（机械制造及其自动化专业论文）带滚珠丝杠副的直线导轨结合部动态特性研究.pdf

摘要 带滚珠丝杠副的直线导轨结合部 动态特性研究 研究生：祝书龙 导师：蒋书运( 教授) 东南大学 摘要 随着现代机床日益向高速度、高精度方向发展，对机床的加t 精度和可靠性提出了更高 的要求，也就要求机床具有更加优良的动力学特性，而机床结合部的动态特性，作为整机动 态特性的重要组成部分，对整机的动力学性能有着显著的影响。但是，由于影响结合部动力 学特性的因素很多，且比较复杂，因此迄今为止，结合部动力学参数的确定仍然是机床整机 进行动态理论分析和优化设计的关键阅题之一。带滚珠丝杠副的直线导轨结合部是现代数控 机床中的典型结合部，其自身的动力学性能对机床整机动态特性的影响显著。然而，至今尚 无关于此结合部动态特性参数的有效建模方法，冈此，研究此结合部动态特性参数的理论建 模方法对分析机床整机的动力学特性具有重要意义。 为了求得结合部只y 、z 空间三个方向上的动态刚度特性参数，本文以弹性力学中的 赫兹弹性接触理论为基础，分析计算了滚动直线导轨的线刚度、滚珠丝杠副的轴向刚度和角 接触滚珠丝杠滚动轴承的轴向刚度，得到结合部三个方向上的刚度值，建立了带滚珠丝杠副 的直线滚动导轨结合部的动态刚度特性参数模型。 基于液体静压技术原理和赫兹接触理论，分析计算了静压直线导轨的线刚度、滚珠丝杠 副的轴向刚度和推力滚子轴承的轴向刚度，建立了带滚珠丝杠副的机床直线静压导轨结合部 动态剐度特性参数模型。 在m a t l a b 平台上开发了基丁g u i 的用于计算滚珠丝杠副中螺母组件轴向刚度和滚动 直线导轨线刚度的通用计算程序。 为揭示工作载荷对结合部刚度特性参数的影响规律，本文以一款立式加工中心上的带滚 珠丝杠副直线滚动导轨结合部为例，分析了结合部三个方向刚度与工作载荷的变化规律。结 果表明，在预紧力不变的情况下，结合部刚度与工作载荷的变化成正比。 在考虑结合部因素的情况下，分析了一款立式加t 中心和一款数控轧辊磨床的整机动力 学特性，验证了本文提出的结合部动态刚度特性参数模型的有效性和可行性。 较传统的参数识别法和有限元计算法相比，本文提出的动态参数分析模型，具有物理概 念清晰、计算简单等特点。此模型可用于机床整机的动力学特性分析研究。 关键词：直线导轨结合部；滚珠丝杠副；动态刚度特性参数；赫兹接触理论。 a b s t r a c t s t u d y o nd y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c so fl i n e a r g u i d e w a y j o i n tw i t hb a l ls c r e w m a s t e rc a n d i d a t e ：z h us h u - l o n g s u p e r v i s o r ：j i a n gs h u y u n s o u t h e a s tu n i v e r s i t y a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n tt r e n df o rh i g h e rs p e e da n dp r e c i s i o n 。m a c h i n et o o l sn e e db e t t e r m a c h i n i n ga c c u r a c ya n dr e l i b i l i t y , w h i c ha s kf o rm o r ee x c e l l e n td y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c s t h e d y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c so fi o i n tp a r t s ，a si m p o r t a n tp a r to ft o t a lm a c h i n e sd y n a m i cb e h a v i o r s ， h a v et h eo b v i o u si n f l u e n c et ot o t a lm a c h i n e d y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c s h o w e v e r , t od e t e r m i n et h e d y n a m i cp a r a m e t e ro fi o i n tp a r t ss t i l li so n eo f t h ek e yp o i n t si nd y n a m i ca n a l y s i sa n do p t i m i z a t i o n d e s i g no fm a c h i n et o o l sb e c a u s eo ft h ec o m p l i c a t e di n f l u e n c i n gf a c t o r so fj o i n tp a r t s d y n a m i c c h a r a c t e r i s t i c s 。