（航空宇航制造工程专业论文）扭转问题的求解及扭杆横截面的拓扑优化.pdf

西北工业大学硕十学位论文中文摘要 摘要 本文以 承扭杆件横截面的拓扑优化为研究对象， 提出了复连通任意截面复 杂扭杆扭转问题的求解方法并作为优化过程中的分析方法，以扭转刚度最大化 为目 标进行扭杆横截面拓扑优化，并针对薄壁扭杆翘曲变形突出的特点，对薄 壁扭杆的扭转刚度和翘曲刚度多目 标优化问 题进行探讨。 要对扭杆进行拓扑优化，一个必要的前提的是对扭转问题进行高精度、高 效的分析。因此，本文首先根据圣维南假设下柱体扭转问题的应力函数理论， 采用空心区域材料刚度弱化思想， 提出“ 化复为单” 的有限元近似离散与计算新方 法，建立了求解具有任意横截面形状的扭杆扭转问题的二维通用有限元法。并 根据稳态热传导问题和扭转问题的控制方程的形式上的相似性，独辟蹊径，利 用现有的有限元分析软件，通过分析热场模拟求解扭转问题口数值计算结果表 明，该方法概念简单、通用性强、 适用于任意截面扭杆，是一种分析任意直杆 扭转问题的应力和抗扭刚度的有效方法。接着本文对扭杆横截面进行了拓扑优 化。以 扭转刚 度为目 标函 数， 采用实体各向同性材料惩罚函数法 ( s i m p ) 来确 定微结构的宏观性能，建立了 优化模型。选用优化准则法 ( o c ) 和基于灵敏度 信息的密度变量更新方法，采用本文提出的方法为分析求解手段，对扭杆横截 面进行拓扑优化，取得较好的效果。最后针对航空和航天结构中的薄壁扭杆件 的翘曲变形突出的特点，以平面应变问题的刚度矩阵的特征值作为衡量翘曲刚 度的参数，进行了扭转刚度和翘曲刚度多目 标组合优化，得到了具有抗翘曲 加 强肋的扭杆结构，并给出实例说明了该方法的可行性、可靠性和高效性。 关键词:扭 转 ; 横 截 面 ; 化 复 为 单 ; 模 拟 求 解 ; 拓 扑 优 化 : 扭 转 刚 度 ; 翘曲刚度;优化准则法;灵敏度;过滤 西北工业大学硕士学位论文人b s t r a c ab s t r a c t a i m i n g a t t h e t o p o l o g y o p t i m i z a t i o n o f c r o s s - s e c t i o n o f t o r s i o n b a r , t h i s p a p e r p r e s e n t s a f e m e t h o d f o r s o lv i n g t h e t o r s i o n a l p r o b l e m o f a b a r w i t h a r b i t r a ry c r o s s - s e c t i o n , w h i c h i s t a k e n a s a n a n a l y s i s t o o l d u r i n g t h e o p t im i z a t i o n , c a r r i e s o u t t h e o p t i m i z a t i o n o f c r o s s - s e c t i o n a n d i n v i e w o f t h e b a d l y d i s t o rt i o n a l d e f o r m a t i o n i n t h i n - w a l l e d b a r , d i s c u s s e s t h e m u lti - o b j e c t i v e o p t i m i z a t i o n w h i c h c o n s i d e r s t h e t o r s i o n a l r i g i d i t y a s w e l l a s d i s t o r t i o n a l r i g i d i t y t o d o t h e o p t i m i z a t i o n , a n e s s e n t i a l p r e c o n d i t i o n i s t h a t t h e t o r s i o n a l p r o b l e m c a n b e s o l v e d a c c u r a t e l y a n d e ff i c i e n t l y . s o a t f i r s t , a c c o r d i n g t o t h e s t r e s s f u n c t i o n t h e o ry , a g e n e r a l f i n i t e e l e m e n t m e t h o d h a s b e e n d e v e l o p e d f o r t h e a n a l y s i s o f t o r s i o n b a r s w i t h a r b it r a ry s h a p e s u b j e c t t o t o r s i o n a l l o a d i n g b y p r o p o s i n