（机械设计及理论专业论文）阶梯轴轴肩过渡曲线的形状优化及实验研究.pdf

太原理工大学硕士学位敝 y6 2 0 2 36 阶梯轴轴肩过渡曲线的形状优化及实验研究 摘要 本文在分析了轴对称体形状优化理论的基础上，采 用试验应力分析方法一电测应力分析法，对变截面轴过 渡曲线形状优化结果进行了实验研究。 形状优化的应力分析采用边界元法，优化方法采用 约束变尺度法，优化目标为应力集中系数最小，可变边 界的描述采用三次样条函数。经过对轴肩过渡曲线的优 化设计，获得了应力集中系数最小的形状。 通过对受扭和受弯两种受载情况的八个试件进行电 测应力分析，得知，用边界元法作为应力分析工具，结合 优化技术进行的形状优化设计，其设计结果与实验结果 基本符合，说明了形状优化的合理性，这种形状优化设 计方法可在机械设计中推广使用。 关键词：形状优化；阶梯轴；电测应力分析法；边 界元法 第1 页 太原理工大学硕士学位论文 s h a p eo p t s h o u d l e m l z a t l o no ft r a n s l t l o nc u r v eo f o fs t e p s h a p e ds h a f ta n dit s e x p e rlm e n t a lr e s e e a r c h a b s t r a c t t h i s p a p e r ，a p p l y i n g t e s ts t r e s s a n a l y s i s m e t h o d e l e c t r o m o t i v es t r e s sa n a l y s i sm e t h o d h a s m a d e e x p e r i m e n t a l r e s e a r c hi n t ot h er e s u l t so f s h a p eo p t i m i z a t i o no ft r a n s i t i o nc u r v eo ft h es h a f t o fv i a b l es e c t i o n ，a f t e rt h et h e o r e t i c a la n a l y s i s o ns h a p eo p t i m i z a t i o no ft h ea x i a l s y m m e t r yb o d y b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o dh a sb e e ni n t r o d u c e dt o d os t r e s s r e s t r i c t i o n a n a l y s i s o n s h a p eo p t i m i z a t i o n ， a n d c h a n g e s c a lem e t h o da st h e o p t i m i z a t i o nm e t h o d ，a n dm i n i m i z a t i o no fs t r e s s c e n t r a l i z a t i o nf a c t o ra st h eo p t i m i z a t i o n g o a l ，t h e t r i c es p li n e sh a v eb e e ni n t r o d u c e dt od e f i n et h e v i a b l eb o u n d a r y ，t h r o u g ht h eo p t i m i z a t i o n d e s i g no f t h et r a n s i t i o nc u r v eo fs h o u l d e ro fs p i n d l e ，t h e s h a p e ，s h a f t s o fw h i c hh a v et h em i n i m a l s t r e s s 第2 页 太原理工大学硕士学位论文 c e n t r a l i z a t i o nf a c t o r ，i sa c h i e y e d b yt h ee l e c t r o m o t i v es t r e s sa n a l y s i so ne i g h t p i e c e so fs p e c i m e n su n d e rt h et o r s i o na n db e n d ，i t i sa c q u i r e dt h a tt h er e s u l t so fs h a p eo p t i m i z a t i o n d e s i g n ，b yt h e c o m b i n a t i o no f b o u n d a r ye l e m e n t m e t h o da st h et o o lo ft h es t r e s sa n a