（应用数学专业论文）用遗传算法和反问题监测高炉炉缸炉底热侵蚀.pdf

复旦大学硕士学位澈y 9 5 3 2 i 9 8 摘要 本文考察冶金高炉的炉衬热侵蚀问题，将其归结为稳态热传导问题的反问 题，并分别使用有限元方法和改进的遗传算法进行了计算和求解。 高炉炉衬侵蚀监测是钢铁工业现代化大工业生产的重要组成部分，对于生 产安全和生产效率及效益有着重要的意义在国内和国外都日益受到重视。 我们成功地使用有限元方法对正问题进行了求解。为了应对炉衬边界变动 引起计算区域改变的问题，我们自主开发了自动进行有限元d e a l u n a y 三角网格 剖分的程序。对于刚度矩阵，我们采用一维紧缩存储，并使用简单有效的带宽 优化算法，进一步减少了内存空间的占用和计算的时间。 利用简单的三次样条插值，我们解决了炉衬侵蚀监测问题中，反问题的条 件数往往少于正问题的条件数目的困难，使得监测问题能够适当地定解。 考虑到本文的反问题的机理比较复杂，容易在优化中陷入局部最优解，我 们选用遗传算法，很好地克服了这些问题。同时，我们对传统的遗传算法应用 了一些改进方案，比如实数编码、非均匀变异等等，提高了算法的收敛效率和 优化精度。通过大量的、系统性的数值实验考察，我们选取了适当的遗传方案 和参数，并验证了算法的可靠性和稳定性。对实际数据和人工数据的计算结果 表明，我们的算法可行、可靠、稳定。 关键词：高炉侵蚀遗传算法正则化 复旦大学硕士学位论文 a b s t r a c t r h i sn l e s i sf o c u s e so nt h em o n i t o r i n go fw e a r - l i n eo fb l a s tf = u r n f l c e s t h e p r o b l e mi sc o n c l u d e di n t ot h ei n v e r s ep r o b l e mo fs t e a d yh e a t c o n d u c t i o n f i n i t e e l e m e n tm e t h o da n dg e n e t i ca l g o r i t h ma r eu s e dt oc a l c u l a t et h ed i r e c ta n di n v e r s e p r o b l e mr e s p e c t i v e l y 1 1 1 em o n i t o r i n go f w e a r - l i n ei nb l a s tf u r n a c e si so fg r o a ts i g n i f i c a n c ei nm o d e m i n d u s t r y i ti so fb e n e f t st om a n u f a c t u r es a f e t ya n de c o n o m i ce f f i c i e n c y t h ed i r e c tp r o b l e mi s s u c c e s s f u l l ys o l v e db yf e m a st h e d o m a i no f h e a t c o n d u c t i o ni s a l w a y sc h a n g i n g i nt h e p r o b l e m ，ap r o g r a mu s e d t oc r e a t e d e l a u n a ym e s ha u t o m a t i c a l l yi sc o d e d 1 一d i m e n s i o nc o m p a c ts t o r a g et e c h n i q u ea n d m e s h - n o d e - i n d e xo p t i m i z a t i o na r eu s e dt od e c r e a s et h es t o r a g e s p a c eo c c u p i e db y t h es t i m l e s sm a t r i x i nc a s et h a tt h en u m b e ro fc o n d i t i o n so ft h ei n v e r s ep r o b l e ma r eu s u a l l y1 e s s t h a nt h a to f t h ed i r e c to n e ，c u b i cs p l i n ei n t e r p o l a t i o ni su s e dt of i tt h e ms i m p l y g e n e t i ca l g o r i t h mi su s e di ns o l v i n gt h ei n v e r s ep r o b l e m ，w h i c hh e l p st oa v o i d l o c a lm i n i m u m s o m en e ws c h e m e sa