（应用数学专业论文）子群的正规指数、子群的s正规性对有限群结构的影响.pdf

子群的正规指数、子群的8 一正规性对有限群结构的影响 摘要 摘要 设g 是有限群，h g ，m 日g ，称i m m n 醌- l 为子群日在g 中的 正规指数，如果肘满足 ( 1 ) g = m 日； ( 2 ) 若另有k 司g ，使得g = k h ，那么i k k n h a i i m mn i 日在g 中的正规指数记作矿( g ：h ) 群g 的一个子群日称为在g 中s 一正规，如果存在g 的一个次正规子 群k ，使得g = h k ，且h a k 凰g ，其中h s o 是包含在日中的g 的最 大次正规子群 这个工作主要有两个内容= 1 、利用2 极大子群，s y l o w 子群的正规指数的数论性质得到了有限群 可解、p 一可解，p 一幂零的一些结果 2 、利用s y l o w 子群的正规化子的s 一正规性给出了有限群可解的一些充 分条件 关键词。正规指数，s 一正规，可解群，p 一幂零群 作者：殷霞 指导教师；黎先华教授 t h ei n f l u e n c eo fn o r m a li n d e xa n ds - n o r m a l i t yo fs u b g r o u p s a b s t r a c t t h ei n f l u e n c eo fn o r m a li n d e xa n ds - n o r m a l i t yo fs u b g r o u p s o nt h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p s a b s t r a c t l e t 日b eap r o p e rs u b g r o u po faf i n i t eg r o u pg ，mi ss tn o r m a ls u b g r o u po fg ， w ec a l li m m o lt ob et h en o r m a li n d e xo f hi ng ，i f ms a t i s f y i n g ( 1 ) g = m h ； ( 2 ) i f k 司ga n dg = k 日，t h e nl k k n h a i i m m a 日舀1 w ew r i t e 矿( g ：h ) f o r t h en o r m a l i n d e x o f hi n g as u b g r o u pho faf i n i t eg r o u pgi sc a l l e ds - n o r m a li ng ，i ft h e r ee x i s t sas u b n o r - m a ls u b g r o u pko fgs u c ht h a tg = 日a n d hnk l i s a ，w h e r eh s gi st h el a r g e s t s u b n o r m a ls u b g r o u po fgw h i c hi sc o n t a i n e di nh t h em a i nr e s u l t so ft h i sp a p e ra sf o l i o w ： ( 1 ) w eo b t a i nb o r n er e s u l t so ns o l v a b i l i t y , p - s o l v a b i l i t ya n dp - n i l p o t e n c yo f 缸i t e g r o u p sb yt h en u m b e rt h e o r yp r o p e r t yo fn o r m a li n d e xo f2 - m a x i m a ls u b g r o u p sa n d s y l o ws u b g r o u p s ( 2 ) w eo b t a i ns o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ns o l v a b i l i t yo ff i n i t eg r o u p sb yt h e s - n o r m a l i t yo fs y l o wn o r m a l i z e r s k e y w o r d s ：n o r m a li n d e x ，$ - - n o r m a l i t y , s o l v a b l eg r o u p ，p - n i l p o t e n tg r o u p i i w r i t t e nb yy i nx i a s u p e r v i s e db yp r o f l ix i a n h u a 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权的声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不含其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏 州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作 出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本 声明的法律责任。 