（运筹学与控制论专业论文）控制带滞后系统的能控性与能稳性研究.pdf

复旦大学硕士学位论文 摘要 由于在实际工程问题如化工、无线电、生物工程、航天器控制、核反应堆控制、人口控 制等众多邻域中，控制作用往往带有滞后。因此，控制带滞后的系统在工程中广泛存在， 并获得了人们越来越多的关注。本文在第一章中通过两个定理说明研究控制带滞后的系统 的能控性与能稳性是非常有意义的。 在第二章，我们考虑了一类特殊的控制带滞后的线性切换系统，首先给出了周期型线 性切换系统能控的充分必要条件，然后讨论了经过多个周期系统能控的充要条件，并通过 一个例子加以验证。 在第三章，我们考虑了一类状态及控制都具有滞后的非线性系统的镇定性问题。运用 代数r i c c a t i 方程这一工具，得到了一个无记忆性状态反馈镇定器。 在第四章，我们考虑了一类控制带滞后的严格双线性系统的状态反馈镇定问题。利用 系统矩阵线性无关的特征向量，给出了控制带滞后的严格双线性系统的状态反馈控制器的 设计方法。 关键词：时滞系统、能控性、反馈镇定、代数r i c c a t i 方程、l y a p u n o v 函数 墓旦盔堂塑主堂焦监塞 2 a b s t r a c t t i m e d e l a yi so f t e ne n c o u n t e r e di nm a n ys y s t e m sf r o mv a r i o u sa r e a s ，s u c ha sc h e m i c a le n g i n e e r i n gs y s t e m s ，t h ea i d se p i d e m i c ，s h i ps t a b i l i z a t i o n ，a i r c r a f ts t a b i l i z a t i o n ，m a n u a lc o n t r o l ，t h e t u r b o j e te n g i n e ，t h en u c l e a rr e a c t o r ，t h em i c r o w a v eo s c i l l a t o r ，t h er o l l i n gm i l l ，a n ds y s t e m sw i t h l o s s l e s st r a n s m i s s i o nl i n e si nc h a p t e r1 ，w es h o wt h a ti t i s i n t e r e s t i n gt or e s e a c ho nc o n t r o l l a b i l i t y a n dt h es t a b i l i z a t i o no ft h es y s t e m sw i t ht i m e - d e l a yi nc o n t r 0 1 i nc h a p t e r2 as p e c i a lc l a s so fh y b r i ds y s t e m sw i t ht i m e d e l a yi nc o n t r o li sc o n s i d e r e d a n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n ta l g e b r a i cc o n d i t i o n ，as i m p l ea l g e b r a i cc r i t e r i o na n dac o m p u t a t i o n a l t y s i m p l ea l g e b r a i cs u f f i c i e n tt e s tf o rc o n t r o l l a b i l i t ya f t e ro n l yo n ep e r i o da r ed e r i v e d w ea l s oc o n s i d e r t h ec o n t r o l l a b i l i t yo fr e l a t e ds y s t e m sa f t e rac e r t a i nn u m b e ro fp e r i o d s i nc h a p t e r3 ，w ec o n s i d e rt h ep r o b l e mo ff e e d b a c ks t a b i l i z a t i o nf