r ea l s oa p p l i e do nt h ea l g o r i t h ms oa st oa d a p t i tb e t t e rt oo u rp r o b l e ma n di m p r o v et h ec a l c u l a t i o ne f f i c i e n c ya n da c c u r a c y n u m e r i c a lt e s to nb o t ha r t i f i c i a la n dr e a ld a t av e r i f i e st h ec r e d i b i l i t ya n dr o b u s t o f o u ra l g o r i t h m k e y w o r d s ：f u r n a c e ，w e a r - l i n e ，g e n e t i ca l g o r i t h m ，r e g u l i z e r 第1 章引言 1 1 高炉炉缸炉底的侵蚀监测问题 冶金高炉在使用的过程中，其内壁，尤其是炉缸和炉底，长期受到高温、 渣铁冲刷和化学作用等等的侵蚀，容易发生破损。其中，高温是引起侵蚀的主 要影响因素。当炉缸、炉底的所受的侵蚀达到一定的程度时，高炉就可能需要 停产大修，以保障生产安全。因此，高炉炉缸、炉底的侵蚀程度，往往是决定 一代高炉使用寿命的关键。 延长高炉一代寿命，是冶金科技工作者长期不懈的追求，也是现代化钢铁 联合企业大工业连续生产的客观要求。对于大高炉来说，炉缸、炉底的保护是 整个高炉护炉保产的关键。但是目前，尚不可能实现完全阻止炉衬所受到的侵 蚀，当高炉使用一段时间之后，停炉检修仍然是必要的。但在另一方面，停炉 大修需要较大的成本消耗，应当尽量避免。所以，及时监测炉底侵蚀状况，并 采取针对性的措施，对于高炉炉缸、炉底的研究，高炉寿命的延长和经济效益 的提高，以及生产安全的保障，都有着重大的意义。 故此，对炉底侵蚀进行监测的数学模型的研究和应用已经得到国内外科技 工作者的重视。在国外，早在上个世纪七十年代，就已经开始这方面的研究和 开发，并陆续应用于生产实践中，取得了良好的效果。而我国在这方面的研究 则起步得较晚，目前尚缺乏较为成熟的模型。 1 2 问题的研究现状和主要结果 在这一方面的研究中，传热学的数值计算是运用得较为广泛的方法。这种 计算大致上有两种运用方式：一是以未受侵蚀的完整的炉底为求解区域，利用 传热方程，计算稳态温度场，绘制等温线，这时，所有的边界条件和初始条件 都是已知的；二是求解炉底炉缸耐火材料在某点的温度或温度变化，由此找出 边界条件。 前者，由于高炉在使用中，内壁会不断地受到侵蚀，使得内边界的位置和 形状发生变化，故而在实时使用中的价值不大，比较适合用在开工前的预测和 参考。而后者，研究者中间得到了更普遍的接受，但是它的精确度，往往要收 到边界条件的确定和这些条件的准确度的影响。炉缸外边界的冷却壁作用，风 冷或水冷设施的作用，等等，都是影响边界条件准确度的因素。 早在上个世纪七十年代，国外就已经开始这方面的研究和开发，并陆续应 用于生产实践中，取得了一定的效果，进一步的研究正在进行中。例如，奥地 利林茨大学建立了这方面的模型。日本新日铁2 0 0 0 年还专门立项，与东京大学 合作，进行研究：先提供给东京大学的计算费用( 不包括试实验) ，就达到7 5 万美元。 我国国内在这方面的研究起步较晚，尚缺乏成熟的模型，但自上世纪九十年 复旦大学硕士学位论文 代以来，也提出了不少方案。1 9 9 6 年， 4 】4 提出一种人工调节侵蚀边界的假设 位置、使用有限元方法计算计算炉衬温度分布，推断炉衬侵蚀状态的方法：【6 在 1 9 9 9 年提出的方法与 4 】相似，但是在边界上全部使用d 氏边界条件；【5 5 同样使 用有限元方法计算温度分布，但使用神经网络方法进行反演推断侵蚀线位置； 8 使用有限差分法计算分度分布，不调整炉衬内边界位置，根据等温线位置推测侵 蚀状态；1 9 9 6 年的 5 】和2 0 0 4 年的 7 都使用边界元方法计算温度分布，用正交 实验进行反演推测，但在边界条件的离散处理上，前者使用常数元离散，后者采 用基尔霍夫变换把非线性问题转化为线性问题。 目前国内大部分使用的模型，都将问题简化成了二维的平面传热问题，几 乎没有使用三维模型的。计算温度分布时使用的数值算法有差分法、边界元法、 有限元法等：而在反演时，一般使用正交实验、神经网络等方法。各个不同的 方案，总是这两组方法中某个组合。 本文对炉衬温度分布的计算使用的是三维传热模型。我们认为，炉衬热传 导问题是三维问题，虽然它的方程可以利用炉衬的旋转对称性，转化成柱坐标 系从而实现简化，但是如果将整个传热问题本身简化为平面热传导问题，则是 一种过度简化，对运算的精确性会造成较大的影响。 本文的有限元计算使用的网格是d e l a u n a y 三角网格，由我们自编的程序自 动生成。在我们找到的国内的所有使用有限元方法的文献中，都使用人工划分 的三角网格，并且大多是直角三角形的网格；有些使用固定的计算区域，其他 则在需要调整计算区域时，通过人工移动网格节点位置来使网格适应新区域。 