（电力电子与电力传动专业论文）一种电压无功控制的二次函数模型与算法.pdf

a b s t r a c t t h ev o l t a g e v a rc o n t r o lo fp o w e rs y s t e mcane f f i c i e n t l ym i n i m i z et h er e a lp o w e r l o s s e sa n di m p r o v ev o l t a g ep r o f i l e s ，s ot h a tt h ey e a r l yr u n n i n gc h a r g ew i l lb er e d u c e d a n dt h eq u a l i t yo fp o w e re n e r g yc a nb ei n c r e a s e d a sar e s u l t ，i ti si ng r e a tn e c e s s i t y f o ru st os t u d yt h es c h e m eo fv o l t a g e v a rc o n t r 0 1 t h es t u d yi sv e r yi m p o r t a n tf o rt h e e c o n o m i co p e r a t i o na n dt h er e l i a b i l i t yo fe l e c t r i cp o w e rs y s t e m t h i sp a p e rs y n t h e t i c a l l ya n a l y z e st h es t a t u sa n dt h ep r o b l e m se x i s ti nv o l t a g e v a r c o n t r o lf i e l d t h et r a d i t i o n a lm a t h e m a t i c a lm o d e la n da l g o r i t h ma r ed i s c u s s e da n d t h e i rc h a r a c t e r sa r ea n a l y z e d t h et r a d i t i o n a lv o l t a g e v a rc o n t r o lm a i n l yb r i n gi n t o e f f e c tb yn i n e - a r e ad i a g r a m ，w h i c hi si m p l e m e n t e db yt h er e a c t i v ee q u i p m e n to ft h e t r a n s f o r m e rs u b s t a t i o n t h eo b j e c t i v ef u n c t i o ni st h el o c a lv o l t a g eo p t i m i z a t i o n t h e y d o n tc o n s i d e rt h ei n f l u e n c eo ft h el o c a lr e a c t i v ep o w e rm o d i f i c a t i o nt ot h ev o l t a g eo f t h eo t h e rn o d e si nt h ee l e c t r i cn e t w o r k i td o e s n tm a k ef u l luseo ft h ee q u i p m e n tt o a c c o m p l i s ht h es y n t h e t i c a lo p t i m i z a t i o nc o n t r 0 1 a c c o r d i n gt ot h ec h a r a c t e r i s t i c sa n d p r o b l e mo fv o l t a g e v a rc o n t r o l ，an e ww i d e - a r e av o l t a g e v a rc o n t r o la l g o r i t h mi s p r o p o s e di nt h i sp a p e r t h en e wm e t h o db a s e do nt h ei n i t i a lp o w e rf l o wo ft h ee l e c t r i c n e t w o r k t h ei n f l u e n c ee a c ho t h e ro ft h ed i f f e r e n tn o d