（生物医学工程专业论文）微循环中红细胞流动的基础性研究.pdf

山东大学硕士学位论文 关键词：微循环；流体动力学；液一固耦合； 格子b o l t z m a n n 方法； 有限体 积法；红细胞 u 山东大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h em o v e m e n to ft h er e db l o o dc e l l ( r b c ) i nb l o o dc i r c u l a t i o n ，e s p e c i a l l yi n m i c r o c i r c u l a t i o n , h a sb e e no n eo ft h em o s ti m p o r t a n ti s s u e st h a ta t l r a c tw i d ea t t e n t i o n a st h eb a s i cs 缸u c h l r ea n df u n c t i o nu n i to ft h eh u m a nc i r c u l a t o r y s y s t e m , m i c r o c i r c u l a t i o np l a y sa ni m p o r t a n tr o l e i nt h ew h o l eb l o o dc i r c u l a t i o n s of a r , h o w e v e r , t h es t u d i e so nt h ef l o wc h a r a c t e r i s t i c so ft h eb l o o da n di t si m p a c to nt h e v a s c u l a rw a l li nm i e r o v a s c u l a ra r ev e r yl i m i t e d i nt h i st h e s i s ，t h es t a t e o f - a r to ft h e d e v e l o p m e n to fm i c r o c i r c u l a t i o n f l u i d m e c h a n i c si sg i v e n t h ec u r r e n ta p p r o a c h e su s e dt oa n a l y z et h em o v e m e n to f m i c r o c i r c u l a t i o na r ea n a l y z e da n dc o m p a r e d a f t e re s t a b l i s h i n gt h eb a s i cm o d e la n d t h ef l o we q u a t i o no fb l o o dc i r c u l a t i o n , a n da n a l y s i n gt h ed e f o r m a b i l i t yo fr e db l o o d c e i l s ，w ep r o p o s eam o d e lw h i c hi sv e r ys u i t a b l ef o r m i c r o c i r c u l a t i o n i ns p e c i f i c ，t h e c o n t i n u i t ye q u a t i o na n dm o m e n t u me q u a t i o na r ed e t e r m i n e d t h el a t t i c eb o l t z m a n n m e t h o d ( l b m ) c o m b i n e dw i t ht h ei m m e r s e db o u n d a r ym e t h o d ( i b m ) t os i m u l a t et h e r b cm o v e m e n ti nm i c r o c i r c u l a t i o ni sp r e s e n t e d t h el b mi su s e dt os i m u l a t et h e i n c o m p r e s s i b l ef l o wf i e l d , a n dt h ei b mi su t i l i z e dt oi n c o r p o r a t et h es o l i d - f l u i d i n t e r a c t i o n t h ec o m b i n a t i o nk e e p st h ea d v a n t a g e so ft h el b mi ns i m u l a t i n gd i f f e r e n t k i n d so ff l o w s ，a n dp r o v i d e sab e t t e ra p p r o a c ht os o l v et h es o l i d - f l u i db o u n d a