（金融学专业论文）Markowitz投资组合模型的遗传算法求解——在保险投资领域的实证研究.pdf

m a r k o w i t z 投资组合模型的遗传算法求解 在保险投资领域的实证研究 摘要 随着我国经济实力的增强，缀多投资项星极其发展潜力，面对众多的投资项 嗣，投资者如何选择好适合翻已的最优投资组合实隽重要盼研究课题。m a r k o w i t z 投资组合理论，朗均馑一方差模型，奠定了现代投资组合理论的基础。然蔼，在 现实经济生活中，该模型存在一定的局限性。因此，本文主要从理论上对 m a r k o w i t z 投资组合模型进行改进，包括两方面；一方匿是对模型的风险度量进 行改进，剃除投资组合不能消除的系统风险，只考虑非系统风险，这样可以简化 计算，阉时又不影响结果；另一方面是对无风险资产进行重新界定，本文认为无 风险资产实际是一种风险较低的资产，嚣此在收益率的处理方法上做了一定的改 进，使投资组合模型更加精确。 改进的模型是一种嚣线性双罄标规划模型，其求解具有一定的复杂性，遗传 算法是囊然遗传学和计算机科学相互结合渗透蔼成的新的计算方法，提供了- 种 求解非线性、多模型、多目标等复杂系统优化阀题的通用框架。因此，本文设计 了求解改进的m a r k o w i t z 投资组合模型的遗传算法，阕时利用惩镯丞数法，在 m a t l a b 环境中编写程序对该模型进行求解。 保险投资是现代保险业得以生存和发展的重要支柱，保险投资的发展状况将 对保险公司自身的偿付能力与持续经营的稳定性产生重大影响。在目前的市场经 济条件下，在保险业冒益对井开放的环境中，鲡何进一步发展我国保险投资业务， 提离保险投资效益，是一个追切需要研究的课题。本文以中国保险投资作为实证 研究的对象，寻求有效的保险投资组合。实证研究结果显示，利用遗传算法所得 到的最优保险投资组合，在很大程度上符合我餮翡实际情况，并且，对m a x k o w i t z 投资组合模型的改进具骞一定的科学性及含理性。 关键谪：m a r k o wi t z 投瓷缀合理论；改进麴m a r k o w it z 投资组合模型；保险 投资；遗传算法 m a r k o w i t z sp o r t f o l i os e l e c t i o n s b a s e do ng e n e t i ca l g o r i t h m 咖珏t h ea n a l y s i so fi n s u r a n c ei n v e s t m e n t a b s t r a c t w i t ht h eg r e a ti m p r o v e m e n to fc h i n a se c o n o m i cs t r e n g t h , al o to fi n v e s t m e n t p r o j e c t sh a v es t r o n gd e v e l o p m e n tp o t e n t i a l 。i nt h ef a c eo fn 腿e r o u si n v e s t m e n t 妇e n t s ，h o wt h ei n v e s t o r sc h o o s et h eo p t i m a lp o r t f o l i oi n v e s t m e n ti sm o r ea n d m o l es i g n i f i c a n t 。m a r k o w i t z sp o r t f o l i os e l e c t i o n sm o d e l ，m e a n - v a r i a n c em o d e l ，i s t h eb a s eo fm o d e m p o r t f o l i os e l e c t i o n s h o w e v e r , i nt h ep r a c t i c e ，t h i sm o d e li sl i m i t e d t h e r e f o r e ，t h en o r i s ka s s e ti sa d d e db a s e do nt h ea c t u a ls i t u a t i o n so fc h i n a ) s s e c u r i t i e sm a r k e t a n dt h ep r o f i t - r i s kb i - o b j e c t i v e sn o n l i n e a rp r o g r a m m i n gm o d e li s b u i l tu p0 1 1t h eb a s i so ft h eg r e a t e s te x p e c t e dp r o f i t sa n dt h em i n i m a lr i s ko f u n c 睨m i n t y h o w t os o l v et h i sm o d e li sq u i t ec o m p l e xa n dh