（模式识别与智能系统专业论文）非线性对流系统的空间混沌行为.pdf

山东大学硕士学位论文 摘要 2 d 离散动力系统特别是2 d 时滞离散动力系统是时滞大系统的一个重要组 成部分，在控制理论中属于多变量离散时间序列或者空间序列的范畴，在数学上 称之为泛函偏差分方程。非线性对流系统作为2 d 离散动力系统的一个重要分支， 是近十几年来才发展起来的一个崭新的学科领域，并且该领域发展迅速鉴于它 在实际问题中的重要性和广泛的应用性，近年来引起了学术界的广泛关注作者 对非线性对流系统的空间动力学理论、混沌、控制等问题进行了一系列的基本研 究本论文主要涉及以下内容： i 转数区间意义下的空问混沌定义 在综合分析一维离散动力系统的基础上合理地在空间中引入了一系列新的概 念。例如：圆映射、转数、转数区间、移位映射等等。在这些新的意义下做了一 系列的工作例如：依据空间七周期轨道的构造方法，利用转数区间定理，给出 了空间混沌的存在性证明和非连续对流系统空间混沌的判定，并讨论了2 d 离散 动力系统在转数区间意义下的空间混沌行为。 i l 空间混沌的参数微扰控制 将一维系统的参数微扰控制拓展到2 - d 离散动力系统上，真正从空间意义上 研究2 - d 离散动力系统的混沌控制，实现了其空间混沌的控制，并利用l y a p u n o v 第一方法给出了不动平面稳定的一个充分条件 山东大学硕士学位论文 i il 空间混沌的反馈控制 研究了2 - d 离散动力系统空间混沌行为的控制，得到了空间混沌行为的二次 非线性反馈控制和预测反馈控制。 1 二次非线性反馈控制克服了参数微扰控制的收敛控制区域小且难以调 节，在噪声环境下容易越过控制区域而难以获得期望效果的缺点。 2 预测反馈控制从理论上克服了d f c 的局限性，不需要事先计算目标周期 轨道。我们可以将预测反馈控制法和非线性估计法结合起来，得到更加 广泛的预测反馈控制。 关键词空间混沌；分段连续；圆映射；移位映射；转数区间；预测反馈 n 山东大学硕士学位论文 a b s t r a c t 2 - dd i s c r e t ed y n a m i c a ls y s t e m s ，p a r t i c u l a r l y2 - dd e l a y e dd i s c r e t ed y n a m i c a l s y s t e m s ，c o n s t i t u t ea ni m p o r t a n tp a r to fd e l a y e dl a r g e s c a l es y s t e m s ，b e l o n g i n gt ot h e f i e l do fm u l t i v a r i a b l ed i s c r e t e t i m es e q u e n c e so rs p a t i a ls e q u e n c e si nc o n t r o lt h e o r y a sap a r to f2 - dd i s c r e t ed y n a m i c a ls y s t e m s ，t h en o n l i n e a r c o n v e c t i o ns y s t e mi sa n e wr e s e a r c hf i e l dd e v e l o p e di nr e c e n ty e a r s d u et oi t s i m p o r t a n c ei ns o l v i n g p r a c t i c a lp r o b l e m sa n di t sw i d e - r a n g e da p p l i c a t i o n s ，i t h a sb e c o m ea na t t r a c t i v e a c a d e m i cr e s e a r c ha r e ai nr e c e n ty e a r s i nt h i st h e s i s ，b a s i cr e s e a r c hi sc a r r i e do u to n s p a t i a ld y n a m i c a lt h e o r y , s p a t i a lc h a o s ，a n dc o n t r o lo fn o n l i n e a rc o n v e c t i o ns y s t e m s t h em a i nc o n t e n t so ft h et h e s i si n c l u d et h ef o l l o w i n ga s