（电力系统及其自动化专业论文）电力系统小扰动稳定分析与控制的解耦降阶法.pdf

a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fp o w e rs y s t e m t h er e s e a r c hs t a n d a r do nt h es m a l ls i g n a l s t a b i l i t yn e e d st oi m p r o v e i nt h i st h e s i s ，t h er e s e a r c h e sa b o u ts m a l ls i g n a ls t a b i l i t y r e d u c i n g - o r d e ra n a l y s i sa n dc o n t r o lm e t h o df o rm u l t i - m a c h i n ep o w e rs y s t e mb a s e do n d e c o u p l i n ga n dr e d u c i n g o r d e rm o d e la r ea sf o l l o w s ad e c o u p l i n ga n dr e d u c i n g - o r d e r m e t h o di sb r o u g h tf o r w a r dt oa n a l y z et h es m a l ls i g n a ls t a b i l i t yo fm u l t i m a c h i n ep o w e r s y s t e m t h e nt h er e d u c i n g o r d e ra n a l y s i sb a s e do nt h em e t h o di nf r e q u e n c yd o m a i ni s r e a l i z e d s c h e m eo fp s so fm u l t i m a c h i n ep o w e rs y s t e mi sd e v i s e du s i n gt h e d e c o u p l i n ga n dr e d u c i n g o r d e rm e t h o da n dc o m p a r e dw i t ht h er e s u l to ft h et r a d i t i o n a l m e t h o d t h es m a l ls i g n a ls t a b i l i t yo far e g i o np o w e rs y s t e mi sa n a l y z e db yt h e e i g e n v a l u em e t h o da n dd e c o u p l i n ga n dr e d u c i n g - o r d e rm e t h o d a 1 1 dt h es c h e m eo f i m p r o v i n gt h es t a b i l i t yi si n e d u c e d t h ep r o g r a mo fs m a l ls i g n a ls t a b i l i t ya n a l y s i so f m u l t i m a c h i n ep o w e r s y s t e ma n dd e v i s i n gp s sb a s e do n t h e d e c o u p l i n ga n d r e d u c i n g o r d e rm e t h o di sc o m p i l e du s i n gm a t l a b i nt h i st h e s i s ，ad e c o u p l i n ga n dr e d u c i n g o r d e rm e t h o di s b r o u g h tf o r w a r dt o a n a l y z et h es m a l ls i g n a ls t a b i l i t yo fm u l t i m a c h i n ep o w e rs y s t e m b a s e do nt h em e t h o d ， t h er e d u c i n g o r d e ra n a l y s i si nf r e q u e n c yd o m a i