（课程与教学论专业论文）提高高中生数学解题能力的教学策略研究.pdf

摘要 上世纪8 0 年代以来，数学教育的核心问题逐渐被确定为解决数学问题，迄今为 止，它也仍然是数学教育界所要研究的重点阿题。中国的数学教育家以及数学教育工 作者一壹以来都非常重视研究学生的数学解题能力。 在蘸入研究的基础上，本文立是予等代离中生在数学解遂能力上所研究豹闯磁， 寻找其原因弗从教师教学的角度刳定能够解决阍燧的教学策略。 通过查阅文献：本文对“数学问题”以及“解题”做出了概念界定，并明确了对 当代高中生数学解题能力的要求。本文立足予波剥亚的数学解题能力，结食高中生实 际情况，对高中师生通过不同方式进行了实证调查、访谈，一定程度上确定了高中生 解题能力的现状，以及影响高中生数学解题能力的各种因素即：问题因素、知识因素、 愿维能力函素及情感因素等，并在关注学生共性闻题的同时，对其差异性也给予了关 注。最后透过对工作奁线的优秀数学教师豹访谈，确定了针对学生墩上影响其解题 能力的原因蔚应该采取的有效的教学策略，劳根据研究的成果设计出具体的教学案例。 相信本文能够对当代高中生在解题能力方面存在的问题及其所所产生的原因有 更客观、宪整、系统的分析，解决问题的方案能够在实际教学中给出适当的建议。 关键词：解题能力；教学策略；教学设计 独创性声明 本入声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的 研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以 标注和致谢的地方孙，论文中不包含其他入已经发表或撰写 过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机 构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本 研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说甥并表示 谢意。 学位论文作者签名：茑：挺彗日期；趣：夔：! l 。 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师藕大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 东北筛范大学有权保聱并向国家有关部门或杌橡送交学位论文的复印侔帮磁盘， 允谗论文被套阅和借阅。本人授权东北娜范大学可以将学位论文熬全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学 位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：鸯鲞盏 指导教师签名： 丑 日 耀：嘏玉：蠡：妥 翻 嫂；删：鲢：塑日 糍： 期： 学位论文作者毕业后去向： 工作单位：远豳盎筮三土生堂 逶识缝坡：选窭直塑垩匿l i 五墨照垒曼撵镕编：! ! q 壁q 星 第一章，问题的提出与研究的目的、方法 一、阚题的提出 1 9 8 0 年4 胃，美嚣教师协会公布了关于行动髂议程，第一条就提出“必须把 问题解决作为8 0 年代中学数学的核心”。1 9 8 2 年，英国数学教育的权威文件c o c k c r o f t 报告提出：数学教育的核心是培养解决数学问题的能力。此厝，各国都纷纷响应，直 鬟如今提高学生数学闻趱豹解决能力成为数学教育的圭要器标之一，翔蘧解决成为国蕲 数学教育研究的热点。 孱内研究提高学生解题能力的文章，可以发现其基本上都遵循了波利监的“怎样解 题表”的过穗，并将重点研究方向定在建立思路、制定解题计划、厦顾检验三个阶段。 对于审越能力的研究还鸯些匮乏。研究的领域体现在知识层面、爨维层面、解殛方法层 面以及解题的情感因素层面。并且对思维层面的研究是最为丰富的。因为解题是数学理 论与实践相结合的产物，所以绝大多数在对解题能力的研究中都是从具体问题出发，研 究辐应解题能力提高豹方法。或者是用兵体的案铡来证明提囊勰题能力豹途径的正确 性。其中有很多是有关解题教学中具体闯题的数学思想方法的应用研究，由予涉及的范 围很广，就不细述。在知识层面上，以往的研究指出要巩固基础知识，作为解题的依据。 对于解题能力，解题思维是重孛之薰。教育者对解题思维的研究一直都很多。“总的来讲 思维层面上的研究方向e 较分散，并且一直存在着一些讨论。缀多文献在研究中都十分 关注学生的解题思维品质。 概括的说教育者们掇出的学生解题思维品质的特点有严谨性、深刻性、广阔性、灵 活性、独特链、孰判性、创造毪；提出辩证思维、发毅思维等的调练。僵是杰予蓠人对 于各种思维方式的研究都相对比较侧蘸于其中的一方面，因此还缺少系统、完整的研究。 部分文章在一定程度上对学生的思维晶质的培养进行了探讨。例如有文章指出“检查解 题过程，培养愚维的严谨性i 提出疑闷，培养思维的批判性；深入思考，培券思维的深 翔性：一题多解，培养思维的广泛性；变换推广，壤养恶维的创造性”。多数文章都十 分重视解题届反思的过稷，并有很多类似“运用解题反思，优化数学思维品质”的提法。 但是，从内容上来讲，有很多地方还值得深入的探讨。 对学生数学解题能力的培养，长期以来还存在辫“遥法”与“一返多解”攫耪提法。 曾经存在着两种提法的争论。很多教育家与一线的各位优秀教育工作者都对此进行了探 讨。