（船舶与海洋结构物设计制造专业论文）基于刚柔耦合特性的非线性动力响应研究.pdf

中文摘要 柔性构件在做大范围剐体运动的时候，可能激起其自身的大幅度弹性变形运 动，呈现典型的刚柔耦合动力学特性。随着包含有柔性构件的结构向高速、轻质、 高精度等方向的发展，该动力学问题越来越突出，亟待解决。 本文以做平面运动的柔性梁为研究对象，充分考虑刚柔耦合特性的影响，利 用动力学普遍方程和拉格朗日方程推导出非惯性系下的动力学控制方程，从而进 行求解和结果分析。本文的主要内容包括；首先，在惯性坐标系中建立梁上任意 点的运动方程表达式，在随体坐标系中分析作平面运动的b e r n o u l l i e u l e r 梁的非 线性运动，用精确模态形函数离散柔性粱，进而分析柔性粱系统的动能和应变能， 将现有的局限于线弹性范围的研究推广到非线弹性范围，形成改进的刚度矩阵和 质量矩阵，导出柔性梁在非线弹性阶段的动力学控制方程。其次，结合n e w m a r k b 直接积分法和n e w t o n - r a p h s o n 迭代法对非线性动力学方程组进行m a t l a b 编程 求解。最后，通过一个具体算例，来验证本文所阐述方法的准确性和有效性，分 析计算结果对几个主要参数的敏度，以此为后续的研究提供建议和参考。 关键词：柔性 刚柔耦合模态非线弹性动力响应 a b s t r a c t t h er i g i dm o t i o no ff l e x i b l em e m b e rm a ye x c i t e 锄e l a s t i cd e f o r m a t i o nw i t h l a r g ea m p l i t u d eo f i t s e l f t h e s ec h a r a c t e r i s t i c sc a l lb ec a l l e dt h er i g i d - f l e x i b l ec o u p l i n g d u et ot h ed e v e l o p m e n to f h i g hs p e e d 、l i g h tm a t e r i a la n dh i l g hp r e c i s i o ns t r u c t u r e ，t h i s d y n a m i c sa t t r a c t sm o r ea n dm o r ea t t e n t i o n sa n db e c o m e sa l lu r g e n tp r o b l e m t ob e s o l v e d f o ri n v e s t i g a t i n gt h et e r m so ft h er i g i d - f l e x i b l yc o u p l i n gp r o b l e m ，t h ed i s s e r t a t i o n s t u d i e sap l a n a rb e a ma n da n a l y s e st h er e s u l t s t h em a i nc o n t e n t so ft h ep a p e ra l ea s f o l l o w s ：f i r s t ，d e s c r i b et h em o t i o no fr a n d o mp a r t i c l ei ni n e r t i a lf r a m e ，d i s e r e t i z et h e f l e x i b l eb e a mb yt h em e t h o do fs h a p ef u n c t i o ni ns p o r t i v ec o o r d i n a t ef r a m e ，f o r m i m p r o v e ds t i f f n e s sm a t r i xa n d i n a s sm a t r i xb ya n a l y z i n gi t sk i n e t i ce n e r g ya n ds t r a i n e n e r g y , s o 觞t oe s t a b l i s ht h em o t i o ne q u a t i o n s e c o n d 。