l y s i sw i t ht h e o p t i m i z a t i o nt e c h n i q u e ，a r e b a s i c a l l yc o n s i s t e n t w i t ht h et e s t r e s u l t s ， w h i c hv a li d a t e s t h e r a t i o n a l i t yo ft h e s h a p eo p t i m i z a t i o n ，s ot h i s s h a p eo p t i m i z a t i o nd e s i g nm e t h o dc a nb eg e n e r a l i z e d t ou s ei nt h em e c h a n i c a l d e s i g n k e yw o r d s ：s h a p e o p t i m i z a t i o n ；s t e p s h a p e d s h a f t ；e l e c t r o m o t i v es t r e s s a n a l y s i sm e t h o d ； b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d 第3 页 太原理工大学硕士学位论文 第一章绪论 第一节概述 机械设计是机械产品生产制造的第一道工序。设计工作的好 坏是直接影响产品质量的重要因素之一。任何一个构件的设计都 包括结构尺寸设计和几何形状设计两大部分。在过去的设计过程 中对几何形状设计研究较少，仅凭经验或类比法来设计。随着计 算力学、优化方法和计算机技术的迅猛发展，用有限元法和边界 元法进行形状优化越来越得到工程界的重视。 我校机械设计教研室从1 9 8 5 年开始进行形状优化的研究，经 过十几年的努力，已成功地研制出一些应用软件系统，于1 9 9 0 年顺利通过国家级鉴定。由于形状优化课题属优化设计领域较深 层次的课题，还需要进一步开展研究工作以扩大其适用范围，以 便在工程实践中得到推广和应用。用边界元法进行三维连续体的 形状优化系统s h o p t ，b e o p t h d 己能对轴类及三维机械构件 进行形状优化设计，是比较成功的形状优化软件。但在实验验证 方面一直未开展工作，使得优化设计结果只限于理论分析，没有 得到实验检验。本文在分析优化设计的基础上，通过实验验证其 合理性，以使形状优化的研究更加完善。 机械设备轴的结构大多为阶梯轴。从所受的载荷来看，主要 是受扭和受弯。这类轴在工作中的应力集中现象直接影响着轴的 ， 第6 页 太原理工大学硕士学位论文 强度和工作寿命。因此，应力集中问题受到工程设计者的高度重 视。降低轴的应力集中系数，提高轴的强度和寿命，在轴的设计、 制造和使用中具有重要的经济价值。长期以来，人们对降低轴的 应力集中系数做了大量研究工作，并采取了各种改善措施，收到 了一定效果。但是所使用的方法，多数由经验或试验而来，很难 获得最佳效果。例如在轴的传统设计方法中，考虑到加工的可能 性，对其截面突变处的过渡部分采用圆角，在一定程度上减缓了 应力集中，但这种方法盲目性较大，往往达不到满意的结果。随 着计算机的普及应用和数控机床的广泛使用，计算机辅助设计和 制造( c a d c a m ) 给轴的设计和制造带来了极大的方便，使轴 的变截面的过渡部分采用合理曲线以达到减小应力集中的最佳效 果成为可能。本文从降低应力集中系数出发，把边界元法与优化 方法相结合，对轴应力集中处的过渡曲线进行优化，并通过实验 进行检验，得到了比较令人满意的结果。 边界元法是一种先进的数值计算方法，这种方法的优点在于 它可降低问题的维数，分析问题时只需对边界进行离散，所得的 核函数为精确解，因此精度较高。由于应力集中多发生于边界， 所以采用边界元法作为分析工具进行旨在减小应力集中形状优化 问题的研究。基于轴的几何对称性这一特点，采用边界元法对此 进行形状优化，显示出了其独特的优势。它将实际的三维问题转 化为一维问题处理，为利用计算机编程计算带来极大方便。 多年来，由于实验手段滞后的原因，对优化设计的研究仅局 第7 页 太原理工大学硕士学位论文 限于理论领域，本文正是由此出发，希望能给以前的优化工作做 一些有益的补偿，进而给以后的优化工作做一些有益的启迪。 第二节形状优化设计在机械设计中的应用 结构优化包括结构尺寸优化和形状优化两部分。结构尺寸优 化已经是一个比较成熟的领域，在工程中获得了广泛的应用，并 取得了很好的效果。但是形状优化在结构优化设计中属于高层次 的新问题，起步较晚，取得的成果也比较少。主要有以下两方面 的原因：一方面是在形状优化过程中，由于物理模型在不断改变， 要保持足够的分析精度，就必须随时对物理模型进行修正，即单 元的重划分和细化分。另一方面是由于形状优化所得到的刚度矩 阵和设计变量之间的非线性关系，应力矩阵是设计变量的隐函数， 所以计算设计变量的敏度，要比尺寸优化更加困难，计算量也大 得多。但是在许多工程设计问题中，形状优化要比尺寸优化更加 重要和有效。