p e c t s ： it h ed e f i n i t i o no fs p a t i a lc h a o si nt h es e n s eo fr o t a t i o nn u m b e ri n t e r v a l b a s e do nt h eo v e r a l la n a l y s e so f1 - dd i s c r e t ed y n a m i c a ls y s t e m s ，as e r i e so fn e w c o n c e p t sa r ei n t r o d u c e dr e a s o n a b l yi nt h es p a c e ，i n c l u d i n gm a p p i n gc i r c l e ，r o t a t i o n n u m b e r , r o t a t i o nn u m b e ri n t e r v a l ，as h i f to nt h es e q u e n c es p a c e ，a n ds oo n ，s ot h a tw e h a v es o m en e wr e s e a r c hw o r k sd o n ew e l l f o re x a m p l e ，b a s e do nt h ec o n s t r u c t i o no f s p a t i a lkp e r i o d i co r b i t s ，a n dt h et h e o r e mo fr o t a t i o nn u m b e ri n t e r v a l i n2 - d n o n l i n e a rd i s c r e t ed y n a m i c a ls y s t e m s ，q u a l i t a t i v ea n a l y s i so fb o u n d a r ys t a b i l i t yi s s t u d i e d a l s o ，t h eb e h a v i o ro fs p a t i a lc h a o si nt h es e n s eo fr o t a t i o nn u m b e ri n t e r v a li n n o n l i n e a rc o n v e c t i o ns y s t e m si sd i s c u s s e d i ip e r t u r b a t i o nc o n t r o lo ns p a t i a lc h a o s f o r2 - dd i s c r e t ed y n a m i c a ls y s t e m s ，t h ec o n t r o lo fs p a t i a l l yc h a o t i cb e h a v i o r si s i n v e s t i g a t e d ，a n dt h ep e r t u r b a t i o nc o n t r o lo ns p a t i a lc h a o si ss t u d i e d b ye x t e n d i n g t h em e t h o do ft h ep e r t u r b a t i o nc o n t r o la p p l i e dt o1 - ds y s t e m st o2 - dd i s c r e t e d y n a m i c a ls y s t e m s ，w es t u d yi t sc o n t r o lo ns p a t i a lc h a o si nt h es e n s eo fs p a c e s o m e s u f f i c i e n tc o n d i t i o n so nt h es t a b i l i t yo ft h ef i x e ds u r f a c ea r ea l s oo b t a i n e d i i if e e d b a c kc o n t r o lo ns p a t i a lc h a o s f o r2 - dd i s c r e t ed y n a m i c a ls y s t e m s ，t h ec o n t r o lo fs p a t i a l l yc h a o t i cb e h a v i o r si s i n v e s t i g a t e d ，a n d t