现在一种较普遍的观点是通过“一题多解”的训练可以培养学生解题的灵活性与创 造性恩维，面对“通法”的研究也十分具有现实意义，可以使学艇把握解题的本质。在 提高学生解题能力豹研究中，对学生豹心理因素层蕊的研究一般停留在思维的训练上， 2 并且一般研究学生的共性，没有更多关注学生的个性品质与个人解题能力的关系，还有 进一步探讨黪空润。综上掰述，对于学生的解题能力妇簿遴过教学策略进行改进，还有 相当的研究空间。 二、研究目的 钟对高中学生在解题貔力方面存在闻题的共同瞧与特髯性，经过调查、分板、探 索解决问题的途径弗探究具体的教学设计。具体来讲有以下几点：高中数学需解决的 阀题豹概念界定；现行教学大缨对裹中生解避麓力的概念界定与要求以及耨课程标准 对其所作的修订；当代高中生数学解题的能力的现状与所出现的问题进行探究，以及 原因分析，并根据所分析出的原强制定相应的解决方法；根据所馋的研究探究做出具 体的教学设计。 三、研究方法 ( 一) 研究方法 本研究采用质佬研究与量化研究相缩合的方法，准备使用文献、现场观察、访谈、 交谈、问卷调套、替方式来搜集资料，对资料进行按理分析，得出适当的结论，主要 以叙述豹方式呈现研究结桊。作为研究者我诗划要微豹首先要根据文献豹阅读铡定大 致的研究方向以及批判的继承前人对于提高解题能力方向的研究成果。其次是通过对 学生的闻卷调查及测试初步确定窿中学生的鳞题能力现状，再逯过对高中教烬的访谈 以及谦堂教学的现场观察初步得出当代筒中生在解题能力方面存在的问题，以及各位 一线教师在具体的教学实践中的处理方法。 ( 二) 研究方案 1 通过鹰阅文献资料确立大致的研究方向即系统的解决高中学生解题中所存在的各种 能力匐题。 2 通过对学校一线教师的访谈调赢初步确定当代高中生在解题方面普遍存在的问题。 3 。对不同层次豹高中生作闰卷调查进一步确定位们在解题髓力方面存在豹涟瑟。 4 通过对问卷的分析归纳出其原因共性与差异性。 5 根据原因髯次对教师、学生进行访谈，探讨解决润题豹途径，褥出第一手资料。 6 将资料进行分析、整理，系统的总结出当代高中生在解题方面酱遍存在的问题， 提出解决闯题的途径。 7 根据以上研究探讨给出课堂教学的设计案例。 第二章、数学教学中的“数学问题”及搿解题” 一、数学教学中“数学问题”的概念界定 “1 9 8 6 年第六届国际数学教育大会的一份报告指出：一个( 数学) 问题是一个 对人具有智力挑战特征的、没有现成的直接方法、程序或算法的未解决的情境。数学 家只把结论未知的题目称为问题，而在数学教学中，则把结论已知的题目也称为饲题， 因为相对于学生而言，与数学家所面临的问题情境是相似的。这时候的数学题是指：为 实现教学目标而要求师生们进行解答的数学知识系统，包括一个待计算的答案、一个待 证明的结论( 含定理、公式) 、一个待作出的图形、一个待判断的命题、一个待建立的 概念、一个待解决的实际问题等”“1 本文对高中数学问题的概念界定采取的是上文中 指出的数学教学中的数学问题，即对学生来讲是答案未知的题目，而实际上是答案已知 的数学题目。 我们现在一般认为数学问题的产生来源于人类的社会实践，即生产、生活和科研活 动的需要，这类问题称为现实数学问题：经过发展与派生，我们在数学教学中要使用大 量的由数学学习需要的数学问题，这类问题可以称为学校数学问题。因此在数学解题的 教学活动中要将目标同时放在能使学生解决现实的数学问题以及学校数学问题，以便促 进其数学思维能力及智力的发展上。 数学教学中的数学问题可以按照多种不同的标准进行分类。主要分为以下五大类： 按照解题目标将数学问题分为计算题、证明题、作图题和轨迹题等；按照综合程度将数 学问题分为单一性题与综合题；按照评分的客观性分为客观性题( 选择题、是非题、填 空题等) 与非客观性题( 问答题、论证题等) ；按照思维的规范程度分为常规题与非常 规题；按照思维的发展程度分为封闭型题与开放型题。数学问题一般具有以下特性：“接 受性、障碍性、探究性”圈。高中出现的数学问题也完全符合上述对数学教学中的数学 问题的概念界定以及其分类与特点。 二、解题活动的概念界定及解题教学的作用 ( 一) 解题活动 这里的“解题”指数学解题。解题活动就是找出数学题的解的活动。在数学教学中， “解题”是一种最基本的活动形式。无论是数学概念的形成、数学命题的掌握、数学方 法与技能的获得，还是学生能力的培养与发展，都要通过解题活动来完成。同时，“解 题”也是评价学生认知水平的重要手段。虽然“解题活动离不开题也离不开解题 方法但它们都只是解题活动的组成部分，还不是解题活动本身。解题活动至少还需要 4 解题思想、鳃题镶略作指导，还需要解题程序、解题擐馋去完成。”解题活动要求学 生能够把所学的数学知识、技能、经验用以解决其来鞠的疑难阍惩，也能使学生通过解 决闯题充分认识数学的意义，并逐步树立起对学好数学的信心。 ( 二) 解趣教学的作用 数学知识的应用是通过解题来实现的。数学作为一门学科，它的理论，无不是数学问 题解决的结果。在数学教学与学习中，概念、定理、公式的引入和推导证阴及知识的应 用都与解遂有关。首先解鼷教学裔助予加深学生对基础知识驰理解、掌握、巩固。圜为 在解题教学过程申，要求学生必须充分调动思维鑫搴积极性，努力网忆已经学过的知识和 懑获得的经验，来确定解怒活动的方法和策略，根据其体翔题促使学生把学过豹知识重 新组含，按当前遇捌的闯题使学生的知识建立新的联系，从丽形成会理的认知结构。