研究生签名： 墼宣 日 期：丝挈矗墨皇 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论 文合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论 文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的 保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的 全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名： 导师签名： 日期；塑! 叠! 墨兰旦 日 期：兰! ! 垒圭扛掏。占睦 子群的正规指数、子群的s 一正规性对有限群结构的影响 引言 引言 从子群出发来研究群的结构，是研究有限群的结构的一个基本方法极大 子群作为一类特殊的子群，与有限群的结构有着密切的关系例如，h u p p e r t 关于超可解群的著名定理；在2 0 0 1 年和2 0 0 4 年，黎先华教授先后证明单群 被它的极大子群的阶集合完全确定，给出了极大子群的指数集是单群的极 大子群指数集的子集的群的分类和结构1 9 5 9 年，w e d e s k i n s 在【1 】中定义 了极大子群的完备和正规指数的概念设m 是群g 的一个极大子群，子群 ( 了叫做m 的个完备，如果c 羞m ，而c 的g 不变正规子群均在m 中完 备c 的g 不变正规子群之积记为k ( 研，而m 在g 中的正规指数指的是m 的正规完备g 的商群c k ( o ) 的阶，记作吁( g ：m ) = i c k ( c ) i w e d e s k i m s 证明：群g 可解当且仅当对g 的每个极大子群m 有田岭：m ) = 眵：m j 极大子群的正规指数是指数概念的基础上发展起来的一个概念，从这个 概念出发，一些学者对极大子群的正规指数的数论性质对群的结构的影响进 行了长期的研究，得到了一些好结果如，j c b e i d l e m a n ，a e s p e n c e r ( j 2 ) ， m p m u k h e r j e e r 和p b h a t t a c h a r y a ( 3 1 、f 4 】) 的工作n p m u k h e r j e e r 和p b h a t t a c h a r y a 在【3 】中改进了w e d e s k i n s 的结果。群g 可解当且仅当对 g 的每个有合数指数的极大子群肘有，7 ( g ：m ) = i g ：m i 进一步他们 又在【4 】中证明t 群g 可解当且仅当对于g 的每个极大子群m = - - p ， 叼( g ：m ) = l g ：m ! 这里p 是i g j 的最大素因子，岛= m ：m g ，i g ：m l 是合数且l g ：m i ，= 1 a b a l l b m b o l i n c h 鹤( 【5 】) 及我国学者郭秀云( f 6 1 ) 、 王品超( 吲) 都有这方面的工作 用s y l o w 子群的正规化子的性质来研究群是人们感兴趣的课题，不少学 者对此进行研究，并得到了一些结果b i a n c h i ，m a u r i 和h a u c k 在【8 】中证 明了t 一个群g 是幂零的当且仅当g 的每个s y l o w 子群的正规化子是幂零 的后来，这一结果又被肖文俊( 【9 】) ，王燕鸣( f 1 0 】) 精确为：一个群g 是幂 子群的正规指数、子群的s 一正规性对有限群结构的影响引言 零的当且仅当g 的每个s y l o wp 一子群的正规化子是p 一幂零的1 9 9 5 年， 张继平在f 1 1 】中证明了，群g p 一幂零当且仅当( p ，i g ： r g ( q ) 1 ) = 1 ，对任 意的s y l o w 子群q 随后，c h i g i a r 在【1 2 】中证明了，对任意r 霄( g ) ，如 果p 3 ，且( i g ：g ( g r ) l ，p ) = 1 ，g r s y i ，( g ) ，则g 是p 一幂零的1 9 9 6 年，郭文彬教授在【1 3 】中证明了。