（材料加工工程专业论文）基于弧长法的有限元逆算法及其在板料成形中的应用.pdf

武汉理工大学硕士学位论文 摘要 在冲压板料成形加工中，毛坯展开计算非常重要。求得板料的展开毛坯， 是分析板料变形程度、设计工艺以及拟定工艺规程的前提。合理的毛坯形状和 尺寸，可以明显改善冲压过程中板料变形不均匀的现象，充分发挥金属的成形 性能。在板料的展开方法中，基于全量理论的有限元逆算法只考虑初始构形及 最终构形两个形态，计算速度快，是一种高效的展开算法。在给定工艺条件下， 逆算法能快速计算出板料的毛坯形状，以及最终的应力、应变分布和厚度变化 等信息。 本文详细阐述了板料成形基本理论，对有限元逆算法的基本原理和实施过 程进行了介绍；使用比例加载条件下的材料厚向异性本构关系和简单有效的三 角形膜单元，建立了相应的有限元逆算法方程，并编写了计算机程序。然后以 a b a q u s 为平台，通过其用户单元u e l 模块，利用a b a q u s s t a n d a r d 求解器 对有限元逆算法的非线性方程组进行求解。 初始解的确定是有限元逆算法的关键问题，往往会产生单元拓扑关系的变 化。因此，初始解不仅能影响逆算法的收敛速度，更能决定逆算法计算结果是 否正确。经过研究，提出了弧长法，通过单元追踪计算出最终构形上每个节点 到所选取的弧长起始点之间的弧长，能够将产品的最终构形准确的映射到初始 平面，并保持每个单元的拓扑关系，所获得初始解能够使有限元逆算法迅速收 敛。 用有限元逆算法对圆盒件和类车门件进行了展开计算，并将计算结果与增 量有限元软件d y n a f o r m 和试验的结果进行了分析比较。分析结果显示：在 工程精度范围内，有限元逆算法计算结果与增量有限元计算结果基本吻合，但 逆算法的计算速度大大高于增量有限元法，节省了大量时间。实例分析表明有 限元逆算法是一种有效的板料展开算法，在产品初期设计阶段具有较大的应用 价值。 最后在完成三角形膜单元的基础上，本文又推导了基于四节点四边形等参 单元有限元逆算法的部分公式，并用弧长法求出了四边形等参单元的初始解， 为四边形有限元逆算法的完成打下了良好的基础。 关键词：有限元逆算法；弧长法；毛坯展开；板料成形 武汉理工大学硕士学位论文 a b s t r a c t b l a n kd e s i g ni si m p o r t a n ti ns h e e tm e t a ls t a m p i n gf o r m i n gp r o c e s s i ti s t h e p r e m i s et oo b t a i nt h eb l a n ks h a p eo ff o r m i n gp a r t st oa n a l y z ef o r m i n gd i s t o r t i o n d e g r e e ，d e s i g nt e c h n o l o g ya sw e l la sd r a f tp r o c e s ss p e c i f i c a t i o n s r e a s o n a b l eb l a n k s h a p ea n ds i z ec a no b v i o u s l yi m p r o v et h ei n h o m o g e n e o u sd e f o r m a t i o no fb l a n ka n d f u l l ye x p l o i tt h em e t a lf o r m i n gp e r f o r m a n c e a m o n g t h em e t h o d so fb l a n kd e s i g n ，t h e i n v e r s ef i n i t ee l e m e n t sa p p r o a c h ( i f e a ) b a s e do nt o t a ls t r a i nt h e o r y , o n l y c o n s i d e r i n g t h ei n i t i a la n df i n a ls t a g e so ft h ep a r t s ，m a k e si f e am e t h o dv e r yf a s ta n dh i g h e f f e c t i v e u n d e rs o m es p e c i f i cc o n d i t i o n s ，i f e am e t h o dc a nq u i c k l yc a l c u l a t eb l a n k s h a p e ，f i n a ls t r e s s ，s t r a i n ，t h i c k n e s sc h a n g er a t ee t c 。 