r y c o n d i t i o n s i nl i t e r a t u r e ，t h es h a p eo ft h er b ci sg e n e r a l l yr e g a r d e da sr i g i do ro v a lb a l l i n t h i st h e s i s ，h o w e v e r , t h er b ci sc o n s i d e r e da sb i c o n c a v el i q u i dc a p s u l e s ，w h i l et h e m e m b r a n ei sr e p r e s e n t e db yas e to fp o i n t st h a tm o v ew i t ht h ef l u i dp o i n t s ，a n d e x t e r n a lf o r c e sa r ei n d u c e do nt h ef l u i db ya d d i n gaf o r c et e r mt ot h el a t t i c eb o l t z m a n n e q u a t i o n t h eb l u n tv e l o c i t yp r o f i l e so f t h er b cf l o w sa r eo b t a i n e d ，a n dt h em o t i o no f t h ec e l lp e r f o r m st u m b l i n g - r o t a t i n go rt a n k t r e a d i n gi nt h ev e s s e l ac i r c l eo ft h e d e f o r m a t i o na n dm o v e m e n to fo n es i n g l er b ci ss i m u l a t e d i no r d e rt os i m u l a t et h e m o v e m e n to ft h er b cm o v i n ga l o n gt h ea x i so ft h eb l o o df l o w b o t ht h e 铆0 d i m e n s i o n a lm o d e la n dt h et h r e e d i m e n s i o n a lm o d e la r ee s t a b l i s h e d r e s u l t so b t a i n e d i i i 山东大学硕士学位论文 a r ei ne x c e l l e n ta g r e e m e n tw i t ht h ee x i s t i n gm e d i c a le x p e r i m e n t s ，w h i c hs h o w st h e e f f e c t i v e n e s so ft h ep r o p o s e dm e t h o d s k e y w o r d s ：m i c r o c i r c u l a t i o n ；h y d r o k i n e t i c s ；l i q u i d - s o l i dc o u p l i n g ；l a t t i c e b o l t z m a n nm e t h o d ；f i n i t ev o l u m em e t h o d ；r e db l o o dc e l l 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本 文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标 明。本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名： 塑塑! 1 日期： 趔：羔：垒 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅：本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或 部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复 制手段保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：彳丑亟吐导师签名：娅日 期： 知9 、r 、堤 山东大学硕士学位论文 1 1 课题研究背景 第一章绪论 1 1 1 微循环流体力学的发展历史 微循环血流动力学作为生物力学的一个主要学科分支，是在上世纪6 0 年代 才出现的，但这个领域的研究却可以追溯至几百年前。用现代生理学及数学分析 方法研究循环系统的血液流动可以追溯到l e o n a r d od a v i n c i 和l e o n h a r de u l a r 等 人f l 】。