（系统工程专业论文）模糊广义系统鲁棒控制策略研究.pdf

摘要 摘要 模糊广义系统是在t - s 模糊系统模型与广义系统理论的基础上衍生 而来的，由于其能以任意精度逼近描述一类广泛的非线性系统而受到关 注。但是，迄今为止，模糊广义系统的研究结论还比较少。因此，对模 糊广义系统进行系统研究具有重要的现实意义。 本文详细分析了模糊广义系统理论的研究现状和稳定性问题，着重 研究了不确定模糊广义系统的鲁棒稳定与鲁棒控制问题。主要成果包括 以下几个方面： 一、论述了模糊广义系统的研究背景、研究意义和研究现状。对模 糊广义系统的来源、特征和应用范围作出了详细的分析。 二、研究了连续模糊广义系统和离散模糊广义系统的稳定性问题。 利用矩阵不等式的方法，对这两类系统分别提出了新的稳定性的充分条 件，降低了原有条件的保守性，提高了控制器设计的自由度。在此基础 上，给出了基于状态反馈的日。控制律的设计方法。 三、研究了连续不确定模糊广义系统的鲁棒日。控制问题。首先给出 了连续不确定模糊广义系统的模型描述，继而讨论了不确定模糊广义系 统的鲁棒稳定问题。所得结果对于所有容许的参数不确定项，只需计算 相应的矩阵不等式即可判断系统的鲁棒稳定性。最后，设计了鲁棒日。控 制器。 四、采用线性矩阵不等式方法研究了连续不确定模糊广义系统的具 有日。干扰抑制的保成本控制问题。建立了相应的鲁棒h 。保成本状态反馈 控制律的设计方法。有关条件被表示成了线性矩阵不等式和简单矩阵不 等式的形式，因此可利用凸规划方法解决系统的控制器设计问题。 关键词模糊广义系统；稳定；鲁棒控制；线性矩阵不等式 a b s t r a c t a b s t r a c t t - s f u z z y m o d e la n d s i n g u l a rs y s t e m s c o m b i n e dt of o r m f u z z y d e s c r i p t o rs y s t e m s t h ef u z z yd e s c r i p t o rs y s t e m sh a v ea t t r a c t e dal o to f a t t e n t i o nb e c a u s ei tc a n a p p r o a c h a n dd e s c r i b eac l a s so fe x t e n s i v e n o n l i n e a rs y s t e m sw i t ha n yp r e c i s i o n h o w e v e r ，o n l yf e ww o r ko nt h ef u z z y d e s c r i p t o rs y s t e m sh a sb e e no b t a i n e ds of a r s oi ti so fs i g n i f i c a n tp r a c t i c a l m e a n i n gt os t u d yt h ep r o b l e mo ff u z z yd e s c r i p t o rs y s t e m s t h ec u r r e n tr e s e a r c hs i t u a t i o no ff u z z yd e s c r i p t o rs y s t e m sa n dt h e s t a b i l i t ya n a l y s i sw e r el a b o r e di nt h i sp a p e r ad i s c u s s i o na b o u tt h ep r o b l e m o fr o b u s ts t a b i l i t ya n dr o b u s tc o n t r o lf o ru n c e r t a i nf u z z yd e s c r i p t o rs y s t e m s w e r es t r e s s e d t h em a i nr e s u i t si nt h i sd i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s 1 t h eb a c k g r o u n d ，s i g n i f i c a n c ea n ds i t u a t i o no ft h ef u z z yd e s c r i p t o r s y s t e m sw e r ed i s s e r t a t e d ，a n dt h eo r i g i n ，c h a r a c t e r sa n da p p l i c a t i o na r e ao f t h ef u z z yd e s c r i p t o rs y s t e m sw e r ec o m p r e h e n s i v e l ya n a l y z e d 2 t h ep r o b l e m so f