（教育技术学专业论文）面向教育的三维动态几何关键技术研究.pdf

博士学位论文 d o c t o r a ld i s s e r t a t l 0 n 摘要 将信息技术深入应用到具体学科，以构建体现学科特点、学生认知特点和教学规律的数字 化学习环境、学习工具和学习资源，是改变传统教学方式、实施创新人才培养的一条有效途径， 也是教育信息化的趋势与潮流。数学在基础教育阶段处于核心地位，因此，在信息技术与学科 整合研究领域，它是最受关注、研究最深入、也是应用最成功的- - f 学科，其主要标志是动态 几何技术的出现和动态几何软件的广泛应用。自第一款动态几何软件几何画板问世以来， 动态几何的教育价值得到了世界各国教师和教育专家的充分肯定。 几何是中学数学的重点，立体几何则是重点中的难点。与平面动态几何相比，三维动态几 何系统的设计与实现难度更大，主要表现在三维动态几何的实现机制、空间图形及空间关系的 呈现、用户与空间图形的交互等方面的设计与实现上。目前，国内外已有一百多款动态几何软 件，其中绝大部分仅涉及与平面几何相关的知识点，只有少数几款具有立体几何教学功能。并 且，这几款三维动态几何软件中较为成熟的都是国外开发的，无法满足我国立体几何教学的实 际需求。因此，研究三维动态几何相关的实现机制和核心技术，为我国立体几何教学量身定做 一款动态几何系统，具有重要理论意义和现实价值。 本文对三维动态几何的实现机制和核心技术进行了深入系统的研究，并面向我国立体几何 教学需求设计开发了一款三维动态几何系统，最后对该系统的教育应用价值进行了分析和讨论。 主要研究工作和创新点包括： ( 1 ) 研究了动态几何的实现机制，提出了用有向无循环图的数据结构来表示三维空间中的 几何图形和几何关系，研究了基于数值计算来求解几何约束问题的实现方法，并基于 有向无循环图和数值计算设计了一种混合式几何约束求解算法；基于有向无循环图的 数据结构，设计了一套高效更新机制，能在图形运动变化中实时保持几何体之间的固 有几何关系不变。 ( 2 ) 提出了种满足“数形结合”设计思想的参数化模型，突破了以“父子链表”为核心 数据结构的传统动态几何设计框架。基于参数化模型，能通过参数的变化来更加准确 地控制图形的运动和变化，并能通过参数在多个图形之间建立联系并统一控制。此外， 参数化模型可方便地将几何属性和代数运算联系起来，以呈现复杂多变的动态效果。 与传统的基于鼠标的驱动方式相比，参数驱动极大地丰富了动态几何的交互方式，扩 展了动态几何的功能。 ( 3 ) 针对我国立体几何教学的实际需求，设计了三维动态几何软件的系统架构，实现了一 款具有立体几何图形绘制、几何关系动态保持、图形拾取、动画、轨迹、跟踪、测量、 迭代和代数运算等功能的三维动态几何系统，并面向立体几何教学制作了一系列教学 博士学位论文 d o c t o r a ld i s s e r t a t i o n 案例资源。 ( 4 ) 根据立体几何教学的具体需求，将本文研发的三维动态几何系统与国外知名三维动态 几何软件c a b r i 3 d ) ) 进行了功能对比，验证了本系统在功能、知识点覆盖，操作舒适 性与便捷性等方面的优势。此外，通过教学案例资源对本系统的教育价值进行了分析 和论证，表明本文系统能够有效引导学生经历“直观感知操作确认思辨论证 度量计算”这一过程来学习和探索立体几何知识，有助于培养学生的空间想象能 力和几何直观能力。 本文系统阐述t z 维动态系统从设计、实现到教育应用的完整过程，为信息技术与学科整 合研究提供了实证性的参考和依据，对开发类似学科工具有一定的借鉴作用，对促进教育信息 化向纵深发展具有一定的推动作用。 i i 关键字：动态几何；三维动态几何系统：几何约束求解：参数化机制 博士学位论文 d o c t o r a ld i s s e r t a t l 0 n a b s t r a c t t h ea p p l i c a t i o no fi n f o r m a t i o nt e c h n o l o g yt os p e c i f i cs u b j e c t s ，t oc o n s t r u c tt h ed i g i t a ll e a r n i n g e n v i r o n m e n t , l e a r n i n gt o o l sa n dl e a r n i n gr e s o u r c e sw i t hs u b j e c tc h a r a c t e r i s t i c s ，s t u d e n t s c o g n i t i v e c h a r a c t e r i s t i c sa n dt e a c h i n gl a w , i sae f f e c t i v ew a yo fc h a n g i n gt h et r a d i t i o n a lt e a c h i n ga n dl e a r n i n g m e t h o d s ，a n da l s oaw a yf o rt r a i n i n gt h ei n n o v a