i nt h ep a p e lt h eb a s i ct h e o r yo fs h e e tf o r m i n gi sf u l l ys t u d i e d t h eb a s i ct h e o r y o fi f e aa n dh o wt oo p e r a t ei ta r eb r i e f l yi n t r o d u c e d t h e nt h ea n i s o t r o p i cc o n s t i t u t i v e r e l a t i o nu n d e rp r o p o r t i o n a ll o a d i n gc o n d i t i o na n df i a tt r i a n g u l a rm e m b r a n ee l e m e n t s o fc o n s t a n tt h i c k n e s sh a v i n gt h r e en o d e sa r ea d a p t e d ，a n dt h e nt h er e l a t e df o r m u l ai s p u tf o r w a r da n dt h er e l a t e dc o m p u t e rp r o g r a mi si m p l e m e n t e d t h e nw eg e tt h e s o l u t i o n so fi f e an o n 1 i n e a re q u a t i o n sb yt h ea b a q u su s e rd e f i n ee l e m e n to p t i o n ( u e l ) a n di t ss t a n d a r dc a l c u l a t o r t h ek e yp r o b l e mo fi f e ai st h ec a l c u l a t i o no fi n i t i a ls o l u t i o n s ，b e c a u s eo ft h e d i f f i c u l t yt ok e 印t h et o p o l o g yo fm e s he l e m e n t s s ot h ei n i t i a ls o l u t i o n sn o to n l y i n f l u e n c et h er a t eo fc o n v e r g e n c eb u ta l s od e t e r m i n et h er e s u l t so fi f e aa r ev a l i do r n o t a r c 1 e n g t hm e t h o di sp r o p o s e dt o r e s o l v et h ed i f f i c u l t y , w h i c hm a pt h ef i n a l p r o d u c tb yt h ea l el e n g t ho fe v e r yn o d eo fp r o d u c t t ot h eo r i g i n a ln o d e t h i sm e t h o d c a nk e e pt o p o l o g yo fa l lt h em e s he l e m e n t sa n di m p r o v et h ec o n v e r g e n c e o fi f e a c y l i n d r i c a lc u pa n dd o o r - l i k ep r o d u c ta r es i m u l a t e db y i f e ap r o g r a m t h e nt h e r e s u l t sa r ec o m p a r e dw i t ht h o s es i m u l a t e db yi n c r e m e n t a ls o f tw a r ed y n a f o r m a n de x p e r i m e n t a l t h ec o m p a r i s o n ss h o wt h a ti n v e r s ea p p r o a c h ，w h i c hc a nb eu s e dt o e v a l u a t et h es h e e tm e t a lf o r m i n gp r o c e s sq u i c k l y , i sa ne f f e c t i v ea p p r o a c hf o rb l a n k d e s i g n s oi ti sag o o dc h o i c et ou s et h i sm e t h o di nt h ei n i t i a ls t a g eo fd i ed e s i g n f i n a l l y , t h ei f e ab a s e do nt h ef o u r - n o d ei s o p a r a m e t r i ce l e m e n ti s d i s c u s s e d a f t e rt h et r i a n g u l a rm e m b r a n ee l e m e n ta n dp a r to ft