g t h e n e w i d e a o f t u rn m u l t i p l y t o s i m p l y . a n d b a s e d o n t h e c o m p a r a b i l i ty b e t w e e n t h e c o n t r o l l in g e q u a t i o n s o f t h e s t e a d y t h e r m a l c o n d u c t p r o b l e m a n d o f t h e t o r s i o n a l p r o b l e m , a b a n d n e w a p p r o a c h i s d e v e l o p e d w h i c h s o l v e s t h e t o r s i o n a l p r o b l e m b y a n a l y z in g t h e c o r r e s p o n d i n g t h e r m a l c o n d u c t p r o b l e m w i t h t h e e x i s t e d f i n i te e l e m e n t a n a l y s i s s o f t w a r e . n u m e r i c a l r e s u l t s s h o w t h a t t h e p r o p o s e d m e t h o d h a s t h e a d v a n t a g e o f s im p l i c i t y a n d g e n e r a l i t y i n s t r e s s a n a l y z i n g a n d t o r s i o n a l r i g i d i t y c o m p u t i n g . i t i s a n e ff i c i e n t m e t h o d s u i t a b l e t o d e a l w i t h t o r s i o n b a r s w i t h a r b i t r a r y c r o s s - s e c t io n s . s e c o n d l y , t h i s p a p e r d o e s t h e o p t i m i z a t i o n s o f t h e c r o s s - s e c t i o n s o f t h e t o r s i o n b a r s . u s i n g t h e s o - c a l l e d s o l i d i s o t r o p i c ma t e r i a l w i t h p e n a l i z a t i o n ( s i mp ) m e t h o d t o e v a l u a t e t h e m a c r o s c o p i c p r o p e rt y o f t h e m a t e r i a l , t h e b a r - s e c t i o n t o p o l o g y o p t im i z a t i o n m o d e l t o m a x i m i z e t h e t o r s i o n a l r i g i d i t y i s f o r m u l a t e d . c h o o s i n g t h e o p t i m a l i t y c r i t e r i o n ( o c ) a l g o r i t h m a n d u p d a t i n g m e t h o d o f v a r i a b l e s b a s e d o n t h e s e n s i t i v i t ie s , t h e o p t i m i z a t i o n , w h ic h u s e s t h e a b o v e - m e n t i o n e d f e m e t h o d t o s o lv e t h e t o r s i o n a l p r o b l e m , i s g i v e n a n d g o o d r e s u l t s a r e o b t a i n e d . a t l a s t , a s t h e d i s t o rt i o n a l d e f o r m a t i o n o f t h e t h i n - w a l l e d b a r s w h i c h a r e w i d e l y u s e d i n a e r o n a u t i c c r o s s - s e c t io n ; t u r n m u l t ip ly t o s i m p l y ; s im u l a t in g r e s o l v e ; t o p o l o g y o p t i m i z a t io n ; t o r s i o n a l r i g i d i t y ; d i s t o rt i o n a l r i g i d i t y ; o p t im a l i t y c r i t e r i o n ; s e n s i t iv i t y ; f i l t e r i n g . 