一个群的每个s y l o w 子群的正规化子的指 数是奇数或素数方幂的充要条件是g 是可解群且g = h k ，其中日和k 都 是g 的h a l l 子群，k 是在g 的一个t - h a l l 子群中正规的幂零子群且日是 2 - 幂零的 1 9 9 6 年，王燕鸣教授在 1 4 】中提出了c - 正规子群的概念，并且利用子 群的c 一正规性研究群的结构，得到了一系列有意义的结果之后，又有很 多学者利用子群的c - 正规性给出了有限群结构的一些刻画2 0 0 3 年，t 郭 文彬，张新建等将c 一正规子群概念中的正规子群削弱为次正规子群，引入 了8 一正规子群的概念，并利用极大子群、s y l o w 子群的s 一正规性研究了 群的有关性质和结构 本文在前人的基础之上讨论了以下内容： ( 1 ) 引入了一般子群正规指数的概念，用一般子群的正规指数，2 极大 子群、s y l o w 子群的正规指数的数论性质，给出了有限群可解、p 一可解、 p 一幂零的一些充分条件 ( 2 ) 利用s y l o w 子群的正规化子的8 一正规性得到了有限群可解的一些 充分条件 本文涉及的群均为有限群设g 是有限群，用m g 表示m 是g 的 极大子群，ac h a rg 表示a 是g 的特征子群，h 司寸g 示日是g 的次正 规子群，s o c ( g ) 表示g 的基柱设m g ，用m g 表示m 在g 中的正规 闭包，丌( g ) 表示g 的阶的素因子集合设n 是正整数，用唧表示整除n 的p 的最大方幂文中其他记号都是标准的 2 子群的正规指数子群的s 一正规性对有限群结构的影响第一章基本概念与引理 第一章基本概念与引理 定义1 1 ( 【1 4 】) 设g 是有限群，称子群日在g 中c 一正规，若存在k 司g ， 使得g = 日k ，且日n k h o ，其中h a = ng - l h g 为日在g 中的核 ，o 引理1 1 ( 1 4 】，定理3 4 ) 设g 是有限群，则g 可解的充分必要条件为存 在一个可解的c 一正规极大子群 定义1 2 ( 【1 5 】) 群g 的一个子群日称为在g 中8 一正规，如果存在g 的 一个次正规子群k ，使得g = h k ，且日n k 月如，其中s a 是包含在 日中的g 的最大次正规子群 定义1 2 等价于下面的定义1 3 定义1 3 ( 【1 6 】) 群g 的一个子群日称为在g 中8 一正规，如果存在。g 的 个次正规子群k ，使得g = h k ，且日n k 司 j g 定义1 4 如果一个群g 没有非平凡的s 一正规子群，则称群g 为，一单 群 对于s 一正规的性质，我们有； 引理1 2 ( 【1 6 】) 设g 为有限群，则 ( 1 ) 如果日在g 中正规( c 一正规) ，则日在g 中8 一正规，反之未必； ( 2 ) g 为s 一单群当且仅当g 为单群； ( 3 ) 如果k 司g ，且k h ，则日在g 中卜正规当且仅当h k 在g k 中8 一正规 引理1 - 3 ( 【1 8 】) 若h 司司g ，则s o c ( g ) sn a ( h ) 引理1 4 ( 【1 9 】) 设g 是有限群，p 为g 的s y l o w p 一子群，其中p 7 r ( g ) 如果n a ( p ) = c a ( p ) ，则g 是p 一幂零的 引理l 5 ( 2 0 ) 设日为g 的h a l l 子群如果日司司g ，则日司g 引理1 6 ( 1 9 ) ( f e i t - t h o m p s o n ) 奇阶群必可解 引理1 7 ( 【1 9 】) 设g 是有限群，日g ，则n a ( h ) c a ( h ) 同构于a u t ( h ) 3 子群的正规指数、子群的s 一正规性对有限群结构的影响第一章基本概念与引理 的一个子群 引理1 8 ( h u p p e r t ) 群g 超可解当且仅当g 的极大子群的指数均为素数 引理1 9 ( d e s k i n s ，j a n k o 和t h o m p s o n ) 设日为o 的极大子群若日幂 零，且日的s y l o w 2 一子群的幂零类2 ，则g 可解 引理1 1 0 ( 1 7 ，引理2 8 ) 设是g 的极小正规子群，m g 若肘 可解且m n n = 1 ，则g 可解 引理1 1 1 ( 1 9 1 ) 设是g 的正规子群，p 是g 的s y l o w p - - 子群，则n n p 是的s y l o w p 一子群，p ，是g i n 的s y l o w p 一子群 引理1 1 2 设是g 的正规子群，p 是g 的s y l o w p 一子群，= n n p 是的s y l o w p 一子群，则n a ( p ) sn a ( n , ) 证明：对任意茁n a ( p ) ，l v ；= ( n n p 尸= 胪n p ；n p = p ，所以 l v a ( p ) n a ( n p ) 定义1 5 ( f 1 9 】) 设g 是有限群，m 是g 的极大子群令是g 二的一 个主因子，满足g = m n ，且k m 耳的阶叫做m 在g 中的正规指 数，记作叩( g ：m ) 作为极大子群正规指数的推广，下面我们给出一般真子群的正规指数的 概念 