h ef i n i t ee l e m e n te q u a t i o ni s 武汉理工大学硕士学位论文 e s t a b l i s h e di nt h i sp a p e r t h e nt h ei n i t i a ls o l u t i o no ff o u r - n o d ee l e m e n ti so b t a i n e db y a l e - l e n g t hm e t h o d ，w h i c hi st h eb a s i co fi f e ab a s e do nt h ef o u r - n o d ee l e m e n t k e y w o r d s ：i n v e r s ef i n i t ee l e m e n ta p p r o a c h ；a l e l e n g t hm e t h o d ；b l a n kd e v e l o p m e n t ； s h e e tm e t a lf o r m i n g 1 1 1 独创性声明 本人声明，所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得武汉理工大学或其它教育机构的 学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生( 签名) ：碘日 关于论文使用授权的说明 期牡 本人完全了解武汉理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即学校有权保 留、送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 一徽，：难：缆日期掣月 武汉理工大学硕士学位论文 1 1 课题的背景和意义 第1 章引言 板料成形是金属塑性成形方法的一种，是利用金属板料在固体状态下的塑 性，通过模具及外力作用而制成零件的一种少( 无) 切屑的加工方法【l 】。板料成形 的生产效率和材料利用率高，成形制件重量轻、体积小、结构强度高，因此金 属板料广泛应用于航空、宇航、汽车、造船、家用电器、五金等工业部门【2 】。板 料成形工艺过程包括一系列相互联系、相互制约的部分，其中模具的设计和制 造是钣金成形的关键步骤。按照传统的生产方式，冲模制造完成后，必须用规 定的板材在模具中冲压制件，再按制件上出现的各种质量问题( 如破裂、起皱、 刚性不足、回弹过大、材料变薄严重等) 对模具和冲压条件进行反复修正，直 到冲压出合格制件为止。这一过程称为模具调试或调整。模具调试过程周期长、 反复多、成本高、技术要求高，有时还会因冲制不出合格制件而导致全套工艺 方案失败和模具报废。同时，在进行模具制造的过程中，落料模和修边模必须 在拉深模和翻边模调试合格、确定落料尺寸和修边线之后才能进行制造。这就 使产品的开发成为缩短生产准备周期难、产品更新换代慢的主要环节。产生这 种现象的原因很多，有工艺方面的、模具方面的、设备方面的、材料方面的以 及生产操作方面的【3 】。而影响冲压成形的诸多因素之间又互相作用，相互制约， 变化复杂，进行工艺设计和模具设计往往是以经验为主，不能给出定量关系。 最有经验的冲压专家也不能在模具设计之前对成形过程及可能出现的问题做出 准确预测。随着经济的发展，市场竞争越来越激励，产品更新换代的周期越来 越短，传统的模具设计方式已无法满足现代工业的发展要求【4 】。 随着力学、计算数学、特别是大变形弹塑性有限元方法及计算机的迅速发 展，以及冲压成形理论研究的不断深入，使计算机模拟板料冲压成形过程的研 究不断取得新进展【5 】。以有限元法为主体的数值模拟方法已与c a d c a m 系统相 结合，形成模具设计、分析与加工一体化的c a d c a e c a m 集成化系统，可以 大大缩短模具的设计与调试周期，降低模具加工成本，提高产品质量与市场竞 争力。一方面，能够在模具制造之前，从理论上认证成形的可行性，减少模具 武汉理工大学硕士学位论文 设计方案的风险，从而达到低成本、短周期进行模具的设计制造；另一方面， 可以实现模具设计和工艺参数的优化，利用c a e 技术可以模拟坯料在冲压过程 中的真实状况，能够实现从坯料夹持、压边圈压合、拉伸筋设置、冲压加载、 卸载回弹及切边回弹的全过程模拟，定量地确定破裂、起皱、鼓动、回弹的部 位与严重程度；能够分析模具间隙、摩擦状态、压边力大小、材料参数、冲压 速度等各种因素对冲压过程的影响，并进行灵敏度分析与优化设计；还可以根 据坯料在冲压过程中的流动和变形情况确定合适的毛坯形状和尺寸。同时，c a e 技术还可以与通用的c a d c a m 软件，如u g 、c a t i a 等集成为c a d c a e c a m 一体化技术。这样，无须动用实际的原材料和设备，就可以准确地模拟产品设 计、制造及检验的全过程，可科学预测板料设计、生产、工艺及调度管理的可 行性和合理性，并优化实施方案【6 】。 目前，常用的板料成形数值模拟技术主要基于两种理论：基于流动理论的 有限元增量法和基于形变理论的全量法。 