u s et h em a u a bt op r o g r a mt o s o l v et h en o n l i n e a re q u a t i o ns y s t e mb yc o n s u l t i n gn e w m a r k 1 3d i r e c ti n t e g r a lm e t h o d a n dn e w t o n - r a p h s o ni t e r a t i v em e t h o d e n d , t h ed i s s e r t a t i o nv e r i f i e st h ea c c u r a c ya n d v a l i d i t yo ft h em e t h o dt h a te x p o u n d e da b o v et h o u g ham a t e r i a le x a m p l e a n db y c h a n g i n ga f e wm o d i f i c a t i o n so fm a i np a r a m e t e r s ，i ta l s ob ea n a l y t i c e da n dc o m p a r e d w i t ht h ec a l c u l a t i o nd a t a i tw i l lp r o v i d es u g g e s t i o n sa n dr e f e r e n c e sf o raf o l l o w - u p r e s e a r c h k e yw o r d s ：f l e x i b l e r i g i d f l e x i b l ec o u p l i n g m o d e n o n l i n e a rf l e x i b i l i t yd y n a m i cr e s p o n s e 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得苤鲞盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：，齑象钓 签字日期：。o 。7 年月彩日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解鑫鲞盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权岙鲞盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：7 蓠绚 签字日期：。印年月。日 导师签名： 鳓瓤7 年月必日 天津大学硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 1 1 刚柔耦合非线性动力响应研究的目的和意义 大型结构往往由梁、板、桁架等简单的柔性构件组装而成，这些柔性构件随 着结构做整体的大范围刚体运动的时候，可能激起其自身的大幅度弹性变形运 动，呈现典型的刚柔耦合动力学特性。 针对这类问题，早期的处理方法是不计大范围运动和变形运动的耦合，将大 范围运动所导致的惯性力以载荷的形式加之于变形运动。后来又采用混合坐标法 来解决这一问题，但该方法仅在刚性运动幅度不大、运动速率较小时才能给出满 意的结果。随着包含有挠性构件的结构向高速、轻质、高精度等方向的发展，该 动力学问题越来越突出，亟待解决。 就船舶与海洋结构物来讲，这种动力学特性的研究也具有一定的现实意义， 主要体现在以下几种结构形式： 1 、作为大多数船舶推进装置的螺旋桨是一种高速旋转机构，部分螺旋桨轴 悬伸于船体外呈悬臂状态，相对于与其相连的刚性较大的结构属于柔性构件。当 螺旋桨高速转动时，由于船体的刚体运动与柔性的螺旋桨轴变形运动的耦合作 用，传统的动力学模型无法正确揭示系统的动力学行为，因此必须建立计及动力 刚度项的刚柔耦合动力学模型，并对其进行研究。 2 、随着高速船、双体船的研制，砰击载荷对船体的危害越来越被人们重视， 强烈的砰击可能造成船体上严重的局部和整体负荷，使得舰船甲板屈曲、船底破 损和主梁弯曲。船用优质钢的发展使船体板的厚度逐渐趋薄，同与其连接的刚度 较大的船体骨架相比呈柔性特点。由于船体结构的特殊性，可以将单个船体板格 简化为板条梁模型，同样计及动力刚化现象的影响，从而进行刚柔耦合动力响应 研究。 3 、海底管道的立管段结构是连接浮式平台和海底管道或者井口的主要结构， 受到波浪、海流、风载等环境载荷作用，同时还受到浮式平台运动的影响。这些 载荷往往会造成立管及其它位置上管道的振动问题进而引发管道疲劳损伤等问 题。目前国内外对立管在复杂环境下振动特性等问题的研究还不很成熟，多采用 天津大学硕士学位论文第一章绪论 有限元直接建模分析的方法对立管的振动特性进行考虑。本文对刚柔耦合特性的 分析可能会在理论上对立管的动力学特性研究提供一种新的研究方法。 此外，该理论在挠性航天器附件、挠性机械臂等领域方面的研究中都有着广 泛的理论和现实意义。 本文旨在通过对柔性梁平面运动的描述和分析，记及刚柔耦合特性的影响， 并针对目前该领域中研究较少的弹性大变形运动对动力学方程的影响方面，在现 有的弹性小变形理论的基础上做出局部的改进，以期找出计算结果对主要参数的 敏感程度，为后续的研究提供参考。 1 2 国内外刚柔耦合非线性动力响应研究的研究现状 1 2 1 国内外的研究现状 柔性系统中部件的弹性效应首先在航天器和高速机构领域里引起了人们的 广泛关注。实际上，考虑了构件弹性影响的研究最早可追溯到2 0 世纪3 0 年代 ，但是直到数十之后电子计算机的发展和完善，才真正有了实现运算的可能。 美国l e h i g h 大学原校长p 。