o rac l a s so fn o n l i n e a rs y s - t e m sw i t ht i m e - d e l a y si ns t a t ea n dc o n t r o li s c o n s i d e r e d t h r o u g hac e r t a i na l g e b r a i cr i c c a t i e q u a t i o na p p r o a c h am e m o r y l e s ss t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e ri so b t a i n e d t h em e t h o du s e dt oe s t a b l i s ha s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft h ec l o s e dl o o ps y s t e mi n v o l v e st h eu s eo fal y a p u n o vf u n c t i o n t h e m a i nc o n t r i b u t i o no ft h i sp a p e re n l a r g e st h ec l a s so fn o n l i n e a rs y s t e m s i nc h a p t e r4 ，w ec o n s i d e rt h ep r o b l e mo ff e e d b a c ks t a b i l i z a t i o nf o ras t r i c t l yb i l i n e a rs y s t e n ：l s w i t ht i m e d e l a y si nc o n t r o li s c o n s i d e r e d u s i n gt h el i n e a r l yi n d e p e n d e n te i g e n v e c t o r so fs y s t e m s m a t r i x ，w ep r o p o s ead e s i g n i n gm e t h o do fs t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e rf o rt h es t r i c t l yb i l i n e a rs y s t e m s w i t ht i m e d e l a y si nc o n t r 0 1 k e y w o r d s ：t i m e d e l a ys y s t e m s ；c o n t r o l l a b i l i t y ；f e e d b a c ks t a b i l i z a t i o n ；a l g e b r a i cr i c c a t i e q u a t i o n ；l y a p u n o vf u n c t i o n 复旦大学硕士学位论文 目苦 由于在实际工程问题如化工、无线电、生物工程、航天器控制、核反应堆控制、人口控 制等众多邻域中，控制作用往往带有滞后。因此，控制带滞后的系统在工程中广泛存在， 获得了人们越来越多的关注。出现了许多研究此类问题的文章。 从二十世纪七十年代，人们就开始研究控制带滞后系统的能控性及反馈镇定问题。在 1 9 7 0 1 9 7 1 年，d o n gh a kc h y u n g 3 ，4 ，6 研究了控制带滞后的线性定常系统的能控性问题。 并给出了能控性的充要条件。1 9 7 2 年，a w o l b r o t 7 针对控制带滞后的线性时变系统 给出了能控性的充要条件。1 9 8 0 年，a e p e a r s o n 及k hk o w n 1 2 1 证明了线性定常控 制带滞后的系统能控则必可镇定，并利用能控性矩阵给出了一种反馈控制器的设计方法。 自此以后，人们主要研究线性带扰动控制带滞后系统的r o b u s t 镇定问题。1 9 8 6 年，ir p e t e r s e n 和cv h o l l o tf 1 4 1 首先利用代数r i c c a t i 方程来研究线性带扰动系统的r o b u s t 镇 定问题。