（材料物理与化学专业论文）非广延统计中一些基本问题的研究.pdfVIP

摘要 非广延统计( t s a l l i s 统计) 是建立在t s a l l i s 熵基础之上的一种新的统计方法， 有效的推广和扩展了传统的广延玻尔兹曼统计理论。在本论文中，我们对t s a u i s 统计中一些基本的问题及其应用做了若干研究，主要内容如下： 首先，我们研究了非广延统计的应用问题。基于非广延统计适合描述长程相 互作用系统这一特点，我们将t s a l l i s 统计应用到等离子体系统，研究了具有广 义口一速度分布的非磁化无碰撞等离子体离子声波的朗道阻尼和色散关系。结果表 明，非广延统计描述下的等离子体离子声波的朗道阻尼与非广延参数相关，而且 朗道阻尼随非广延参数取值的变化而增强或减弱的情况都可以由系统中所包含 的超热和低速粒子的增加或减少来得到合理的解释。在等离子体系统中，由于非 广延参数与系统温度和势能的不均匀性联系在一起，因此我们所研究的非广延统 计下等离子体离子声波的性质为系统处在非平衡稳定状态时的性质。 接下来，我们利用对广义理想气体系统的t s a l l i s 熵函数做二阶变分的方法， 分析了广义理想气体系统的稳定性情况并以此来理解系统中所出现的定容负热 容现象。我们发现，广义理想气体系统的负热容可以通过系统的热力学不稳定性 来得到合理的解释，即当系统处在熵函数的极小值并且展现热力学不稳定性时， 就会相应的出现定容负热容现象。 最后，我们研究了t s a l l i s 统计下正则系综的能量涨落问题，并进一步来检验 非广延统计基础下的系综等价性情况。当我们得到了能量涨落的普遍表达式并以 广义的理想气体和谐振子系统为例时发现，当粒子数足够大时，正则系综能量的 相对涨落就会正比于1 ，其中为系统的粒子数，因此在大粒子数情况下，正 则系综的能量涨落是完全可以忽略不计的，这样正则系综方法下描述的系统与微 正则系综方法下所描述的系统的状态相同。因此可知，在t s a l l i s 统计基础下微 正则系综与正则系综的等价性理论仍然是成立的。 关键词： 非广延统计，离子声波，朗道阻尼，色散关系，负热容，能量涨落， 系综等价性 a b s t r a c t n o n e x t e n s i v es t a t i s t i c s ( t s a l l i ss t a t i s t i c s ) i san e ws t a t i s t i c a la p p r o a c hw h i c h d e v e l o p so nt h eb a s i so ft s a l l i se n t r o p y n o w a d a y s ，i ti tb e l i e v e dt h a tt s a l l i ss t a t i s t i c s i sau s e f u lg e n e r a l i z a t i o no ft h et r a d i t i o n a lb o l t z m a n ns t a t i s t i c s i nt h i sd i s s e r t a t i o n ， s o m eb a s i cp r o b l e m si nt s a l l i ss t a t i s t i c sa r ei n v e s t i g a t e d t h em a i nc o n t e n t sa r e o r g a n i z e da sf o l l o w s ： f i r s t ，w ed i s c u s st h ea p p l i c a t i o n so ft s a l l i ss t a t i s t i c s b a s e do nt h ef a c t t h a t t s a l l i ss t a t i s t i c si ss u i t a b l ef o rt h ed e s c r i p t i o no fl o n g r a n gi n t e r a c t i o ns y s t e m s ，w e i n v e s t i g a t et h ed i s p e r s i o nr e l a t i o na n dl a n d a ud a m p i n go fi o na c o u s t i cw a v e si nt h e c o l l i s i o n l e s sa n dm a g n e t i c - f r e ep l a s m ai ft h ep a l a s m ai sd e s c r i b e db yt h eg e n e r a l i z e d q - v e l o c i t yd i s t r i b u t i o ni nt s a l l i ss t a t i s t i c s t h er e s u l t