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1 世代数模拟试题一世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分)在每小题列出的四个备选项中 只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无 分。 1、 设 ABR(实数集)， 如果 A 到 B 的映射： xx2，xR， 则是从 A 到 B 的 （ c ） A、满射而非单射 B、单射而非满射 C、一一映射 D、既非单射也非满射 2、设集合 A 中含有 5 个元素，集合 B 中含有 2 个元素，那么，A 与 B 的积集合 AB 中含 有（ d ）个元素。 A、2 B、5 C、7 D、10 3、在群 G 中方程 ax=b，ya=b， a,bG 都有解，这个解是（b ）乘法来说 A、不是唯一 B、唯一的 C、不一定唯一的 D、相同的(两方程解一样) 4、当 G 为有限群，子群 H 所含元的个数与任一左陪集 aH 所含元的个数（c ） A、不相等 B、0 C、相等 D、不一定相等。 5、n 阶有限群 G 的子群 H 的阶必须是 n 的（d ） A、倍数 B、次数 C、约数 D、指数 二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。 错填、不填均无分。 1、设集合 1 , 0 , 1A ； 2 , 1B ，则有 AB 。 2、若有元素 eR 使每 aA，都有 ae=ea=a，则 e 称为环 R 的单位元单位元。 3、环的乘法一般不交换。如果环 R 的乘法交换，则称 R 是一个交换环交换环。 4、偶数环是整数环整数环的子环。 5、一个集合 A 的若干个-变换的乘法作成的群叫做 A 的一个变换全变换全。 6、每一个有限群都有与一个置换群同构同构。 7、全体不等于 0 的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是 1 1 ， 元 a 的逆元是 1 a。 8、设I和S是环R的理想且 RSI ，如果I是R的最大理想，那么-。 9、一个除环的中心是一个-域域-。 三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分） 1、设置换和分别为： 64173528 12345678 ， 23187654 12345678 ，判断和的奇偶性，并把和 写成对换的乘积。2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵 之和。奇奇 1、解：把和写成不相杂轮换的乘积： )8)(247)(1653( )6)(57)(48)(123( 可知为奇置换，为偶置换。 和可以写成如下对换的乘积： )27)(24)(16)(15)(13( )57)(48)(12)(13( 2 解：设 A 是任意方阵，令 )( 2 1 AAB ， )( 2 1 AAC ，则 B 是对称矩阵，而 C 是反对称 矩阵，且 CBA 。若令有 11 CBA ，这里 1 B 和 1 C 分别为对称矩阵和反对称矩阵，则 CCBB 11 ，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于 0，即： 1 BB ， 1 CC ，所以，表示法唯一。 2 3、设集合 ) 1(, 1, 2 , 1 , 0mmmMm ，定义 m M 中运算“ m ”为 a m b=(a+b)(modm),则 （ m M ， m ）是不是群，为什么？ 四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分） 1、设G是群。证明：如果对任意的 Gx ，有 ex 2 ，则G是交换群。 2、假定 R 是一个有两个以上的元的环，F 是一个包含 R 的域，那么 F 包含 R 的一个商域。 1、对于 G 中任意元 x，y，由于 exy 2 )( ，所以 yxxyxyxy 111 )( （对每个 x，从 ex 2 可 得 1 xx ） 。 2、证明在 F 里 )0,( 11 bRba b a abab 有意义，作 F 的子集 )0,( bRba b a Q所有 Q显然是 R 的一个商域 证毕。 近世代数模拟试题二近世代数模拟试题二 一、单项选择题 二、1、设 G 有 6 个元素的循环群，a 是生成元，则 G 的子集（c ）是子群。 A、 a B、 ea, C、 3 ,ae D、 3 ,aae 2、下面的代数系统（G，*）中， （d ）不是群 A、G 为整数集合，*为加法 B、G 为偶数集合，*为加法 C、G 为有理数集合，*为加法 D、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集 N 上，下列哪种运算是可结合的？（ b ） A、a*b=a-b B、a*b=maxa,b C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b| 4、设 1 、 2 、 3 是三个置换，其中 1 =（12） （23） （13） ， 2 =（24） （14） ， 3 =（1324） ， 则 3 =（ b ） A、 1 2 B、 1 2 C、 2 2 D、 2 1 5、任意一个具有 2 个或以上元的半群，它（ a ） 。 A、不可能是群 B、不一定是群 C、一定是群 D、 是交换群 二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。 