l i l 【_ i m 2 早在7 0 年代中期，就对柔性系统做了大量 研究。l i k i n s 首次提出了用离散坐标描述物体的大位移运动，用模态坐标或有限 元节点坐标描述物体的弹性变形。 m e i r o v i t e h b l 1 b 1 对转动柔性体特征值进行了较深入的分析并将由他发展的 准坐标形式的拉氏方程推广到柔性体系统。 k a n e 蛐7 1 等对运动基座上固结悬臂梁的模型进行了动力学分析，指出了几 何非线性变形对柔性体动力学响应的影响。 h a n g 嘲例o “1 用有限元法得到挠性体的质量分布、刚度分布特征量及弹 性变形模态，其弹性变形用结构力学中的静力修正模态和振动模态来描述，刚体 转动用方向余弦或欧拉参数来描述，整个方程用虚功原理来推导，将挠性体和刚 体的耦合运动方程编入到d a d s ( 动力学分析和设计系统) 动力学程序之中，以 便进行数值积分。 l i l o v t l 2 利用虚功原理推导柔性系统动力学方程时，采用大位移广义坐标及 节点处相对运动的伪速度来描述刚体运动，用形状参数描述弹性体小变形，将刚 天津大学硕士学位论文第一章绪论 体系统和柔性体系统统一在一组方程中，形成既可以处理刚体系统，又可处理柔 性系统的分析方法。 1 9 7 6 年，k a l l c 的学生l e v i n s o nn 3 首次进行了将符号演算应用于系统动力学 方程推导的尝试，编写了以k a n e 为基础的f o r m a c 程序。 1 9 8 4 年，m a c a l a 将符号演算与数值运算联在一起，首先进行符号演算，推 导出所需要的方程，然后进行数值运算，最后求出数值解。 王建明、刘又午、洪嘉振n 4 1 采用变量代换和变量分离的方法导出了回转柔 性梁计及大范围运动的所谓非约束模态和相应的频率方程，并与常规的约束模态 进行了对比分析，建立了基于非约束模态和约束模态的离散化动力学方程。 一蒋丽忠、洪嘉振5 基于v o n - k a r m a n 变形理论和h a m i l t o n 变分原理，建立了 计及中面变形影响的大范围运动弹性梁的动力学控制方程；并利用s c h w a r z 不等 式和f u ) b e n i u s 方法分析了该系统解的周期性和模态解析解，通过比较静边界条件 下和大范围运动作用时弹性梁振动模态的差别，得出当大范围转动角速度大于其 基频时，用静边界条件下的模态来离散该连续系统将存在较大误差的结论。 吴国荣u 6 1 等则分析了发生横、纵振动的大运动梁的非线性动力响应，引用 梁横向和纵向振动的精确模态描述变形场，建立了基于利用拉格朗日方程的运动 梁刚柔耦合非线性动力学方程，并利用n e w m a r k 直接积分法和n e w t o n - - r a p h s o n 迭代法，给出了求解该非线性方程的数值方法。 研究柔性系统动力学，关键在于建立和求解柔性系统动力学方程，整个过程 有如下四个主要问题 ： 动坐标系的选择 当物体被考虑成弹性体时，没有一个固定不变形的物体存在，柔性体内各点 的相互位置均在改变。为把复杂的柔性体运动进行分解，我们只能选取一个浮动 的坐标系，选择的原则是一方面使最终的动力学方程尽量消除耦合项，另一方面 使物体的变形尽可能处理为线性变形。 弹性变形模态的选择及约束问题 弹性变形模态的引入大大增加了方程的自由度数，从满足工程实际应用来 看，必须选择好弹性变形的模态描述，用尽可能少的模态方程尽可能真实的反映 实际运动。而约束问题实际上就是怎样处理好边界条件等问题。 天津大学硕士学位论文。 第一章绪论 动力学方程的表述问题 要研究动力学问题，必须先求出该问题的动力学方程表述，而采用何种方法 来推导出动力学方程才能更好的反映待求解的问题，是整个柔性系统动力学分析 的关键。 动力学方程的求解问题 在建立柔性体系统动力学方程时，由于考虑系统中漫变的大位移周相对快变 的弹性变形之间的相互耦合，使得柔性体动力学方程组往往呈非线性特征，无法 求出其精确解，目前只能采用数值仿真的方法进行求解，迄今为止的诸多方法， 都是人们经过长期的探索和实践而逐渐建立起来的。但是到目前为止，还没有足 够的标准来评价各种算法的优劣，每种算法都各有其优缺点，如何根据所建立的 动力学模型的形式和变形体的离散方法等来选择合适的数值计算方法，也是十分 重要的闯题。 1 2 2 存在的问题 目前，现有的资料中所能看到的基于刚柔耦合特性的动力学研究，在建立动 力学方程的时候，刚度矩阵的形成局限于线弹性阶段。当柔性体进入到非线弹性 阶段的时候，该刚度矩阵将不再适用。因此，如何建立描述非线弹性阶段的动力 学方程就成为当前研究的盲点和有待解决的问题。 1 3 本论文的主要研究内容 本文所研究的内容与现有的文献资料最大的不同在于：本文对柔性梁刚柔耦 合特性的研究，指的是刚体运动与弹性大变形运动的耦合，主要在菲线弹性阶段 进行建模求解，这区别于以往的仅就线弹性阶段的研究。 针对上一节中提出的四点问题，本文将通过系统的分析，阐述和讨论现有的 理论和研究方法，同时考虑到非线弹性的特点对现有理论进行恰当的改进，求出 动力学响应方程，之后选取适合的求解方法进行编程运算和结果分析。