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线性代数单元自测题答案第五章 方阵的特征值与特征向量 一、 填空题：10； 2； 36,； 4.； 5.二、 单选题：1B； 2D； 3D； 4D； 5.D.三、计算题1解：因的特征多项式所以的特征值为，当时，解方程组，即得基础解系，则属于的全体特征向量为。当时，解方程组，即得基础解系，则属于的全体特征向量为 (，不同时为)。 2. 解 因的特征多项式所以的特征值为，. 对于，解方程组，即 得基础解系 ，由于二重特征根的代数重数等于几何重数，故知可对角化.对于，解方程组，即得基础解系，取，则有 .因此为所求的相似变换矩阵，即为所求的对角矩阵.3.解：（1）由已知得是的特征根，于是有 ，解得. 从而有 ，故可得.（2） 当时，解，得基础解系.当时，解，得基础解系.取 ，则。四、证明题：1.（1）证明 因为是的特征根，故有向量，使得，于是有 即5是5的特征根.（2） 证明 因为是的特征根，故有向量，使得，左乘得 故是的特征根.2.证明 因 ，故的特征值为.。当时，因为 ，因此若可对角化，则的基础解系中必含有2个解向量，于是必有，从而有。4 - -
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