我们认为这些都会对计算的精度造成损害。 本文使用遗传算法进行反演推测侵蚀线位置。相比较于其他优化方法，遗 传算法的一个显著优点是，能够避免陷入局部最优。据我们所知，尚未出现使 用遗传算法进行反演的文献。特别是，本文还对传统遗传算法使用了一些改进 方案，使之更加适合本文的问题，提高运算效率。 1 3 本文的主要内容 高炉在建造的过程中，为了监测炉衬的侵蚀情况，会在炉衬中埋设热电偶， 探测炉衬中的温度。本文将确定炉衬侵蚀线的问题归结为一个稳定热传导方程 的确定边界的反问题，即，求该方程求解区域的一条边界，使得稳态热传导方程 在此边界所界定的区域上的解在热电偶所在位置，与温度的实际测量值一致。 这一问题又可化为求稳定热传导方程的定解问题的一段边界，使该定解问题的 解在测温点与温度测量值的误差极小。离散化后，这一问题成为一个优化问题。 因为这个优化问题比较复杂，如果使用通常的优化技术，有时会陷入局部 极值的陷阱，所以我们采用遗传算法来实现优化，有效地避免了陷入局部最优 的情况。同时，为了克服遗传算法计算量大的困难，我们对简单遗传算法采用 了一些改进方案，使用了实数编码和代数交叉、动态变异等改进的遗传运算， 复旦大学硕士学位论文 提高了算法收敛的效率，取得了较好的结果。 考虑到决定边界的反问题是不稳定的，我们采用了吉洪诺夫正则化的方法， 选取了适当的正则化项、确定了正则化参数，有效地增加了算法的稳定性。 在遗传算法的搜索过程中，必须进行大量稳态热传导方程边值问题( 正问 题) 的计算，这些正问题的边界尤其是对应于侵蚀线的部分是不同的。 为了应对正问题由于计算区域的变动而引起有限元网格变动的情况，我们采用 了自动剖分d e l a u n a y 三角网格、以及相应的节点编号优化算法。较之固定网格 拓扑结构而调整侵蚀边界节点位置的网格调整方法 4 1 ，这样的处理更能保持网 格的良好性质，有利于提高有限元计算的精度。大量的数值实验表明，无论对 人工模拟的数据或是实测数据，我们的方法均能取得精确和稳定的结果。 由于炉衬侵蚀监测问题的正问题部分，即热传导问题的计算区域，在优化 过程中需要变动，而且边界形状比较复杂，我们选择使用几何适应性和计算精 度都比较可靠的有限元方法来做正问题的数值计算。 我们的算法已初步研制成商品化的软件系统。 本文分三个章节，第一章引言，介绍本文选题的意义，和在这个问题中的 研究现状；第二章介绍高炉炉衬热传导问题的模型，和本文的解决途径包括 方程的推导，和我们使用有限元方法将之求解的过程：第三章描述本文解决炉 衬侵蚀状态监测的方法，包括炉衬侵蚀问题的描述与建立、遗传算法的介绍、 本文对其采用的改进方案，以及本文的结果，还有部分实验参数对运算结果影 响的比较。 第2 章高炉炉衬热传导问题的模型和解决 2 1 正问题的描述和模型的建立 高炉炉衬的热传导问题是三维区域中的问题，由于冶金高炉内部构造和外 部的冷却设施，一般都是按照其中心成旋转对称，所以，可以采用柱坐标系简 化问题的方程。如图1 所示。 倒1 计算区域不意图 又考虑到高炉内部的侵蚀过程，相对于一代高炉的使用寿命而言非常缓慢， 热传导方程中的时间项也可以简化略去。 所以，高炉炉衬的热传导问题的方程可以写成如下形式： ；孙考 + 鲁( t 。加q 其中r 和z 分别是柱坐标系中的半径和竖直方向的坐标，k 是炉衬材料的热 传导系数，”表示温度。 在对称边界r l 处，热流为0 ，故“满足绝热边界条件： 娑= o d h r i ； ( 2 ) 在炉衬的底部边界r 2 和外侧边界r 3 处，分别有水冷却或风冷却措施，所以 “满足热交换边界条件： 七罢= h 2u 氆) o nr 2 ， ( 3 ) 0 2 女罢= h 3u 鸭) o nr 3 ； ( 4 ) o r 其中h ，是与边界r l 与冷却物质之间的换热系数，“，是冷却物质的温度， i = 2 , 3 。 在顶部顶部边界r 4 处，热交换可以忽略，因此“满足绝热条件，即 复旦大学硕士学位论文 譬= 0 o n f 4 ； 船 最后，u 在侵蚀边界r 5 上，近似等于熔化铁水的温度“。，因此有 = “o o n r 5( 6 ) 在本文中采用”。= 1 1 5 0 。c 。 至此，我们建立了高炉底部炉衬热传导的数学模型，这是一个轴对称的稳 态热传导模型。在此模型中，若已知方程的系数、区域的几何形状和边界条件， 就可以求得炉衬的温度分布，这就是本文的正问题。 实际上，在对特定的高炉进行计算时，方程中的系数和边界条件总是确定 的，而区域的边界除侵蚀边界外也是已知的，所以，它们都可以看做正问题的 常量参数。这样一来，只要设定了侵蚀线的位置，就可以对正问题进行计算， 它是正问题真正的自变量。 2 2 有限元网格生成 有限元计算中，网格的剖分是重要的准备工作。我们选择使用d e l a u n a y 三 角网格，并编写了自动进行网格剖分的程序。 2 2 1 计算区域的表示 如上节所述，本文的正问题的计算区域是由侵蚀线的位置决定的，因此有 必要为侵蚀线建立一种简单有效的表示方法。 实际的侵蚀线应当是连续的、比较光滑的曲线，但这里为了计算和表示的 需要，将它离散成一些连续的折线段。