e sd u r i n gt h er e a c t i v ep o w e r m o d i f i c a t i o na r ec o n s i d e r e di nt h en e wa l g o r i t h m b a s e do nt h em a t h e m a t i c r e l a t i o n s h i po ft h en o d a li m p e d a n c em a t r i xa n dt h en o d a lv o l t a g e 、n o d a lc u r r e n t ，t h e m a t h e m a t i cr e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ec o n t r o lv a r i a b l ea n dt h es t a t u sv a r i a b l ei s p r e s e n t e d a tt h es a m et i m e ，t h eq u a d r a t i cf u n c t i o ne x p r e s s i o nf o r m u l ao ft h ev o l t a g e r e s t r i c t i o ni sp r e s e n t e d a n dt h eq u a d r a t i cf u n c t i o nm a t h e m a t i cm o d e li sg i v e n t h e o b j e c t i v ef u n c t i o ni st h em i n i m i z a t i o no ft h en e t w o r kl o s si nt h ew h o l ee l e c t r i c n e t w o r k af l e wc o n t r o ls c h e m ei sp r o p o s e d a n dt h ei m p l e m e n tf l o wo ft h ea l g o r i t h m i si n t r o d u c e di nd e t a i l t h ep r o c e s st or e a l i z et h en e wa l g o r i t h mw i t hm a t l a bi s p r e s e n t e di nd e t a i l a tt h ee n do ft h i sd i s s e r t a t i o n ，t h ep r o p o s e dm a t h e m a t i c a lm o d e la n da l g o r i t h ma r e a p p l i e dt oa5 - b u ss y s t e ma n dt h ei e e e3 0 一b u ss y s t e m t h er e s u l t sa r es a t i s f a c t o r y c o m p a r e d w i t ht r a d i t i o n a l v o l t a g e v a r c o n t r o l a l g o r i t h m ，t h e c o r r e c t n e s sa n d e f f i c i e n c yo ft h ep r o p o s e dm e t h o da r ec o n f i r m e db yt h en u m e r i c a ls i m u l a t i o n s t h i s c o n t r o la p p r o a c hi saa d v a n c e dw a ya n di ti sw o r t ht os t u d ym o r ea n du t i l i z e 1 i k e yw o r d s ：p o w e rs y s t e m ；v o l t a g e v a rc o n t r o l ；p o w e rl o s s ；v o l t a g ep r o f i l e s ； q u a d r a t i co b j e c t i v ef u n c t i o n i i i 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的研究成果。除了文中特另t j ) j n 以标注引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体己经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果 由本人承担。 