s t a b i l i t y f o rc o n t i n u o u sa n dd i s c r e t e f u z z y d e s c r i p t o rs y s t e m sw e r es t u d i e dr e s p e c t i v e l yb y l i n e a rm a t r i x i n e q u a l i t y t h er e l a x e ds t a b i l i t ys u f f i c i e n tc o n d i t i o n sw e r eg i v e n t h en e wc o n d i t i o n s a r en o tc o n s e r v a t i v et h a nt h ee x i s t i n go n e s ，a n dl e a dt ol e s sc o m p u t a t i o n a l r e q u i r e m e n t t h e nt h eh 。c o n t r o l l e r sw i t hs t a t ef e e d b a c kw e r ep r e s e n t e d 3 r o b u s t h 。c o n t r o l f o rc o n t i n u o u su n c e r t a i nf u z z y d e s c r i p t o r s y s t e m sw a se x p l o r e d f i r s to fa l l ，t h em o d e la n dc o n c e p tw e r ep u tf o r w a r d f o rt h eu n c e r t a i nf u z z yd e s c r i p t o rs y s t e m s s e c o n d l y ，r o b u s ts t a b i l i t yo ft h e u n c e r t a i nf u z z y d e s c r i p t o rs y s t e m s w a sd i s c u s s e d f o ra l la d m i s s i b l e p a r a m e t e ru n c e r t a i n t y ，t h e r o b u s t s t a b i l i t y c a nb ee s t i m a t e d b y c o r r e s p o n d i n gl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y l a s t l y ，am e t h o di sp r o p o s e df o r d e s i g n i n gt h eh 。c o n t r o l l e r 4 t h ep r o b l e mo fg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o ls a t i s f i e sh 。d i s t u r b a n c e f o ru n c e r t a i nc o n t i n u o u s f u z z yd e s c r i p t o rs y s t e m sb y l i n e a rm a t r i x i i a b s t r a c t i n e q u a l i t yw a ss t u d i e d 。t h er o b u s th 。g u a r a n t e e dc o s t c o n t r o ll a ww a s d e r i v e d a l lt h ec o n d i t i o n sw e r ee x p r e s s e da sl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t ya n d s i m p l em a t r i xi n e q u a l i t y ，c o n t r o l l e rd e s i g n i n gc a nb ec o n v e r t e dt os o l v i n g p r o t r u d i n gp r o g r a m m i n g k e yw o r d sf u z z yd e s c r i p t o rs y s t e m s ，s t a b i l i t y ，r o b u s tc o n t r o l ，l i n e a r m a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) i i i 广东t 业大学工学硕上学位论文 独创性声明 秉承学校严谨的学风与优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是 我个人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知， 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，不包含本人或其他用途使用过的成果。