在文艺复兴时期，随着解剖学的出现，l e o n a r d od a v m c i 通过对心血管系 统的详细观察，把对形态的研究和对功能的研究结合起来，正确地描述了心房与 心室收缩的前后顺序，指出动脉管壁随着年龄的增长而逐渐变厚的特征。十七世 纪，m a l p i g h i 和l e u w e n h o c k 用简易的显微镜进行观察，第一次描述了血液在相 对纤细的毛细管中川流不息的情景。 到了十八世纪，对血液流动的定量研究随着流体力学的高速发展而建立起 来，关于血液流动的第一篇数学分析的论文是l e o n h a r de u l c r 在1 7 7 5 年提出的， 他给出了描述不可压缩无粘性流体在弹性管中流动的一维方程 2 1 。e u l e r 的这组 方程包括反映质量守恒原理的连续性方程和由动量定理建立起来的运动方程。此 外，为了使方程封闭，还假定了血管横截面积与血管内压力之间的非线性关系。 但基于当时对非线性方程求解方法的局限，e u l e r 并没有能给出相应的分析解。 在e u l e r 之后，英国医生兼自然哲学家t h o m a sy o u n g 于1 8 0 9 年首次导出了 血液流动中脉搏波的传播速度，应用描述通过弹性固体或可压缩流体声波传播的 类似方法，得到了自己的公式。到了1 9 世纪，法国生理学家p o i s e u i l l e 研究了血 管内血液流动中压差、流量和阻力的关系，建立了在流体力学中非常重要和著名 的p o i s e u i l l e 定律。p o i s e u i l l e 定律导出之后，血液循环方面的大量实验和测量都 是用p o i s e u i l l e 定律来加以解释的。 到上世纪5 0 年代，由于j r w o m e r s l e y 、d a m d c o n a l d 、冯元桢等人的努 力，进一步开辟了血液、血管流变学现代研究的道路。六十年代以来，人们对微 循环流动问题做了很多工作，冯元桢将所涉及的力学问题归纳了一下【3 1 ，与末梢 动脉一小动脉血流有关的，主要有f a h r a e u s l i n d q v i s t 效应、f a h r a e u s 效应、红 山东大学硕士学位论文 细胞径向分布不均匀性、低雷诺数进口流动、蠕动流及血液调节问题等。与毛细 血流有关的主要包括：红细胞与管壁相互作用、壁透流动、f a h r a e u s 逆效应、组 织压力测量、周围组织力学性质等问题，针对这些问题都已经做了一些工作，但 离问题的解决还有一定距离。一方面，实验研究比较困难，由于在体测量尺度太 小，限于测量技术，不易获得可靠的定量结果；另一方面，离体模型实验，不易 准确地模拟真实情况，而且，从流体力学观点来看，微循环血液流动提出了一些 新问题，主要有： 介质不连续性 小动脉、小静脉的管径为微米数量级，由于壁面与红细胞之间相互作用，以 及剪切流动中红细胞之间的相互作用，血液不能看作均质的连续介质，必须考虑 到红细胞的个体性，当作具有微结构的连续介质，或两相悬浮系统来处理。毛细 血管的直径与红细胞相当，甚至更小些，在毛细血管中，红细胞实际上是一个一 个地或一串一串地排队从血管中挤过去。细胞与细胞之间，血浆作相对于细胞的 环流，细胞与管壁之间存在血浆润滑层。在这种情况下，血液既不能看作悬浮系 统，也不能看作微连续介质，必须研究具有强烈的水力一弹性耦合作用的两相离 散系统。 低雷诺数流动 运动的雷诺数在1 0 - 2 1 0 - 3 之间，远远小于1 ，所以惯性力与表面作用力相比 可以忽略不计，因此，管道弯曲、流动进口、非定常效应等，均可不予考虑，从 而使问题大为简化。但另一方面，表面张力、静电效应、分子间范德瓦耳斯力以 及布朗运动等因素对血液宏观运动的影响亦趋显著，使问题再次复杂化。 热力学开系统 从热力学观点来看，微循环系统是一个开放的非平衡系统，它和环境之间有 质、能交换，内部有化学反应，而传统的流体力学理论是建立在热力学平衡的系 统基础上的。作为最原始的近似，只考虑宏观的介质运动，不考虑其组元和内能 的改变；或者认为系统和环境之间能、质的交换速率很快，或量很小，或作为准 平衡系统。这时，需要修改边界条件，将微血管流动和组织间隙空间里组织液的 运动结合起来分析。 流动边界特殊性 流动边界不同于大血管，主要包括两方面： 2 山东大学硕士学位论文 i ) 微血管的力学性质和周围组织有密切关系，不同组织或器官内，微血管 组织具有不同的构造，因而力学性质也不同。冯元桢【4 】将微血管与周围组织的关 系分为三类：第一，与微血管尺寸相比，周围组织很薄，或很松弛，此时周围组 织对微血管的变形几乎没影响，可看作孤立的粘弹性管；第二，周围组织十分厚 大，微血管埋藏于其中，可看作弹性胶体介质内的孔道。与红细胞相比，孔道壁 相当刚硬。肠系膜内的微血管就是这种情况；第三，周围组织对微血管力学性质 的影响不可忽略，但也并非完全来自周围组织。此时，微血管可看作具有某种弹 性支撑的粘弹性管。 ) 小动脉和小静脉血管含有大量的平滑肌。它们周期性地收缩，对血液流 动起着蠕动泵的作用。淋巴、泌尿等系统中就有蠕动流的问题。 鉴于以上种种问题，研究者们为了理论研究的方便，根据实验方面所取得的 一些成绩，在微血管流的动力学模型中常常作了一些合理的近似，l o w 和f u n g o 、 s k a l a k 和w a n g s 、b u g l i a r e l l o 和h s i a o 7 等，以球、旋转椭球、圆盘、半球圆、 旋转体等为细胞模型，通过解析、数值方法，在正常生理条件下，作了不少分析、 计算。