定义1 6 设g 是有限群，h g ，m 司g ，称i 州m n 凰r i 为子群日在 g 中的正规指数，如果m 满足 ( 1 ) g = m 日； ( 2 ) 若另有k 司g ，使得g = k h ，那么l 酬耳n 丑g i l m m n h a i 日在g 中的正规指数记作矿( g ：h ) 注( 1 ) 当h g 时，矿( g ：h ) = 叩( g ：h ) ； ( 2 ) 当h 司g 时，矿( g ：h ) = i g ：h i 证明；( 1 ) 设日 g ，令m h a 是g 的一个主因子则叩( g ：h ) = i m h a i ，且m 满足g = m h 下面证明；若另有m g g ，使得g = m i h ， 4 子群的正规指数子群的s 一正规性对有限群结构的影响第一章基本概念与引理 贝0l 磊帆n 月0 i l m m n h a i i ) 当尬n h a = 丑b 时，若晒日g r 是g 的主因子，由文献【1 9 】第九章定 理5 5 ，易见i m , m lnh a l = i m 玩i = i 驯l = i m mn 凰i ；若m 不是g 的主因子，则取k 司g ，使得h a i k h a i = m h a l = l m m n 日g i i i ) 当m z n h a h a 时，h a 羞尬令m 2 = 舰丑0 ，则m 2 满足g = m 2 h ， 且n h o = h a 由i ) 可知l 坞n h a i i m m n i 又i n h a l = j m i h g m i h anh c l ：黼：掣：揣：i m d m , nh a l ，所以 f j l 毛尬n h a i l m m n h aj 由一般子群正规指数的定义知矿( g ：哪= i m mnh a i = l m h a i = 2 叼( g ： 日) ( 2 ) 设h 司g ，m 是满足定义1 5 的g 的正规子群，则g = m h j 且 矿( g ：日) = i m m n i = i m mnh i ，又由g = m h 知i a ：日i = 嵩= l m m n h | ，所以矿( g ：h ) = i g ：h i 5 子群的正规指数、子群的8 一正规性对有限群结构的影响第二章子群的正规指数 第二章子群的正规指数 w e d e s k i n s 在1 9 5 9 年提出了极大子群正规指数的概念，并利用极大子 群的正规指数的数论性质，得到了群可解，p 一可解，r 一可解，p 一超可 解，丌一超可解，超可解的一系列等价刻画在本章中，我们将利用第一章 中引入的一般子群正规指数的概念，考虑2 - 极大子群、s y l o w 子群的正规 指数的数论性质对群的结构的影响 对于一般真子群的正规指数，我们有下面的性质， 引理2 1 设h g ，n 司g ，n h ，则矿( g n ：马= 矿( g ：日) 证明，设m 司g ，且满足( 1 ) g = m h ；( 2 ) 若另有k 司g ，使得g = k h ， 那么i k i k n h a i i m m n h a i 则v ( g ：t t ) = i m m n h a i 考察商群a n ( i ) 若n m ，则m n 司g i n ，且满足 ( 1 ) 由( 1 ) g n = m h n = m n h n ， ( 2 ) 由( 2 ) ，如果k n 司g n ，且g n = k n h m ，那么i k n k i n n ( h n ) o i = l k i n i ( knh o ) n i = i k k nh o i 之i m mnh a i = i m n m nn ( h n ) a m i ，所以矿( g n ：h n ) = i m i n m i ni 1 ( h n ) a m i = i m mn 日g i = 矿( g ：h ) ( i i ) 若n m ，令尬= m n 司g ，此时，m 满足 ( 1 ) g = 尬日； ( 2 ) l m 尬n i - i a i = i m n m n n 玩i = l m n n ( m n 丑g ) i = 高等岛，由 隔砑有蹄 q g ，n h ，得n 日g ，从而i m l m , n 鳓i = 斋= i m m n h a l ， 所以，如果有k 司g ，且g = k h ，必有i k k n 日g l i m , m , n i ，从 而矿( g ：t t ) = i m , m , n 如i ，且此时n 脑由( i ) 可知n ( g n ：h n ) = 矿( g ：h ) 下面我们首先考虑2 极大子群的正规指数对群的结构的影响作为定 6 子群的正规指数，子群的s 一正规性对有限群结构的影响 第二章 子群的正规指数 理2 1 的准备，先给出下面的引理2 2 引理2 2 设g 是有限群，是g 的极小正规子群，工是g 的参极大 子群若l 可解，且g = l n ，l n n = 1 ，则g 可解 证明：对g 的阶作数学归纳 若l o 1 ，则l l g 是g 如的2 - 极大子群，n l a l a 是g 的极小 正规子群，且g l o = 工l a n l a l a ，( l l o ) n ( k l a ) = 仁n ) l o = l a ( l n n ) l a = t ，工l a 可解，由归纳假设，酬如可解，又l o l ，故 k 可解，从而g 可解 若l a = 1 ，令t 是工的极小正规子群，则lsn o p ) g ，因为l 可 解，所以t 为初等交换p 一群( 对某个素数p ) ( 1 ) 若l = n o ( t ) ，则t n = 1 ，从而是，一群于是1 = g ( t ) n r = n n ( t ) c n ( t ) ，所以c k ( t ) = 1 由【2 ，定理7 5 】知，对每个整除i i 的 素数r ，存在 r 的唯一的t 一不变s y l o w r 一子群r 另一方面，坳l ， 有( 舻) t = r t g = r o 由r 的唯一性知是r 一群，从而可解，又 g n = l n n 竺l l n n 可解，故g 可解 ( 2 ) 着( 2 ) l ，则l n d 刃 g ：由工是2 - 极大子群，知( 刃 g 记m = n q ( t ) 由司g 知m a n j m 设l 是包含于m a n 中的m 的非平 凡正规子群，即1 l m a n 若l m a n ，则由l a n = 1 知l l n l 又l n l l ( m n n ) ，且i l n d = 删，i l ( m a n ) i = 踹耥= i l i i m a n i ， 所以工l l ( m n 哪于是l l n l l ( m n n ) = m n l n = m n g = m ， 这与l 是2 - 极大予群矛盾所以l = m n n ，从而 f n 是m 的极，j 、正 规子群因为l a ( m a n ) l a n = 1 ，由引理1 1 0 知m 可解，从而m n 是m 的初等交换q 一群( 对某个素数q ) 令q = m a n ，则m g ( q ) g 若g ( q ) = g ，则q 司g 又q n ，由的极小性知n = q = m a ns 肘，于是g = l n m ，矛盾! 再由m 的极大性知 k ( q ) = m ，于是q = m a n = n n n o ( q ) = v ( q ) ，从而q s y l 口( n ) ，于是( q ) = q = c k 旧) ，由 7 子群的正规指数、子群的s 一正规性对有限群结构的影响第= 章子群的正规指数 b u r n s i d e 定理知n 口一幂零由的极小性知是口一群从而n = q m 与g = l n 冬m 矛盾 定理2 1 设g 是有限群，则g 可解的充分必要条件是存在g 的可解二 极大子群日，使得矿( g ：h ) = i g ：h i 证明：设日是g 的可解2 - 极大子群，且矿( g ：日) = l g ：日 设 矿( g ：h ) = i m mnh a i ，其中m 司g ，且满足( 1 ) g = m h ；( 2 ) 若另有 k 司g ，使得g = k h ，那么i k k n h a i i m m n i 设h t g 若日g 1 ，则日日舀是g 日g 的可解参极大子群由引理2 1 知， 矿( g ：h ) = 矿( g i l a ：耳王k ) ，所以矿( g 丑b ：驯妇r g ) = 矿( g ：h ) = i g ：日l = l g h s ：日1 由归纳法g h a 可解又h a 冬日，所以h a 可解，从而g 可解 假定日g = 1 i ) g 是单群时，矿( g ：h ) = i g g n 丑台i = i g l = i g ：h i ，所以h = 堍从 而t 为素数阶群，由d e s k i n s - j a n k o - t h o m p s o n 定理知g 可解 i i ) g 非单群时，矿( g ：日) = l m m n i = l m i ，其中m 是g 的正规子 群，且满足g = m h 由条件矿( g ：日) = i g ：h i ，得i m a h i = 钾= 1 ，从而 m a h = 1 又日是g 的可解2 - 极大子群，若m 是g 的极小正规子群，则由 引理2 2 知，g 可解若m 不是g 的极小正规子群，取g 的含于m 中的极小 正规子群，则h h n g 设h t g ，则t = t a h m = h ( t o m ) ， t a m 是日在t 中的极小正规补子群由引理1 1 0 ，t 可解如果t = h n ， 则g = t m ，且t r i m = h n n m = n ( h n m ) = n t g ，所以丁是g 的可解 c - 正规极大子群由引理1 1 知g 可解如果t h n ，则h t a h n t ， 由h t ，得日= t n h n = h ( t n n ) ，由日n ( t n n ) = 1 得t n n = 1 