（概率论与数理统计专业论文）基于哈阵的map最优投影设计.pdf

南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明: 所呈交的 学位论文， 是本人在导师指导下， 进行 研究工作所取得的成果。 除文中已 经注明引用的内容外， 本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、 己公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的 研究工作做出贡献的其他个人和集 体， 均已 在文中以明确方式标明。 本学位论文原创性声明的 法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名: 2x 0 7年 ，月2 凡( d ) , w h e r e f k ( d ) =( f k 1 , ， 爪) t h e m i n i m u m ga b e r r a t i o n c r i t e r i o n i n t r o d u ce d i n d e n g a n d t a n g ( 1 9 9 9 ) is d e fi n e d a s f o l l o w s . f o r t w o d e s i g n s d 1 a n d几， l e t f i ( d 1 ) a n d f i ( d 2 ) b e t h e i t h e n t r i e s o f f ( d 1 ) a n d f ( d 2 ) , r e s p e c t i v e l y , w h e r e =1 , . . . ， ( 。一2 ) t . l e t l b e t h e s m a l l e s t i n t e g e r s u c h t h a t f t ( d 1 ) 5 4 fi ( d 2 ) . i f f l ( d i ) f ( d 2 ) , t h e n d 1 h a s l e s s g a b e r r a t i o n t h a n d 2 . i f n o d e s i g n h a s l e s s g a b e r r a t i o n t h a n d 1 , t h e n d 1 h a s mi nimum g a be r r a t i o n . 2 . 3 mi n i mu m g2 ab e r r a t i o n cr i t e r i o n t a n g a n d d e n g ( 1 9 9 9 ) p r o p o s e d a r e l a x e d v e r s i o n o f m i n i m u m g a b e r r a t i o n , c a ll e d m i n i m u m仇 a b e r r a t i o n . l e t b k ( d ) = 。 一 ， l -+ ii t (s) i j k ( a ) 2 . 一 i n t e r m o f t h e c o n fo u n d in g fr e q u e n c y v e c to r , w e h a v e b k (d ) =鲜= 1 f kj i - 0一1 ) / t 2 . f o r t w o d e s i g n s d 1 a n d d 2 , l e t r b e t h e s m a ll e s t i n t e g e r s u c h t h a t b * ( d 1 ) 54 b r ( d 2 ) . i f b . ( d 1 ) b r ( d 2 ) , d 1 h a s l e s s g 2 a b e r r a t i o n t h a n d 2 . i f n o d e s i g n h a s l e s s 偏 a b e r r a t i o n t h a n d 1 , t h e n d 1 h a s m i n i m u m汤 a b e r r a t i o n . f o r r e g u l a r d e s i g n s , b o t h g a b e r r a t i o n a n d汤 a b e r r a t i o n c r i t e r i a r e d u c e t o m i n i m u m a b e r r a t i o n . t h e c r i t e r i o n le a d s t o d e s i g n s t h a t m i n i m iz e t h e c o n t a m i n a t i o n o f t w o- f a c t o r i n t e r a c t i o n s o n t h e e s t i ma t i o n o f ma i n e ffe c t s . th i s r e l a xe d v a r i a n t h a s a n i m p o rt a n t p r a c t i c a l a d v a n t a g e o v e r t h e o r i g i n a l m i n i m u m ga b e r r a t i o n i n t h a t i t is c o m p u t a t i o n a ll y m u c h e a s i e r , a u s e f u l p r o p e r t y w h e n w e d e a l w i t h l a r g e d e s ig n s . s o m e c o m me n t s o n t h e c o n s is t e n c y o f t h e t w o c r i t e r i a o f m i n i