但一般也只考虑了前述微循环流动特点的几个方面。在器官微循环领域， 主要的困难是如何精确地测定器官微血管组织的几何形态及力学性质，在这方 面，最有价值的是冯元桢关于肺微循环的研究【8 】。 随着不同学科交叉、渗透趋势的发展，多学科专家合作开展对生命科学和医 学问题的比较系统、深入的研究。生物力学作为一门独立的学科已经确立，并获 得了迅猛发展。与此同时，微循环血流动力学作为生物力学中的一个重要分支和 研究最集中的一个领域，也相应发展和确立起来。 1 1 2 微循环流体力学的研究现状 世界微循环研究领域的前沿正在向前推进，其范围也正在加速向外扩展，成 为现代科学在分子水平揭示生命系统奥秘的尖端学科，是基础与应用生物医学不 可缺少的一部分。微循环信息是任何生命组织不可缺少的组成部分，并且是活体 细胞与外界环境交换物质的通道。 微循环网络中的血液流动是一个复杂现象，受网络形态、血液流变学、血液 细胞血管相互作用等因素影响。微循环流动和物质交换机理的研究工作主要是 针对一根毛细血管或一片毛细血管网的问题进行的。这种单体和局部的研究成果 山东大学硕士学位论文 无疑是十分重要的，因为它们是理解微循环流动和交换机理的基础。 二十世纪早些时期1 9 1 ，科学家们的思想受a u g u s tg r o g h 所做工作影响。 k r o u g h 针对骨骼肌建立的k r o u g h 柱面模型以毛细血管空间排列为基础，使交换 物质从血液向实质组织细胞扩散时呈最佳变化梯度。之后，法国的c h a r l e sr o u g e t 提出毛细血管网络可以被认为是血管系统中尚未完全成熟的一部分，在生命期间 有进一步完善的潜力。目前的研究已经表明微循环网络不单纯以静态的结构存 在，而且能为保持血管组织的内环境稳定而做一连串的随机改建，以应激可能 出现的破坏性变化的一种极具独特活力的器官单位。 两种方法学的进展促进了人们对微循环血流动力学的了解【9 】。上世纪7 0 和8 0 年代应用电子显微镜使人们清晰地观察到这些小血管壁中的细胞内构造和它们 的细胞器。近一段时期，细胞培养技术和特殊的免疫学探针的发展为揭示生物化 学和生物物理学与多细胞组织的关系及对生命结构的选择性自我改建开辟了广 阔的前景。人体活体显微镜及计算机图像检测分析系列用最有力的证据证明了末 梢血管床在大多数疾病及衰老过程中起着原动或从动的作用。 国内微循环血液动力学这门学科是从1 9 7 9 年冯元桢教授回国讲学才开始发 展起来的，上世纪八十年代以前，在微循环整体研究方面主要是顺着网络思想进 行，虽然也取得了一些成果，但进展不大。1 9 8 0 年郭尚平、吴望一等同时提出 采用石油渗流中多重介质的思想处理微循环流动问题。郭尚平【l o 】对各种脏器的空 隙率及渗流规律进行了实验研究，结果表明，它们均具备多孔介质的必要特征， 其流动力学可作为渗流力学进行研究，并在此基础上，提出了一组复杂的方程， 但是没有得到任何一个具体脏器的具体解。 我国广大微循环研究者应用微血液动力学、生物流变学和临床血液流变学、 活体微循环和大循环显微电视同步检测技术、计算机数据及图像处理技术、无创 伤临床研究和检测系统等一系列方法，对微血管的正常功能及其障碍从i 瞄床到实 验室做了很多的研究。对休克、糖尿病、脑卒中、冠心病、高血压、肿瘤等疾病 发病机理和防治作了进步阐明。这些成绩使我国的微循环研究在国际上独树一 帜。 当前，细胞生物学及分子生物学技术的应用使微循环流体力学的研究向纵深 开拓。应用肝素、f g f 和v e g f 等生长因子来研究其对心脏侧支微血管血液循 4 山东大学硕士学位论文 环状况的改善作用；研究微血管内皮源性内皮源性超极化因子( e d h f ) 作用于 微血管平滑肌细胞产生超极化作用，促进血管舒张，以减弱血管壁对一些缩血管 活性物质的反应性；应用显微镜、录像等技术从宏观和微观研究微血管的自律运 动的机制和微血管壁内皮细胞的有丝分裂的动态过程。 近年来，随着计算机的普及以及计算能力的不断提高，加上近似计算方法如 有限差分法、有限元法、有限体积法等的发展，基于数值计算的计算流体力学 ( c o m p u t a t i o n a lf l u i dd y n a m i c s ，c f d ) 方法正在冲击并改变着传统的血流动力 学研究方法。在血流动力学的数值仿真研究中，可以通过采用准确的血液流变学 模型、真实的血管壁本构关系以及真实的管壁质量传输特性，获得有关血液流动 的重要参数。同时，现代的可视化技术使得“数值实验的结果可以更直观、更 全面、更快速的展现出来。利用数值仿真技术开展血液流体动力学的研究将深化 人们对心血管系统的运动规律、生理功能、疾病机理的认识，不仅对现代生命科 学的发展有重要的基础理论意义，而且给血液疾病的预防、诊断、治疗提供科学 的理论指导和新的方法手段，必将促进临床医学技术的发展。 随着数值模拟技术在血液微循环流动力学的研究中得到日益广泛的应用，已 经开始出现“生理流动虚拟现实”这个处于血流动力学分析前沿的研究，即实现 在一个集成化的系统环境下实现对血液动力学的便捷的数值模拟过程【1 1 1 。