增量理论又称流动理论，是描述材料处于塑性状态时，应力与应变增量之 间关系的理论，它是针对加载过程中的每一瞬间的应力状态所确定的该瞬时的 应变增量，这样就撇开了加载历史的影响。基于增量理论的有限元方法是一种 正向模拟研究方法。它是在己知板料初始毛坯形状、模具结构、作用载荷以及 边界条件的情况下，从板料初始毛坯出发，对其进行有限元离散并考虑模具作 用和边界条件，模拟板料毛坯的变形过程，并最终得到板料毛坯变形后的结果。 增量有限元法全面考虑了各种因素的影响，因此也是最精确的方法。但是，基于 增量理论的有限元模拟分析软件，在目前的硬件平台上运行时间非常可观。对 于复杂板料成形过程的模拟，一般需要进行很多次的修正和调整，而且一次很 小的模型或工艺修改都意味着较长的计算时间。另外，在建立有限元模拟的过 程中，如板坯网格的划分、单元类型的选择、虚拟冲压速度的确定，都对使用 者提出了较高的要求，一般需要有一定经验的工程师才能胜任这项工作。因此， 在初始设计阶段，我们希望有一个模拟软件，能在已知工件形状和平板毛坯厚 度的情况下，快速估计出毛坯的形状、工件的厚度变化和应力应变分布等1 7 吲。 这里研究了有限元逆算法，以满足上述要求。基于全量理论的有限元逆算 法将板料成形过程简化为一个简单加载的变形过程，从而可以在已知工件的几 何形状和板料毛坯厚度的情况下，快速计算出冲压件的毛坯形状，预测零件的 应力应变分布，并且能够分析在板料成形过程中不同因素对产品质量的影响及 2 武汉理工大学硕士学位论文 预估板料成形性能。该方法用于产品的初期设计阶段，对于进行冲压零件的可 行性分析和板料毛坯的选择具有重要的实际意义【l o 】。有限元逆算法方程采用 n e w t o n r a p h s o n 方法进行迭代求解，在迭代求解过程中，需要一个与真实解相 近的初始解，否则计算无法收敛。初始解直接关系着有限元逆算法求解的稳定 性和收敛性1 1 】。因此，初始解的确定已经成为有限元逆算法的关键技术。 本课题源于华中科技大学模具国家重点实验室开放基金资助项目( 0 5 4 ， 0 7 1 ) 。 1 2 国内外板料成形数值模拟方法的研究情况 板材冲压成形问题，从力学角度而言，是一个包括几何流形、材料物理和 边界摩擦三重非线性的复杂变形过程。针对板材成形的研究方法大致可以分为 两类：一类是解析计算法，如初等解析法，滑移线场理论，界限法，上限元法， 流函数法以及h i l l 的一般解法等；另一类是数值方法，包括有限差分法，有限 元法和边界元法。在解决实际问题中，有时需要将这两类方法相互结合使用。 板料成形数值模拟研究始于6 0 年代。这些早期的研究采用的不是有限元方 法，而是有限差分方法；所分析的问题都是像圆板液压胀形、半球形冲头胀形 或拉延等一些简单问题。其后，随着计算机技术的迅猛发展，有限元法成为板 材成形数值分析的主要方法。 二十世纪七十年代初德国的l u n g ，美国的l e e 和日本的k a b a y a s h i 分别提 出了刚塑性有限元方法。这种方法基于小应变的位移关系，以变分原理作为理 论基础，认为在所有动可容的速度场中，使泛函取得驻值的速度场就是真实的 速度场，根据这个速度场可以计算出各点的应变与应力。刚塑性有限元法忽略 了金属在塑性成形中的弹性变形，简化了金属塑性流动中的力学模型，有限元 列式较为简单，因此计算时可以取较大时间步长，减少了计算时间。由于刚塑 性有限元法忽略了弹性变形，所以无法对卸载问题进行模拟，不能分析回弹、 起皱问题。因此，刚塑性有限元一般用在金属体积成形的分析中比较多，在板 料成形分析上的应用受到了一定程度的限制。 1 9 6 7 年，m a r c e l 和k i n g 首先提出了弹塑性有限元方法。1 9 6 8 年，y a m a d a 等人对应力应变矩阵进行变换，导出了简明的弹塑性应力一应变矩阵，极大地 推进了小变形弹塑性有限元法的发展与应用。但以小变形理论为基础的弹塑性 3 武汉理工大学硕士学位论文 有限元法只适用于分析金属成形的初期阶段，随着变形量的增加会出现明显的 误差。1 9 7 0 年，h i b b i t 等采用l a g r a n g e 描述，根据虚功率原理导出大变形弹塑 性有限元速率形式的平衡方程，首次提出了建立在有限变形理论基础上的大变 形有限元列式。 此后，为真实反映板料的成形过程，有限元数值方法的研究主要集中在采 用怎样的单元模型上。如1 9 8 5 年t o h 和k o b a y a s h i 用弹塑性有限元方法采用壳 单元分析了方盒的拉深。1 9 8 6 年n a k a m a c h i 用三角形常应变薄膜单元分析了矩 形、正方形及十字形凸模截面方盒的拉深成形。1 9 9 0 年n a k a m a c h i 分析了任意 形状凸模截面的板料成形。八十年代末期开始，由于计算机技术迅猛发展和有 限元理论的不断完善，以及工业的快速发展使得产品竞争加剧的需要，板料成 形的有限元数值模拟技术取得了巨大的发展和进步。并且，一直有许多研究机 构进行板料成形模拟的有限元程序开发和完善【6 】。 从九十年代开始，板料成形有限元分析逐渐向c a d c a e c a m 一体化发展， 形成所谓的“虚拟制造系统”( v i r t u a lm a n u f a c t u r i n gs y s t e m ) 在板材成形特别是在 一些复杂汽车覆盖件的成形模拟方面，三维大变形弹塑性有限元方法得到了越 来越广泛的应用。