b ( k p ，t ) = k ， b ( v d ，t ) = ( 1 一w ) v 另外需要两个连接条件： b ( + 0 ，p ，t ) = b ( v b 一0 ，p ，t ) 丽o b ( 扎小) = 舅( - o , p , t ) 这类公司债与巴拉期权的定价模型的区别在于终值条件与边界条件，这里的边 界条件也不同于前面几个模型中的边界条件，破产时的公司价值不再是个确定的数， 因而破产费用也不确定。 1 7 第三章息票债券 第二部分都是在各种不同的情况下讨论了贴现债券的价值，本章将在常数利率 和随机利率两种不同的假设下求解息票债券的价值，并考虑了跳扩散模型，另外， 在随机利率下重新考虑永久息票债券的价值、破产费用和避税价值。 3 1固定利率下的息票债务 3 1 1 连续息票债务 贴现债券是公司债券的一种，占更多比例的是息票债券，假设公司发放连续息 票g 直到到期日t ，违约边界，破产费用为v b ，且违约只发生在t 前。 下面我们来求在这种情况下，公司债b ( k t ) 满足的偏微分方程。 首先我们建立一个对冲组合， i i = b ( v t ) 一y 利用i t & 公式对等式两边求微分： d i i = d b + c d t 一d v = o - 筹d t + 百o 矿b d y + a o y 2 b 。d v 2 + g 出一d y 取= 貂，再由无套利原则，得到日( u ) 满足的方程： 望o t + j 1 押2 雾州等一+ e = 。 相应的边界条件： b ( k t ) = k 和 b ( ，t ) = ( 1 一w ) v j 解上述偏微分方程，得到息票债券的价值b ( vt ) 的解： b ( kt ) = c a - e - r ( t - t ) ( k 一譬) ( d - ) 一瓦v ) 1 一磬( d 2 ) + ( 1 - - t o ) 一孚 【( 茜) ( d 3 ) + 万v ) 一誊( d 4 ) 】 f 3 1 1 1 ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 第三章息票债券 3 1 2 离散息票债务 连续息票债券只是为了建立模型的简单，在实际中一般只发行离散息票的贴现 债券。假设债券b ( k t ) 在时刻t l ，t 2 ，t 。分别支付息票q ，岛，瓯，其他条件 同上。 同样建立一个对冲组合， 棚= d b + c j i ( t j 一a d v j = l = 蓑出+ 丽o b d y + 翥a y 2 + 毫q ，一d y 其中丘 ( ) 为t j 上的特征函数，即 榔，2 。1 震 最后，我们可得到定价方程： 瓦o b + 互1 a 2 y 2 雾+ r v 万o b - r b + 毫g 砸一屯) = 。 ( 3 工4 ) 其中j ( ) 是d i r a c 函数。边值条件n ( 3 1 2 ) 和( 3 1 ，3 ) 。 由d u h a m e l 原理及d i r a c 函数的性质，我们可以把上述f 3 题拆分成n + 1 微分 方程的解，b ( v t ) 满足： 口( k # ) = 鼠 ( 3 1 5 ) b 满足下列定价方程： f 警+ 砂2 貉州静一r 鼠= o 1 鼠( k t i ) = a l 鼠( ，t ) = 0 其中i = 1 ，礼， 定解区域为 v 2 ，0 t s t d 。 警十 泖2 挚+ r y 帮一r = o b l ( e t ) = k 玩+ l ( ，t ) = ( 1 一训) 1 9 第三章息票债券 经过求解，可得到离散息票债券的价值： 州归丕ne - r ( 卜屺吣h 籍嘲) 】+ e - r ( t - o k 吣h 著m ) 】 + 【( 1 刊侧( 茜燃) + ( 飘d 4 ) 】 其中 d l ：堂掣，咤：趟喾 3 2 随机利率下的息票债务 假设公司价值y 依然满足对数正态随机过程： d = t t v k d t + o - v k d w l 对于利率模型，我们这里先不作特别的规定，假设一个最一般的模型： d r = i “( r ，t ) d t + a r ( r ，t ) d w 2 其中c o v ( d w , ，d w 2 ) = 础。 现在我们考虑贴现债券价值b ，到期日r 的支付为，违约边界为。破产 费用为w v s 。b 是三个变量的函数，我们记为b ( kr ，t ) ，为了定价口( vr ，t ) ，我们 依然要建立对冲组合，与前一部分利率为常数时不同的是，这里不仅要对冲违约 风险，同时还要对冲利率风险。因此我们用无违约风险的债券z ( r ，t ) 来对冲利率风 险： = 口( k t 力一1 v 一2 x 2 z ( r ，t ) 用i t 6 定理，我们可以计算d i ： 选择 d h = ( 面o b + ；砰萨0 2 b4 - p g v 珥y 翥+ ；雾) 出 + ( 舅一1 ) d v + ( 筹一乱o 口z ，) d r 一2 ( 警+ ；砖雾) 出 a t 丽o b o b ，o z 2 。百丽 蔓三童星墨焦鲞 一2 1 这样就消除掉了组合中的风险项d v 和d r 。 然后由无套利原理：d l i = r i i d t ，等式经过整理，得到下面的定价方程： 警+ r u r l2 0 加2 b 。- aa v d 0 ，2 d b y + ；砖y 2 雾+ 一a 昨) 筹+ r y 而o b 一旧= 。( 。- z ，) 其中a 为利率风险的市场价格。 