作者签名：刍l 逊 眦弘口中年，月户日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密囝。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名： 导师签名： 怯丝 弦皓 日期：一荜年珀f 。日 日期：伽p ( f 年，月f 。日 第1 章绪论 电力系统电压无功控制，就是指当系统的结构参数及负荷情况给定时，通过 对某些控制变量的优化，所能找到的在满足所有指定约束条件的前提下使系统 的某一个或多个性能指标达到撮优时的无功调节手段。电力系统无功优化研究起 源于六十年代初，1 9 6 2 年，法国学者j c a r p e n t i e r 提出了建立在严格的数学基础之 上的电力系统最优潮流模型( o p t i m a lp o w e r f l o w o p f ) 问题。它可以简单地描 述为通过某些可控变量的调节来获得一个最优的运行状态。根据选用不同的最小 优化目标函数、不同的控制变最集和不同的约束集，就得到适应不同应用目的的 o p f 问题。o p f 问题与潮流问题、状态估计问题一样，都可以利用高压电网的物 理特性给予解耦处理，使之分解成两个子问题，即有功o p f 和无功o p f ，经典无 功0 p f 也称为最优无功调度。 电压无功控制的理论和方法已是被广泛、深入研究已久的问题了。以往由于 我国电力建设资金不足，有功电源尚不充足，往往忽视无功电源投资，并认为装 设无功电源的投资所产生的经济效益远不及投资于有功电源所产生的经济效益， 所以电压无功控制问题的研究一直未引起重视。随着电力系统规模的日益扩大， 电压等级的提高、力率电价的实施，以及厂网分开、竞价上网的电力市场改革的 进行，无功分布是否合理，不仅影响到整个系统的供电电能质量和经济效益，更 是关系到系统能否安全稳定运行的问蹶。总的来看，电力系统的电压无功控制问 题可以分为两类：一类是对系统稳态运行情况下的运行状态进行控制与优化，目 的是进行无功平衡，以提高运行电压水平、降低损耗；另一类是研究系统在扰动 情况下的电压稳定性。前者根据所研究问题的时问跨度和目标函数又可以进一步 细分。根据所研究问题的时间跨度的长短，电压无功控制可以分为电压无功控制 规划和电压无功运行控制。其中，电力系统电压无功控制规划主要以今后5 l o 年 的电网规划为依据，在保证满足各种典型方式安全约束的前提下，确定最优无功 补偿地点、容量及无功调节设备的最佳运行状态，从而达到提高电压稳定性，改 善电压质量，降低网损的目的：所谓电力系统电压无功运行控制，则是在现有无 功补偿设备配置的基础上，根据系统典型的负荷变化，确定无功设备的投切和调 节方案，以达到系统网损最小( 电压质量最好、无功控制设备的调节次数最少等， 或同时考虑两个以上目标函数) 的优化目标。 1 1 电力系统中电压无功控制的作用与重要性 随着电网规模的不断扩大和超高压远距离输f 包系统的发展，系统的综合无功 挖捌问题h 益突m 特别是随着我国电力市场商业化运营的迓步推行，对电能质 量的要求不断提高，节能降耗的要求r 益迫切，使电压无功综合控制问题进一步 引起了人们的广泛重视。系统无功分布的合理与否直接影响着电力系统的安全和 稳定，并与经济效益直接挂钩。无功不足将导致系统电压降低，用电设备不能充 分利用，甚至会引发电压崩溃等一系列事故；无功过剩也会恶化系统电压，危害 系统和设备的安全。而且过多的无功备用又会浪费不必要的投资。另外，假如系 统仅以发电机无功出力来平衡无功，将会有大量无功在系统中流动，使线路电压 降增大、线路损耗增加、供电的经济性下降。总之，合理的无功电源配置能有效 地降低网损，保证电压质量、预防事故发生或防止事故的扩大，从而提高电力系 统运行的经济性、安全性和稳定性。制定先进的无功控制策略，作好无功补偿和 优化不仅对电力系统的正常运行、用户电压质量的提高、供电部门自身的经济利 益、供电部门形象的改善和服务质量的提高大有好处，而且对节约能源、保护自 然环境也有好处。 简单来讲，电压无功控制的作用主要体现在： ( 1 ) 降低系统的功率损耗和电能损耗由于装设了无功补偿设备，就可 以提高线路和变配电设备的功率因数，从而可以有效地较少系统的功率损耗 和电能损耗。 ( 2 ) 提高电压质量。由于装设了各种无功补偿设备，可以使供电的电能 质量得到显著的提高。 ( 3 ) 提高电力设备的效益。由于进行无功补偿，可以使补偿之后线路中 通过的无功电流减少，从而使线路供电能力增强；并使通过变压器的无功电 流减少，从而使变压器的功率损耗降低，供电能力提高：另外，可以减少发 电机输出的无功电流，从而增加了发电机的有功出力。 ( 4 ) 保护自然环境，节约能源。进行无功补偿可以降低线路损耗，从而 可以节约大量的能源，同时也可以降低在发电和供电过程中对环境造成的污 染。 1 2 电压无功控制的研究现状 电压无功控制问题是非线性问题，是相对于一定的目标而言的，对于不同的 目标，就得到不同的无功配置规划。多年来，对于这个问题，国内外学者做了大 量的研究，并提出了各种优秀的控制方法。 朱太秀提出以网损和投资综合效益晟小为目标，采用二次罚函数处理安全约 束的同时，结合有效约束集合来处理各种函数不等式约束，改善了收敛性，提高 了速度；孟杰提出用变尺度法来获取近似海森矩阵的逆【2 】。这种方法避免了求逆工 作，减少了计算量，并提出了解决算法收敛的措施，考虑了离散变量的归整问题。 们该算法对内存的需求量比较高：姚诸香等人提出以网损最小为h 标函数j 符 无功补偿节点处理为p v 节点，这样较少了状态变量的数目，但算法没有考虑p o 解耦问题，所以状念变量的数目仍然不少，在灵敏度系数的求取中，利用已有的 因子表，节省了计算时问：徐国禹、赵尤新等提出以网损最小为目标【4 j ，将变压器 分接头位置处理成两端节点无功注入形式，在灵敏度计算中，采用p q 潮流计算 中已分解的b 系数阵来代替负荷节点无功对电压敏感度系数来计算灵敏度，提高 了计算速艘：e r i ch o b s o n 提出将投资最小作为目标函数”i ，并将变压器变化增量 等值为功率注入增量，使控制变量简化为各节点无功注入增量，再利用一个特殊 的灵敏度矩阵消去状态量，使电压无功控制模型进一步简化；s m s h a h i d e h p o u r 以提高电压裕度、降低有功损耗为目标函数【6j ，把变压器变比增量处理成节点电压 增量的函数。把各节点电压增量作为控制变量，省去了灵敏度矩阵形成过程中的 求逆运算，节省了时间和内存空间，但算法对初值要求比较严格，而且存在振荡 现象；n e d a ld e e b 和s m s h a h i d e h p o u r 提出以网损增量最小为目标函数1 7 j ，把全 网电压作为控制变量，采用d a n t z i g - - w o l f e 分解法根据电压控制中心将无功优化 问题的两架结构分解为多个相对独立的子电网，各个子电网又分解成若干子块。 各个子电网用单纯形法求解，协调各个子网的行为，求取综合最优解。算法运用 上限技术来处理约束变量，降低了求解规模，减少了计算时间；s ，r a m ai y e r 结合 b e n d e r s 分解技术【8 1 ，采用混合整数规划法来求解电压无功控制问题，将混合整数 规划法分解成整数规划和线性规划两个子问题，减小了求解规模；m c h i s 等采用 启发式搜索方法来处理电压无功控制问题1 9 】，以净收益为目标函数，选择了少量称 为灵敏节点的关键节点作为降低网损的无功投切点，考虑了日负荷的变化以获得 全年更高的降损率；b v e n k a t e s ha l 提出基于模糊理论的连续线性规划算法( s f l p ) f l 们。适用于无功电源的最优分配，以减少传输线损和提高电压波形质量，在f l p 中给目标函数和约束条件分别设置满意度参数，当所有满意度参数曲线在相交的 范围内取得最大值时，此时状态达到最优：j e s u sl u m b r e r a s j o s el f e r m a m d e z 等 利用人工智能来解决电压无功控制问题j 。作者采用隶属函数将总负荷模糊化， 并将模糊化的负荷输入神经网络，得到各控制变量的隶属度，由此解出控制变量 的实际值。然后用专家系统结合灵敏度分析法处理变量越界的情况。这种方法速 度很快，但是凌方法不能处理离散变量，而能否得到较好解也有赖于隶属度函数 的选取和神经网络训练的好坏；k h a b d u l r a h m a n 和y i n g t u n gh s i a o 等分别提出 用模拟退火法和遗传算法处理电压无功控制问题”，他们很好地处理了计算中离 散变量和连续变量共存的现象，但只考虑了无功源的配置而未对发电机电压及变 压器分接头位置进行处理：y u a n l i nc h e n 和c h u n c h a n gl i u 以降低网损为目标函 数【i 引采用二二进制编码的优化编码方法，把所有子串中的对应位码按一定的方式 排列，分成不嗣区域，先对备区域搜索，最后对所有区域进行搜索，扩大了遗传 算法的搜索空m ，另外，引进了可变的自身变异概率，避免了算法早熟；采用 种修正的遗传算法来求解电压无功控制问题，算法借助b e n d e r s 分解法将原问题分 解成为投资问题和运行问题，其中运行问题用逐次线性规划法求解，投资问题用 遗传算法求解。该算法缩小了求解空间，加快了收敛速度，但该算法迭代次数过 多，难以较好的付诸实际应用。 