现代计 算机图形技术的发展，使得研究者可以方便地建立一个特定的数值计算模型。在 几何上，模型可以是理想化的，也可以有个体的差异。在计算层面上，现代的计 算机技术日新月异，可以进行高速的浮点计算，同时三维流体力学( c f d ) 已形 成了相当成熟的算法和通用的商用软件，这些使在血液动力学的数值模拟中，可 以采用准确的血液流变学模型，真实的血管壁本构关系及真实的管壁质量传输特 性。同时，现代的可视化技术使得“数值实验 的结果可以更直观、更全面、更 快速地发展起来，这些“模型实验 无法比拟的优势使得“数值实验 已成为血 液流动力学研究的主流方法。 1 2 本课题的研究目的和意义 研究血液在血管中，尤其是微血管中的流动是人们近年来关注的重要课题之 一，不少著名的生物力学家都研究过人体生理过程中的流体运动力学问题。到了 六十年代生物力学崛起，逐渐形成心血管系统流体力学。心血管流体力学就是以 山东大学硕士学位论文 心血管系统中血液的流动作为研究对象，是- f 3 应用于血液循环系统的力学。它 将力学的理论和方法与生理学、医学的原理和方法有机地结合起来，试图用力学 的理论和方法来解释与分析心血管系统中血液流动所呈现的生理现象，阐明血液 流动的基本规律及某些心血管系统疾病对血液流动的可能影响，以便为心血管疾 病的诊断与防治提供帮助。由于血液循环对维持人的生命至关重要，而因心血管 系统疾病死亡的人数在死亡总数中又占有相当大比例，因此，心血管系统流体力 学是当前生物力学发展中最为活跃的分支之一。但迄今为止【1 2 1 ，关于微血管内血 液的流动特性及其对血管壁的作用，研究的人还不多。 血液在心血管系统中周流不息，从心脏流经动脉、小动脉、毛细血管、小静 脉、静脉，最后又流回到心脏。所谓微循环系统是指这个循环回路中的微血管床， 特别是指毛细血管，也包括一些小动脉与小静脉，管径多在1 0 0 a n 以下。它作 为人体血液循环系统的最基层结构和功能单位，在整个血液循环中起着重要的作 用。 首先，毛细血管在人体内的分布广，呈树枝样的网状结构而遍布于全身，其 总数目可超过3 0 0 亿根，总长度可绕地球两周半，在正常情况下，微循环中流动 的血流量可占人体全身总血流量的6 0 ，循环系统的血压降大约有5 0 - 6 0 发 生于小动脉，2 0 左右发生于毛细血管，1 0 0 o 1 5 发生于小静脉，也就是说，微 循环的阻力，占整个循环系统的9 0 左右。因此，微循环血流的机械能损耗，决 定了心脏的输出功率。 其次，血液循环的生理作用，是负担各种细胞和组织之间物质的交换和运输， 以维持生命的正常运转。由于构成微循环系统的微血管直接与人体各部分的组织 细胞相接触，通过它供给机体细胞营养物质，并从细胞带走各种代谢废物，血管 内外之间的物质和能量的交换速度之快和交换量之大，是十分惊人的。仅以水在 血管内外的交换来看【1 3 】，每分钟出入毛细血管内外的水分量约占总血浆量的 7 5 。因此，微循环的变化反映着整个血液循环系统的机能状态的变化，以及组 织和器官的血液供给状况和物质与能量交换和代谢的变化。因此微循环功能的紊 乱将直接危及人的生命。 再其次，不同生理条件下，各组织、器官代谢活动所需的血流量很不一样， 变化量达一个数量级以上。为满足代谢活动的需要，必须对组织的血液灌注实施 6 山东大学硕士学位论文 有效的控制。这种控制是通过改变血管平滑肌紧张程度，以改变流动阻力而实现 的。可以设想，在控制过程中起主导作用的是流动阻力最大、含平滑肌丰富的那 类血管，i i p d , 动脉。而小管血流压降流量的非线性效应，则使得这种控制作 用更为有效。 不仅如此，微循环的最大特点是对各种生理或病例的因素都十分敏感，特别 是在各种病理因素。微循环障碍是最基本的病理变化，各种典型的病理过程，如 水肿、炎症、变性、休克、溃疡、增生以及血栓形成等都包括有微循环的变化， 显示出程度不一的微循环障碍。鉴于血液的流变性和粘滞性是影响包括微循环在 内的整个血液循环的重要因素之一，因此，微循环障碍与血液的流变性和粘滞性 改变亦有密切关系。 所以，无论对于心脏输出功能、血液组织传质过程，还是循环系统的控制、 调节，或者疾病的诊断，微循环流体运动规律的研究，均有极其重要意义。 血液是由有形成分和血浆所组成的，即血液是有形成分分散于血浆之中的一 种悬浮液。在有形成分中红细胞所占比例最大，约4 3 左右。血液中的其他有形 成分是白细胞、血小板等，但其含量很小。由于血液是具有红细胞等有形成分的 悬浮液，所以在微循环系统中它更多地表现出非牛顿流体的特性。在血液流动低 剪切率的情况下，红细胞聚集成更大的粒子，血液的非牛顿特性将会更加明显。 纵观目前的血流动力学研究，绝大部分的工作都是将血液看作是不可压缩的 单相牛顿流体，这种假设对血管尺寸较大和直管的情况是适用的，但是对于血管 直径与红细胞直径相当的情况会造成较大的误差，这就需要考虑到血液中红细胞 和血浆的相互作用，即此时血液是由血浆和红细胞组成的两相流体。尽管如此， 迄今有关微血管中血液两相流动的研究仍非常少见。 本文将针对微循环中红细胞的变形及运动，一方面利用计算流体力学的方法 和血流的理论，从血液流固两相流的角度，进行相关的血液流动力学分析；另一 方面应用格子波尔兹曼方法与浸入边界法，从微观数学建模的角度，模拟血浆流 动与红细胞在微血管中的运动。 