由于使用有限元法计算时，计算区域总 是会近似成多边形来生成网格，所以这个离散简化是合理的。假设侵蚀线被离 散成了m 段，那么这些折线段共有肼h 个端点，这脚1 个端点的位置决定了 折线段的形状，从而也决定了计算区域的形状。我们把这些点称为“控制点”。 更进一步，假设这些端点的位置总是在某些固定的线段上移动，把这些线 段称为控制点的“轨道”。这些轨道设定以后，移动点的两个坐标之间就有了函 数关系，总可以用其中一个来表示另一个，于是，侵蚀线的形状就可以用这 脚1 个实数表示了。如上所述，这 杆1 个实数就是正问题的自变量。 轨道的设置可以有很多方法，比如以高炉中心线的顶端为中心，发出射线， 将这些射线经过侵蚀线的变动范围的部分作为轨道，等等。 一般而言，在使用上述用控制点集来表示侵蚀线的方法时，设置的控制点 的个数越多，所定义的折线越能接近实际的侵蚀线。但是，考虑到我们的反问 题能够提供的条件数受到在高炉炉衬中埋设的热电偶个数的限制，控制点设置 过多会导致反问题无法定解。另一方面，侵蚀线应当具有一定的光滑性。为此， 我们使用三次样条插值的方法，将部分控制点设置为自由移动，再通过插值得 复旦大学硕士学位论文 到其他的控制点。这样，一方面可以减少正问题实际使用的自变量的个数，适 应反问题的条件限制，另一方面，得到的益线也比较光滑。 设定自由控制点时，应该考虑到插值的需要，尽量使之平均分布；另一方 面，也要侵蚀线的弯曲程度在不同部位的差异。一般，在炉衬内边界的中间部 分，侵蚀线的弯曲比较严重，通常会形成所谓的“象脚”侵蚀，所以这部分的 自由点可以安排多一些，而在两端部分，侵蚀线弯曲比较舒缓，可以多安排一 些非自由的控制点。 由于热电偶的个数和折点的个数在一个监测问题中是固定的，所以这个选 择的步骤只需要进行一次。在生成计算区域时，先得到自由点的位置，然后用 三次样条插值，得到其他折点的位置。当然，这时这些插值得到的折点未必在 之前设定的轨道上，我们可以把脱轨的点投影回轨道上。如果插值得到的控制 点落到了允许取值的范围之外，则把它移动到相应轨道的靠近它的端点上。 考虑到侵蚀线在靠近炉衬中心，即对称边界的部分一般接近水平，而在接 近炉顶的部分则几近竖直，在插值时可以将侵蚀线分段处理：斜率较大的部分 转置后进行插值，在将结果转置回原坐标系。这样取得的效果，比直接在某个 固定坐标系中插值好。图2 给出了两种方法进行插值处理的结果比较。其中实 线是实际侵蚀线位置，虚线是插值曲线。 a 无转置插值的结果b 使用转置分段插值的结果 图2 炉衬内边界插值效果比较 由此，我们得到了正问题计算区域，也即需要进行有限元网格剖分的区域 的一个简单方便的表示方式。 由于正问题的计算区域随着侵蚀线假设的变化而不断变化，在有限元计算 中使用的网格也必须随着计算区域的变化而更新。本文尝试过两种方法来实现 这个目的，其中一种只进行一次网格剖分，之后当区域发生变动时，不改变原 来网格的拓扑结构，而是根据侵蚀边界的变动情况，按照比例移动网格中节点 的位置，得到新的网格；另一种则是对每一次变动后的区域重新进行d e l a u n a y 网格剖分。经过两者的效果比较，最终选取了后一种。 2 2 2 控制点移动法 复旦大学硕士学位论文 这种方法只进行1 次剖分，这个剖分可以是针对没有受到任何侵蚀的最原 始炉衬区域进行的，也可以是针对第一次进行正问题计算时使用的假设区域进 行的，将这个剖分称为“初始的”。 在以后的计算中，首先比较控制点的当前位置和初始位置，得到它们的相 对移动量。注意到控制点是沿着固定轨道移动的，所以可以只用一个实数表示 它发生的变动。这样，所有的控制点可以看作是由一条轨道和一个相对移动量 来决定了它相对于初始位置的移动。对于所有非控制点的网格节点，如果也能 有一条轨道和一个相对移动量，那么也可以按照和移动点相同的方式移动。 网格节点的轨道的设定，可以参考该节点相邻的两条控制点轨道。如果， 这两条轨道是平行的，那么可以用过该节点的平行于它们的直线段作为该节点 轨道；如果他们不是平行的，可以作它们( 很可能是它们的延长线) 的交点， 以过此交点和该节点的直线的一段为轨道。 相对移动量的设定，则可先对于侵蚀线上的网格节点作计算，利用它所在 的线段的两个端点( 控制点) 的相对移动量，按线性插值得到它的相对移动量： 然后再计算其他的点，因为这里需要比侵蚀线上的点再多一个插值的过程。注 意到，侵蚀线上的点是“完全”移动了，但是外壁边界上的点则“完全不”发 生移动，所以，区域内部的点必然不可能发上和侵蚀线上的同一轨道上的点等 量的移动。一个比较合理的均匀移动的处理方法是，对区域内部节点，找出它 的轨道与侵蚀线的交点和轨道与外边界的交点，在这两个交点间的线段上，利 用这两个交点的相对移动量，线性插值得到该节点的相对移动量。外边界上的 点的相对移动量必然是0 ，而侵蚀线上的点的相对移动量可以用之前的方法计 算得到。 这样，对整个网格中的所有的点，我们都可以进行适当的移动，得到一个 和初始网格相同拓扑结构的新网格。 这个方法的优点是节省时间。不仅节省了多次进行网格剖分所消耗的时间， 还节省了对节点序号优化的时间，和为节点与三角片查找性质参数的时间。