综上所述， 本文的主要研究内容将包括以下几个方面： 以惯性坐标系和随体坐标系相结合来描述柔性梁的运动，建立梁上任意 点的运动方程表达式。 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 分析作平面运动的b e r n o u l l i - e u l e r 梁的非线性运动，基于模态迭加法， 通过连续梁的模态分析导出形函数，用精确模态形函数和广义模态坐标离散柔性 梁。 分析柔性梁系统的动能和应变能，并针对现有的仅就线弹性范围的研究， 利用实验获得的应力一应变关系曲线来表述非线弹性阶段的应力应变关系，从 而形成改进的刚度矩阵，以此代入拉格朗日方程，最终导出计及动力刚化影响的 运动梁的动力学方程。 通过分析比较，结合n e w m a r k 直接积分法和n e w t o n - r a p h s o n 迭代法 对动力学方程进行求解。 最后，本文将通过一个具体算例，来验证本文所阐述方法的准确性和有效性， 并分析了计算结果对各主要参数的敏度，以此为后续的研究工作提供建议和参 考。 天津大学硕士学位论文第二章柔性梁的刚体运动与弹性大变形运动耦合的理论分析 第二章柔性梁的刚体运动与弹性大变形运动耦合的理论分析 柔性梁动力响应的基本特点：梁在发生较大的刚性整体平动或转动的同时又 存在弹性大变形运动，而这两种运动又是高度耦合的。也就是说：柔性梁在动力 响应过程中，梁的质心、转动惯量等参数都将随着物体变形而变化。本章将通过 对柔性梁的运动描述、动能与应变能的表达，最终通过拉格朗日方程导出柔性梁 的动力学方程。 2 1 柔性梁的刚体运动描述6 1 u 韶 我们通常使用单一的惯性坐标系描述梁结构的运动物理量。如：笛卡尔坐标 系、极坐标系、柱坐标系等。而本文所研究的柔性梁动力响应具有刚性运动与弹 性体变形高度耦合的特点，显而易见单的惯性坐标系是难以描述其复杂的运动 的。 本文将柔性梁的运动分解为刚体运动和弹性大变形运动两部分，其刚体运动 在惯性坐标系中表述，而弹性大变形运动则必须通过引入一个动坐标系，即通常 所说的随体坐标系，才可以唯一有效地进行表述。 随体坐标系的建立视所研究问题的实际情况而定，例如，研究前文中提到的 螺旋桨轴系，则应当建立如图2 1 所示的悬臂梁模型；而研究砰击载荷作用下 的船体板，则要建立如图2 2 所示的简支梁模型。这些模型的区别只是在于随 体坐标系的形式和边界条件的表达，而建立和求解动力学方程时所用到的理论则 是完全一样的。 图2 一l 悬臂梁模型图2 2 简支梁模型 为了研究本文算例的方便，将使用悬臂梁模型，建立如图2 3 所示的坐标 体系，其中x o y 为惯性坐标系，x o y 为随体坐标系，两套坐标系的夹角为0 ， 天津大学硕士学位论文第二章柔性梁的刚体运动与弹性大变形运动耦合的理论分析 假设随体坐标系x o y 的原点o 在惯性坐标系x o y 中的坐标为( x o ，r o ) 。则柔性梁 的弹性变形可在随体坐标系x o y 中描述。 图2 3 描述运动柔性梁的坐标体系示意图 考虑梁上任一点p ，它的空间位置可表示为： 勺= r + 么订 ( 2 1 ) 上式中：r 为随体坐标系的坐标原点o 的位置矢量，证为梁变形后点p 的局部坐 标矢量，矩阵a 为旋转变换矩阵，所谓旋转变换，是指向量绕以该向量起始点 为原点的坐标系转过一个角度后，新、旧向量在同一坐标系间的关系。向量万在 图1 所示的惯性坐标系x o y 中可表示为( x 一，r - y o ) ，而在随体坐标系x o y 可表示为( 工，y ) ，两种坐标存在如下的关系： 喜二嚣弘c ? ：s o - y s i n x s i no + y c o s0 矽 ( 2 - 2 ) iy 一= 、 将方程组( 2 2 ) 右端的系数表示成矩阵形式，即为主动变换矩阵a ： 彳= 瞄嚣 旷3 ， 由于梁的变形，矢量矗可分解为： 石= t 一o + 石，( 2 4 ) 其中瓦是在变形前点p 的局部坐标，而i ，为随体坐标下该点的形变位移矢量。 天津大学硕士学位论文第二章柔性梁的刚体运动与弹性大变形运动耦合的理论分析 把式( 2 4 ) 代入式( 2 一1 ) ，得： r p = r + 彳( 瓦+ 乃) ( 2 5 ) 为求p 点的速度，将式( 2 5 ) 两边对时间求导，并注意到赢= o 0 = 友+ 以( 玩+ 乃) 矽+ 么芬 ( 2 6 ) 上式中4 为； 4 虿0 a 嚣二鞠 2 2 柔性梁的弹性大变形运动描述 ( 2 7 ) 与刚体运动的描述相比，柔性梁的弹性大变形运动描述要复杂的多，本节逋 过对几种方法的比较，选择适合于本文算例的方法，最终得到在随体坐标系中的 柔性梁弹性大变形运动的表达式。 2 2 1 采用模态迭加法的优点 由于任意弹性体都具有无限多自由度，除了一些最简单的情况，如简支梁、 简支板等，可以用分布参数求解外，其他情况下动力学问题的精确解目前是无法 得到的，因此通常都是将其离散成具有有限个自由度的近似模型进行分析。对常 见的弹性变形广义坐标，通常有以下几种离散化方法： ( 1 ) 李兹法1 9 1 李兹法是对所研究的弹性体，构造一个假设位移场，该位移场必须满足相容 性和完备性要求。