与我一同 工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明，并 表示了谢意。 本学位论文成果是本人在广东工业大学读书期间在导师的指导下取 得的，论文成果归广东工业大学所有。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任，特此 声明。 5 8 臌字：咱洲 论文作者签字：诱努艿 知3 年5 月2 - 日 第一章绪论 1 1 前言 第一章绪论 t s 模糊系统通过一些模糊规则给出非线性系统的局部线性表示， c a os g 等人在文献 2 】中进一步证明了t s 模糊系统可以以任意精度逼 近r ”的致密集u 上的连续实函数，t s 模糊系统从而成为了研究非线性 系统的一个重要工具。作为t s 模糊系统的推广，文献 3 和 4 】给出了t s 模糊广义系统的定义( 本文只研究基于t s 模糊模型的t s 模糊广义系统， 故下文中简称为模糊广义系统) 。文中t t a n i g u c h i 等人对模糊广义系统 进行了稳定性分析和控制器的设计，采用了增广系统的方法解决了模糊 广义系统的系统矩阵e 的问题，给出了模糊广义系统的基本的分析方法， 并应用线性矩阵不等式研究了其稳定性。之后，关于模糊广义系统的稳 定性分析、控制策略及应用研究取得了一定的成果卜”。文献【5 卜 14 】对 基于t s 模糊模型的模糊广义系统进行了稳定性分析，给出了各种镇定 控制器的设计方法。文献 15 】- 2 2 】分别研究了基于模糊广义系统的鲁棒 日。控制问题，大都基于l m i 方法，在保证闭环系统稳定并满足一定性能 指标的前提下，给出了各种控制器的设计方法。但值得注意的是，现有 模糊广义系统的研究基本上是基于t s 模糊系统模型的推广研究，主要 涉及系统稳定性、日。控制以及保性能控制三个方面问题；尽管模糊广义 系统与正常系统的结构有很大的差别，但针对其控制策略的研究大多是 沿用正常系统中所使用的方法，因此模糊广义系统的控制理论在模型的 构建、系统的结构分析、控制器的设计等方面都有待改进。 1 2 模糊广义系统模型的提出 1 2 1 广义系统 广义系统，又称为奇异系统、微分代数系统或隐式系统，可分为用 广东工业大学工学硕j j 学位论文 微分方程描述的连续系统和用差分方程描述的离散系统两类。它常常表 示为一类动态控制与代数控制相结合的非传统意义下的数学模型，即由 微分或差分方程描述的慢变动态层子系统和代数方程描述的快变静态层 子系统有机组成的多层、多级复杂大系统。 线性时不变广义系统理论是广义系统理论中一个最基本的研究分 支，线性时不变连续广义系统状态方程通常描述如下3 ，： i 戤( ，) = a x ( t ) + b “( f ) 【y ( f ) = c x ( t ) + d u ( t ) 其中，e r “”一般为奇异矩阵，x ( t ) ，u ( t ) 和y ( t ) 分别为适当维数的状态、 输入和输出向量，t 为时间变量。其他为适当维数的定常实矩阵，a 为系 统的状态矩阵( 或称系统矩阵) ，b 为输入矩阵，c 为输出矩阵，d 为直 接转移矩阵。特别地，当r a n k ( e ) = n 时，式( 1 1 ) 表示一个正常的连续线性 时不变系统。 相应的，线性时不变离散广义系统表示为” j 戤o 1 ) = 血( 7 ) + b ”( 7 ( 1 2 ) iy v ) = c x ( t ) + d u ( t ) ，= o ，1 ， 、 广义系统模型存在于社会生产的诸多领域中，例如：电力系统、经 济系统、机器人系统、电子网络和宇航系统等。广义系统已成为处理具 有多目标、多维数、多层次的大规模复杂系统的一个恰当工具，比正常 系统有着更广阔的运用领域。因此，对广义系统理论的研究具有深远的 实际意义。 自从2 0 世纪7 0 年代初r o s e n b r o e kh h 在研究复杂电网络系统中首 次提出广义系统模型心以来，广义系统的研究己从基础向纵深发展，涉 及了从线性到非线性，从连续到离散，从确定性到不确定性，从无时滞 到时滞，从线性二次型最优控制到日，控制和日。控制等各个专题。人们 对广义系统的研究倾注了极大热情，获得了丰富的成果 2 6 - 2p 1 。但由于广 义系统自身的复杂结构与动态特征使得在应用这些方法和策略时，从设 计到实施，都显得有些繁琐与复杂。 1 2 2i - s 模糊系统 经典控制成功与否取决于精确的数学模型和相应的控制算法，大都 采用状态空间法。在实际应用当中，常常出现由于被控过程过于复杂难 2 第一章绪论 以建立数学模型、或过程参数变化太快、太大，任何单一的数学模型都 不能满足要求的情形，在这样的情况下，经典的控制方法失效。 