同时，这个方程的终值条件 b ( k r ，t ) = k 以及边界条件 b ( ，n t ) = ( 1 一) 如果这个有限期债券支付连续的息票c ，一直到t 日，即在d t 时间内支付的息票 为c d t ，用相似的推导过程，我们可得到相应的定价方程为： 等+ i 砖雾听y 茄叩1 驴雾协r 咖，筹州舅一+ c 瑟 由3 1 的知识，可以得到离散息票债务的定价方程为： 等+ ；霹等+ 柳v 翥+ ；砖y 2 翥+ ( 胁一a 卉) 丽o b + r y 而o b r b + 妻j = l a 一岛) = 。 ( 3 2 3 ) 为了求出离散息票债务显式解，我们假设随机利率过程为v a s i c e k 过程，即r 满足： d r = ( ( 一f i r ) d r + 目d w j 则无风险零息票债券z ( r ，t ；r ) 的解( 参见文献【6 】) ，可表示为： z ( r t ；t ) = e x p ( a ( t ；t ) 一口( 友丁) r ) 其中 a ( t ；t ) ；( 丢一；) ( t 一) + ( 等一参) ( e 印( 一卢( t 一们一1 ) 一番( e 印( 一2 卢( t 一啪一1 ) 和 即= 塑等等型 这里n = ( + 蛔。 这里假设违约边界为g z ( t ) ，因而边界条件为： b ( k z ( t ) ，r ，t ) = ( 1 一w ) k z ( t ) 第三章息票债券 f 等+ ”2 擎+ 棚y 船+ 押2 势+ ( 口一剐警+ r y 势一r 且= o b i ( vr ，t i ) = g ie d k z ( t ) ，n t ) = 0 其中i = 1 ，n ，定解区域为 矿k z ( t ) ，0 s t 缸) 。 豫絮钰曲妒一a 2 b n + 1 水廿) 簪+ i 晶+ l r ，t ) = k ib n + l ( g z ( t ) ，n t ) = ( 1 一w ) k z ( t ) 根据文献 1 3 ，我们可得到上述几+ 1 定价模型的解为： 鼠( k r ，t ) = q z ( ) e 一 + 竺产扛一t * 2 - r i ，) 一e + 生产( 一z 一t i * 百- 一, r i ) 】 i k + 。( mn ) = ( 1 一叫) z ( ) + 叫k z ( t ) 【e 一+ 争忙一! 二尹) 一e ；+ 年| v ( 一z t t * - t ) 】 z = 轨面v 丽 墨= z 0 讯) d ( ，r = j 1 0 。双溅j 耳= z “砖( a 必，r = z t 占2 ( ( ) 西 管( ) = b 2 ( 蠡一) ”2 + 仃2 + 2 p 叼b ( t i t ) a 2 ( t ) = b 2 ( t f ) q 2 + 口2 + 2 p a q b ( t t ) 3 3 跳扩散过程下的息票债务 这部分我们讨论公司价值服从跳扩散随机过程。现实中往往会因为各种原因引 起的公司价值突然下降，如金融危机、公司自身的财务危机等，对数正态随机过程 第三章息票债券 就无法正确的描述公司价值的这种突然的变化。针对这种特性，我们用跳扩散过程 来描述公司价值的变化过程，蕈新讨论息票债券的定价问题。 为了描述公司价值这种突然的跳跃特性，我们在对数正态随机过程中再加入 p o s s i o n 过程由： d v = # v d t + a v d w + ( j 一1 ) r 由 其中j 一1 为跳跃的百分比幅度，由定义为： 由： 1 p ”忙1 a o d t l 0p r o b 2a o d t 参数a o 表示p o s s i o n 过程的密度。 根据无套利定价原理，得到常数利率下息票债券b ( vt ) 的定价方程为： 箬+ ；彬翥州舅珈蛾e b ( j v , 沪剐瑚 箬v v e ( j - 1 ) ：。 ( 3 3 1 ) 其中e 吲= ，x f ( j ) d j ，f ( j ) 表示l ，的概率密度函数。 下面考虑一种特殊的情况，如果跳跃事件发生，公司价值就降到0 ，即j = 0 ，则方 程( 3 3 1 ) 变为： 箬+ j 1 口2 y 2 百0 萨2 b + ( r + a o ) y 万o b 一( r + a o ) b + g ：o ( 3 3 2 ) 边界条件同( 3 1 2 ) 和( 3 1 3 ) 。( 3 3 2 ) 的解可作看非跳跃情况下利率为r + a o 的息票 债券。 永久公司债券是一类没有到期日的债券，优先股就是一种永久债券。假设永久 债券b 支付连续息票c ，因为没有到期日，b 不再是时间t 的函数，在r 戈常数的 情况下，仅与公司价值y 有关，根据方程( 3 3 2 ) ，我们容易得到b ( v ) 定价方程： ；盯2 y 2 百d 2 萨b + ( r + 知) y 丽d b 一( r + a o ) b + e = o ( 3 3 3 ) 相应的边界条件为： b ( v ) = ( 1 一) ，当v = v s b ( y ) = 赢， 当y _ + 。 由常微分方程的知识。可得到： b ( y ) = 而c + 【( 1 一”) 一丽c 儿瓦v r 第j 章息票债券 其中 2 ( r + a 0 ) 盯 3 4 随机利率下的永久公司债 l e l a n d 在1 9 9 4 年提出关于常数利率下永久息票债券价值、破产费用及避税价值 一系列相关的问题( 参见文献 4 j ) ，本节中我们讨论随机利率下的永久债券b ( k r ) 。 由方程( 3 2 2 ) 以及鬻= 0 ，即可得到b ( kr ) 满足的定价方程： ；砟雾+ p a y 听y 丽0 2 b 岬1 妒雾地一圳百o b 州丽o b 川+ e = 0 ( 3 - 4 1 ) 对于到期日t 支付为1 的无违约风险的零息票债券，时刻的价值为z t 仉 t 7 = t t ，则z ( r ，r ) 满足如下方程：