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高中导数知识点总结 核心出品必属精品下载导数 考试内容： 导数的背影导数的概念多项式函数的导数利用导数研究函数的单调性和极值函数的最大值和最小值考试要求：（1）了解导数概念的某些实际背景（2）理解导数的几何意义（3）掌握函数，y=c(c为常数)、y=xn(nN+)的导数公式，会求多项式函数的导数（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值 14.导数知识要点 1.导数（导函数的简称）的定义：设x0是函数y?f(x)定义域的一点，如果自变量x在x0处有增量?x，则函数值y也引起相应的增量?y?f(x0?x)?f(x0)；比值 ?y?xlim ?x?0 ? f(x0?x)?f(x0) ?x ?y?x ?lim ?x?0 称为函数 y?f(x) 在点x0到x0 ?x 之间的平均变化率；如果极限 f(x0?x)?f(x0) ?x 存在，则称函数y ?f(x) 在点x0处可导，并把这个极限叫做 y?f(x)在x0 处的导数，记作 f(x0) 或y |x?x ，即 f(x0) = lim ?x?0 ?y?x ?lim ?x?0 f(x0?x)?f(x0) ?x . 注：?x是增量，我们也称为“改变量”，因为?x可正，可负，但不为零.以知函数y ?f(x) 定义域为A，y ?f(x) 的定义域为B，则A与B关系为A ?B . 2.函数y?f(x)在点x0处连续与点x0处可导的关系： 函数y?f(x)在点x0处连续是y?f(x)在点x0处可导的必要不充分条件.可以证明，如果y?f(x)在点x0处可导，那么y?f(x)点x0处连续.事实上，令x?x0?x，则x?x0相当于?x?0.于是 lim x?x0 f(x)?lim ?x?0 f(x0?x)?limf(x?x0)?f(x0)?f(x0) ?x?0 f(x0)?f(x0)?0?f(x0)?f(x0). ?lim ?x?0 f(x0?x)?f(x0) ?x ?f(x)点x0 ?x?f(x0)?lim f(x0?x)?f(x0) ?x ?lim?lim ?x?0 ?x?0 ?x?0 如果y例： ?y?x 处连续，那么y ?f(x) 在点x0处可导，是不成立的. ?0 f(x)?|x|在点x0?0处连续，但在点x0 ?1 处不可导，因为 ?y?x ? |?x|?x ，当?x0时， ?1；当?x0时， ?y?x ，故 lim ?x?0 ?y?x 不存在. 注：可导的奇函数函数其导函数为偶函数.可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3.导数的几何意义： 函数y?f(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线y也就是说，曲线 ?f(x) 在点(x0, f(x) 处的切线的斜率，切线方程为 y?f(x) 在点P (x0,f(x) 处的切线的斜率是 f(x0) y?y0?f(x)(x?x0). 4.求导数的四则运算法则： (u?v)?u?v?y?f1(x)?f2(x)?.?fn(x)?y?f1(x)?f2(x)?.?fn(x) (uv)?vu?vu?(cv)?cv?cv ?cv（c为常数） ?u?v? ? vu?vuv 2 (v?0) 注：u,v必须是可导函数. 若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如：设 f(x)?2sinx? 2x ，g(x)? cosx? 2x ，则 f(x),g(x) 在x ?0 处均不可导，但它们和 f(x)?g(x)?sinx?cosx ?0 在x处均可导. fx(?(x)?f(u)?(x) 5.复合函数的求导法则：或yx ?y u ?u x 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形. 6.函数单调性： 函数单调性的判定方法：设函数y增函数；如果 f(x) ?f(x) 在某个区间内可导，如果 f(x) 0，则y ?f(x) 为 0，则y ?f(x) 为减函数. 常数的判定方法；如果函数y注：都有 ?f(x) 在区间I内恒有 f(x) =0，则y ?f(x) 为常数. ?2x 3 f(x)?0 是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如y f(x)?0 在(?,?)上并不是 f(x)?0 ，有一个点例外即x=0时f（x）=0，同样是f（x）递减的充分非必 要条件. 