t i v ep e r s o n n e la n dp r o m o t i n gt h ee d u c a t i o n i n f o r m a t i o n i z a t i o n m a t h e m a t i c si si nt h ek e yp o s i t i o no ft h eb a s i ce d u c a t i o n ，s oi nt h er e s e a r c ha r e a s o ft h ei n t e g r a t i o no fi n f o r m a t i o nt e c h n o l o g ya n ds u b j e c t s ，i ti st h em o s tt a l k e da b o u t , m o s ti n d e p t h r e s e a r c ha n dm o s ts u c c e s s f u lo n e ，a n dt h em a i ns i g ni st h ed y n a m i cg e o m e t r ys y s t e m ( d g s ) t h ef i r s t d g si st h eg e o m e t e r ss k e t c h p a da p p e a r e di n19 8 7 u pt i l ln o w , t h e r ea r ed o z e n so fd g sa l lo v e rt h e w o r l d ，t h ei n t e r n a t i o n a le d u c a t i o nc o m m u n i t yh a sr e a c h e da c o n s e n s u sa b o u tt h ep o s i t i v ei m p a c to f d y n a m i cg e o m e t r y ( d g ) o ne d u c a t i o na n dt h ed g s h a sp r o v e nt ob ea ne x c e l l e n tr e s o u r c ef o rt e a c h e r s a n ds t u d e n t s g e o m e t r ye d u c a t i o n ，i n c l u d i n gt h ep l a n eg e o m e t r ya n ds p a c eg e o m e t r y , i so n eo f t h ed i f f i c u l ta n d k e yc o n t e n to ft h em a t h e m a t i c sc u r r i c u l u mi nt h es e c o n d a r ys c h 0 0 1 h o w e v e r ，m o s tc u r r e n td g s m a i n l yt a r g e tt h et e a c h i n ga n dl e a r n i n go fp l a n eg e o m e t r y c u r r e n t l y , t h e r ea r em a n yt w o d i m e n s i o n a l d g sw h i c hr e a c h e dah i g hl e v e lo fd e v e l o p m e n t ，w h i l et h ed e v e l o p m e n to ft h r e e - d i m e n s q o n a l ( 3 d ) d g si sa ti t sb e g i n n i n gs t a g ea n dt h e r ea r eo n l yaf e w3 dd g se x i s t e df o rs o l i dg e o m e t r ye d u c a t i o n ， e s p e c i a l l yi nc h i n a c o m p a r e dw i t ht w o - d i m e n s i o n a l ( 2 d ) d g s ，t h ed e v e l o p m e n to fa3 dd g si s m u c hm o r ed i f f i c u l ta n dc o m p l e xi nt h ed e s i g na n di m p l e m e n t a t i o n ，f o re x a m p l e ，t h ec o r ed y n a m i c g e o m e t r ym e c h a n i s m ，t h er e n d e r i n go fs p a c eo b j e c t sa n dt h ei n t e r a c t i o nw i t hg e o m e t r i co b j e c t sa r ea l l d i f f i c