l i n e a rg u i d e w a yi o i n tw i t hb a l ls c r e wi so n eo ft h et y p i c a li o i n tp a r t so fm a c h i n e t o o l s a n di t sd y n a m i cb e h a v i o r sh a v et h es i g n i f i c a n ti m p a c to nt o t a lm a c h i n e sd y n a m i c c h a r a c t e r i s t i c s f r o mn o wo n ，t h e r eh a v e n tb eae f f e c t i v em o d e l i n gm e t h o df o rt h i si o i n tp a r t s o i ti ss i g n i f i c a n c et or e s e a r c ht h et h e o r e t i c a lm o d e l i n gm e t h o do ft h i st y p eo fi o i n tp a r tf o rt h e p u r p o s eo fa n a l y z i n gt h ed y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c so f t o t a lm a c h i n e i nt h i sp a p e r , ad y n a m i cm o d e io fl i n e a rr o l l i n gg u i d e w a yi o i n tw i t hb a l ls c r e ww a sb u i l tb a s e d o nt h eh e r t zc o n t a c tt h e o r yb yt h ew a yo fc a l c u l a t i n gs t a t i cs t i f f n e s so fl i n e a rr o l l i n gg u i d e w a y , t h e a x i a ls t i f i n e s so fb a i ls c r e wa n da n g u l a rc o n t a c tb a l jb e a r i n g s ot h ei o i n tp a r t s d y n a m i cs t i f f n e s s c h a r a c t e r i s t i cp a r a m e t e r si nt h r e ed i r e c t i o n sw e r eg o t t e n ad y n a m i cm o d e lo fl i n e a rh y d r o s t a t i cg u i d e w a yi o i n tw i t hb a l ls c r e ww a sb u i l tb a s e do n h y d r o s t a t i ct e c h n o l o g yt h e o r ya n dt h eh e r t zc o n t a c tt h e o r yb yt h ew a yo fc a l c u l a t i n gs t a t i cs t i f f n e s s o fl i n e a rh y d r o s t a t i cg u i d e w a y , t h ea x i a ls t i f f n e s so fb a l ls c r e wa n dt h r u s tr o l l e rb e a r i n g as e to fs o f t w a r ew a sd e v e l o p e du s i n gm a t l a bw i t hg u it oa n a l y s i st h es t i f f n e s so fl i n e a r r o l l i n gg u i d e w a ya n dt h ea x i a ls t i f i n e s so fn u t si nb a l ls c r e w t h ee f f e c to fl o a dv i r a t i o no nt h ei o i n tp a r t ss t i f f n e s sw a sa n a l i z e df o rp u r p o s eo fs h o w i n gt h e r e l a t i o n s h i po fi o i n tp a r t ss t i f f n e s sa n ds e r v i c el o a d g e t t i n gt h ec o n c l u s i o nt h a tt h ea x i a ls t i 衔n e s s o f o i n tp a r t sw