西北工业大学硕士学位论文第 1章 绪论 第1 章 绪论 ， . ， 研究背景 结构拓扑优化设计是一门综合性的学科，需要数学、 力学和数值分析等学 科知识。 近一个世纪以 来，结构拓扑优化的研究领域不断拓展，在优化理论， 设计方法都得到了 长足发展。近年来，随着计算机性能的 大幅提高， 有限元方 法得到广泛应用， 借助于有限元分析的结构拓扑优化大量应用于工程实际中， 在概念设计阶段就得到布局 “ 最优”的初始产品，产生了巨大的经济效益。 在航空发动机、 车辆和机械设备中， 普遍使用承受扭矩载荷的轴类零件( 如 图 1 . 1 ) .因键槽、油孔、空心等设计要求，这些承扭件的 横截面往往为复杂的 复连通域，同时采用非圆截面 ( 如矩形、三角形、梅花形等) 。 如何借助计算机 和现代分析手段， 利用拓扑 优化技术， 得到最优扭杆结构， 具有一定的研究价 值。 要对其进行设计优化，首要的是精确求解这些承扭杆件的 应力、 应变状态 及抗扭刚度，另外计算效率也是一个要考虑的重要问 题。 l o we r c o p i t f t o c a r m 图 1 . 1 汽车传动系统前扭力 杆 另外，航空，航天领域承受扭矩的薄壁件大量存在，而薄壁件在扭转时翘 曲问题很突出，需要综合考虑扭转和翘曲效应.如何对薄壁承扭件进行可靠分 析， 并研究多目 标优化方法，也具有重要的实际意义。 本文首先就是要寻求能对扭杆进行快速、高效、 精确计算分析的有限元方 法，并以 此为分析基础，探讨承扭杆件的拓扑优化方法，得到典型扭杆的最优 材料布局。 本亨是国家自 然科学基金 ( 1 0 3 7 2 0 8 3 ，结构多目 标优化解的灵敏度计算与 西北工业大学硕士学位论文第 1章 绪论 第1 章 绪论 ， . ， 研究背景 结构拓扑优化设计是一门综合性的学科，需要数学、 力学和数值分析等学 科知识。 近一个世纪以 来，结构拓扑优化的研究领域不断拓展，在优化理论， 设计方法都得到了 长足发展。近年来，随着计算机性能的 大幅提高， 有限元方 法得到广泛应用， 借助于有限元分析的结构拓扑优化大量应用于工程实际中， 在概念设计阶段就得到布局 “ 最优”的初始产品，产生了巨大的经济效益。 在航空发动机、 车辆和机械设备中， 普遍使用承受扭矩载荷的轴类零件( 如 图 1 . 1 ) .因键槽、油孔、空心等设计要求，这些承扭件的 横截面往往为复杂的 复连通域，同时采用非圆截面 ( 如矩形、三角形、梅花形等) 。 如何借助计算机 和现代分析手段， 利用拓扑 优化技术， 得到最优扭杆结构， 具有一定的研究价 值。 要对其进行设计优化，首要的是精确求解这些承扭杆件的 应力、 应变状态 及抗扭刚度，另外计算效率也是一个要考虑的重要问 题。 l o we r c o p i t f t o c a r m 图 1 . 1 汽车传动系统前扭力 杆 另外，航空，航天领域承受扭矩的薄壁件大量存在，而薄壁件在扭转时翘 曲问题很突出，需要综合考虑扭转和翘曲效应.如何对薄壁承扭件进行可靠分 析， 并研究多目 标优化方法，也具有重要的实际意义。 本文首先就是要寻求能对扭杆进行快速、高效、 精确计算分析的有限元方 法，并以 此为分析基础，探讨承扭杆件的拓扑优化方法，得到典型扭杆的最优 材料布局。 本亨是国家自 然科学基金 ( 1 0 3 7 2 0 8 3 ，结构多目 标优化解的灵敏度计算与 西北工业大学硕士学位论文第 1章 绪论 品质分析方法研究)的一个部分。 1 . 2 1 . 2 . 1 国内外研究现状 扭转问题的应力、应变及扭转刚度的求解 s a in t - v e n a n t (d 在c o u lo m b 和n a v i e : 研 究的 基础上， 运用半 逆解法 解决了 柱 型杆两端受力偶作用自由 扭转问 题的正确解答。 利用s a i n t - v e n a n t 假定， 把作为 一空间问题的柱杆扭转简化为 s a i n t - v e n a n t 扭转问题，其关键是求解一个二维 l a p a l a c e 方程或二维p o i s s o n 方程的 边值问 题。 对于横截面为圆形、 椭圆形、 三 角形等特殊的杆，存在表达式简单的解析解。对于矩形和梯形截面扭杆，则可 以 采用 分离 变量法 12 1 。 此 外， 保角 变换或 变分方法也能 解决 一些特定的问 题。 p r a n d t l 运用薄膜比拟法， 解决了截面形状较复杂或不规则的扭杆的扭转问 题， 但其精度不高，而且很麻烦， 需要专门的设备。随着电子计算机性能的提高和 广泛应用， 出 现了 计算扭转问 题的 通用数值解法， 如有限 元法3 1 和边界元法。 