ni sa c h i e v e df r o mt w ow a y s t h e c l o s e d l o o pm a i np o l e so fe a c hs i n g l e m a c h i n ea r ea t t a i n e di n t u i t i v e l yb yt h ep o l e z e r o c a n c e l l a t i o n s t h ea b s o l u t ea n dr e l a t i v e s t a b i l i t y o fm u l t i m a c h i n ei s a n a l y z e d i n t u i t i v e l l yu s i n gt h eo p e n - l o o pf r e q u e n c yc h a r a c t e r i s t i cc h a r t sa n dt h ep e r f o r m a n c e i n d e xo fo p e n l o o pf r e q u e n c yd o m a i no f e a c hd e c o u p l i n gs i n g l e m a c h i n e t h em e t h o d c o u l dn o to n l yr e a l i z er e d u c i n g - o r d e ro f t h el i n e a r i z a t i o nm o d e lo f m u l t i m a c h i n ep o w e r s y s t e m ，b u ta l s oa v o i dl o s i n gt h em a i np o l e so ft h es y s t e m a tt h es a m et i m e ，s t a b i l i t y m a r g i n sa n dd a m p i n gc o e f f i c i e n to fm a i np o l e so ft h ed e e o u p l i n gm a c h i n e sc o u l d p r o v i d ed e f i n i t ei n f o r m a t i o nf o ri m p r o v e m e n to f t h es y s t e ms t a b i l i t y i nt h i st h e s i s ，t h eo s c i l l a t i o nm o d e lm e t h o di si m p r o v e d ，a n dam e t h o do fd e s i g no f p s so fm u l t i m a c h i n ep o w e rs y s t e mi s p u tf o r w a r db a s e do nt h ed e c o u p l i n ga n d r e d u c i n g - o r d e rm o d e l t h ei m p r o v e do s c i l l a t i o nm o d e lm e t h o di sn o ta ts i n g l e m a c h i n e i n f i n i t e - b u se q u i v a l e n c es y s t e m ，b u td i a g o n a le l e m e n t so ft h el i n e a rc o e f f i c i e n tm a t r i x 墨瓦o fm u l t i - m a c h i n es y s t e mr e p l a c et h el i n e a rc o e f f i c i e n tm a t r i xk l k 6o f s i n g l e 。