模糊控制正是在这些情况下应运而生的。19 6 5 年，美国控制理论学 家扎德创建了模糊控制集合理论，提出了模糊控制技术”。19 7 4 年，英 国的马丹宁首次将模糊控制技术应用于锅炉和蒸汽机的控制，取得了成 功，开创了工业模糊控制的先河。模糊控制技术是以模糊集合论、模糊 语言变量与模糊逻辑为基础的一种非线性控制方法。在常规控制方法中， 人们用传递函数或者逻辑方程和数学方程精确地描述控制器的输入输出 特性，而在模糊控制器中则使用语言型模糊控制策略来描述模糊控制器 的控制特性。模糊控制策略是对过程操作人员的推理和判断知识加以提 炼后形成的，它是由模糊算子“o r 将单一的“i f t h e n 规则联接在一起 的模糊控制规则。其基本形式为，： r ：i f ( 条件1a n d o r 条件2 ) t h e n ( 结论la n d o r 结论2 ) o r r ，：i f ( 条件1a n d o r 条件2 ) t h e n ( 结论1a n d o r 结论2 ) o r r 。：i f ( 条件1a n d o r 条件2 ) t h e n ( 结论la n d o r 结论2 ) 模糊控制器由模糊化、模糊推理及去模糊化三部分组成，其中的控 制规则即是上文提到的模糊控制策略。 模糊控制可以解决复杂系统的控制问题。当系统为多输入多输出、 时变及滞后系统时，系统的数学模型非常复杂或难以建立，使得不能用 常规控制方法来控制系统。而模糊控制因建立在对过程的语言型经验之 上，不需要精确的数学模型，可用来解决上述问题。不仅如此，模糊控 制也适合于一般控制问题，其控制效果在快速性和鲁棒性等方面都优于 常规控制器。但传统的模糊控制器的控制规则是由专家经验来决定的， 因此其稳定性和鲁棒性等控制性能难以在理论上给予充分的证明。 基于传统的模糊控制的t s 模糊系统正是在这种背景下产生的。19 8 5 年，t a k a g i 和s u g e n o 建立了模糊系统模型，其表达式如下： 广东t 业大学工学硕上学位论文 r ：i ff ( x li sa 1 ，以i sa ) t h e ny = g ( x 1 ，x k ) 其中：y 为输出变量，x 1x ：，x 。为前件变量，4 ，a ：，a 。为具有线性隶属 函数的模糊集。其特点为：系统的条件部分为模糊值，该部分的条件变 量为确定的变量，可以是系统的状态、输出或任意的其它变量；结论部分 为确定值，表示了若干个动态线性系统，可以用状态空间方程描述。 t s 模糊系统模型可以同时处理数据信息和语言信息。语言信息的处 理通过一组“i f t h e n 模糊规则来完成，而作为对系统参数进行合理调节 的外部条件的数据信息，在模糊规则的后件部分中得到处理。模型中， 模糊规则的后件部分给出了控制对象确切的数学描述，为模糊控制的理 论分析提供了方便。 以t s 模糊系统模型表示的模糊逻辑系统在紧集上能以任意精度逼 近一类非线性系统。基于这种模糊系统模型，人们可以将传统线性理论 中的分析和综合方法应用到模糊系统的分析和综合中，也可以对模糊系 统的控制性能给出严格的数学证明，因此这种模糊控制器不再是一种基 于专家经验的控制器，而是具有严格理论支撑的非线性控制器。 近年来，t s 模糊系统的研究与应用受到了广泛的重视小“，稳定性 分析方法和各种控制器的设计方法逐渐成熟起来。 1 2 3 模糊广义系统 考虑到广义系统丰富的实际背景，基于t s 模糊系统模型，t t a n i g u c h i 和k t a n a k a 等人于19 9 9 年提出了模糊广义系统的概念。模糊 广义系统模型是由一组“i f t h e n ”规则给出局部线性表示的非线性系统， 每条模糊规则的后件部分为广义系统形式的数学描述。经过单点模糊化、 乘积推理、中心加权反模糊化方法可将其转化为一个全局模型，这种处 理有利于人们运用经典控制理论方法来研究该系统。 作为t s 模糊系统和广义系统的衍生物，模糊广义系统具备如下特 征。由于模糊广义系统其规则前件是模糊变量，而规则后件的结论是输 入输出线性函数，它以局部线性化为基础，通过模糊建模实现了全局的 非线性，能克服以往模糊模型的高维问题；模糊模型已被证明是通用的 4 笫一章绪论 逼近器，可以以任意精度描述或逼近广泛的一类非线性系统；广义系统 丰富的应用领域亦使得模糊广义系统的运用范围十分广阔。 1 3 模糊广义系统的研究现状 到目前为止，模糊广义系统理论的研究思路大多是借鉴正常模糊系 统的理论，并将其推广和移植到模糊广义系统中，其研究方法主要是状 态空间方法。 状态空间方法( 或称时域方法) ，是对采焉状态空闻描述的模糊广义 系统主要运用矩阵运算和矩阵变换的计算方法。状态空间法刻划问题的 方式简洁直观，所得结果清晰明了，且可设计相应的软件支持丽适宜在 计算机上进行运算求解，因而该方法应用最广，已深入到了模糊广义系 统的分析与综合的方方蕊西。另外，嚣蓊流行的l m i 方法，由于具有能 揭示系统的内部结构且易于计算机辅助设计等优点成为了时域状态空间 的基本研究方法，也是本文所采用的主要方法。 