崔 振山 4 1 等根据杆件扭转函 数应力函 数理论构造了以 横截面为求解区域的二维有 限元法，并采用虚单元和同值结点法， 解决了复连通任意复杂截面的扭转问题， 但是复连通域复杂截面边值的确定存在很大困难。 1 .2 .2承扭杆件横截面的 优化 p o l y a s 1在1 9 5 1 年证 明 了 在 所 有 横 截 面 积 相 等 的 单 连 通凸 截面 扭 杆中 ， 圆 形 截面 杆的 扭转刚度最大。 n .v b a n i c h u k 6 1对各向 异性弹性杆和均质复连通截面杆 的最优问题作了定性研究。指出， 对各向异性材料，最大扭转刚度杆具有椭圆 形截面，而且，材料各向异性越突出，椭圆截面杆相对于等横截面积圆形杆扭 转刚度的增加越大:对复连通截面扭杆，外边界的最优形状受内边界的曲率的 影响显著，如果内边界等曲率，则最优扭杆为等壁厚截面杆;如果内边界曲率 不等，则壁厚沿着内边界曲 率增大的方向减小。有限元方法广泛应用后，国外 学 者 运 用这一 工具， 对 扭 杆 截 面的 拓扑 优 化做了 大量 研究。 y o o n y o u n g k i m和 t a e s o o k i m 7 1 对扭杆截面的 拓扑 优化进行了 较为全面的 论述，并首次对薄壁扭 杆 进行 拓扑 优化。 q in g l i 和g r a n t p . s t e v e n 等s 运用进 化方 程优化方 法， 基于 等 应力的观点，对纯扭载荷下的矩形、十字形、花键等结构的横截面进行拓扑优 化。 西北工业大学硕士学位论文第 1章 绪论 品质分析方法研究)的一个部分。 1 . 2 1 . 2 . 1 国内外研究现状 扭转问题的应力、应变及扭转刚度的求解 s a in t - v e n a n t (d 在c o u lo m b 和n a v i e : 研 究的 基础上， 运用半 逆解法 解决了 柱 型杆两端受力偶作用自由 扭转问 题的正确解答。 利用s a i n t - v e n a n t 假定， 把作为 一空间问题的柱杆扭转简化为 s a i n t - v e n a n t 扭转问题，其关键是求解一个二维 l a p a l a c e 方程或二维p o i s s o n 方程的 边值问 题。 对于横截面为圆形、 椭圆形、 三 角形等特殊的杆，存在表达式简单的解析解。对于矩形和梯形截面扭杆，则可 以 采用 分离 变量法 12 1 。 此 外， 保角 变换或 变分方法也能 解决 一些特定的问 题。 p r a n d t l 运用薄膜比拟法， 解决了截面形状较复杂或不规则的扭杆的扭转问 题， 但其精度不高，而且很麻烦， 需要专门的设备。随着电子计算机性能的提高和 广泛应用， 出 现了 计算扭转问 题的 通用数值解法， 如有限 元法3 1 和边界元法。 崔 振山 4 1 等根据杆件扭转函 数应力函 数理论构造了以 横截面为求解区域的二维有 限元法，并采用虚单元和同值结点法， 解决了复连通任意复杂截面的扭转问题， 但是复连通域复杂截面边值的确定存在很大困难。 1 .2 .2承扭杆件横截面的 优化 p o l y a s 1在1 9 5 1 年证 明 了 在 所 有 横 截 面 积 相 等 的 单 连 通凸 截面 扭 杆中 ， 圆 形 截面 杆的 扭转刚度最大。 n .v b a n i c h u k 6 1对各向 异性弹性杆和均质复连通截面杆 的最优问题作了定性研究。指出， 对各向异性材料，最大扭转刚度杆具有椭圆 形截面，而且，材料各向异性越突出，椭圆截面杆相对于等横截面积圆形杆扭 转刚度的增加越大:对复连通截面扭杆，外边界的最优形状受内边界的曲率的 影响显著，如果内边界等曲率，则最优扭杆为等壁厚截面杆;如果内边界曲率 不等，则壁厚沿着内边界曲 率增大的方向减小。有限元方法广泛应用后，国外 学 者 运 用这一 工具， 对 扭 杆 截 面的 拓扑 优 化做了 大量 研究。 y o o n y o u n g k i m和 t a e s o o k i m 7 1 对扭杆截面的 拓扑 优化进行了 较为全面的 论述，并首次对薄壁扭 杆 进行 拓扑 优化。 q in g l i 和g r a n t p . s t e v e n 等s 运用进 化方 程优化方 法， 基于 等 应力的观点，对纯扭载荷下的矩形、十字形、花键等结构的横截面进行拓扑优 化。 西北工业大学硕士学位论文第 1章 绪论 品质分析方法研究)的一个部分。 1 . 2 1 . 2 . 1 国内外研究现状 扭转问题的应力、应变及扭转刚度的求解 s a in t - v e n a n t (d 在c o u lo m b 和n a v i e : 研 究的 基础上， 运用半 逆解法 解决了 柱 型杆两端受力偶作用自由 扭转问 题的正确解答。 利用s a i n t - v e n a n t 假定， 把作为 一空间问题的柱杆扭转简化为 s a i n t - v e n a n t 扭转问题，其关键是求解一个二维 l a p a l a c e 方程或二维p o i s s o n 方程的 边值问 题。 