近年来形状优化的迅速发展，反映了结构分析和优 化方法的曰益成熟，同时也指出了改变形状对改进结构性能和功 能的有效性。 第三节边界元法进行形状优化设计对机械设计产 生的影响 有限元法发展较早，己拥有相当完善的程序系统，如s a p 6 、 a d i n a 等。因而前些年的形状优化设计大都是用有限元法作为分 析手段，但是有限元法迸行形状优化有以下缺点：一、当几何形 第8 页 太原理工大学硕士学位论文 状改变时，须重新定义有限元网格，比较困难：二、因为形状优 化设计的梯度信息仅与结构件的边界有关，故用有限元法计算精 度不高。 边界元法是随着计算机技术的发展，在计算力学领域出现的 一种较新的计算方法。它是用控制微分方程的基本解建立起相应 的边界积分方程，再对积分方程结合边界的划分而得到离散算式。 因为它具有降维、计算精度高，需要准备的数据少等特点，近年 来得到了迅速的发展，广泛应用于工程中的各个领域。 形状优化只需改变结构的边界，而边界元法的固有特点正好 满足形状优化所需条件。由此可见，把边界元法与形状优化这两 个平行发展的领域结合起来研究将具有广阔的发展前景。 目前，利用边界元法进行形状优化的研究已经取得了一定的 效果，已拥有一大批实用软件相继问世，针对各种结构的形状优 化分析已有诸多论述，如m o t as o a r 用边界元法对轴截面形状进 行了优化，之后，m o t a 和o l i v e i r a 又采用同样的方法对实心轴 和空心轴的截面进行了形状优化。再后来，对平面问题及平板问 题、轴类零件轴肩及退刀槽处的过渡曲面问题等都有专门论述。 从收集到的国内外资料看，边界元法形状优化仍属于工程设 计中的前沿领域课题，研究任务还很重。 第四节实验验证的重要性和必要性 用边界元法进行形状优化的研究在理论方面已有诸多论述。 但在实践检验方面的论述却很少，这与实验分析力学的发展水平 第9 页 太原理工大学硕士学位论文 有很大关系。 再完善的理论都不能仅从理论的领域承认其完善，必须通过 实践来检验，若检验结果与理论证明结果相符，则说明理论具有 完善性，若检验结果与理论证明结果不相符，则说明理论还需进 一步完善。 同样由于我们的检测手段的滞后，导致对一些理论证明的结 果难以准确验证，但这只是一个分阶段持续发展的问题，最终任 何理论性的内容都必须进行实践检验会有实用价值。因此，用实 验分析力学的方法来检验用边界元法对轴类零件的形状优化效果 具有重大意义。 第五节实验应力分析的现状 实验应力分析是利用实验的手段对构件或结构物进行应力、 应变分析，它是基础理论和工程技术相结合的- 1 7 学科。实验应 力分析手段很多，有光测法、电阻丝应变片测量法、脆性漆层法、 模拟法及声发射法等。目前，发展得较快又较普遍的实验方法是 电测法和光测法。 电测法是借助于电子仪器，将应变这一非电量，转为电量的 一种测试方法。它可以用于现场测定和模拟测定。现场测定是完 全在生产实际的真实客观情况下进行的，因此测得的数据反映了 构件内应力分布的实际情况和规律，这种测试法比其它测试法更 直接，这是电测法的最大优点。其次，电测法可用于各种复杂环 境下的测试，如高温、高压、液中、混凝土中、旋转物体等等情 第1 0 页 太原理工大学硕士学位论文 况下的静、动态应变测量，还可用于远距离遥测，并能自动记录 和自动分析处理数据。根据需要可制成各种传感器，测定多种力 学参量，如力、压力、位移、速度和加速度等。可是，用电测法 仅能获得应变片所在位置处的应变平均值，对了解应力全貌及应 力集中情况尚有不足之处。电测法也常用于结构的模拟实验，利 用相似理论可解决不少力学上的问题。由于模型可以比实物小很 多倍，常以模型实验作为补助手段，帮助分析。 光测法是一门进行应力、应变和位移分析的实验技术学科， 其实质是应用光学的基本原理，以实验方法去研究物体中的应力、 应变和位移等力学问题。这个方法是本世纪三十年代初期兴起的， 当时只限于在材料的弹性范围内分析物体内的应力和应变状态， 故称光弹性法。鉴于这种方法首先得到的力学未知数是应力分量， 考虑到与弹性力学相呼应，故称为光弹法。这个方法的最大优点 是能了解弹性体( 结构物) 内应力分布的全貌，特别能方便地获 得边界上的应力，而工程上构件内的最大应力，往往就发生在构 件的边界上，所以用光弹性法来解决这些问题是非常有利的。并 且，光弹性法能清晰地反映出应力集中的情况。当对结构设计进 行方案比较时，采用光弹性法也比较适合。六十年代初，激光器 的出现极大推动了光弹性法。目前，这种方法早已超出了弹性的 范围而应用于非弹性体中。并且使研究范围迅速扩大，增添了许 多新的内容。不仅在以测应力为主的光弹性法的范围内，迅速兴 起了全息光弹性法和散光光弹性法，而且，还超越光弹性法的范 第1 1 页 太原理工大学硕士学位论文 畴，出现了以测位移为主的全息干涉法、散斑法及云纹法和焦散 线法等。我们把后面这些以测量位移为主的方法称为现代光测力 学法。 本文在实验方案选择时，考虑到实验条件的局限，拟采用了 电测法作为实验手段。因为，光弹性法中模型的制作中要求比较 严格，要求使用浇铸环氧树脂三维光弹性模型，由于其立体模型 固化周期长，需加少量的催化剂二甲基苯胺。