m a c h i n ei n f i n i t e - b u se q u i v a l e n c es y s t e m t h em e t h o da v o i d st h ed i f f f i c u l to f i l - s i n g l e m a c h i n ei n f i n i t e b u ss y s t e me q u i v a l e n c e t h em e t h o do fd e s i g no fp s so f m u l t i - m a c h i n ep o w e rs y s t e mb a s e do nt h ed e c o u p l i n ga n dr e d u c i n g - o r d e rm o d e lt a k e s t h ei n f l u e n c ei n t oa c c o u n ti nf u l lt h a tt h em a c h i n e sw i 珏lp s sa r es u m e at of r o mo t h e r s t h e r a t i o n a l i t yo f t h ei m p r o v e do s c i l l a t i o nm o d e lm e t h o di sv e r i f i e db yt h em e t h o d t h es m a l ls i g n a ls t a b i l i t yo far e g i o np o w e rs y s t e mw i t h6 2m a c h i n e sa n d4 2 8 b u s e si sa n a l y z e du s i n gt h ep r o g r a m p s a s p o fe l e c t r i cp o w e rr e s e a r c hi n s t i t u t e c h i n aa n dm a t l a bp r o g r a mb ym y s e l fu n d e rk i - k 6m o d e la n dc 1 - c 1 5m o d e l ，t h e n t h es c h e m eo fp s si sb r o u g h tf o r w a r da c c o r d i n gt ot h er e s u l to fa n a l y s i s t h er e s u l t i m p l i e st h a tt h ec a l c d a t m nr e s e to ft h ed e c o u p l i n ga n dr e d u c i n g o r d e rm e t h o di s c o i n c i d e n tw i t ht h er e s u l to ft h e e i g e n v a l u em e t h o d a n dt l l ee f f e c to ft h ep s si s f a v o r a b l e k e yw o r d s ：e l e c t r i cp o w e rs y s t e m ，s m a l ls i g n a ls t a b i l i t y , d e c o u p l i n g ，r e d u c i n g o r d e r , p s s i 郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的，学位论文没有剽窃、抄 袭等违反学术道德、学术规范的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的一切 法律责任和法律后果，特此郑重声明。 学位论文作者：召 冷乳 2 f 年f 月j f 闩 1 1 引言 1 绪论 大容量远距离输电系统的建设和大型电力系统的互联i l “，其目的本是要提高 发电和输电的经济性和可靠性，但由于多个地区之间的多重互联，却诱发出许多 新的动态稳定问题，使系统失去稳定的可能性增大。尤其在互联系统中，各地区 的备用容量大为减少，系统的运行方式日益接近稳定极限，这也使得系统的稳定 性问题特别是小扰动稳定问题更加突出。同时诸如超高压直流输电线h v d c l 4 1 、远 距离输电线的串联电容补偿t c s c ! “、快速励磁系统以及大容量同步发电机的采用， 也赋予了电力系统小扰动稳定研究新的内容，并增加了其难度。 分析电力系统在小扰动稳定下的动态行为，可以将电力系统的非线性微分方 程组在系统运行点附近线性化，化为线性微分方程组，然后用线性系统理论分析 电力系统在小扰动下的稳定性。对于目益增大和复杂的现代电力系统，其小扰动 稳定分析的线性化模型阶数急剧加大，传统的小扰动稳定研究方法都不同程度地 面临着一些困难。进一步探索电力系统小扰动稳定的分析和控制方法具有重要的 意义。本文以多机电力系统小扰动稳定的频域降阶分析和控制方法为主要研究内 容。 1 2 国内外研究现状 我国电力系统正在从目前的区域性电网向互联电网阶段发展，最终可能实现 全国联合大电网。