自从t t a n i g u c h i 和k t a n a k a 等人提出模糊广义系统的定义并给出 模糊广义系统的稳定性的基本分析方法以来，模糊广义系统的研究弓l 起 了人们的注意。关于模糊广义系统的稳定性分析，刘囡义，研究了一类模 糊广义系统的二次稳定性与菲线性模糊控制器设计的翔题，给出了模糊 极值子系统的定义，将模糊广义系统的二次稳定性问题转化为其模糊极 值子系统的二次稳定性问题的分析与研究，并剩用模糊极值子系统给出 了模糊广义系统二次稳定的一个充分必要条件。时晓岩 1o - ，等人讨论了 模糊广义系统二次稳定性问题， ! 导出了一个馒系统二次稳定的公共矩阵 存在的必要条件，通过该必要条件可以预选判断公共矩阵是否存在，从 两减少在判断模糊广义系统二次稳定性时的计算量。朱宝彦，张庆灵n 引 等人利用l y a p u n o v 方法，给出了离散模糊广义系统一致正则、因果和稳 定的定义，并研究了离散模糊广义系统的稳定性问题 对于一个实际系统，其动态性能和鲁棒性具有相同的重要性，人们 希望闭环控制系统既具有较好的动态性能，又具有较强的鲁棒性。这是 因为在工程实践中，描述被控对象的数学模型和实际对象之间不可避免 广东工业人学工学硕i ? 学位论文 地存在误差。因此，采用基于精确数学模型的现代控制理论方法所设计 的控制系统往往难以具有所期望的性能，甚至连系统的稳定性都难以得 到保证。鲁棒控制理论结合系统模型参数不确定性和外部扰动不确定性 的考虑，研究系统的鲁棒性能分析和综合问题，弥补了现代控制理论需 要对象精确数学模型的缺陷，使得系统的分析和综合方法更加有效、实 用。 针对模糊广义系统的鲁棒控制策略研究也取得了一些成果。文献 15 】 2 2 】研究了不确定模糊广义系统鲁棒控制的若干问题，大都采用l m i 方法，在保证闭环系统稳定并满足一定性能指标的前提下，给出了各种 控制器的设计方法。如贺爱玲引研究了广义不确定系统的模糊滑模控制 问题，控制结构中采用模糊系统来补偿动态不确定性，利用李亚普诺夫 理论证明了闭环系统的所有状态是全局有界的。由于使用了模糊逻辑切 换，柔化了控制信号，从而削弱了现有滑模控制的高频颤动现象。针对 控制系统中的时滞会导致系统的不稳定和较差的系统性能，朱宝彦，张 庆灵，研究了时滞t s 模糊广义系统的鲁棒稳定性问题、鲁棒镇定性问 题及基于状态反馈的鲁棒日。控制问题，得到了保证闭环系统稳定并满足 一定玑性能指标的充分条件。 对模糊广义系统进行研究还只有不到十年的时间，其研究结果远不 及模糊正常系统的成果那么完善。在已有的模糊广义系统的研究结论中， 大多是采用一个公共的可逆矩阵来解决关于稳定性的分析和各种控制器 的设计等问题，这使得所导出的结果具有一定的保守性；研究内容中涉 及的系统大多是连续模糊广义系统，对离散模糊广义系统少有研究结论； 另外，对人们关注最多的不确定模糊广义系统的鲁棒性能，研究成果也 不是很多。 1 4 全文主要研究工作 本文的研究源于由我导师胡刚教授主持的国家自然科学基金项目 模糊广义系统模型的鲁棒控制策略及在电力系统中应用。基于状态空 间法，智能化表示方法和l m i 等方法，本文对模糊广义系统的结构机理、 6 第一章绪论 稳定性分析、保证鲁棒性和动态性能的鲁棒控制方法的分析与设计等一 系列问题进行了研究，力争建立相对简便、且易于应用的鲁棒控制技术 与调节策略，以丰富模糊广义系统的理论体系，为模糊广义系统的鲁棒 控制问题的研究提供一些新的思路。 本文针对模糊广义系统模型研究了其稳定性和鲁棒稳定性，得到了 降低了保守性的稳定性条件，从而提高了控制器设计的自由度。在此基 础上，讨论了模糊广义系统的日。控制、不确定模糊广义系统的鲁棒日。控 制以及保成本日。控制等问题。最后给出了这些结论的l m i 的表达形式。 具体有以下几部分工作。 1 、模糊广义系统建模策略及其实现方法研究。 系统阐述了广义系统、模糊控制和模糊系统的基础知识，对模糊广 义系统的建模的具体实现方法进行了分析。 2 、模糊广义系统的稳定性分析。 运用状态空间法并结合矩阵的性质讨论了模糊广义系统的稳定性， 探讨了比已有结论有效的、简洁的模糊控制器的设计方法，为模糊广义 系统稳定性问题的研究提供了一个新的思路。 3 、模糊广义系统的日。控制分析。 由于模糊广义系统模型具有脉冲，而使研究受到了限制。这一模型 的特殊情况可以通过加限制条件来解决，使其没有脉冲，从而满足一定 的日。性能指标。本文描述了模糊广义系统的日。控制问题，并得到了一类 模糊广义系统的h 。控制器的设计方法。 4 、不确定模糊广义系统的鲁棒控制特性分析和控制器设计方法研 究。 结合t s 模糊系统理论，采用智能化表示方法和l m i 方法，对基于t s 模糊状态空间模型的模糊广义系统分析了在不确定摄动下的鲁棒控制特 性和不确定性特征；针对在一定控制策略下的鲁棒可控性，建立了可控 性模型，得出了基于l m i 方法的稳定性分析和模糊控制器设计的理论和方 法。同时，研究了模糊广义系统的鲁棒日。控制和日。保成本控制。 广东工业大学t 学硕士学位论文 第二章预备知识和引理 2 1 线性矩阵不等式基础 本小节介绍线性矩阵不等式的定义及可转化成线性矩阵不等式表示 来求解的几个问题。 