e r er a i s e dw h e nt h es e r v i c el o a di n c r e a s i n gi nt h ec a s eo fn ov a r y i n go f p r e t i g h t e n i n gf o r c e d y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c sa n a l y s e so fav e r t i c a lm a c h i n i n gc e n t e ra n dr o l l e rg r a n d i n gm a c h i n e c o n t a i n i n gl i n e a rg u i d e w a yi o i n tw i t hb a l ls c r e wp r o v e dt h a tt h ed y n a m i cc h a r a c t e r i s t i cm o d e lo f j o i n tp a r tw a se f f e c t i v ea n df e a s i b l e t h ed y n a m i ca n a l y s i sm o d e lp r o p o s e di nt h i sp a p e rp o s s e s s e st h ef e a t u r e so fc l e a rp h y s i c a l c o n c e p ta n di ss i m p l et ob es o l v e d c o m p a r i n gw i t hf i n i t ee l e m e n tc o m p u t i n gm e t h o da n d c o n v e n t i o n a lm e t h o df o ri d e n t i f y i n gp a r a m e t e r s t h em o d e lc a nb eu s e di nt h er e s e a r c ho ft h e w h o l em a c h i n e sd y n a m i cc h a r a c t e r i s t i cp a r a m e t e r sa n a l y s i s k e y w o r d s ：l i n e a rg u i d e w a yj o i n tp a r t s ；b a l ls c r e w ；d y n a m i cs t i f f n e s sc h a r a c t e r i s t i cp a r a m e t e r s ； h e r t zc o n t a c tt h e o r y i i 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究j 二作及取得的研究成果。 尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过 的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明荠表示了谢意。 学位论文使用授权声明 日期：矽汐夕铲，占 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图1 s 馆有权保留本人所送交学位论文的复印 件和屯子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被奄阅和借阅，可以公布( 包括 刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理。 研究生签名：娃一每导师签名期：2 。口7 咏 第一章绪论 1 1 论文研究背景 第一章绪论 机床承担着加工各种机械产品的重任，其发展水平是衡量一个国家工业水平和现代化程 度的重要标尺。随着机床日益向高速度、高精度方向发展，对机床的加工精度和可靠性提出 了更高的要求，也就要求机床具有更加优良的动力学特性。而机床的结合部作为机床整机结 构的一部分，其自身的动力学特性对整机的动态特性有着非常显著的影响d - 3 1 。 众所周知，机床乃至各类机械，为了满足各种功能、性能和加工要求以及运输上的方便， 一般都不是一个连续的整体，而是由各种零件按照一定的具体要求组合起来的。称零件、组 件、部件之间相互接触的表面为“机械结合面”，简称“结合面”，也称“结合部”1 4 j 。 由于结合部在机械结构中的大量存在，从而使机械结构或系统不再具有连续性，进而导 致了问题的复杂性。当结合部受到外加复杂动载荷作用时，结合部会产生多自由度、有阻尼 的微幅振动( 即变化的微小相对位移或转动) ，从而使结合部有可能表现出既有弹性义有阻 尼，既储存能量又消耗能量的“柔性结合”的本质及特性。结合部的这种特性将对机械结构 整体的动态特性产生显著影响，表现为使机械结构的整体刚度降低、阻尼增加，从而导致结 构同有频率降低，振动形态复杂化。根据统计，机床中出现的振动问题有6 0 以上是源自 结合部【5 1 。