在 使用遗传算法求解反问题时，正问题的计算速度有着重要的意义。 但是这个方法的缺陷也是显而易见的。由于炉衬往往由不同的层次的不同 性质的材料组成，在使用这个方法时必须注意，要防止节点移动到与原位置处 物理性质不同的位置，判断和补救的方法非常复杂，大大降低的程序的效率。 多次迭代移动，也容易造成区域表示的误差。并且，更致命的是，上述由“压 缩”或者“拉伸”得到的网格往往性质比较差，特别在其中靠近侵蚀线的部分， 往往三角片发生的变形十分严重，并且变形随着侵蚀的加剧而加剧。这些缺陷 的存在使得我们最后放弃了这个方案。 图3 给出的是对一个d e l a u n a y 网格使用上述方案进行调整后的效果，b 图 是a 图中方框区域的局部放大。可以看到，一部分三角片的发生了严重的变形， 这样形状的三角片对有限元计算的精度极为不利。 复旦大学硕+ 学位论文 a 节点移动法调整的网格b 左图局部放大 图3 节点移动法调整网格的效果 2 | 2 3d e l a u n a y 网格剖分 这个方法在每次计算正问题时都对计算区域进行网格剖分。现在含有对区 域进行d e l a u n a y 三角剖分功能的软件包有许多，但是出于拥有自主知识产权、 和使用最适合本文问题需要的程序的需求，我们自行编写了网格剖分的程序。 我们编写的程序可以自动对由若干个单连通多边形子区域组成的区域进行 网格剖分，并且在剖分中，可以保持原子区域的边界和一些特定的点出现在网 格中。当然，由于强制保留这些边界和点，得到的网格未必是全局d e l a u n a r y 最优。但是，因为炉衬在建造中，往往在不同位置使用不同性质的材料，我们 在网格生成时，保留不同性质的材料之间的边界，将性质不同的部分划分在不 同的予区域，就保证了网格中每一个三角片所表示的区域内的热力学参数都是 常数，从而为有限元计算的过程提供了很大的便利。另一方面，允许强制加入 特定的点，可以保证埋设了热电偶的点一定在网格的节点中，这样在有限元计 算后可以直接得到这些点的计算温度值，比之在有限元计算后再用插值计算得 到这些值，更加方便和精确。 我们将该程序得到的网格中的节点集输入m a t l a b 中进行d e l a u n a y 三角网 格生成，得到的结果与我们的程序制作的网格相同。 图4 是我们制作的一个网格，其中节点数5 9 2 ，三角片1 0 6 8 个，加粗的线 条是两个子区域的交界。【l o 】 使用该方法的优点是，得到的网格质量较高，也比较有利于之后进行的有 限元计算的精度和方便程度，另外还可以根据计算的需要对网格的疏密进行很 方便的控制。程序的可移植性也得到增强。 其缺点是，增加了运行正问题的时间消耗，和开发程序的工作量。但是通 过对程序代码的优化，时间消耗的问题可以得到一定的改善，并且有望在今后 的工作中得到进一步的改进。 这是我们最后实际选择使用的方案。 i - - - - - - - ，。，。一 复旦大学硕士学位论文 0123 4 56789 图4 炉衬区域的一个d e l a u n a r y 网格 2 3 有限元离散化和方程的存储与求解 2 3 1 有限元离散化 正问题的方程组可以归结为如下形式： 一v ( r k v u ) = 0 i nq “= “d 0 1 l r d 膏罢+ 砌：砌。”_ o n 其中v = ( o o r ，o o z ) ，f o 和f u 分别表示d e r i c h l e t 和n e u m m m 边界，；表 示单位外法向，“d 和“分别表示d e r i c h l e t 边界条件和n e u m a n n 边界上的环境 温度。实际上，如图l ，在本文中，f o = f s ，f t r = f i u f 2 ur 3 ur 4 。 利用变分原理，求教这个方程组相当于求解： m i n b 胁i v u l 2 掀+ 圭肛办一l 帆础 下面对这个变分表达式作离散化。 在网格中的某个特定的三角片e 中，设它的三个定点分别用符号t 工m 表 示，并记： b ，= 0 一，b = 一l ，b 。= l 一0 ； c t 2z m z i ，c i 。z t zmcm 2 z i z 则有： ”+ 莠。警 女，m二l i 耻瓤q b j 、l， 虬叶 r00飞 k 气 复旦大学硕士学位论文 于是可以计算得到 打j v “l 2 d r d z “瓯t k 。疋， ( 8 ) 其中疋= o ，“，“。) 7 ，。= ! ! 学慨6 ，+ c ，c ，) 3 。，。是在e 重心 处的值。 在网格的某条边，上，假设它的两个端点用符号j , m 表示，则可计算得到 激焉， e - 砌“。“凼“髟e ， p 其中芝= h 尸，耻h , 。l 面：l ( 3 r 7 麓，；：，：墨 ， e = 华f ；麓 ，在凰蝴值。 利用上述信息，将网格中每个三角片和每条n e u m a n n 边界对方程的贡献叠 加起来，就可以得到( 7 ) 的离散表达式。再利用求导，得到如下形式的线性方程 组： k x = f ， 易见，k 是由2 k 。和2 霞。组装得到，f 是由只组装得到。 