1 3 电压无功控制领域当前存在的问题 首先，就电压无功控制的理论而言，到目前为止，一方面，对无功规划控制 和无功运行控制的原理和方法的研究尚不充分，从而导致或片面追求计算速度， 或片面追求全局最优。实际上，用于实时电压无功控制时，无功运行控制的关键 并不在寻求全局最优解。因为在此情况下，通过调度无功设备，在很短时间内使 系统运行状态发生较大的变化，以求最大限度地降低有功网损和提高电压质量， 将使变压器分接头和无功补偿设备的调整和投切过于频繁，降低设备的使用寿命； 而且这也不符合电力系统运行的长期经济效益，甚至可能成为系统安全运行的隐 患。因此，在实时无功优化调度中，无功优化计算只需要寻求在系统的上一时刻 运行工作点附近的局部最优解；但要追求算法的实时性和收敛性。而在电力系统 无功规划优化或作运行方式计划时，计算时间并非问题的关键，且优化几乎不受 初始运行状态的制约，但应设法寻求全局最优解。弄清这个问题，就可以分别抓 住无功规划优化和无功运行优化的主要矛盾，恰当的选择解决问题的方法，充分 发挥所采用的优化算法的优势，达到满意的效果。 其次，至今还没有研究清楚实际运行中的无功特性，以及如何进行无功优化 有利于提高电力系统的电压稳定性从而难以保证无功优化的结果能够从安全和 经济两方面对系统的运行状态进行优化。在事故的紧急状态下，电容器等无功设 备的出力将随着电压的下降成平方地下降；变压器分接头的调整也只能再系统无 功充足的情况下才有好的效果。在事故状态下，系统电压降低，减少了电容器的 出力；且无功情况往往不容乐观，调整分接头的结果可能恰恰适得其反。此时， 发电机或调相机等具有快速响应能力的无功源( 如s t a t c o m 等) 可以自动的响 应系统状态的变化，提供紧急的无功支援。但某些情况下，常规的无功优化很可 能导致这类无功源的出力已经接近极限，从而使无功运行优化的目标函数与系统 电压安全之间发生冲突。对这一问题，目前可结合实际系统中作运行方式计划的 专家和运行人员的实际经验，在进行无功规划优化时，通过保留足够的发电机无 功备用来加以考虑：而在线运行的无功电压控制则可以在优化计算时，根据系统 当前的运行状况，考虑发电机的无功备用和合适的电压安全裕度。 第三，现行的电压无功综合控制策略都是以本站 0 部墩优为控制目标的，未能 实现全网的全局最优控制。 第四，现行的控制策略中，如何消除“投切振荡”现象，仍需进一步深入 探讨。所谓“投切振荡”是指在分组自动投切电容器或调节分接开关时，装置动 作1 1 i ，其目标函数低于给定的下限，动作后目标函数又高于上限，于是在自动控 制气得的作用下反复动作的动作现象。这种“投切振荡”现象的存在是出于控 制离散量形成的。 第五，现有控制策略未记及电压、无功、负荷之问的耦合作用。现有控制策 略忽略了电压、无功和负荷变化问的关系以及负荷的影响，割裂了电压调节与无 功补偿问的有机联系，在实际运行中导致一些不合理的动作方式，引起了自动控 制装置的频繁动作，降低了开关设备的使用寿命。因此，需要设计出种新的控 制策略，在实现控制要求的前提下，尽量减少装置的动作次数，延长开关设备的 使用寿命，这也有助于无功补偿装置和国产开关设备的广泛应用。 第六，目前的无功补偿以分散控制为主，未能以全网网损为控制的主要目标。 传统的电压无功综合控制大都是以主变低压侧电压为主要控制目标，而网损作为 参考条件。这种考虑主要是由于早期的系统无功水平较低，因此传统的控制策略 中，在无功缺乏时，不得不采取强升、强降等手段，牺牲系统网损和电压稳定裕 度，以保证用户端电压水平。统计资料表明，在电力系统的无功损耗主要集中在 配电网，因此配电网中应做到“降损与调压相结合，降损为主”。利用并联电容器 进行无功补偿，其主要目的是为达到无功功率的就地平衡，减少网络中的无功流 动，降低线损：同时利用电容器组的分组投切，对电压进行适当的调整，但这只 应是并联电容器补偿的辅助目的。因此，电网电压无功综合控制器的控制目标应 以降损为主，以电压为辅。 1 4 本文主要工作 ( 1 ) 分析已有电力系统无功电压综合控制的各种策略，进一步总结它们的 技术特点和优劣，并指出了当前电力系统无功优化领域存在的问题。 ( 2 ) 针对当前电压无功控制中存在的问题，提出了一种新型电压无功控制 模型与算法，详细阐述了算法的原理和推导过程，建立了科学的数学模型。该 方法以全电网有功损耗最小为控制目标，基于电源和负荷功率的电流源等值， 推导了电网有功损耗的二次函数表达式和节点电压约束的二次函数表达式，得 到了一种新型电压无功控制二次函数模型。算法考虑了系统无功调节中各个节 点的相互影响，最大限度地利用已有的无功设备，实现电压和无功的全网最优 控制。 ( 3 ) 基于m a t l a b ，设计了本文方法的具体计算步骤，许编写和调试了 相应的计算程序。 ( 4 ) 结合l 体系统对本文提出的控制策略进行了仿真计算和分析，剖析 了本文方法的性能和控制效果。 ( 5 ) 展望了电压和无功优化控制领域未来的发展方向。 第2 章电力系统电压无功控制的经典模型 2 1 电压无功控制的完整非线性模型 电压无功控制的数学模型即为一个带有大量约束条件的非线性规划问题。电 压无功控制可以优化无功补偿装置的配置点及容量，可以通过调节发电机机端电 压、可调变压器分接头的位置以及无功补偿装置的投入容量等控制变量，使全网 的有功损耗达到最小，使电压水平最好，同时满足电压的运行约束条件和控制约 束条件。状态变量为负荷节点电压幅值、发电机无功输出的集合，控制变量为发 电机端电压、变压器分接头档位以及无功电源补偿输出容量的集合。 2 1 1 电压无功控制的目标函数 电压无功控制的目的不同，可有不同的目标函数。目前常用的有两种目标函 数： ( 1 ) 调节所有无功设备使全网有功损耗最小( 在负荷一定的条件下，亦即全 网发电机发出的有功功率最小) 。故目标函数可表示为： r a i n 兄 ( 2 1 ) 式中表示有功网损。 ( 2 ) 节点电压值是检验系统安全性和电能质量的重要指标之一。在以往的计 算中，往往只是把电压限制看成约束条件。这样做通常会使优化后电压幅值靠近 其上限值。电压过高不利于电力系统运行，因此可以选择运行电压和指定电压的 偏差作为目标函数，希望使电压保持在令人满意的水平上。此目标函数可表示成 以下形式： 一= 萋 等 2 c z 这里是指系统的母线数，k 表示节点i 的电压幅值，k 一表示节点i 上期望的电 t ，m 缸t ，m l o 压幅值，通常k 一= ，一表示在节点上最大允许的电压偏差 k 一= k “。一k “”a 2 1 2 约束条件 电压无功控制的约束条件包括等式约束条件和不等式约束条件： 1 等式约束条件 电压无功控制中的等式约束条件就是系统的潮流约束方程： p l _ ( g , jc o s , 5 + b , s i n 8 , ) = 0 i n ( 2 3 ) j e n i q 一巧_ ( g us i n 6 1 一b , c o s 毛) = 0 ( 2 4 ) e n i p ：节点珀有功功率注入量( 发电机有功取正，负荷有功取负) ； q ：节点i 的无功功率注入量( 发f 包机无功取正，负荷无功取负) ； 矿：节点i 的电压幅值； 以：节点f 和节点，的电压相角差： 易和g 口为节点导纳矩阵元素的实部和虚部： m ：所有与节点i 相连接点的集合； 。：除去平衡节点的所有母线集合； 2 不等式约束条件 不等式约束包括电网运行约束和控制变量的约束：系统稳态运行时，为了保 证电能的质量，各负荷节点的电压幅值必须维持在额定电压附近：同时，发电机 有功、无功输出均有一定的限制，支路的电流大小也有一定的限制，这些限制便 构成了电网运行约束。而调整发电机机端电压、变压器分接头位置和无功补偿电 源输出，都受到运行条件和设备本身的限制，这些限制便构成了控制变量约束。 q q q 。q 。i s r 匕， _ 矿一i s 。 i t i t i s l ( 2 5 ) g n k n o p t = o p t i m s e t ；o p t l a r g e s c a l e = o f f ； 这样可以将l a r g e s c a l e 选项设为o f f 。 4 2 有约束最优化问题求解 有约束最优化问题的一般描述为 。m ( i n 。f ( x ) ( 4 1 ) 其中x = 扛。，工：，】7 ，该数学表示的涵义办即求取一组x 向量，使得函数f ( x ) 最小 化，且满足约束条件g ( x ) 0 ，记号s t 是英文fs u b j e c t t o 的缩写，表示满足后面的 关系。这里约束条件可以是很复杂的，它既可以是等式约束，也可以是不等式约 束等。对不等式约束来说，这里的标准型是“”关系式，如果原问题中某个式子 是“”关系式，则在不等号两边同时乘以1 就可以转换成“s ”关系式了。 约束条件还可以进一步细化为 c ( x 、0 c 。( x ) = 0 a x b( 4 2 ) a q j = i b 工u b 其中爿。x = 为线性等式约束，a x b 为线性不等式约束，x 变量的上界向量 l b 和下界向量u b ，使得l b s x u b ，还允许一般非线性函数的等式约束c 。( x ) = 0 和 不等式约束c ( x ) 0 。 对于有约束非线性规划问题，已经建立了大量的计算方法，如可行方向法、梯 度投影法、罚函数法、线性近似法掣3 1 1 。但这些算法通常只适用一类特殊的非线 性规划问题。 在理论上，k u h n t u c h e r 条件则具有很重要的意义。 对于一个不等式约束g ，( x ) 0 ，如果g ，( x + ) = 0 ，则称该约束在点x 处为起作用 约束；设x 为问题的一个可行解，如果约束的梯度向量。