ss h o wt h a tt h el a n d a ud a m p i n g o ft h ei o na c o u s t i cw a v e si nt h ef r a m e w o r ko ft s a l l i ss t a t i s t i c si sr e l a t e dt ot h e n o n e x t e n s i v ep a r a m e t e r , a n dt h es t r e n g t h e n e do rw e a k n e dm o d e l so fd a m p i n gc a nb e r e a s o n a b l ye x p l a i n e db yt h ei n c r e a s e dn u m b e ro fs u p e r t h e r m a lo rl o wv e l o c i t y p a r t i c l e sc o n t a i n e di nt h es y s t e m d u et ot h en o n e x t e n s i v ep a r a m e t e ri sr e l a t e dt ot h e i n h o m o g e n e i t yo ft h et e m p e r a t u r ea n dp o t e n t i a le n e r g y ，t h u s ，t h ep r o p e r t i e so fi o n a c o u s t i cw a v e sd e r i v e di nt h ef r a m e w o r ko ft s a l l i ss t a t i s t i c sa r ea c t u a l l yt h eo n e so f p l a s m a si nn o n e q u i l i b r i u ms t e a d ys t a t e i nt h ef o l l o w i n gs e c t i o n ，w ep r e s e n tas t a b i l i t y a n a l y s i so ft h eg e n e r a l i z e d c l a s s i c a li d e a lg a si nt h ef r a m e w o r ko ft s a l l i ss a t i s t i c sa n du e st h i st h e r o r yt oi n t e r p r e t t h ep h e n o m e n o no fn e g a t i v es p e c i f i ch e a ta p p e a r e di nt h en o n e x t e n s i v eg a s t h e s a t a b i l i t ya n a l y s i si sm a d eo nt h eb a s i so ft h es e c o n dv a r i a t i o no ft s a l l i se n t r o p y i t s h o w st h a tt h ea p p e a r e n c eo fn e g a t i v es p e c i f i ch e a tc a nb er e a s o n a b l ye x p l a i n e df r o m t h ev i e w p o i n to ft h es y s t e mt h e r m o d y n a m i ci n s t a b i l i t y i no t h e rw o r d s ，w h e nt h e s y s t e mi si nt h em i n i m u me n t r o p ys t a t ea n de x h i b i t st h e r m o d y n a m i ci n s t a b i l i t y ，t h e n e g t i v es p e c i f i ch e a tw i l la p p e a rc o r r e s p o n d i n g l y f i a n l l y ，w ei n v e s t i g a t et h ee n e r g yf l u c t u a t i o n sf o rt h ec a n o n i c a le n s e b l ei nt s a l l i s s t a t i s t i c sa n df u r t h e rt oc h e c kt h ee n s e m b l ee q u i v a l e n c ei nt h i sn e ws t a t i s t i c s b y t a k i n gt h eg e n e r a l i