此后，人们将此方法用于研究线性带扰动项状态及控制均带滞后系统的r o b u s t 镇 定问题，到目前为止，r i c c a t i 方程仍然是研究此类问题的主要工具。 本文余下部分的安排如下：第一章中讨论关于控制带滞后与不带滞后系统在能控性与 能稳性方面的区别与联系；第二章我们考虑了一类控制带滞后的混合动态系统的能控性； 第三章我们考虑了一类状态及控制都具有滞后的非线性系统的镇定性问题；第四章，我们 考虑了一类控制带滞后的严格双线性系统的状态反馈镇定问题。 4 第一章关于控制带滞后与不带滞后系统在能控陛与能稳性方面的 区别与联系 由于在实际工程问题如化工、无线电、 制等众多邻域中，控制作用往往带有滞后。 生物工程、航天器控制、核反应堆控制、人口控 因此，控制带滞后的系统在工程中广泛存在。 本章通过一个线性系统的例子说明控制带滞后与不带滞后系统在能控性与能稳性方面 的区别与联系考虑以下的线性定常系统 士( t ) = a x ( t ) + b l u ( t ) + b 2 u ( t h ) 亩( t ) = a x ( t ) + ( b 1 + b 2 ) u ( t ) ，f 12 ) 其中，。为n 维状态向量，札为m 维输入向量，a ，b t ，b ：均为相应维数的常阵， 为一 常数。我们可以得到以下结论： 定理1 0 1 如果系统( 2 ) 能控，则系统( j ) 能控；反之不然。 证明 由线性系统理论知系统( 1 2 ) 能控的充要条件是矩阵 b = b 1 + b 2 ，a ( b 1 + b 2 ) ，一，4 “一1 ( b l + b 2 ) 1 满秩。由 3 知系统( 1 1 ) 能控的充要条件是矩阵 b = b 1 ，a b l ，t ，a ”一1 b l ，b 2 ，a 晚，a “一1 8 2 1 满秩。显然有r a n k ( b ) 0 为切换模式持续 时间，则称 ( ，h m ) 纂：1 ) = ( ( i l ， 1 ) ，( i 2 ，幻) ，( i n ， ) ) 为一个切换序列，记为”，其 中表示了切换序列的长度。 对于给定的一个切换系统，当给定初始时刻t o 和一个切换序列丌后，切换模式的变化过 程就完全确定。即，在 t o + 王乜，t o + ( 定义h o = o ) 内，切换模式为( 4 。b i 。，g 。) ， e = l= l v m = 1 ，2 ，一， 当切换序列”以某一基本切换序列 ( ，) 鬟：。 为周期循环变化的时候，就得到周 7 复旦大学硕士学位论文 期型切换系统。为描述上的符号简洁，不失一般性，就以如下形式的切换序列 ( ， ) ) 作为基本切换序列，记为”。其中，表示r ( t ) = i 的切换模式的持续时间，而且我们假 设h 。r a 二掣i n 。 h ) 。又记t 。量h i , 称为系统的时间演变周期。 我们假设当r ( t ) = i 时，系统的切换模式为i = ( a 。，b i ，a ) ，i n ，称为系统的第 i 个切换模式。 2 2 主要结果 我们首先给出系统( 2 1 ) 能控的定义： 定义2 2 1 称控制带滞后的周期型切换系统是能控的，如果对任意初始状态z o 及初始控 制咖( t ) ，t _ h ，o ，存在一个有界可测控制函数u ( t ) r ”，t ，t f 】，经过一个周期 之后系统能够到达任意状态。，也就是说存在一个时刻，t o + tst ， o o ，使得 。( o ，) = z ，。 根据上面关于能控性的定义，我们给出能控的一个充分必要条件，它是我们已知控制 带滞后的线性系统能控性充要条件的推广。 定理2 2 1 控制带滞后的周期型切换系统能控的充要条件为能控性矩阵 d = ( d ，e a n h n d - 1 ) ，e 4 b e a 2 h 2 d 1 ) ( 2 ，2 ) 满秩。其中d i 是第i 个切换子系统的能控性矩阵，即为 d i = ( e t 1 b i ，a i e h b t ，- ，a ? 一1 e t b 。，c i ，a t g ，一，a ? 一1 g )( 23 ) 证明考虑到系统是一类特殊的线性时变系统，则系统在时刻s 的状态可以描述 为 x ( s ) = ( s ，t o ) 。( t o ) + 咖( s ，r ) b ( r ) u ( f ) + g ( r ) u ( r h ) d r ，( 2 4 ) j t 0 由于系统是分段常值的，由积分算子的线性性质，我们得到系统在s = t 时刻的状态描述 础) = 一h 沙圯 e a l h l t 0 + 伫。