可以说，作为机械结构系统中固有的一种结构形式，结合部问题已成为机械结构 动力学研究中极为重要的内容。 早在2 0 世纪6 0 年代，人们就已经注意到结合部问题对机械结构静、动态性能的显著影 响，并着手研究结合部问题。研究内容涉及结合部刚度和阻尼机理、结合部建模、参数识别、 动力特性分析、对机械结构系统建模及动力特性的影响等诸多方面。其中结合部刚度和阻尼 机理的研究，是揭示和把握结合部影响冈素的关键1 4j 。4 0 多年来，人们从宏观到微观、从现 象剑本质，通过理论研究和试验测试，对机械结构系统中各种典型结合部的作用机理进行了 大量研究，并取得了相应的研究成果。但这些成果人都局限在对结合部机理的定性解释上， 还不能完成真正揭示结合部作用机理的本质。并由此导致后续的结合部建模及参数识别等都 只能建立在对结合部的基本假设和定性等效的基础上，从而影响了机械结构系统动态性能的 研究。冈此，可以说关于结合部问题的研究还远朱成熟。 1 2 机床结合部动态特性研究现状 近三十年来，机床动态特性的研究，吸引了国内外许多学者的关注，并取得了显著的成 果。这方面的研究上作可以归纳为两大类内容：一类是机床动态性能基本理论的研究，另一 类是机床动态性能测试技术的研究。两者相辅相成，密切联系。继续深入研究的最终目标， 必须是解决生产实际问题【6 】。近十多年来，由于电子计算机的广泛使用，机械振动和结构分 析理论的迅速发展，以及现代化的动态测试技术的不断出现，目前已能够应用动力学模型对 机床零部件单件进行详尽、系统的分析，在设计阶段进行零部件单件动态性能的优化设计， 迅速获得具有较好动态性能指标的零部件结构，并且开始在生产实际中具体使用。 但是，由丁机床零部件间存在着结合部，结合部间既储存能量又消耗能量的“柔性结合” 本质极大地影响着机床整机的静、动态特性。结合部间的弹性和阻尼，尤其是阻尼，往往比 结构本身的弹性和阻尼还大。目前，机床整机特性的解析值与实验值莘达5 0 左右l lj 。因此， 要获得较好精度的机床结构整机动态特性，必须考虑其中结合部的影响。 对丁机械中结合部静、动态特性的研究，国外从六十年代就开始了，并取得了一些成果。 而国内开始得较晚，大约从八十年代才开始引起人们的注意卜j 。 在结合部静态特性方面，六十年代末、七十年代初，国外的基尔萨诺娃1 7 j 、k i r s a n o v a p j 等人就其法向和切向特性进行了研究。他们的研究表明：( 1 ) 结合部的切向加载和卸载曲线 东南大学硕上学位论文 之间存在迟滞现象，即使在切向载荷小于结合部最大静摩擦力的情况下也如此。( 2 ) 结合部 的切向接触刚度与结合部面压成非线性关系，并随之增大而增大。在七十年代末，小泉忠由 等对非常典型的螺栓结合部承受切向重复加载时的切向静态特性进行了进一步的实验研究。 结果表明，切向变形随重复加载次数的增加而减小，其减小率与结合部材料及其表面粗糙度 有关，并随表面粗糙度增人而增大。 与结合部静态特性研究相比，其动态特性的研究要困难许多。但是，结合部动态特性对 机械系统性能的影响较其静态特性的影响却要人得多。六十年代后期，在国外众多研究者中， 普遍认为a n d r e w 的一些一般性结论较为可靠【9 j ，并由此提出了三个重要结论：( 1 ) 无油结 合部的法向动刚度接近于法向静刚度，其阻尼很小。( 2 ) 具有油膜的结合部，其阻尼较大， 且结合部的损耗因子与频率有关。( 3 ) 具有油膜的结合部的法向阻尼机理相当丁：挤压油膜。 七十年代，r o g e r s i j 、d e k o n i n c k i l l | 、堤正臣等人在结合部切向动态特性方面进行了研究。 他们认为结合部切向动态特性具有迟滞非线性。这种迟滞非线性是结合部阻尼产生的主要原 因，且每个振动周期的阻尼耗能与振动频率无关，并给出了其阻尼耗能的数学模型。尽管如 此，结合部阻尼及其衰减能的理论计算方法仍然没有解决。 除此之外，在考虑结合部的影响而进行机械结构的动态分析方面，国内外的学者也做了 不少研究。他们主要是将结合部j 喟一组弹簧代替，对于其它结构则用集中质量法进行建模。 这种方法只能适用于机械结构简单的结构分析，对于结构比较复杂的机械系统则分析精度较 差。也有学者利用实验的方法识别结合部的特性参数，此方法较常用。 一 以上研究方法的前提均是必须获得较精确的整机模态实验结果。但这一点通常不是很容 易办到的，尤其是对于人型复杂精密机械系统进行动态实验是非常困难的，且无法在机械结 构的方案及图样设计阶段预测其动态性能，更不能进行其动态性能的仿真与优化。这对于真 正意义上的“动态优化设计”无疑是一个障碍。 1 3 机床直线导轨结合部动态特性研究现状 直线导轨结合部是机床整机系统中最重要的结合部之一，已广泛地应用于现代数控机 床。由于其具有可移动的特性，对整机动态特性的影响较大，因此研究直线导轨结合部的解 析方法对图样设计阶段机床结合部参数的确定具有重要意义。围绕直线导轨结合部动态参数 建模，国内外学者做了大量有益的t 作，概括起来： 1 ) 试验测试法。该方法主要通过锤击实验分别测定导轨竖直方向和水平方向的传递函 数，再根据模态理论识别出竖直方向和水平方向的刚度、阻尼系数，从而建立起直线导轨结 合部的动力学模型1 1 2 - 1 3 。