h e d u a l i t yn o n l i n e a r f e e d b a c kc o n t r o la n dp r e d i c t i o n b a s e d m 山东大学硕士学位论文 f e e d b a c kc o n t r o lo fs p a t i a l l yc h a o t i cb e h a v i o r sa r ea l s os t u d i e d 1 t h em e t h o do fd u a l i t yn o n l i n e a rf e e d b a c kc o n t r o lo v e r c o m e st h el i m i t a t i o n t h a tt h ec o n v e r g e n c ec o n t r o ld i s t r i c to ft h ep e r t u r b a t i o nc o n t r o li ss m a l l ， d i f f i c u l tt or e g u l a t e ，a n de a s yt op a s sa c r o s st h ec o n t r o ld i s t r i c ta n de s c a p e f r o mt h ee x p e c t e dp e r i o d i c a lo r b i t su n d e rt h ec i r c u m s t a n c eo fn o i s e s 2 t h em e t h o do fp r e d i c t i o n b a s e df e e d b a c kc o n t r o lo v e r c o m e st h el i m i t a t i o no f t h ed f ct h e o r e t i c a l l y w ed on o th a v et oc a l c u l a t et a r g e tp e r i o d i co r b i t s b e f o r e h a n d c o m b i n i n gp r e d i c t i o nw i t hn o n l i n e a re s t i m a t i o nt e c h n i q u e s ，w e h a v em o r eg e n e r a lp r e d i c t i o n b a s e df e e d b a c kc o n t r 0 1 k e y w o r d ss p a t i a lc h a o s 。p i e c e w i s ec o n t i n u o u s ，m a p p i n gc i r c l e ，as h i f t o nt h e s e q u e n c es p a c e ，r o t a t i o nn u m b e ri n t e r v a l ，p r e d i c t i o n b a s e df e e d b a c kc o n t r o l 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人 承担。 论文作者签名：# 蝮巡日期：西，璺j 旦 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅 和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编本 学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：世避 导师签名： 山东大学硕士学位论文 1 1 引言 第一章绪论 随着科学技术的不断发展，在越来越多的学科和工程技术领域中都涉及到大 量的离散多变量系统。例如：量子化学、粒子物理、柔性机器人、种群动力学、 混沌动力学、多变量网络的实现、地震检测数据的处理、卫星气象云图的扫描、 森林火灾照片的增强等等。对于这些以偏差分方程作为数学模型的离散多变量系 统，我们通常称之为空间离散动力系统，即2 - d 离散动力系统。例如“吲； 1流体力学中的经典线性对流方程 罢+ 口罢。0 ，一 x o 办苏 7 蕾，以0 ) = ，( 力，- - 0 0 定性理论的研究，主要涉及它的稳定性、振动性、正解存在性与不存在 性等问题。 空间非线性动力学性质的研究，包括空间混沌的判定准则、空间混沌的 控制及同步、空间的l y a p u n o v 指数、空间的f e i g e n b a u m 等问题。 