于此同时基于增量法的有限元模拟软件已经广泛的运用于生 产中，如：a b a q u s ，d y n a f o r m ，d e f o r m ，p a m s t a m p ，a n s y s 等。 由于板料成形过程复杂，受到多种因素( 毛坯形状和尺寸、材料参数、工 艺参数等) 的影响，使用增量有限元进行数值模拟计算时间长，而且需要巨大 的计算机资源。因此，九十年代起，人们开始研究在零件形状和尺寸已知时预 测毛坯形状和零件应变状态的简化方法。确定冲压件的展开毛坯，是分析冲压 件变形程度，评价工艺性及拟订工艺规程的前提。如果毛坯形状合适，变形分 布不均匀的现象能够得到明显改善，成形性能也可有所提高，并能降低突耳高 度，减少切边余量。此外，采用合理的毛坯形状，有时能够使某些需要二次拉 深才能成形的制件，用一次拉深便可达到制件要求的高度。对于不规则冲压件， 由于其形状的复杂性，不可能用解析方法来求得它的毛坯外形，至今未有满意 的方法确定合理毛坯。因此求解毛坯展开形状成为了冲压工艺设计中的一个重 要而亟待解决的问题【1 2 】。 进入九十年代后，人们开始研究在己知零件形状和尺寸时，预测毛坯形状、 应变状态和厚度变化情况的简化方法。国内外许多人在这方面进行了研究工作， 也出现了多种进行毛坯展开计算的简化方法。国内板料展开成形模拟研究起步 4 武汉理工大学硕士学位论文 相对较晚，且主要集中在几所高校中，如华中科技大学、吉林大学、南京航空 航天大学等，研究规模不大。早期，主要以追踪研究和基础理论为主。现在， 大多以国外商业软件为平台进行应用和开发，通用板料成形模拟软件 如：a n s y s 、a b a q u a s 、p r o m e c h a n i c a ；专用板料成形模拟软件如： d y n a f o r m 、d y n a 3 d 、p a ms t a m p 等。近年来，汽车工业逐渐成为国民经 济的支柱性产业，国家也加强了对板料成形模拟技术的研究。 经过多年的理论和实验研究，目前国内外较为流行的确定毛坯的方法主要 有经验法、滑移线法、势场模拟法、汇场模拟法、几何映射法、增量有限元法 和有限元逆算法。 1 经验法【1 3 】 最常用的经验方法是用于确定矩形盒的毛坯，首先分别计算矩形直边部分 的展开长度和圆角部分的展开半径，然后在过度区域以圆弧和直线相连接。这 种方法仅适用于比较浅的拉延件。罗曼诺夫斯基提出了一种分区域计算的方法， 在原来的基础上有较大的改进，但准确度仍有待进一步提高。所有这些求矩形 盒毛坯的方法，都是一些带有拼凑性质的经验方法。 2 滑移线法1 1 3 j 应用滑移线理论，确定冲压毛坯的合理形状和尺寸，是一种比较直观和合 理的方法。滑移线场建立的方法主要有两种，即数学解析法和分析推理法。但 是研究表明，只有在特别简单的边界条件下，才能从特征方程求解中得到滑移 线的数学表达式。一般情况下，需利用特征方程的数值积分，根据给定的边界 条件逐点递推，求得近似滑移线场。这种方法是以变换特征线微分方程为有限 差分关系式，并利用滑移线的特性为基础的。由于数学运算比较复杂，较难推 广应用。分析推理法根据金属流动情况、塑性区的边界条件和应力状态等，并 利用滑移线的特性，通过分析推理得出滑移线场。由于变形区各部分的边界条 件和应力状态不一定相同，故常常需要分区域考虑滑移线场，然后将一系列滑 移线场拼接起来，构成一个完整的滑移线场。有时，对于同一个问题，可能做 出不同的滑移线场，这就需要进一步校核其唯一性和合理性。 滑移线理论的应用前提有两方面：( 1 ) 忽略材料的应变刚效应，假定变形体 为一理想刚塑性体，这会影响毛坯预测的精度；( 2 ) 变形物体必须处于平面应变 状态。在板料成形问题中，如果忽略厚度的变化，才可用于主应力异号的平面 5 武汉理工大学硕士学位论文 应力状态。另外，滑移线法推导运算复杂，由于这些原因未能被生产实践广为 应用。 3 势场模拟法【l 卅 势场模拟法假设冲压件板料为不可压缩的平面各向同性的刚塑性体。在冲 压过程中，介于工件边缘和准确坯料边缘之间的凸缘部分，处于塑性状态，并 在内边缘应力的作用下向凹模型腔内流动。从理论上可以证明，冲压工件凸缘 处金属的这种流动与相似区域、相似边界条件的纯黏性流体的流动、电流的流 动或热传导是相似的，因而可用这些有势场模拟求出不规则冲压件的展开坯料 外形。一般对于外形相似的冲压件，只须求出某一尺寸模型的等位线，其它尺 寸模型的等位线均可以通过放大或缩小得到。 对于圆危半径r 较小而直边较长的矩形件，当冲压件很浅时，直边段凸缘塑 性变形很小，这与一般的理论推导中整个凸缘的板料均处于塑性状态的假设是 不符合的，因而模拟法效果较差，这时以采用经验法为好。对于圆角半径r 较大 的矩形件，当冲压深度较浅时，前述的三种方法相差不大。当矩形件深度增加， 经验法产生很大误差。罗氏法笼统地增加直边的高度也与实际情况相差很大。 模拟法从金属流动的观点来考虑冲压件的毛料，对较深的矩形件取得了比经验 法和罗氏法都更好的效果。 