也有学者将直线导轨整体结构离散为若干个子结构或子系统，通过 实验测试的方法得到各个子系统的刚度矩阵和阻尼矩阵，再将各个子结构的运动方程综合起 来，从而得到整个系统的运动方程和动力特性1 1 3 - 1 5 1 。 2 ) 理论计算法。该方法主要是以结合部的基础特性参数为基础，在简化结合部模型的 情况下，求得结合部各处的刚度和阻尼，或者是通过有限元分析的方法得到导轨结合部的特 性参数，并与试验结果进行比较，验证其方法的正确性i 1 6 - 2 0 1 。 3 ) 试验测试与理论计算相结合的方法。该方法首先通过试验测试的方法得到导轨结合 部的动力学参数，然后再用有限元软件将其运用到整机的动态特性分析中，为机床的动态设 计提供一种有效的方法弘h 制。 然而，上述研究工作存在两方面问题： 1 ) 仅仅研究直线导轨结合部本身动态特性模型，忽略了作为直线导轨必要部件一一滚 珠丝杠副对此结合部的影响。 2 ) 试验测试法需要搭建较为复杂试验装备，而有限元法建模较为繁琐，且依赖于大型 商用软件。 冈此，亟需找到一种建模方法，在无需试验测试和有限元建模的情况下建立起结合部的 动力学模型，同时又考虑滚珠丝杠副对直线导轨结合部的影响。 2 第一章绪论 1 4 论文研究内容 本文针对现代数控机床中的典型结合部一一带滚珠丝杠副的直线导轨结合部，结合目前 国内外的研究现状，提出此类结合部的一种动力学参数建模方法，主要有以下几个方面的内 容： 1 )基于弹性力学中的赫兹接触理论，通过计算直线滚动导轨的线刚度、滚珠丝杠副及其支 承轴承的轴向刚度，从而建立带滚珠丝杠副的直线滚动导轨结合部的动态刚度特性参数 模型。 2 )基于液体静压技术原理和赫兹接触理论，通过计算静压直线导轨的线刚度、滚珠丝杠副 的轴向刚度和推力滚子轴承的轴向剐度，建立带滚珠丝杠副的机床直线静压导轨结合部 动态刚度特性参数模型。 3 1以一款带滚珠丝杠副的直线滚动导轨结合部为例，分析了工作载荷的变化对结合部刚度 的影响。 4 )分析了一款含有带滚珠丝杠副的直线滚动导轨结合部的立式加工中心和一款含有带滚 珠丝杠副的直线静压导轨结合部的数控轧辊磨床的整机动态特性，验证本文提出的结合 部动态特性模型的有效性和可行性。 5 )基于m a t l a b 平台上的g u i ，开发了用于计算滚珠丝杠副中螺母组件轴向刚度和滚动 直线导轨线刚度的通用计算软件。 3 东南大学硕士学位论文 2 1 概述 第二章结合部动力学建模的理论基础 建立结合部的等效动力学模型，一方面便于进行分析研究，另一方面也便于进行动态试 验及参数识别。为了更好地进行结合部建模，本章对结合部建模的基本方法展开讨论。 由于本文中带滚珠丝杠副的直线导轨结合部的建模方法是基于弹性力学中的赫兹接触 理论和液体静压技术原理的，因此，为了更好地理解整个结合部的动力学建模过程，本章对 赫兹接触理论和液体静压技术原理进行简单阐述。 2 2 机械结合部等效动力学模型 建立结合部等效动力学模型的通常做法是用一组弹簧( 角弹簧) 和阻尼器( 角阻尼器) 来模拟结合部的动力学特性。也有采用有限元建模进行研究的。考虑剑影响结合部动力学特 性的各种因素，可将结合部简化为多点、多行、多自由度联接的形式，以便于建模分析和参 数识别。 建立机械结构结合部等效动力学模型时应作如下一些基本考剧l j ： 1 ) 对于面积较大的结合部，可简化为多行、多点联接的形式，构成其动力学模型。 2 ) 模型简化的联接行数及每行的联接点数取决于结合部面积的大小及形状，构成结合 表面的相关结构所具有的结构形式、模型的形式及自由度数、质量、刚度、边界条件( 几何、 动力) 等。 3 ) 结合部等效模型的自由度数( 主要指行数和点数) 廊与其相关各子结构模型的自由 度数相匹配，以有利于各子结构的动力学模型简便、准确地综合成整体结构的动力学模型( 不 会因结合点数过少造成结合部的局部分离，也不会因其自由度数与相关子结构自由度数相差 过大而难于综合；结合点数也不宜过多，避免引入其不必要的高阶模态参与综合，只需保证 其必要的低阶模态参与综合为宜) ，得到其准确的动力特性，有利于通过理论分析计算或通 过实验及系统识别的方法识别其等效动力学参数。 4 ) 每个联接点的自由度数由构成结合表面的相关结构的结构形式、几何边界条件、外 加动载荷形式及作用点位置等冈素确定。每个自由度用一个弹簧( 或扭簧) 、阻尼器( 或角 阻尼器) 及其等效动力学参数组成该自由度的等效动力学模型。如图2 2 所示为每个联接点 仅有一个自由度的情形。 ( 口) ( b ) 图2 1 平面结合部等效模型 5 ) 对于组合平面( 燕尾、矩形、v 形等) 等结合部，也可按上述原则及方法建立其相 4 第二章结合部动力学建模的理论肇础 应的等效动力学模型。对丁轴承、锥度、螺栓联接等结合部，也按同样原则及方法建立其相 应的等效动力学模型，只是等效联接点少一些。 下面以平面结合部和机床主轴轴承支承说明确定结合部点数及自由度数的过程。 如图2 1 ( 口) 所示平面结合部，当结构a 受正向力p 的作用时，作用力通过结合部传 递到结构b 。结合部不受到剪切作用，且结合部较大，结合部联接点之间不产生相对转角， 因此只需用一组沿作用力方向的等效弹簧和阻尼器即可模拟结合部的动力学特性，如2 1 ( b ) 所示。 当外加载荷的形式、方向、大小、频率变化时，可以将每个方向联接点用线弹簧、角弹 簧和线阻尼器、角阻尼器来模拟联接点的自由度。