( 工) 线性无关，x + 为局 部最优解，则必然存在不全为0 的数( f = 1 ，m ) 使得以下k u h n t u c k e r 条件成立： v f ( x ) + 2 , v g ( j ) = 0 ，；i 2 , g ( j ) = 0i = 1 , 2 ，m 0i = 1 , 2 ，m ( 4 3 ) 如果，( x ) 和岛( z ) ( f = l ，) 均为凸的，并且可导，x 满足k u h m t u c k e r 条件， 则x 为全局最优解。 目前很多算法都集中在对k u h n t u c k e r 方程的求解上，这些方法都是直接计算 l a g r a n g e 乘子。 1 s o p 算法( 序列二次规划s e q u e n t ；a lo u a d r a t i cp r o g r a m m i n g ) s q p 算法即将原问题化为一系列的二次规划问题进行求解。它通过使用拟牛 顿更新程序来对k u h n t u c k e r 方程累积二阶信息，以保证超线性的收敛。 对上述非线性约束优化问题，s q p 算法的基本思想是对下述l a g r a n g e 函数的 二次近似求解q p 子问题： l ( x ，五) = 厂( x ) + 2 , g ，( x ) ( 4 4 ) 线性化非线性约束条件后可得到q p 子问题： 目标函数 m i n 妻d 7 l t , d + v f ( x t ) 7 d ( 4 5 ) 约束方程 v g - 7 d + g t 2 0f 2 1 ，小e ( 4 6 ) v g ，( 工) 7 d + g ( 工) s 0i = 小。+ l ，川 该问题可以通过任何q p 算法进行求解。 2 s q p 实现 m a t l a b 优化工具箱的s q p 算法实现由如下4 个部分组成： ( 1 ) 更新l a g r a n g e 函数的h e s s i a n 矩阵 在每一次迭代中，h 均作为l a g r a n g e 函数的h e s s i a n 矩阵的正定拟牛顿近似。 并通过b f g s 方法进行计算。 h e s s i a n 矩阵的b f g s 更新 h k + i = h k4 ，舞一舞 ， q ；sks ；hk sk 其中 ( 2 ) 二次规划闯题求解 s q p 方法的每次主迭代都要求解一个q p 问题。 目标函数 m i n 二x7 i t x + c 7 x( 4 8 ) 2 约束方程 4 x 2 6j 2 】，他 ( 4 9 ) a ，苫bi = m 。+ 1 ，m ( 3 ) 一维搜索和目标函数计算 一维搜索可采用合适的搜索算法进行计算。要注意的是s q p 算法的初始化， 如果从s q p 方法中得到的当前计算点不合适，则可通过求解线性规划问题得到初 始值。 目标函数 ，褰， 4 1 0 ) 约束方程 a ，x = bf = 1 ，m ， 4 j 一，bf = 耽+ l ，m 其中一。表示矩阵4 的第掰亍 新版本的m a t l a b 最优化工具箱提供了一个f m i n c o n ( ) 函数，专门用于求解 各种约束下的最优化问题。在老的m a t l a b 版本中，此功能是用e o n s t r ( ) 函数实 现。f m i n c o n ( ) 函数的调用格式有以下几种： x = f m i n c o n ( f u n ，x 0 ，a ，b ) x = f m i n c o n ( f u n ，x 0 ，a ，b ，a e q ，b e q ) x = f m i n c o n ( f u n ，x 0 ，a ，b ，a e q ，b e q ，l b ，u b ) x = f m i n c o n ( f u n ，x 0 ，a ，b ，a e q ，b e q ，l b ，u b ，n o n l c o n ) x = f m i n c o n ( f u n ，x o ，a ，b ，a e q ，b e q ，l b ，u b ，n o n l c o n ，o p t i o n s ) x = f m i n c o n ( f u n ，x o ，a ，b ，a e q ，b e q ，l b ，u b ，n o n l c o n ，o p t i o n s ，pl ，p 2 ，) 【x ，f v a l 】= f m i n c o n ( ) 【x ，f v a l ，e x i t f l a g 】；f m i n c o n ( ) 【x ，f v a l ，e x i t f l a g ，o u t p u t 】= f m i n c o n ( ) 【x ，f v a l ，e