定义2 1 州具有如下形式的表达式称为一个线性矩阵不等式： p ( x ) = e o + 五互+ + 己 0 ( 2 1 ) 其中，x 1x ：，x 。是m 个实数变量，称为线性矩阵不等式( 2 1 ) 的决策 变量，x = ( x 1x ：，x 。) r r 是由决策变量构成的向量，称为决策向量， 只= 只r r “”，汪o ，1 ，m 是一组给定的实对称矩阵，式( 2 1 ) 中的不等号“ 指的是矩阵p ( x ) 是负定的。 若下式成立 p ( x ) = e o + x 1 置+ + x 。匕0 ( 2 2 ) 则式( 2 2 ) 称为非严格线性矩阵不等式。 由多个线性矩阵不等式a 。( x ) 0 ，a ：( x ) 0 ，a 。 ) 0 构成的一个线性矩 阵不等式系统可以用一个线性矩阵不等式来表示。 即彳i ( z ) o ，a 2 ( z ) 0 ，a 。( 石) 0 同时成立，等价于 a l ( x ) 彳2 ( x ) a 。 ) 0 通常，在控制理论研究中所遇到的二次非线性矩f - 不等式，通过下面 的s c h u r 补引理可以转化为线性矩阵不等式，这也是线性矩阵不等式在控 制理论研究中能得到广泛应用的主要原因之一。 引理2 1 ( s c h u r 补性质) 设p ，m ，q 为适当维数的矩阵 舢对称矩阵瞄小当且仅当 第二章预备知识和引理 q 0 ，p a 坦一1 m r 0 或p 0 ，p m q 一1 m7 0 或p o ，q m 7 1 p 一1 m 0 此结论可推广到非严格线性矩阵不等式。 引理2 2 设p ，m ，q 为适当维数的矩阵 1 觥对称矩阵瞄孙。当且仅当 q 0 ，p m q 。1 m 1 0 2 舢对称矩阵l 二孙。当且仅当 q 0 ，p m o 。1 m r 0 其中q 。1 表示q 的m o o r e p e n r o s e 逆。 2 2m a t l a bl ml 工具箱简介 由于目前许多控制系统分析设计问题中的特殊约束条件均可转化为 一组线性矩阵不等式的可解问题来处理，且考虑到无需参数调节给应用 带来的方便，以线性矩阵不等式为工具来进行研究工作己渐渐成为控制 理论的潮流。m a t l a bl m i 工具箱正是求解一般线性矩阵不等式问题的 一个高性能软件包。由于其面向结构的表示方式，使得各种线性矩阵不 等式能够以自然块矩阵的形式加以描述。一个线性矩阵不等式问题一旦 确定，就可以通过调用适当的线性矩阵不等式求解器来对这个问题进行 数值求解。 线性矩阵不等式变量的定义、描述以及求解步骤在此不做介绍，可以 参考m a t l a bl m i 工具箱的帮助系统。本节仅对三个l m i 求解器作一 简单说明( 其中x 表示决策变量向量，即由矩阵变量x 。，x ：，x 。中的独 立变元构成的向量) 。 1 ) 可行性问题 寻找一个x r ”( 或等价的：具有给定结构的矩阵x 。，彳：，以) ，满足 9 广东工业大学t 学硕十学位论文 线性矩阵不等式系统a ( x ) b ( x ) 。该问题可用求解器f e a s p 来求解。如果 有解则给出矩阵变量的值，由此可得到线性矩阵不等式中的各个变量的 值。 2 ) 具有线性矩阵不等式约束的一个线性目标函数的最小化问题 即在约束条件a ( x ) b ( x ) 下，最小化c t x ，c 为一个行向量，其作用在 于定义决策变量中需要最小化的目标。这时可用求解器m i n c x 来求解。 3 ) 广义特征值的最小化问题 即m i n 旯，使得c ( x ) d ) ，0 口( x ) ，a ( x ) a , b ( x ) 。相应的求解器为g e v p 。 要注意的是，对这类问题，l m i 工具箱在用l m i t e r m 命令来描述不等式 时，条件a ( x ) 船( x ) 的描述应该放在最末来完成，并且在描述过程中应去 掉旯。 2 3 矩阵理论基础 本节介绍与研究相关的矩阵理论基础知识，并将下文要用到的重要的 矩阵不等式归范成引理。 定义2 1 ，合同变换：设矩阵a ，b r “”，若存在可逆矩阵p r “”，使 得b = p r 彳尸，则称矩阵a 和b 合同。对矩阵a 作上述运算称为对a 的合 同变换。 合同变换为等价变换，不改变矩阵的秩及正、负定性。 引理2 3 若a 0 ，且存在p 为行满秩或列满秩矩阵，则有尸7 彳尸 0 使得 r + 彳，p + p ，a 。，使得 互+ 彳z + 尸r 彳乏 0 ，l i , l 2 ，和g 使得 l 互+ 彳7 1 _ t + 厶4 +木 l 五+ 三z a 乃 i o 可不 需萼。 引理2 6 1 给定适当维数的矩阵g ， 关，则不等式 g + u x v r + v x r 【，r 0 与不等式( 2 8 ) 是等价的。 g c r u u r 0 ，g c r v v r 0 。