对于横截面为圆形、 椭圆形、 三 角形等特殊的杆，存在表达式简单的解析解。对于矩形和梯形截面扭杆，则可 以 采用 分离 变量法 12 1 。 此 外， 保角 变换或 变分方法也能 解决 一些特定的问 题。 p r a n d t l 运用薄膜比拟法， 解决了截面形状较复杂或不规则的扭杆的扭转问 题， 但其精度不高，而且很麻烦， 需要专门的设备。随着电子计算机性能的提高和 广泛应用， 出 现了 计算扭转问 题的 通用数值解法， 如有限 元法3 1 和边界元法。 崔 振山 4 1 等根据杆件扭转函 数应力函 数理论构造了以 横截面为求解区域的二维有 限元法，并采用虚单元和同值结点法， 解决了复连通任意复杂截面的扭转问题， 但是复连通域复杂截面边值的确定存在很大困难。 1 .2 .2承扭杆件横截面的 优化 p o l y a s 1在1 9 5 1 年证 明 了 在 所 有 横 截 面 积 相 等 的 单 连 通凸 截面 扭 杆中 ， 圆 形 截面 杆的 扭转刚度最大。 n .v b a n i c h u k 6 1对各向 异性弹性杆和均质复连通截面杆 的最优问题作了定性研究。指出， 对各向异性材料，最大扭转刚度杆具有椭圆 形截面，而且，材料各向异性越突出，椭圆截面杆相对于等横截面积圆形杆扭 转刚度的增加越大:对复连通截面扭杆，外边界的最优形状受内边界的曲率的 影响显著，如果内边界等曲率，则最优扭杆为等壁厚截面杆;如果内边界曲率 不等，则壁厚沿着内边界曲 率增大的方向减小。有限元方法广泛应用后，国外 学 者 运 用这一 工具， 对 扭 杆 截 面的 拓扑 优 化做了 大量 研究。 y o o n y o u n g k i m和 t a e s o o k i m 7 1 对扭杆截面的 拓扑 优化进行了 较为全面的 论述，并首次对薄壁扭 杆 进行 拓扑 优化。 q in g l i 和g r a n t p . s t e v e n 等s 运用进 化方 程优化方 法， 基于 等 应力的观点，对纯扭载荷下的矩形、十字形、花键等结构的横截面进行拓扑优 化。 西北工业大学硕士学位论文第 1章 绪论 薄壁闭合杆、 梁， 箱体等结构由于重量轻， 刚度大而在汽车， 航空航天和 建筑领域大量使用。相对开口薄壁件，闭合薄壁件的变形要复杂得多。在扭转 载荷作用下， 翘曲 变形相当严重。对薄壁件进行横截面拓扑优化时，必须考虑 翘曲 刚 度。 国 内 的 杜 伦平 14 1 、 张元 海 ” o f 、 谢 旭 f , 11 、 刁 海林 0 2 1等 对薄 壁 件的 扭 转 翘曲 特性及应力计算方面进行了探讨，但没有系统的阐述，同时也没有做优化 方 面 的 研 究。 国 外的j i n h o n g k im和y o o n y o u n g k im l 114 1d 5 1 对 薄 壁 结 构 扭 转 问 题进行了系统研究， 指出翘曲 变形能可以通过平面应变问 题的特征值来反映， t a e s o o k im 和y o o n y o u n g k i m 16 3 综 合 考 虑了 扭曲 刚 度 和 翘曲 刚 度， 对 薄 壁 扭 件 进行拓扑优化。 1 . 3 研究内容和目的 1 .3 . 1研究内容 1 .掌握杆件的s a in t - v e n a n t 扭转问 题的基本原理及应力函数理论。 2 .掌 握二 维 热 传导的问 题的l a p a l a c e 方 程及 边 值问 题 意 义， 并 通过 热问 题的 求解来解决相应的扭转应力函数问题。 3 .掌握数学优化和拓扑优化的相关理论，并选择合适的优化算法。 4 .通过热场和平面应变问题的特征值的祸合分析，进行薄壁扭杆横截面的 扭、翘组合拓扑优化。 1 .3 .2研究方案 利用s a i n t - v e n a n t 假定， 把作为空间问 题的 柱杆扭转简化为s a in t - v e n a n t 扭 转问 题， 根据 应力函 数 理 论， 求解 一 个二 维l a p a l a c e 方 程的 边 值问 题。 这 里 用 现有有限元软 件如a n s y s 求解， 但是应力函数并非可以 直接加载的物理量， 在 结构分析模块边值条件无法施加。 考 虑到二 维热 传导问 题也是同 样形式的l a p a l a c e 方 程及 边值问 题， 且方程 中的待求量为 温度， 有明确的物理意义， 边值可以 直接固定。因此，只要找到 二者的对应关系，就可通过热场的求解得到扭转应力函数的分布，从而确定扭 转问题的应力、应变以及扭转刚度. 扭 杆 横 截 面 的 拓扑 优 化采用 实 体各向 同 性材 料惩 罚 函 数 法( s i m p ) 1 l8 1 ， 把 横截面区 域离散为单元， 同一单元内 材料特性相同， 伪材料密度作为优化变量。 西北工业大学硕士学位论文第 1章 绪论 薄壁闭合杆、 梁， 箱体等结构由于重量轻， 刚度大而在汽车， 航空航天和 建筑领域大量使用。相对开口薄壁件，闭合薄壁件的变形要复杂得多。在扭转 载荷作用下， 翘曲 变形相当严重。对薄壁件进行横截面拓扑优化时，必须考虑 翘曲 刚 度。 