u l tp r o b l e m sf o r3 dd g s t h e r e f o r e ，h o wt od e s i g na n di m p l e m e n ta3 dd g si sav e r y m e a n i n g f u lt h i n ga n di st h em a i nc o n t e n to f t h i sp a p e r - i nt h i sp a p e r , f i r s tw er e s e a r c h e dt h ei m p l e m e n t a t i o nm e c h a n i s ma n dc o r et e c h n o l o g i e so f3d d g s ，t h e nd e s i g n e da3 dd g sf o rs p a c eg e o m e t r y , a tl a s tw ed i s c u s s e dt h ev a l u eo fg e o m e t r y e d u c a t i o nw i t ht h i ss y s t e m t h em a i nr e s e a r c hc o n t e n t si n c l u d ef o l l o w i n gt o p i c s ： ( 1 ) t h i sp a p e rr e s e a r c h e dt h er e a l i z a t i o nm e c h a n i s mo f3 dd g s ，a n dp r o p o s e dad i r e c t e d a c y c l i cg r a p h ( d a g ) t or e p r e s e n t t h et h r e e d i m e n s i o n a l s p a c eg e o m e t r ya n dg e o m e t r i c r e l a t i o n s h i p t os o l v et h eg e o m e t r i cc o n s t r a i n tp r o b l e mi ng e o m e t r ye d u c a t i o n ，ag e o m e t r i c c o n s t r a i n ts o l v i n ga l g o r i t h mb a s e do nn u m e r i c a lm e t h o d sa n dd a gw a sp r o p o s e d b a s e do n t h ed a t as t r u c t u r eo fd a g , w ed e s i g n e dar e a l t i m e ie f f i c i e n tu p d a t i n gm e c h a n i s mf o rk e e p i n g t h ec o n s t r a i n tr e l a t i o nu n c h a n g e d ( 2 ) t h i sp a p e rp r o p o s e dap a r a m e t e r i z e dm o d e lt os o l v et h ep r o b l e mt h a tt h ea l g e b r ar e l a t e d l i i 博士学位论文 d o c t o r a ld l s s e r t a t i o n f u n c t i o n sw e r em i s s e di nm a n y3 dd g s ，a n di m p l e m e n t e dt h ep a r a m e t e r i z e dm o d e li nt h e 3 dd g s w i t ht h i sm o d e l ，t h em o v e m e n to fg e o m e t r i co b j e c t sc o u l db em a n i p u l a t e d a u t o m a t i c a l l ya n dp r e c i s e l y , t h es y n c h r o n o u sc h a n g e so fs e v e r a lg e o m e t r yo b j e c t sc o u l db e o b t a i n e d ，a n ds i m p l ea l g e b r ac a l c u l a t i o nc o u l db er e a l i z e d ，a sar e s u l t ，b o t ht h ea l g e b r aa n d g e o m e t r yw e r ee m b o d i e di nt h ed g sa n da l s ot h ea l g e b r aa n dg e o m e t r yw e r ec o n n e c t