在我们现有的条 件下一时难以实现该要求，故放弃了光弹性法。 第六节本文的研究内容 本文的主要内容有如下三部分： 一、 利用三维弹性力学问题的边界元法的基本原理和形状 优化的算法原理，对旋转轴轴肩过渡曲线进行形状优 化，得到理论最佳形状。并计算出各种结构中的最大 应力集中系数。 二、 根据理论研究结果，设计实验实体模型，并经加工制 作。 三、 用电测法对实体模型进行测试，检验其应力集中系数 在优化前后的变化情况，对实验数据进行处理，得出结 论。 第1 2 页 太原理工大学硕士学位论文 笫二耄三维弹性力学问题的边界元法 边界元法是在经典积分方程的基础上吸收了有限元法的离散 技术而发展起来的计算方法。从计算格式的过程看。主要有两个 方面，一是问题的边界化，即将给定区域的定解问题化为可以只 考虑边界的问题。这一步的关键是格林公式( g r e e n ) ，这是边界 元的基石。另一个是边界元的离散化。单就离散的技术而言，与 有限元法没有多大区别。由于只对边界离散，因此计算误差只来 源于边界上。这就使我们将减少误差的注意力集中在了边界上。 第一节边界积分方程及基本解 2 1 1 弹性力学问题的基本方程 设一弹性体结构所占区域为o ，q 的边界为r ，r = f pu l ， 在边界。上给定位移以，在边界f p 上给定了表面力p ，。 根据弹性理论，若弹性体处于平衡状态，则弹性体内任一 点位移，、应变知、应力必须满足下述基本方程： 1 平衡微分( n a v i e r ) 方程 + 岛2 0 ( 2 一1 ) 2 几何方程( c a u c h y 方程) s 5 ( f 。，十，f ) ( 2 - 2 ) 3 ) 物理方程( h o o k e 定律) 第1 3 页 太原理工大学硕士学位论文 仃f ，j = 2 g o 口+ 2 g r ( t 一2 r ) s nd 口 ( 2 3 ) 在弹性体边界上应满足边界条件： p l = p j ( 在r 。上) ( 2 4 ) u ，= u l ( 在l 上) ( 2 5 ) 式中，毛为克罗内克尔符号，当i ，时，嘞2 0 ；当f j 时， 毛。1 。 其中， f ，_ ，= 1 ，2 ，3 是三个直角坐标轴的方向， 莩鼍，铲篝一= 2 1 2 边界积分方程及基本解 求解弹性力学问题的边界元法，有边界积分方程间接法和边 界积分方程直接法。边界积分方程间接法涉及的边界积分方程是 一个以弹性体边界上虚拟的分布力强度为未知函数的积分方程， 在求解上述积分方程后，不能直接得到边界上的位移和面力分量， 而是间接地通过边界上虚拟的分布力强度与边界上的位移和面力 之间的积分关系来求得位移和面力。边界积分方程直接法涉及的 边界积分方程是一个以弹性体边界上客观实在的物理量( 如位移 分量和面力分量) 为未知函数的积分方程。通过求解这个边界积 分方程，可以直接得到边界上全部位移和面力的分布，然后通过 求解弹性体内部位移，应力与边界上的位移，面力之间的关系， 求得弹性体内部的位移与应力，本文采用边界积分方程直接法。 第1 4 页 太原理工大学硕士学位论文 在边界单元法中，边界积分方程的建立是一个关键的问题。 一般地，是利用加权残数法、格林公式法，或b e t t i 互换定理和 弹性力学平衡微分方程的基本解来导出弹性体内部任意点处的位 移、应力与弹性体边界上位移、面力之问的关系，然后，据此导 出边界上位移与面力之间的约束关系边界积分方程。 由b e t t i 互换定理导出的弹性体内部任意点处的位移与弹性 体边界位移、面力之间的关系，即s o m i g l i a n a 位移方程，在不计 体积力的情况下为： “( 孝) 。l 心( 舌，x ) n ( x ) 盯( x ) 一珊( 孝，x ) a x ) d r ( x ) ( 2 6 ) 式中p 为弹性体内的任一点，心g ，x ) 及p 口g ，x ) 是以告为单 位力点，x 为域点的开尔文解。其物理意义为在 点作用一沿i 方 向的单位集中力而在x 处引起的j 方向的位移和表面力。 对于三维弹性体问题，其k e l v i n 形式的基本解为： 比g ，x ) 2 而而1 而 ( 3 山蜿+ 吩r ，) p ；g ，x ) = 丽- 1 功战地力 ( 1 砌概啪) ) 式中 惑& ) 喝g ) o r n 嘶2 瓦两2 寸 n ，为边界f 的外法向单位矢量在坐标i 方向上的投影。 第1 5 页 ( 2 7 ) 太原理工大学硕士学位论文 对于式( 2 6 ) ，考虑t 位于边界上的情形，根据其区域和基 本解的特点，可导出如下的只包括边界上位移和面力的方程，即 边界积分方程： c 。皓皓) + l p ；皓，x n ，( x 弦( x ) = l 卢；g ，x ) p ，( x ) 订( x ) ( 2 8 ) 式中，系数c 。皓) 为边界面几何特征参数，对于光滑边界 悖) = 1 2 6 , f 由式( 2 6 ) 知，如果边界上的位移分量和面力分量均被确定的 话，则可求得弹性体内部任意点处的位移分量，进而求得应力分 量。