一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.7.极值的判别方法：（极值是在x0附近所有的点，都有f(x)f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极大值，极小值同理） 当函数f(x)在点x0处连续时，如果在x0附近的左侧如果在x0附近的左侧 f(x) 0，右侧0，右侧 f(x) 0，那么0，那么 f(x0)是极大值；f(x0)是极小值. f(x) f(x) 也就是说x0是极值点的充分条件是x0点两侧导数异号，而不是 f(x) =0.此外，函数不 可导的点也可能是函数的极值点.当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.注：若点x0是可导函数 f(x) 的极值点，则 f(x) =0.但反过来不一定成立.对于可导函 数，其一点x0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数y ?f(x)?x 3 ，x ?0 使 f(x) =0，但x ?0 不是极值点. ?0 例如：函数y?f(x)?|x|，在点x?0处不可导，但点x是函数的极小值点. 8.极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较. 注：函数的极值点一定有意义.9.几种常见的函数导数：I.C ?0 （C为常数）(sinx)?cosx (arcsinx)? 1?x 2 (x)?nx nn?1 （n?R）(cosx)?sinx(aros x)? 1?x 2 II. (lnx)? 1x (log a x)? 1x log a e(arctan x)? x 1 2 ?1 (e x ) ?e x (a)?a xx lna(arotx)? 1x 2 ?1 III.求导的常见方法：常用结论：(ln形如y |x|)? 1x . 或y ? (x?a1)(x?a2).(x?an)(x?b1)(x?b2).(x?bn) ?(x?a1)(x?a2).(x?an) 两边同取自然对数，可转化 求代数和形式.无理函数或形如y yy ?x x 这类函数，如y ?x x 取自然对数之后可变形为ln x x y?xlnx ，对两边 求导可得 ?lnx?x? 1x ?y?ylnx?y?y?xlnx?x. 导数知识要点 1.导数（导函数的简称）的定义：设x0是函数y? f(x)定义域的一点，如果自变 量x在x0处有增量?x，则函数值y也引起相应的增量?y? ?y?x ? f(x0?x)?f(x0) ?x ?y?x ?lim ?x?0 f(x0?x)?f(x0)；比值 称为函数y? f(x)在点x0到x0?x之间的平均变化率；如果极 f(x)在点x0 f(x0) 限 lim ?x?0 f(x0?x)?f(x0) ?x 存在，则称函数y?处可导，并把这个或 y|x?x 极限叫做 f(x0) y?f(x) 在 x0 处的导数，记作 . ，即 = lim ?x?0 ?y?x ?lim ?x?0 f(x0?x)?f(x0) ?x 注：?x是增量，我们也称为“改变量”，因为?x可正，可负，但不为零.已知函数y?2.函数y?函数y? f(x)定义域为A ，y? f(x) 的定义域为B，则A与B关系为A? B . f(x)在点x0处连续与点x0处可导的关系： f(x)在点x0 f(x)在点x0 处连续是y?处可导的必要不充分条件. f(x)点x0 可以证明，如果y?事实上，令x? f(x)在点x0 处可导，那么y? . 处连续. x0?x ，则x? x0相当于?x?0 1 于是 x?x0 limf(x)?limf(x0?x)?limf(x?x0)?f(x0)?f(x0) ?x?0 ?x?0 ?lim ?x?0 f(x0?x)?f(x0) ?x ?x?f(x0)?lim f(x0?x)?f(x0) ?x ?lim?lim ?x?0 ?x?0 ?x?0 f(x0)?f(x0)?0?f(x0)?f(x0). 如果y? f(x)点x0 处连续，那么y? ?0 f(x)在点x0 ?0 处可导，是不成立的. ?x ?|?x|?x 例：f(x)?|x|在点x00时，?y ?x ?1；当?x 处连续，但在点x0 ?x 处不可导，因为?y不存在. ，当?x 0时，?y ?1，故lim ?x?0 ?y?x 注：可导的奇函数函数其导函数为偶函数.可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3.导数的几何意义：函数y? f(x)在点x0 处的导数的几何意义就是曲线y? f(x)在点 f(x)在点(x0,f(x) 处的切线 的斜率，也就是说，曲线y?