e d c l o s e l y ( 3 ) t h i sp a p e rp r o p o s e dar e q u i r e m e n ta n a l y s i so ft h es y s t e ma n dp r e s e n t e dt h es y s t e m a r c h i t e c t u r e t h e n ，w ed e s i g n e da n di m p l e m e n t e da3 dd g s t h er e s u l t ss h o w e dt h a t g e o m e t r i co b j e c t sc o u l db ep l o t t e da n dm a n i p u l a t e de a s i l yi nt h r e ed i m e n s i o n s ，t h ec o m m o n f u n c t i o n sf o rad g ss u c ha sa n i m a t i o n ，t r a n s f o r m a t i o n ，l o c u s ，i t e r a t i o na n dm e a s u r e m e n t w e r er e a l i z e df o rt h es p a t i a lo b j e c t s ，a n dt h eu p d a t i n gp r o c e s sw a sv e r ys m o o t h ，w h i c h m e a n st h a tt h es y s t e mw a su s e f u li ns p a c eg e o m e 仃yc l a s s ( 4 ) a c c o r d i n gt ot h es p e c i f i c n e e d so ft h es p a c eg e o m e t r yt e a c h i n g ，w e c o m p a r e dt h e f u n c t i o n a l i t yw i t hs e v e r a ls i m i l a rs o f t w a r et ov e r i f yt h ea d v a n t a g e so fo u r3 dd g si nt h e a r e a so fk n o w l e d g ec o v e t i n g ，o p e r a t i o nc o m f o r ta n dc o n v e n i e n c e i na d d i t i o n ，t h r o u g ht h e a n a l y s i sa n da r g u m e n t a t i o no ft h et e a c h i n gc a s e s ，i td e m o n s t r a t e dt h e3 dd g sc o u l d e f f e c t i v e l yg u i d et h es t u d e n t st h r o u g ht h ep r o c e s s ”i n t u i t i v ep e r c e p t i o n - o p e r a t i o n c o n f i r m a t i o n s p e c u l a t i v ed e m o n s t r a t i o n m e t r i cc a l c u l a t i o n ”t h u si tc o u l db eu s e dt ot r a i n t h es p a c ei m a g i n a t i o na n dg e o m e t r i ci n t u i t i v ea b i l i t i e sf o rs t u d e n t s t h i sp a p e rf o r m u l a t e dt h ec o m p l e t ep r o c e s so fd e s i g n ，i m p l e m e n t a t i o na n da p p l i c a t i o no f3 d d g s ，w h i c hp r o v i d e dae m p i r i c a lr e f e r e n c ea n db a s i sf o ri n t e g r a t i o no fs u b j e c t sw i t hi n f o r m a t i o n t e c h n o l o g y i tc o u l da l s oh e l pt h et e a c h i n go fs p a c eg e o m e t r yb yv i s u a la n dd y n a m i ci l l u s t r a t i o no f a b s t r a c tg e o m e t r i cc o n c e p t sa n ds p a