m u m g - a b e r r a t io n a n d mi n i m u m 汤- a b e r r a t i o n a r e i n o r d e r . b e c a u s e g - a b e r r a t i o n c o m p a r e s t h e fr e q u e n c i e s o f w o r d s w i t h d i s t i n c t w o r d l e n g t h s w h e r e a s汤- a b e r r a t i o n s u m m a r i z e s t h e s e w o r d s i n t o a n u m b e r t h a t r e p r e s e n t s t h e o v e r a l l a l i a s i n g . s o , m i n - i m u m ga b e r r a t i o n g e n e r a l ly h a s b e t t e r c l a s s i fi c a t i o n p o w e r t h a n m i n i m u m 姚- a b e r r a t i o n . we h a v e f o u n d t h a t m i n i m u m ga b e r r a t io n d e s i g n s a l s o h a v e m i n i m u m g 2 - a b e r r a t i o n ( t h e r e v e r s e i s n o t t r u e a n d a c t u a ll y w e o f t e n h a v e m o r e t h a n o n e m i n i m u m g 2 - a b e r r a t i o n d e s i g n ) . w e c a n s e e t h a t fr o m t h e a rt i c l e ( d e n g a n d t a n g 2 0 0 2 ) . d e s i g n f 3 : 1 6 , 8 凡 : 1 6 , 8 g 2 ( b 3 , b 4 ) t y p e c o l u m n s 1 6 .9 . 1 ( 0 , 1 6 ) ( 1 4 , 0 ) 1 ( 4 , 1 4 ) 1 1 1 2 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 . 9 . 2 ( 0 , 2 0 ) ( 6 , 2 4 ) 3 ( 5 ,1 2 ) 1 1 1 2 3 4 5 8 1 0 1 1 1 2 1 3 1 6 . 9 . 3 ( 0 , 2 2 ) ( 2 ,3 6 ) 5 ( 5 .5 , 1 1 ) v 4 5 6 7 8 9 1 0 1 4 1 5 1 6 .9 . 4 ( 0 , 2 4 ) ( 2 , 3 2 ) 1 2 ( 6 ,1 0 ) v 4 5 6 7 8 9 1 1 1 2 1 4 1 6 . 9 . 5 ( 0 , 2 4 ) ( 3 ,2 4 ) 7 ( 6 , 9 ) 1 1 1 2 4 7 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 .9 . 5 8 ( 4 , 0 ) ( 1 4 , 0 ) 1 ( 4 , 1 4 ) 1 1 2 3 4 6 7 8 9 1 2 1 6 .9 . 7 0 ( 6 , 0 ) ( 9 , 0 ) 7 ( 6 , 9 ) 1 1 2 3 4 5 8 9 1 0 1 1 1 6 .9 . 7 1 ( 6 , 0 ) ( 1 0 , 0 ) 1 2 ( 6 , 1 0 ) 1 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 6 .9 . 7 2 ( 7 , 0 ) ( 9 , 0 ) 5 5 ( 7 ,9 ) 1 1 2 3 7 9 1 0 1 1 1 2 1 5 1 6 . 9 . 7 4 ( 8 ,0 ) ( 1 0 , 0 ) 7 2 ( 8 , 1 0 ) 1 1 2 3 4 5 7 1 0 1 2 1 5 f o r e x a m p l e , 1 6 .9 . 1 a n d 1 6 . 9 . 5 8 h a v e t h e s a m e v a l u e s fr o m t h e 汤一 a b e r r a t i o n , b u t 1 6 . 9 . 1 i s m o r e b e t t e r t h a n 1 6 . 9 . 5 8 fr o m t h e g - a b e r r a t i o n . i n g e n e r al , w e e x p e c t t h a t r a n k i n g s o f a l i s t o f d e s i g n s , b a s e d o n t h e t w o a b e r r a t i o n c r i t e r i a , s h o u l d t e n d t o b e c o n s is t e n t w i t h e a c h o t h e r . n e v e rt h e l e s s , t h e r e a r e e x a m p l e s f o r w h i c h t h e t w o c r i t e r i a p r o d u c e c o n f li c t i n g r e s u l t s ( t a n g a n d d e n g 1 9 9 9 ) . t h e t w o d e s i g n s d l , d 2 h a v e c o n f o u n d i n g fr e q u e n c y v e