当结合部面积较小时，即可用一组弹簧 阻尼器单元模拟一个自由度上的动力学特性。 对于机床主轴支承，如果机床主轴只承受径向载荷，轴承对轴的角转动不存在约束，简 化为图2 2 ( 口) 所示模型：对于滚动轴承，由于径向刚度很大，忽略径向位移，也就忽略 径向阻尼，简化为图2 2 ( b ) 的模型；图2 2 ( c ) 为轴承支承的一般模型；对于推力球轴 承，还应考虑加一个角弹簧阻尼器，如图2 2 ( 彳) 所示。 ( 口)( b )( c )( d ) 图2 2 结合部等效模型的几种形式 等效后的结合部可视为由三部分组成：子结构爿、子结构b 及结合部正如图2 3 所示。 而这三部分之间的“结合部”则可视为刚性联接。其系统动力学方程可表示为： l 子结构一 i 串， 串 l 子结构曰 i 图2 - 3 结合部系统 鼍。z 。 耋：) + ( 二： + 陋，】) 萎：) + j j 乏 + k ，】) 二：) = 如，c 2 ， 其中，饩、帆、e 、c 6 、虬、瓦分别为子结构a 、b 的质量矩阵、阻尼矩阵、刚度 矩阵， c ，、置；为结合部，的阻尼矩阵、刚度矩阵，艺、以分别是子结构a 、b 中的坐 标向量。由于结合部，没有独立于a 、b 之外的节点，所以x 。、黾即可表示整个系统的坐 标向量。鸭、e 、g 、疋和k 。是单个零部件的动力学矩阵。这些矩阵可以非 常容易地用我们现有的任何一种动态分析方法得剑，而且精确性很好。而对于结合部，的c ； 和西，由于结合部仅由多组弹簧阻尼器单元组成，且相互之间没有公用的节点，即没有耦 合，所以，c ，和置；是由各阻尼器阻尼和弹簧刚度组成的对角阵，如式2 1 所示。 5 东南火学硕士学位论文 【c 小 一毛 c j1 i ( 2 2 ) k j 其中，c ，、c ：、c 。、k 、k ，、k 。分别为结合部上对应两点间的阻尼和刚度。 如果对应两点间仅用一组弹簧阻尼单元联接，如图2 - 2 的例子，则该弹簧的刚度和该 阻尼器的阻尼就是这两点间的刚度和阻尼。当夕t - 3 1 载荷的形式、方向等比较复杂时，结合部 上对应两点间存在多个方向上的自由度，则两点间有多组弹簧，阻尼器单元。此时，g 、 c 2 、c 。、k 。、k 2 、k 。应为对角阵，其对角元素分别为各个阻尼器的阻尼和弹簧 的刚度。例如，当结合部上对应两联接点间存在x 、y 、z 三个方向的自由度时，在这三个方 向上分别用一组弹簧阻尼器单元模拟，其刚度和阻尼分别为k ，、k k 。、c ，、c c ， 则第厂对联接点的刚度和阻尼矩阵为： cf2 2 3 赫兹点接触理论 k f = ( 2 。3 ) 滚珠丝杠副、角接触球轴承或滚动导轨中的滚珠与滚道面的弹性接触问题，均可看作为 两个自由曲面体的弹性点接触问题。 2 3 1 基本假设 赫兹( h e r t z ) 最甲研究了两个自由弹性体的接触问题，在某些简化假设条件下，可计 算出接触面的应力分布。它的表达式简单，计算结果与实际较一致。赫兹在求解接触应力与 变形时，采用了如下儿点简化假谢j ： 1 ) 接触物体只产生弹性变形，服从虎克( h o o k e ) 定律。在正常情况下，滚珠丝杠副、 角接触球轴承或直线滚动导轨，其各元件均丁作在材料弹性极限以下，在接触点处产生的总 塑性变形量不超过滚动体直径的万分之一【3 0 1 。冈此，可认为这一假设是适宜的。 2 ) 负荷垂直于接触表面，即假设接触表面完全光滑，不计接触物体之间的摩擦力。无 论是滚珠丝杠、角接触球轴承或是滚动导轨均是高精度的滚动摩擦副，摩擦力很小，在计算 接触表面的最人应力、接触面尺寸及接触物体的弹性趋近量时，基丁这一假设可以得到足够 高的精度。 3 ) 接触面的尺寸与接触物体表面的曲率半径相比是小量，严格来说，这一假设不完全 符合实际的作情况，然而采用这一假设后，计算结果与实验结果仍然比较一致。因此，为 了简便，仍然采取了这一假设。 4 ) 忽略表面粗糙度对结合部刚度特性的影响。因为带滚珠丝杠直线导轨结合部的接触 副均为高副，在预紧载荷或工作载荷的作用下，其接触区弹性变形量可达到数个微米( 一般 在2 71 2m 之间) ，远远人于滚道或滚珠的表面粗糙度( 一般小于0 0 8um ) 。因此，在计算 接触刚度时，可不考虑表面粗糙度的影响，进而可忽略材料塑性变形的影响。 2 3 2 赫兹点接触的理论模型 点接触的两物体，在负荷q 的作用下，接触点将扩展成为一个接触面。该接触面在与 接触法线垂直面的投影为一椭圆，长轴为2 口，短轴为2 6 ，如图2 - 4 ( a ) 所示，在接触区内， 6 第二章结合部动力学建模的理论基础 接触应力按半椭球分布，如图2 - 4 ( b ) 所示。 ( 口)( 6 ) 图2 - 4 点接触区域与接触区应力分布 由赫兹理论得到的接触应力与变形的公式分别为： 3 d 仃m “。二2 r c a b 口2 m 口 b = m h 。2 k ( e ) 0 = 。一 z r m 口 式2 4 2 7 中： p 一法向压力； r 接触椭圆长半轴； 卜接触椭圆短半轴； 1 7 一最大接触应力； 6 接触的弹性趋近量； e 一当链弹性模量，可由下式求得： 肚! f 盥+ 丝1 2ieej 式中：局、局两接触物体的弹性模量； j 1 、口2 两接触物体的泊松比。 