舭1 ”) e _ 山乜u 小) 圳 8 复旦大学硕士学位论文 j - e a n h 上t - r ) b 】u 汀) d r + 厂1 一“e ，( h - r ) e 一 。“c _ 删( r ) d r l 1 7 幻 、。 + e 枷” ，e 札- ( 札z - r ) b n - l u ( 7 胁 j t n 一2 + ，t n - l - - he a n _ 1 ( t n _ l - r ) e 一 “嘶掣( r ) d 7 1 ，t n 一2 一h 。 + 伫，一叫跏打+ 伫：。e a 刊e 山“g 小冲 首先证明必要性。假设r a n k ( ) ) 扎，那么存在非零向量 r n 使得 即 ( 2 5 ) v d n = v i e “6 ”d 一1 = = 一”6 “e a 2 h 2 d 1 = 0 ， ( 26 ) 刨e a l v h b n = v a _ e a b = - = u i n - 1 e a b = v c n = v a n 国- = v a n _ v - 1 c n = 0 训e ”“e a “一1 “b _ 一l = v r e a a v l e a ”一1 “b _ 一l = = v i e a n h n 4 冀晶e a n - l h b 一1 = 廿7 e 岫c 一1 = 钉e 九n a 一l c n i = = u 7 e “a 品薯c 一1 = 0 廿e a n h e 2 h 2 e a l b 1 = v i e a e a 2 h 2 a 1 e a l h b l ：一2 v i e “”e a 2 h 钟。1 e m b l = 廿e - e a 2 h 2 c l = 刨e a “一2 “2 a l c l - = v i e 。”6 “e a 2 h 2 田c 12 0 根据哈密尔顿凯莱定理，对所有的k 0 ，我们有 v a 知- e 4 “b = 0 ，v a k n c n = 0 ， 9 复旦大学硕士学位论文 即 0 1 e a n h n a 夤，一1 e - i h b n 一1 = 0 ， e a a 知一l c 一l = 0 v i e “”“e a 2 h 2 脚一1 “b 1 = 0 ，v i 一“e a 2 h 2 钟g = 0 , o r e 0 一 ) e a “b _ = 0 ，v i e ( c 一悬) c k = 0 r o t e a “”e 且一1 ( 2 一“) e a 一1 “b v 一1 = 0 ，v t e “n e 一l ( 2 ) c n 一1 = 0 v e “e a 2 n 2 9 1 t 卜叫e 4 1 “b i = 0 、 v t e 7 ”e a 2 h 2 e 一1 ( t - h ) c 1 = 0 对所有的实数t 上式均成立。 对给定的u o ( r ) ，7 f - h ，0 ，取初始状态为 z 。= _ _ e - a l h i - “e a ( f ，一r ) e - “c l u 。( r ) d r jt o h 则有 z ( 如) = e 渤 f t l 。e & ( t i - r ) b l u ( r ) 打+ t l - h e a l ( t l - r ) e - a l h c t u ( r ) 打】 + e a w w “一1e 一一( t n - r ) b n - l u ( ，) d ， j t 一2 + ，t n - a - - he a n _ i ( 札，叫e a 6 掣( r ) d q j t n 一2 一h + f t te a n ( t n - - r ) b n u ( 州r + ：。e 钿叫e 响“u 氓 ( 2 ，) ”。( t - v ) = ”e 。e 2 2 上缸e 4 1 ( t l r ) b ，仳( r ) d r + f t l l - he a l ( h - r ) e - a x h t l j t g 。u ( r ) d r j 、。 。 上- - + u e a ” “ 。”一1e w 一( t n - ：- - r ) b n - 12 z ( ，) d ， j t 一2 + t n - i - - he a n - 1 ( t n - i - - r ) e - - a n - i h c n 一。u ( 7 - ) d r j 如一2 一 。 + j ( t ：lv e a x ( t n - - r ) b n u ( n 折+ 眨i u t e a n ( t n - r ) e - a r e h c 神1 折 1 0 重墅堂堂堂塞ll 对所有的u ( r ) ，r t n ，上式均成立。由u 。( 芒) = 0 知u z ( 如) ，即对给定的。， 经过一个周期之后系统不可能演变到状态x t f = u ，所以系统不能控。故如果系统能控，必 有r a n k ( d ) = n 。 反之，假设r a n k ( 西) = 礼，并进一步假设系统( 21 ) 不能控。那么存在一个初始控制 “。( 7 ) ，7 i - h , o l 及状态z 。和。，但是不存在控制u r ”使得。，：。( t ) 。即对所有的 z ，z ( t ) 5 e 。“e 。b e a j h 2 x o + j s t l e e a l ( t * - r ) e - a l h g 。u 。( r ) d ，1 + e “ e 3 bg a 2 h 2 j ( t f l 舭一协+ e 一一，n g m ) 打 + 怎( e a a h a e a ，( h - - r ) 4 - e a = ( t = - r ) e - a a h 嘶州 + 少c 1 2 e 知“札一) ( b - l + 。山m _ 咖) 打j t 一 、 1 ，“、，“ ： e a n h n e a n - 1 ( t l v - l - - r ) b 一1 + e “。“一“g - a l v h c “( r ) d r h e a n ( t r y - r ) ( + e 一4 6 ) u ( r ) 打 e 螂一b _ “( r ) d r ， f 2 9 1 定义 一旷矿山e 舢札 e a l h l x o q - 一m 叫e “- 乜“加) d 叫o 将( 2 , 9 ) 式改写为 o t u 2 z ，_ _ e a n h n e 4 2 “2 g a l h l x o - - s o 。# a 1 ( t 1 - r ) g - a t h e i “。( r ) d 叫 e a n h n e m e ? f 1 e 怕叫( 岛o v g - a l h c ，。) 札( ，) 打 j h ， f t l + 上。一 ( e 2 地e 凡h 1 1 + e 撕_ 丁1 e - a 2 “q ) “p ) d ，- i + ， + e 枷“t t 。，6e 札1 ( t 叫( 昂_ 1 + 。山埘一。) u f ，) d ， j一2 。 一1 ，、。” + 展j 0 叫棚一叫阢。+ 咖( 飞嘞m ，协 伫伫e 复旦大学硕士学位论文1 2 + 咖e 州”r ( + e 山“c n ) u ( r ) d r j c 一1 + f t n e a n ( t n - - t ) b u ( r ) d 7 _ ，( 2 j o ) 对所有的u ( 7 - ) r ”，r 【t o ，t g ，( 21 0 ) 均成立。定义 = e a x h n e a a b 。h z t l - - h e a l ( ”r ( b i + e a - 6 c 1 ) 口( 7 _ ) 打 j t o + h ( 沙蜥叫- - e a 2 ( 2 叫e 咄“q ) u ( f ) d 7 j 上 + o a a , h l v ，抽。1 e 札m 叫( b - l + e 山。一1 ) u ( r ) 打 j 2 +_”：eanhnean-1(tn-1-r)b一。-jr-ean。”r)e-anhg“(，)dtjtn 一1 一h 。1 j ”、 + 最j “一叫( b n a - e - a n h ) 嘶胁 + e ”护7 b n 珏( t ) 打 定义 = 气，u ( r ) r t m r t o ，t ) 。则易知是一个r n 中的线性子空间。而且非零 向量w 隹k ，所以存在非零向量 r ”与k 正交。故对所有的“( r ) r m ，r ，t ， 有 则 u 气=v r e a n h n e a s 3 【e z b t l - h eal(tl-r)(b1+e-a1g)u(7)d下t -o 、7 + 仨幽一m 叫柙：叫e舢c 2 ) u ( 7 ) d t +?fleanhn12“一1一“e一一-(tw一-一t(b_一l+e一一一，“g一1)u(7-)drt j n 一2 、 + f t t n - 1 ，v i e e w 一( t 一一t t ) b 一。+ e a n ( t n - r ) e - a n h c n u ( ，) d ， + t n 一。