t i a lg e o m e t r ys h a p e sa n dc o u l dp r o m o t et h ed e v e l o p m e n to f e d u c a t i o n a li n f o r m a t i o n i z a t i o n k e y w o r d s ：d y n a m i cg e o m e t r y ；t h r e e d i m e n s i o n a ld y n a m i cg e o m e t r ys y s t e m ；g e o m e t r i c c o n s t r a i n ts o l v i n g ；p a r a m e t e r i z e dm e c h a n i s m 博士学位论文 d o c t o r a ld i s s e r t a t i o n 1 1 研究背景与意义 第1 章绪论 计算机对社会产生了巨大的影响，教育领域也不例外。通过使用计算机将教育技术成功的 应用到教学过程中，进而实现教育质量和学生能力素质的显著提升，是教育信息化的重大意义 所在【i ，2 1 。将信息技术深入应用到具体学科，以构建体现学科特点、学生认知特点和教学规律的 数字化学习环境、学习工具和学习资源，是改变传统教学与学习方式、实施创新人才培养的一 条有效途径，也是教育信息化的趋势与潮流。数学在基础教育阶段处于核心地位，因此，在信 息技术与学科整合研究领域，它是最受关注、研究最深入、也是应用最成功的一门学科，其主 要标志是动态几何技术的出现和动态几何软件的广泛应用。自第一款动态几何软件几何画板 问世以来，动态几何的教育价值得到了世界各国教师和教育专家的充分肯定。 发现和认识事物变化中的不变量和不变性是数学研究的任务之一。变化中不变的东西，往 往是最重要的东西，是刻画了变化的特性的东西，任何科学都关心某种变化中不变的东西。在 计算机屏幕上作出的几何图形，如果在变化和运动中能保持其几何约束不变，就叫做动态几何 图形【3 4 | 。动态几何图形有两个基本特点：其一，图中的某些对象可以用鼠标拖动或用参数的变 化来直接驱动其变化；其二，其它没有被拖动或直接驱动的对象会自动调整其位置以保持图形 原来的几何性质。有关动态几何作图的理论和应用学科，就是动态几何【4 】。 第一款动态几何系统几何画板【5 】面世于二十世纪八十年代，是美国国家科学基金支持 的项目研究成果。其问世后，动态几何的教育价值很快得到世界各国教师和教育家的肯定1 6 - 9 ， 其后欧美国家又相续研发出更多的动态几何软件用于教育。几何画板的面世开创了几何现代 化教学的新革命用计算机来进行几何教学。 在张景中院士的指导下，我国自主研发的平面动态几何系统超级画板 1 0 - 1 2 】是为我国基 础数学教育量身定做的学科工具软件，它与具体学科紧密相连，具有智能性、动态性、交互性 和趣味性等特点，深受广大师生欢迎。它能帮助学生理解抽象的数学概念，帮助学生发现丰富 多彩的数学世界，是学生实施变易理论，获取基本活动经验的优秀认知平台，其对我国中小学 平面几何的教学起到了积极的推进作用【1 1 ，1 3 , 1 4 1 。中国人民大学书报资料中心的报刊资料初中 数学教与学在2 0 1 2 年3 期开设专题超级画板应用，且刊登了多篇超级画板应用的相关文 章。 现在平面动态几何系统的发展已经进入了一个成熟的阶段，国内外知名的平面动态几何系 统除了前文提及的两款外还有法国的c a b r i g e o m e t r y ) ) 【1 5 】、德国的( c i n d e r e l l a ) ) 【16 】等，这些 平面动态几何软件各有特点，有的具备自动推理功能【l l 1 7 1 9 1 ，有的可以在非欧几里德平面进行 作图，有的有完备的符号计算功能等。 几何是中学教学的重点，立体几何则是重点中的难点。在传统立体几何教学中，教师通常 博士学位论文 d o c t o r a ld i s s e r t a t i o n 用粉笔徒手在黑板上描画空间图形，这样很难表现出图形的立体感，而此时大多数学生的空间 想象力还处于培养阶段，因而难以去想象图形的空间形状，从而影响他们对立体几何知识的理 解1 2 0 2 。因此立体几何课堂对能有效辅助教学的学科软件的需求是迫切的。 和平面动态几何系统相比，三维动态几何系统现在还处在一个探索、研究和发展的阶段。 由于开发难度较大，目前国内外面向基础教育的、具有立体几何功能的动态几何系统较少，而 在我国还没有这样一款成熟的三维动态几何系统存在，这是难以满足我国巨大的教学需求的。 若利用已有数学教育软件中的平面几何功能去绘制立体图形，只能表现出相当有限的立体图形 效果，并且作图过程繁琐，需要花费教师的大量时间，效率不高，教学效果也是大打折扣。亟 待有深入立体几何学科的教学辅助系统。 从文献 2 2 , 2 3 】中的分析和三维动态几何系统开发中的经验总结，可以简要罗列出部分在开发 一款三维动态几何系统中将面临的困难。 