c t o r s f ( d j ) = ( 3 , 0 , 1 8 , 0 ) 3 ; ( 5 , 0 , 1 8 , 0 ) 4 ; 二 a n d f ( d 2 ) 二【 ( 4 , 0 , 0 , 0 ) 3 ; ( 1 4 , 0 , 0 , 0 ) 4 ; . . . , r e s p e c t i v e l y , w h e r e t h e s u b s c r i p t k f o r k 二 3 , 4 d e n o t e s t h e g r o u p o f fr e q u e n c i e s g i v e n勿 k c o l u m n s . c l e a r l y , d l h a s l e s s g - a b e r r a t i o n t h a n场. h o w e v e r , o n e c a n e a s il y c h e c k t h a t d 2 h a s l e s s g 2 - a b e r r a t i o n t h a n dl . c o m m o n s e n s e w o u l d s u g g e s t t h a t d 2 i s b e t t e r t h a n d l b e c a u s e 场 o n l y h a s o n e m o r e c o m b i n a t i o n o f t h r e e c o l u m n s h a v i n g j 3 = 1 6 t h a n d l b u t 马 h a s 1 8 m o r e c o m b i n a t i o n s o f t h r e e c o l u m n s h a v i n g j 4 =8 t h a n几. i n a d d i t i o n t o t h e e x a mp l e , w e a ls o h a v e f o u n d t h e i r r e s p e c t i v e r a n k i n g r e s u l t s a r e n o t c o n s i s t e n t fr o m t h e t a b l e . 9 2 . 4 mi n i mu m mo me n t ab e r r a t i o n c r i t e r i o n c o m p u t a t i o n i s a n i mp o rt a n t i s s u e f o r b o t h n o n r e g u l a r a n d s u p e r s a t u r a t e d d e s i g n s s i n c e t h e r e a r e m a n y p o t e n t i al d e s i g n s a n d t h e y d o n o t h a v e a u n i fi e d d e - s c r i p t i o n . t h e g m a c r i t e r i o n h a s a m a j o r d r a w b a c k i n t h i s r e g a r d . i t i s e x p e n s i v e t o c o m p u t e , b e c a u s e i t s d e f i n i t i o n i n v o l v e s a c o m p li c a t e d c o d i n g o f f a c t o r i a l e ff e c t s t h a t i n c l u d e a l l m a i n e ff e c t s a n d i n t e r a c t i o n s . a n d n e w c r i t e r i o n ( x u , 2 0 0 3 ) i s c o n c e p - t u a l l y s i m p l e a n d c o mp u t a t i o n a ll y c h e a p . t h e k e y i n n o v a t i o n is t o i n v e s t i g a t e t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n r u n s ( i .e . , r o w s ) , i n s t e a d o f s t u d y i n g t h e r e l a t i o n s h ip b e t w e e n f a c t o r s ( i . e . , c o l u m n s ) . t h e n e w c r i t e r i o n , c a l l e d m i n i m 。 m o m e n t a b e r r a t i o n ， 二 q u e n t i a ll y mi n i m i z e s t h e p o w e r m o me n t s o f t h e n u m b e r o f c o i n c i d e n c e s a m o n g r u n s . a v o i d i n g t h e c o m p l e x c o d i n g o f f a c t o r i a l e ff e c t s , i t o ff e r s t r e m e n d o u s s a v i n g s i n c o m p u t a t i o nt h e g m a c r i t e r i o n . f o r a n ( n , s ) - d e s i g n d=阮 n x n a n d a p o s i t i v e i n t e g e r t , d e fi n e t h e t t h p o w e r m o m e n t t o b e k t( d ) =n ( n 一 1 )/ 2 - 1 e 1 i j v j ,j ( d ) t, w h e r e b ij ( d ) = 艺 a (r ik , r ik ) ( 2 . 