z e di d e a lg a sa n dh a r m o n i co s c i l l a t o r si nt s a l l i ss t a t i s t i c s a s e x m p l e s ，w es e et h a tw h e nt h ep a r t i c l en u m b e rn i sl a r g ee n o u g h ，t h er e l a t i v ee n e r g y f l u c t u a t i o no ft h ec a o n i c a le n s e m b l ei sp r o p o r t i o n a lt o1 n t h u s ，i nt h el a r g ep a r t i c l e n u m b e rl i m i t ，t h ee n e r g yf l u c t u a t i o n si ss os m a l lt h a ti tc a nb en e g l i g i b l e t h es y s t e m d e s c r i b e db yc a n o n i c a le n s e m b l ea p p r o a c hi st h es a m ea st h a ti nm i c r o c a n o n i c a l e n s e m b l e t h e r e f o r e ，t h ee q u i v a l e n c eb e t w e e nt h em i c r o c a n o n i c a le n s e m b l ea n d c a n o n i c a ie n s e m b l es t i l lh o l d si nt s a l l i ss t a t i s t i c s k e yw o r d s ：n o n e x t e n s i v es t a t i s t i c s ，i o na c o u s t i cw a v e s ，l a n d a ud a m p i n g ， d i s p e r s i o nr e l a t i o n ，n e g a t i v es p e c i f i ch e a t , e n e r g yf l u c t u a t i o n ，e n s e m b l ee q u i v a l e n c e 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得鑫鲞盘堂或其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者繇撕荔签字嗍叩年多日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解基建盘堂 有关保留、使用学位论文的规 定。特授权吞鲞盘茔可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同 意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 靴论文作者签名：锄考 聊签名： 签字日期：冲年厂月，弓日 一 签字日期呷年，月哆日 | 第一章绪论 第一章绪论 1 1 非广延统计热力学诞生的背景 “非广延是针对搿广延 来说的。广延性即我们所熟悉的可加性。对于 两个独立系统组成的复合系统，如果复合系统的物理量为两个独立系统的物理 量之和，我们就说这个物理量是广延的。很明显，我们所熟知的能量，粒子 数，体积等物理量都是广延量。与广延量做个对比，系统的温度，压强等物理 量不满足可加性，并且与相加性无关，它们是强度量。可以验证，传统玻尔兹 曼统计力学建立的基础，玻尔兹曼一吉布斯熵，满足广延性。玻尔兹曼一吉布斯熵 的数学表达式为【l 。3 1 s = 一l n 易， ( 1 1 ) 其中，p f 为系统处在第i 个状态上的概率。很明显，概率分布函数应满足归 一化条件 y p ，：1 。 一 ( 1 2 ) 对于两个独立的系统a ，b ，满足岛( 4 + b ) = 乃( 4 ) 乃( 曰) ，则它们复合系统 ( a + b ) 的熵为 s ( a + b ) - - k 口d 扩i n p v i ，j = 一( 彳) 乃( 口) l n b ( 彳) 乃( 召) 。 ( 1 3 ) f = s ( 彳) + s ( b ) 即复合系统的熵为两个独立系统的熵之和，因此玻尔兹曼熵是广延量，这样我 们所熟悉的玻尔兹曼统计力学也被称为广延的统计力学。 在现阶段，玻尔兹曼统计力学已经发展到比较完善，并且成为极其普遍的 理论。玻尔兹曼统计力学在处理短程相互作用和短时记忆系统方面取得了巨大 的成功。但在处理长程相互作用系统，如自引力系统时却显得有些不足。