1 3 空间混沌 观察( 卜1 ) 一( 1 - 6 ) ，我们可以看到：它们都是带有两个独立整数变量朋，拧 的空间离散系统，所呈现出的都是空间中的运动变化行为。然而，在实际应用中， 由于受到各种客观因素的干扰、制约和强迫，这些空问运动模型一般都是非常复 杂的，通常表现为下列的形式： 山东大学硕士学位论文 k + + n 以，。一( 1 + d ) x 0 ，= z “，工- ，) ( i - 9 ) x m + i + a x _ ，i = ( 2 ，( 1 + 口) x 。) 、 ( 1 一1 0 ) 仍+ u + 仍小i + 仍。u + 纪- i = k ，识，) ( 1 1 1 ) v 坩，一椰- - v m , # + i 一i ，一，1 = 碱，+ 石“， ，以) ( 卜1 2 ) 仁一口k ，+ ，一以山一以，“一以4 ，一以川) = 兀如，- t 。) ( i - 1 3 ) 其中z ，i = l ，2 ，3 ，4 ，5 均是非线性函数，称之为强迫项，“，i = l ，2 ，3 ，4 ，5 均是实参 数。对于系统( 1 - 9 ) 一( 卜1 3 ) ，我们可以把两个独立变量牌或者，l 中的任何 一个变量定义为时间变量。我们会发现：在强迫项，g li = i ，2 ，3 ，4 ，5 的趋动下， ( 1 曲) 一( 卜1 3 ) 会随着时间的改变而呈现出空间的运动行为，甚至出现空间混 沌现象( s p a t i a lc h a o s ) ，我们称之为时空混沌。 1 4cml 模型 对于物理中的一维扩散系统，l l p 状态0 ，f ) 满足如下形式的偏微分方程 o i u = 厂0 g ，) ) + 扣2 0 g ，f ) ) ，( 1 - 1 4 ) ( 7 1 其中f ( u ( x ，f ) ) 称为反应项，e d 2 0 g ，r ) ) 称为扩散项，占称为扩散系数。为了合理 地分析一维扩散方程的定性特征，人们习惯上把它化为如下形式 h 山= ( 1 一占) 厂g 。，) + 要【厂k 川) + ，g m , n + 1 ) 】 ( 卜1 5 ) 来研究。其中j ，l 表示时间，以表示格子点的坐标，”= 1 ，2 ，上，l 表示系统的 大小，x n z 。, 表示系统的状态，g ) 通常取l o g i s t i c 映射，即厂g ) = 甜( 1 - x ) ，口是 一个实参数。对于形式( 卜6 ) ，我们通常称之为耦合映像格子模型( c o u p l em a p l a t t i c em o d e l ) ，简称为c m l 模型m 4 1 cml 模型作为2 一d 离散动力系统的一 个例子，对于它的空问混沌的非线性动力性质的研究，目前已有较多的结果。然 而，由于在它的研究中附加了较多的制约条件，并且仍然按照一元函数( 实际上， c m l 是一个二元函数) 的方法来处理，不仅制约了它的自然形态的发展，而且 也使得问题的解决存在很大的局限性。从而导致了在2 d 离散动力系统中，类 4 山东大学硕士学位论文 似于1 d 离散动力系统中的混沌、分岔、控制和同步等非线性动力特征在空间 中的对应结果无法很好地获得。 1 5 空间混沌的最新研究 为了克服c m l 研究中存在的这些弊端，彻底地摆脱了c m l 研究中的那些 约束条件，并且完全利用二元函数的特征，真正从空间的角度去研究2 d 离散 动力系统的时空混沌，导师刘树堂教授做了一系列的研究工作嘶侧，其中包括： 空间迭代周期轨道的构造 可以说，在空间意义下进行空间混沌的非线性动力特征的研究关键是空间 多变量序列的迭代问题，即空间运动轨迹的构造。这是因为研究空间离散 动力系统的非线性运动规律，首要的问题就是搞清楚系统在空间中的运动 轨迹，这就需要建立空间的迭代周期轨道，使得可以直接利用二元函数的 性质，真正从空间的角度去研究二元非线性系统的动力特征。 l i - y o r k e 和m a r o t t o 意义下的空间混沌行为 2 1 - 2 2 依据2 d 离散动力系统| | 一周期轨道的产生，进一步得到了空间迭 代周期轨道的稳定性条件，建立了空间l y a p u n o v 指数的基本数量公式，在 数学分析的基础上，给出了l i - y o r k e 和m a r o t t o 意义下的空间混沌定义， 。 得到了空间混沌的判定准则。 