错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个-变换全-同构。 2、一个有单位元的无零因子-交换环-称为整环。 3、已知群G中的元素a的阶等于 50，则 4 a 的阶等于-25-。 4、a 的阶若是一个有限整数 n，那么 G 与-模 n 乘余类加群-同构。 5、A=1.2.3 B=2.5.6 那么 AB=-2-。 6、若映射既是单射又是满射，则称为-双射-。 7、叫做域F的一个代数元，如果存在 F 的-不都等于林- n aaa, 10 使得 3 0 10 n n aaa 。 8、a是代数系统)0 ,(A的元素，对任何Ax均成立xax，则称a为-单位元-。 9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法 封闭；结合律成立、-消去律成立-。 10、一个环 R 对于加法来作成一个循环群，则 P 是-。 三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分） 1、设集合 A=1,2,3G 是 A 上的置换群，H 是 G 的子群，H=I,(1 2)，写出 H 的所有陪 集。 2、设 E 是所有偶数做成的集合， “”是数的乘法，则“”是 E 中的运算， （E，）是一 个代数系统，问（E，）是不是群，为什么？ 1、解：H 的 3 个右陪集为：I,(1 2)，(1 2 3 )，(1 3)，(1 3 2 )，(2 3 ) H 的 3 个左陪集为：I,(1 2) ，(1 2 3 )，(2 3)，(1 3 2 )，(1 3 ) 2、答： （E，）不是群，因为（E，）中无单位元。 3、解 方法一、辗转相除法。列以下算式： a=b+102 b=3102+85 102=185+17 由此得到 (a,b)=17, a,b=ab/17=11339。 然后回代：17=102-85=102-(b-3102)=4102-b=4(a-b)-b=4a-5b. 所以 p=4, q=-5. 四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分） 1、证明 设 e 是群的幺元。令 xa1*b，则 a*xa*(a1*b)(a*a1)*be*b b。所以，xa1*b 是 a*xb 的解。 若 xG 也是 a*xb 的解，则 xe*x(a1*a)*xa1*(a*x)a1*bx。所以， xa1*b 是 a*xb 的惟一解。 2、容易证明这样的关系是 Z 上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z记为 Zm，每 个整数 a 所在的等价类记为a=xZ；mxa或者也可记为a，称之为模 m 剩余类。 若 mab 也记为 ab(m)。 当 m=2 时，Z2 仅含 2 个元：0与1。 四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分） 1、若是群，则对于任意的 a、bG，必有惟一的 xG 使得 a*xb。 2、设 m 是一个正整数，利用 m 定义整数集 Z 上的二元关系：ab 当且仅当 mab。 近世代数模拟试题三近世代数模拟试题三 一、单项选择题 1、6 阶有限群的任何子群一定不是（ c ） 。 A、2 阶 B、3 阶 C、4 阶 D、 6 阶 2、设 G 是群，G 有（ c）个元素，则不能肯定 G 是交换群。 A、4 个 B、5 个 C、6 个 D、7 个 4 3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ d ） 。 4、下列哪个偏序集构成有界格（ d ） A、偶数 B、奇数 C、4 的倍数 D、2 的正整数次幂 A、 （N,） B、 （Z,） C、 （2,3,4,6,12,|（整除关系） ） D、 (P(A),) 5、设 S3(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)，那么，在 S3 中可以与(123)交换 的所有元素有（ a ） A、(1)，(123)，(132) B、12)，(13)，(23) C、(1)，(123) D、S3 中的所有元素 二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。 错填、不填均无分。 1、群的单位元是-的，每个元素的逆元素是-的。 2、如果 f 是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则 aff 1 -a-。 3、区间1，2上的运算,minbaba的单位元是-2-。 4、可换群 G 中|a|=6,|x|=8,则|ax|=24。 5、环 Z8的零因子有 -。 6、一个子群 H 的右、左陪集的个数-相等-。 7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的-商权-。 8、无零因子环 R 中所有非零元的共同的加法阶数称为 R 的-特征-。 9、设群G中元素a的阶为m，如果 ean ，那么m与n存在整除关系为-mIn-。 三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分） 1、用 2 种颜色的珠子做成有 5 颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？ 2、S1，S2是 A 的子环，则 S1S2也是子环。