复变函数 复数及其几何表示.ppt

,复变函数,复变函数,主讲教师：赵景霞,E-mail:zhaojingxia,研究对象,复变函数（自变量为复数的函数）,主要任务,研究复变数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分。,主要内容,复变函数的积分、级数、留数等。,复数与复变函数、解析函数、,课程基本介绍,学习方法,复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似之处。但又有不同之处，在学习中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的那些性质与结果。,复变函数的发展过程,复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数看作不能接受的“虚数”。,直到十八世纪，J.DAlembert(1717-1783)与L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题，复数才被人们广泛承认接受，复变函数论才能顺利建立和发展。,复变函数的发展过程,复变函数的发展过程,1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。,复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。,复变函数的发展过程,二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日益密切。,复变函数的发展过程,第一章复数及复平面,1.1复数及其几何表示,学习要点,掌握复数的意义与复数的表示方法,掌握复数的代数运算,熟练掌握复数的方根,一、复数的概念,复数z的实部Re(z)=x;虚部Im(z)=y.(realpart)(imaginarypart),一般,任意两个复数不能比较大小。,复数相等,二、四则运算,z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：,z1z2=(x1x2)+i(y1y2),z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2),复数的运算满足加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律和分配律。,共轭复数的性质,定义若z=x+iy,称z=x-iy为z的共轭复数.,(conjugate),三、共轭复数,例4,解：,例4,证明：,例4,证明：,四、复数的几何意义,横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z-平面，w-平面等。,我们可以得到两个重要的不等式,z=0时，幅角无意义。,幅角无穷多：Argz=0+2k，kZ，,1.三角表示法,可以用复数的模与辐角来表示非零复数z,2.指数表示法,例5,例6,例5,解：,2019/12/13,27,可编辑,例6,解：,例6,解：,练习：求下列复数的模与幅角主值：,求下列复数的三角表示式与指数表示式.,解：,.,五、复数的乘积与商,利用复数的三角表示，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法,定理：,对除法，有,将复数z1按逆时针方向旋转一个角度Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。,乘法的几何意义,例7,解：,例5,解：,例6藏宝图,从绞架走到橡树，并记住走了多少步；到了橡树向右转个直角再走这么多步，在这里打个桩。,某岛，岛的北岸有一大片草地。草地上有一株橡树和一株松树，还有一个绞架。,回到绞架，朝松树走，同时记住所走的步数，到了松树向左拐个直角再走这么多步，在这里也打个桩。,在两个桩中间挖，就可以找到宝藏！,问题是绞架年代久远烂掉了，还能找到宝藏吗？,第一根桩位置,第二根桩位置,例7,解：,六、复数的乘幂与方根,则有：,棣摩弗(DeMoivre)公式,而k取其它整数时，这些根又会重复出现。,例11,练习,例10,例9,几何上，的n个值是以原点为中心，为半径的圆周上n个等分点，即它们是内接于该圆周的正n边形的n个顶点。,例10,七、复球面与无穷远点,球极平面射影法,取一个在原点O与z平面相切的球面，过O点作z平面的垂线与球面交于N点（称为北极或者球极）。,对于平面上的任一点A，用一条空间直线把它和球极连接起来，交球面于。,从几何上可以看出：,z平面上每个以原点为圆心的