但是，许多实际问题往往不可能在全部边界上同时给出边界 位移值和面力值，所以，利用式( 2 8 ) 求得边界上未知的面力和 位移就是首要的一步。 第二节离散化与解法 2 2 1 离散化形成线性方程组 边界积分方程离散化时，将所考虑对象的区域的边界分割成 有限个边界单元，用这些单元来表示边界的形状和单元的函数值。 三维问题对象的边界一般是曲面，离散化时应采用二维单元， 通常，二维单元分为三角形单元和四边形单元两类。 单元上任一点的坐标，位移和表面力可用插值函数表示为： x = w 7 x ” u = 西7 u “ p = 0 7 p 一 ( 2 - 9 ) 第1 6 页 太原理工大学硕士学位论文 式中，x = ( x 。，x ：，x ，) 7 ，u = 妙。，u ：，u ，) 7 ， p = ( 只，忍，只) 7 ，分别为单元上的整体坐标位移和表面力，v 、中 为插值函数矩阵，n 、1 1 1 为插值点数，取m n ，x “，u “，p 。分别为 单元插值节点的整体坐标，位移和节点力。 定义： u iu i 2 【，三旧：弓：只：i u + = 阵，u ；：吒l ，p = 瞄呓呓 ( 2 1 0 ) f u ；。嵋ju 三ik 焉f 式( 2 8 ) 可写成如下矩阵形式： c u + p u d f = 妒p 西 ( 2 1 1 ) 对于离散化的边界元模型，把( 2 ，9 ) 代入( 2 1 1 ) 式，得到任一节 点的志程：。 c u + 兰j = l f f p - - 7 订”= 善( 髟+ 。7 订 p ” c ：一，。， 式中，n e 为边界单元总数，0 为第j 个单元边界，f = 芝， 式中的积分采用高斯数值积分法在局部坐标系下进行计算，因此 有： d r = f j d r l j d ，7 2 ( 2 13 ) 这里，j 是整体坐标转化为局部坐标的j a c o b i 转换矩阵，其 行列式的值 l ，l = ，2 + g ：2 + 9 3 2 ( 2 - 1 4 ) 式中， 一o x 2 堕一堡里 6 1 a 7 a 叩2d 刁2a 叩l a x 3 般i 勰l 以3 9 22 亡i 一：2 ： d 强疗r 1 2秽玎i 秽玎2 强la x 2o x 2 钗1 9 32 j 。2 ：一_ 2 = o d 玎io r l z a r l l0 蟹2 第1 7 页 “+ 糍乩咖吼雌翰朋唑， 喈哥啄扎。， ih i it t l 2 h l f l 曰：，日： 胃：； 旧 1 日 2 h lg 1 1g 1 2 g 1 f l g 2 lg 2 2 g 2 ， = l ： ： i 。 。 l g 肿lg p 2 g p 3 式中，h “= h i i + g 。 第1 8 页 g 。i fe g ：，1 1 只 ! | 1 ； g 。i 【p p ( 2 1 7 ) u巩? 太原理工大学硕士学位论文 式( 2 1 7 ) 可简化表达为 h u = g p( 2 1 8 ) 应用边界条件( 2 4 ) 和( 2 5 ) ，重新排列方程，将已知量放到右 边，得到列阵f ，将未知量和相应系数移到左边得到列阵x 和系 数矩阵a ，则原方程( 2 1 8 ) 可表达为： a x = f( 2 1 9 ) 求解( 2 1 9 ) 式即得边界节点的位移和面力。 2 2 2 线性代数方程组的解法 用边界元法解边界积分方程形成的线性代数方程组( 2 1 9 ) 的系数矩阵a 是个非对称满秩矩阵，这在一定程度上限制了边 界元法的解题规模。所以探求合适的大型满系数非对称线性代数 方程组的解法是边界元的一个重要课题。我们采用高斯约当 直接消去法的拟波解法。这种方法可减少存储单元，从而扩大解 题规模，提高积分效率。 其算法原理为： 对于方程组( 2 1 9 ) ，设a 是n x n 阶非对称满系数矩阵，即； 蝌a g ) f 口g ) n 磐 i i； 切口2 e ( 。) f 挚 ! 碍o ) ( 2 2 0 ) 其中各上标( o ) 表示消去时的初始值。 设对上式已完成了前k 一1 个方程的形成及消元过程，并已形 成了第k 个方程，则对第k 行和第k 列的消元过程如下： 第1 9 页 x x x 押搿；础 太原理工大学硕士学位论文 i 1 n a 0 。1 l 1 1 n “l t i ： ： j 。 k 盅) 口磐口盘) 盘2 e ( “1 1 一“) l 2 ： ( 2 - 2 1 ) 碰j a ：消行：让i 个步骤( i - 1 ，2 ，k 一1 ) 。窖) = 0曩j ) = ”一a e ( “1 ) 口2 = n 2 - “一口铲4 j = 七，k + l ，n( 2 2 2 ) 第k 个步骤( i = _ | ) 口) = 1磷) = f ( “口 口g = “a “( * - o 口塞。j = k + l ，k + 2 ，”( 2 2 3 ) b ：消列：让i 个步骤( i _ 1 ，2 ，k - 1 ) 口) = 0e ( ) = 鼻( “) 一日) 口；口一口1 口g ，= k + l ，k + 2 ，”( 2 2 4 ) 如果在第k 行第k 个步骤遇有口。