思里 克费米在他著名的著作热力学中说道1 4 j ，一个由几个部分组成的系统的熵 第一章绪论 刚好等于它的各个组分的熵的总和，当系统能量是其它各部分的能量之和，或 者一个系统在变换的过程中所做的功等于各部分做功的总和时前面的表述就是 正确的。值得注意的是这些条件并不是明显的而且在有的时候它们不一定都被 满足。恩里克费米这段话似乎在说明，在长程相互作用系统中，由于系统之 间是相互影响的，因此组合系统的能量不再为几个分立系统的能量之和，这样 系统的熵很可能也不再是它的各个组分的熵的总合。如果这时仍用广延的玻尔 兹曼统计力学对它进行描述，就会显得不足，而且有时还会出现奇异性的结果 【5 9 1 。比如，从玻尔兹曼统计力学角度来看，这种长程相互作用引起的热力学奇 异性在物理上的表现为，我们没有办法同时得到一个有限系统的总质量，总能 量和总熵。面对玻尔兹曼统计力学描述长程相互作用系统的困难，英国著名物 理学家皮特兰兹伯格在1 9 7 8 讲到【l0 1 ，为描述长程力，需要对热力学进行修正， 其中一些问题有待进一步研究。其实在实际应用中，除以上所提到的自引力系 统，玻尔兹曼统计在描述以下系统时，也会出现奇异性 ( 1 ) 粒子间为长程相作用的亚稳态平衡系统。 ( 2 ) 类玻璃系统。 ( 3 ) 一些耗散系统。 ( 4 ) 有记忆效应的介观系统。 ( 5 ) 一些不满足简单各态历经的系统，并且这些系统的相空间可能是多重 分形或是分层的。 ( 6 ) 纯电子等离子体的二维湍流等。 传统玻尔兹曼统计在处理上述这些系统时表现出来的局限性，意味着有些 物理系统已经超出了玻尔兹曼统计的适用范围，这时就有必要对玻尔兹曼统计 理论进行拓展，形成一种新的统计理论来描述广延统计无法描述的物理系统。 同时，这种新理论不仅能够包括原有的玻尔兹曼统计理论，而且应具有更加普 遍的适用性。这样，基于传统玻尔兹曼统计理论在描述诸如长程相互作用系统 时的不足，诞生了非广延统计和相应的热力学的研究。 1 2 非广延统计力学的提出 在上一节中我们了解了玻尔兹曼统计力学的不足，因此有必要对传统理论 进行拓展和推广。在对玻尔兹曼统计理论进行拓展，提出具有更加普遍性的新 统计理论时，需要满足以下两个条件： ( 1 ) 新的统计不能从玻尔兹曼统计中推导出来，但是它可以从玻尔兹曼统 计中借用某些概念。 2 第一章绪论 ( 2 ) 新的统计和玻尔兹曼统计应该存在某些联系，使用一些渐进化方法应 该可以重新回到传统的玻尔兹曼统计。 现在我们来寻找对玻尔兹曼统计理论进行拓展的基本出发点。我们知道， 玻尔兹曼统计力学建立在广延的玻尔兹曼一吉布斯熵的基础之上，并且从熵的角 度，由最大熵原理可以从系综论和分子运动论中重新推导出整个玻尔兹曼统计 力学来。因此可知，熵函数在统计力学中占有很重要的位置。如果我们能将玻 尔兹曼统计力学建立的基础，玻尔兹曼一吉布斯熵，进行推广，或许就能建立拓 展的统计力学。因此，寻找广义的熵函数就成为了建立新的具有更加普遍性统 计力学的出发点。 19 8 8 年，巴西物理学家c t s a l l i s 在广延的玻尔兹曼熵的基础之上引入了非广 延参数g ，构造出了一种新的熵函数形式，t s a l l i s 熵 i h ，其数学表达式为 ，。q 一1 s 。= k 。鱼纪。 ( 1 4 ) 。 1 一鼋 很容易证明，t s a l l i s 熵在q 一1 的极限下回到了玻尔兹曼一吉布斯熵。因此， t s a l l i s 熵是对玻尔兹曼熵函数的一种推广。 t s a l l i s 熵区别与玻尔兹曼一吉布斯嫡的一个显著特点是，t s a l l i s 熵是非广延 的，即对于两个独立系统，满f f z p g0 + b ) = b ( 彳) p j ( 口) ，它们复合系统的熵 满足 & ( 彳+ b ) ：& ( 彳) + 叉( 召) + 堑二堂至掣。 ( 1 5 ) 很明显，在q l 时，t s a l l i s 熵不满足可加性，( a + b ) ( 么) + 配( b ) 。只有 在口专1 的极限条件下，才恢复了广延性，并且此时的t s a l l i s 熵函数回到了传统 的玻尔兹曼熵。因此，参数g 成为系统熵函数非广延性的一种量度，它的取值 对一偏离的越远表明系统的非广延程度越大。 与玻尔兹曼统计力学建立在玻尔兹曼一吉布斯熵基础上一样，以推广了的非 广延t s a l l i s 熵为基础建立起了种新的统计方法，被称为非广延统计，或 t s a l l i s 统计。很明显，非广延统计中的t s a l l i s 熵函数不能从玻尔兹曼熵函数推 出，并且通过g 专1 的渐进方式回到了波尔兹曼统计中的熵函数形式，满足前面 所提及的建立新的统计方法应遵从的条件，因此是对玻尔兹曼统计力学的一种 推广。近几年来，非广延统计力学得到了广泛的应用和发展，在自引力系统 1 5 - 9 , | 2 1 9 ，非线性动力学系统 1 9 - 3 9 】，金斯判据【钺h 3 1 ，一维i s i n g 模型【4 “7 1 ，铁磁系 统4 8 蜘，纯电子等离子体系统 6 8 - 7 2 ，l d v y 奇异分布7 删，量子气系统 9 5 - 9 8 等方 第一章绪论 面解释了一些用传统统计无法解释的现象，并且取得了巨大的成功。