a sb e e nf o c u s e dr e c e n t l y g e n e t i ca l g o r i t h mi san e wc a l c u l a t i o nm e t h o di n c l u d i n gn a t u r a lg e n e t i c sa n d c o m p u t e rs c i e n c e , w h i c hp r o v i d e sac o m m o nf r a m e w o r kt os o l v et h en o n l i n e a r , m u l t i - m o d e la n dm u l t i - o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o np r o b l e m t h u s ，t h eg e n e t i ca l g o r i t h mi s d e s i g n e d t os e t t l et h ep r o f i t - r i s kb i - o b j e c t i v e sn o n l i n e a rp r o g r a m m i n gm o d e l m e a n w h i l e , b yt h e 翻潜o ft h ep e n a l t yf u n c t i o n ，t h em o d e li ss o l v e di nt h em a t l a b i n s u r a n c ei n v e s t m e n ti sa l li m p o r t a n tm a i n s t a yf o ri n s u r a n c ei n d u s t r yt o $ u r y i v e a n dd e v e l o p t h ed e v e l o p m e n to fi n s u r a n c ei n v e s t m e n tw i l li n f l u e n c et h ei n s u r e r s o w ns o l v e n c ya n dp e r s i s t e n tb u s i n e s ss t a b i l i t y u n d e rt h er e c e n te c o n o m i c c i r c u m s t a n c e s , h o wt od e v e l o pt h ei n s u r a n c ei n v e s t m e n ta n di n c r e a s et h eb e n e f i t si s n e e d e dt ob ei n v e s t i g a t e du r g e n t l y t h i sp a p e ru s e sc h i n a si n s u r a n c ei n v e s t m e n t 瑟 t h eo b j e c to f e m p i r i c a lr e s e a r c ha n dg i v e st h ee f f e c t i v ei n s u r a n c ei n v e s t m e n tp o r t f o l i o t h er e s u l ts h o w st h a tt h i sm e t h o di ss c i e n t i f i ca n dr e a s o n a b l e ，a n dc a ns u p p l yt h e i n v e s t o r sw i t ht h ee f f e c t i v et h e o r e t i c a lg u i d a n c e k e y w o r d s ：m a r k o w i t z s p o r t f o l i o s e l e c t i o n s ；i m p r o v e d m o d e lf o r m a r k o w i t z sp o r t f o l i os e l e c t i o n s ；i n s u r a n c ei n v e s t m e n t ；g e n e t i ca l g o r i t h m 独创声明 本人声明所星交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，或其他教育机构的学位或证书使用过的材 料。与我一丽工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示谢意。 学位论文作者签名；刹舞葬签字日期：劫扩舻年争月矿日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人 授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用 影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权中国科学技术信息 研究所将本学位论文收录到 投资者愿意只以收益率概率分布的两个参数作为决策的基础：预期收益 率和预期方差。