仃r 引理2 7 1 以下两个问题是等价的： 1 ) 存在p = p7 ，使得 - 互刊确幸 o l 互 正j 2 ) 存在p = p r , 厶，l 2f f l g ，使得 l 互一彳r 三；一厶彳 幸幸 i 正一l 2 a五 奎 l 0 l 葺一g 7 1 a 霹g + g 丁一尸i u ，v ，x ，且有u ，v 与x 无 ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 引理2 8 1 给定适当维数的矩阵y ，d 和e ，其中y 是对称矩阵， 则： y + 伽+ e r f r d7 0 ，使得 y + # d d r + 占一m ee 0 ，使 得e7 1 p = p7 1 e o 和矿( x ( f ) ) 一锨r ( f ) x ( ，) 0 成立。 注3 1 ：本文在讨论连续模糊广义系统的稳定性及控制策略时总是假 定系统是一致正则、无脉冲的。 引理3 1 模糊广义系统( 3 5 ) 是渐近稳定的，如果存在公共可逆矩阵 p ，满足： e tp = p te 芝0 a p + p la l o ，i = 1 , 2 ，r 由于模糊广义系统( 3 4 ) 的每个子系统都是线性描述的，在选择全局 控制律时，采用常用的p d c 模糊控制器的设计方法。即首先利用线性系 统理论镇定子系统，得到满足设计要求的局部控制律，最终得到的全局 模糊控制律是子系统控制律的加权组合，模糊控制器和系统具有相同的 模糊推理前件。据此设计的p d c 模糊控制器为： c o n t r o lr u l e ，：i fz 1 ( f ) i sm 1 ，a n d a n dz n ( ，) 括m 州 t h e nu ( t ) = 一e x ( t ) f - 1 , 2 ， 其中f 为局部反馈增益矩阵。用上文所述处理方法可得全局模糊控制器 定义【4 叫川： “( f ) = 一h ，( z ( ，) ) f x ( f ) i = l ( 3 6 ) 基于t s 模糊模型设计控制器的问题，实质上是将整个状态空间划分 广东工业大学工学硕上学位论文 成r 个模糊子空间，在每个模糊子空间中建立局部的线性模型，并对局部 线性模型设计各自的控制器，使得整个系统的控制器变为局部控制器的 加权组合。 由模糊广义系统( 3 4 ) 和模糊控制器( 3 6 ) 组成的闭环模糊广义系统描 述如下： e 2 ( t ) = h ，( z ( f ) ) 嘭( z ( f ) ) ( 彳，一ec ) x ( ，) t = lj = l = 酽-( z ( 嘞g + 2 川z h i 砸m 肜) ( 半f )( 3 7 )，= 1 ，( ， - j 7 ， 其中g i i = a i b l f i 下面给出闭环模糊广义系统稳定的两个基本引理。 引理3 2 闭环模糊广义系统( 3 7 ) 是渐近稳定的，若存在一个公共可 逆矩阵p ，使得 e r p = p r e 0 g ：p + p 7 g f ， o ，f - 1 , 2 ， 华) r p + p r ( ! ! 生三；_ 生) o ( f ，( z ( f ) ) 乃( z ( ，) ) o ) 引理3 2 要求存在一个公共矩阵p ，使得每一个子系统都稳定。这样 的条件过于严格。为了降低保守性，放松的稳定性条件在引理3 3 中给出。 引理3 3 闭环模糊广义系统( 3 7 ) 是渐近稳定的，若存在一个公共可 逆矩阵p ，半正定矩阵m ，使得 e r p ：p7 e 0 g ：p + p 7 g 。+ ( s 一1 ) m o ，f = 1 , 2 ， 华归+ p r 华m o ( 吲g 懈蝴相) o ) 其中s 为触发的模糊规则数。 引理3 3 对未触发的模糊子空间可不予以考虑，这降低了稳定性条件 的复杂性。且由引理3 3 的条件易知，当矩阵m = o 时，引理3 3 退化为 引理3 2 。 1 6 第三章模糊广义系统稳定性分析 3 2 3 放松的稳定性条件 本节在引理3 2 及引理3 3 的基础上，讨论了更为自由的稳定性条件 并给出了该条件的l m i 形式。 定理3 1 若存在公共可逆矩阵p 和q ，满足 e7 p ：p r e 0( 3 8 ) g l t f p + 尸7 g ， q j ，i = 1 , 2 ， ( 3 9 ) ( 毕) 饥以华勺 岛，f 扫 ( 3 1o ) o = q 1 1q 1 2 q 1 2q 2 2 q 1 ，q 2 ， q l ， q 2 ， ： q ， 一甜( 3 11 ) 则模糊广义系统( 3 7 ) 是渐近稳定的。 证明选取l y a p u n o v 函数为y ( x ( ，) ) = x t ( f ) e 丁p x ( t ) ，p 为一可逆矩阵， v ( x ( t ) ) 沿式( 3 7 ) 对时间t 的导数为： v ( x ) = ( 臌) 7p x + x 。尸。( 戤) ：主力妣) g j p + p r g ) x + 2 纠( 华) r p + p r 臣导m 当条件( 3 9 ) ( 3 11 ) 成立时， 矿c x ， 圭i = l 而? x r q ，x + 2 i j ；r 向。 ，x r q 。