基础 知识的掌握与解题活动又是相互联系、相互制约的，丰富的知识是解题活动的纂础，反过 来解趣活动又能促进系统知识的掌握与巩固。其次，解题教学有利予对学生思想品质的 培养。通过解题教学尤其是解决与实际生活相关联的阔题的教学，有助于培养学生理论 联系实际的学风；通过解决拔赢性阚题的教学，可以培养学生克服瞩难的精神；通过鼹 决复杂趣耳，可以培养学生仔细、耐心的学习习惯和坚韧不拔的毅力；通过解决综合性 翔题，可以蜷养学生盼分析麓力和辫避难物主义鼹点。最后解题教学有助予培养学生运 稻鳃识的能力，形成一定的数学能力。数学熊力的形成寐提高需要逐过长期刻苦她学习 和解决一定数震的数学问题才熊实现。 因魄在教! l j 的教学过程中一定簧重视解趱活动的教学，才能搜学生较好的形成数学 解题裁搬以及运用自飘的数学能力去解决其他问题。 兰：嵩审生数学解题熊力的具体襄求及露阶段蔫率生数学解题能力调 查 ( 一) 教学大纲及课程标准中对数学的教学目标 教学大纲中提出要“使学生学好其所必需的代数、几何、概率统计、徽积分初步的 基穑知识、基本技能，以及其中的数学思想方法。培养学生数学媲提出、分析和解决问 题的能力，努力培养学生数学思维能力，包括空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表 示、运算隶解、演绎诞明、体系车句建等诸多方面，能够对客观事物中的数量关系和数学 模式作如思考和判断等解题耀动所需要的知识储备和基本能力”。 新谋程中对数学携教学强标包含“要求学生获褥必要的数学蒸戳知识襁基本技能， 理解基本豹数学概念、数学结论躯本囊，了解概念、绒论等产生的背景、应用，体会其 所蕴涵的数学憨想和方法。提高空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、处理数据 等与解题能力密切相关的知谈储备与基本能力，丽虽要求学生能够数学她提出、分橱和 解决问题的能力。不仅能解决通常的问题，而且能解决需要莱种程度的独立思考，判断 力，独创性和想象力的问题”。埘 在对高中生数学解题活动成果的重蜃检验擞学高考中，魂对学生的孵题能力有 明确豹要求。近年的裔考在考查学生基磁缶睡识的嗣时，毽淀熏考壅镳船的能力，确立以 5 能力立意命题的指导思想。考试中将注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的 考查，增加应用性和能力型的试题，融知识、方法、思想、能力于一体，全面检测考生 的数学素质，注重展现数学的科学价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性和 现实性，重视试题的层次性，合理调控综合程度。新课程试卷的命制将更强调基础的更 新，减少对单纯知识、公式的记忆要求，降低对运算复杂性、技巧性的要求。要求考生 克服紧张情绪，以平和的心态参加考试，合理支配考试时间，以实事求是的科学态度解 答试题。 由于新课程的到来，对学生的考察也更体现出人性化。高考中明确指出要考察学生 的个性品质。个性品质是指考生个体的情感、态度和价值观。近年将要求考生具有一定 的数学视野，认识数学的科学价值和人文价值，崇尚数学的理性精神，形成审慎思维的 习惯，体会数学的美学意义。学生的数学解题能力，将有更深层次的体现。 ( 二) 高中生解题能力现状调查 笔者通过四种方式对高中生解题能力的现状进行了调查，第一种根据学生的解题能 力很大程度都可以通过考试的成绩来说明，笔者髓机抽取高中某年级几个班，通过对其 学生上学期的期末考试成绩的调查分析，进行初步的估计现在高中生的数学解题能力， 第二种是分别对高一及高二年级的理科普通班、文科普通班各随机抽取两个班，在高二 年级的实验班的文、理班中各选择一个班进行问卷调查，进一步确定与高中生数学解题 能力有关的各种因素；第三种是根据对于随机抽取的高一和高二学生同时进行一次相同 题目的测查，来验证是否随着年级的增高，学生的解题能力也随着增强。第四种是对个 别学生及优秀教师进行访谈，深入的分析问题解决问题。对于访谈及调查问卷的结 谌值鞑榉绞剿玫慕峁在这里进行展示。 第一种调查方法我抽取到的样本为高一年级的三个班共1 4 7 名同学( 不包括缺考学 生) 上学期的期末考试成绩。需要指出，高一年级一共有1 1 个班级，其中实验班有三 个班，普通班有8 个班，比例为3 ：8 ，而在抽取的三个样本中，实验班一个班，普通班 两个班，比例为1 ：2 ，与实际情况大致相当，但由于普通班比例稍高调查的数据与实际 数据相比应该稍低。高一上学期期末考试是地区统考，满分1 2 0分。题型为选择题、填 空题、解答题三种类型，内容涵盖高一上学期的主要知识点，注重考察学生的能力。试 题难度较大，从客观上导致这次考试学生的总体成绩偏低。在抽取到的几个班的学生的 考试成绩最高分为1 0 9 分，最低分1 2 分，平均分为5 7 8 分，没有达到及格线7 2 分。 优秀率为2 7 ，及格率为2 8 4 ，达到或超过平均分数线的同学占总人数的4 9 3 。学 生成绩的分布如下表：1 分数l o 吨o 1 人数7 2 0 1 2 o 3 0 一8 0 4 0 5 05 0 一6 06 0 一7 07 0 8 08 0 9 09 0 1 0 01 0 0l l o 1 8222l241110 4 通过表格可以绘出学生成绩的散点分布图，有呈正态分布的趋势，分数主要集中在 3 0 分一l o o 分之间，3 0 分8 0 分的学生为最多。