以符号示之，取u 当f l u ，仃2 】，这里的u 为投资者的效用，为 投资者的期望报酬率，仃2 为预期方差。， ( 4 ) 瓣任何绘定的风险水平，有i a u 0 ，以及罢 0 。 掣 g o ( 5 ) 证券市场是有效的，证券的价格反映了证券的杰在经济价值，每个投 资者都掌握充分的信息，了解每种证券的期望收益率及其标准差。 ( 6 ) 资产和负偾具有宪全的流动性。即资产和负债具有供给的无限弹性， 从而组合的购买和销售将不影响市场的价格和预期收益率。 ( 7 ) 各种证券的收益率之间有一定的相关性，它们之闯的相关程度可以用 相关系数或者收益率之间的协方差来表示。 ( 8 ) 每种证券的收益率都服从正态分布；资产可分，也就是说投资者可以 s m a r l w i 乜投资组合理论及其遗传算法求解一在保险投资领域的实证研究 购买股份的一部分；投资者可以无限借入资金，也就是说投资者资金量无限大； 并且税收和交易成本不予考虑。 在上述假设前提下，假定投资者面临着以种风险证券的投资组合问题，为 方便说明，先定义以下符号： 麒：第j 种证券的期望收益率，其中f 徽1 2 ，l ，一； 五：投资予第f 种证券的资金比侈，且五露l ； l - i 矿燃( ) 脚；拧种证券收益率的协方差矩阵，其中= e o v l u , j ) 名拦伐，置工五，声= 魄，惩工熊) r ，乏嚣氇l ，l 矿。 投资组合的期望收益率为：烨拦x ( 1 - 1 ) 斤斗 投资组合收益率的方差为：2 兰x r f x = 置 ( 卜2 ) 扣1 ，以 臣 m 3 ， sl 。氍| - 、 9 熙-4=1-lx-o ( 1 - 5 ) ( 1 - 6 ) ( 1 - 7 ) 口= 厶r 矿1 厶，b = l r v 1 1 ，c - 1 r v 一1 ，a - a c b 2 由唧2 - x r 可得： 2 = x r = x r v v 一1 ( 厶+ 五) 】= x r 厶+ 如x r = 五+ 五脚 = ( a z r 2 - 2 + c ) a ( 1 - 8 ) 显而易见，以上方程在期望回报率纬一风险唧2 平面上是一条抛物线，但是， 通常用来衡量风险，而以上方程在( 纬，) 平面上是一条双曲线，也就是 可行投资组合前沿渊，如图l 一1 所示。 在图1 - - 1 中，有一个比较特殊的点，即m 点，称之为全局最小方差资产组 合点，可以通过以下方程求得坐标值： 皇譬= 2 a l z e - 2 b ：o ( 1 - 9 ) d p p 厶 一 解得一= b a ，o r 2 = l a ，= 而，即m 点的坐标是( 而，b a ) m 点风险最小。处于m 点以上的双曲线部分就是所谓有效组合前沿。 l o m a d b 丽t z 投资组合理论及其遗传算法求解在保险投资领域的实证研究 昝p 图i l 投资组合可行前沿图 o p 2 协方差矩阵的性质 以上求解过程中实际隐含了协方差矩阵是正定矩阵这一假设，因为只有当协 方差矩阵矿是正定矩阵时，模型才有最优解下面就详细说明协方差矩阵这一性 质。 首先，只有当协方差矩阵y 为非奇异时，才有逆矩阵。而一个矩阵为非奇异 矩阵的充分必要条件是它的行列式不等于零。在此，用反证法来说明协方差矩阵 y 的非奇异性。如果协方差矩阵为奇异的，那么其行列式必然等于零，也就是说， y 中至少存在一行可以鼹其他剩下的所有行来表示，即有： = c o v ( p t ，一) = 而q ，+ 屯吒_ ，+ l 黾 i l ，2 ，l ，k ；j = l ，2 ，l ，捍 ( 1 一l o ) 上式表示协方差矩阵矿孛存在第i 行可以用其他老行来线性表示，其中 鼍，恐，l ，黾为不全为零的数。此式又可以变为： 嘞糌毗，所) = 毛c o 毗，一) + 吒如，约) + l 魄，巧) 端毛段+ 毛缝+ l 绞，纷) ( 王一1 1 ) 即有： 硒搭毛醵+ 屯殷+ l 段 主抟l ，2 ，l ，蠢 ( 王一1 2 ) 因此，当协方差矩阵为奇异矩阵时，至少存在一个证券的收益率可表示为其 他证券收益率的线性组合。而事实上，在有效市场假设下，根据无套利原理，这 样一个证券是不存在的。因为如果毒这么一个证券，我们就w 以构造一个方差等 m a t k o w i t z 投资组合理论及其遗传算法求解在保险投资领域的实证研究 于零的投资组合，其期望收益率也必定等于零。之所以组合期望收益率等于零， 是因为当其期望收益率大于零，就会出现套利机会，投资者争相套利的结果导致 组合收益率等于零，而当组合期望收益率等于零时，就可以剔除这个证券，因此 这样一个证券是不存在的。从而协方差矩阵是非奇异的。 因为y 是非奇异矩阵，所以其行列式m o ，那么其特征根均不为零。又因 为对任意的投资组合，其方差唧2 为二次型显然，2 0 ，故该二次型为正半 定。又因为矿为对称矩阵，可化为对角阵旃昭( a ，五，l 丸) ，其中a ，五，l 丸为特 征根。