2 3 2 有限元刚度阵的存储和方程求解 上述有限元方程组的系数矩阵是对称、稀疏的，为了节省空间和运算时间， 对它采用下三角一维紧缩存储。 适当的网格节点编号方法对于减少刚度阵的存储带宽、并进一步减少之后 的刚度阵生成和方程求解计算量有着重要的意义。为此，我们使用了优化网格 节点序号的算法，取得了良好的效果。 图5 是使用含5 9 2 个节点的网格时，刚度阵在优化节点序号前后，存储带 宽的比较。图中的每一个点，都表示刚度阵中的一个非零元。在优化前，最大 带宽5 0 0 ，一维紧缩存储元素5 9 5 7 3 个，优化后，最大带宽是4 6 ，一维紧缩存 储元素1 1 2 6 4 个。 进行节点序号优化的方法有很多，我们选用的是比较简单的一种，即直接 对网格中的节点按照坐标排序，使得位置接近的节点的编号自然接近。从而各 个三角片的顶点的编号自然接近，刚度阵中非零元素的位置自然集中到对角线 附近。这个方法的局限在于，必须在已知节点编号的条件下使用，但是对于我 们的问题正好可以适用。 复旦人学硕l 学位论文 a 未优化网格节点序号的刚度阵 b 优化节点序号的刚度阵 图5 刚度阵带宽优化效果比较 方程的求解采用追赶法，得到的解向量直接保存在原来保存右端项的空间， 减少了对内存的占用。 这里要注意的是，在对方程进行约束处理时，除了严格按照约束条件修改 受约束节点所在的行与列上所有元素外，还可以使用一种针对计算机运算特点 的简化方法。这种方法操作非常简单，它使用一个很大的数去乘受约束点所在 行的对角元，和右端项中相应的元素，使得计算机在运算时，实际上忽略刚度 阵中受约束点所在行与列上的其他元素。但是这个做法在节省了追赶法第一轮 循环的时间的同时，却保留了太多的非0 元，从而大大增加了第_ 二轮循环所需 要的时间，两相权衡，采用这个方法的程序消耗的时问多于不采用这个简化方 法的程序消耗的时间，因此我们不推荐使用这个方法。 2 4 算法结果与精确解的比较 我们使用了一些已知精确解的例子来验证有限元部分的可靠性。 倒! 函数“= 4 2 - x 2 十y2 + 3 5 z ， 在予午面 ( x ，”z ) 10 x2 + y 2 1 , 0 z 1 5 ) 绕z 轴旋转得到的区域中，设区域项部满足 第2 类边界条件，外侧满足绝热条件，底部满足第1 类边界条件，即可得柱坐 标下的方程： 昙( ，害 + 毫( 老 = 。加n ，加工s ， “+ 2 _ o u = 1 1 2 。 o ：1 1 50 0 ) 2 f4 2 o f 0 , i 0 表1 给出了一些点上的计算值和精确值的比较。 复旦大学硕士学位论文 1 2 1 以0 0 0 0 , n0 0 0 0 )4 2 0 0 04 2 0 0 000 0 0 0 2 ( 0 4 0 0 0 ，o 0 0 0 0 ) 4 2 0 0 04 2 0 0 000 0 0 0 3 ( 1 0 0 0 0 ，0 0 0 0 0 ) 4 2 0 0 0 4 2 0 0 0n 0 0 0 0 4 ( 0 0 0 0 0 ，o 3 0 0 0 ) 5 2 5 0 0 5 2 5 0 0n0 0 0 0 5 ( 0 ，6 0 0 0 ，o 3 0 0 0 ) 5 2 5 0 05 2 5 0 00 0 0 0 0 6 ( o 0 0 0 0 ，0 7 0 0 0 ) 6 6 5 0 06 6 5 0 00 0 0 0 0 7 ( o 2 0 0 0 ，0 7 0 0 0 ) 6 6 5 0 06 6 5 0 000 0 0 0 8 ( 1 0 0 0 ，o 7 0 0 0 ) 6 6 5 0 06 6 5 0 0n 0 0 0 0 9 ( 0 6 0 0 0 ，1 3 0 0 0 ) 8 7 5 0 08 7 5 0 0n0 0 0 0 1 0 ( 0 8 0 0 0 ，1 3 0 0 0 ) 8 7 5 0 0 8 7 5 0 00 0 0 0 0 表1 有限元算例1 计算结果比较 可以看到，对于线性函数的情形，我们的算法是非常精确的。 塑乜方程组 ! 旦f ，塑 + 旦f 塑 ：o 加 0 ，1 。 o ，1 - o rl o r o zl o z 3 “+ o u = 5 - 6 y 2 o n l x 【o ，1 】 3 ”十_ o u = 3 x 2 1 0o h 【o ，l 】1 。 u ( - ，z ) = r 2 o f 0 , 1 】0 它的一个精确解是“= ，2 2 z2 ，其中，r ：0 阿。 对其使用有限元求解，得到解的计算值，与精确解在节点上的值做比较， 平均相对误差24 5 9 8 e 0 0 4 。 这个算例中，使用的网格的节点个数为6 7 4 。