因此g = t n ，是t 在g 中的极小正规补子群，由引理1 1 0 得g 可解 反之，假设g 可解，则g 有正规极大子群m 令m k 是g 的一个主因 子，由归纳法知存在g k 的2 极大子群l k ，使得矿( g k ：l k ) = i g k ： 8 子群的正规指敦、子群的3 一正规性对有限群结构的影响第二章子群的正规指数 圳耳i 从而工也是g 的2 - 极大子群，且矿( g ：l ) = 矿( g k ：l k ) = i g k ： 叫k i = l g ：l 1 定理2 2 设g 是有限群，若对g 的每个2 - 极大子群工都有矿( g ：l ) = i g ：l i ，则g 可解 证明：若g 是单群，设l 是g 的2 - 极大子群，则矿( g ：l ) = i g ( g n l a ) l = l g i = l g ：l i ，从而l = 1 设l t g ，则t 为素数阶循环群，由d e s k i n s - j a n k o - t h o m p s o n 定理知g 可解 若g 非单群，设是g 的极小正规子群，由定理条件商群闭知g l v 可 解因可解群系是饱和群系，因此不妨设是g 的唯一极小正规子群，并 且圣( g ) = 1 设t g ，使得n 簋t ，从而g = t n 取二 t ，则工是g 的2 - 极 大子群，且三，于是l o ；1 设矿旧：l ) = i m ( mnl a ) i = f m i ，其 中m 满足，1 ) m 司g ，且g = m l ；2 ) 若另有k 司g ，且g = k 琏则 i k ( k n l a ) i l m ( m nk ) i 由条件矿( g ：工) = f g ：l i 知i m i = l g ：l i = 尚，从而m n l = 1 由第z - n 构定理得g m 皇l l n m = l 由引理 2 1 及归纳法知工可解由定理2 1 知g 可鳃 定理2 2 只是群可解的一个充分条件，其逆命题不成立反例如下。 设g = 4 4 为4 次交错群，h s y l 2 ( g ) ，则i h i = 4 ，且日是g 的极小 正规子群，也是g 的极大正规子群日的每个极大子群工是g 的2 - 极大 子群又l o = 1 ，v ( g ：l ) = i a g n l o i = l g i = 1 2 ，但l g ：l i = 6 ，所以 矿( g ：l ) i g ：l i r 定理2 3 设g 是有限群，p , k g ) 若对于g 的每个磐极大子群l 都 有矿( g ：l ) 为一个素数的方幂或矿一数，则g 是p 可解群 证明：首先，g 不是单群否则令工是g 的2 - 极大子群，则矿( g ：l ) = i a ( anl o ) i = l g i 由题设条件得i g l = 个素数的方幂，于是g 是可解单 群，故而g 为素数阶循环群，但这是不可能的下面对| g l 用归纳法设 9 子群的正规指数，子群的。一正规性对有限群结构的影响 第二章 子群的正规指数 是g 的极小正规子群，考虑商群g b v 令l ；v 是g i n 的暑极大子群，则 工是g 的2 极大子群由引理2 1 得矿( g i n ：l n ) = 矿( g ：d ，所以定理 条件商群闭，故而g n 是p 一可解群又p 一可解群系是饱和群系，因此不 妨设n 是g 的唯一极小正规子群若圣( g ) 1 ，则n 垂( g ) 由g n 是 p 一可解群得g 西( g ) 是p 一可解群，从而g 是p 一可解群若圣( g ) = 1 ，则 存在m g ，使得n m ，且g = m 取l m ，则l a = 1 由题设 条件存在t 翼g ，使得g = t l ，且矿( g ：l ) = l 吖( t n l o ) l = f t i 所以i t i = 一个素数的方幂或t 是矿一群，从而t 是p 一可解群又由的唯性及 t 璺g 得n 童t ，从而也是p 一可解群所以g 是p 一可解群 类似地我们可以证明下面的定理2 4 定理2 4 设g 是有限群，p 订( g ) 若对于g 的每个2 - 极大子群葛都 有矿( g ：工) ，= 1 ，则g 是p 一幂零群 证明：首先，g 不是单群否则令工是g 的2 - 极大子群，则矿( g ：、乏) = i g ( g n l g ) i = i g i ，但这是不可能的下面对i g i 用归纳法设是g 的 极小正规子群，考虑商群g n 令l n 是c n 的二极大子群，则三4 是g 的二极大子群由引理2 1 得矿( g n ：l n ) = 矿( g ：l ) ，所以定理条件商 群闭，故而g i n 是p 一幂零群又p 一幂零群系是饱和群系，因此不妨设 是g 的唯一极小正规子群若西( g ) 1 ，则n 雪( g ) 由g n 是p - 幂 零群得g i 圣( c ) 是p 一幂零群，从而g 是p 一幂零群若圣( g ) = 1 ，则存在 m g ，使得n m ，且g = m n 取l m ，则l g = 1 由题设条件 存在t 