6 人数： 4 c 一 喾一 i | | i t t tlilil| - 一 5 c1 分数 - 一 _ 以上学生分数的标准蓑为2 8 3 分，数据显示出学生之闽的差异性是非常显著 豹，但是散点銎也显示出大多数同学的解题能力都处予中闯水平，只有缀少的同学 鳃题能力j # 常强或非常弱。 从横向上看，各班级之嘟的差异也是显著的。三个班级的平均分分别为5 0 1 6 分、7 7 5 8 分、4 5 1 6 分。通过对每个班级平均分的计算，可馥发现由于学生的整体 素质有差异，在解题能力的表现上也有很大的差距。另外同是普通班，两个班的表 现镌有差距。因为阏一个屡次的班级学生的差距不髓显，因此猜铡学生的解题能力 与教师的教学理念及教学实践的表现有一定关系，这个猜授9 会在以后的调查问卷及 访谈中进行进一步验证。 第三秸调查我针对高的学生学习过含有绝对德的不等式的解法以及一元二 次不等式的解法这两节内容，而高二的学生在高二上学期又进一步学习了不等式豹 有关知识面选择了离一年级含绝对傻的不等式的解法及一元二次不等式解法这两节 谍盼褶关练习趣作为测试题以便作对照。我共选择了五个问题，每题1 0 分，用每个 阀题勰答的分数及超题的解答情况进行擐l 谣。为了测查的结果更具般性，我选择 测试的班级都楚瞢通班。在商一随机抽取两个班级，在商二理科班中随机抽取两个 班级，文科班中随枫抽取一个班级。 问题设置妇下： 1 、解不等式：3 。i 弘一3 i 5 2 、解不等式：汪+ 司+ 江一番9 2 3 、解不等式；l ，三! 一3 x 一33 一工 4 、解关于x 的不等式戤2 2 0 + l 弦+ 4 ，o 5 、羲不等式z ：一& + 2 0 对切x 恒成立，求实数珊豹范围。 = 一u ，麟。一，麟一i 其中第l 题、第2 题主要考察绝对使不等式的解法及分类讨论的数学思想；第3 题主要考察元二次不等式的解法及化归转化的数学思想；第4 题考察学生一元二次不 等式解法的掌握情况及分类讨论的数学思想；第5 题是一道综合性较强目遴，考凑学生 7 对一元= 次不等式解集的理解、一元二次不等式的解洪及分炭化归的_ 数学思想，对学生 的愚维憩力妻备要求也扰较高。这几个闯舔在解答豹过程中都需要较复杂的运算，因此对 学生的运算能力也是一个考察。 在对试卷以每题l o 分的标准进行分剐评分后，虢对各个班每个闯遴的平均分分剐 进行了统计，其中班级名称我分别用：1 1 ，1 2 ，2 1 2 3 五个数字进行表示，其中， 1 1 、1 2 为高一的两个班，2 1 、2 2 班为高二理科班，2 3 为高二文科班。测查数据 如下表： 班级 题目 1 11 22 12 22 3 l7 8 分7 6 分8 2 分7 9 分7 8 分 26 5 分 6 9 分8 5 分8 4 分 7 5 分 37 2 分 7 2 分8 0 分8 1 分 7 8 分 46 1 分 5 。9 分7 1 分6 。9 分5 。5 分 55 6 分 5 3 分7 5 分7 3 分6 1 分 总平均分3 3 2 分3 2 9 分3 9 3 分3 8 6 分3 5 7 分 遥过数据可绘制出下图 通过这次测评可以明发现二年级的熬体水平明显高于一年级。尤其在第靼趱、第五 题对学生各方面能力器求较高的题目中，高二理科班的学生明显强于其它班级的学生。 离二文科班舱学生整体表璐也略好于裹学生，健是在第匿题、第纛题上的表现鼙不如 理科班学生表现的优秀。这些数据在一定程度上验证了笔者观点以及通过调查问卷能够 褥到的调查结渠。郎隧着年级的增长，在教师的教学与自身豹努力下，基础知识与基本 技能的掌握会更加牢固，经验会更加丰富，思维能力墩在逐渐增强，学生的解题能力也 在不断的提高。在调蠢问卷中发现文理科部分同学对数学学习的态度及重视程度有很大 不同，这也从测评的结果中显现端倪。文科学生在最后两个阏题的勰答中，明显有相当 一部分学生测试结果非常不理想，而理科学生这种情况就比较少见。 四、解蹶活动的科学程序 高中数学解题过程也遵循波利亚的解题表中的四个步骤：“为了把我们的表中的那 些海题和建议方使地归类鄢汇集在一起，我们将把我们的工作分为泅个阶段。第一，我 们必须理解该题目，我们必须清楚地看至4 所要求的是什么。第二，我们必须了解各个项 目是如何相关的，未知量和数据之间有什么关系，以得到解题的思路，拟订方案。第三， 我们执行我们的计划。第四，我们回顾所完成的解答，检查和讨论它”。嘲这暇个阶段 酋先是一个四步骤的解题程序，其中实现计划虽为主体工作，但较为容易完成，是思路打 透之后爨体实施信息资源的逻辑配置，我船所需要的只是耐心与准确性；其次，菇清闽邂 是认识问题并对问题进行表征的过程，应成为成功解决问题的一个必要前提；与前三者 相比，匿顾是最容易被忽视豹阶段，波乖j 亚将其作为勰题的必要环节雨固定下来，是一个 有远见的做法，在整个解题表中拟定计划是关键环节和核心内容。 ( 一) 弄清题意 弄清题意，即审题。审题是解题过程的首要步骤。审题能力如何，直接影响至b 解题 的成败。审题韵基本要求主要是弄清题霸的两个组成部分：条件和结论。对一麴简单的 题目，只要认真审题，弄演题意，一般说来是并不困难的。然焉对于某些要求综合或灵 活运用知识来解答的题目，就会提高对审题能力的的要求。