1 空间几何体的构造和计算相关算法的复杂性 相对于平面动态几何系统来说，空间动态几何中几何体的构造和计算相关的算法要复杂的 多，举例来说，通过任意多的空间点集来构造凸多面体的算法；计算凸多面体或二次曲面和平 面相交所得的几何图形的算法等，并且几何体约束关系的数量相对于平面几何来说也大大增加， 这无疑加大了三维动态几何系统中几何体相关算法开发的难度和工作量。 2 需要设计合理的更新机制来处理空间中大量几何体和几何关系的实时更新问题 动态几何的核心概念就是每当有几何元素位置改变时和它相关的其它几何元素也必须重新 计算其位置以保持原有的几何约束关系不变。因此每当有几何体位置改变时，页面中的相关的 几何体就必须重新进行计算，由于三维空间中的几何信息量巨大并且几何约束和构造算法比较 复杂，所以为了保证用户在拖动过程中系统的流畅度和实时性，需要设计一套合理的页面更新 机制和相关的数据结构。 3 需要设计一套合理的空间几何体交互机制 在空间中对几何体进行观察和交互比起在平面中要更加复杂。在平面系统中选择和拖动一 个几何体是直观和容易处理的问题。但是在空间中让用户能容易选中他们所需的几何体，将用 户在屏幕上拖动的一段二维向量转化为空间中的三维向量，保证几何体拖动时其空间几何约束 关系不变，都是在系统设计时需要考虑和解决的问题。 从上文的介绍可以看出，立体几何这门课程不仅仅是老师难以教授，学生学习起来困难， 想要开发一款教学系统来辅助这门课程的教学也是非常复杂的。因此如何设计和实现一款面向 中学立体几何的三维动态几何系统是有着重大的研究意义和教育价值的。 基于这种背景，本项目组在张景中院士的指导下开发了一款面向中学立体几何的三维动态 几何系统。其不仅具备动态几何软件的基本功能：动态作图、几何变换、参数驱动动画、动态 测量，跟踪和轨迹，用户自定义作图工具等；而且还具有较高的智能性，能通过智能画笔来自 2 博士学位论文 d o c t o r a ld i s s e r t a t 【o n 动的判断用户的意图进行作图。 在充分吸收超级画板优点的同时，本文希望该系统能取得如超级画板一样的在教 学上的成功：不仅能帮助学生理解空间图形，提高学习效率，还能帮助教师备课授课，减少教 师的重复性、机械性劳动，给师生提供一个日常学习的工具、课件制作的平台、实验探索的环 境、创新思维的触媒、艺术欣赏的园地。本文的工作紧密围绕三维动态几何系统的设计、实现、 和教育应用展开。该系统是面向具体学科的，具有鲜明的学科特色，是深入学科的教学系统【2 2 j ， 能满足中学立体几何教学活动的需要。 1 2 国内外研究现状 本文主要研究内容是如何设计一款三维动态几何系统来辅助中学立体几何的教学，研究的 现状分为两个部分。第一部分对现有的知名动态几何系统进行分析和评价，这部分中首先介绍 最为著名的几款平面动态几何系统，读者可以从中了解到动态几何系统的发展历史和功能扩展 的趋势，接下来重点列出了几款最为知名的三维动态几何系统并分析了它们的优缺点，从中读 者可以了解到当前的三维动态几何系统存在的问题，并发现其并不能满足我国立体几何教学的 需求。第二部分是对现在中学立体几何教学中常用的辅助教学的信息技术进行介绍和评价，让 读者了解到由于缺少深入学科的教学辅助工具，我国立体几何课堂的信息化并不成功，还处于 一个较为落后的状态。 1 2 1 平面动态几何系统 1 几何画板( g e o m e t e r ，ss k e t c h p a d ) 5 , 2 3 - 2 7 】 几何画板是二十世纪八十年代美国科学基金项目支持的研究成果，其基本功能是平面 几何图形的动态制作和变换，能动态地展现图形的变化，其动态性、直观性等特点十分适合师 生用来进行课前课后的辅助学习、探索和创作。几何画板作为第一款平面动态几何系统是动 态几何系统的典型代表，之后其它的平面动态系统大都会在其特点和优势上吸收和改进。几何 画板的优势在于平面几何作图功能强大、软件小巧玲珑、使用稳定流畅、图形迭代功能强、 提供用户自定义的工具箱能方便的保存用户的作图命列序列【2 剐。缺点是在代数、统计、算法等 非几何方面没有相应的功能支持，需要其它的教学软件来辅助这些方面的教学；在操作方面需 要学习的技巧较多，入门和提高需要花费较多的时间和精力。 2 超级画板o ，2 9 , 3 0 1 超级画板是在张景中院士的指导下开发的一款国有的平面动态几何软件，设计的初衷就 是吸收几何画板的长处，弥补其不足，是为我国基础教育量身定做的，它的主要功能可以 归纳成八个字，叫做“写画测变，编演推算【3 l 】”。总的来说其是一个集成型系统，它具备了类 似几何画板的动态几何功能，p o w e r p o i n t 的文档演示功能，e x c e l 的电子表格功能，m a t h e m a t i c a 3 博士学位论文 d o c t o r a ld l s s e r t a t i o n 的符号运算功能和v i r t u a l b a i s e 的算法编程功能等，并且在此基础上又丰富了动态测量，自动推 理等功能。就数学与物理的教学的需求而言，凡是几何画板能做的课件，超级画板都能 够做；但是超级画板能做的许多事，例如分式计算，大整数计算，符号计算，几何自动推理， 算法编程等，是几何画板做不到的。