比如，在 上面所提到的用玻尔兹曼统计力学来描述自引力系统时，就会出现无限大质量 的奇异性，而当我们用非广延参数稍微偏离一的t s a l l i s 统计来描述时【9 9 1 删，就 会得到令人满意的结果。因此，t s a l l i s 统计力学是对传统统计力学的一种有效的 推广。 1 3s h a n n o n k h i n c h i n 公理体系 我们知道，在玻尔兹曼统计中熵函数的形式是唯一的，这时因为在玻尔兹 曼统计中存在s h a n n o n k h i n c h i n 公理( 1 0 l - 1 0 2 1 ，此公理体系唯一的确定了熵函数应 该具有的形式，那就是玻尔兹曼一吉布斯熵。我们现在来看一下对熵函数形式做 出限制的s h a n n o n k h i n c h i n 公理。 其中s h a n n o n 公理为： ( 1 ) 对于所有的变量和概率分布来说，熵必须是连续函数。 ( 2 ) 熵函数s ( p 。= p ：= = p w = l l w ) 随着状态数的增加单调增加。 ( 3 ) 如果两个微观态的概率， n ( 4 ) ， p ，( b ) 满足 助( 彳+ b ) = p ，( 彳) 所( b ) ，则有s ( 么+ b ) = s ( 彳) + s ( b ) 。 ( 4 ) 设一个系统可以分为两个系纰和旭总的状态数为w = 形+ ，定 义咒= ；，- - - - w 。忍，昂= 篇+ ，熵函数满足 s ( 外嘞) ( 置，气) + e s 悟，鲁j + 昂s ( 每，每j 。 ( 1 6 ) 这样，满足s h a n n o n 公理的熵函数只能是玻尔兹曼一吉布斯熵。 k h i n c h i n 公理的具体内容为： ( 1 ) 对于所有的变量和概率分布来说，熵必须是连续函数。 ( 2 ) 熵函数s ( p 。= p ：= = p 。= l w ) 随着状态数w 的增加单调增加。 ( 3 ) s o , ，p 矽，0 ) = s ( p ，p 矽) ，即零概率的状态是不存在的。 ( 4 ) s ( a + 口) = s ( 4 ) + s ( b i a ) ，其中s ( b l 彳) 为条件熵。 可以证明，当且仅当熵函数具有玻尔兹曼熵( 1 1 ) 的形式时，才能满足 k h i n c h i n 公理。因此，s h a n n o n k h i n c h i n 公理体系保证了传统的玻尔兹曼统计中 玻尔兹曼一吉布斯熵的唯一性。 与玻尔兹曼统计中对熵函数的唯一性的要求相一致，在非广延统计中也应 该保证t s a l l i s 熵函数的唯一性。为了使玻尔兹曼统计中保证熵函数唯一性的 s h a n n o n k h i n c h i n 公理体系在更广泛意义上来描述推广了的t s a l l i s 熵，s a n t o s 和 4 第一章绪论 a b e 推广了s h a n n o n - k h i n c h i n 公理，建立起s a n t o s a b e 公理体系来保证非广延统 计力学q b t s a l l i s 熵函数的唯一性1 0 3 - 1 洲。其d f l s a n t o s 公理的内容为【1 0 3 】： ( 1 ) 对于所有的变量和概率分布来说，熵必须是连续函数。 ( 2 ) 熵函数s ( 岛= 见= = p ，= 1 形) 随着状态数形的增加单调增加。 ( 3 ) 如果两个微观态的概率，p i ( a ) ， p ，( b ) 满足 p o ( 么+ b ) = p ；( 彳) p j ( b ) ，则有 s ( 彳+ b ) ：s ( 彳) + s ( b ) + ( i - q ) _ s - ( a ) s 一( b ) 。 ( 1 7 ) ( 4 ) 设一个系统可以分为两个系统三和m 总的状态数为w = 睨+ ， 定义= 差卜易，昂= 厶弋 , 卢j f f i , 吃w + l p ，熵函数满足 s ( 邝西) = s ( 最，昂) + 覃s 陪，薏 + 瑶s ( 案，考) 。 n8 ， 与s h a n n o n 公理相比，s a n t o s 公理引入了一个非广延参数g ，并且保证了满足此 公理的t s a l l i s 熵函数的唯一性。 a b e 公理为【1 叫： ( 1 ) 对于所有的变量和概率分布来说，熵必须是连续函数。 ( 2 ) 熵函数s ( p 。= p 2 = = p ，= 1 形) 随着状态数啪增加单调增加。 ( 3 ) s ( p ，p ，o ) = s ( p ，p 矿) ，即零概率的状态是不存在的。 ( 4 ) s ( 彳+ 曰) = s ( 彳) + s ( 召l 彳) + ( 1 一q ) s ( a ) s ( bi 彳) k ，其中s ( 8l 彳) 为 条件熵。 可见a b e 公理是对k h i n c h i n 公理的推广，满足以上四个条件的熵函数只能是 t s a u i s 熵。 