由m o 可知特征根全不为零，正半定表明特征根非负，所以其特征根全 大于零，因此y 正定嘲 综上所述，投资组合协方差矩阵必为正定矩阵。 3 存在无风险资产时的m a r k o w i t z 投资组合理论 所谓无风险资产就是指其收益率，为恒定不变的常数，那么其波动率为零， 即标准差盯，为零，这样一种资产通常可以用短期国库券来代替，从而短期国库 券的利率被称为无风险利率。 ， - 首先考虑无风险资产与任一具有收益率为肛，标准差为q 的证券所形成的 组合的性质。设投资于无风险资产与风险资产的资金比例系数分别为五和五， 有五+ 五= l ，那么投资组合的收益率产为： = 五，+ 五肛 ( 卜1 3 ) 由于无风险资产的收益率的波动率为零，则其与风险资产的协方差为零，那 么组合的标准差盯为： 仃= 五q ( 卜1 4 ) 综合以上两式，可得： = ，+ 竺盥仃 ( 1 一1 5 ) o j 由此可见，由无风险资产与风险资产所形成的组合的收益率与标准差之间呈 线形关系。考虑在不存在无风险资产时所形成的有效前沿图中加入无风险资产， 1 2 m l r k o 、i t z 投资组合理论及其遗传算法求解在保险投资领域的实证研究 也就是在图孛纵轴上加入一个可行投资资产点么( 毡纷) ，根据以上结论可知，么 点与有效前沿上任一资产组合点连接所形成的直线就是由两者构建的组合集合， 显蔼易见，此组合集合优于处于直线以下部分有效前沿，丽由彳点与有效前沿上 的所有点连接所形成的射线族中，以相切于有效前沿的射线的斜率最大，该切点 可以通过以下过程求得。 因为有 唧2 = ( a s t 2 - 2 坼+ c ) a ( 卜1 6 ) 令口= a a ，p = - 2 b l a ，7 = c l a ，则上式可以变为： l o e = 蝤咚 专! b 哆p 专亨争( 1 - 1 7 ) 那么 粤= 2 a 【f + p (118)t = l d p p 2 a p 假设所求f f j 鼢m ( z ，吒) ，则有： i 2 a , u , + f l = 丝：丝( f - 1 9 ) 2 0 - 综合以上各式，可解得： ，以= 筹。l 。l l ：v a l e 2 + 矾+ yl + 角+ y 以上就是所求切点鲋的坐标。现在我们来重新绘制有效前沿图 如图l - 2 所示，直线五m 就是有无风险资产与切点组合m ( 可以看作是一 种风险资产) 所形成的各种可能投资组合的集合从图卜2 明显可以看出，此组 合集合要优于完全由风险资产所形成的组合集合。从而加入无风险资产后组合有 效前沿交为直线a m 1 3 m a r k o w i t z 投资组合理论及其遗传算法求解在保险投资领域的实 难研究 hp m a ( 0 ，) o p 一 ， 圈1 2 含无风险资产的投资组台有效前沿 l 。1 2 m a r k o w i t z 投资组合理论的局限性 m a r k o w i t z 投资组合理论是历史上首次将投资活动中的风险运用现代微观经 济学和数理统计的方法进行全面系统研究的现代金融理论，在充分肯定其价值的 同时，应正确认识该理论存在的局限性。 1 证券市场并非是有效酶 据美国财务学教授尤金法玛( e u g e n ef a m a ) 的有效市场假说，只有当股票 市场上股票价格能够及时且不偏不倚遮充分反映市场上的所有信息时，市场才是 有效的。有效的股票市场是一个完全竞争性的市场，市场参与者都能够及时地、 不以任何偏见地获得所需要的信息，信息的交易成本为零瞰卜嘲。由于市场本身 可能存在失灵的现象，完全有效的股票市场是一种理想境界，现实中所存在的只 是次级有效的市场。 2 在证券交易过程中存在交易费用 w 墅3 r k o w i t z 模型没有考虑证券组合投资过程中的交易费蔫，实际上，交易费 用是投资管理不可忽视的问题。 3 。投资者未必都是理性的，并且未必都是风险厌恶的 在实际的投资活动中，投资者的投资决策受到教育程度、专业知识、投资心 理受多方面的影嚷，导致投资理性与风险偏好程度存在一定的差异。投资者未必 都是理性的，并且未必都是风险厌恶的。 1 2 单指数模型 ， ， 单指数模型由威廉夏普( s h a r p e ) 首先提出，其基本思想是认为证券收益 1 4 m a r k o w i t z 投资组含理论及其遗传算法求解在保险投资领域的实证研究 率只与个因素有关n 村。假定每种证券或多或少地受股票市场股价指数的影响。 当投资者观察证券市场，可以发现，当股价指数上涨时，大部分股票的价格也土 涨；当股价指数下跌时，大部分股票的价格也下跌。这说明，各种证券对市场变 化有共圊的反应。因此，可以用一种证券的收益率和股票市场股价指数酶收益率 的相关关系得出以下模型： 墨拳名+ 夕霆辩懿 ( 1 2 1 ) 式中：咫为第i 种证券的收益率；为股票市场股价指数收益率；a 为证券收益 率中独立于市场的部分；为证券收益率对股价指数收益率的敏感程度，也即测 度墨既定变纯情况下墨预期变化的常数；岛为剩余收益率，它是一个随机变量， 测度冠与平均收益率之闻的偏差。 单指数模型假设两种类型的因素造成证券收益率各个时期之间的差异： 王。