若假设位移场用声( 工，乃z ) 表示，并取= f 萌珐吮】，称 为李兹基函数矩阵，用以描述物体的变形模式，则物体上各点的变形向量u ，可 表示为： u = 幻， ( 2 8 ) 式( 2 8 ) 中，q = q ( ，) 为对应弹性变形的广义坐标向量。这是弹性连续体力学 近似解的最基本方法，但是对于复杂形状、复杂边界和复杂载荷的情况，要构造 出一个合适的位移场是非常困难的。 天津大学硕士学位论文第二章柔性梁的刚体运动与弹性大变形运动耦合的理论分析 ( 2 ) 有限单元法2 0 1 有限单元法实质上是一种分片的李兹法。由于它将物体分割成许多形状规则 的简单单元，各单元间通过节点联结起来，因而，它非常适合于复杂形状、边界 和载荷情况下的物体作离散和分析。由于高速、大容量计算机的飞速发展，当今 己被人们作为分析计算工程结构或非结构物的普遍工具。 在用有限单元近似模拟真实物体时，弹性体上无限多质点的位移，是由有限 多个单元节点位移，通过各单元的形函数来描述的，从而实现无限多自由度的离 散。于是，属于i 物体第j 单元上的任意一点p 的位移向量群，巧可表为 甜，”j = n y u ”，( 2 9 ) 式( 2 9 ) 中，7 为j 单元的变形模式( 或假设位移场) ，称为j 单元的形函数，而 “7 为该单元的节点位移向量。在将所有单元拼装后，物体上所有节点的位移向 量，就构成了该物体的弹性广义坐标。不难看到，即使采用有限单元法可以使物 体自由度由无限多自由度离散成为有限多自由度，但通常为保证所需精度，需要 保留的自由度数仍然相当可观，特别是柔性体动力学问题的求解，这一情况更显 突出。 ( 3 ) 模态迭加法2 在结构动力分析中，更为普遍的是采用模态向量及相应的模态坐标来描述物 体在空间随时间变化的位移( 变形) ，即 “，= 幻。 ( 2 1 0 ) 式( 2 一l o ) 中，矽= 【破唬丸】为模态向量矩阵，q 。= 吼( t ) 为模态坐标，n 为 模态向量数。 虽然弹性体的模态也有无穷多个，模态坐标也有无穷多，但只需要取模态的 前几阶就可以获得足够的精度。采用模态分析法的优点在于：第一，可以根据先 验的响应特征和精度要求，来考虑模态截断的范围，常常把贡献小的模态截去， 以最大限度的缩减求解规模。第二，可以进一步采用模态综合技术，来研究大型 复杂系统的振动。第三，可直接应用实验模态技术所得的结果，使理论和数值分 析与实验数据紧密结合。第四，可以与后续的结构可靠性分析紧密结合。 天津大学硕士学位论文第二章柔性梁的刚体运动与弹性大变形运动耦合的理论分析 2 2 2 平面梁理论假设 通常在弹性分析中所说平面梁，是指梁内各点的运动只与梁轴向和垂直于轴 向的方向上的坐标有关。为了表示梁内某点的位移并进行分析，必须对该点的运 动和应力状态给出假设，这些假设基于通过实验观察所证实的推测，对运动的假 设称为运动学假设，而对应力场的假设称为动力学假设。 主要的运动学假设是与垂直于梁的中性面的点的运动相关的，通常中性面是 指过梁的横截面形心的曲面。在平面问题中，中性面变为一条参考线，称为中线， 它可以近似的对应于梁的形状。广泛使用的平面梁理论有两种假设，一种是 b e m o u u i - e u l e r 梁假设，另一种是t i m o s h c n k o 梁假设。这些假设分别是： b 6 r n o u l l i e u l e r 梁假设认为中线的法平面保持平面和法向。采用此种假设的梁 称为b e r n o u l l i e u l e r 梁，也称为工程梁。 t i m o s h e n k o 梁假设认为中线的法平面保持平面，但是不一定还保持法向。采 用此种假设的梁称为t i m o s h e n k o 梁，也称为剪切梁。 昂 j ( 一 ，( ) c 、) i f 法平面 ( a ) e u l 刮r - b e r m u l l i 能设 ( 6 ) t 缸e 出e 位。假设 图2 1 两种经典梁理论 b e r n o u l l i e u l e r 梁不允许梁中存在横向剪切，而 l i m o s h e n k o 梁中允许存在横 向剪切。 对于本文所研究的梁，弯曲变形运动是主要的，忽略它的横向剪切运动，因 此采用b e m o u l l i - e u l e r 假设。此外，还假设梁是各向同性的连续体。 天津大学硕士学位论文 第二章柔性梁的刚体运动与弹性大变形运动耦合的理论分析 2 2 3 柔性梁弹性大变形运动的模态迭加心1 1 啦! 在随体坐标系x o y 中，由于所研究的梁作平面运动，在没有外力作用的前提 下，其振动可以分解为沿着x 方向的纵向自振和沿着y 方向的横向自振，以下将 对这两部分振动分别进行模态分析，最终得到对弹性大变形运动的表达式。 2 2 3 1 梁的纵问目振 不计干扰力的等截面直梁的纵向振动方程为： 丘e 万c 多2 u ：p 鲁 ( 2 1 1 ) 已。爵2p 萨 ( 2 一 用分离变量法求解，假定解的形式为： u ( x ，f ) = 少( x ) g ( f ) ( 2 1 2 ) 式中，y ( 工) 表示振动的形状，不随时间变化；g ( t ) 表示随时间变化的振幅。