这类题目的特点是条件比较 复杂，甚至隐薮霞不明显。在审题辩，对已知条件既甭遗漏，也不隧意外烟。对于结论， 经过审题要转换能力主要是培养分析隐蔽条件的能力，化简转化已知和未知的能力。 ( ：) 制定解题计划 墨数学基本概念，基础知识和基本技能是解题思路的源泉，离开它们，解题就成了无 本之术，无源之水。因此，审怒之后首先要回顾题目中涉及哪些主要概念。这些概念是 如何定义的，在题目的条件和结论里，与哪些定理、公式、法则有关，可否直接应用。 题目所涉及到的基本技能，方法魁什么等等。经过这样一番深入思考之后，解题途经将 会逐步明朗，鳃题计划就隧之形成。 ( 三) 实现解答的叙述 怎样恕数学题的鳃答严谨建叙述出来是件不容易的事，这有着较高的能力要求。叙 述要正确、舍瑷、严密、清楚。把运算、推导、作图与所得的结果叙述出来，是解题的 一个基本要求。解蘧的步骤都要有充分豹理由，遵循严格的思维规律，合乎逻辑佳。任 何数学题的解答都有一定的严格要求，无论哪种格式，叙述都应屡次分明，条理清楚， 表述规范。这爨还包含着书写时字迹须清楚，作圈正确，疏密适度，行款得体。尤其是 教师在教学过程中要作出示范，使学生考榜样w 学。这样一来才能逐步培养严谨的表达 能力。 ( 题) 解题回颞 解数学题决不能解一题扔一题，这样无助予解题能力的提高。解题后的反思是提高 勰题能力的一个重要途径。学生如果善予进行总结，可以从勰题方法，解题规律，解题 策略等方面进行结，起到举一反三，触类旁通的作用，从而提高解题能力。 第四章、影响学生解题熊力豹因素 根据对学生在解题过程中所出现的障碍的分析与研究，可以发现影响学生解题能力 豹因素主要有以下凡方瑶： 一、数学问题本身的原因 ( 一) 闾题情境的表述与语亩表达准确性对学生解题的影响 数学问题中既蠢与现实生活相联系的较形象的问题也窝抽象操度较舞的目题；既奄 封闭式问题也有开放型问题。问题提出和问题情景的设置是否恰当也是影响学生解题的 因素。数学闻题鼹决经常是在一定豹闯鼷情境中开始的，却学生能产生麓问题豹思考， 有达到目标的心向。由于目前高中数学课本里的大量练习和习题多为可采用一般算法和 程序、麓参考和模仿教师徽过的范例去解答的较为抽象的常规问题，往往缺乏闷题情境， 近年来，不少数学教育专家都提出，应在解题教学中设置适当的问题情境，经过讨论、 研究、问题解决和探索等形式解决问题，让学生身临问题情境，以扩大学生的思维空间， 提高分析和解决问题的能力。也使学生通过解决阀题、特别是具鸯实际意义的问题充分 认识数学的意义，并逐步树立起对学好数学的信心。除教材外，教师在教学中应多创设 窍利于阔题解决的课堂气氛，精心没计一些“好阀题”。一个“好阚题”应该怒其解答 中包含着明撼的数学概念与技巧；或问题有多种解法；或问题能够推广、扩充到各种情 形；或闰题来自学生的经验和日常生活实际。 问题语言褒述的准确性也是影响学生解题能力的霪要因綮。闻题的设景是否有语富 的歧义现象，对学生解题会有很大影响。若有语言的歧义现象轻则对学生审题产生不必 要的干扰，重则产生科学性错误。因此问题的设置对诺言是否准确有很大的要求。语言 的叙述方式同样也可以对学生的解题过程造成影响。 ( 二) 瓣题的难易程度对学生解题过程的影嚷 “确定一个问题的难度很大程度上依赖于学生提供的前提条件，但是也存在着某些 客蕊的评价标准”。【i ”翔语富的复杂程废，阀题表桎的形式，抽象程度，一般化程度所 要求的精确程度，表述答案时的表述方式，关键信息间的比例关系等。就问题难度的确 定我们还需要考虑下捌要素：一是问题与真实的联系如接近粪实和内容完整的问题；二 是问题签案的数量和类型如确定的答案，如最大值或竣小值、估计、近似值等等；三是 将题目译成数举语言的难度；四是发现数学技巧的难度：五是技巧本身的难度，在解题 技巧迅猛发展的今天，问题具有越来越多的隐藏性，我们必须去挖掘所隐含的可利用的 条件，才能达到最佳的问题解决方案。 二、学生自身医素 通过之前对学生的解题能力与解题所遇到的障碍的调查以及对教师的访谈结果不 难看出与学生数学解题能力最密切相关的是学生自身的各方面因素。而突破他们在解题 过程中遇到的障碍也应该主要从以下情况入手。而影晌他们解题能力的不仅有学生的智 力因素即学生对概念、公理、定理、运算能力等基础知识、基本技能的掌握情况以及数 学思维能力、数学思想方法的掌握运用的情况；之外还有学生自身存在的情感因素也是 影响他们解题能力的相关因素。下面我们将分别对其进行讨论。 ( 一) 基础知识的掌握情况与其解题能力的关系 高中学生的基础知识主要是指高中三年所学习到的数学中的概念、性质、法则、公 式、公理、定理以及由其内容反映出来的数学思想和方法。由于数学思想方法的地位比 较特殊，我们将在以后的文章中对其单独说明。基础知识在问题解决中起着重要的作用。 一切创造性活动都是对原有知识、经验加工的结果。现代认知心理学的研究表明，学生 头脑中积累的知识只有做到条件化、成熟化、结构化才会有效地迁移，才能成功地用以 解决问题。数学上的一些概念、定理、公理、公式和法则等知识都是解题的依据，且具 有广泛的适用性。学生对它们掌握得是否牢靠，理解得是否透彻，记忆是否准确，会造 成运用是否灵活，因此这些基础知识会直接影响解题思路或解题结构的正确性。数学概 念是对数和形的本质属性的恰当描述，它给出了定义对象的本质属性，这也是我们解决 问题的主要依据。