国 内 的 杜 伦平 14 1 、 张元 海 ” o f 、 谢 旭 f , 11 、 刁 海林 0 2 1等 对薄 壁 件的 扭 转 翘曲 特性及应力计算方面进行了探讨，但没有系统的阐述，同时也没有做优化 方 面 的 研 究。 国 外的j i n h o n g k im和y o o n y o u n g k im l 114 1d 5 1 对 薄 壁 结 构 扭 转 问 题进行了系统研究， 指出翘曲 变形能可以通过平面应变问 题的特征值来反映， t a e s o o k im 和y o o n y o u n g k i m 16 3 综 合 考 虑了 扭曲 刚 度 和 翘曲 刚 度， 对 薄 壁 扭 件 进行拓扑优化。 1 . 3 研究内容和目的 1 .3 . 1研究内容 1 .掌握杆件的s a in t - v e n a n t 扭转问 题的基本原理及应力函数理论。 2 .掌 握二 维 热 传导的问 题的l a p a l a c e 方 程及 边 值问 题 意 义， 并 通过 热问 题的 求解来解决相应的扭转应力函数问题。 3 .掌握数学优化和拓扑优化的相关理论，并选择合适的优化算法。 4 .通过热场和平面应变问题的特征值的祸合分析，进行薄壁扭杆横截面的 扭、翘组合拓扑优化。 1 .3 .2研究方案 利用s a i n t - v e n a n t 假定， 把作为空间问 题的 柱杆扭转简化为s a in t - v e n a n t 扭 转问 题， 根据 应力函 数 理 论， 求解 一 个二 维l a p a l a c e 方 程的 边 值问 题。 这 里 用 现有有限元软 件如a n s y s 求解， 但是应力函数并非可以 直接加载的物理量， 在 结构分析模块边值条件无法施加。 考 虑到二 维热 传导问 题也是同 样形式的l a p a l a c e 方 程及 边值问 题， 且方程 中的待求量为 温度， 有明确的物理意义， 边值可以 直接固定。因此，只要找到 二者的对应关系，就可通过热场的求解得到扭转应力函数的分布，从而确定扭 转问题的应力、应变以及扭转刚度. 扭 杆 横 截 面 的 拓扑 优 化采用 实 体各向 同 性材 料惩 罚 函 数 法( s i m p ) 1 l8 1 ， 把 横截面区 域离散为单元， 同一单元内 材料特性相同， 伪材料密度作为优化变量。 西北工业大学硕士学位论文第 1章 绪论 薄壁闭合杆、 梁， 箱体等结构由于重量轻， 刚度大而在汽车， 航空航天和 建筑领域大量使用。相对开口薄壁件，闭合薄壁件的变形要复杂得多。在扭转 载荷作用下， 翘曲 变形相当严重。对薄壁件进行横截面拓扑优化时，必须考虑 翘曲 刚 度。 国 内 的 杜 伦平 14 1 、 张元 海 ” o f 、 谢 旭 f , 11 、 刁 海林 0 2 1等 对薄 壁 件的 扭 转 翘曲 特性及应力计算方面进行了探讨，但没有系统的阐述，同时也没有做优化 方 面 的 研 究。 国 外的j i n h o n g k im和y o o n y o u n g k im l 114 1d 5 1 对 薄 壁 结 构 扭 转 问 题进行了系统研究， 指出翘曲 变形能可以通过平面应变问 题的特征值来反映， t a e s o o k im 和y o o n y o u n g k i m 16 3 综 合 考 虑了 扭曲 刚 度 和 翘曲 刚 度， 对 薄 壁 扭 件 进行拓扑优化。 1 . 3 研究内容和目的 1 .3 . 1研究内容 1 .掌握杆件的s a in t - v e n a n t 扭转问 题的基本原理及应力函数理论。 2 .掌 握二 维 热 传导的问 题的l a p a l a c e 方 程及 边 值问 题 意 义， 并 通过 热问 题的 求解来解决相应的扭转应力函数问题。 3 .掌握数学优化和拓扑优化的相关理论，并选择合适的优化算法。 4 .通过热场和平面应变问题的特征值的祸合分析，进行薄壁扭杆横截面的 扭、翘组合拓扑优化。 1 .3 .2研究方案 利用s a i n t - v e n a n t 假定， 把作为空间问 题的 柱杆扭转简化为s a in t - v e n a n t 扭 转问 题， 根据 应力函 数 理 论， 求解 一 个二 维l a p a l a c e 方 程的 边 值问 题。 这 里 用 现有有限元软 件如a n s y s 求解， 但是应力函数并非可以 直接加载的物理量， 在 结构分析模块边值条件无法施加。 考 虑到二 维热 传导问 题也是同 样形式的l a p a l a c e 方 程及 边值问 题， 且方程 中的待求量为 温度， 有明确的物理意义， 边值可以 直接固定。因此，只要找到 二者的对应关系，就可通过热场的求解得到扭转应力函数的分布，从而确定扭 转问题的应力、应变以及扭转刚度. 扭 杆 横 截 面 的 拓扑 优 化采用 实 体各向 同 性材 料惩 罚 函 数 法( s i m p ) 1 l8 1 ， 把 横截面区 域离散为单元， 同一单元内 材料特性相同， 伪材料密度作为优化变量。 