将 式( 2 1 2 ) 代入式( 2 1 1 ) ，各项同除以y ( 工) g ( f ) 得： 锱+ 旦e 嚣g ( t = 。 f ，( x ) 。) ” ( 2 一1 3 ) 因为上式左端的第一项是关于x 的函数，第二项是关于t 的函数，要使上式成立， 则有如下两个微分方程同时成立： ( 工) 一等y ( x ) = o 誊( ，) + 国2 9 ( ，) = o ( 2 1 4 ) ( 2 一1 5 ) 式中，c 2 = 兰，符号引打表示对x 求导，符号“，表示对时间t 求导。 p 由此得到纵向振动模态的通解为： 少( x ) = c s i n 詈石+ d c 。s 詈工 ( 2 1 6 ) g ( t ) = a c o s c o t + b s i n c o t ( 2 一1 7 ) 式( 2 1 6 ) 中的常数c 、d 决定梁的振动形状和振幅，可由梁的边界条件确定。 而式( 2 1 7 ) 中的常数a 、b 则根据t = 0 时刻的初始条件来确定。 纵向自振常用的各种边界条件的情况如下： 天津大学硕士学位论文 第二章柔性粱的刚体运动与弹性大变形运动耦合的理论分析 固定端工= ：横向位移为零，r 口少【而) = 0 简支端x = 毛：横向位移为零，即 f ，( ) = o 自f l a 端x = x o ：端部轴力为零，即少( ) = o 如图2 3 所示的柔性梁，在坐标系x o y 中，假设梁长为，。不难看出，梁的 左端( x = o ) 为固定端，边界条件为y ( o ) = o ；粱的右端( z = ，) 为自由端，边界条 件为y ( ，) = o ，则有如下方程组成立： 陟( o ) = d = o 1 y 印) ：詈c c 。s i c o ，一詈。s i nc c o ，= 。 一1 8 解得： c o _ ( 2 n - 1 ) t r ( 2 1 9 ) c2 1 、7 则，该柔性梁的纵向振动模态可表示为： 州= s i n 学x ( 2 - 2 0 ) 2 2 3 2 梁的横向目振 不计干扰力的等截面直梁的横向振动方程为： 一吕萨0 4 v + 肌矿0 2 v = 。 (2-21) 用分离变量法求解，假定解的形式为： v ( x ，f ) = 痧( x ) 办( f ) ( 2 2 2 ) 式中，( 工) 表示振动的形状，不随时间变化； ( f ) 表示随时间变化的振幅。将( 2 2 2 ) 代入( 2 2 1 ) ，各项同除以( x ) 矗( f ) 得： 错+ 旦e 1 嚣q ( t = 。矽( x ) ) 一。 ( 2 2 3 ) 因为上式左端的第一项是关于工的函数，第二项是关于t 的函数，要使上式成立， 则有如下两个微分方程同时成立： ”( 工) 一五4 ( z ) = o ( 2 2 4 ) 天津大学硕士学位论文第二章柔性梁的刚体运动与弹性大交形运动耦合的理论分析 奇( f ) + 缈2 9 ( f ) = o ( 2 2 5 ) 式中，矿：2 e i ，符号“，力表示对x 求导，符号。，表示对时间t 求导。 小 由此得到横向振动模态的通解为： ( x ) = 且s i n 2 x + b 2 c o s 五x + 岛s i n h 缸+ 目c o s h 彳, x ( 2 2 6 ) g ( r ) = a c o s a i t + b s i n c a 旷 ( 2 2 7 ) 式( 2 2 6 ) 中的常数尽、最、岛、且决定梁的振动形状和振幅，可由梁的边界条 件确定。而式( 2 2 7 ) 中的常数a 、b 则根据t = 0 时刻的初始条件来确定。 横向自振常用的各种边界条件的情况如下： 固定端工= ：位移和转角为零，即( 气) = o ，( ) = o 简支端x = ：位移和弯矩为零，即矽( 而) = o ，( ) = o 自由端工= 而：弯矩和剪力为零，即矿( j c o ) = o ，矿”( ) = o 如图2 3 所示的柔性梁，在坐标系x o y 中，假设梁长为，。不难看出，梁的 左端( 石= 0 ) 为固定端，边界条件为( o ) = o ，( o ) = o ；梁的右端( 工= ，) 为自由端， 边界条件为( ，) = o ，( ，) = o ，则有如下方程组成立： 矽( o ) = 岛+ 反= o 羞：篡 三盖+ s i n 岛m 2 + ! | 岛c o s m 一忍s i n hm 一日c o s h m ：0 c 2 2 8 ， ( ，) = 置 岛一忍一日 = 、 ( ? ) = 尽c o s 2 l - 垦s i n m - b 3 c o s h m 一色s i n h m = o 万程组( 2 2 8 ) 厩互明条件。 骂= 垦= 岛= 盈= o ，此时粱处于静止状态； 系数矩阵的硎式等隔叫l s i n 御2 l + + s i n h 2 l c o s 2 允1 c o s c o s l 。a i s 1 1 1 篇s m l a 磐a l 。，将行列 l 刖+一以，+ i 式展开得1 + c o s 2 l c o s h 2 l = 0 ，由此可以得到一系列名的值五。 