S1+S2也是子环吗？ 3、设有置换 )1245)(1345( ， 6 )456)(234(S 。 1求和 1 ； 2确定置换和 1 的奇偶性。 群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分 类进行计算：例如，全白只 1 种，四白一黑 1 种，三白二黑 2 种，等等，可得总共 8 种。 2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意 a,bS1S2 有 a-b, abS1S2： 因为 S1，S2 是 A 的子环，故 a-b, abS1 和 a-b, abS2 ， 因而 a-b, abS1S2 ，所以 S1S2 是子环。 S1+S2 不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例： 5 3、解： 1 )56)(1243( ， )16524( 1 ； 2两个都是偶置换。 四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分） 1、一个除环 R 只有两个理想就是零理想和单位理想。 2、M 为含幺半群，证明 b=a-1的充分必要条件是 aba=a 和 ab2a=e。 1、 证明： 假定是 R 的一个理想而不是零理想， 那么 a 0， 由理想的定义 1 1a a ， 因而 R 的任意元 1bb 这就是说=R，证毕。 2、证 必要性：将 b 代入即可得。 充分性：利用结合律作以下运算： ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e， ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e， 近世代数模拟试题四近世代数模拟试题四 一、单项选择题一、单项选择题(本大题共本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的要求的，请将其代码填写在题后的 括号内。错选、多选或未选均无分。括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设集合 A 中含有 5 个元素，集合 B 中含有 2 个元素，那么，A 与 B 的积集合 AB 中 含有（ d ）个元素。 A.2 B.5 C.7 D.10 2.设 ABR(实数集)，如果 A 到 B 的映射 ：xx2，xR， 则是从 A 到 B 的（ c ） A.满射而非单射 B.单射而非满射 C.一一映射 D.既非单射也非满射 3.设 S3(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)，那么，在 S3中可以与(123)交换的所有元 素有（ a ） A.(1)，(123)，(132) B.(12)，(13)，(23) C.(1)，(123) D.S3中的所有元素 4.设 Z15是以 15 为模的剩余类加群，那么，Z15的子群共有（ d ）个。 A.2 B.4 C.6 D.8 5.下列集合关于所给的运算不作成环的是（ b ） A.整系数多项式全体 Zx关于多项式的加法与乘法 B.有理数域 Q 上的 n 级矩阵全体 Mn(Q)关于矩阵的加法与乘法 C.整数集 Z 关于数的加法和新给定的乘法“” ：m， nZ， mn0 6 D.整数集 Z 关于数的加法和新给定的乘法“” ：m， nZ， mn1 二、填空题二、填空题(本大题共本大题共 10 小题，每空小题，每空 3 分，共分，共 30 分分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.设“”是集合 A 的一个关系，如果“”满足_，则称“”是 A 的一个 等价关系。 7.设(G， )是一个群，那么，对于a，bG，则 abG 也是 G 中的可逆元，而且(ab) 1 _。 8.设(23)(35)，(1243)(235)S5，那么_(表示成若干个没有公共 数字的循环置换之积)。 9.如果 G 是一个含有 15 个元素的群，那么，根据 Lagrange 定理知，对于aG，则元素 a 的阶只可能是_5,15,1,3,_。 10.在 3 次对称群 S3中，设 H(1)，(123)，(132)是 S3的一个不变子群，则商群 G/H 中 的元素(12)H_。 11.设 Z60 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5是以 6 为模的剩余类环，则 Z6中的所有零 因子是_2,3,4_。 12.设 R 是一个无零因子的环，其特征 n 是一个有限数，那么，n 是_。 13.设 Zx是整系数多项式环，(x)是由多项式 x 生成的主理想，则(x)_ _。 14.设高斯整数环Z i abi|a， bZ， 其中i21， 则Z i 中的所有单位是_ _。 15.有理数域 Q 上的代数元2+3在 Q 上的极小多项式是_。 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 30 分）分） 16.设 Z 为整数加群，Zm为以 m 为模的剩余类加群，是 Z 到 Zm的一个映射，其中 ：kk ，kZ， 验证：是 Z 到 Zm的一个同态满射，并求的同态核 Ker。 17.求以 6 为模的剩余类环 Z60 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5的所有子环，并说明 这些子环都是 Z6的理想。 