= 0 ，则在该行中选绝对值 最大的元素作主元，并互换其列，直到k = 2 时便可得方程组的解。 第三节单元形式及插值方法 边界积分方程离散化时，单元类型的选择与划分是影响离散 模型误差的重要因素。因此对于不同的结构，不同的设计，应选 择与之相适应的单元形式来逼近真实结构。鉴于三维弹性结构体 中，大部分结构的曲面是二次曲面，而且处于复杂的应力状态， 本文选择了四边形八节点等参单元，如图2 - 1 所示。 第2 0 页 太原理工大学硕士学位论文 4 图2 - 1 八结点四边形等参单元 冥中，八结点心边彤等参单兀的摘值函数为： 中，= 1 4 ( 1 7 7 1 ) ( 1 一r 2 x 一町。一r ：一1 ) 中2 = 1 4 ( 1 + 7 7 。x 1 7 7 2 ) 白。一可：一1 ) 中3 = 1 4 0 + r h x l + ，7 2 l + 7 7 2 1 ) 中。= 1 4 ( 1 7 7 1 x l + 叩2 x 一卵，+ 叩：一1 ) 中，= 1 2 ( 1 一r 2 x 1 一叩：) 中。= 1 2 ( 1 7 7 ；x 1 7 7 ：) 中，= 1 2 ( 1 7 7 ：x 1 + 7 7 ：) 。= 1 2 ( 1 7 7 ；x 1 一叩。) ( 2 2 5 ) 则 u i = 九u ? x ；= 识霹 ( 2 2 6 ) 其中，叫，掣，霹分别为单元上第七个节点i 方向上的位移， 面力和节点整体坐标。 核函数积分 第四节核函数积分 第2 1 页 太原理工大学硕士学位论文 f p v i j l d 7 7 - d r ? z 髟妒怫町- d r ： 2 。2 7 的计算效率和精度直接影响着边界元应力分析的效率和精度，对 于三维边界元分析程序尤其如此。因此，选择适当的数值积分方 法，既能有较高的积分精度又不需要增加很大的计算机时，在边 界元法分析中占有重要的地位，本文中，对于非奇异核函数积分， 采用标准高斯数值积分法。 2 4 1 高斯积分点数的选择 高斯积分点数的选择是影响高斯积分效率的关键参数。 二维高斯积分的误差上界为： l f l i ，厂。弦叩，咖：一善k l 蔷k lw i c k , ) 叫硝，6 7 ”川p 1 2 耋q 巩 其中 q 2 再4 阿 降阻删，： ( 2 2 8 ) 考虑l 1 x l 2 的矩晖积分单兀，单兀j 是常数，取p 的主项 1 r 代替实际的被积函数 2 2 k a f 2 2 k ，一2r 却、巩 一一f l 2 醒k 2 r 2 k i a 巩- j 考虑毒s 乞，z ，设从奇点到单元r j 的最小距离为 r ，则 第2 2 页 太原理工大学硕士学位论文 蚤。= ( 2 k + 1 ) ! - 2 , ，2 k a 假设积分在二个方向的精度相同，即c ，日。= c 2 h ：，由积分 中值定理： “1 r 2 d r l 。d r ：= 4 ，2 6 7 7 ，坑) 用上界4 p , 来代替实际积分，便得到由控制相对误差来选择 k 的公式。 ( 2 k 。+ l x 乞4 r ) 2 ks c 口= 1 , 2 ( 2 2 9 ) 其中，c 为一个很小的正实数。 可见，积分点数的选择与被积函数的阶数有关，与原点到积 分域的距离有关。 2 4 2 奇异积分的处理 由上面高斯积分点数的选择可知，当奇异点到单元的距离 很小时，高斯积分点k 需要很大，这在计算中是不可能实现的， 即所谓的奇异积分。奇异积分的适当处置是改善高斯积分精度和 效率的另一有效途径。 目前，国内有如下三种外处理奇异积分方法： ( 1 ) 子单元法，即将数奇异积分单元她分成若干个子单 元，在每个子单元上利用标准的高斯数值积分，在 奇异点附近分配较密集的高斯积分点，使精度提 高。显然，这种方法的效率仍很低。 ( 2 ) 非线性多项式转换技术。这种方法是利用非线性多 项式转换技术，使高颠点位置自动向源点默返聚 集，而在距源点距离大的地方，高斯点自动减少， 第2 3 页 太原理工大学硕士学位论文 在不增加高斯点数的情况下，可以提高高斯积分的 精度。 ( 3 )对1 r 阶、1 r 2 阶奇异积分分别处理，这也是本文 所采取的处理奇异积分的方法，基本原理如下： 1 、对1 r 阶奇异积分采用划分子单元进行坐标变换来消除 如图2 2 所示，对奇点在单元内“l ”号结点时： 对三角形卜3 4 有： r 。= 1 2 0 + 舌。x 1 + 毒：) 一1 7 7 2 = 告2 廿矧= m v 2 对三角形卜2 3 有： r l = 炙 即：= ( 1 - 鲁x 1 + 善：) 1 2 1 ，。= ( 1 + 孝：) 2 8 ( 2 3 0 ) 喈) 他l ：( 1 鹄) 2 ( 2 - 3 1 ) 1 j 图2 - 2 坐标变换 第2 4 页 ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) 太原理工大学硕士学位论文 8 15 2 图2 - 3 坐标变换 如图2 3 所示，当奇点在“5 ”号节点时 三角形单元， 三角形5 4 一i 有： 叩。= - 0 ) 1 2 叩：= ( 1 + 氧x 1 + 孝：) 2 1 = 0 + 彘) 4 三角形5 2 3 有： 7 7 。