方程为y?y0 ?f(x)(x?x0). P(x0, f(x) 处的切线的斜率是f(x0)，切线 4、几种常见的函数导数： C?0 nn?1 （C为常数）(x)?nx（n?R） x)?cosx(coxs)?sinx(sin (lnx)? x 1x x (loagx)? 1x logae (e)?e xx (a)?alna 5.求导数的四则运算法则： (u?v)?u?v?y?f1(x)?f2(x)?.?fn(x)?y?f1(x)?f2(x)?.?fn(x) (uv)?vu?vu?(cv)?cv?cv?cv ?u?v? （c为常数） ? vu ?vuv 2 (v?0) 注：u,v必须是可导函数. 若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如：设和 f(x)?2sinx? 2x ，g(x)?cos x? 2x ，则f(x),g(x)在x?0处均不可导，但它们 f(x)?g(x)?sinx?cosx 在x?0处均可导. 2 6.复合函数的求导法则： fx(?(x)?f(u)?(x) 或yx ?y u ?u x 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.7.函数单调性： 函数单调性的判定方法：设函数y? y?f(x)为增函数；如果f(x) f(x)在某个区间内可导，如果f(x) 0，则 0，则y?f(x)为减函数. 常数的判定方法；如果函数y? f(x)在区间I 内恒有 f(x) =0，则y?f(x)为常数. 注：f(x)?0是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如y?2x3在(?,?)上并不是都有 f(x)?0 ，有一个点例外即x=0时f（x）=0，同样f(x)?0是f（x） 递减的充分非必要条件.一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.8.极值的判别方法：（极值是在x0附近所有的点，都有f(x)函数 f(x)的极大值，极小值同理）f(x)在点x0 f(x0)，则f(x0)是 当函数处连续时， f(x) 如果在x0附近的左侧如果在x0附近的左侧 0，右侧0，右侧 f(x) 0，那么0，那么 f(x0)是极大值；f(x0)是极小值. f(x)f(x) 也就是说x0是极值点的充分条件是x0点两侧导数异号，而不是f(x)=0.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点.当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）. 注：若点x0是可导函数 f(x)的极值点，则f(x) =0.但反过来不一定成立.对 于可导函数，其一点x0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数y? f(x)?x 3 ，x?0使 f(x) =0，但x?0不是极值点. 是函数的极小值点. 例如：函数y?f(x)?|x|，在点x?0处不可导，但点x?0 9.极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较. 注：函数的极值点一定有意义. 3 导数练习 一、选择题 1设函数f(x)在R上可导,其导函数f?(x),且函数f(x)在x?2处取得极小值, 则函数y?xf?(x)的图象可能是 2设a0,b0,e是自然对数的底数 ab A若e+2a=e+3b,则abB若ea+2a=eb+3b,则a ab C若e-2a=e-3b,则abD若ea-2a=eb-3b,则a Ax= 12 2x （） +lnx则 Bx= 12 （） 为f(x)的极小值点 为f(x)的极大值点 1x Cx=2为f(x)的极大值点4设函数 f(x)? Dx=2为f(x)的极小值点 .若 y?f(x) ,g(x)?x2 ?bx 的图象与y?g(x)的图象有且仅有两 （） 个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是Ax1?x2Cx1?x2 5函数y= 12 ?0,y1?y2?0?0,y1?y2?0 Bx1?x2Dx1?x2 ?0,y1?y2?0?0,y1?y2?0 （） x2?x的单调递减区间为 B(0,1 C1,+) A(?1,1 D(0,+) 6已知f(x)?x3?6x2?9x?abc,a?b?c,且f(a)?f(b)?f(c)?0.现给出如下 结论:f(0)f(1)?0;f(0)f(1)?0;f(0)f(3)?0;f(0)f(3)?0.