18.试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间的关系，并举例说明唯一分解环未必 是主理想环。 四、证明题（本大题共四、证明题（本大题共 3 小题，第小题，第 19、20 小题各小题各 10 分，第分，第 21 小题小题 5 分，共分，共 25 分）分） 19.设 Ga，b，c，G 的代数运算“” 由右边的运算表给出，证明：(G，)作成一个群。 20.设 a b c a a b c b b c a c c a b 7 ,Zc, a 0c 0a I,Zd, c, b, a dc ba R 已知 R 关于矩阵的加法和乘法作成一个环。证明：I 是 R 的一个子环，但不是理想。 21.设(R， )是一个环，如果(R，)是一个循环群，证明：R 是一个交换环。 近世代数模拟试题一近世代数模拟试题一 参考答案参考答案 一、单项选择题。 1、C；2、D；3、B；4、C；5、D； 二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)。 1、 1 , 2,0 , 2,1, 21 , 1,0 , 1,1, 1 ；2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同 构;7、零、-a ；8、S=I 或 S=R ；9、域； 三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分） 1、解：把和写成不相杂轮换的乘积： )8)(247)(1653( )6)(57)(48)(123( 可知为奇置换，为偶置换。 和可以写成如下对换的乘积： )27)(24)(16)(15)(13( )57)(48)(12)(13( 2、解：设 A 是任意方阵，令 )( 2 1 AAB ， )( 2 1 AAC ，则 B 是对称矩阵，而 C 是反对称 矩阵，且 CBA 。若令有 11 CBA ，这里 1 B 和 1 C 分别为对称矩阵和反对称矩阵，则 CCBB 11 ，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于 0，即： 1 BB ， 1 CC ，所以，表示法唯一。 3、答： （ m M ， m ）不是群，因为 m M 中有两个不同的单位元素 0 和 m。 四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分） 1、对于 G 中任意元 x，y，由于 exy 2 )( ，所以 yxxyxyxy 111 )( （对每个 x，从 ex 2 可 得 1 xx ） 。 2、证明在 F 里 )0,( 11 bRba b a abab 有意义，作 F 的子集 )0,( bRba b a Q所有 Q显然是 R 的一个商域 证毕。 近世代数模拟试题二近世代数模拟试题二 参考答案参考答案 一、单项选择题(本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分)。 1、C；2、D；3、B；4、B；5、A； 二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)。 1、变换群；2、交换环；3、25；4、模 n 乘余类加群；5、2；6、一一映射；7、不都 等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环； 三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分） 1、解：H 的 3 个右陪集为：I,(1 2)，(1 2 3 )，(1 3)，(1 3 2 )，(2 3 ) H 的 3 个左陪集为：I,(1 2) ，(1 2 3 )，(2 3)，(1 3 2 )，(1 3 ) 2、答： （E，）不是群，因为（E，）中无单位元。 8 3、解 方法一、辗转相除法。列以下算式： a=b+102 b=3102+85 102=185+17 由此得到 (a,b)=17, a,b=ab/17=11339。 然后回代：17=102-85=102-(b-3102)=4102-b=4(a-b)-b=4a-5b. 所以 p=4, q=-5. 四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分） 1、证明 设 e 是群的幺元。令 xa1*b，则 a*xa*(a1*b)(a*a1)*be*b b。所以，xa1*b 是 a*xb 的解。 若 xG 也是 a*xb 的解，则 xe*x(a1*a)*xa1*(a*x)a1*bx。所以， xa1*b 是 a*xb 的惟一解。 2、容易证明这样的关系是 Z 上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z记为 Zm，每 个整数 a 所在的等价类记为a=xZ；mxa或者也可记为a，称之为模 m 剩余类。 若 mab 也记为 ab(m)。 当 m=2 时，Z2 仅含 2 个元：0与1。 近世代数模拟试题三近世代数模拟试题三 参考答案参考答案 一、单项选择题 1、C；2、C；3、D；4、D；5、A； 二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。 错填、不填均无分。 