超级画板这款国产动态几何软件在我国取得了巨大 的成功，经文献统计【3 2 】其已经在我国十九个省市的上千所中学成功推广，并且有一些师范类大 学还开设了动态几何课程，并使用超级画板作为主要的教材辅助软件。 3 c i n d e r e l l a t l 6 , 3 3 1 ( c i n d e r e l l a ) ) 是一款非常有特色的动态几何软件。其不同于传统的平面动态几何软件，它 是同时基于投影几何( p r o j e c t i v eg e o m e t r y ) 和凯莱克莱因几何( c a y l e y - k l e i ng e o m e t r y ) 的，因 此其可以在非欧几里德平面里作图，并且从不同的角度进行观察，如图1 1 所示。由于是用j a v a 语言进行开发因此能非常便捷的运行在网页上和用户进行实时交互，其强大的网络功能使用户 在互联网上作图和创建课件就像在一般的桌面动态几何系统一样方便，这是非常有利于教育的， 特别适合于远程教学。其还包括一个基于数值计算的定理证明器，能够在用户作图的过程中自 动的发现图形中包含的几何性质和定理，并且在此基础上对用户所作的练习正确性与否进行检 查，这一特性非常适合用户进行图形几何性质的探索。 图1 1c o c h o i d a l 曲线在欧几里德和球面空间的视图 4 g e o m e t r ye x p r e s s i o n s 【3 4 1 g e o m e t r ye x p r e s s i o n ) ) 是一款世界领先的交互式符号几何系统，可以按符号约束或者数 字输入进行定义。绘图上的测量与计算不再是唯一单纯的近似数字，可以是精确的符号或公式， 相当于数学式子的推导。通过参数和符号来定义轨迹可以为绘图带来强大的生命力。能正确的 画出几何图形是件困难的事情，通过使用该款软件能非常容易的完成一些复杂的尺规作图问题。 该系统是交互式几何工具和代数系统结合的一项杰出成果，其特点是通过代数方程的形式来表 示几何体和几何约束，通过解方程的方法来代替步骤化的传统尺规作图。 4 博士学位论文 d o c t o r a l 。d l s s e r t a t i o n 5 j a v a 版几何专家( j g e x ) 1 3 5 3 6 该系统由国人开发于美国w i c h i t a 州大学，是一款集平面几何作图、推理以及证明演示于 一身的软件。在自动推理方面该软件系统的实现了吴方法【3 7 1 、g r 6 b n e r 基法【3 8 】、全角法【3 9 】、演 绎数据库法 4 0 , 4 1 ，其在基于等式型的几何定理的推理方面表现出了强大的能力，但最吸引人和 区别于其它同类平面动态几何软件的地方还是其动态可视证明【4 2 】部分的研究成果。通过证明的 动态可视化，对于一个复杂定理的证明过程可以用变化的图形来表述，而不是传统的基于文字 的方法，这样能使产生的证明更加容易读懂。其核心思想是“看到即理解【4 2 】”，通过使用直观 的图形，简单的表达式，辅以少量的文字，将枯燥的证明过程生动灵活的展现出来，极大的方 便用户去阅读和理解定理的证明过程。 1 2 2 三维动态几何系统 1 c a b r i 3 d 驯 2 0 0 4 年法国推出的( c a b r i 3 d ) ) 诞生于法国国家科学研究中心( c n r s ) 和法国格勒诺布 尔的约瑟夫希尔大学( j o s e p hf o u r i e ru n i v e r s i t y ) ，是世界上第一款正式的专门针对立体几何设 计的三维动态几何系统，其充分利用电脑显卡所展示出的强大图形表现力让人印象深刻，通过 使用该款软件能方便地进行空间几何体的构造、观察和操控，有助于培养学生的立体感，提高 学生的空间想象能力，能大大改善立体几何的教学质量，对提高学生成绩具有正面影响。在先 进的图形技术和几何算法支持下，该款软件在空间几何体的表现力上无疑是目前世界上最前沿 的，但是其缺点也非常明显，作为一款动态几何软件其动态几何的相关功能并不完善，举例来 说其动画功能过于简单并没有给用户提供足够的接口，没有轨迹和迭代等平面动态几何系统所 拥有的基本功能，而这些功能却是教师在课件制作时必不可少的，也是学生在进行几何探索时 的有力工具。其另外一个较大的弱点是代数和几何功能联系的并不十分紧密，这一点将会在后 文中详细讨论。 图1 2c a b r i 3 d 完成的平面截立方体切面变化的案例 5 博士学位论文 d o c t o r a ld i s s e r t a t l o n 2 c a l q u e s 3 d 【4 3 j 该款三维动态几何系统是为了辅助法国的立体几何教学而创建，其主要目标是为了让学生 用该系统进行观察、构造和探索立体几何图形。用户可以使用该款系统从平面和空间二种方式 来观察立体几何图形，并且在空间中可以从任意的视角进行观察；几何体的构造方式也和一般 的动态几何系统相似，通过使用点、线、面等基本的几何图形和平行、垂直、相交等关系构建 复杂的几何图形。