主曲率和p 为两物体在接触点处的主曲率的和，即： 乙p2p l l + p 1 2 + p 2 l + p 2 2 接触椭圆的长短半轴系数分别为： m a2 m b2 式2 1 0 、2 1 1 中： k 椭圆率，扣b a ； 三( p ) 与椭圆偏心率e 有关的第二类完全椭圆积分，可由下式求出： 7 ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 俨 蓐辱 嚣浮 东南人学硕士学位论文 三( p ) ：2 扛了而 ( 2 1 2 ) k ( e 卜_ 与椭圆偏心率e 有关的第一类完全椭圆积分，可由下式求出： 衩d 2 上。乒轰亨9 q 1 3 椭圆偏心率e 与椭圆率k 的关系为： p ：瓜 ( 2 1 4 ) 主曲率函数足p ) 可表示为： ，( j d ) ：丛_ 哩垫尘剑 ( 2 1 5 ) 乙j d 也可表示为： f ( p ) = ( 1 + k 下2 ) l 可( e ) - 西2 k 2 一k ( e ) 眨 若已知接触物体在接触点处的各个主曲率，则可由式2 1 5 解得主曲率函数。然后利用 式2 1 2 、2 1 3 、2 t 4 、2 1 6 进行数值迭代求得e 、露值。再由式2 1 0 、2 11 确定接触椭圆盼长、 短半轴系数7 。、珑6 。最后，在给定载荷q 的条件下，由式2 4 2 8 求得最人接触应力口。与 弹性趋近鼍6 。 2 3 3 接触点处的主曲率 1 ) 两自由弹性体点接触处的主曲率 图2 - 5 为弹性接触理论中常见的任意两曲面体的接触状态。他们在外力p 作用下，在e 点接触。图2 - 6 就是图2 - 5 中一个曲面体的一部分。若取曲面体在点的法线为z 轴，这样 过z 轴可作无限多个剖切平面，且每个剖面与曲面都有一条平面交线。一般情况下，这些平 面曲线在e 点的曲率半径是不相等的，其中必定有一个最大的和最小的。这个最大矛u 最小 曲率半径，称为该曲面在e 点处的主曲率半径，且把最人和最小曲率半径所在的平面称之 为主平面。数学上可以证明，这两个主平面是相互垂直的。图2 - 6 中的r 1 1 、尺l2 就是两个主 曲率半径。描写平面曲线在某一点处弯曲程度的该点的曲率值，即为半径的倒数。所以曲率 pl l 、p1 2 为： 1 岛- 。百 1 p 1 22 瓦 图2 - 5 两自由弹性体接触状态图 8 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 第二章结合部动力学建模的理论基础 同理，曲面体2 上也可以找到接触点处的两个主曲率半径恐i 、恐2 ，以及两个相互垂 直的主平面。同样，两个主曲率p2 l 、p2 2 为： 1 p 2 22 瓦 但当曲面在主平面为凹形面时，公式2 1 7 2 2 0 中的主曲率值应为负值。 图2 - 6 一接触体的主曲率 ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 2 ) 角接触球轴承中滚珠与滚道面接触处的主曲率 首先讨论滚动球轴承中滚珠与内阁滚道接触点处的主曲率。图2 7 是角接触球轴承简化 力学模型中滚珠与内罔滚道面的接触简图。在轴向力作用下，滚珠与内圈滚道面在e 点接 触，接触角为a 。过接触点e 的内圈滚道的主平面，其中一个主平面过法线d l e 及轴线d l d 2 ， 即为图2 - 8 ( 口) 的轴向剖面；另一个主平面即为过法线d 1 e 与轴向剖面垂直的平面，如图 2 8 ( b ) 所示。从图中可以看出，在轴向剖面内，相当丁球面体与凹形曲面接触，故内圈滚 道曲率在此主平面内的主曲率应为负值，为该曲面的曲率半径最小值，等于滚道曲率半径。 在另一个主平面内，相当于球面体与凸形曲面接触，凸形曲面的曲率半径为正值，是该曲面 主曲率半径的最大值；由图2 7 几何关系可知，它应等于恐2 。对球面体滚珠而言，过接触 点占的法线的任意剖面内，其曲率半径均为滚珠半径。故轴承内圈滚道面的两个主平面就 可视为滚珠的两个主平面，两曲面体的主平面重合。 若设滚珠直径为巩，滚动球轴承的滚珠中心圆直径为磊，轴承内圈滚道的曲率半径为 r = a g ( 厂为密合度，其值等于r d b ) ，则按图2 7 几何关系可知，滚珠与内圈滚道接触点e 处四个主曲率分别为： p l l2 岛25 百 p 2 l 2 一d e f 岛22 d o - d b c o s a ( 2 2 1 ) f 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 当滚动球轴承中滚珠与外圈滚道接触时，用上述同样的理由，可以确定轴承外罔滚道面 在接触处的两个主平面及两个主曲率。但在主平面内，冈轴承外圈滚道均为凹形曲面，故两 主曲率值均为负值。也由于同样的原因，可视滚珠的两个主平面与轴承外圈滚道的两个主平 面相重合。一般情况卜角接触球轴承内圈和外圈的密合度厂的值相同，故在接触点处的四个 主曲率分别为： 9 上如 i l 晚 东南大学硕士学位论文 1 p 2 1 2 2 d b f 2 c o s 口 以25 一d 0 + d b c o s o d l 图2 7 滚珠与内圈滚道面接触简图 ( a ) 0 2 图2 - 8 主曲率示意图 ( b ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 3 ) 滚珠丝杠副中滚珠与滚道面接触处的主曲率 滚珠丝杠副中滚珠与滚道面接触处的主曲率的分析计算方法和滚动球轴承中滚珠与滚 道面接触处主曲率的分析计算方法相似。