根据国外的经验，这样的大型联合电力系统很容易发生弱阻尼 低频机电振荡稳定问题1 6 _ 4 1 ，其振荡频率分布在0 2 h z 2 5 h z 之间，如果在系统 振荡频率上没有合适的阻尼，振荡可能持续几分钟并发展直到系统解列。1 9 8 4 年， 广东一香港联网系统发生数十次弱阻尼和负阻尼的低频振荡，在全网都有不同程 度的反应，严重威胁着联网系统的稳定运行 i h ；1 9 9 4 年，南方互联电网的中期动 态稳定破坏事故也与系统在某些运行方式下系统的阻尼不足有关【i5 j 等等。 小扰动稳定分析方法，就是把描述电力系统动态行为的非线性微分方程组和 代数方程组在运行点处线性化。形成状态方程，通过判定线性系统线性化系数矩 阵的特征值是否都在复平面的左半平面( 特征根具有负实部) 来判断该运行点的 稳定性，它是分析电力系统动态稳定性的严格方法。 目前，建立在线性化模型基础上发展最为完善的电力系统小扰动稳定性的分 析方法主要有两种：以状态空间模型描述为基础的特征值分析法和以传递函数矩 阵为基础的频域分析法。前一种分析方法的信息量十分丰富，不仅可以判断系统 的稳定性，还可以知道小扰动下，系统过渡过程的许多特性：如振荡性过渡过程 的特征，包括振荡频率、衰减因子、相应振荡在系统中的分布、该振荡是由什么 原因引起的、和哪些状态变量密切相关等等。可以为确定抑制振荡的装置的最佳 安装位置及其参数整定提供有用的信息。特征值分析法是研究低频机电振荡现象 的强有力的工具，已成功地应用于电力系统小扰动稳定性评价、确定控制器的安 装地点、控制器参数优化等方面 1 1 , 1 6 , 1 7 】。 计算矩阵全部特征值的q r 法曾是特征值分析法的一种十分有效的传统算法， 但是随着系统维数的增加，其局限性日益暴露出来。对于电力系统稳定性问题， q r 法的不足之处在于它需要进行满阵运算，对内存要求太高，而且计算量约按矩 阵维数的三次方递增，使大规模系统所需要的计算时间达到难以接受的程度，另 外在维数甚高的情况下，会发生所谓的“维数灾难”问题，而无法求得准确的特征值。 从上世纪8 0 年代起，许多部分特征值分析方法开始用于电力系统的小扰动稳 定分析，这些方法只计算系统的部分主导特征值，即实部最大的一些特征值，以 减少计算量。例如，基于系统降阶的选择模式分析法( s m a 法) ，它主要用来计 算系统的低频振荡模式，但由于需要保留的状态变量包括每台发电机的a 8 ，a o j 等，降阶后矩阵的维数仍然会很大，且不能保证其主导特征值不被遗漏【l 剐；类 似于频率响应法的a e s o p s 算法，将特征值问题转化为一个非线性方程的求根问 题，但其初值的选择比较困难，且无法预计该算法最终收敛到哪一个特征值1 1 9 1 ； 基于分数变换的两步法，该方法先采用同时迭代法求出在一个位移点附近的特 征值的估计值，然后将这些估计值作为初值用牛顿迭代法算出它们的精确值，但 是为了保证不漏掉主导特征值，这种方法必须选择多个位移点，因而要经过多次 分数变换并进行多轮迭代计算【2 0 】；利用矩阵变换求原系统部分主导特征值的s 矩阵法，虽然该方法能保证正确地判断系统稳定性，但s 矩阵法在矩阵变换中所 取的参数对其收敛速度影响很大，而且有可能收敛到非主导特征值上f 2 l 】；基于 矩阵变换的多重c a y l e y 变换，该方法实际上是s 矩阵法的延伸，但它可以在变换 中采用一组固定的参数来适应不同的系统规模和a 阵不同的特征值分布情况，能 可靠而迅速地判断系统的稳定性，在计算量和可靠性方面优于s 矩阵法1 2 2 1 。显 式重启动a m o l d i 算法i ，可分析状态维数高达2 2 0 0 0 的大型实际电力系统【2 4 l ，但 是这种算法在计算特征值簇时收敛性会严重恶化，针对这种情况，出现了隐式重 启动a m o l d i 算法【2 5 】，该算法收敛性较可靠，能有效地计算出特征值簇。基于部 分惯量中心等值的多机系统特征值计算。该方法根据不同频率振荡模式的正交性， 针对每一振荡模式将系统机组划分成两群，然后利用部分惯量中心将两个机群分 别等值成两台发电机，在等值机的基础上进行特征值的计算。但该方法在考虑励 磁控制作用时的计算精度不高m j 。 另外，利用系统的解耦原理进行电力系统的特征值的求解。例如相对关联分 析法，该方法通过分析各发电机之间相互耦合的强弱程度，略去弱耦合部分，将 系统解耦为若干个与外部系统无关联作用的封闭子系统，然后以封闭子系统为基 础，进行特征值的计算【2 ”。文献1 2 8 1 提出了一种基于模糊聚类分析思想的多机系统 小扰动稳定分析的模糊分块解耦法，该方法为解决q r 法的“维数灾难”问题提供了 新的思路。 