1 3 研究微循环流体运动常采用的方法 研究微循环流体运动规律的研究方法，概括起来有理论分析方法、实验研究 方法和数值计算方法三种。 山东大学硕士学位论文 理论分析方法【1 4 】利用流动模型假设，给出所研究问题的解析解。理论工作者 在研究流体流动规律的基础上建立了各类型主控方程，提出了各种简化流动模 型，给出了一系列解析解和计算方法。这些成果推动了流体力学的发展，但是仅 采用这些方法研究较复杂的非线性流动现象是不够的。 实验研究方法为微循环流体运动规律的研究提供了一些必不可少的直观信 息。如l e e 和f u n g p 5 1 用橡皮按测得自然的红细胞形状做成直径为4 2 9 + 0 0 5 c m 、 体积为1 6 5 c m 3 、膜厚约0 0 4 2 + 0 0 1 c m 的模型细胞，内充硅橡胶液模拟血浆，观 察了模型毛细血流的特色。但是，由于实验方法受条件限制较大，随着计算机的 高速发展，数值模拟方法便越来越成为研究微循环流动规律的一个有效的方法。 数值计算可以弥补理论分析和实验研究的不足，对复杂的流体力学问题进行既快 又省的计算分析。 设计数值模拟时有两种途径，即基于宏观连续模型的自项向下方法和基于微 观离散模型的自底向上方法。传统的计算流体力学中的数值方法大多是利用自顶 向下方法设计的。这类方法以非线性的微分方程为出发点，采用有限差分、有限 体积、有限元或有限谱等离散方法对微分方程进行离散，得到代数方程组或常微 分方程系统，然后再用标准的数值方法求解。虽然这类自顶向下的方法比较直观， 但仍然存在许多不足。例如，在这类方法中人们往往着重分析从连续微分方程到 离散代数方程的截断误差，而忽略了离散过程中某些物理量的守恒性。对某些系 统而言，为了得到合理的结果，这种守恒性要求是非常重要的。另外，数值稳定 性也是这类方法的一个重要问题。 与上述自顶向下方法完全不同，自底向上方法的出发点是流体的微观离散模 型。一般地，流体的宏观运动是大量流体分子微观运动的统计平均结果，单个分 子的运动细节并不影响宏观运动的特性。例如气体和液体有完全不同的微观分子 结构；分子的运动方式也大不相同。但是，对同一类流动，只要流动的r e y n o l d s 数相同，气体和液体的流动特性是完全相同的。因此，可以构造这样一种人工微 观模型，使其在保持真实流体的基本特征的前提下，结构尽可能的简单，粒子运 动的细节尽可能的简化，且其宏观统计特性符合客观运动规律。这样，我们就可 以借助这种人工微观模型模拟真实的流体系统。 8 山东大学硕士学位论文 1 4 课题来源 本课题来源于山东省自然科学基金( 项目编号：y 2 0 0 7 a 1 6 ) 和山东省优秀 中青年科学家奖励基金( 项目编号：2 0 0 4 b s 0 5 0 0 6 ) 项目，对本课题中有关血液 流动的模拟、红细胞模型的建立、红细胞在微血管中的变形及运动进行了基础性 的研究。 1 5 本文的主要工作 目前有关的血流动力学研究，绝大部分的工作都是将血液看作是不可压缩的 单相牛顿流体，这种假设在血管尺寸较大或直管的情况下是适用的，但是对于血 管直径较小和管路形状复杂的情况会造成较大的误差。也就是红细胞的存在可能 会使微血管流动力学因素发生改变，因此，血液中红细胞的尺度相对于血管尺寸 可能需要加以考虑，这就需要计入血液中红细胞和血浆的相互作用。 本文在总结了微循环流体力学的发展历史及研究现状的基础上，针对红细胞 在微循环中的运动，主要做了以下几方面工作： ( 1 ) 分析了计算流体力学的数值方法和血液流动的基本理论，通过比较几 种液一固两相流模型，结合本研究的特点，确定适合本研究的模型； ( 2 ) 建立红细胞的双凹碟形模型，分析红细胞与相邻流体的相互作用，得 出细胞膜所受应力的计算方式； ( 3 ) 将格子b o l t z r n a n n 方法与浸入边界法相结合，给出了修正的格子 b o l t z m a n n 方程，建立了用格子b o l t z m a n n 方法模拟包含有红细胞的血液在微血 管中流动的二维模型，并将血浆近似为p o i s e u i l l e 流体，通过软件仿真，得到血 浆流动的速度剖面图、红细胞的坦克履带式运动，以及单个健康细胞在微血管中 变形和运动的分解图； ( 4 ) 应用f l u e n t 软件对红细胞在微血管中的流动作了流体动力学分析， 建立了流动的二维模型和三维模型，通过流场分析，证明了本课题方法的可行性， 为进一步的研究打下了基础。 9 山东大学硕士学位论文 第二章计算流体动力学及血液流动的基本理论 2 1 计算流体动力学理论和数值方法 计算流体动力学( c o m p u t a t i o n a lf l u i dd y n a m i c s ，c f d ) 是近代流体力学、 数值流体力学和计算机科学几何的产物，涉及计算机科学、流体力学、偏微分的 数学理论、计算几何、数值分析等，是- - f j 具有强大生命力的边缘科学。它以电 子计算机为工具，应用各种高离散化的计算方法，对流体力学的各类问题进行数 值试验、计算机模拟和分析研究，以解决各种实际问题。 2 1 1 计算流体动力学的理论基础 由于实际工程中绝大多数的问题都是非线性的，求得其解析解或精确解十分 困难，已知的基本方法和解析解都是在各种简化和假设条件下得到的，无法描述 大量存在的各种复杂的流动现象。