3 ) 七 = 1 is t h e n u m b e r o f c o i n c i d e n c e s b e t w e e n t h e i t h a n d j t h r o w s a n d b ( 二 ， ， ) i s t h e k r o- n e c k e r d e l t a f u n c t i o n , e q u a l t o 1 迁x=u a n d 0 o t h e r w i s e . i t i s i m p o rt a n t t o n o t e t h a t n 一 凡( d ) is k n o w n a s t h e h a m m i n g d i s t a n c e b e t w e e n t h e i t h a n d j t h r o w s i n a l g e b r a i c c o d i n g t h e o ry. t h e mi n i mu m m o me n t a b e r r a t i o n c r it e r io n i s t o s e q u e n t i a ll y mi n i m i z e t h e p o w e r m o m e n t s . f o r t w o ( n , s ) - d e s i g n s d l a n d 几， d l i s s a i d t o h a v e l e s s m o m e n t a b e r r a t i o n t h a n d 2 i f t h e r e e x i s t s a t , 1 t n , s u c h t h a t k t ( d i ) k t ( d 2 ) a n d k i ( d i ) =k i ( d 2 ) f o r =1 , , t 一1 . d l i s s a i d t o h a v e m i n i m 。 二。 o m e n t a b e r r a t i o n i f t h e r e i s n o o t h e r d e s i g n w i t h l e s s mo m e n t a b e r r a t i o n t h a n dl . t h e m i n i mu m m o m e n t a b e r r a t i o n h a s a g e o m e t r i c a l i n t e 印r e t a t i o n . t h e p o w e r m o m e n t s m e a s u r e t h e s i m il a r i t y a m o n g r u n s ( i .e . , r o w s ) . t h e f i r s t a n d s e c o n d p o w e r mo me n t s m e a s u r e t h e a v e r a g e a n d v a r i a n c e o f t h e s i m i l a r i t y a m o n g r u n s . mi n i m iz i n g t h e p o w e r mo m e n t s ma k e s r u n s b e a s d is s i mi l a r a s p o s s i b l e . t h e p o w e r mo m e n t s a l s o m e a s u r e t h e o rt h o g o n a l i t y a m o n g c o l u m n s . a s s h o w n i n t h e p a p e r ( x u , 2 0 0 3 ) , t h e p o w e r m o m e n t s a r e l i n e a r c o m b i n a t i o n s o f t h e g e n - e r a l i z e d w o r d l e n g t h p a t t e r n s . t h e r e f o r e , m i n i m u m m o m e n t a b e r r a t i o n i s in d e e d e q u i v a l e n t t o g ma a l t h o u g h t h e y a r e q u i t e d i ff e r e n t 勿 d e fi n i t i o n . a s a c o n s e - q u e n c e , t h e f o r m e r c a n b e u s e d a s a s u r r o g a t e f o r t h e l a t t e r , w h i c h i s s t a t i s t i c a l l y w e ll j u s t i fi e d . a s w e c a n s e e , t h e m i n i m u m m o m e n t a b e r r a t i o n h a s t r e m e n d o u s c o m p u t a t i o n al a d v a n t a g e s o v e r t h e g m a . t h e c o m p l e xi t y o f c o m p u t i n g t h e g e n e r a l i z e d w o r d l e n g t h p a t t e r n i s o ( n s 0 ) . t h e e x p o n e n t i a l o r d e r i m p li e s t h a t i t is p r o h i b i t i v e t o i m p l e - m e n t g m a i n p r a c t i c e . i n c o n t r a s t , t h e c o m p l e x i t y o f c o m p u t i n g t h e fi r s t n p o w e r m o m e n t s i s o ( n z n z ) , w h i c h i s m u c h l e s s t h a n o ( n s ) i f n is l a r g e 写 2 . 