- - hw ( 护r ( b + e 咖“国) 珏( 丁) 出 + =0 , 0 1 e 4 ”( 抽一7 ) b u ( r ) d r v t e a n h n c a a h 3 e a 2 h 2 e a l ( 。1 7 ( b l + e a 1 “c 1 ) = 0 ， r t ot 1 一明 ( 21 2 ) 仁 伫 复旦大学硕士学位论文 u e a “”e a 3 h a e a k 。2 7 ( b 2 + e - a 2 h c 2 ) = 0 ”e 4 ( 2 n 一7 ) ( b n + e - a “c ) = 0 ， 对上面的_ v 个方程分别求阶导数，我们有 ( 一1 ) 2 u e a ，e a a h e 如 2 4 e a ( 如一7 ( b 1 + e - - a l h c l ) ( - i ) 2 u 7 e a “”e a 3 h 3 a ! e a 2 ( 圯一7 ( b 2 + e - a 2 h c 2 ) = 0 ， ( 一1 ) u 4 知e a ( 抽一7 ( b + e - a i ：k ) = 0 ， 对上式第i ( 。= 1 ，2 ，) 个方程，取7 = t v t e 4 ”“”e a a h 3 e a 2 h 2 a ：托a l h s l + c 1 ) = 0 v i e “”e a 3 h a ( e m “b 2 + c 2 ) = 0 ， 7 a 知( e “b + c n ) = 0 由”是r ”中的非零向量，显然有 其中 故有 fe t n 一1 ，t y 一州 o r t o ，t l h 1 reh t 2 一h te t n 山t n h h ，则对所有的0 ，我们有 r o n 七( d ) = r a n k ( d n ，6 a n h n d 一1 ，一，e a e a 2 h 2 d 1 ) n ，都有a m - 1 r ( b ) e ( a i r ( b ) ) ，这表明 即使经过多于佗个周期的演变，其所可能达到的状态均在线性空间( a i r ( d ) ) 之内。由此 可知，线性空间( a i r ( d ) ) 即为控制带滞后的周期型切换系统所有能达状态组成的集合，并 且构成一个线性空间。 定理2 2 6 控制带滞后的周期型切换系统能控等价于能达 证明为了证明这个定理，我们考察系统所有能控状态组成的集合，然后分析这 个集合与所有能达状态组成集合之间的关系，利用这个关系很容易证明定理。根据能控性 1 6 墓旦盔堂亟堂焦堡盔一1 7 的定义，对基本切换序列”，所有能控状态组成的集合可以描述为 z l a z + e w w e a 。h ：【：。e a ，p 一r ) b u ( r ) d r + 1 - h e a l ( t l _ t ) e _ a l h c l u ( r ) d r l 上 + e ”6 叫t n - 1e w 一- ( ”一- 一r b n - 1 u ( r ) 打 j t 一2 + ，啊1 一e a n - i 。n - - i - - t ) e n - l h c - 1 u ( 丁) 训 j 一2 一 + 叫跏c ：。一叫e 咖吣) d 7 = 0 2 2 4 ) 茁 a z = 一肌n e m 址【f 。e l ( c 1 1 ) b ，u ( r ) 打+ e 1 - “e 山) e “1 “a u ( r ) d 丁 上- 。 + e 枷 ，e a 一( 札，叫b _ l 札( r ) d r + f ”一1 - he a ，v - 1 ( t n - 1 - - t ) 8 - - a n - 1 h g n 一1 u ( t ) d 下】 + n “e ”( t n - r ) b u ( 丁) 打 + t a t - he w ( 如一r ) e a w “c k u ( r ) d 7 ) ： 一 e 帅一叫r 。舢1 - 7 ) b l 时) d 一嘞z o t l - h e a l ( t l - r ) e - a l h c l z i ( r ) 打 上 + e a 一 w 【t n - 1e a u - ，, ( 札t 叫b n - i u ( f ) d r + 。”