西北工业大学硕士学位论文第 i章 绪论 材料 特性设置为实体材料特性的p次幕 ( 对于泊松比v = 告 ， 要求惩罚因子 p ? 3 ) ，为保证解的 存在和不产生棋盘格， 配合周长约束， 梯度约束 或过滤技 术。 选择合适的优化算法，编制优化部分前后置处理及优化程序，能从所建立 的二维有限元模型中提取所需的单元几何，材料，及优化信息，在每个迭代步 的有限元分析后，再提取所需的结果信息，运用该优化主程序进行优化，输出 优化结果信息。 所编制的优化程序要具备通用性和便捷性，也就是对横截面为 任意形状的问题， 化程序自动完成。 只需在有限元软件中建立相应的模型并加载，其余的就由优 对于薄壁扭杆，进一步研究平面应变问题的特征值求解以及在同一有限元 模型上如何祸合计算热场和特征值问 题。为了单元密度更新的一致性， 要求求 解区域的网格划分相同，并保持不变. 1 .4 本章小结 通过查阅大量的文献资料， 对扭杆优化的方法进行总结，认为与传统的尺 寸优化和形状优化相比对扭杆的横截面进行拓扑优化同样具有研究价值， 可在 概念设计阶段的得到最优材料布局的结构，而且可以更大幅减少结构重量。同 时对要研究的问题、拟采用的方法以及预期结果等作了简要介绍。 西北工业大学硕士学位论文第 i章 绪论 材料 特性设置为实体材料特性的p次幕 ( 对于泊松比v = 告 ， 要求惩罚因子 p ? 3 ) ，为保证解的 存在和不产生棋盘格， 配合周长约束， 梯度约束 或过滤技 术。 选择合适的优化算法，编制优化部分前后置处理及优化程序，能从所建立 的二维有限元模型中提取所需的单元几何，材料，及优化信息，在每个迭代步 的有限元分析后，再提取所需的结果信息，运用该优化主程序进行优化，输出 优化结果信息。 所编制的优化程序要具备通用性和便捷性，也就是对横截面为 任意形状的问题， 化程序自动完成。 只需在有限元软件中建立相应的模型并加载，其余的就由优 对于薄壁扭杆，进一步研究平面应变问题的特征值求解以及在同一有限元 模型上如何祸合计算热场和特征值问 题。为了单元密度更新的一致性， 要求求 解区域的网格划分相同，并保持不变. 1 .4 本章小结 通过查阅大量的文献资料， 对扭杆优化的方法进行总结，认为与传统的尺 寸优化和形状优化相比对扭杆的横截面进行拓扑优化同样具有研究价值， 可在 概念设计阶段的得到最优材料布局的结构，而且可以更大幅减少结构重量。同 时对要研究的问题、拟采用的方法以及预期结果等作了简要介绍。 西北工业大学硕士学位论文第2 章等直截面杆的应力函数理论和拓扑优化基本理论 第2 章等直截面杆的应力函数理论和拓 扑优化基本理论 2 1扭转问题 2 1 1 等直截面杆的扭转 在航空发动机、车辆和机械设备以及建筑工程中，普遍使用承受扭矩载荷 的轴类零件。柱体在端部合力和合力矩作用下的形变和应力分析在工程上是很 重要的。对这种问题有如下几何和受力的特点： ( 1 ) 垂直于柱体轴线的截面( 称为横截面) 具有相同的形状； ( 2 ) 拄体不受体积力和侧表面力，并且作用于端部的外力的分布方程一 般是不知道的，只知道与之等效的合力和合力矩。 用矩形杆做的简单试验( 图2 1 ) 表明，杆的截面在扭转时并不保持为平面， 在杆的表面上所有矩形单元面中，发生最大剪应变的单元面是在各边的中点， 就是在离杆的轴线最近的各点。 图2 1 矩形杆扭转试验变形图片 2 1 2 柱体扭转问题的圣维南假设 当柱体的长度远大于横截面的几何尺寸时，可以根据s a i n t - v e n a n t 原理，端 部条件提成s a i n t - v e n a n t 边界条件，从而建立问题的边值条件来求解。 西北工业大学硕士学位论文 第2 章等直截面杆的应力函数理论和拓扑优化基本理论 根据圣维南假设，扭杆的形变包括：( 1 ) 截面的转动；( 2 ) 截面的翘曲， 它在所有截面上相同。将坐标原点取在一端截面的形心0 ，如图2 4 所示，求得 对应截面的位移【l 】： “= 一口刁7 v = a z xw = 髓；f ，( x ，y ) ( 2 1 ) 口是单位长度上的扭转角，y ( x ，y ) 表征横截面沿z 轴向的位移，称为翘曲 函数。 图2 2 鲁互戤面扭杆的扭转 2 1 3 扭转问题的位移解法 根据假设( 2 1 ) ，由弹性力学几何方程计算应变分量，得出 c l = r 2 t 。7 h 2 0 ， 铲譬+ 妻；口罄- y ) ， ”苏出、舐 。 驴娑+ 宴：口罄 。f 却瑟、却 。 由弹性力学物理方程【1 1 求得对应的应力分量是 o i = ap 2 0 z = o q 。0 ， _ g 口( 警- y ) ， ( 2 3 ) o - g 口( 詈协 将表达方程( 2 3 ) 代入弹性力学平衡方程”，不计体力，就得到函数少必须满 足的方程 鸳+ 堡：0 ( 2 4 )：。十+ _ = k 。 靠 砂 考察弹性力学边界条件( 1 】，根据柱体扭转的特点，秆的侧面不受外力，并且 6 西北工业大学硕士学位论文第 2章 等直截面杆的应力函数理论和拓扑优化墓本理论 根据圣维南假设，扭杆的形变包括: ( 1 ) 截面的转动;( 2 ) 截面的 翘曲， 它在所有截面上相同。 