对比玻尔兹曼统计中的s h a n n o n k h i n c h i n 公理可知，t s a l l i s 熵函数继承了玻 尔兹曼熵除广延性以外的所有性质，因此是对传统波尔兹曼一吉布斯熵的一种有 效推广。 1 4 本论文的研究内容和文章结构 1 4 1 本论文的主要研究内容和意义 在本论文中，我们对t s a l l i s 统计的应用和t s a l l i s 统计中一些基本的问题进行 第一章绪论 了初步的讨论和研究，这对t s a l l i s 统计的理解以及完善和发展都具有一定的意 义。首先，我们将t s a l l i s 统计应用到长程相互作用系统l l 吲，等离子体中，研究 了具有幂率分布的非磁化无碰撞等离子体离子声波的色散关系和朗道阻尼。在 等离子体系统中，非广延参数与系统温度的不均匀性联系在一起，这样我们所 研究的t s a u i s 统计下等离子体离子声波的性质实际上为处于非平衡稳定状态下 等离子体系统的性质，与我们所熟悉的玻尔兹曼统计下所描述的处于温度均匀 的平衡状态的系统性质不同。由于长程相互作用系统很难处于温度均匀的热力 学平衡状态，所以对其非平衡稳定状态的研究具有更加普遍的意义。接下来， 我们分析了非广延统计中g 平均值形式下广义理想气体的稳定性问题1 1 0 6 j ，并 由此来理解广义理想气体系统中所出现的负热容现象。以前我们所熟悉的负热 容现象只出现在自引力系统，并且由势能相互作用造成，但它在没有明显势能 作用的广义理想气体中的出现就变得难以理解。在本文中，我们通过分析系统 的稳定性情况，合理的解释了负热容现象出现的原因，因此这对将玻尔兹曼统 计中的理想气体模型合理的推广到t s a l l i s 统计中具有重要的作用。最后，我们 讨论 t s a l l i s 统计中正则系综的能量涨落和系综的等价性问题【1 0 7 j 。在玻尔兹曼 统计中，虽然正则系综与微正则系综方法的概念不同，但对于宏观系统，正则 系综方法下系统能量的相对涨落是可以忽略不计的，因此说明了正则系综与微 正则系综方法的等价性。那么，在推广了的非广延统计中这种系综的等价性理 论是否得到了保存，这成为了t s a l l i s 统计系综理论中一个基本的问题。因而，对 非广延统计中正则系综的能量涨落和系综等价性问题的研究对t s a l l i s 统计理论 的完善和发展具有重要的作用。 1 4 2 论文结构安排 论文的具体安排如下： 在第二章中我们首先介绍 t s a l l i s 熵的构造思路和它的数学性质。接下来， 我们讨论了非广延统计中的正则系综方法下对系统内能平均值的约束条件，并 给出了不同约束条件下所得到的广义正则平衡分布函数。可见，在t s a i l i s 统计 中存在三种不同的内能约束条件，也就导致了三种不同的平均值方法，这是对 玻尔兹曼统计中平均值标准形式的推广。在第一种内能约束条件下，平均值采用 归一化平均值形式，与我们熟悉的平均值的标准形式相同。但此种方法下得到 的广义平衡分布函数在处理一些反常系统时会出现发散的问题，因此是不完备 的，于是引入了第二种内能约束条件，这时物理量平均值为g 一平均值形式。这 种平均值方法是对概率分布p f 引入权重因子后变为p ；得到的。在这种方法下， 虽然发散的问题不再出现，但同时又出现了一些我们不熟悉的结果，如，概率 6 第一章绪论 分布函数在能谱的整体平移下发生改变；常数的q 平均值不再等于本身等。鉴 于前两种内能限制条件所导致的不足，t s a l l i s 等人又提出了第三种内能限制方 法，这时平均值采用了归一化g ，平均值的形式。在这种内能限制条件下，以前 所出现的发散问题以及我们不熟悉的结果都得到了解决。在本章的最后，我们 介绍了非广延热力学中的勒让德结构以及非广延参数的物理意义。可见，在长 程相互作用的等离子体和自引力系统中，非广延参数与系统温度和势能的不均 匀性联系在一起。这样非广延统计描述了温度不均匀的非平衡稳定状态系统的性 质，因此说明了非广延统计的适用范围。 在第三章中，我们将非广延统计力学应用到等离子体系统中，研究了具有 广义g 一速度分布的非磁化无碰撞等离子体中的离子声波的色散关系和朗道阻 尼。通过绘制g 分布函数所描述的系统粒子的速度分布情况与非广延参数g 的关系图，我们发现，系统粒子的速度分布情况取决于非广延参数的取值。当 q l 时，系统中低速粒子所占的比例很大。由于朗道阻尼起因于波与粒子的相 互作用，并且与波共振的粒子数的多少决定了朗道阻尼的强弱，所以非广延统 计描述下的离子声波的朗道阻尼与非广延参数相关。因此我们讨论了广义朗道 阻尼的强弱随非广延参数取值的变化关系，并且发现朗道阻尼增强或减弱的变 化都可以由系统中超热或低速粒子数的增加或减少来得到合理的解释。另外， 我们发现，在电子温度与离子温度相接近条件下，当非广延参数的取值较小 时，系统会出现弱阻尼的现象，而在玻尔兹曼统计下只有强阻尼模式的存在。 由于在等离子体系统中，非广延参数与系统温度的不均匀性联系在一起，这样 我们所讨论的非广延统计下离子声波的性质其实为非平衡稳定状态下系统的性 质。 