继续参考图2 7 、2 8 ，先讨论滚珠丝杠副中滚珠与 丝杠滚道接触点处的主曲率。 假设滚珠与丝杠滚道面的接触点为e ，滚珠丝杠副的接触角为a ，滚珠直径为磊，滚珠 丝杠的公称直径为凶，密合度为厅则丝杠滚道的曲率半径为胆蛎按照滚珠丝杠的几何 关系，在充分考虑到丝杠螺纹升角咖对接触处主曲率影响的前提下【3 ，可以得到滚珠与丝 杠滚道面接触点e 处四个主曲率分别为： l o ( 2 ，2 7 ) 2 一以 = 2p l l p 2 一以 = 2岛 = 珐 第二章结合部动力学建模的理论摹础 陀2 8 ) ：2c o sa c o s p f222 2 9 ) 2 一 【2 d 0 一d 6c o s a 当滚珠丝杠副中滚珠与螺母滚道接触时，用上述同样的理由，可以确定螺母滚道面在接 触处的两个主平面及两个主曲率。但在主平面内，因螺母滚道均为凹形曲面，故两主曲率值 均为负值。也由于同样的原因，可视滚珠的两个主平面与螺母滚道的两个主平面相重合。一 般情况下丝杠滚道与螺母滚道的密合度厂的值相同，故在接触点处的四个主曲率分别为： 2 p l l = p 1 2 = _ ( 2 3 0 ) 口6 1 p 2 1 = 一百 ( 2 3 1 ) a b j ：一_ 2c o s _ a c o s p 2 2 ( 2 3 2 ) 一石面 2 3 2 4 ) 滚动直线导轨副中滚珠与滚道面接触处的主曲率 滚动直线导轨副中滚珠与滚道面接触处的主曲率的分析计算方法也和滚动球轴承中滚 珠与滚道面接触处主曲率的分析计算方法相似。首先讨论滚动导轨副中滚珠与滑轨滚道面接 触点处的主曲率。 参考图2 7 、2 8 所示，假设滚珠与滑轨滚道面的接触点为e ，其接触角为a ，滚珠直径 为磊，密合度为二则滑轨滚道的曲率半径为r = d j o 按照滚动直线导轨副的几何关系，充 分考虑到滚动直线导轨与滚动球轴承结构上的不同，可以得剑滚珠与滑轨滚道面接触点e 处四个主曲率分别为： p 1 1 = p 1 2 = ( 2 3 3 ) “6 1 9 2 1 一万 渊 p 2 2 = 0 ( 2 3 5 ) 当滚动直线导轨中滚珠与滑块滚道接触时，用上述同样的理由，可以确定滑块滚道面在 接触处的两个主平面及两个主曲率。也由于同样的原因，可视滚珠的两个主平面与滑块滚道 的两个主平面相重合。一般情况卜滑轨滚道与滑块滚道的密合度厂的值相同，故在接触点处 的四个主曲率分别为： p l l = p 1 2 = ( 2 3 6 ) “ 1 p 2 1 一万 2 3 7 p 2 2 = 0 ( 2 3 s ) 2 4 平面接触问题 对于推力滚子轴承而言，其滚子与套圈滚道面的弹性接触问题，可看作为两个自由曲面 体的平面接触问题【2 6 】。 上彤 一 = 2 p 东南大学硕上学位论文 2 4 1 基本假设 与研究两个自由弹性体的点接触问题类似，在求解平面接触应力与变形时，采用了如下 几点简化假设，在这些简化假设条件卜，可计算出接触面的应力分布。它的表达式简单，计 算结果与实际较一致。 1 ) 接触物体只产生弹性变形，服从虎克( h o o k e ) 定律。在正常情况下，推力滚子轴 承各元件也都t 作在材料弹性极限以下，在接触点处产生的总塑性变形量不超过滚动体直径 的万分之一 3 0 1 。因此，可认为这一假设是适宜的。 2 ) 负荷垂直于接触表面，即假设接触表面完全光滑，不计接触物体之间的摩擦力。无 论是滚珠丝杠、滚动导轨或是滚动轴承均是高精度的滚动摩擦副，摩擦力很小，在计算接触 表面的最大应力、接触面尺寸及接触物体的弹性趋近量时，基于这一假没可以得到足够高的 精度。 3 ) 接触面的宽度与接触物体表面的曲率半径相比是小量，严格来说，这一假设不完全 符合实际的工作情况，然而采用这一假设后，计算结果与实验结果仍然比较一致。因此，为 了简便，仍然采取了这一假设。 4 ) 柱体的长度远大于直径，可视作为无限长。对推力滚子轴承而言，通常圆柱滚子的 长度是大于或等于其直径的，但滚子长度不等丁套圈滚道宽度，只能认为近似满足。 5 ) 忽略表面粗糙度对结合部刚度特性的影响。因为带滚珠丝杠直线导轨结合部的接触 副均为高副，在预紧载荷或工作载荷的作用下，其接触区弹性变形量可达剑数个微米( 一般 在2 7l am 之间) ，远远大于滚道或滚珠的表面粗糙度( 一般小于o 0 8l am ) 。因此，在计算 接触刚度时，可不考虑表面粗糙度的影响，进而可忽略材料塑性变形的影响。 2 4 2 平面接触的理论模型 如图2 - 9 所示平面接触的两柱体，假设柁体长度，总负荷为q ，负荷线密度q 。在负 荷作用下，形成接触宽度2 b 、长度，的矩形接触面，两柱体的弹性趋近量为j 。 负荷线密度q 与总负荷q 的关系为： g = 孚 仁3 9 ， 图2 - 9 两弹性柱体的接触 接触压力沿接触区域按椭圆规律分布，可表示为： 最大接触压力为： 蝴强陌 1 2 f 2 4 0 ) 第二章结合部动力学建模的理论堆础 接触半宽度为： p o2 b = ： ( 2 4 1