总之，电模拟法基本符合求冲压件毛料展开尺寸的一般假设条件：( 1 ) 毛料 面积在冲压前后不变；( 2 ) 由第一个条件得出推论，圆角部分的多余毛料全部转 移到直边部分。实际上圆角部分的多余毛料是很难全部转移到直边部分的。由 于冲压中变厚变薄量分配的不均匀，甚至凸缘部分也往往不全部处于塑性变形 状态，冲压前后的面积并不完全相同。这些与假设条件不相符的实际情况，也 使电模拟法的准确度受到影响。 4 汇场模拟法【1 5 】 吕雪山提出了汇场模拟法，将流体力学中汇的概念引入到压延成形的塑性 流动理论中。当虚点汇为点汇的部分区域时，这一区域的外界就是零半径杯形 件的毛坯外形，它与点汇的一条等势线重合。如果像建立虚汇描述拉延变形塑 性流动那样建立汇场，则虚汇场便是汇场的部分区域，这个区域的内界是凸缘 内边，外界是拉延变形的毛坯外形，如果拉延变形在能量最低状态下进行，则 毛坯外形与汇场中的一条等势线重合，且压延的每一瞬时的凸缘外缘都与汇场 6 武汉理工大学硕士学位论文 的某一等势线重合。这样就可用汇场模拟拉延变形。 5 几何映射法【1 6 j j c g e r d e e n 和e c h e n 最早提出几何映射法。他们认为，应变由变形前后钣 料的几何差别定义，而通常变形后的板料形状已知，因此从理论上讲有可能将 变形后的板料点对点地映射回初始平板，并且不需要知道载荷就能够计算应力 的分布。应变决定于厚度分布，但是变形后板料的厚度分布未知。这样几何映 射法的成功依赖于特定问题厚度分布假设合理性，和开发一种迭代方法使厚度 与特定的边界条件相匹配。g e r d e e n 提出了一些假设来确定特定问题的厚度分 布，并且开发了一个迭代算法使之与一定的边界条件相匹配。 关于厚度分布，g e r d e e n 提出了三个几何映射基本因素，即纯剪应变、平面 应变和双轴拉伸。一般的钣料成形中，摩擦会影响应变的分布，非对称零件有 非对称的应变分布，g e r d e e n 开发了两套程序a x i f o r m h 和f e p f o r m 分别用 来处理轴对称和非对称情况。他的方法使用了有限单元，在每个单元中进行几 何映射。如果同时考虑三向位移，微分方程将非常复杂，因此g e r d e e n 将变形过 程分解为若干步，每一步的求解非常简单。考虑到位移矢量可以叠加，这种分 解是可能的。具体使用的单元包括：( 1 ) 有x 向拉伸的板到板单元；( 2 ) 有y 向拉 伸的板到板单元；( 3 ) 有x 向剪切的板到板单元；( 4 ) 有y 向剪切的板到板单元； ( 5 ) i n 体转动单元；( 6 ) 有z 向位移的板到壳单元。 6 增量有限元法【1 7 】 目前，板料成形数值模拟算法大都是基于流动理论的增量方法。增量有限 元方法全面考虑了各种因素，包括润滑条件、模具形状、毛料形状和尺寸、以 及压边力和拉延筋等，因此是最精确的方法。但由于接触边界条件处理的困难， 计算模型十分复杂，增量有限元方法计算的收敛性受到很大的影响。同时，增 量有限元法必须先假定一个毛坯形状才能开始计算，然后根据计算结果对毛坯 形状进行修正。这不仅加长了设计周期，而且计算时间较长，模拟一个比较复 杂的成形过程往往需要几十个小时。在给定的成形工艺中，最终产品的材料状 态和几何形态取决于诸多工艺参数( 加载条件，模腔形状，模具润滑条件，初始 坯料几何尺寸等) 。增量法的一般做法是先考虑某些工艺参数固定不变，通过对 另一些工艺参数的反复模拟和修改，得到所需的最终产品的材料状态和几何尺 寸。这种反复迭代的方法需要花费大量的计算时间，特别是对于大型的覆盖件， 7 武汉理工大学硕士学位论文 是极不经济的。 7 有限元逆算法【1 8 以1 】 逆算法的一个主要特点是，将板料成形过程简化为一个或若干个简单加载 的变形过程，采用全量理论进行分析。因此计算可以只考虑初始态和变形态， 忽略中间构型的变化。b a t o z 等人受到几何映射法的启发，首先提出了所谓逆算 法。这是一种预测板料成形中大变形的高效算法，他们的方法考虑了如下因素： ( 1 ) - - - 角形c s t 膜单元；( 2 ) 大弹塑性对数应变；( 3 ) 厚向异性及塑性全量理论；( 4 ) 静态隐式算法解非线性平衡方程( 每个节点只有两个未知自由度) ；( 5 ) 模具运动引 起的垂直或法向节点力。 压边圈的摩擦和压边力以及冲头的摩擦和正压力用简化的外力矢量表示。 后来b a t o z 不断改进他们的算法，并且用了一些经典的标准测试题进行检测， 取得了满意的结果。到1 9 9 4 年b a t o z 等在如下方面进行了改进：( 1 ) 采用三角 形薄壳单元考虑弯曲效应；( 2 ) 采用四边形四节点翘曲膜单元；( 3 ) 采用新算法和 策略( 静力显式，动力松弛) 建立和求解非线性平衡方程。通过对各种算法的比较， b a t o z 认为他们的逆算法都能得到满意的结果，其中静力隐式算法最精确， 静 力显式算法速度最快，而动力松弛算法所需内存最少。 l e e 继承了b a t o z 逆算法的基本思想。但是在应变矢量的表示和虚功方程的 建立上有自己的特点。首先，他将变形态形状近似为离散的三角形膜单元系统， 变形态中的应变分布表示为节点的初始态坐标和位移的函数。