《高观点下中学数学——分析学》练习题及答案.doc

高观点下中学数学分析学练习题一参考答案一、填空题1.，2.，3. 满射，4.代数数，5.，6.下凸7.传递的；8.双射；9.；10.1）;11.1）， 12. 。13.；14、甲，乙，甲，乙；15、单射；16、未知函数；17、；18、上凸; 19.传递性； 20. ； 21.可导； 22. ；23. ；24.（其中为常数）.25； 26.； 27.有； 28.收敛的子列； 29.；30.二、单项选择题1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.C；8.C；9.D；10.B；11. D；12. A13.D; 14.B; 15.C; 16.C; 17.D; 18. A; 19.C; 20.B; 21.A; 22.B; 23.D ;24.A; 25D； 27B； 27. A；28.C； 29.D；30.A 三、计算题1解 ， 2分， 7分故 8分2设，则， 3分代入得 8分3解 3分令，得，易验证是极大值点，是极小值点， 6分极大值，极小值 8分4.解 显然，且，即数列，单调增加且有上界，故存在，设，由可得， 5分即，解得5.解 首先计算过点的切线的斜率 4分所求的切线方程为 即 8分6.解 已知 （1）将代替，得 （2） 4分得 8分7.解 已知在内，是上凸函数，由上凸函数的定义有 5分即 而且当时，故是的最小值。 8分8.解 设，则 3分因，故9.解 因为,故有 5分所以有 8分10.解由方程可得，由得，即 8分11.解 已知，对两端关于求导，得 4分由 8分12. 解 已知 （1）令，即，得 （2）（2）得 6分 即， 13. 解 方程两边对求导，求出，即 3分 5分于是，切线方程为 或 8分14. 解 由已知 4分 8分15. 解 由有 8分16. 解 因为在内是上凸函数，所以由上凸函数的定义有 即有. 6分当取时，故是函数的最小值.17解 则， = 所以 =0 该结果的几何意义是平行四边形的对角线的平方之和等于四条边长的平方之和。 18解 已知,故 19解 令，求的最小值 3分 =，故单调增加 5分 7分当时，故单调增加 8分20解 设，则 2分从而有面积 3分令 5分得，即时，为最小值且 四、证明题1. 证明：（1）若设表示的补集，则有 4分（2） 8分 2. 证明：，有，故，即是的一个上界.，使得，即存在，使得故 8分3.证明：设，则，即是严格下凸，根据 有 8分4.证明：令，则是上的连续函数.若，则选取结论得证.若，则选取结论得证. 4分否则有，则，由介值定理，存在，使得，即. 8分5.证明（1）因是满射，即,进一步有，故是满射。 4分（2）采用反证法。假设不是满射，即，则存在，但。设，使，由于是单射，故，即，这与是满射矛盾。说明假设矛盾，即是满射。 8分6.证明 ，因为在点连续，故存在，当时，有 由绝对值不等式的 4分故对任意的，当时，有 即在点连续。 8分7.证明：设，则是上的连续函数，且 由介值定理，至少存在一点，使。 4分 由得，当时，。即在内严格单调增加。故有且仅有一点，使，即方程在内有且仅有一实根。 8分8.证明 采用反证法。假设是周期函数，因是连续函数且不是常值，故具有最小正周期，设为。选取自然数，使得。故存在使 4分另一方面，对于，有 这与式矛盾。故不是周期函数。 8分9. 证明：对于，有 令，则得， 6分由的任意性知，。 8分10. 证明：用表示的补集，则（1） = = 4分（2） = = 8分11. 已知在上连续，故在有最大值与最小值，从而有 4分由介值定理，存在，使 8分12设，对于，我们有，即在内是严格下凸函数，故对于有 6分代入得 8分13. 证明 先证是单射.假设不是单射，则存在，使得，但.根据已知条件有与假设矛盾，故是单射. 4分再证是满射.一方面，另一方面，由有即，故是满射. （证毕） 8分14. 证明：因，对于，当时，有，即 4分因是上的连续函数，故存在，使得当时， 选取，从而有对于，有，所以在上有界. （证毕） 8分15. 证明：“充分性”当，时，即.4分“必要性”反证法，假设，不妨设，则次代数方程 至多有个实根.另一方面，由于在区间内相等，即对于，有，这表明它有无穷多个实根，这与它至多有个实根矛盾.故.若但，因至多有个实根；另一方面，由，对任意的，有，即有无穷多是的实根，这与它至多有个实根矛盾.（证毕）8分16. 证明：设，则 且对于，有，显然有，即 6分由教材中定理知，当时，即有 17证明：设,由于是等价关系，故 2分 从而有使得，进而有，即 6分此即表明，同理有故 8分18证明：设 2分是区间的连续函数，故至少存在一点使 5分 即在内严格单调增加，故只有唯一的使 8分19.证明：设，显然有 6分当时，显然有，故当时， 8分20. 证明：设是三角形的三个内角，故 2分根据在内是上凸函数，故有 6分即 高观点下中学数学分析学练习题二参考答案一、填空题1. 2. 3.有4.中存在有限个开区间也覆盖了闭区间5. 6.0 7反身的、对称的、传递的。 8. ，使得，9 10. 112 12. ，有(或者:中任意两点的连线在中)。13等价关系14，使得15 1617线性18二、单项选择题1C 2B 3D 4A 5B 6A 7A 8C 9 C 10D 11D 12B 13D 14C 15D 16A 17B 18D三、计算题 1.解 4分= 8分2.解 4分，由 6分 得 8分3.解 设物体时刻的距离地面的高度为 2分则 4分其中，从而到达地面的时刻为， 6分，即物体撞击地面的速度是米/秒 8分4.解 的定义域为 3分令，的极大值就是的极小值，而的极小值就是的极大值 4分，当时，是的极小值点，是的极大值点，即是极大值。 6分当时，故是的极小值点，是的极大值点，即是极大值 5 解 6分= 8分6 解当时， 故 是垂渐近线。（2分） = （4分） = （6分）故斜渐近线方程为 （8分）7解 + （8分）8令 求稳定点得是稳定点 （4分） 故 是最小值点 9解： （8分）11解 （5分） 故 （8分）12解 （4分） = （6分） （8分） 四、证明题 1.证明 先来证明，事实上，设，则，由传递性，我们得 4分 其次，若，则，由传递性，即 6分表明 7分同理有，即 8分 2.证明 因为三角形的三个内角，故有， 2分根据在内是上凸函数 4分故有即 8分 3.证明：设，显然有 3分当时，显然有，而当时，故 5分 而对于与，有 6分由已经证明得，当时， ，即 ，故有，故 8分 4. 证明。 因是的最小正周期，故 2分假设不是的正整数倍，则存在正整数与正实数，使得，其中 4分对于定义域中的任意，有 6分即表明是的一个正周期，这与是最小正周期矛盾。 5证明：设 当时， （2分） （4分）当x0时 即 （6分）即当x0时， （7分）故 即 （8分）6证明：因，故存在N，当时 （2分）即有，一般地有（5分）.根据收敛（6分），故有而 故收敛，（7分） 所以收敛。（8分）7证明：已知f(x)在闭区间a,b上连续，故存在M，m，使得，有（2分），故（4分），根据故有(6分)，由连续函数的介值性定理，存在，使（8分）8证明：已知在内是上凸函数（2分），故对于，有 （6分）故 （8分）9证明：因，故存在N，当时， （3分）即时，有 （4分） 因为级数收敛。（6分），故有。因收敛（7分），故收敛。 （8分）10证明：已知f(x)在