则，该柔性梁的横向振动模态可表示为： 吮( x = c o s h l x - - c o s 枷篇躐( s i n h 乃x - s i n 以工) ( 2 - 2 9 ) 天津大学硕士学位论文第二章柔性粱的刚体运动与弹性大变形运动耦合的理论分析 2 2 3 3 模态迭加 模态迭加法就是把几何位移坐标坐标变换成模态坐标，从而使方程组解耦。 弹性体的模态有无穷多个，因此模态坐标也有无穷多，但在工程中，只需要取模 态的前几阶，即对响应贡献较大的那些模态分量，就可以获得足够的精度。 应用模态迭加法，梁的变形可近似表示为： k 石( z ，f ) = 虬( x ) g 疗( f ) 删 ( 2 3 0 ) v ( x ，f ) = 吮( x ) 吃( f ) n = l 上式中，( f ) 和吃( f ) 分别为柔性梁纵向和横向振动的主坐标，表示任意时刻f 第 ，1 个振型振动的幅值，沙。( 工) 和吮( j c ) 为正则化的振型函数，并且满足正交性条 件。 2 3 柔性梁的动力学控制方程 如何建立和求解动力学控制方程是动力学研究的核心内容，通常所建立的动 力学方程具有如下形式： 均+ c q + 励= q 当采用模态迭加法来表示广义坐标留时，上式中的各参数呈矩阵形式，即m 表示质量矩阵，c 表示阻尼矩阵，k 表示刚度矩阵，。q 表示广义力矩阵。实际工 程中的阻尼情况是千差万别的，因此本文的计算将不考虑阻尼，即忽略阻尼矩阵 c 的影响，相应的等式右边的广义力矩阵q 中将不包含阻尼力。 。 前文中已经指出现有理论在非线弹性情况下的缺陷，以下将通过对作平面运 动柔性梁的动能和应变能的分析，得到改进的质量矩阵和刚度矩阵；继而通过分 析作用在梁上的广义力，得到广义力矩阵；最后通过第二类拉各朗日方程，建立 本文所研究的柔性梁的动力学控制方程。 2 3 1 运动梁的动能及质量矩阵钉 点p 的变形位移矢量可写为： 天津大学硕士学位论文 第二章柔性梁的刚体运动与弹性大变形运动耦合的理论分析 i f = n q f 式( 2 3 1 ) 中n 是由和死构成的形函数矩阵，可表示为： = 警等： ：；三曼i g r 是由时变系数g 。和构成的弹性坐标，可表示为： 幻= 【蜀9 2 & 鸟噍九r 将式( 2 3 1 ) 代入式( 2 6 ) ，得柔性梁上任意点p 的速度： 0 = r + 以( 瓦+ 酊) 秒+ 删， 令占= 4 ( 瓦+ 均，) ，则上式- - p a 表示为矩阵形式： = ，b 叫 r 秒 q f ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) 运动梁的动能为： 丁= 吾j c r 以r 名d 矿= 妒岣( 2 - 3 4 ) 上式中，窖为广义坐标向量，m 为质量矩阵，p 为梁的密度，矿为梁的体积。 g 二p8 钐r 丁( 2 - 3 5 ) i 脚艘 必：j r 1个 i 1 式( 2 3 6 ) 甲： 聊艘= v 聊r 一= 工p b d v = 工p a n d v 聊鲫= i p b 7 b d v m 9 f = 0 p 分a n d v t a r o m o o n o i m 蠢m 罾 为物体的移动部分惯量 为物体移动和转动的惯性耦合 为物体移动和变形的惯性耦合 为物体的转动部分惯性张量 为物体转动和变形的惯性耦合 ( 2 3 6 ) 天津大学硕士学位论文第二章柔性梁的刚体运动与弹性大变形运动耦合的理论分析 聊矿= l 州r n d g 为物体相对变形的惯性 由质量矩阵m 不在对角线上的各子块也可以看出，柔性体动力学的一个重 要特征是在柔性体运动过程中动参考系的刚性运动与物体的变形运动间的高度 耦合。从整体上说，质量矩阵m 是个时变矩阵，但是其中的某些子块，或子块 中的某些元素与时间无关，而有的子块只要动坐标系选择适当，也可简化甚至消 去。 2 3 2 运动梁的应变能及刚度矩阵 1 、应力盯2 3 1 当柔性构件产生较大的挠曲变形的时候，其应力一应变关系将会超出线弹性 的范围，而呈非线性特点，这种由材料本身的性质造成的应力一应变曲线的非线 性关系，称为物理非线性。关于材料的物理非线性的确定，目前主要还是通过对 材料进行应力应变关系试验，并对若干材料试验曲线拟合并获得尽可能小的误 差，最终获得适合理论研究需要的数学表达式。 我们将材料在弹性范围内分为三段，即线性段( 0 占占，) 、非线性段 ( 勺占q ) 和屈服平台阶段( 占 占，) - 其应力一应变关系分别表达如下： 当0 占占口时，盯= e 占； 当o 占勺时，仃= e 占一，l n 4 s ( 占一勺) + 1 ； 当占 占，时，仃= q 。 上式中各符号的物理意义为： e 材料弹性模量( g p a ) ； 占应变( 1o - 3 ) ； 盯应力( v t a ) ： 乞弹性极限应变( 1 0 - 3 ) ； q 弹性极限应力( m d 口) ，= e 勺。 占，对应材料屈服极限的最小应变( 1 0 - 3 ) ； 仃。材料的屈服极限( m p a ) ； 天津大学硕士学位论文 第二章柔性梁的刚体运动与弹性大变形运动耦合的理论分析 s 材料非线性部分应变( f f 。) 