x = 二 丁 薹：! j ；耋 i i 二 l ，1l1厂lz ，l 一口y 办? x7 1 x 一0 7 f r x _ _ t = l 故由定义3 3 ，在满足条件( 3 8 ) ( 3 1 1 ) 的情况下，模糊广义系统( 3 7 ) 是稳 定的。 证毕。 注3 2 ：除有特别说明外，为了书写简便起见，本文在证明过程中用 1 7 广东t 业大学t 学硕士学位论文 h ，代替办：( z ( f ) ) ，x 代替x ( t ) 。 定理3 1 中条件不等式并非线性矩阵不等式形式，定理3 2 给出了对 应的l m i 形式的条件。 定理3 2 若存在矩阵l ，f ，= 1 , 2 ，和公共可逆矩阵x ，满足 x r e r = e x 0 ( 3 12 ) x 7 彳- + 彳，x b , m ，一m 彰 r ，f = 1 , 2 ， ( 3 13 ) x t + a i x + x t 墨+ a j x m jb ：一b l mj m jb ：一b j m i 2 y 口，i j r ( 3 14 ) y = i 。i ： k ： k ： k ，e ， x ， e ， ： 匕 o 和 可逆矩阵p ，使得a v ( x ( t ) ) = v ( x ( t + 1 ) ) 一y ( x ( f ) ) 0 ，其中y ( x ( f ) ) = x t ( ，) e r p e x ( t ) ， 那么系统( 3 17 ) 是渐近稳定的。 定理3 3 基于模糊控制器( 3 6 ) 的离散模糊广义系统( 3 17 ) 是渐近稳 定的，若存在可逆矩阵p ，满足 e r 朋0 ( 3 18 ) g , r p g “一e7 1 饱 o ，扛1 , 2 ， ( 3 19 ) 华) r 尸( 二! 生 ；_ 生) _ e r p e 0 ( f ，啊( z ( f ) ) 乃，( z ( f ) ) o ) ( 3 2 0 ) 其邙，g h = a l b t f | 定理3 4 基于模糊控制器( 3 6 ) 的离散模糊广义系统( 3 17 ) 是渐近稳 1 9 广东工业大学工学硕十学位论文 定的，若存在一个公共可逆矩阵p ，半正定矩阵m ，使得 e r 饱0 ( 3 2 1 ) g j j p g 。一e7 p e + ( s 一1 ) m o ，f _ 1 , 2 ， ( 3 2 2 ) ( 掣卑) r p 口导m 丁雎一m 0 ( 吲g 忡岘嘞0 ) ( 3 2 3 ) 其中s 为触发的模糊规则数。 在此，仅给出定理3 5 的证明，定理3 3 和定理3 4 的证明可参看定 理3 5 的证明过程。 定理3 5 若存在公共可逆矩阵p 和g ，满足 e tp e 0 起n p 入j e tp e q ”i = 1 , 2 ，r 钙尸人f e7 1 p e 鳞，i ， o = q 1 ， g ，q ，q ， 一甜 ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) 其中，a 。= g “f 1 ，2 ，) ，人扩= 里学( f ，) ，则离散模糊广义系统( 3 1 7 ) 是渐近稳定的。 证明选取l y a p u n o v 函数为矿 ( ，) ) = x t ( r ) e7 1 p e x ( t ) ，则 a v = v ( x ( t + 1 ) ) 一y ( x o ) ) = x t p + 1 ) e r p e x ( t + 1 ) 一x to ) e 7 1 p e x ( t ) = ( z ( f ) ) 办，( z ( f ) ) g 。x ( f ) 7 p 办。( z ( ，) ) 办，( z ( f ) ) g x o ) 一x7 1 ( f ) e 7 p e x ( t ) =x 7 1 ( f ) 【h , ( z ( t ) ) h s ( z ( t ) ) ( g r p g o e t p e ) x ( t ) = x ，( f ) h 2 ( z ( t ) ) ( g , v , p g f l - e rp e ) x ( t ) + 2 以州。暑柞州f ) ) 学归( 半m 龇) 第三章模糊广义系统稳定性分析 x r 。， 三：三三： 7 薹：；兰 ：三三： x 。，一口喜办；c z q ，x r 。，x 。， 一o z7 1 0 ) x o ) 0 定理3 6 离散模糊广义系统( 3 17 ) 是渐近稳定的，若存在公共可逆矩 阵p 和绣，满足如下条件： p 戈忱篓l 旭h z ， 2 9 ， p 葛忱筹l 地州， 3 。， 9 = g 。q l ： q 1 29 2 2 q 1 ，q ， g ， 鲛， ： q ， 一o d 其中，a l ，吲，2 ，一a = 华( f 0 ，在零初始条件下，闭环系统对所有的 c o ( t ) l 2 ( o ，o o ；r f ) ，满足：愀佩 0 ， s o y ( t ) 2d t 0 ， y - , f l l y ( t ) 1 2d t y 鄹刮1 2 d t v 国( f ) ，x ( 0 ) = 0 ( 4 3 ) 考虑h a m i1to n - j a c o b y is