将坐标原点取在一端截面的形心口 ， 如图 2 .4 所示， 求得 对 应 截 面的 位 移 f 0 , u = - a ay v = a z x w = a g r ( x , y ) ( 2 . 1 ) 。 是单 位长 度上的 扭转 角，v / ( x , 力表 征 横截 面沿: 轴向 的 位移， 称为 翘曲 函数。 图 2 .2 等 直截面扭杆的 扭转 2 . 1 .3扭转问题的位移解法 根据假设 ( 2 . 1 ) ， 由 弹 性 力 学 几 何方 程 m 计 算 应变分量， 得出 二 e y 二 气= y , , = o , 今飞 (2(2 介 = = a = a (ax 一 y ), ( ay 二 ， 加一击加一击 +十 亚击枷-即 ex人 由 弹 性力学 物 理方 程u 求 得 对 应的 应力 分 量 是 a= 气= 6= 气= 。 ， 二 = g a (一 y ) 、 一 g a ( 一 ) 将表达方程 ( 2 .3 ) 代入弹 性 力学 平 衡方 程 1 不计 体力， 就得到函 数v 必 须 满 足的方程 a 2 少. o 2 俨 。 ，叫 甲 ， - 气 犷 = v. 7 x , a y , 考察 弹性力学 边界 条 件 (1 1根 据 柱 体 扭 转的 特点 ( 2 .4 ) 杆的侧面不受外力， 并且 西北工业大学硕士学位论文第 2章 等直截面杆的应力函 数理论和拓扑优化基本理论 侧面 法线 垂直于z 轴，因 而有x= y 二 z = 0 和c o s ( n z ) = ; 二 0 前两个方程恒满足，再由( 2 3 ) ， 边界条件的第三方程变为 。于是边界条件的 r 1 十r m=0 . 口r - 这说明，在边界处的合剪力是沿着边界的切线方向， ( 2 . 5 ) 这就是杆的侧面不受 外力所必须满足的条件。 图 2 .3扭杆截面边界受力分析 试考察边界处的一个微小单元a b c ( 图 2 .3 ) ，并假定在由c 到a 的方向 上s 是增大的，我们有 ， 一(n x) = d s ， 二 一 (n x ) = - d , ( 2 .6 ) 而方程( 2 . 5 ) 成为 , a v/ . 、 d y ， 刁 w. 八 1*_ . 、 ， : 一一 少 少 - 了一、 气 尸 了人 ) - 了一认 o x a s即a s 于是扭转的问题就归结为寻求满足方程 ( 2 .4 ) 和边界条件 2 .7 ) ( 2 . 7 ) 的函数v/ 的问题。 2 . 1 . 4圣维南假设的物理本质 1 .由 方程 ( 2 .2 ) ， 在截面内，正应变都为零， 在截面所在的平面内也没有 形变。 2 。由方程 ( 2 . 3 ) ，正应力也都为零，说明了在杆的纵纤维之间以及沿这些 纤维的纵向都没有正应力作用，这些纵向纤维可以 看作相互独立的，它们彼此 不挤压也不磨擦. 这两点正是圣维南假设的物理本质，同时也说明方程 ( 2 . 1 )很好的表达了 西北工业大学硕士学位论文第 2章 等直截面杆的应力函 数理论和拓扑优化基本理论 侧面 法线 垂直于z 轴，因 而有x= y 二 z = 0 和c o s ( n z ) = ; 二 0 前两个方程恒满足，再由( 2 3 ) ， 边界条件的第三方程变为 。于是边界条件的 r 1 十r m=0 . 口r - 这说明，在边界处的合剪力是沿着边界的切线方向， ( 2 . 5 ) 这就是杆的侧面不受 外力所必须满足的条件。 图 2 .3扭杆截面边界受力分析 试考察边界处的一个微小单元a b c ( 图 2 .3 ) ，并假定在由c 到a 的方向 上s 是增大的，我们有 ， 一(n x) = d s ， 二 一 (n x ) = - d , ( 2 .6 ) 而方程( 2 . 5 ) 成为 , a v/ . 、 d y ， 刁 w. 八 1*_ . 、 ， : 一一 少 少 - 了一、 气 尸 了人 ) - 了一认 o x a s即a s 于是扭转的问题就归结为寻求满足方程 ( 2 .4 ) 和边界条件 2 .7 ) ( 2 . 7 ) 的函数v/ 的问题。 2 . 1 . 4圣维南假设的物理本质 1 .由 方程 ( 2 .2 ) ， 在截面内，正应变都为零， 在截面所在的平面内也没有 形变。 2 。由方程 ( 2 . 3 ) ，正应力也都为零，说明了在杆的纵纤维之间以及沿这些 纤维的纵向都没有正应力作用，这些纵向纤维可以 看作相互独立的，它们彼此 不挤压也不磨擦. 这两点正是圣维南假设的物理本质，同时也说明方程 ( 2 . 1 )很好的表达了 西北工业大学硕士学位论文第 2章 等直截面杆的 应力函数理论和拓扑优化基本理论 圣维南假设的思想。 2 . 1 . 5杆件扭转问题的应力函数理论 上述位移解法直观的反映了圣维南假设， 但它的边界条件 ( 方程 ( 2 . 7 ) )复 杂，不易处理，为此引入了应力函数解法，方法如下: 由 于 由 方 程( 2 .3 ) 中 的u s = v y = 6 : = r y = 0 ， 弹 性 力 学 平 衡 方 程 就 简 化 为 a t刁 r 一= 0 , -=0 , a z a l 前两个方程已经满足，因为方程 ( 2 . 3