以传递函数矩阵为基础的频域法是进行大系统小扰动稳定分析的最为可靠的 方法，但其信息量有时又难以满足要求。因此频域法曾一度陷入停顿状态，但是 随着多变量控制系统的现代频域理论的发展，频域法又重新得到了人们的重视， 被广泛地运用于航天、医疗、电子、模型辨识、最优控制等方面。同时，频域法 在电力系统方面也得到了很大发展，文献【2 9 l 用频域法来建立多机电力系统的数学 模型：文献 3 0 l 建立了含有h v d c 的电力系统小扰动稳定的频域分析模型；文献f 3 1 1 将频域法运用到电力系统的鲁棒稳定性分析中，文献【3 2 】给出了电力系统的小扰动 稳定性分散型频域判据。 电力系统小扰动稳定控制可以采用多种技术措旋来实现，如常规电力系统稳 定器( p s s ) 、灵活交流输电稳定器( f a c t s - b a s e ds t a b i l i z e r ) 、h v d c 和s v c 的辅 助控制等，其中p s s 是应用最广泛的措施。p s s 的选址和参数设计的传统方法有 多种，振荡模式分析法是最常见的一种方法。这种方法通过模态分析确定各机组 对某振荡模式的相关程度，把p s s 配置于与该振荡模式相关性最强的机组。p s s 的选址和参数设计还有留数法、阻尼力矩系数法、特征根灵敏度分析法等。 p s s 设计的传统方法基于线性化模型且常基于单一运行方式，而电力系统的运 行方式和参数不断变化且具有非线性特性。为了提高电力系统的小扰动控制水平， 引入了多种现代控制策略。文献 3 3 1 研究了具有自适应能力的p s s 设计和应用问 题。文献 3 4 3 6 1 将神经网络和模糊理论应用到p s s 的设计中。文献【3 7 】将遗传算 法应用到p s s 的参数设计中。文献1 3 s 针对传统砜方法存在的一些不足，采用组 合算法进行了p s s 的最优鲁棒设计。与常见的确定性设计方法不同，文献 3 9 1 以正 态分布描述系统的多运行方式，采用概率灵敏度指标进行p s s 的选址和参数整定。 通过在同步发电机组的调速器中引入附加控制或优化调速器控制规律对于解 决电力系统小扰动稳定问题也是一个重要方面。一种在调速器侧设计的电力系统 稳定器( g p s s ) 本身具有多机解耦特性，避免了常规p s s 无法回避的安装地点选 择和参数协调问题1 4 u - 。 1 3 本文的主要研究内容 本课题主要是研究基于频域解耦降阶模型的多机电力系统小扰动稳定分析与 控制的方法。 主要在以下几方面作了研究： ( 1 ) 多机电力系统小扰动稳定分析的频域解耦降阶模型和方法研究本文从 多机系统的状态方程出发，推导解耦单机系统解析形式全阶传递函数模型，通过 偶极子对消的方法进一步得到降阶传递函数模型，即频域解耦降阶模型。基于各 解耦单机系统的开环频率特性可直观地分析多机系统的稳定性。 ( 2 ) 基于解耦降阶模型的p s s 选址和参数设计的研究提出根据各解耦单机 系统稳定裕量的大小确定系统是否加装p s s 以及p s s 的安装地点，研究基于解耦 降阶模型的p s s 参数设计方法，并对传统的p s s 频域设计方法进行改进。 ( 3 ) 解耦降阶法在某区域电网小扰动稳定分析与控制中的应用分别应用 而- k 6 模型和a c 1 5 模型以及特征值分析法和解耦降阶法对某区域电力系统的小扰 动稳定性进行分析，提出p s s 设计方案。与电力系统分析综合程序( p s a s p ) 对 计算结果进行互核。 ( 4 ) 编制基于多机系统的小扰动稳定分析程序程序功能包括潮流计算、系 统a 阵特征值计算、基于解耦降阶模型的小扰动稳定分析及p s s 设计等。 2 1 引言 2 多机电力系统小扰动稳定分析的解耦降阶法 在大型电力系统小扰动稳定计算中，q r 法可得到系统全部特征根，但难以解 决“维数灾难”问题，而一些部分特征值分析方法虽然在一定程度上解决了“维数灾 难”问题，但往往存在机电模式丢失现象。 兼顾解决“维数灾难”和主要特征根丢失问题具有重要的工程意义。文献【4 1 】从 多机等效二阶模型出发证明了多机系统完全解耦模型，采用逐点计算的方法求取 各解耦单机系统的开环和闭环频率特性，并基于这些频率特性分析系统的稳定性。 本文则进一步提出一种多机系统解耦降阶模型和基于该模型的系统的小扰动稳定 分析方法。本章包含下列内容：从多机系统状态方程出发，推导出各解耦单机系 统解析形式的全阶闭环传递函数；通过偶极子对消的方法得到各解耦单机系统的 降阶闭环传递函数，该解耦降阶模型凸显各解耦单机系统的主要闭环零点和闭环 主导极点；求取各单机系统的开环传递函数，并由开环n y q u i s t 图或b o d e 图以及 稳定裕量分析闭环系统的稳定性。 