5 mo m e n t a b e r r a t i o n p r o j e c t i o n c r i t e r i o n a d e s i g n o f n r u n s a n d m f a c t o r s i s r e p r e s e n t e d勿 a n n x m m a t r i x , w h e r e e a c h r a w c o r r e s p o n d s t o a r u n ( i . e . , t r e a t m e n t ) a n d e a c h c o l u m n c o r r e s p o n d s t o a f a c t o r . a d e s i g n h a s s l e v e l s i f e a c h c o l u m n t a k e s o n a d i ff e r e n t v a l u e s . f o r a n n x m d e s i g n d a n d a p o s i t i v e i n t e g e r t , d e fi n e t h e t t h p o w e r m o m e n t a s k t (d ) =e j ij ( d ) t ( 2 . 4 ) 1 i j n w h e r e 凡( 司i s t h e n u m b e r o f c o i n c i d e n c e s b e t w e e n t h e i t h a n d j t h r o w s . f o r t w o r o w v e c t o r s ( 二 ; ， ， 二 司 a n d ( y 1 , ， y _ ) , t h e n u m b e r o f c o i n c i d e n c e s i s t h e n u m b e r o f i s s u c h t h a t x i =y i . t h e p o w e r m o m e n t s m e a s u r e t h e s i m i la r i t y a m o n g r u n s ( i .e . , r o w s ) . t h e fi r s t a n d s e c o n d p o w e r m o m e n t s m e a s u r e t h e a v e r a g e a n d v a r i a n c e o f t h e s i mi l a r i t y a m o n g r u n s . mi n i m i z i n g t h e p o w e r mo m e n t s m a k e s r u n s a s d i s s i mi l a r a s p o s s i b l e . t h e r e - f o r e , g o o d d e s i g n s s h o u l d h a v e s ma ll p o w e r m o m e n t s . t h i s l e a d s t o t h e m i n i m u m m o m e n t a b e r r a t i o n c r i t e r i o n ( x u 2 0 0 3 ) , w h i c h i s u s e d t o s e q u e n t i a ll y m i nim iz e t h e p o w e r m o m e n t s k 1 , k 2 , . i t i s i m p o rt a n t t o n o t e t h e c o n n e c t i o n b e t w e e n d e s i g n s i n s t a t i s t i c s a n d c o d e s i n c o d i n g t h e o ry . ( f o r a n i n t r o d u c t i o n a n d a p p li c a t i o n s t o o a s , s e e h e d a y a t e t a l . 