然后计算塑性功， 计算中假定塑性功遵循h e n c h y 变形理论和h i l l 各向异性屈服准则。最后由塑性 功和外力功导出塑性势能，以塑性势能为目标函数，采用n e w t o n r a p h s o n 法， 求出其在满足给定的约束条件下最小化时的未知量( 初始态坐标和变形态厚度) 。 计算和最小化时采用一个初始解，该初始解对于收敛是非常重要。l e e 2 2 1 提出用 将最终构形线性映射回材料初始平面的线性变形逆向映射法获得板料的初始 解，由于该初始值较为合理，提高了n e w t o n r a p h s o n 法的收敛速度。 谢兰生【2 3 1 在l e e 的线性变形逆向映射法的基础上，采用几何映射法计算初 始解，避免单元刚度矩阵出现畸形，提高板料展开有限元逆算法的稳定性和收 敛速度，对几何映射法与投影法所计算的变换单元进行了对比，数值计算结果 表明用几何映射法计算的初始估算展开形状更接近于最终的板料件展开形状。 目前，有限元逆算法还在不断的发展，而初始解的确定已经成为逆算法中 8 武汉理工大学硕士学位论文 的关键问题。国内外的许多学者都在不断优化和完善有限元逆算法，使其更好 的帮助设计人员快速地模拟板料件在给定工艺条件下的毛坯轮廓和成形后的应 变、应力分布和厚度变化率等，进而评估设计件的力学性能和工艺性能。通过 上述评估，设计人员能够提前发现存在的问题，进而改进设计，保证设计的可 靠性和减少潜在的错误。 总之，经验法、滑移线法、势场模拟法、汇场模拟法、几何映射法通过经 验和实验确定毛坯展开尺寸，只能适用于有限的范围；增量有限元法由于耗时 过多影响设计阶段的进度；逆算法具有增量有限元法的优点，能适用于各种变 形情况，可以研究压边力和冲头力对变形的影响，以及应变的分布，并且耗时 极少。因此逆算法有着很广泛的应用前景。 1 3 本文的主要研究内容 ( 1 ) 研究了有限元逆算法的特点、基本原理及其实施过程。根据全量理论， 使用h i l l 屈服准则和厚向异性的板料本构关系，推导了有限元逆算法方程，并 编写了有限元逆算法程序； ( 2 ) 针对有限元逆算法的关键问题：初始解的确定，本文提出了弧长法，通 过计算出最终构形上每个节点到所选取的弧长起始点之间的弧长，将产品的最 终构形准确的映射到初始平面，得到所需的初始解，并将弧长法与其它初始解 的求法进行了比较和讨论； ( 3 ) 用基于弧长法的有限元逆算法对圆盒件和类车门件进行了展开计算，并 将计算结果分别与基于流动理论的增量有限元软件d y n a f o r m 的模拟结果和 试验结果进行了比较分析，以验证有限元逆算法数值模拟的可靠性和准确性； ( 4 ) 在完成三角形膜单元有限元逆算法的基础上，又对基于四边形等参单元 的限元逆算法进行了前期探讨。并利用弧长法求出了四边形单元板件的初始解， 为四边形单元有限元逆算法的求解打下了良好的基础。 9 武汉理工| 大学硕士学位论文 第2 章三角形膜单元有限元逆算法 2 1 有限元逆算法的基本原理 板料冲压成形是一种生产效率高、成形质量好的金属加工方法，在工业领 域得到广泛应用。随着数值模拟技术的迅速发展，板料成形加工摆脱了过去纯 粹依赖经验和直觉去进行板料设计和模具设计的模式，已经可以通过对板料成 形过程进行数值模拟，分析各种工艺参数对板料成形过程的影响，为预测可能 发生的缺陷和优化设计提供重要的依据【4 1 。 传统的增量有限元方法是一种正向模拟研究方法，是在已知板料初始毛坯 形状、模具结构及其作用载荷以及边界条件的情况下，从板料初始毛坯出发， 对其进行有限元离散并考虑模具作用和边界条件，模拟板料毛坯的变形过程， 并最终得到板料毛坯变形后的结果，其求解中的已知条件和未知量见表- 1 。 但是，对于实际中较复杂的成形过程如汽车覆盖件的增量有限元模拟，一次小 小的模型或工艺修改都要花费很长的计算时间，并且使用增量有限元方法必须 首先确定毛形状，然后通过不断的反复计算才能得到优化的毛坯形状，这样将 要耗费巨大的计算机资源和时间。并且在产品设计的初始阶段，由于板料成形 加工的模具、毛坯和边界条件都是不确定的，因此变形加载的路径也是不确定 的，此时无法使用基于增量理论的有限元方法进行板料成形过程的数值模拟和 计算。 一 表2 1 增量有限元模拟中的已知条件和未知量 已知量未知量 初始板料毛坯形状和毛坯厚度 板料变形 初始应力和应变板料厚度变化和厚度分布 载荷和边界条件应力分布 模具结构和运动条件应变分布 1 0 武汉理工大学硕士学位论文 b a t o z 和l e e 等人提出了一种直接简单的模拟计算方法：有限元逆算法。有限元 逆算法基于全量理论假定板料成形过程是比例加载的，仅仅去考虑零件的初始 构形( 板料毛坯) 和变形后的最终构形( 冲压工件) ，忽略变形过程的中间状态。如 图2 - l 所示，有限元逆算法的基本思想是：从最终构形的三维曲面出发，把其 作为变形终了的工件中面，对其进行有限元离散，通过有限元方法确定在满足 最终构形工件平衡条件的情况下最终构形上各节点p 在初始构形c o 中的位置 p u ，得到冲压件的初始毛坯形状以及最终构形工件中的应力、应变和厚度分布等。 