宴g ，使得g = t l ，且矿( g ：l ) = i t i 口n l o ) i = i t l 所以l t l 叫一 数，从而t 是，一群又由的唯性及t 璺g 得n t ，从而也是矿一 群所以g 是p 一幂零群 s y l o w 子群是一类重要的子群，它的性质影响着群的结构下面我们从 s y l o w 子群的正规指数的数论性质出发，给出群p - 可解，可解的充分条件 定理2 5 设g 是有限群，p r ( g ) ，p s y l p ( g ) 若矿( g ：p ) = i g ：p i ， 1 0 子群的正规指数、子群的s 一正规性对有限群结构的影响第二章子群的正规指数 则g 是p - 可解群 证明：对g 的阶作数学归纳若p a 1 ，考虑商群g p g p p a s y l p ( a p a ) ，由引理2 1 得矿( a l p a ：p p a ) = 矿( g ：p ) = i g ：p i = i a l p a ： p 忍i ，定理条件商群闭，从而a p a p 一可解又忍可解，故g p 一可解 若p a = 1 ，则由题设条件，存在k 璺g ，使得g = p k ，且矿( g ：p ) = i k i g n p a l = i k i = l a ：p i = i 犏所以k n p = 1 ，从而k 为，一群，且 g k 2 p 于是g k 可解，又k 是p 一可解群，所以g 是p 一可解群 推论设g 是有限群，若对g 的每个s y l o w 子群p 都有矿( g ：p ) = l g ：p l ， 则g 可解 使用定理2 5 的证明方法，我们可以类似证明下面的定理2 6 定理2 6 设g 是有限群，p s y h ( a ) 若矿( g ：p ) = l g ：p i ，则g 是 可解群 证明：对g 的阶作数学归纳若p a 1 ，考虑商群a l p a 硝p a s y k ( g 昂) ，由引理2 1 得矿( 酬p g ：p p a ) = 矿( g ：p ) zi g ：p | = i a l p a ： 纠p g i ，定理条件商群闭，从而g p g 可解又忍可解，故g 可解若1 ， 则由题设条件，存在k 璺g ，使得g = p k ，且矿( g ：p ) = i 叫k np a i = l k i = i g ：p i = 龋所以k c i p = 1 ，从而k 为矿一群，且a l g 竺p 于 是g k 可解，又耳是奇数阶群，从而可解，故g 是可解群 子群的正规指数、子群的s 一正规性对有限群结构的影响第三章子群的s 一正规性 第三章子群的s 一正规性 局部子群在群的结构中扮演着重要的角色由s y l o w 子群的正规化子的 性质来研究群的结构是人们非常感兴趣的一个课题在文献【8 】【1 3 】中，众 多学者从这一方面着手对群进行研究，并取得了很好的结果在本章中， 我们将利用s y l o w 子群的正规化子的8 一正规性以及s y l o w 子群的厶极大子 群的s 一正规性来研究群的结构 定理3 1 设g 是有限群，若对每个p s y l p ( g ) 有g ( p ) 在g 中8 一正 规，则g 可解 证明t 假设定理不成立设g 是极小阶反例 ( 1 ) g 非单 如果g 是单群，则由引理1 2 知g 是8 一单群因为 r g ( p ) 在g 中卜正 规，所以n g ( p ) = 1 或n a ( p ) = g 前者不可能成立，于是p 司g 考虑商 群g 尸，由于定理条件商群闭，所以a l p 可解，从而g 可解，与g 是极小 阶反例矛盾 ( 2 ) g 有唯一极小正规子群使得g i n 可解，且n = s o c ( g ) 设是g 的极小正规子群由( 1 ) ，n 是g 的非平凡正规子群易证定 理条件商群闭，所以g i n 可解若另有极小正规子群l 使得g i n , 可解， 于是有c n n n t 皇g 可解，与g 是极小阶反例矛盾 ( 3 ) n 可解 若不可解，设t i = p n n ，则由引理1 1 1 知，只s y i p ( n ) 且r n ， p i 硇g 由f r a t t i n i 论断g = n n a ( p , ) 同时由引理1 1 2 知n g ( p ) n a ( p 1 ) 由条件n a ( p ) 在g 中8 一正规，从而存在tq 司g 使得g = t n a ( p ) 且 t 1 7 n g ( p ) ( r g ( p ) ) 船假设( k ( p ) ) 船1 设a 为包含于( g ( p ) ) s g 中 的g 的极小次正规子群，则a 为单群假设a 盛n ，则an n = 1 由引 理1 3 得n n a ( a ) ，从而n a = n a ，asc o ( n ) 于是c a ( n ) 是g 子群的正规指数、予群的s 一正规性对有限群结构的影响第三章子群的s 一正规性 的不等于1 的正规子群，由的唯性，n c a ( n ) 这与非可解矛 盾，所以a n 又是同构单群的直积，即n = a l a 2 a 。