1 9 9 9 , c h a p . ，.) t h e h a m m i n g d is t a n c e b e t w e e n a p a i r o f ，i s t h e n u m b e r o f p l a c e s w h e r e t h e y d i ff e r . l e t h ij ( d ) b e t h e h a m m i n g d i s t a n c e b e t w e e n t h e i t h a n d j t h r o w s . e v i d e n t l y , h i j ( d ) =”一b i , ( d ) . l e t b k ( d ) b e t h e n u m b e r o f p a i r s o f r o w s o f d s u c h t h a t t h e i r h a m m i n g d i s t a n c e i s e q u a l t o k , t h a t is , 凡( d ) = 1 0 1 7 ) : h i i ( d ) =k , i i j x . . we w o u l d s e q u e n t i a ll y c o m p a r e t h e fr e q u e n c y o f t h e c o m p o n e n t s a n d p r e f e r t h e o n e t h a t m i n - i m i z e s t h e fr e q u e n c y o f t h e l a r g e s t v a l u e . f o r c o n v e n i e n c e , w e w r i t e fg i f t h e r e e xi s t s a n i n d e x i ( 1 c ) s u c h t h a t f ( 二 ) g ( x . ) a n d f ( x j ) 二g ( x j ) f o r a ll j . f o r t w o n x r n d e s i g n s d l a n d 内， s u p p o s e t h a t p i s t h e s m a ll e s t i n t e g e r s u c h t h a t t h e p - d i m e n s i o n a l k - v a l u e d i s t r i b u t i o n s a r e d iff e r e n t , t h a t i s , 凡( d i ) 54凡( d 2 ) . w e s a y t h a t d l h a s l e s s m a p t h a n d 2 i f f p ( d l ) 0 ) . w e t h u s d e s i r e a d e s i g n t o h a v e a m i n i m u m v a l u e f o r s . u n d e r t h e e q u a l - o c c u r r e n c e a s s u m p t i o n , s , j 二n ( m o d 4 ) - n a m e l y , t h a t t h e s m a ll e s t ! =is a p o s s i b l e a r e 0 , 1 , 2 , a n d 1 for n =_ 0 , 1 , 2 , a n d 3 ( m o d 4 ) . l i n ( 1 9 9 3 ) c o n s i d e r e d t h e s u b m o d e l t h a t c o n t a i n s o n l y t h e p ( ivviviiinivllinivvivviilniivviiini 0 ,0 ,0 , 1 0 ,0 , 1 ,0 0 , 1 ,0 ,0 0 ,0 ,0 ,4 0 ,0 ,0 ,4 0 ,0 , 1 ,3 0 ,0 , 1 ,3 0,00,00,00,00,0 ):本 ,0 ,0 ,0 , 0 , 0 ,0 ,0 ,0 , 0 , 1 ,0 ,0 ,0 , 1 , 0 ,0 ,0 , 1 , 0 , 0 ,0 ,0 ,0 , 0 , 0 ,0 ,0 ,0 , 0 , 1 ,0 ,0 ,0 , 2 , 0 ,0 ,0 ,1 , 1 , 0 ,3 ,0 ,0 , 2 , 0 ,0 ) : 12).91.61肋川粼州洲川周 ，0，0，0，0，)，1，0，2，2)，3，0，2，4)，4，0，2，2)，9，0，0，6，0，0，0，0，4，0，4，4，9，0，4，1010，0，4，80，0，0，0，:12，0，8，8 队阳角球w川队低0，(0，(0，0，(0，( 21，12，l0，0，:，12)，1l16，8，j，0，j4，22，28，3谜，240，24，46，3)，0， 徽黝黝黝价耀0，l44，144，0，( 1 2 3 1 3 6 1 8 0 n45 564850 凡dn q山八乙j叼 282440 252080 0，众0，认0，0，0，认 1 5 .3 . 1 1 5 .3 .2 1 5 .3 . 3 1 5 .4 . 1 1 5 .4 .2 1 5 .4 .3 1 5 滩 滩 1 5 .5 . 1 1 5 .5 .2 1 5 .5 .3 1 5 .5 滩 1 5 .5 . 7 1 5 .6 .1 1 5 .6 . 2 1 5 .6 .3 1 5 .6 . 4 1 5 .6 . 5 1 5 .7 . 1 1 5 .7 . 2 1 5 .7 . 3 1 5 .7 . 4 1 5 . 7 . 1 6 1 5 名注 1 5 .8 .2 1 5 .8 . 3 1 5 .8 .4 1 5 .8 .9 1 5 .9 .1 1 5 .9 . 2 1 5 .9 .3 1 5 . 1 0 注 1 5 . 1 0 . 2 1 5 . 1 0 .3 1 5 . 1 0 .4 1 5 . 1 0 . 5 1 5 . 1 1 注 1 5 . 1 1 . 2 1 5 注1 .3 1 5 . 1 1 . 5 1 5 . 1 2 注 1 5 . 1 2 . 2 1 5 . 1 2 .3 1 5 . 1 2 . 4 1 5 . 1 2 . 5 1 5 . 1 3 注 1 5 . 1 3 . 2 1 5 . 1 3 . 3 1 5 .1 3 . 1 0 1 5 . 1 3 . 1 8 1 5 . 1 4 . 1 1 5 . 1 4 . 2 1 5 . 1 4 . 3 1 5 . 1 4 . 8 1 5 . 1 4 . 1 0 0 , 1 2 5 , 9 ,1 2 0 , 0 , 1 8 0 , 1 6 州川橄煞筋徽画洲，117，l17，l17，1l7，156，l56，l56脚，l55，l98，204，204，2l6咧，2