宏观经济环境的变化，如通货膨胀率、存款利率盼交他等。宏腮经济变化 会影响市场股价指数的变化，并通过市场驱动影响到每个证券收益率的变化。 2 微观因素的影响，具体表现必公司内部环境鲶变纯，如新产品的开发、公 司内部的人事变动等，它只对个别证券产生影响，而没有普遍作用。在一定时间 内，在股价指数一定的条件下，微观因素的影响能使证券收益率高于或低于正常 水平，在公式c 1 - 2 1 ) 中，它引起名和毛的变动，也是产生残差 ) 的主要原因。 这里，假设微观因素的变动对其他证券没有影响。 需要指出，其他类型的影响因素在公式( 1 - 2 1 ) 中不予考虑。它们可能是行 业因素，某一事件常对菜一行业的许多公司有影响，但不至于广泛地足以影响经 济系统或整个证券市场的股价指数。这类因素也常引起残差，丽单指数模型假定 残差均由微观因素弓| 起。 单指数模型中有两个基本假设： 1 岛的均值嚣心) = o ，对于一切岛、譬，不相关，即e c j ) = 0 。这一假设使 单指数模型同其他用以接述协方差结构的模型区捌舞来了。它意味着各种证券有 规则地一起变动的唯一理由是它们同市场一起变动，而可以解释各种证券一起变 动的市场以芥的影响( 如产业影响) 是不存在的。显然，对予单指数模型来说， m a r k o w i t z 投资组合理论及其遗传算法求解在保险投资领域的实证研究 这个假设是十分重要的，模型的性能如何，就取决于这个假设对实际的近似程度。 2 市场指数和独立的证券收益率不相关，即协方差 c o y ( s , ，) = 球q o ) ( 如一瓦) 】= o ( 1 - 2 2 ) 同时，市场指数收益率的方差为e ( 如一_ 搠) 2 = ，以及剩余收益率的方差为 联岛) 2 盘。 因此，单指数模型中某种证券的预期收益率、方差和协方差可以这样推导出 来： 1 某种证券的预期收益率公式 嚣( 墨) 茹e ( 彳+ + 岛) ( 1 2 3 ) 由于随机变量的期望值等于期望值的和，故 艿( 墨) 訾e ( 4 ) + e 0 鳓) + e ( 蜀) ( 1 2 4 ) 又由于彳和都是常数，而且q 的期望值e ( 岛) = 0 ，故 e ( 足) = 砖+ p r 霹( 1 - 2 5 ) 2 。任何证券收益率的方差公式 司= 嚣低一瓦) 2 ( 卜2 6 ) 将公式( 1 - 2 1 ) 代入公式( 1 2 8 ) ，可得 砰拳e 【( 4 + 夕如+ 岛) 一( 么+ 夕瓦) 】2 鬻e 够( 疋一页_ ) + 毫】2 一 嚣多2 嚣( 疋一夏瓣) 2 + 肇霹毫( 墨一夏瓣) 】+ 嚣( 毛严 根据公式( 1 - 2 2 ) ，可得 砰= 芦2 昱( 墨一氮) 2 互编) 2 ( 薹一2 7 ) 由于讹) 拳o ，敖 ， 。 砰= 芦2 以+ ( 卜2 8 ) 由公式( 卜2 8 ) 可知，总可以将某种证券收益率的方差分为两部分：系统风险2 砖 1 6 m a r k o w i t z 投资缀合理论及其遗传算法求解在保险投资领域的实证研究 ( 主要由宏观因素影响产生) 和残差方差、独立风险或非系统风险( 主要由 微观因素影响产生) ，也就是说，任一证券的风险包含有系统风险和非系统风险 两种。在单指数模型的假设条件下，罗2 吒2 反映了不能分散搏的风险，0 - 。2 表示投 资者只要通过分散化投资就可以消除这项风险。 3 任何两种涯券闻的协方差公式 。 。 嘞= 研( r r ，) ( 玛一欠- ，) 】 = 露【( 4 + 猡；如+ 岛) 一( 蠢+ 磊盂辩) 】f ( 4 + 芦i 毛+ 0 ) 一( 4 + 历太辫 = 烈曩( 墨一震幕) + 量玉【( 墨一震瓣+ 0 ) 】 = 屏辟以毛一瓦) 2 + 属层哆( 毛一瓦) 】+ 乃研岛( 毛一瓦) 】+ 露( 岛勺) ( 卜2 9 ) 根据假设，最后三项等于0 ，因此 嘞= 磊历砖 ( 卜3 0 ) 如果一种证券的单指数模型成立，那么证券组合的预期收益率为 发尹= 4 + 屏r m ( 1 - 3 1 ) 式中：4 、屏分别是4 和届的加权平均，即 r4 = 置4 之 ( 1 3 2 ) 1盖 l - 屏= 五局 则公式( 1 - 3 1 ) 又可以写成 零= 兰墨4 羔置孱瓦( 1 - 3 3 ) ，-l垂-d 式中，置为证券组合中各种证券所占的投资比例，即权数。丽证券组合的方差 可以写成 ( 1 - 3 4 ) 壹公式( 薹一3 3 ) 和公式( 薹一3 4 ) 可知，如采估计逝每种股票的4 和孱、以及 1 7 岛屏置 譬川 筹m + 砰 m 砖群群 埘 = 砰 m a r k o w i t z 投资组合理论殿其遗传算法求解在保险投资领域的实证研究 市场预期收益率石和方差，就能估计出任何证券组合的预期收益率的方差。 因此，这时需要估计的值有3 n + 2 个。这与m a r k o w i t z 方法选择最佳证券组合相 比是大大简化了。 ， 1 。3 多指数模型 单指数模型认为只有个因素影响证券的收益率，这个假设在一艘人看来过 予翁单纯了，因此，人匍又采用了多指数模型来解释和估计证券收益率的相关结 构。