随着计算机技术的发展，人们试图用计算方法 直接求解各类主控方程和边界条件来解决具有强烈非线性特征的大量流动现象， 从而形成并发展为计算流体动力学。 上个世纪3 0 年代，由于飞机工业的需要，流体力学理论被用于了解和指导 飞机设计，当时由于飞行速度低，可忽略粘性和涡流，所以流动模型为l a p l a c e 方程，研究重点是椭圆型方程的数值解【1 6 】，利用复变函数理论和解的迭加方式来 求解析解。后来，为了考虑粘性效应，有了边界层方程的数值计算方法，并发展 成以位势方程为外流方程，与内流边界层方程相结合，通过迭代求解粘性干扰流 场的计算方法。 同一时期，许多数学家研究了偏微分方程的数学理论，h a d a m a r d 、c o u r a n t 、 f r i e d r i c h s 等人研究了偏微分方程的基本特性、数学提法的适应性、物理波的传 播特性等问题，发展了双曲型偏微分方程理论。之后，c o u r a n t 、f r i e d r i c h s 、l e w y 等人【1 7 】发表了经典论文，证明了连续的椭圆型、抛物型和双曲型方程组解的存在 性和唯一性定理，且针对线性方程的初值问题，首先将偏微分方程离散化，然后 证明了离散系统收敛到连续系统，最后利用代数方法确定了差分解的存在性；他 们还给出了著名的稳定性判别条件：c f l 条件。v o nn e u m a n n b 9 3 还提出了一种对 时间推进问题中线性稳定性的分析方法，提供了分析线性稳定性问题的较简单的 l o 山东大学硕士学位论文 使用方法，直到目前在计算流体力学中分析线性稳定性时仍广泛地使用。 值得一提的是我国在上世纪5 0 年代也开始了计算流体力学方面的研究【1 9 】， 我国早期的工作是研究钝头体超声速无粘绕流流场的数值解方法，研究钝头体绕 流数值解的反方法和正方法。以后随着我国宇航事业的发展，超声速、高超声速 绕流数值计算方法的研究工作发展很快，对定常欧拉方程数值解的计算方法进行 研究，并给出了钝体超声速三维无粘绕流流场的计算结果。 进入2 0 世纪8 0 年代以后，计算机硬件技术有了突飞猛进的发展，随着计算 方法的不断改进和数值分析理论的发展，高精度数值模拟已不再是天方夜谭。同 时随着人类生产实践活动的不断发展，科学技术的日新月异，一大批高新技术产 业对计算流体力学提出了新的要求，同时也为计算流体力学的发展提供了更多的 机遇。 首先，又提出了一些新的计算模型，如新的大涡模拟模型、考虑壁面曲率等 效应的新的湍流模式、新的多相流模式、新的飞行器气动分析与热结构的一体化 模型等【2 0 】。这使计算流体力学的计算模型由最初的e u l e r 和n a v i e r - s t o k e s 方程， 扩散到包括湍流、两相流、化学非平衡、太阳风等问题研究模型在内的多个模型 2 1 1 。 其次，又提出了一些新的计算方法，如新的遗传算法、无网格算法、新型高 精度紧致格式、气动计算的新变分原理、结构非结构混合网络新技术、新型动 网格技术等【2 0 】。目前计算方法的研究集中在高精度格式方法上，除此之外，计算 方法研究还涉及带限制器的高阶插值、谱方法、拉格朗日方法、时空守恒元方 法等等。将其他方法引进传统的计算流体力学也是现阶段的重要成果之- - 2 1 。在 算法分析上，除传统的精度、稳定性、收敛性等方面的分析，还有更深层次的数 值动力学分析，即将数值方法看成是动力系统来进行分析，可以揭示很多数值现 象。 从计算流体力学角度来看，网格生成技术具有不可忽视的作用，这也是计算 流体力学近2 0 多年来取得较大进展的一个领域。1 9 7 4 年t h o m p s o n 等提出了采 用求解椭圆型方程方法生成贴体网格，开创了网格生成技术。随后s t e g e r 等 又提出采用求解双曲型方程方法生成贴体网格【2 3 1 。但是直到上世纪8 0 年代中期， 网格生成技术仍未能与计算格式和方法的飞速发展保持一致，因而在8 0 年代开 山东大学硕士学位论文 始发展了诸如多块对接网格技术和多域重叠网格技术等，并在此基础上产生了新 一代分块结构网格方法，具有c a d 结构的功能，因而较易于生成外形非常复杂 形体的c f d 计算网格。9 0 年代以来迅速发展的非结构网格和自适应笛卡尔网格 等方法，使复杂外形的网格生成技术呈现出了更加繁荣发展的局面。如今，网格 生成技术已成为计算流体力学的一个重要分支。 2 1 2 计算流体动力学的数值方法 计算流体力学的数值方法有很多种，其数学原理各不相同，但有两点是相同 的，即离散化和代数化。总的来说其基本思想是：将原来连续的求解区域划分成 网格或单元子区域，在其中设置有限个离散点，称为节点，将求解区域中的连续 函数离散为这些节点上的函数值；通过某种数学原理，将作为控制方程的偏微分 方程转化为联系节点上待求函数值之间关系的代数方程，求解所建立起来的代数 方程以获得求解函数的节点值。不同的数值方法，其主要区别在于求解区域的离 散方式和控制方程的离散方式上。在流体力学数值方法中，应用比较广泛的是有 限差分法、有限元法、边界元法、有限体积法、有限分析法、格子b o l t z m a n n 方 法等【2 4 】。 ( 1 ) 有限差分法 有限差分法【2 5 】是将求解区域划分为矩形或正交曲线网格，在网格线交点上， 将控制方程中的每一个微商用差商来代替，从而将连续函数的微分方程离散为网 格节点上定义的差分方程，每个方程中包含了本节点及其附近一些节点上的待求 函数值，通过求解这些代数方程就可获得所需的数值解。 有限差分法的优点是它建立在经典的数学逼近理论的基础上，容易为人们理 解和接受；主要缺点是对于复杂流体区域的边界形状处理不方便，处理不好将影 响计算精度。 ( 2 ) 有限元法 有限元法【2 5 】的基本原理是把一定的微分问题的解域进行离散化，将其剖分成 相连结又互不重叠的具有一定规则几何形状的有限个子区域，这些子区域称之为 单元，单元之间通过节点相联结。函数值被定义在节点上，在单元中选择基函数， 以节点函数值与基函数的乘积的线性组合成单元的近似解来逼近单元中的真解。 由于单元的几何形状是规则的，因此在单元上构造基函数可以遵循相同的法则， 1 2 山东大学硕士学位论文 每个单元的有限元方程都具有相同的形状，可用标准化的格式表示，其求解步骤 也很规范，即使是求解域剖分各单元的尺寸大小不一样，其求解步骤也不用改变， 这就为利用计算机编程求解带来了便利。 有限元法的主要优点是对于求解区域的单元剖分没有特别的限制，因此特别 适用于边界复杂的流场区域。 ( 3 ) 边界元法 边界元法【2 5 】是在经典积分方程和有限元法基础上发展起来的求解微分方程 的数值方法，基本思想是：将微分方程相应的基本解作为权函数，应用加权余量 法并应用格林函数导出联系解域中待求函数值与边界上的函数值与法向导数值 之间关系的积分方程；令积分方程在边界上成立，获得边界积分方程，该方程表 述了函数值和法向导数值在边界上的积分关系，而在这些边界值中，一部分是在 边界条件中给定的，另一部分是待求的未知量，边界元法就是以边界积分方程作 为求解的出发点，求出边界上的未知量；在所导出的边界积分方程基础上利用有 限元的离散化思想，把边界离散化，建立边界元代数方程组，求解后可获得边界 上全部节点的函数值和法向导数值；将全部边界值代入积分方程中，即可获得内 点函数值的计算表达式，它可以表示成边界节点值的线性组合。 边界元法的优点是：将全解域的计算化为解域边界上的计算，使求解问题 的维数降低了一维，减少了计算工作量；能够方便地处理无界区域问题：边 界元法的精度一般高于有限元法。边界元法的主要缺点是边界元方程组的系数矩 阵是不对称的满阵，该方法目前只适用于线性问题。 ( 4 ) 有限体积法 有限体积法又称为控制体积法，其基本思路是：将计算区域划分为一系列不 重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积，将待求解的微分方程对 每一个控制体积积分，得出一组离散方程。为了求出控制体积的积分，必须假定 离散方程中在网格点上的因变量驴在网格点之间的变化规律，即假定值分段的 分布剖面。从积分区域的选取方法看来，有限体积法属于加权剩余中的子区域法； 从未知解的近似方法看来，有限体积法属于采用局部近似的离散方法。概括来说， 子区域法加离散就是有限体积法的基本方法【2 6 】。 有限体积法着重从物理观点来构造离散方程，每一个离散方程都是有限大小 山东大学硕士学位论文 体积上某种物理量守恒的表示式。有限体积法的主要优点是推导过程物理概念清 晰，离散方程系数具有一定的物理意义，并可保证离散方程具有守恒特性。主要 缺点是不便对离散方程进行数学特性分析。 ( 5 ) 有限分析法 有限分析法【2 5 】的基本思想是：将求解区域划分成矩形网格，网格线的交点为 计算节点，每个节点与相邻的四个网格组成一个计算单元，即一个计算单元由一 个中心节点与8 个相邻节点组成；在每个单元中函数的近似解不是像有限元方法 那样采用单元基函数的线性组合来表达，而是以单元中未知函数的分析解来表 达；为了获得单元中的分析解，单元边界条件采用插值函数来逼近，在单元中把 控制方程中非线性项局部线性化，并对单元中待求函数的组合形式作出假设，找 出其系数用单元边界节点上待求函数值表达的分析解；利用单元分析解确定单元 中心节点与8 个相邻节点间待求函数值之间关系的一个代数方程，称为单元有限 分析方程；将所有内点上的单元有限分析方程联立，就构成总体有限分析方程， 通过代数方程组求解，即可获得求解区域中全部离散点的函数值。 有限分析法与有限元、有限差分法比较具有较高的精度。此外，有限分析法 具有自动迎风特性，能准确地模拟对流项，同时不存在数值振荡失真问题。有限 分析法的缺点是对复杂形状的求解区域适应性较差。 ( 6 ) 格子b o l t z r n a n n 方法 微流动的数值模拟是计算流体力学( c f d ) 的前沿研究之一，也是理解微机 电系统( m e m s ) 流体行为的必要工具。格子b o l t z m a r m 数值方法是广泛应用于 直接模拟流体运动特性的方法之一：基于运动理论和格子b o l t z m a n n 方程的c f d 方法消除了统计噪声，尽管在高速流体中模拟相当困难，但对低速流体模拟有着 很大优越性，同时该方法的效率可以通过并行计算来提高。 由于格子b o l t z m a n n 方法有着固有的动力学本质，对微流动的宏观动力学