图2 1 有限元逆算法示意图 在有限元逆算法中有一下假设： ( 1 ) 平面应力状态，只考虑板料变形过程中的薄膜应变效应； ( 2 ) 弹塑性大变形，材料不可压缩； ( 3 ) 使用全量理论来分析变形，变形过程按比例加载； ( 4 ) 冲头、拉延筋、压边圈对板料的作用简化为法向作用力和切向摩擦力； 在有限元逆算法中，已知条件是工件的最终构形和毛坯的初始应力应变、 初始厚度，未知条件是工件最终构形的厚度分布、应力应变状态以及初始板料 毛坯几何形状。表2 _ - 2 列出了有限元逆算法中的己知量和未知量。从表2 2 可知整个有限元模型必须建立在板料的最终构形上。 表2 2 有限元逆算法的已知量和未知量 已知量未知量 初始构形c o 初始厚度初始节点坐标 ( 平板毛坯)初始应力应变形状和尺寸 最终构形c 最终构形节点坐标最终构形厚度 节点垂直方向位移最终应力应变 ( 冲压件) 等效阻力和方向模具的作用力 武汉理工大学硕士学位论文 2 2 板料变形描述 金属板料冲压成形时将产生塑性大变形和大位移，即存在材料非线性，又 存在几何非线性，变形机理非常复杂。为了准确地揭示金属板料冲压成形过程 中金属的变形规律，必须采用非线性连续介质力学的理论来描述金属板料变形 过程。 任一物体在空间中都占据一定的区域，。构成一空间几何图形，这一空间图 形称为物体的构形。物体运动时，其构形也会随着发生变化。我们可以用两个 坐标系来描述变形体在空间的运动。物体在t 等于零时刻的构形称为初始构 形，t 不等于零时刻的构形称为现时构形。为了确定物体初始构形中点的位置， 通常引入l a g r a n g e 坐标1 2 4 1o x l x 2 x 3 ( 亦称物质坐标系) ，初始构形中任一点的 位置由物质坐标x ( x l ，x 2 ，x 3 ) 确定。为了确定物体在现时构形中的位置，引入 e u l e r 坐标系o x l x 2 x 3 ( 亦称空间坐标系) 。现时构形中任意一点的位置由空间坐标 x ( x l ，x 2 , x 3 ) 确定。用物质坐标系x 作为自变量来描述物体的变形和运动时，称 为l a g r a n g e 方法，用空间坐标x 作为自变量的方法称为e u l e r 方法，这两种坐 标系和描述方法是建立变形张量和研究金属塑性变形的前提和基础。 固体力学中，常采用l a g r a n g e 方法。将空间坐标系o x l x 2 x 3 和物质坐标系 o x l x 2 x 3 重合，如图2 - 2 所示。质点x i 在现时构形中的位置用初始构形中的位 置x i 和时间t 来描述，运动规律表达为： x = x ( x ，t )( 2 1 ) 质点由初始构形中的x 点运动到空间构形中的x 点的位移u 为： u = x x 如果己知物体内所有质点的方程，就可以完全了解物体的运动和变形。 1 2 武汉理工大学硕士学位论文 初娥构形 现时构形 图2 - 2 物质点运动示意图 在连续介质力学中，线元长度的改变是定义应变的基础。假设物体的变形 和运动都是连续的，那么物质坐标系o x l x 2 x 3 中的每一个质点仅和空间标系 o x l x 2 x 3 中的一个质点对应，反之亦然。x 和x + d x 是无限接近的两个质点，它 们的位置矢量差是线元d x ，变形后其位置矢量差由d x 变为d x 。在现时构 形中，它们分别占有空间位置x 和x + d x ，那么由式( 2 1 ) 可得： 工+ d x = x ( x + d x ，f ) 两质点在现时构形中的距离是： d r = x ( x + d x ，f ) - x ( x ，f ) 对上式中的x ( x + d x ，t ) 在x 点处作泰勒展开，略去高阶小量得： 如= 蠹锻。+ 轰锻z + 毒锻，c k _ 3 ， 将式( 2 2 ) 写成矩阵形式： 出褂 1 3 悃= 脓 c 2 删 亟如堕政政一政耽一咄咄一咄堕碗砒一砒堕砒堕毗 武汉理工大学硕士学位论文 式( 2 - - 3 ) q f 反映了微小线元的变形和运动情况，称为变形梯度张量1 2 4 。 f = 【f 】= 由( 2 _ 一4 ) 式可以看出变形梯度张量 f 】是一个线性变换矩阵。它把参考构形中质点 x 的邻域映射到现时构形中x 的一个邻域，将初态线元d x 变换到变形态线元 d x 。【f 】既包含了线元的伸缩，也包含了线元的转动，所以变形梯度矩阵 f 描述 了物体在这个变化过程中的变形。 物质坐标系o x l x 2 x 3 作自变量，由式( 2 - 3 ) 可知线元d x 和d x 的长度分别 为： 彬= 忸y 妞) d 1 2 = 忸厂防】7 防 d x - - 妞) r c 牌) 定义右c a u c h y g r e e n 变形张量为： c 】_ 陋rp 】 由于线元的平方总取正值，所以 c 】为对称正定张量。【c 】只与物体的变形有关， 和刚体的转动无关。 用物质坐标o x l x 2 x 3 作自变量，由式( 2 _ 3 ) 可知线元d x 和d x 的长度分别为： d 1 2 = 出) 7 d x ) ( 2 _ 5 ) 膨= 出) 7 【f r 【f 】一 嘲= 出) r 【b 】一 出) ( 2 _ _ 6 ) 定义左c a u c h y g r e e n 变形张量为： b 】_ 【f 】【f 】7 和【c 】一样，【b 】也是对称正定张量。所以