这些多指数，郎影响证券价格的共圆因素，除7 单指数模垄中的市场股票指 数的交化外，还包括：( 1 ) 通货膨胀率的变化；( 2 ) 失业率的变化；( 3 ) 王业生 产增长； 毒) 贸易赤字的变化；( 5 ) 政府预算_ 开支的变动；( 6 ) 利率水平斡变化； ( 7 ) 长期和短期借款利率的变化；( 8 ) 汇率的变化。 多指数模型认为这些鼹素的交动会引趋证券价格的不回变化，根据其影响程 度，可以得出证券收益率与这些因素的关系式，从而导出最佳证券组合渊。然而， 尽管多指数模型捕捉了大量的追加信息，僵同时氇产生了另一些闯题，如可能会 加进随机干扰，从而使模型的精度下降。 一般多指数模型的形式为 骂等q + 岛l 五+ 6 | 2 j i z + l + b j j + 岛 ( 1 3 5 ) 公式( 1 - 3 5 ) 表示的是某种证券的收益率与指数五，屯，t 变动的楣关关系 式中，五代表市场指数收益率，五代表国内生产总值增长水平，毛代表利率水 平足代表某种证券的收益率，q 代表证券收益率中独立于各指数的变化，即 独立收益率的预期值；毛代表证券收益对各指数的敏感程度；颤代表剩余收益率 都分，是一个随枕交量。 在多指数模型中，要求各指数，j i z ，之间不存在相关关系但是， 由于实际经济结构中，各指数之间可能有相关关系存在，即计量经济学中的多重 共线性现象，这对估计会带来危险。因此需要将_ ，个指数正交化，剔除相关性后 使模型中嚣各指数不裙关，这时，才能利震多指数模型进行证券分析。 与单指数模型相类似，设剩余收益率懿的霪( 毛) 嚣嚷；其7 y 差e ( s , ) 2 聋； 1 8 m a r k o w i t z 投资组合理论及其遗传算法求解在保险投资领域的实证研究 指数收益率的方差嚣( 一) 燃四：指数与指数之间的协方差 研( 五一z ) 心一乃) 】= o ；剩余收益率岛与指数之闻的协方差研岛妈一己) 】= o ； 两静证券收益率颤和毛之阆的协方差互奴气) = o ，这个假设条件在多指数模型中 是很重要的，它表明证券致变动的唯一原因是它们与模型假定的各指数共同变 动。除了这些指数，不再有其他因素能够解释任何两种证券之闻的一致变动，即 没有其他影响证券收益相关性的因素。 根据上述这些假设条件，可导出证券i 的预期数益率、证券i 收益率的方差、 证券i 与证券，之间的协方差。 ( 1 ) 证券i 的预期收益率为 互( 避) = 互( q + 岛l 五+ 熟2 五+ l 岛+ 弓) = e ( 嘶) + e ( ) + e ( 岛2 厶) + l + z c b j ) + e c c , ) ( 1 3 6 ) 由于露和6 都是常数，而且互如) 篇o ，所以证券i 的预期收益率公式为 莒( 墨) 嚣或+ 龟l z l 鸯2 已l + 气乃( 1 - 3 7 ) ( 2 ) 证券i 的预期收益率的方差为 + 砰= 联墨一豆) 2 睾厨( 啦+ 岛l 五+ 厶+ l + 毛+ 乓) 一( q + 熟l 五+ b t 2 1 2 + l + b f l a ( 1 3 8 ) 消去q 项，经整理后可得 司拳嚣嗡l ( 五一五) + 岛2 ( 2 - i ) + l + 毛( 一乃) + 岛】2 ( 1 3 9 ) 对上式方括号中诸项和的平方可以这样考虑：结果中涉及第一个指数的项将是第 一个指数项与自身及其他各项的乘积，邵 碱媳一_ 1 ) + 岛；熟：媳一- 1 ) ( 磊一_ 2 ) + l + 曩；气( 五一五鹚一己) + 巍，( 五一- 1 ) 为r 由于岛是常数，所以有 瑶刚一- 1 ) + 2 j i ：互( 五一五) 娼一五) + l + 毛6 粥一五) ( 一乃) + 岛。e ( 一- l 蝎r ( 】一4 0 ) 1 9 m a r k o w i t z 投资组合理论及其遗传算法求解在保险投资领域的实诫研究 由前面的假设条件可知 l 麟一五弛一i j ) - - o ( 羔一4 1 ) 一 旧( 一，- ，) 岛】= o 所以，公式( 1 4 0 ) 涉及第一个指数的唯一非零项将是 瑶蜀吒一乃) 2 = 城 ( i - 4 2 ) 结果中，涉及岛的项将是e ) 2 = 0 所以，证券i 收益率的方差公式为 砰訾磲c r i + 磕畦+ l + 霹司+ ( 卜4 3 ) ( 3 ) 证券i 与证券歹之阀的协方差 嘞豁e ( r 一太，) ( 弓一r j ) ( 1 4 4 ) 代入置和震，有 = 暑 + 岛l 五趣2 五l 乓) 瓴+ j l 如1 2 + l 磊梵 【( 吩+ 屯l + 以2 厶+ l + + 勺) 一( 巳+ 岛l + 吃2 ，2 + l + 哆乃) 】 消去诸q 项，整理得 = 昱 呶( 五一1 0 + b ；2 如一1 2 ) + l ( 弓一乃) + 颤】 。 【屯l ( 厶一n ) + b j 2 ( 厶一1 2 ) + l + ( 一j ，) + 勺】 在上式的乘积中，涉及岛。项 露融；乞；( 五一五) 2 + 岛：屯2 “一五) 五一五) + 乞，( 五一五x 五- 3 ) ( 1 - 4 5 ) + l + 岛1 ( 一j 1 ) 心一乃) + 岛l ( 五一 ) 8 i 】 ( 1 4 7 ) 所有涉及不同指数的项的预期值由假设都等于零，而且( 五一，t ) 蜀也等于零。