因此，必须确切理解概念的本质属性。公理、定理、公式、法则等也 都分别能体现数学概念所产生的外延，因此也必须对他们准确地理解和掌握。 “根据学习的认知理论，我们认为数学学习过程是一个数学认知过程，。即新的学 习内容和学生原有数学认知结构互相作用，形成新的数学认知结构的过程”。“。由于学 习数学基础知识是数学学习的重要部分，因此学生学习基础知识，主要有两个层次：第 一个层次是对自己知识所学的知识只是死记硬背，掌握比较零散，没有形成体系；第二 个层次是对自己已经学习过的知识活学活用，并将其归纳成一个完整的知识体系，而能 够将所学知识归纳到自己头脑中形成完整的知识体系是对当代高中生在学习数学时的 一个很重要的能力要求。 学生在新学习知识时，往往还不能很快将他们归纳到自己的知识体系中，这时学生 除了要在学习新知识的过程中透彻地理解它们还必须训练使用新知识解题的能力还要 及时巩固新学知识，掌握解题依据。另外学生更要重视将新学的知识向知识体系的归纳、 完善过程。每学完了新定理、新性质，就要及时小结归纳它的应用规律和应用范围，并 恰当地将它纳入某一知识体系中。只有坚持这样做才能建立起解题网络，以提高记忆和 检索效率便于寻求到更好的探求解题方法。 在对学生试卷进行分析时可以发现如果某道问题他们的得分率很低的时候，往往是 他们还没有对这个知识深刻的理解掌握，还处于较分散的记忆状态，没有将其归类到自 己的知识系统中，形成体系。而相同的题目学生在对这个题目所需的知识掌握情况不同， 也会影响到他们的得分情况。因此，数学基本知识的掌握情况是影响学生解题能力的一 个很大的因素。 ( 二) 基本技能的掌握与其解题能力的关系 学生在高中阶段应该掌握的基本技能是指学生的运算、简单的推理、画图以及绘制 1 4 蹦表等技能。 运算能力是高中数学教学串簧培养豹基本技能之一。具体遗说，函数式的恒等变形、 方程式和不等式的等价变形、集合运算、向量运算以及各种数值计算、统计等都是运算 的内容。运算能力的基本特点有两个：运算能力的综合性运算能力既不能离开具体的 数学知识面孤立存在，也不能离开其他熊力雨独立发展，运算能力是和记忆能力、观察 能力、理解能力、联想能力、表述能力等互相渗透的，它也和思维能力等数学能力相互 支持着；运算能力的层次性：在数学发嶷的历史上，不同类别的运算是l 蠡篱单劐复杂、 由具体到抽象、由低级到到高级逐步形成和发展起来的。因此对运算的认识和掌握也必 须是逐步有序、青朦次的，不掌攘有理数豹计算，麓不可能掌握实数的计算；不掌握整 式的计算，也就不可能掌握分式的计算。不掌握有限运算，就不可能掌握无限计算。没 有具体运算的基础，抽象运算就难以实现。由此可觅，运算能力是随着知识面的逐步加 宽、内容的不断深化、抽象程序的不断提高而逐步发展的。如果说数学内容的发展是无 穷的，辩么运算能力的提离也是永远不会终结的。对于高中数学运算能力的要求大致可 分为三个层次：计算的准确性基本要求；计算的合理、篱捷、迅速较高要求； 计算的技巧性、灵活性高标准要求。 运箨箍力豹好坏在缀大程度上会影响至i 学生豹解题能力寒低。目前，高中学生运算 能力的整体状况在对试卷的分析中可以蓉到：大多数同学在基本计算的准确性方面都很 不错，偿琵与离中较复杂的知识联系较密切或需要较高技巧箝运算就比较容易出现问题 也有很多同学因为运算能力不过关而导致解题能力受到影晌，甚至几乎所有的弼学都因 为运算错误导致个别题目的解答错误。这就值褥我们深思了。根据教师们的回答，我们 可以看到学生运算错误出现的原戮是多方面的：有的学生不明算理，机械地照搬公式： 有的则是不顾运算结果，盲目推演，缺爰合理选择简捷运算途径的意识；也有的学生对 提高运算能力缺乏足够斡重视，他们总建把“糇心”“马虎”作为借日，也有楗当多的 老师只羲重解题方法和思路的引导，而忽视对运算过程的合理性、简捷性的必要指导。 其实与其它基本能力豹培养一样，运算麓力的水平首先取决于对基础知识的理解和掌握 摆度，同时与观察能力、理解能力、分析能力的水平襁切相关。 与运算一样，识豳、作图能力与绘制图表能力也楚高中学生非常重要豹基本技能，尤 其是识图作图能力，在函数、立体几何、平面解析几何、向鬃、三角函数等知识块的学 习中都需要学生具备一定的识图、作图能力，不仅可以使学生在学习时建立直观的印象 深刻理解知识的本质，提高他们的空间想象能力恧且良好的识强、作图能力也是运用数 型结合这种数学思想方法来解决数学问题的一个重要基础而绘制图表是学习统计课程 的一个基本能力，对数据的统计结莱，往往要通过图表来展现蹬来 例：在底砸边长为2 的正三棱锥y 一“b c 中，e 是边b c 的中点，若口明e 的面积是 王，剩铡棱瑚与底面所成角豹大小为( 结果用反三角函数表示) 4 分搋：这是一道典型的立体几何求空间角的游题，但是润邃是月文字给出豹，却没 有图形，因此要求学难必须自己绘出图形，并根据自己所绘图形加以求解。 的掌握对解题能力的影响是不言而喻的。因此，学生若要具备良好的数学解题自& 力，则 必须对数学基础知识中所体现出来豹数学悉想方法有良好的掌握。由于数学思想方法缝 往隐含在知识里，体现在知识的发生、废用过程中，学生数学思想方法的形成要经历一 个从模糊至4 清晰的较长过程，学生水体掌握数学慝想方法比理解知识、形成技能更越不 同步，可以说数学思想方法教学与学习比数学知识的学习与教学更加困难，因此也需要 教师对数学思想方法的教学作更深入的研究。 ( 四) 数学思维熊力与解题能力的关系 数学思维能力对学生数学解题能力的影响是巨大的，这从学生在解题时所呈现出的 解答成果与他们的不霹解题习惯中都有所体现。在所有对学生数学勰霆能力研究的文拳 及著作中，都将数学思维能力作为重要的研究部分。在全日制普通高级中学数学教学 大缨中，明确的指融了数学思维能力包括空润想象、埴觉猜想、髓纳抽象、符号表示、 运算求鳃、演绎证明、体系构建等方面。而在普通高中数学课程标准中提出提高学 生的数学思维能力是数学教育的基本目标。而学生襁数学解题是耍不断的经历直观感 知、观察发觉、归纳类比、空闻想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演 绎证明、反思与建构等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现。通过教学大纲 及课程标准对数学思维能力的范疆冥定，可以看出数学思维能力影响了数学解题所需癸 的方方颜面的能力，因此数学思维能力仍然是本文研究的重点。 数学思维放属于一般恩维，因此，要清楚数学愚缍的特性与觏律要从一般艨缝的研 究成果出发，结合数学思维的特殊性来进行分析。人类对于一般思维是从不同学科不同 的角度分别进行研究的。 。嗵过对这些理论的综合分析，可以发现：思维是其有意识的人脑对客观事物的本质 属性和内部规律性的概括的、间接的反映。思维以感知为基础而超越感知，是认识过程 盼高级阶段。思维以场的形式存在，通过复杂的中介细不同的方式进行信患加工，以获 得关于客观事物的特性、联系和关系的知识。它既是高级的神经生理活动，也是复杂的 心理操作，是一个动态的关联系绞。“思维按照抽象性可以分类为整观行动思维、具体 形象思维、抽象逻辑思维；按照思维的智力品质分为再现性思维( 一般思维) 、创造性 艨维；有逻辑学家认为根攥实践活动匡鹩性豹不弼需要分类可形成三类愚维活动类型： 上升性思维、求解性思维与决策性思维或决断性思维；根据思维的意识性可将思维分成 两类“我向思维”与现实性思维。而数学思维在借鉴上述分类方式的同时，也形成了符 合自身特点的分类方式。数学思维方式按照思维活动的形式可以分成数学逻辑( 抽象) 思维、数学形蒙思维与数学直觉思维三类；按照思维指向性可以分为集中思维与发散思 维两类；按照智力品质可以分为再理性总维与剁造挫思维秘类”；o ”在其傣的愚维过穗 中，数学形象思维与数学逻辑思维往往熄不分开的，他们相互渗透、相互启发，并向立 体思维转佬，量现出一种多维墅思维的特征，使原来的慝维向更高级的蒜缍形筑辩 证思维转化和升华。各种思维形式在数学解题时都有其不同的作用，但也有其局限性。 下面我们来对其中其有辩证关系的思维形式一进行分析。 集中思维与发散思维是一对具有辫诞关系的思维方式。集中思维是调动各种信患， 1 7 按照常规习题寻求解决问题、整理知识或总结方法的思维方浅。它在思维方向上具有定 国牲、层次性秘聚合馒，在思维疼容上其毒求网洼和专著性，集孛恩维是深刻蟪理勰概 念，正确地解决问题，完整地掌握知识系统的煮要思维方式。集中思维主要有两种表现 形式：定淘思维与纵囱思维。定淘思维是集中慝维的一种重要表现形式。它是按照常艋 习惯形成的沿赘固定方向，采用一定的模式或方法进行的对问题的分析思考。这种思维 反殃了恩维过程豹连续性、渐进性和联结性。由定向思维所造成的思维的趋向性或专注 状态就称为思维定势。思维定势在适合的条件下，一般迅速地联想和使用已裔的知识 与技能来分析和解决问题，但是过分强调后却容易表现出思维僵化、呆板，而不能多角 度、全露整体蟋看闻题，尤其是一些非鬻规的或摄索性、开放性的数学运题时就会有力 不从心的感觉。纵向思维也反映思维过程的连续性、渐进性和联结性，但它更强调思维 环节之掏翦层次经和鬻果性。在解题时，通常楚把原游趣分解成若干令纵深联结的小强 题，前面小问题的解决是为厢续小问题的解决作服务的。发散思维是对已知信息进行多 方向多角度的思考，不局限于既定的理解，从而提出新闻题，探索新知识或发现多种解 答和多种结果的思维方式。发散思维在思维方向上具鸯逆向性、测向性和多向性，在思 维内容上具有交通性和开放性。它对推广原有的问题、引申旧知识、发现新方法等具有 积极的开拓作用。发散思维有三种表现形式：逆向思维、侧囱思维、多项思维。逆向 慝维是从已有的习惯的思路的反方向去思考和分析问题，它反映了思维过程的间断性、 突变性和反联绻性，它是摆脱愚维定势，突破f 疆有愚想框架产生薪悉想，发瑗瑟知识新 思路的重要思维方式。侧向恩维是从知识之间的横向相似联系出发，即从数学的不同分 支如代数、几何的角度考察对象或从不同学科知识如物理等有关源理或规律出发去模 拟、仿造或分析问题的思维方式，它具有发现知识或方法的开放性以及解决问题的灵活 性。多向思维魑尽可能多的方面来考察同一个问题，使思维不局限于一种模式或一个方 西，从而获得多种解答或多葶孛结果的思维方式。多向思维在解决闯题孵有三釉基本形式： “一题多解”、“多题法”和“一题多变”。它们在教学和学习过程中都要用“题多 闻”或“一题多愚”作为赓发诱导的方法。莨闻提到解题的第四个过程“解题霞蹶”， 就是产生“一题多问”或“一题多思”的一个有效的学习途径，学生可以在解题回顾这 个环节中通过“一题多闫”和“一题多思”达到“一题多解”、“多题一法”和“一题多 变”，训练自己的多向思维，它也是培养学生创造性思维的肖效途径。