= ( 1 + 色) 2 ，7 ：= o - 氧x 1 + 芭) 一i 以= 0 + 毒：) 4 三角形5 3 4 有： 7 7 。= 掌。( 1 + 乞) 2 ，玎：= 毒： 第2 5 页 将单元划分成三个 ( 2 - 3 4 ) ( 2 - 3 5 ) ( 2 - 3 6 ) ( 2 - 3 7 ) 太原理工大学硕士学位论文 j 。= ( 1 十芭) 2 ( 2 3 8 ) 同理。奇异点出现在其它节点时，也可写出类似的坐标变换 关系。 2 、对l 胪阶奇异积分，采用将一组单位刚体位移作为特解 代入边界积分方程中而消除。 第五节应力计算 由边界积分方程求出边界节点的未知位移和面力后，就可求 出弹性体内任一点的应力。 2 5 i 边界的应力 因为 只= 盯d o( 2 3 9 ) o j = 篙叫蚶+ g 一u 川) ，2 ，3 ) ( 2 - 4 0 ) 将( 2 4 0 ) 代入( 2 3 9 ) ，有： 高n j u t u i , j + h i = 鲁( 2 - 4 1 ) 。丝：盟坠+ 盟堕+ 塑坠 ，砭a 叩lo x la 叩ia x 2a 叩1a x 3 a 7 7 1 ( 2 4 2 ) 塑：塑坠+ 一a u i 一o x 2 + 一o u j 堕 a 可2i i a 叩2 x 2a 叩2a x 3a 卵2 联立( 2 4 1 ) ，( 2 4 2 ) 得到 陋】 y ) = p 第2 6 页 f 2 4 4 ) 哪 、严堕玛 塑塑甄堕堕堕甄堕 堕堕鹤，1 记协 太原理工大学硕士学位论文 其中 阱j 旦墨旦盟一o u , o u 2 一o u 2 一o u 3 一o u 3 。【g g g a 叩la 叩2a 7 7 la 叩2a 即la 玎2j 矩阵陋】为 n ：吩一：尚”o n ，o”2”3阼2 1 i 。：三i ”l u ”3 u ”1 0 ”1 0 ”1 0 0 x 2 0 x 3 0 a 玎la 叩1 oo o x 1 却 000 o x 2 却2 o x 3 a 印2 00 oo o o x l 却2 0 2 2 v 1 2 v 2 v = 万 o a x 2 却。 o o ”3 0 h 3 n 2n ln 2 000 堡00 口仇 。坠一o x 2 a 叩】a 7 7 l ooo _ o x 2 当o o d 玎2o r b 0o o x 1 0 x 2 a 印2a 叩2 解7 i 程( 2 4 4 ) 求得( y ) 后代入( 2 4 0 ) ， 应力，( 2 4 0 ) 用矩阵表示为： 解方程( 2 4 4 ) 求得) 后代入( 2 4 0 ) ， 应力，( 2 4 0 ) 用矩阵表示为： p = 【c 】扫 其中 扛) = p ，仃。：，盯：，盯：。，0 3 ，盯。 7 第2 7 页 可求得边界上任点的 可求得边界上任一点的 n n n l“l孙旦”o o甄一概o o 一慨 卫砌旦出生砌。 。坠舰。 。弧一 太原理工大学硕士学位论文 j 堡0o0 1 1 - 2 v l 0g0g 剐苦 1 0000 l 00g0 巴ooo l l 加 边界节点应力取节点所属单元在该节点应力的平均值，即 仃黔丽1 善m e 瞄 ( 2 - 4 5 ) 为单元e 节点k 对应的单元节点应力，m 。为围绕节点 k 的单元数。 2 5 2 内点应力 由体内任一点的位移方程( 2 6 ) 、“咖，方程( 2 2 ) 和1 4 0 d k 定 律( 2 3 ) ，可求得体内任一点的应力方程： o - j 2f 只订一f d f ( 2 - 4 6 ) 此处= 一吒 盯五2 五丽- 两i ( 1 2 y 如，啄+ t ，瓯一。) + 矽，。( 2 4 7 ) 磁2 丽g a o 。r 【 一o - ，2 i v ，) i 咯。i l + y 以i ，+ j 水i 1 + p v 【n f i ，o + n j o o ) + ( 1 2 v ) 协t o r j + l l j t ，i k + n i s e 。) 一( 1 4 y b 。磊 式中，a = 2 ，卢= 3 ，y ：5 。 第2 8 页 到爿掣w型 o o o g o o o o o o g o o o o g o o 勋一协。拙一协o o 咖一协 太原理工大学硕士学位论文 因此，当边界节点的位移和面力已知时，可用标准高斯数值 积分求得其弹性体内点应力。 第六节边界元应力分析模块原理框图 根据以上所述，边界元应力分析程序的框图如下所示 图2 - 4 边界元应力分析程序的原理框图 第2 9 页 太原理工大学硕士学位论文 第三章形状优化的数学模型及算法 第一节数学模型的建立 对于具有可变边界r 的弹性连续体，使应力集中处应力集中 系数最小的形状优化问题就是：选择某一边界形状r 。作为1 1 。，使 弹性体应力集中处应力集中系数最小。数学模型如下： 求x ，x = x 2 ，屯) 7 m 。i n l 卜m a 。