空间混沌的同步控制和曲面混沌的压缩控制 在分析一维动力系统混沌控制的基础上， 2 3 - 2 4 利用双变量的数学变换公 式，实现了空间混沌的线性广义同步和非线性广义同步；对于曲面混沌， 根据空间混沌的复杂特征，提出了一种全新的空间混沌控制方法，即压缩 控制法；相应地，对曲面分岔取得了用参数反馈进行控制的结果，由 l y a p u n o v 第一方法，给出了曲面分岔控制稳定性的充分条件，得到了曲面 混沌和曲面分岔控制的理论依据；同时，对空间广义l o g i s t i c 动力系统的周 期倍化分岔进行了有效的控制 混沌、曲面分岔和空间的f e i g e n b a u m 问题 2 5 依据一个重要的数学变换，使得系统的空间结构发生了根本性的转变， 从而建立了曲面混沌和曲面分岔的基本理论，研究了曲面混沌和曲面分岔 山东大学硕士学位论文 的存在问题；空间曲面的周期倍化( p e r i o d - d o u b l i n g ) 分岔定理和鞍结 ( s a d d l e - n o d e ) 分岔定理；空间的f e i g e n b a u m 问题以及空间混沌的其它一 些非线性动力特征。 s a r k o v s k i i 定理和空间离散动力系统的周期倍化分岔 s a r k o v s k i i 定理是说明一维系统迭代周期点问题的经典成果。 2 6 对曲面分 岔进行了切片分析，把s a r k o v s k i i 定理较好地运用到空间中来，详细地分 析了空间广义l o g i s t i c 动力系统的周期倍化分岔问题，并且这些结果的特殊 情形恰好是一维中的情况。 通常对于某学科领域的研究，如果它自身能够形成一个系统的理论体系， 那么它在从一维到二维的过渡过程中必然存在着一些内在的联系，而这些内在的 联系，我们通常称之为理论体系的对称性和平行性。因为这是形成某一学科领域 的理论体系的一个基本属性，所以既然一维离散动力系统( 1 - 8 ) 是2 d 离散动 力系统( 卜8 ) 的一种特殊情况，那么它的非线性动力特征，例如：不动点， l y a p u n o v 指数等，自然地也应当符合理论体系的对称性和平行性。然而，从目 前关于c m l 时空混沌行为的研究结果来看，这样一个从二维离散动力系统( 1 - 7 ) 到维离散动力系统( 1 书) 的演变所对应的结果，却并不具备理论体系的对称 性和平行性。如何保持从一维到二维以及其它定性理论的那种平行性和对称性是 一个必须要解决的问题。 2 1 - 2 6 突出地关注了这一问题，充分地保证了事物从 简单到复杂的过程中，理论体系的自然推广这一基本属性。例如： 二维系统( 卜7 ) 的不动平面 一1 14 - 4 , u 甜。1 砖瓦 不动平面的稳定性条件 if ( 腑咖) | 尚 k 空间周期轨道的稳定性条件 缈c z , a , r s 肌，哟4 k 周期轨道的稳定性条件 一维系统的k 次迭代公式 一维系统的l y a p u n o v 指数 善。= x = 雩 ，x ) s 1 陋伽，墨) l l i - li 靠+ i = ，似，h ) a ( 群( ) ) = l 洫i 1 缶= - i l 妙似，b ) l 7 肿 一 甜 + 矿 几 扩 圳 扛舢埕m ，=t1 ：璺! = 山东大学硕士学位论文 1 dl o g i s t i c 离散动力系统“。卜：不动点的稳定性条件 寻 q 由此可见，对2 - d 系统( 卜7 ) 的研究表明，1 一d 系统( 1 - 8 ) 的非线性动力 性质完全可以拓展到二维离散动力系统上去但是，如果我们采用原来的c m l 方法同样地去处理上述问题，我们会发现：它们并没有这种理论体系的对称性和 平行性。 2 1 利用所建立的空间迭代周期轨道，清楚地表明了一维情况的一些结 果正是现在二维情况的特殊情形这一理论体系的对称性和平行性，从而为进一步 探索和逐步完善空间中的复杂非线性理论奠定了基础。 1 6 课题研究的主要内容 1 6 1 空间混沌的定义 由于混沌系统是一种比较复杂的系统，并且混沌系统的复杂性没有甚至也不 可能有一个统一的标准，不同的侧重面导致不同的混沌内涵。因此，到目前为止， 关于混沌的严格的数学定义尚没有一个统一的标准其中非常著名的有 l i - y o r k e m l 定义、m a r o t t o c 3 = j 定义和转数区间定义嘲。 1 9 6 4 年，乌克兰数学家a n s h a r k o v s k y 证明了一个关于一元连续函数的 周期蕴涵关系的定理，即沙可夫斯基定理沙可夫斯基定理引发了一维动力系统 的蓬勃研究与发展，历经三十年至今而无衰减迹象。我们在这里之所以要谈论沙 可夫斯基定理就是因为这个定理与引发混沌研究的l i - y o r k e 定理密切相关。1 9 7 5 年，李天岩与j a m e s a y o r k e 提出了著名的l y o r k e 定理。 实际上，沙可夫斯基定理证明了较l i - y o r k e 定理的第一部分更为一般的结 果。