1、唯一、唯一；2、a；3、2；4、24；5、；6、相等；7、商群；8、特征；9、 nm ； 三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分） 1、解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两 种珠子，分类进行计算：例如，全白只 1 种，四白一黑 1 种，三白二黑 2 种，等等， 可得总共 8 种。 2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意 a,bS1S2 有 a-b, abS1S2： 因为 S1，S2 是 A 的子环，故 a-b, abS1 和 a-b, abS2 ， 因而 a-b, abS1S2 ，所以 S1S2 是子环。 S1+S2 不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例： 3、解： 1 )56)(1243( ， )16524( 1 ； 2两个都是偶置换。 四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分） 1、 证明： 假定是 R 的一个理想而不是零理想， 那么 a 0， 由理想的定义 1 1a a ， 因而 R 的任意元 1bb 这就是说=R，证毕。 9 2、证 必要性：将 b 代入即可得。 充分性：利用结合律作以下运算： ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e， ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e， 所以 b=a-1。 近近 世世 代代 数数 试试 卷卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“” ，错的打“” ；每小题 1 分， 共 10 分） 1、设A与B都是非空集合，那么BAxxBAx且。 （ f ） 2、设A、B、D都是非空集合，则BA到D的每个映射都叫作二元运算。 （ f ） 3、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射 1 f。 （ t ） 4、如果循环群 aG 中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构。 （t ） 5、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。 （ f ） 6、群G的子群H是不变子群的充要条件为HHggHhGg 1 ;,。 （ t ） 7、如果环R的阶2，那么R的单位元01。 （ t ） 8、若环R满足左消去律，那么R必定没有右零因子。 （ t ） 9、)(xF中满足条件0)(p的多项式叫做元在域F上的极小多项式。 （ f ） 10、若域E的特征是无限大，那么E含有一个与 p Z 同构的子域，这里Z是整数环， p是 由素数p生成的主理想。 （ f ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干 后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题 1 分，共 10 分） 1、设 n AAA, 21 和D都是非空集合，而f是 n AAA 21 到D的一个映射，那么（ 2 ） 集合DAAA n, , 21 中两两都不相同； n AAA, 21 的次序不能调换； n AAA 21 中不同的元对应的象必不相同； 一个元 n aaa, 21 的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算（ 3 ）4 在整数集Z上， ab ba ba ； 在有理数集Q上，abba； 在正实数集 R上，babaln；在集合0nZn上，baba。 3、设是整数集Z上的二元运算，其中baba,max（即取a与b中的最大者） ，那么在 Z中（ 4 ）3 不适合交换律；不适合结合律；存在单位元；每个元都有逆元。 4、设 ,G为群，其中G是实数集，而乘法kbaba:，这里k为G中固定的常数。那 么群 ,G中的单位元e和元x的逆元分别是（ 4 ） 0 和x； 1 和 0； k和kx2； k和)2(kx。 5、设cba,和x都是群G中的元素且xacacxbxcax , 12 ，那么x（ 2 ）1 11 abc； 11 ac； 11 bca； cab 1 。 6、设H是群G的子群，且G有左陪集分类cHbHaHH,。如果 6，那么G的阶G（ 3 ） 2 10 6； 24； 10； 12。 7、设 21 :GGf是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（2 ）4 f的同态核是 1 G的不变子群； 2 G的不变子群的逆象是 1 G的不变子群； 1 G的子群 的象是 2 G的子群； 1 G的不变子群的象是 2 G的不变子群。 8、设 21 :RRf是环同态满射，baf)(，那么下列错误的结论为（ 4 ）3 若a是零元，则b是零元； 若a是单位元，则b是单位元； 若a不是零因子，则b不是零因子；若 2 R是不交换的，则 1 R不交换。 9、下列正确的命题是（ 4 ）1 欧氏环一定是唯一分解环； 主理想环必是欧氏环； 唯一分解环必是主理想环； 唯一分解环必是欧氏环。 10、若I是域F的有限扩域，E是I的有限扩域，那么（1 ）4 FIIEIE:； IEFIEF:； IFFEFI:； FIIEFE:。 三、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。 