x 、l 刳) s t 绣g ) = 0i = 1 , 2 ，j g j 0 ) o j = 1 , 2 ，j( 3 1 ) 式中，b 具有可变边界l 的弹性连续体集合； r 具有某一可变边界f t 的连续体； x 设计变量向量； p 定义应力集中系数的应力标准值； d 0 )可变边界上任一点的有效应力； 吩o = o ) 边界曲线或曲面方程； g j g ) 0 对设计变量的边界约束或对弹性体的体积等几 何约束或性能约束。 如果定义p = i ，n ( 3 1 ) 式转化为极小化可变边界上最大应力 的极小或极大的形状优化问题。其离散化数学模型为： 第3 0 页 太原理工大学硕士学位论文 求x m 。i n i m 。a ，xc r ( x r ) “ 啊g ) = 0 i = 1 , 2 ，i g j 0 ) 0 = 1 , 2 ，( 3 2 ) 式中，i 弹性体表面某一离散点； ，弹性体表面指定区域内节点的集合； q 设计变量x 的取值集合。 其余符号意义同( 3 1 ) 为了避免或减小在优化过程中解的波动性，对优化过程中可 能是最大应力的节点施加应力约束。在弹性体的边界条件保持不 变的情况下，式( 3 2 ) 可转化为： 求x ，x = 仁，z ：，r m i n j f f = 盯“) 一户0 f 1 吃g ) = 0f = l ，2 ，1 g j g ) 0 ，= 1 , 2 ， ( 3 3 ) 根据强度理论，有效应力采用v o n - m i s e s 应力，在直角坐标 系中的表达式为： 盯= p i + c r 2 乏+ 盯三一o l l o 2 2 0 2 2 q 3 一c r 3 3 仃l l + 3 0 r 1 2 + 3 0 - 2 3 + 3 盯3 1 ( 3 4 ) ( f ，= 1 , 2 ，3 ) 为一点在直角坐标下的应力分量。 第3 1 页 太原理工大学硕士学位论文 第二节形状算法与网格的自动重化分 3 2 1 形状算法 根据工程中的形状优化问题都是通过离散化后转变成为一个 数字化的数学规化问题，在给定边界上所有节点的坐标，边界元 模型便完全确定了。形状算法就是将被研究弹性体的待优化边界 用设计变量和一些关键参数进行参数化，确定出其上的所有节点 的坐标，从而确定出边界元分析所需的离散模型。不同的形状算 法，便构成了不同的几何模型。常用的几何模型有：节点坐标模 型、正交多项式模型、样条函数模型、设计单元模型等。 本文主要采用三次样条函数模型，下面介绍该函数模型的应用 原理。 在区间k ，】上，给定一组插值样点 以及样- m k ：值 兀，i ，工+ 正，求作一插值函数，g ) ，使其在每个子区间 k ，z 。】( f = o ，n 一1 ) 上都是三次多项式，而在整个区间k ，t 】上 二阶连续可导，并且满足如下插值条件： ，k ) = 五，b 。) = z ，k ) = 工 ( 3 一f i ) 厂( 一o ) = ，g ，+ o ) ，1 g ，一o ) = f g ，+ o ) 厂”g ，一o ) = f 。“+ 0 ) i = 1 , 2 ，n 一1( 3 6 ) 厂k ) = a o 厂“) + p o 厂“k ) = 口。厂”g 。) + 。 ( 3 7 ) 第3 2 页 太原理工大学硕士学位论文 其中， a 。，风，口。，卢。为常数 为了作三次样条插值，取，”g i ) = m 。( f = o 1 ，”) 作为待定 参数。由于，g ) 为分段三次多项式。所以厂”g ) 为分段线性，可 表示为： 厂一g ) ：互i 兰m ，+ 三m ( 3 8 ) 以，门 式中，h = 工“1 t ，工f x 工“l ，i = 0 , 1 ，一，”一1 。 在每个区间k ，x 。】上对式( 3 - 8 ) 积分两次，利用条件 厂“) = ，厂沁+ ，) = z 。可得厂7 g ) 和s ( x ) 的表达式为： 几卜譬 簪蚧睁剐+ ( 鲁缸 ( 3 9 ) 删= 警即等h z 悟圳 如t 悟- m 。 这时插值点条件、函数本身和二阶导数的连续性均已保证， 还需要求在交接处_ ，从左b 。，z ，】到右k ，x 。】的一阶导数的连 续性， 即 厂g ，一o ) = f 瓴+ o ) ， 于是得到一一1 个方程 k ，m h 4 - 2 咖一批= a 竽一訾) 第3 3 页 太原理工大学硕士学位论文 扛1 , 2 ，”一1 ( 3 1 1 ) 联立两个边界条件( 3 - 7 ) ，即形成含有”个未知数的n 维线性 代数方程组，可表示成 d o d 1 ： d 。一l d 。 ( 3 1 2 ) 口，= h i - 1 ，b l = 2 ( f _ 1 + 啊) ，c ，= h i 扣s 譬一警卜啦，川一 ( 3 - 1 2 ) 式是对角占优的三角线带状矩阵，用追赶法求解即 可得m ，( i = 0 , 1 ，n ) ，代入式( 3 1 0 ) 和( 3 1 1 ) ，即可求得 厂。g ，) 和，k ) ，i = 1 , 2 ，n 一1 x ，弋 、 x 图3 1 函数曲线图 当曲线函数y = i ( x ) 如图3 - 1 所示时，用自变量x 的多项 式的样条插值就不太合适了，但可以采用参数表达的样条插值 第3 4 页 眠”坂 ，：【 q 吒6 o k qq o ，中 h 其 太原