但是，只有l i y o r k e 定理的第二部分才深刻地揭示了混沌的本质特征：混 沌动力系统关于初始条件的敏感性以及由此产生的解的最终形态的不可预测性。 由于该文章第一次在数学上严格地引入了“混沌”的定义，因此，l i - y o r k e 混沌 在各种情形下被广泛地讨论着 由于l i - y o r k e 定理给出的只是，：i i ，即一维动力系统的混沌定义。并 不适用于f ：r ”- - yr “高维动力系统。因此，1 9 7 8 年f r m a r o t t o 在l i y o r k e 定理的基础上将一维动力系统x 。= ( ) 的混沌定义扩展到高维动力系统 8 山东大学硕士学位论文 j ，一+ i = f ( j 0 ) 上去，得到了m a r o t t o 定理 当然，除了上面提到的两个混沌定义外，尚有多种混沌定义。例如：d e v a n e y 混沌定义、正拓扑熵混沌定义等等在这里，我们就不再一一列举了而如何将 这些适用于以常差分方程为数学模型的一维动力系统的混沌定义拓展到空间动 力系统( 以偏差分方程为数学模型) ，尤其是我们在这里着重研究的非线性对流 系统上去，得到所谓的空间混沌定义，则是目前比较关注的问题之一 2 卜2 2 第一次将1 - d 动力系统的混沌定义：l i - y o r k e 定义和m a r o t t o 定义拓展到2 d 动力系统上去，分别得到了； l i - y o r k e 意义下的空间混沌定义 考虑对流系统 ， 靠+ i 。+ 甜。川= 鸬( ( 1 + 口) x ，y ( 卜1 6 ) 扣i 其中 彳：婴，渊，2 ，3 ，q5 百，2 1 ，2 ，3 ， 。= 陲 行列式d ( 是由口的第j 列换为 ( 靠+ u + 似，川，靠+ 2 一- t - d l c m , s + 2 x m 一+ o j c b 一) t ，i = 1 ，2 ，3 ， 令v r 3 , r 0 是矿的一个非空子集，f 是上的一个区间，i 是一维的子集 合，并且记 ( 埘，席) = j 。+ 枷+ a x 。州，i = 1 ，2 ，3 ， 若下列条件成立： 1 对于任一肼，n n o ，f ，j = 1 ，2 ，3 ，有r a m ，帕i ，( 小，) 0 ，i = l ，2 ，3 ， 和( 肌，玎) ( 册，一) ，f j 2 对于任一肌， o ，有，1 沏，功 r 3 ，呻 3 ，q ) c i 则系统( 1 - 1 6 ) 在l i - y o r k e 意义下是空间混沌的 同理，对于对流系统 9 山东大学硕士学位论文 x 川，+ l 川：壹彳s i n b 。，) ( 1 1 7 ) t = l 其中 芦辈，i = 1 ，2 ，3 ， “2 百，2 1 2 i s i n i ) s i n ( 2 x , ) s i n ( 3 x i ) i d = i s i n ( x z ) s i n ( 2 x 2 ) s i n ( 3 x 2 l i s i n ( x 3 ) s i n ( 2 x s ) s i n ( 3 x 3 ) i 并且行列式d ( 是由行列式d 的第i 列换为下列向量得到的； o m + 靠，+ l 工m + 矗，+ 2 ，h 。+ 靠 ) 1 ，f = l ，2 ，3 亦可以证明系统( 1 - 1 7 ) 进行空间混沌运动。 m a r o t t o 意义下的空间混沌定义 若对于，的一个数列 + a xe 勰，其中并不是所有的 善h + = ( 1 + 口) 膏，满足 1 存在某一整数m ，使得对于所有的； ，m ，都有 + a x 。= ( 1 + 口) x = ，仁，( 1 + 口) x ) 。 2 当i ，j 时，k + 觏“- - ( 1 + a ) x 3 对于所有的七，f e z ，有，( 肛( 1 + 口) x 。) 0 。 则系统( 卜7 ) 有一个s n a p b a c kr e p e l l e r ，即不动平面( 1 + 口) x = ，缸，( 1 + 口) x ) 。 这时，我们就说系统( 1 - 7 ) 在m a r o t t o 意义下是空间混沌的。 对于对流系统 】o + + 凹r 舸卅i = l 一( ( 1 + 国) j r 删) 2 ( 1 1 8 ) 我们通常称之为空间一般2 一dl o g i s t i c 系统。而当 1 5 5 时，系统( 卜1 8 ) 在 m a r o t t o 意义下是空间混沌的。 