其中正确结论的序号是 4 （） A7已知函数f(x)? B 1ln(x?1)?x CD ;则y?f(x)的图像大致为 8设a0,b0. A若2C若2 a （） b ?2a?2?3b?2a?2?3b b ,则ab,则ab B若2D若2 a ?2a?2?3b?2a?2?3b b b ,则a aa 9设函数f(x)在R上可导,其导函数为f?(x),且函数y?(1?x)f?(x) 的图像如题(8)图所示,则下列结论中一定成立的是A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(?2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(?2)D函数f(x)有极大值f(?2)和极小值f(2)10设函数f(x)?xex,则 Ax?1为f(x)的极大值点Cx?1为f(x)的极大值点 Bx?1为f(x)的极小值点Dx?1为f(x)的极小值点 （）（） 11设a?0且a?1,则“函数f(x)?ax在R上是减函数”,是“函数 5 高中数学选修2-2知识点 第一章导数及其应用 一导数概念的引入 1.导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数y?f(x)在x?x0处的瞬时变化率是 ?x?0 lim f(x0?x)?f(x0) ， ?x 我们称它为函数y?f(x)在x?x0处的导数，记作f?(x0)或y?|x?x0，即f?(x0)=lim ?x?0 f(x0?x)?f(x0) ?x 2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点Pn趋近于P时，直线PT与曲线相切。容易 知道，割线PPn的斜率是kn? f(xn)?f(x0) ，当点Pn趋近于P时，函数y?f(x)在x?x0处的导 xn?x0 f(xn)?f(x0) ?f?(x0) xn?x0 数就是切线PT的斜率k，即k?lim ?x?0 3.导函数：当x变化时，f?(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数.y?f(x)的导函数有 时也记作y?,即f?(x)?lim ?x?0 f(x?x)?f(x) ?x 二.导数的计算 1）基本初等函数的导数公式:2若f(x)?x,则f?(x)?x ? ?1 ; 3若f(x)?sinx,则f?(x)?cosx4若f(x)?cosx,则f?(x)?sinx;5若f(x)?a,则f?(x)?alna6若f(x)?e,则f?(x)?e x x xx 1xlna1 8若f(x)?lnx,则f?(x)? x x 7若f(x)?loga,则f?(x)? 2）导数的运算法则 2.f(x)?g(x)?f?(x)?g(x)?f(x)?g?(x) 3. f(x)f?(x)?g(x)?f(x)?g?(x) ? g(x)g(x)2 3）复合函数求导 y?f(u)和u?g(x),称则y可以表示成为x的函数,即y?f(g(x)为一个复合函数y?f?(g(x)?g?(x) 三.导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数: 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间(a,b)内，如果f?(x)?0，那么函数y?f(x)在这个区间单调递增；如果f?(x)?0，那么函数y?f(x)在这个区间单调递减. 2.函数的极值（局部概念）与导数 极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.求函数y?f(x)的极值的方法是: (1)如果在x0附近的左侧f?(x)?0,右侧f?(x)?0,那么f(x0)是极大值;(2)如果在x0附近的左侧f?(x)?0,右侧f?(x)?0,那么f(x0)是极小值; (3)若f（x）=0，则在该点函数不增不减，可能为极值，也可能就为一过渡点。4.函数的最大(小)值与导数 函数极大值与最大值之间的关系. 求函数y?f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤（1）求函数y?f(x)在(a,b)内的极值； （2）将函数y?f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是一个最大值，最 小的是最小值. 可导奇函数的导函数的是偶函数可导偶函数的导函数的是奇函数 III.求导的常见方法： 常用结论：(ln|x|)? 1.x 形如y?(x?a1)(x?a2).(x?an)或y?形式. (x?a1)(x?a2).(x?an) 两边同取自