所 以，唯一的菲零项是； 岛i 。e ( 一j 1 ) = 2 5 i l 屯l 研 ( 1 4 8 ) 涉及g 的项有两类：一类为敞瓴一五) 巳，由假设等于零；另一类为岛勺，由假设 等于零。所以，证券i 与证券歹之闻的协方差为 m a r k o w k z 投资组合联论及其遗传算法求解在保险投资领域的实话研究 嘞粼魏。l + 熟：屯：畦+ 鹕，蠢+ l + 气司 的参数豢动节，维持菜黧 性能的特饿它是在辩常和危险情况下系统擞存的关键 2 7 m a r k o w i t z 投资组合理论及其遗传算法求解在保险投资领域的实证研究 予局部的某个单峰的最优解。而遗传算法是采用同时处理群体中多个个体的方 法，即同时对搜索空间中的多个解进行评估，更形象地说，遗传算法是并行地爬 多个峰。这一特点使遗传算法具有较好的全局搜索性能，减少了陷于局部最优解 的风险，同时，这使遗传算法本身也十分易于并行化。 3 在标准的遗传算法中，基本上不用搜索空间的知识或其他辅助信息，而仅 用适应度函数值来评估个体，并在此基础上进行遗传操作。需要着重指融的是， 遗传算法的适应度函数不受连续可微的约束，而且，其定义域可以任意设定。遗 传算法的这一特点使它的应用范围大大扩晨。 4 遗传算法采用概率的变迁规则来指导它的搜索方向，而不是采用确定性规 则，因焉麓搜索离散的有噪声的多峰值复杂空阌。遗传算法采用概率规燹| j 来引导 其搜索过程朝着搜索空间的更优化的解区域移动，实际上有明确的搜索方向。 5 。遗传算法在解空闻蠹进行充分的搜索，但并不是富冒的穷学或瞎碰( 适应 度函数评估为选择提供了依据) 。因此其搜索时耗和效率往往优于其它优化算法。 上述的这些特点使得遗传算法和其它的搜索方法相毙有着缀多优越性：使用 简单，鲁棒性强，良好的全局搜索性，易于并行化，易于和别的技术( 如神经网 络、模糊推理等) 相融合等，从磊应用范围菲鬻广。 2 3 多目标优化中的遗传算法 解决含多目标和多约束的优化问题称为多目标优化( m u l t i - o b j e c t i v e 。o p i m i z a t i o n ) 问题。在实际应用中，工程优化问题大多数是多曩标优化问题， 有时需要使多个目标在给定区域上都可能地达到最优的问题，目标之间一般都是 互相冲突的。例如投资问题，一般投资者都是希望所投入的资金量最少，风险最 小，并且所获得的收益最大。这种多于一个的数值目标的最优化问题就是多目标 优化闯题。多目标优化问题一般的数学模型可描述为： ry r a i n 厂( 曲箱阢( x ) ，石( 力，l ，正( 瑚r 乙戤f “一 ( 2 - 1 ) 互 式中，矿一曲表示向量极小化，郎向量曩标溅f ( x ) f f i 暖( 力，荔( 曲，l ，五( 瑚r 中 的各个子瞬标函数都尽可能地达到极小化。 m a x k o w i t z 投资组合理论及其遗传算法求解在保险投资领域的实证研究 对于求解多目标优化问题，目前已有多种基于遗传算法的求解方法。下面介 绍五种常用的方法嗍。 2 3 1 权重系数变换法 对于一个多目标优化问题，若给其中每个子目标函数f c x j ) ( i = 1 ，2 ，l ，刀) 赋予 权重t a i ( i = l ，2 ，l ，刀) ，其中伤为相应的f c x , ) 在多目标优化问题中的重要程度， 则各个子目标函数f c x , ) 的线性加权和表示为： ”= 窆锡( 而) ：2 - 2 ) 1 1 若将“作为多目标优化问题的评价函数，则多目标优化闯题就可转化为单目 标优化问题j 即可以利用单目标优化的遗传算法求解多目标优化问题。 ： 2 3 2 并列选择法 并列选择法的基本思想是，先将群体中的全部个体按子目标函数的数目均等 地划分为一些子群体，对每个子群体分配一个子目标函数，各个子目标在相应的 子群体中独立地进行选择运算，各自选择出一些适应度高的个体组成一个新的子 群体，然后再将所有这些新生成的子群体合并成一个完整的群体，在这个群体中 进行交叉和变异运算，从而生成下一代的完整群体，如此不断地进行“分割一并 列选择一合并一操作，最终可求出多目标优化问题的最优解。图2 - 1 所示为多目 标优化问题的并列选择法的示意图。 选择标准 图2 - 1 并列选择法的示意图嗍 m a r k o w i t z 投资组合理论及其遗传算法求解在保险投资领域的实 难研究 2 3 3 排列选择法 排列选择法的基本思想是，基于p a r e t o 最优个体彩，对群体中的各个个体进 行排序，依据这个排列次序来进行进化过程中的选择运算，从而使得排在前面的 p a r e t o 最优个体将有更多的机会遗传到下一代群体中。如此这样经过一定代数 的循环之后，最终求出多目标最优化问题的p a r e t o 最优解。 