对于连续对流系统的空间混沌行为的研究，我们可以看到：它们实际上是将 一维离散动力系统( 卜8 ) ( 以常差分方程作为数学模型) 的混沌定义：l i - y o r k e 定 义和m a r o t t o 定义拓展到空间离散动力系统( 1 - 7 ) ( 以偏差分方程作为数学模 型) ，尤其是连续对流系统上去，得到了所谓的空间混沌定义 但是，就这两个混沌定义而言，f ：i 哼，必须是一个连续函数这一要求限 i o 山东大学硕士学位论文 制了它们的发展因此，如何用其它的混沌定义分析非连续对流系统的空间混沌 行为则是目前比较关注的问题之一。作者课题研究的一个主要方向就是将一维离 散系统的转数区间混沌定义拓展到非连续对流系统上去，得到了另一个重要的空 问混沌定义：转数区间意义下的空间混沌定义。 1 6 2 空间混沌的控制及同步 由于混沌运动具有初值敏感性和长时间发展趋势的不可预见性，混沌控制就 成为混沌应用的重要环节1 9 8 9 年，a h u b l e r 发表了混沌控制的第一篇文章。 1 9 9 0 年，o t t ，c g r e b o g i 和j a y o r k e 提出的控制混沌的思想( o g y 控制) 产生 广泛响应。同年，l m p e c o r a 和t l c a r r o l l 提出混沌同步的思想，接着、m l d i t t o 和r r o y 等完成了控制混沌的实验。以后十年，混沌控制与混沌同步的研究得 到了蓬勃的发展，这一方向迅速成了混沌研究领域的重要热点。其间，人们提出 了各种混沌控制的方法，并在光学，等离子体化学反应流体，电子回路人 工神经网络和生物系统等大量试验和应用中得到验证。 关于一维离散动力系统的混沌控制，同步和应用目前已有了十分丰富的研 究成果。而对于空间离散动力系统的混沌控制、同步和应用的研究目前才刚刚开 始。 2 3 - 2 4 第一次研究了空间离散动力系统的混沌控制和同步，利用双变量的 数学交换公式，实现了空间混沌的线性广义同步和非线性广义同步： 对下列两个空间混沌系统进行耦合 靠+ l 一+ t ，“= l 一朋【( 1 + 由) ) 】2 ( 1 1 9 ) y 。+ 协+ 吐摹o + lz l 一芦2 瞰+ 国h 。r ( 1 2 0 ) 得到x m + 。，+ 吐薜。，。= 1 一“ ( 1 + h 。】2 + 孝o ( ，艄酽 + r o y = 川= l 一鸬【( 1 + 勘，搠】2 其中善是一个耦合强度利用这种耦合关系，找到两个函数h g 。，) 和 j i c ，) ，使得m ，气川和p 。满足空间广义l o g i s t i c 系统： e 。，+ 伽。，i = 1 一( ( 1 + 功p 。) 2 。若能够找到一个适当的值善使得 唧抓訾矧2 一1 山东大学硕士学位论文 则e 。趋近于一个稳定的不动平面e 一- - l 氡- + 矿i + v t l 瓦， 从而 e 。= h g 。，y 。= c o n s t a n t ，也就是说，x 。和_ ) ，满足一个确定的函数关系， 从而实现了空间混沌的广义同步。 线性广义同步利用一种解析法研究了( 卜1 9 ) 、( 卜2 0 ) 在空间中的广义同步 问题：矗( h ，y a a ) = 2 1 x 。一鸬 h b 。，y 。、= t g g j , , w4 - 缈。 给出了这两个混沌系统在空间中处于稳定状态的稳定区域，并得到了线性广义同 步在一维空间中的相应结果。 非线性反馈广义同步应用一种非线性耦合法实现了以上两个混沌系统在空 间中的广义同步：g ( ，y 。) = m + 正见一胁 g ( ，) = + 尸死+ ， 并得到了其广义同步的耦合值域q = q 。n g 。类似的方法也应用于一维离散动 力系统，并得到了相应的结果 。 正是由于空间混沌，尤其是空间混沌控制与同步研究的迫切性和重要性，提 出不同的空间混沌控制方法则是该领域研究的重要内容。在后面的章节中。我们 将会看到：空间混沌的参数微扰控制。 空间混沌的二次非线性反馈控制 空间混沌的预测反馈控制 1 2 山东大学硕士学位论文 第二章带分段连续强迫项对流系统的空间混沌行为1 2 1 带分段连续强迫项的对流系统 在本章中。我们研究下列系统的非线性动力形态 】o “一+ 口o 肿i2 0 ，( 1 + 4 ) 】f _ ) ( 2 1 ) 其中，0 ，( 1 + 口) 工) 在区间b g 】，p q 上是一个分段连续函数； m ，月e ，= ，r + l ，r + 2 ，l ，是一个整数，并且，s 0 ) ，n 2 ，- - h r 3 。因此， 对于系统( 2 1 ) ，我们通常称之为带分段连续强迫项的对流系统。我们将按照空 间迭代轨道的构造方法乜1 ，结合转数区间定理嘲，研究了它的空间混沌行为。 