一1 一he a n - ( $ n - i - - r ) e - a n - l h c n 一1 u ( r ) d r + ，“e 州”r b u ( r ) 打 +tn-he a ”( t n - - v ) e a ”“c n u ( r ) d 7 - ) = a - i r ( d ) j 一1 一 ( 2 2 5 ) 同样考虑经过n 个周期之后系统的能控集，这里为了节省篇幅，仅给出最后结果 a “ a i r ( d ) ) ( 2 2 6 1 复旦大学硕士学位论文 很明显有 a “( a i r ( d ) ) = ( a r ( d ) i 这表明能控状态集合与能达状态集合是同一个集合，也就是同一个线性空间 定理 同时我们得到了系统( 2 1 ) 能控的充要条件。 定理2 2 7 控制带滞后的周期型切换系统能控的充分必要条件为 ( a i r ( d ) ) = 彤 定理2 2 7 的结论是显然的，我们在此省略证明。 下面给出一个能控的具体例子。 设 2 3 数值实例 i ，b = ( ) ，g = ( = h 2 = 1 ，h = 0 , 5 其中n 0 且互异。 经计算得 o oe r oe r d = d 2 ，e a 2 h 2 d 1 = l ； ，j ! j l0 0e r n 0 e r n 很显然有r a n k ( d ) = 1 ，根据定理2 2 1 知，该系统不能控再计算 i = e a 2 h 2 8 a l h 小弘 ( 22 7 ) 这就证明了 ( 22 8 ) 1 8 o 0 ， = a2 | | 忍 、， 0。 o ， f | 岛 、， o： 0 ，。 = 如 、， n r r ，。； | | 2 a 、，i o o 旷 ， | i 复旦大学硕士学位论文 考察线性空间( a i r ( b ) ) ，可得到由其一组基构成的矩阵 e r le 2 r 1 e 7 7e 2 r 2 e “1 e r z 易知这是一个范得蒙矩阵，其必满秩根据定理2 2 7 ，系统能控 1 9 第三章一类状态及控制均带滞后的非线性系统的镇定性 3 1问题的提出及假设 本章考虑了一类状态及控制都具有滞后的非线性系统的镇定性问题。运用代数r i c c a t i 方程这一工具，得到了一个无记忆性状态反馈镇定器。 让我们考虑如下控制带滞后的非线性系统 圣( ) 。a 。( 2 ) + b “0 ) + f ( t ，x ( 。) ，。( 。一h ( 。) ) ，u ( 2 ) ，“( 2 一 2 ( ) ) ) ， f 3 1 1 z ( t ) = 妒( t ) ，t 【- h ，o ， 、 其中z ( t ) 卯表示系统的状态，札( t ) r m 表示系统输入向量，a ，b 是具有相应适当 维数的实常数矩阵；( t ) a = 1 ，2 ) 表示时滞且满足 o 也( ) h 0 ，如果存在一个n n 正定矩阵p 满足如下形式的代数 r i c c a t i 方程 4 丁尸+ p a 一2 p b s 一1 b t p + p 2 + 岛p b s 一2 b t p + 卢l ，+ r = 0 ( 3 5 ) 2 0 塞里盔堂亟主堂垡煎塞一2 i 其中 卢。= ”。圣4 m ，阮= 啦妻i m ，”t = 7 + r 兰2 _ ，= 舶+ r 兰乞(。)=l r 2 6 卢1 = q 1 m ，阮= 啦m ，q 1 = 7 1 + t _ 兰笔，= 舶+ r 兰杀 ( 3 ) o = 1 一1 一 那么闭环系统( 3 1 ) ，( 3 4 ) 通过如下反馈 f ：一s 一1 8 7 p 渐近稳定。 证明我们取如下形式的l y a p u n o v 函数 啡，酬= 删牡尚砉，丁小) 如 + 忐妄仉t h 2 f t p b s - 2 b t p x 如 ( 3 7 ) ( 3 8 ) 由于p 是正足的，所以由( 3 8 ) 给出的v 【t ，z ) 也是止足的。i 划外糸玩【3u 【3 4 j 甘看轨逼 x ( t ) 的相应l y a p u n o v 导数可以描述为 爰哪，删= ，( f ) 舰( f ) 托t m + 尚宴7 i x t ( 啦 一二w 。( 1 “z ) 妄伊( t - h , ) 础“) + 盏萎7 t x t ( ) p b s - 2 b t p x ( 。) 一二7 4 。( 1 一) 萎m z t ( t h 2 ) p s s _ b 丁p 。( t 一九2 ) + 2 x t ( t ) p ，( t ，。( t ) ， ( f ) ，。( 一h i ) ，u ( t 一九2 ” + 击砉v x t 雄) 一仇蚤4 伊( t - h 1 ) 球岫) + 点三4 一 i 3 2 t ( p b s - 2 b t p x ( t ) h 2 ) p b s 一2 b t p x ( t r 。) a t p + p a - 2 p b s - 1 b t p + 尚妄仉， t t z 仉 。