2 3 4 共享丞数法 求解多目标最优化问题时，一般希望所得到的解能够尽可能地分散在整个 p a r e t o 最优解集合志，面不是集中在其p a r e t o 最优解集合内的某一个较小的区 域上为达到这个要求，可以利用小生境遗传算法的技术来求解多目标最优化问 题，这种方法称隽共享丞数( s h a r i n gf u n c t i o n ) 法，它将共享通数的概念弓l 入 到求解多囡标最优化问题的遗传算法中。算法对相同个体或类似个体的数量加以 限制，以便能够产生出种类较多的不同的最优解。对予一个个体石，在它酶附近 还存在多少种、多大程度相似的个体，是可以度量的，这种度量值称为小生境数。 小生境数的计算方法定义为； m x 黑s d c x ，删 ( 2 3 ) r 期 一 式中，s ( 为共享函数，它是个体之间距离d 的单调递减函数。d ( x ，d 可以定 义为个体x ，y 之闻的海鳃距离。 在计算出各个个体的小生境数之后，可以使小生境数较小的个体能够有更多 的机会被选中，遗传刭下一代群体中，瑟相似程度较小的个体能够有更多的机会 被遗传到下一代群体中，这样就增加了群体的多样性，也增加了解的多样性 2 。3 。5 混合法 混合法的基本思想是，选择算子的主体是用并列选择法，然后通过引入保留 最优个体和共享丞数的愚想来弥替只使用并列选择法的不足之处。算法的主要过 程为： j 。 王并列选择过程。按所求多薯标优化阕题的子善标函数的个数，将整个群体 均等地划分成一些子群体，各个子目标函数在相应的子群体中产生其下一代子群 体。 一。 一 2 保留p a r e t o 最优个体过程。对于子群体中的p a r e t o 最优个体，不让其参 p a r e t o 最优个体是指群体中的这样一个或一些个体，群体中的其他个体都不比它或他们更优越 3 0 m a r k o w i t z 投资组合理论及其遗传算法求解在保险投资领域的实证研究 与个体的交叉运算和变异运算，而是将这个或这些p a r e t o 最优个体直接保留到 下一代子群体中。 3 共享函数处理过程。若所得到的p a r e t o 最优个体的数量已超过规定的群 体规模，则需要利用共享函数的处理方法来对这些p a r e t o 最优个体进行挑选， 以形成规定规模的新一代群体 m a r k o w i t z 投资组合理论及其遗传算法求解在保险投资领域的实 难研究 3 改进的m a r k o w it z 投资组合模型及其遗传算法求解 3 。1m a r k o wit z 投资组合模型的改进 本文主要是从理论上对m a r k o w i t z 投资组合模型进行改进，包括两方面：一 方面是对模型的风险度量进行改进，总风险= 系统风险+ 非系统风险，投资组合并 不能消除系统风险，要使总风险最小化，也就是要使非系统风险最小化即可，因 此，本文在对投资组合进行风险度量时，只考虑菲系统风险，这样可以简化计算， 同时又不影响结果；另一方面是对无风险资产进行重新界定，本文认为无风险资 产实际是一种风险较低的资产，因此在收益率的处理方法上做了一定的变动，试 图使投资组合模型更加精确。 3 1 1 模型的改进思路 l 。剔除系统风险，重点考虑非系统风险， 多元化投资可以消除非系统风险囝，但是系统风险是每种投资工具所固有的， 投资组合并不能消除系统风险。因此在模型中剔除掉系统风险，只考虑非系统风 险即可。如图3 - 1 所示。 投 资 组 合 风 险 将公式l _ 2 展开，可得 图3 - 1 分散化与系统风险的关系 持有证券种类数受 在证券市场上，风险是措由于来来收益的不确定性或波动性而使投资者遭受损失豹可能性藏廉夏普将 风险分为系统风险和非系统风险系统风险是指影响所有证券价格的因素，如经济因素、政治因素等系 统风险也称为不可分散风险，它不能通过多元化投资恧消除非系统风险是指由企业曛行业本身的因素藤 黟生懿嚣险。舞管理戆力、产螽班及溃费者攘静等这些最羧氇称蔻可分数酶风险，链镌霉逶过诞券投资 韵有效组合来消除它们 3 2 b p m r k o w i t z 投资组合理论及其遗传算法求解在保险投资领域的实证研究 投资组合收益率的方差为： o p 2 = 石r 以= 五+ 群砰 l - i = 1 l - i 。，曩。j ( 3 - 1 ) 公式3 _ l 中就是第f 种资产本身的方差，它衡量的是这种资产本身所固有的系 统风险，并且投资组合并不能降低该资产所固有的系统风险，因此本文将公式 ( 3 一1 ) 中的彩砰项剔除掉，也就是将系统风险剔除掉，只考虑非系统风险 扣l l 阻此本文焉不圊资产两两之间的协方差之和来衡量投资组合的遗参系统风险，得到 公式( 3 - 3 ) ( 在本文3 1 2 中) 因为系统风险通过投资组合不能分散，所以忽略捧系统风险，只考虑毒# 系统 风险，不会对最终的投资组合有影响。本文只考虑通过分散化投资可消除的非系 统风险，褥对证券本身所固有的、且逶过分散纯投资不可消除的系统风险不予考 虑。 2 对无风险资产收益率的处理方法 现实经济生活中，投资者出于规避风险的目的，在选择证券时，往往会将部 分资金集率_ 在银行存款、匿债等无风险资产上。本文认为无风险资产并不意味着 是零风险的，只是它的风险相对较小而已。因此，本文将银行存款、国债等无风 险资产律力具有一定风险的资产来处理。投资组合的收益率计算公式为： 訾五韪( 3 - 2 )