由 2 1 可知，当，在区间b 胡上是连续的，也就是说，( 2 一1 ) 有周期3 解， 即存在一个 点x b ，q 】 ， 使得 ( 1 + 口) x = ，封，( 1 + 口) x ) = 厂，厂，( 1 + 口) x ) ) ) 时，( 2 一1 ) 有所有周期的解 以及所有非周期的解。然而，对于，必须是连续的这一限制，就某些实际应用而 言是不合理的，尽管( 2 - 1 ) 的解可能是空间混沌的 事实上，间断点影响，的方式多种多样在本章中，我们主要研究的是有 一个跳跃间断点善e 扫，q 1 ，并且在区间 肛善 和l 司上厂均是连续递增的。对于 这类函数， 3 4 在对e x c i t a b l em e d i a 的p e r i o d i cs t i m u l a t i o n 研究中已经提到过 令z = ( 1 + 口) 工，取口 一1 ，设厂，z ) 有一个跳跃间断点工= 口b ，g 】，左极限、 右极限分别为 ( 1 + g = l i r a _ f ( z ) ( 1 + 口) p = l 哑“z ) 国家自然科学基金( n o 6 0 4 7 2 1 1 2 ) 项目 全国百篇优秀论文( 2 0 0 4 ) 专项基金项目 中国博士后基金( 2 0 0 4 ) 资助项目 山东大学硕士学位论文 并且厂“l + 口) p ) ( 1 + 口) p ，( ( 1 + 口) g ) ( 1 + 口) g 。 如果p g 或者如果p 善或者g 乎，那么跳跃间断点口【p ，q 】 对于厂的迭代是没有影响的。但是，当p ； 一1 时，= 【0 ，l + a 】；当a 一l 时，j - 【l + q 0 】。 i i 对于任意的：孝，都有o 鲨掣 - 1 时，l i m + f ( z ) = 0 ，l i l l 巴厂( z ) = l + a ，( 参) = 1 + a ； z c= - 当口 ，( 1 + 口) 时，将区间【o ，l + 司映射到自身内，在圆上无重叠 ( n o n - o v e r l a p p i n g ) 2 当s ( o ) s o + 口) 时，将区问【o ，l + 口j 映射到自身上，但非卜卜映射， 在圆上有重叠( o v e r l a p p i n g ) 3 当荆= s o + 口) 时。，将区间【o ，1 + 口】映射到自身上，且是卜1 一映射。 2 2 圆映射 一周期外力作用下的驰豫振荡是一种常见的基本运动形式。这种运动通常可以 山东大学硕士学位论文 用三维相空间中的轨迹来描述，例如：按照外力的周期采样，可以得到一个二维 映射。这个二维映射在强耗散极限下成为维映射这个维映射就是一种圆映 射1 3 5 - 3 s 1 圆映射定义由满足关系式 f ( x + p ) = p + 厂( 曲，p e z 的实函数八x ) 所表示的映射 。 工 - ( x ) ( 2 3 ) 例如：把，写作 i 力= 善+ g n g ( x ) 是，的周期函数： g ( x + p ) = g ( d 由于g ( x ) 是周期函数，相差整数的x 可以看作是等价的，( 2 3 ) 也可以看作 r ：x - f ( x 、( m o d l ) ( 2 4 ) 在这个意义下， 是一个圆到圆的映射呻，简称圆映射，也可以称为庞 加莱映射。映射( 2 3 ) 与( 2 4 ) 虽然是等价的，但是( 2 - 3 ) 是实轴上的 映射，( 2 - 4 ) 是圆上的映射。 当八z ) 是x 的连续单调圆映射时，例如：在正弦圆映射 3 9 1 中 厶( 力；x + 国一( 参s i n ( 2 哟 当h i 时，可以对，的序列 + l = 厂( ，) 唯一地定义转数 p ( ，x ) = l i m 三型 转数，u ，工) 是转子转数与外力周期数之比当p ( f , x ) 是有理数时， 1 6 ( 2 - 5 ) 系统( 2 - 5 ) 山东大学硕士学位论文 作周期运动；当p ( ，功是无理数时，系统( 2 5 ) 作准周期运动；当尸( 厂，力由单 调变为非单调时，准周期运动首先变为混沌运动。因此，圆映射被看作为由准周 期向混沌转变的典型来研究，其转变临界点处的标度律对于这类转变具有普适 性。 对于连续圆映射r ：笋j ，( x ) ( m o d l ) ，通过h p o i n c a r e 和a d e n j o y 的经 典工作，目前已有了丰富的结果”例如： 1 对连续单调圆映射r ：x 寸( ( m o d l ) ( 即( 2 5 ) 的m s l ) ，当且仅 当存在一个点，j 使得对于某一正整数月有x f f i f c n l ( ，) 时，转数 p ( f ，) 是一个与初值，无关的常数 2 对连续非单调圆映射( 即( 2 5 ) 的k l 或者k 0 ，使得对于任意的x ，及其邻域u ，存在y e u 和正整