令 a = a 1 因为a 1 g ( p 1 ) ，所以n a o = a ，o ( p t ) = a g g ( p 1 ) 又 g = n n a ( p , ) = n d p , ) ，于是f 1 司g ，与p l 硇g 矛盾! 所以t f i n a ( p ) = 1 ，从 而f t = i g ：n d p ) i ，由此得p 例另一方面，设a 为包含于t 中的g 的极 小次正规子群，则a 是单群用前面的证明方法，可设n = a ，a 2 a 。 a l = a 垡a ，i n i = i a d ，所以p | i a l i ，从而p l l t l ，矛盾! ( 4 ) 由g i n 与 r 可解得g 可解，与g 是极小阶反例矛盾 我们考虑群g 的s y l o w2 - 子群，用类似于定理3 1 的方法，可得到下面 的定理3 2 定理3 2 设g 是有限群，p s y l 2 ( g ) 若n a ( p ) 在g 中8 一正规，测g 可解 证明：假设定理不成立设g 是极小阶反例 ( 1 ) p 1 ，否则由f e i t - t h o m p s o n 定理知g 可解 ( 2 ) g 非单 如果g 是单群，则由引理1 2 知g 是8 一单群因为n a ( p ) 在g 中s 一 正规，所以n a ( p ) = 1 或n c ( p ) = g 前者不可能成立，于是p 司g 因为 g p 是奇数阶群，所以g p 可解，从而g 可解，与g 是极小阶反例矛盾 ( 3 ) g 有唯一极小正规子群使得g n 可解，且n = s o c ( g ) 设是g 的极小正规子群由( 2 ) ，n 是g 的非平凡正规子群易证定 理条件商群闭，所以g n 可解若另有极小正规子群l 使得g n , 可解， 于是有g i n n l 岂g 可解，与g 是极小阶反例矛盾 ( 4 ) 可解 当i n i = 奇数时，可解；当f n i = 偶数时，假设不可解设t 1 = p n n ，则 由引理1 1 1 知只s y l 2 ( ) 且p l n ，p l ，白g 由f r a t t i n i 论断g = n n a ( p , ) 同时由引理1 1 2 知n a ( p ) sn a ( p , ) 由条件n a ( p ) 在g 中8 一正规，从而存在 子群的正规指数、子群的s 一正规性对有限群结构的影响 第三章子群的8 一正规性 t 司司g 使得g = t n c ( p ) 且t n n c ( p ) ( b ( p ) ) s g 假设( 批( p ) ) s g 1 设a 为包含于( g ( 尸) ) 船中的g 的极小次正规子群，则a 为单群假设a 茗n ， 则a n n = 1 由引理1 3 得n n g ( a ) ，从而n a = n x a ，a 国( ) 于是 ( ) 是g 的不等于1 的正规子群，由的唯性，n ( ) 这与非 可解矛盾，所以a n 又是同构单群的直积，即n = a t x a 2 x x a 。令 a = a 1 因为a 1 n a ( p , ) ，所以n 卵= a ，( p 1 ) = a 口n n o ( p , ) 又 g = n n c ( p i ) = g ( p 1 ) ，于是p l q g ，与p 1 硇g 矛盾! 所以t n n g ( p ) = 1 ，从 而l t l = i g ：n g ( p ) l ，由此得2m 列另一方面，设a 为包含于t 中的g 的极 小次正规子群，则a 是单群用前面的证明方法，可设n = a t x a 2 x x a t ， a l = a 掣a ，i n l = i a l | t ，因为2 1 1 1 ，所以2 1 1 a l i ，从而2 1 1 t j ，矛盾l ( 5 ) 由g i n 与可解得g 可解，与g 是极小阶反例矛盾 定理3 3 设g 是有限群，p 丌( g ) ，p s y l p ( g ) ，且( i g i ，矿一1 ) = 1 若存在p 的禾极大子群只在g 中s 一正规，且d ，( g ) 只，则g d ，) 是“ 矿幂零的 证明：假设定理不成立，g 是极小阶反例 ( 1 ) ( g ) = 1 若0 ，( g ) 1 ，由d p ( g ) p l 得，只是p 的2 - 极大子群，考虑商群 g q ( g ) ；显然p l q ( g ) 是p d p ( g ) 的2 - 极大子群，且p d p ( g ) s y l , ( g l o p ( g ) ) ， 从而定理条件商群闭，所以( g d ，( g ) ) q ( g d ，( g ) ) = g q ( g ) 是p 一幂零 的，与g 是极小阶反例矛盾! ( 2 ) g p - 幂零 由条件p l 在g 中8 一正规，存在t 司司g 使得g = r t 且只n t 司司g 又 只n t 为p 一群，所以r n t d p ( g ) = 1 ，于是只n t = 1 ，从而i t