为节约篇幅，这里不把全部 节点处的比较数据列出，仅以部分节点为例，列出如表2 节点号坐标n 2 j精确值计算值相对误差 1 ( o 0 0 0 0 ，o 0 0 0 0 ) o 0 0 0 0o 0 0 0 0o 0 0 0 0 5 1 ( o 0 6 0 3 ，o 8 8 2 7 ) 一1 5 5 4 61 5 5 5 5o 0 0 0 6 1 叫 ( o 13 5 4 ，0 18 9 3 ) - 0 0 5 3 4- 0 0 5 3 60 0 0 4 3 1 5 1 ( o 2 1 5 4 ，0 6 9 3 9 ) 0 9 1 6 6 一o 9 1 6 8 0 0 0 0 2 2 0 1 ( o 2 9 1 6 ，0 4 6 3 8 ) - o 3 4 5 1 一o 3 4 5 4 o 0 0 0 7 2 5 1 ( 0 3 5 2 5 ，0 9 3 6 0 ) 一1 6 2 8 1- 1 6 2 8 5o 0 0 0 3 3 0 l ( 0 4 1 7 9 ，0 1 0 4 3 ) 0 1 5 2 9 0 1 5 2 8o 0 0 0 2 3 5 1 ( o 4 8 8 4 ，0 2 7 5 1 ) o 0 8 7 20 0 8 7 10 0 0 0 9 4 0 1 ( o 5 6 3 0 ，o 2 8 5 1 ) o 1 5 4 4 o 1 5 4 5o 0 0 0 3 复旦大学硕士学位论文 4 5 1 ( o 6 4 3 2 。0 6 9 1 4 ) o 5 4 2 3 - 0 5 4 2 5 o 0 0 0 4 5 0 1 ( o 7 0 9 0 ，o 2 9 7 2 ) 0 3 2 6 00 3 2 5 8o 0 0 0 4 5 5 l ( 0 7 8 2 7 ，0 5 8 6 4 ) 0 0 7 5 0- o 0 7 51o 0 0 0 6 6 0 1 ( o 8 6 2 9 ，0 3 6 0 4 ) o 4 8 4 7o 4 8 4 6 o 0 0 0 1 6 5 1 ( o ，9 5 0 0 ，1 0 0 0 0 ) 一1 0 9 7 5- 1 0 9 7 50 0 0 0 0 6 9 7 ( 1 0 0 0 0 ，1 0 0 0 0 ) 1 0 0 0 00 9 9 9 7o 0 0 0 3 表2 有限元算例2 计算结果比较 第3 章高炉炉缸侵蚀线监测问题的求解 在本文中，高炉炉衬侵蚀线的监测问题，是作为高炉炉衬热传导问题的反 问题来求解的。本文用于求解这个反问题的方法是遗传算法。 3 1 反问题的描述和模型的建立 炉衬侵蚀监测问题的目标是确定侵蚀边界的位置，为此，我们需要借助炉 衬中预设的热电偶的信息。如果在炉衬中所考察的截面中，沿半径方向埋设了 n 个热电偶，那么，可以读取这些位置上的温度的实测值u ，u ：，u 。，将它们 与我们用正问题计算得到的相同位置上的温度计算值“。，：，“。，做比较将使 得两者的残数取到最小值时的侵蚀边界形状作为实际侵蚀线的推测位置。 仍采用图1 中的记号，我们的侵蚀监测问题就是：求l ，使得对应的炉衬 温度函数在测量点的值恰等于热电偶测得的温度值。由于这个温度函数与r 有 关，记为“= u ( r ，z ；r 5 ) ，于是确定f 5 的问题归结为：求( u ( r ，：；r 5 ) ，l ) 使得 “o ，z ；r 5 ) 满足偏微分方程的边值问题( 1 ) 一( 6 ) ，且成立 “b ，z ，；r ，) = u ，( ，= 1 2 ，) 0 2 ) 简记 “，( r 5 ) = “h ，：；l l ( = l ，2 ，v ) ( 1 3 ) 反问题就转化为一个优化问题 ，。兰0一ujmiu j ) ：， ( 1 4 ) ，n 0 一 ) 2 ， ( 1 4 ) j 4 l 其中“，是由( 1 3 ) 式定义的，是边值问题( 1 ) 一( 6 ) 的解在测温点的值。 由于反问题的不稳定性，温度测量的微小误差可能引起r 的巨大误差，因 此，我们采用吉洪诺夫正则化的方法，引入正则化项月，优化问题成为： m i n l ，( r s ) ：m ，i 。妻0 ，( r ；) - u s ) 2 + r 也) ( 1 5 ) ，。】 为了求解优化问题( 1 5 ) ，我们还需将侵蚀线r 5 离散化。采用本文正问题部 分引入的离散方法，给定l 上的s 个点鼻，b ，只，把由它们作分段三次样条 复旦大学硕士学位论文 插值得到的曲线作为1 - , 的近似，这样优化问题就成为 m i n l ，( 鼻，最，只) = m i n 兰0 ，( 只，只”，只) 一u ，) 2 + r ( 1 6 ) 1 = 1 由于测量点的数目一般比较少，而侵蚀线的形状又比较复杂，一次必需恰 当地给r 5 分段，并适当地选取鼻，足，只的允许范围。我们根据高炉的特点将l 分成3 段，并给定各个尸，的允许集合为一条适当的线段。对只，最，只进行插 值后我们可得到l 上的m 个特征点用来进行有限元网格剖分和构造正则化项。 我们采用如下的正则化项： m 一- 2 r = 口。( 口，+ l o j ) 2 ， 1 = 1 其中0 是侵蚀线上第j 到，+ ，个控制点间的有向线段的倾角，而口是正则 化系数。 至此，我们建立了高炉炉衬热侵蚀监测的数学模型，这是优化问题。在此 模型中，对每一个给定的高炉，若己知特定的点集处的温度测量值，就可以反 演推测炉衬的侵蚀位置，这就是本文的反问题。 3 2 遗传( g a ) 算法简介 3 2 1 遗传算法的原理和特点 遗传算法( g e n e t i ca l g o r i t h m s ，简记为g a ) 是一种借鉴于自然界生物进化、发 展的“优胜劣汰”机制的优化方法，是一种自适应人工智能技术。