该款系统最大的特点是提出了使用“多重表达方式( m u t i p l ee x t e r n a l r e p r e s e n t a t i o n s ) ”来改善用户的“学习环境( l e a r n i n ge n v r i o m e n t ) ”的思想，简单来说就是对 一幅几何图形可以用多种形式来进行表示，以方便老师的教学和学生的探索，如图1 3 所示。 d 口；囊 n “。鱼t l j 。4 k zf 。o0 g e i ，。，f ，嚣母； m i 口i - l 一一1 。 日 一_ - _ _ _ _ o 一卜 t -i h f ； j 。77 毫三、- ； _ 。运! 熙! | ； ， ! ， ， _ 、 j “一- ! ，0c0 、 ，? 、 t 一。 i、_ _ 、 # ，】 ：竹1 * ” 1 嚣；浮 ：一 ：? 9：撑甓 r h 掣哪k q _ q 锄 ；- i 一_ _ ，_ - l 。如删q 廿抽h ，州啊 t 山k o 时晴i h 内r _ 帅p 州0 精呻啊k 州枉幽q r t - - 州籼州辑j “加r t f h “e 脚州# - 坤一州h 细t 0 h - 蚋州- h o “斟1 “h 肌p ”1 c h r h 叫_ 一一h 州r 硝呷_ 一h ，_ 目肇h p 岬# 一牝，耐c h 1 c - f h ，珥抽h ，一c 州知一口0 t 1 - - 州h 州h 时h 州【o h - 州 d iir ： 博士学位论文 d o c t o r a ld i s s e r t a t l 0 n 3 a r c h i m e d e sg e 0 3 d 1 4 4 1 该系统是由一位德国教授a n d r e a sg o e b e l 所设计，和 c a b r i 3 d ) ) 一样运用了现代的图形硬 件来对几何体进行渲染，其在渲染上最大的特色是可以对多边形进行贴图并且完整的实现了光 照产生的全局阴影效果，这极大的提升了用户的感官体验。作为一款三维动态几何系统，其能 作出空间几何体；自由的拖动它们；从任意角度进行观察；并且具备动态几何的跟踪和迭代功 能，其还提供了函数作图功能和宏作图功能。该系统和成熟的商业软件( c a b d 3 d ) ) 比较起来， 在交互性和稳定性上有较大的差距。 4 z + z 智能教育平台系列中的立体几何1 3 2 】 我国的z + z 智能教育平台系列中的立体几何，其自动推理功能是非常强大的，不仅能让机 器自动推理，还能让用户进行交互式推理，并且还能对用户的解答给出评价和修改。但是由于 开发于上世纪9 0 年代末期，受限于当时的技术，其几何图形的显示和交互存在很大缺陷的， 并且作为一款动态几何系统其也只具备了简单的动画功能，因此并不适用于当前的立体几何教 学。 5 英壬画板 英壬画板是一款由国人自主研发的通用三维几何教学环境，目前还在不断的改进和完 善当中。能方便的制作、编辑和控制能以几何语言或几何方程式描述的三维几何模型。用户可 以以任意视点、景深和透视度对几何体进行显示和观察。该系统除了能在三维空间中构建点、 线、圆、平面、多面体和二次曲面等常见的几何体外，还能通过几何方程( 包括隐函数) 来构 建曲线和曲面。该款软件由于是由个人自主研发的，在系统的稳定性、用户操作的舒适度和显 示效果等方面与 c a r b d 3 d ) ) 这样成熟的商业软件比起来还是一定差距的，但其优点是有完善 的作图功能特别是可以通过方程进行曲线和曲面作图，并且软件是绿色的，小巧玲珑，用户直 接复制即可运行。 1 2 3 目前我国立体几何教学的落后现状 目前我国的立体几何课堂上使用的信息技术手段是较为落后的，许多学校还是使用最为传 统的在黑板上用粉笔进行空间几何体绘制的教学方式，而使用的信息技术手段也是无法满足立 体几何教学需求的。下面将我国立体几何教学中常用的计算机辅助教学手段进行介绍并分析其 缺陷。 1 使用传统的p o w e r p o i n t 进行教学 将书本中复杂的内容和图例制作成p o w e r p o i n t 文件然后用计算机放映给学生看。如果把用 信息技术辅助教育分为几个时代，那么第一个就是p o w e r p o i n t 时代，使用p o w e r p o i n t 制作的课 件优点是比较精美、华丽，但是缺点也十分明显就是交互性不强，没有开放性，这样直接导致 其只能作为一种课件演示工具，而不能对教学提供更多帮助，用一句通俗的话形容其缺点就是 7 博士学位论文 d o c t o r a ld l s s e r t a t l o n “教师们因为制作课件累了，学生们观看作品的同时也傻了【2 9 】，。使用静态的p o w e r p o i n t 文件 进行演示只是将教科书中的内容机械的用多媒体的方式进行呈现，并没有体现出信息技术的优 点。 2 用平面动态几何软件制作一些三维的课件 由于现在平面动态几何软件的普及，随之产生了许多制作课件的高手，其中有许多人利用 平面动态几何的作图功能来制作一些具有立体效果的课件，这种方法只能作出相当有限的立体 几何图形，并且作图过程非常繁琐，作图效果也是大打折扣。以几何画板为例，有位老师 用它来画一个具有立体感的圆台，作图步骤竞达4 8 5 步之多【3 l 】，可见用平面动态几何软件来画 立体图形是非常困难和复杂的，会给老师带来大量的重复性和机械性劳动。作图功能是几何教 学