的放大系数( 1 0 3 ) ； f 当s ( s 一占，) - p i 时，线性应力e c - q 非线性应力仃之差( 砌) 。 当材料进入到弹性非线性段，为了进行后续的矩阵转换，有必要将应力盯由 上述对数幂函数的表达式转化为关于应变占的多项式，由于随着s 次数的增加对 曲线拟合的影响越来越小，这里取关于占的二次牛顿插值公式心钔： 仃( 岛) 一仃( 氏) 仃( 毛) 一仃( 气) 口( f ) = 仃( 气) + 掣( 占一岛) + 二垒二立：_ i i 且( 一知) ( 占一q ) 在弹性非线性阶段任取三个s ，及其对应的仃值为： 6 0 勺，仃( 气) = 毛：旦+ o ，仃( 岛) ：如一， 毛2 _ f + 0 ，仃【岛j 2 上蜀一， 龟：+ o ，仃( 岛) ：e 乞一2 4 ， 龟2 丁+ 0 仃【岛j 2 厶乞一z 。， 将以上三式代入牛顿插值公式得： 盯( 占) ：五。+ 二一( 占一勺) 叱) = + 专暑竿( ) l - u + o 厂勺 + 降+ 寸( 寻+ ) ( 一啦( 等+ 。) = 筠f 2 + e 一错一搿勺 占 + 嵩潞e - s - ) e ( e + 1 ) ( p 一1 ) 2 令件舞器； = 卜学一舞器。 ； 天津大学硕士学位论文第二章柔性梁的刚体运动与弹性大变形运动耦合的理论分析 c o = 舞器b p + e - ；! 白) ， 则，应力盯可表达为： o = a 0 6 2 + 0 8 + c o ( 2 3 7 ) 2 、厦焚占 由包含轴向力作用的梁的几何非线性理论，梁作大变形运动，梁内的轴向应 变由以下两部分组成： 由中线上的应变和弯曲曲率求得的轴向应变为： 岛= 罢+ 圭( 罢) 2 + 圭( 差) 2 c 2 3 8 ， 岛。瓦+ 互i 瓦j + j i 瓦j 瞄q 酬 上式中， 要是由弯曲引起的应变； 丢2 是由梁的轴向位移弓| 起的峨 丢是由梁的横向位移弓i 起的应变 梁内由于弯曲变形引起的轴向应变为： 晶：一y 堡 ( 2 3 9 ) 乞一y 丽 。 在毛中由于梁的轴向位移较之弯曲对应变的贡献很小，故略去该项，综合上 述分析得到柔性梁的应变具有如下形式： 哗+=罢一譬+吉(封(2-4082 ， 占2 毛+ 5 - = ：一_ y 石+ i lj = l 7 出 口 二 3 、梁的应变能 运动梁的应变能为： u ：一1 e r e d v ( 2 4 1 ) ，髟 将应力一应变关系表达式( 2 3 7 ) 和( 2 4 0 ) 代入式( 2 4 1 ) 得： _ j ：= ：堡仝三耿工罕但讫义弟覃采任梁阴刚体琏动与弹性大燹形运动耦合的理论分析 一一一：= ：= ：= ： u = 1 2f f 警 = 剖4 豢斟+ 三罢( 黔2 y ( 罢) 2 窘一y 罢( 斟 + 暖) 2 ( 罢) 2 一y 窘( 罢) 2 一广 窘) 3 一三y ( 喜) 4 窘+ 2 y ：豢f 窘 2 咿科( 铲y 鼍雾( 守圭y ( 瓢务双喜) 2 饼 + 昙罡丁一y 罢窘瞎) 2 一三y 窘晤丁+ 三罢( 罢) 4 + 战f ( 罢) 2 妙2 ( 豢) 2 + ( 习4 2 y 豢窘一y 窘( 豢) 2 + 罢( 罢) 2 + c o y 窘+ 三( 酬卜 点如= 口，上灿= o ，王j ，2 出= ， 罢出吒，焙出吒 得： u = 丢f c 眠+ 晟针c o 蹦偿) 2 + ( 玑粤) 2 巾弛，+ 州( 窘) 2 卜 ( 2 4 2 ) u = 吾f 豢詈翻 正l + 或口+ c 。z 2 用弹性坐标表示应变，有 砜粤 障詈豺 3 4 z ，+ 鼠，i a 2 矿- f舔 萨i2 瓦乃 1 9 ( 2 4 4 ) 天津大学硕士学位论文第二章柔性梁的刚体运动与弹性大交形运动耦合的理论分析 u = 耖k g q ，( 2 - 4 5 ) 式中，砀为对应于弹性坐标毋的刚度矩阵， 勤= 蚓r 4 厶+ b o a + c o 正2 岛正。+ _ c ，o l 3 a 五l j + 岛， ( 期盘 q 6 将应变能表示成广义坐标g 的形式，则有 u=rkq(2-47) 式中，k 为对应于广义坐标g 的刚度矩阵，就本文所研究的柔性梁来说，k 与 具有如下关系： 足= 0 3 x 3 如 ( 2 - 4 8 ) 式( 2 4 8 ) 中，左上角零矩阵的维数与动坐标系的自由度有关。本文中动坐 标系可以用两个平动自由度和一个转动自由度来共同描述，因此零矩阵为3 x 3 的 方阵。 2 3 3 作用在柔性梁上的广义力 作用在柔性梁上的广义力包括由弹性变形引起的弹性力q 和直接作用于柔 性梁的广义主动力q f 。 其中，弹性力q e 所做的虚功即上一节中所说的应变能，因此，g 可用弹性 体的广义坐标表示为： 蜴- - k q ( 2 4 9 ) 如图2 1 所示，假设在柔性梁上的尸点作用集中力f ( q ，f ) ，则力f 在户点 虚位移上所做的虚功为： b w = ，以( 2 5 0 ) 将式( 2 5 ) 和式( 2 3 1 ) 代入上式得： 天津大学硕士学位论文第二章柔性梁的刚体运动与弹性大变