它的思想源 于达尔文的“优胜劣汰，适者生存”理论：生物从简单到复杂、低级到高级的 进化过程是一个自然、并行、稳健的优化过程，只有那些适应性高的个体在各 种环境中才更容易生存下来，并有更多的机会将自身的高适应性传给后代，反 之，适应性低的个体，容易被淘汰，产生后代的机会也比较少。最后在自然界 的生存竞争中获得胜利的都是适应性强的个体。 生物的进化通过繁殖，竞争，选择和变异这四种基本形式来实现。繁殖是 物种得以保持的必需，因为个体的生命总是有限的。竞争是自然界资源限制带 来的必然，只有适应性强的个体才能在生存竞争中获胜。选择，使得“优胜劣 汰”得以实现。子代生物常常继承父代的特性，使得优秀个体的优势得意传承， 同时，子代与父代又不完全相同。 遗传算法模拟生物繁衍中的基因复制、交叉、变异等进化方式，以“群体” 而不是“个体”的方式进行自适应搜索优化。其基本做法是：把要优化的目标 函数解释成生物种群对环境的适应性，把优化变量对应作生物种群的个体，而 复旦大学硕士学位论文 由当前种群出发，利用合适的复制，杂交，变异和选择操作生成新的代种群， 重复这一过程，直到获得合乎要求的种群或规定的进化代数。 遗传算法与传统的优化算法相比有许多不同，它的主要特点包括以下几点： 全局搜索功能。遗传算法通过群体优化，在搜索空间中，像撒网样搜索。 它综合了搜索的“盲目策略”和“启发策略”的优点，利用杂交算子，使种群 向优势个体集中，又利用变异算予，扩展搜索区域，取得了优势区域搜索和搜 索范围扩展这两者之间的较好平衡。它比之盲目搜索节省了时间，比之“爬山” 搜索则避免了局部最优的陷阱。 自学习性和自适应性。遗传算法对于所求解的优化问题没有太多的数学要 求。由于它是一种“进化”算法，它在搜索中并不需要问题的内在性质，可以 处理任意形式的目标函数和约束，无论线性或非线性，离散或连续，甚至是混 合搜索空间。这种性质，使得即使许多人们尚不了解其性质或者机理的优化问 题，也可以通过遗传算法解决。 本质并行性。一方面，遗传算法本身适合并行计算，最简单的方式是可以 由多台计算机独立进行种群演化计算，中间不需要通信，直到最后才堆各自的 结果进行比较，选取最佳个体。这样的方式堆系统结果没有什么限制和要求， 可以在目前所有并行机或分布式系统上进行。另一方面，遗传算法采用的种群 搜索方式可以同时搜索解空间中的多个区域，并互相交流消息。 较强的可移植性。遗传算法不是直接作用在问题的参变量集上，而是作用 在变量的某种编码上。这使得遗传算法本身对它所优化的问题不需要密切的联 系，它可以广泛地用于各个领域的问题。 利用适应值信息，不需要使用导数或者其他辅助信息。这一特点使得遗传 算法在使用中非常方便，也特别适合那些机理尚不明确的问题。 3 2 2 遗传算法的起源和发展 遗传算法的起源始于上世纪六十年代。h o l l a n d 教授在当时提出，在研究和 设计人工自适应系统时，可以借鉴生物遗传的机制，以群体方式进行自适应搜 索。 1 9 6 7 年，h o l l a n d 的学生b a g l e y 在博士论文中首次使用“遗传算法”这个 词，他还发展了复制、杂交、变异、等等遗传算子，并创立了自适应遗传算法 的概念。 7 0 年代初，h o l l a n d 教授提出了遗传算法的基本定理“模式定理”，从理论 上保证了遗传算法是一个可以用来寻求最优可行解的优化过程，由此奠定了该 算法的理论基础。 1 9 8 0 年，g o l d b e r g 出版专著( ( g e n e t i c a l g o r i t h i n s i ns e a r c h ，o p t i m i z a t i o na n d m a c h i n el e a r n i n g ) ) ( 搜索、优化和机器学习总的遗传算法) ，系统地总结了遗 传算法的主要研究成果，全面论述了该算法的基本原理和应用，可以说是奠定 复旦大学硕士学位论文 了现代遗传算法学的基础。 3 2 3 简单遗传算法( s g a 简介) 简单遗传算法( s i m p l eg e n e t i c a l g o r i t h m s ，简圯为s g a ) 适用于最大化问题， 以目标函数值最为个体的适应值，按比例选择个体。它使用二进制编码，并且 只使用杂交和变异两种遗传算子。当算法保留每代的最佳个体，并以交叉和变 异作为进化算子时，将以概率找到全局最优解。 使用简单遗传算法需要对个体进行编码。选择合理、方便的编码方式，能 使得个体编码便捷地“翻译”回个体原本的含义，从而可以进行适应值评估。 选择个体时，简单遗传算法按照个体目标函数值的正比例关系机型选择， 这种选择方法类似于“轮盘赌”，它使得一个个体被选择的概率直接与它的适应 值成正比。在这样的选择中，适应值高的个体在繁殖池中会得到比适应值低的 个体更多的机会，体现了进化论中“适者生存的”原则。 从繁殖池中得到下一代个体的方法包括交叉、复制和变异。 交叉是主要手段。随机取繁殖池中的一对个体，根据杂交概率随机决定它 们是否进行交叉，如果进行，则按照预先制定的规则交换两者的部分编码段。 常用的交换方法是“单点交叉”，即预先指点基因中的某一位