吼 饥 复旦大学硕士学位论文 利用下面的不等式 ，4 + 志i = 1 7 i p b s - 2 b t p i z ( 。) + 2 x ? ( t ) p f ( t ，z ( t ) ，u ( ) ，x ( t h i ) ，u ( t 一 2 ) ) 4 7 2 仉。t ( t h i ) z ( z h 1 ) 4 讯e y i x t ( t h 2 ) p b s 一2 b r p x ( t h 2 )f 3 9 ) z = 1 2 x r ( t ) p f ( t ，z 0 ) ，u ( f ) ，x ( t h i ) ，u 0 一 2 ) ) ：r t ( t ) p 2 z ( t ) + ，1 ( t ，z 0 ) ，u 0 ) ，x ( t h i ，u ( t h 2 ) ) f ( t ，z 0 ) ，乱( ) ，z 0 一h i ) ，仳0 一九。) ) ( 3 1 0 ) ( 3 9 ) 可以表示为 - 磊“v ( t , x ( t ) ) 冬 z r ( f ) a ? p + p a 一2 p b s 一1 b t p + p 2 + 击蚤4 小击蚤4 7 i p b s - 2 b t p + ，r ( z ，z 0 ) ，札( ) ，z ( t 一九，) ，u 0 一h 2 ) ) f ( t ，z ( ) ，乱( f ) ，x ( t h i ) ，u ( 一 2 ) ) - 7 2 7 i x r 0 一h i ) 茁 一h 1 ) 仉z 7 ( f h 2 ) p b s 一2 b t p x ( t 一协f 3 1 1 ) 由( 3 3 ) ，( 3 4 ) ，( 3 6 ) 及( 3 7 ) ，( 3 1 i ) 可以表示为 羞y ( ，z ( t ) ) z t ( t ) 【a t p + p a 一2 p b s 一1 b t p + p 2 + 击圭仉去蚤4 m p 盼2 脚 仇m z r ( t h i ) z ( t h i ) 一讹7 s ( t h 2 ) p b s 2 b 丁尸z ( t h 2 ) + 7 i i x ( t ) l l + 他f f z 一h 1 ) ) l l + 拍f f 珏0 ) f + 讯f “( f h 2 ) j 2 ( 3 i 2 ) 考虑( 31 2 ) 最后一项，利用c a u c h y s c h w a r t z 不等式， ( 3 1 2 ) 可以表示为 - 磊“v ( t ，z ( t ) ) z 丁( t ) 4 r p + p a 一2 p b s 一1 b ? p + p 2 + b 2 p b s 一2 b r 尸+ 卢1 卅。( t ) = 一x t ( t ) 置。( ) s a ( 咒) i l x ( t ) ij 2 f 3 1 3 ) 复旦大学硕士学位论文 2 3 由r 0 ，故墨y ( t ，z ( t ) ) 0 ，x ( t ) 0 ，t 0 ，所以y ( - ，) 是闭环系统( 31 ) ，( 3 4 ) 的 l y a p u n o v 函数。证毕。 引理3 2 1 ( 【1 5 】) 假设是稳定矩阵，且有 d r ( - i w i a r ) 一1 e r e ( i w i a ) 一1 d 冬k ，vw r f 3 1 4 ) 那么存在正定矩阵p 满足下面的矩阵不等式 a 丁p + p 2 4 + p d d t p + e t e 0 其中a r n ”，d 冗”m ，e 冗m n 。 根据上面的引理，我们立即可以得到下面的结论 推论3 2 1 假设，b ) 是能稳的，并且下面的矩阵不等式满足 e ( i w i a ) 一1 jj 。 1 ，v 训r ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) 那么通过反馈增益矩阵f ，闭环系统( 3 1 ) ，( 3 4 ) 是渐近稳定的。 其中e r ”“满足 卢l ，+ z 2 k 丁k = e ? e f 3 1 7 ) 且 a = a + b k ( 3 1 8 ) 是( a ，日) - 的反馈增益矩阵，卢1 ，仍由( 3 6 ) 给出。 证明根据引理3 2 1 ，存在正定矩阵p 满足 a t p + p a + p 2 + p 1 ，+ z 2 k t k