在第四章中，我们研究了非广延统计下广义理想气体系统的稳定性和负热 容问题。广义理想气体是对我们所熟悉的玻尔兹曼统计中理想气体模型的推 广。在广义理想气体模型中，系统仍然不包含明显的势能。但是玻尔兹曼统计 描述下用来保证系统达到平衡的粒子间微弱的短程相互作用改为了微弱的长程 相互作用，并且广义理想气体遵从t s a l l i s 统计中的广义的麦克斯韦速度分布。 在非广延统计中，当我们用g 平均值方法来研究广义理想气体时发现，在非广 延参数的取值超出一定的范围时，系统就会出现负热容现象。对我们来说，负 热容是一个不容易理解的现象，经常与系统的不稳定性联系在一起。为了理解 广义理想气体的负热容现象，我们利用对广义气体系统的t s a l l i s 熵做二阶变分 的方法分析了系统的稳定性情况，发现负热容的出现与系统的不稳定性联系在 一起，即当系统处在熵函数的极小值并且展现热力学不稳定性时，就会对应着负 7 第一章绪论 热容现象的出现，因此合理的解释了广义理想气体系统中负热容现象产生的原 因。 在第五章中，我们讨论了非广延统计中正则系综的能量涨落和系综的等价 性问题。在统计力学中，系综理论是比较重要的理论之一，我们常用的平均值 实际上都为系综平均值。在系综理论中，虽然存在着三种不同的系综方法，即 微正则系综方法，正则系综方法和巨正则系综方法，但在玻尔兹曼统计中这三 种系综方法是等价的。导致这几种方法等价的原因是( 巨) 正则系综的能量( 能 量和粒子数) 的相对涨落在宏观条件下是可以忽略不计的，这样与微正则系综方 法所描述的系统状况相同，因此说明了这几种系综方法的等价性。这样，在推 广了的t s a l l i s 统计中同样也存在着系综是否等价这个基本的问题，即在t s a l l i s 统 计下正则系综的能量涨落是否可以忽略的问题。为此，我们研究了t s a l l i s 统计 中的能量涨落，并得到了能量涨落的普遍表达式。然后我们将这些表达式应用 到广义的理想气体系统和谐振子系统中来具体计算它们的能量涨落，以便进一 步研究非广延统计基础下的系综等价性问题。我们发现，当粒子数足够大 时，正则系综能量的相对涨落正比1 n ，比玻尔兹曼统计下的能量相对涨落还要 小，在玻尔兹曼统计下正则系综的能量相对涨落正比于l 。这样在大粒子 数极限条件下，正则系综的能量涨落是完全可以忽略不计的，因此说明了在非 广延统计中正则系综方法和微正则系综方法仍然是等价的。 第六章，在总结本文工作的基础上，探讨了下一步需要进行的研究工作。 8 第二章非广延统计力学和热力学简介 第二章非广延统计力学和热力学简介 我们知道，t s a l l i s 统计有效的推广了传统的玻尔兹曼统计理论，并且广泛的 应用到很多领域内 1 0 8 - 1 0 9 。在本章中，我们对t s a u i s 统计力学和热力学理论作 了一个简单的介绍。首先，回顾了t s a l l i s 熵的构造方法，以及它的数学性质。 其次，讨论了非广延统计正则系综方法中对内能三种不同的约束条件，以及每 种内能约束条件下所得到的广义正则平衡分布函数。可见，在t s a l l i s 统计中存在 三种不同的平均值方法，推广了玻尔兹曼统计中我们所熟悉的平均值标准形 式。通过对这三种平均值方法的讨论，我们发现在不同的平均值形式下得到的 系统性质是不相同的。最后，我们介绍了非广延热力学中的勒让德结构和在诸 如等离子体、自引力系统的长程相互作用系统中非广延参数的物理意义，可知 非广延参数与系统温度的不均匀性联系在一起，因此说明了非广延统计所描述的 系统状态。这部分内容是非广延热力学的重要组成部分，也是整个非广延统计 理论的基础。 2 1 t s a l l i s 熵的构造方法及其数学性质 2 1 1t s a l l i s 熵的构造方法 先来看满足以下微分方程的解 很容易求得此解为指数形式 因此，它的反函数为对数函数 对数函数满足可加性，即 咖 l 2 y o d x 。 y = e 。 y = l n x 。 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) l n ( _ ) = l i l 毛+ l n x b 。 ( 2 4 ) 9 第二章非广延统计力学和热力学简介 因此，我们所熟悉的对数函数形式的玻尔兹曼昔布斯熵为广延量。将玻尔兹曼一 吉布斯熵改写一下形式 忙p 加只= k ，h i l = m 分 组5 ， 因而可知，玻尔兹曼熵可以看作是不确定度，l i l ( 1 肋，) ，的平均值。在等概率条 件下 a = 专， ( 2 6 ) 其中，形为系统总的状态数。玻尔兹曼熵为 & = l n w 。( 2 7 ) 为了将广延的玻尔兹曼熵进行推广，首先要将熵函数中用到的指数，对数 函数形式进行推广。在指数函数所满足的方程，( 2 1 ) ，中引入一个参数q 后 方程变为【1 1 0 l 一d y ：少。 ( 2 8 ) 一= v i 三nj d x 。 这时的微分方程是非线性的，其解为 y = e l + ( 1 - q ) 工 上暑白x 。 ( 2 9 ) 在上式中我们定义了广义的指数函数， g 一指数，它在g 专1 的极限条件下，回 到我们熟悉的指数形式。将广义g 一指数的反函数定义为广义的对数函数 y = 寄暑- n 一 汜 y2 百啪4 扎 心 与对数函数满足的可加性不同，广义的对数函数满足伪可加性 i n g ( x a x b ) = i n 口_ + i n gx b + ( 1 一q ) l n 口硝i n g ， ( 2 1 1 ) 并且在g 一1 时，恢复了对数函数的可加性。仿照前面所提到的玻尔兹曼熵可以 看做是不确定度函数，l n ( 1 p ，) ，的平均值形式，我们来定义一种新的熵函 数，它应该是广义不确定度函数，i n 。o p ，) ，的平均值 1 0 第二章非广延统计力学和热力学简介 & = h ，分k p i 1 = 普。 亿 把形如( 2 1 2 ) 式的熵函数称为t s a l l i s 熵。可以证明，在g 一1 的极限条件下， t s a l l i s 熵回到了熟悉的玻尔兹曼熵。等概率条件下的t s a l l i s 熵具有如下的形式 毛= 寄= 讪丹 ( 2 1 3 ) 可见t s a l l i s 熵是玻尔兹曼一吉布斯熵函数的一种自然的拓展。 现在我们来简单介绍一下t s a l l i s 熵的创始人，巴西物理学家c t s a l l i s ，在 1 9 8 8 年提出非广延熵的思路【1 1 0 】。t s a l l i s 受分形理论的启发，意识到很多物理现 象或受小概率事件或常概率事件的影响，这一点就像分形中发生的那样。如果 对概率分布函数p i 入一个参数g ，使其成为p ；，那么在0 1 时， 群 1 时， ( 彳+ 男) 气( 么) + 毛( b ) ， ( 2 1 6 ) 第二章非广延统计力学和热力学简介 则称t s a l l i s 熵是亚广延的。 ( 2 ) 非负性 不论非广延参数的取值是q l 还是q 1 ，总能保h 正t s a l l i s 熵函数的非负性 & 0 。 ( 3 ) 凹凸性 先给出函数凹凸性的定义。考虑对于个给定系统( 待l ，2 w ) 的两种分布 既) 和 p ；) ，给出介于这两种分布之间的一种分布函数 = k t p ，+ ( 1 - z ) p ；， ( 2 1 7 ) 其中0 0 时是凹函数，并且 这时存在极大值；而在q 0 时 为熵的极大值状态，q 0 时为熵的极小值状态) ，如果存在一个微小的扰动使 分布函数发生变化，则扰动后系统的分布函数具有回到原来平衡分布( 熵的极值 状态) 的趋向。另外，熵函数的凹凸性提供了两个具有不同温度的系统能达到相 同温度的平衡状态的可能性。 ( 4 ) 单调性 由( 2 1 2 ) 可知，t s a l l i s 熵函数随着系统可能的微观状态数目形的增多而 单调增加。 ( 5 ) 熵函数的稳定性 对于一个熵函数s 只) ，当且仅当它满足以下条件时，我们称它是稳定的。 对于任意一个给定的小量占 0 ， 满足 使得 矽 y ! i p , 一_ l = 疋， f ! 生! 二生! ! 0 时是稳定的】。 2 2t s a l l i s 统计中三种不同的内能约束条件，即三种不同的平均值方 法 t s a l l i s 统计是对玻尔兹曼统计理论的一种有效的推广和拓展。在此统计方法 中，不仅推广了玻尔兹曼统计中熵函数的形式，而且推广了平均值的标准方 法。在下面我们将看到在t s a l l i s 统计的正则系综方法中存在三种不同的内能约 束条件，也即引申出三种不同的平均值方法【1 1 2 1 ，现在我们来逐一介绍它们。 第二章非广延统计力学和热力学简介 2 2 1 归一化内能约束条件 在归一化的内能约束条件下，内能平均值采用以下的形式1 1 2 】 p ，毛= u 。 ( 2 2 2 ) f 我们知道，广义的正则平衡分布函数可以由最大熵原理得到，l l p t s a l l i s 熵在能 量和质量守恒限制条件下取极值得到。其中能量守恒条件为( 2 2 2 ) ，质量守恒 等价于概率守恒 = 1 。 ( 2 2 3 ) 通过引入拉格朗日乘子口，t s a l l i s 熵在能量和质量守恒限制条件下的极值 问题等价于 万时酊( p - 1 ) - 毗- 1 ) ( p 舢) = 0 0 汜2 4 ， 由此可得广义的正则平衡分布函数为 只= 荨l 一( 州) 腾产 ( 2 2 5 ) 其中乙为配分函数，形式为 z q = z 1 - ( q - 1 ) f 1 6 ； - 毒, 。 ( 2 2 6 ) 这时任意物理量f 的平均值应采用与内能限制条件相同的形式，即 ( f ) - - d ，z 。 ( 2 2 7 ) 可见此平均值方法与我们熟悉的玻尔兹曼统计中的标准平均值方法相同。 很明显，在t s a l l i s 统计中的归一化内能限制条件下得到的广义正则平衡分布 为幂函数形式，它在g 哼l 的极限条件下回到了玻尔兹曼统计中指数形式的正则 平衡分布 p i ：l e x p ( 一触