每空 1 分，共 10 分） 1、设集合1 , 0 , 1A； 2 , 1B，则有 AB 。 2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则 aff 1 a 。 3、 设集合A有一个分类， 其中 i A与 j A是A的两个类， 如果 ji AA ， 那么 ji AA 0 。 4、设群G中元素a的阶为m，如果ean，那么m与n存在整除关系为 。 5、凯莱定理说：任一个子群都同一个 同构。 6、给出一个 5-循环置换)31425(，那么 1 。 7、若I是有单位元的环R的由a生成的主理想，那么I中的元素可以表达为 x 。 8、若R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想，那么 I R 是一个域当且仅当I是 一个最大理想 。 9、整环I的一个元p叫做一个素元，如果 、p 既不是零元，也不是单位，且 q 只有 平凡因子 。 10、若域F的一个扩域E叫做F的一个代数扩域，如果 。 四、改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备的横线 上面。指出错误 1 分，更正错误 2 分。每小题 3 分，共 15 分） 1、如果一个集合A的代数运算同时适合消去律和分配律，那么在 n aaa 21 里，元的 次序可以掉换。 结合律与交换律 2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法 封闭；结合律成立、交换律成立。 消去律成立 3、设I和S是环R的理想且RSI，如果I是R的最大理想，那么0S。 S=I 或 S=R 4、 唯一分解环I的两个元a和b不一定会有最大公因子， 若d和 d都是a和b的最大公因子， 11 那么必有 dd 。 一定有最大公因子；d 和 d只能差一个单位因子 5 、叫 做 域F的 一 个 代 数 元 ，如 果存 在F的 都 不 等 于零 的 元 n aaa, 10 使 得 0 10 n n aaa。 不都等于零的元 五、计算题（共 15 分，每小题分标在小题后） 1、给出下列四个四元置换 3412 4321 , 4312 4321 , 3421 4321 , 4321 4321 4321 组成的群G，试写出G的乘法表，并且求出G的单位元及 1 4 1 3 1 2 1 1 , 和G的所有子群。 2、 设 5,4,3,2,1,0 6 Z是模 6 的剩余类环， 且 xZxgxf 6 )(),(。 如果 253)( 3 xxxf、 354)( 2 xxxg，计算)()(xgxf、)()(xgxf和)()(xgxf以及它们的次数。 六、证明题（每小题 10 分，共 40 分） 1、设a和b是一个群G的两个元且baab ，又设a的阶ma ，b的阶nb ，并且1),(nm， 证明：ab的阶mnab 。 2、设R为实数集，0,aRba，令RxbaxxRRf ba ,: ),( ，将R的所有这样的变换 构成一个集合0, ),( aRbafG ba ，试证明：对于变换普通的乘法，G作成一个群。 3、设 1 I和 2 I为环R的两个理想，试证 21 II 和 2121 ,IbIabaII都是R的理想。 4、设R是有限可交换的环且含有单位元 1，证明：R中的非零元不是可逆元就是零因子。 近世代数试卷参考解答 一、判断题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 三、填空题 1、 1 , 2,0 , 2,1, 21 , 1,0 , 1,1, 1。 2、a。 3、。 4、nm。 5、变换群。 6、13524。 7、Ryxayx iiii ,。 8、一个最大理想。 9、p 既不是零元，也不是单位，且 q 只有平凡因子。 10、E 的每一个元都是 F 上的一个代数元。 四、改错题 1、如果一个集合A的代数运算同时适合消去律和分配律，那么在 n aaa 21 里，元的 次序可以掉换。 结合律与交换律 2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法 封闭；结合律成立、交换律成立。消去律成立 3、设I和S是环R的理想且RSI，如果I是R的最大理想，那么0S。 S=I 或 S=R 4、 唯一分解环I的两个元a和b不一定会有最大公因子， 若d和 d都是a和b的最大公因子， 12 那么必有 d=d。 一定有最大公因子；d 和 d只能差一个单位因子 5 、叫 做 域F的 一 个 代 数 元 ，如 果存 在F的 都 不 等 于零 的 元 n aaa, 10 使 得 0 10 n n aaa。 不都等于零的元 测验题 一、 填空题（42 分） 1、设集合M与M分别有代数运算与，且MM ，则当 满足结合律 时，也满 足结合律；当 满足交换律 时，也满足交换律。 2、对群中任意元素 1 )(, abba有= ； 3、设群 G 中元素 a 的阶是 n，n|m 则 m a= e ； 4、设a是任意一个循环群，若 | a，则a与 整数加群 同构；若na |， 则a与 n 次单位根群； 同构； 5 、 设G=a为6阶 循 环 群 ， 则G的 生 成 元 有 5 ,aa； 5432423 ,aaaaaeaaeaee； ；子群有 ； 6、n 次对称群 n S的阶是 n!; ；置换)24)(1378(的阶是 4 ； 7、设 2314 4321 1432 4321 ，则 7、 2314 4321 ； 8、设)25)(136()235)(14(，则 1 ； 9、设 H 是