学生的集中思维 和发散总维这两者是相辅相成的，集中恿维过程的主要依据是逻辑思维和形式思维，通 常较多媳罴用分板、综合、演绎、概括和系统化达到目标，发散思维过程的主要依据韪 似真推理和辩证思维，通常较多地运用分析、类比、归纳和探索、演绎等方法进行猜测、 猜惩、弓i 孛以求变异，弗塌动态、转化、变换等思想蕊点来处理闻题。集中思缝翡结果 体现了知识的深度，发散思维的结果体现了思维的广度。 形象忍维与抽象器维即逻辑思维是一对辩诞的思维形式。应该稽出逻辑愚维是数学 思维的核心。任何其它数学思维方式或者要以逻辑思维为其基础或最终需要运用逻辑思 维进行表达，因此它尾最重要和最基本的数学思维方式。形象思维时依靠形象材料的意 识领会褥到理解，以表象、矗感和想象为其基本形式，以观察与实验、联想与对比、猿 “ 怨等形象方法为其麓本方法的思维形式。它的含义包括空间想象和图斌想象两个方面， 并且还包括形象思维基本方法婚运用，同时还要谶一步运用褒象、直感、联想、炎比、 惩蒙、猜怒等形象方法送嚣攮理，分毒鼋诞臻袋求辩数学润麟。逻辑悉绫是一静淡词语遥 程进行表达以概念、判断、推理为其基本形式，以比较与分类、抽象姆概括、分析与综 台、归绒与演绎等逻辑方法为其基本方法的思维方式。它包括形式逻辚思维、辫证逻辑 怒维两耱慝维形式。高中鼗孥教学静形式逻辑恶缀是要使学生理解壤念酌定义籁关系、 内涵、外姬、各种判断或命题的结构以殿基本的逻辑运算、推理和证掰的基本方法和规 律，通过数学学习和解体的愚维媚练行程数学的捅象让、形戏诧、严撩推理襄谖唆数意 识与能力。辩证递辚思维是形式逻辑恿维的深纯帮发展。它研究的是聪维的矛精运动及 规律。尽管辩证逻辑思维的基本形式仍然是概念、削断、和推理，但指的是概念、判断、 农接理翡辩涯法，戳及麸其髂实器上舞到理论知谈，再霉这糖知援窝辩诞法努决其髂思 维的动态疑展过程殿其规律。辩证逻辑思维的基本方法仍然镪括比较麓分类、抽象与概 括、分析与综合、! | 舅纳与演绎等，但它迩更广泛的包括诸如一般化与特殊化、模型化与 蒸体纯、蒸统凭等方法，共墓考察豹耋杰是它嚣 之褥兹辫囊关系窝灵溪的实际遥爝，正 确的分析和解决闯躐，使学生具有辩证关系意识、运动发展懑识、具体分析意识等。谈 到抽象思维和逻辑慰维的辩诞关系主要投现在在数学思维过程中它们蹩曩枢渗透、互楣 绪舍及交祷使爝的。数学穰念本身就存缎蓑抽象思维与形象愿维两种避程的辩证统一， 解题也往往是逻辑推理与似真推理的有机结合，数学问题的分析需要用形象思维方法作 为毙导，| 1 孰褒察题隧祭辞的姆挺开始，供动戗真接毽展开联戆，运嗣炎魄、l 舞霸簿手段 避行探索潮猜想大致确定解题方向后，褥通过比较、分析、演绎、综合等逻辑推理手段 加以证b 群口求解，并且形象思维的结果要用抽象袋达，因此数学思维的有效途径是形象 慧维与逻辚惩维豹辫 囊斡结合。 直觉恩维与分析思维也是一对辩证的思维方式。分析思维是指按照定的遴辑推理 规则去认识事物的思维方式。它是从强调分析程序戏法则的角度来看的逻辑思维。直觉 愚维是凭戆瞧经验秘已有知谖，对事耱游注质作滋藏接爨辑躐颁悟静慧维方式，不受已 有的理论椴架和逻辑规则的约束。这两种思维方式在思维过程的逻辑性和连续性方面在 一定程度上是相互对立的。从辩证思维的摇度看，这一对思维怒提互依赖、摆互健遴鲶， 在解题豁谶程中是襁互补充、糖互为弼的。直觉恿维是数学簸现镌重螫方法丽分析愚维 鼹解题的獭本方法。 扶上麟熬分辑可戥着凄，数学愚缝熬各穆愚缎方式是甄矮互镶存瞧螺互羲立黪，学 生们只有在解答数掌题鞫时能够灵活的缀织自己头脑中的思维方式才能够使自a 的解 题能力有剪好的体现。 镄：方程x ：一2 戤+ 4 。o 懿两穰稳大予i ，求实数口的取豢范鏊鞠掰决方案鸯以下三 种： 磐法：运震书遮定理，设五，矗为方程豹嚣令根， 1 9 。感，能使人不断地探索新的知识，保持学习的主动性，积极性，努力克服困难。消极情 感阻碍智力发展。因此，教师与学生的感情会间接的影响学生的学习态度，从而影响他 们的勰题能力。如果教师尊熏、热爱学生关心他们的成长，坚持以引导为主，做到既严 格要求又覆循善诱，饺学生戆到教师和蔼可亲，是以信赖的人，是他的嶷9 繁益友，就 会给学生宅g 造嶷好的心理情鳍秽学习环境，使他们豹数学学习在心理上能够充满动力。 如采教师在教学中过分强调京己的权威，而不能够蓐重学生，学生的心理就受压抑，兴 趣受胁追，穗维被阻隔，就难叛使学生有积极的学习行动。邈此只有创造出师生闯和谐 的情感交流的氛匿，建立良好的师生关系，才能有效地培养学生稳定、深亥n 的积极情感， 并且爱屡及岛，促使学生热爱数学从而热爱数学的解题活动。 ( 二) 教师灼教学理念及教学过程的科学性对学生解题能力的影响 教师的教学理念是否科学对学生的解题能力影响是很大的。传统教育中教师往往更 关注囊己传授绘了学生什么，两不是关注学生学会了什么，传统的课堂中，教j i | i 占据绝 对的主导地位，容易忽略学生学习的主体性，。这就会在很大程度上造成学生也只关注 鸯己学习到了什么雨不是自穗会学什么，久焉久之会造成学生缺乏獭立思考的精神以及 创新能力。 教师对解题的教学主要是通过课堂教学。教师的解题教学在潜移默化当中会影晌学 生，促进他们完善发展自己的解题所需要的各方面能力。教师对数学解题的教学过程的 科学性主要体现在对数学基础知识、基本技能的讲解与训练上，以及如何在潜移默化中 使学生形成并发展自己的思维能力，再就是如何培养