2 2 多机电力系统的频域解耦模型 设发电机采用六阶模型，励磁系统采用一阶惯性环节表示，忽略调速系统作 用，则由”机系统以c 1 c l s 为线性化系数矩阵的线性化模型( 见附录3 ) 可得： f 又：a x j y = c x 式中： x ：r ，r ，峨7 ，蠼7 ，啦7 ，衄d ”7 埘，7 r y = ，埘2 ，峨】r ； c = 【_ c l j o i o i c 2 ；o i c 1 2 ；o 】； 一为7 疗7 阼阶系统矩阵。 - 5 一 ( 2 1 ) 式中有关符号说明参见 4 7 】。 将式( 2 1 ) 改写为 i x = a + b u y = c x + d u 式中： x 为x 划去第j 和n + i 个元素( 即a 6 t ，织) 后的列向量； y 为y 的第i 个元素，即a m ，； a 为4 划去第i 和n + i 行、第i 和n + i 列后的矩阵； b7 为4 的第i 和n + i 列构成的矩阵划去第i 和n + i 行后的矩阵； c 为c 的第f 行划去第i 和n + i 列后的行向量； d 7 为c 的第i 行的第i 和n + i 列组成的行向量； u = l 占，q 】。 由式( 2 ，2 ) 可得第i 台机组合成力矩增量m 为： 厶m = g 。g 冷6 ，+ g 。g ) 。 = 6 8 。g ) + g 。o 扣国，】6 e g ) 最 ( 2 2 ) ( 2 3 ) 式中： 瓦g ) = 一【g 。，b ) + g 。；g b 。 ： g 。；o ) = a m ，a 嗔，为m 。对于本机功角d ，的传递函数； g 乙，g ) = a m 。a o 。，为m ；对于本机角速度a t o 。的传递函数 式( 2 3 ) 表明各发电机的力矩增量可等效地看作仅与本机的功角增量有关，即就 力矩增量与功角增量的关系而言，多机系统的各发电机组是完全解耦的。 第j 台机组的转子运动方程为： 蝇。卷埘，咆g 灿 ( 2 4 ) 式中： g ，o ) = 国 ，乙s 2 将式( 2 3 ) 与式( 2 4 ) 联立即得解耦的单机等效二阶系统模型，如图2 1 所示。 图2 1 解耦单机系统模型框图 f i g 2 1b l o c kd i a g r a mo f t h ed e c o u p l i n gs i n g l e - m a c h i n es y s t e m 图2 1 所示为频域解耦的单机系统模型，玎机系统具有珂个这样的单机模型， 使用该模型可以把阼机系统的小扰动稳定问题转换成疗个单机系统的小扰动稳定 问题。完全解耦模型的特点在于它在完全保留了多机系统全部信息的前提下，提 供了一种简洁明了的数学描述，这为利用经典频域方法分析详细模型下的大型电 力系统小扰动稳定性奠定了基础。 该方法同样适用于发电机采用三阶模型的i f l - & 6 模型和发电机采用五阶模型 的a c 1 5 模型等。有关推导见附录2 。 2 _ 3 基于频域解耦模型的小扰动稳定分析 2 3 1 基于全阶解耦模型的小扰动稳定性分析 由图2 1 可以得到各机组的闭环传递函数为 啪) = 捣( 毗川( 2 s ) 由式( 2 ，5 ) 可方便地解得第f 台机组的闭环零极点，从而可以判断各机的稳 定性和动态性能。 由于每台机组都是组成多机系统的一个子系统，由此可推知各解耦单机系统 的特征方程以及阈环极点完全相同，因此，只要所有解耦单机系统都稳定，原i l 机系统必然稳定，反之亦然；另一方面，由于各机组的动态性能不尽相同，由此 可推知各机组的闭环零点有所不同。 由图2 1 可写出各机组的开环传递函数为： 开环频率特性为： g o ，o ) = g ，o ) 厦o ) ( f _ l 2 ，力)( 2 6 ) g 。g ) = 0 犯妒白) ( 2 7 ) 式中： 4 0 ) = l g 。，( j l 开环幅频特性； 妒白) = z g 。( j ) 开环相频特性。 可利用开环n y q u i s t 图或b o d e 图分析闭环系统的稳定性。相位裕量y 和幅值 裕量m 是描述闭环系统稳定性的开环频域指标。相位裕量的定义为： y = 1 8 0 0 + 妒b 。) ，其中t o 。为幅值剪切频率。幅值裕量的定义为：m = a 。1 b 。) ，或 琊( d b ) = 2 0 l 0 9 4 。慨) ，其中t o 。为相位剪切频率。 对最小相位系统，闭环系统稳定的条件是， 0 ，m 1 或m ( d b ) 0 。一般情 况下，仅使用y o 这一个条件即可判断闭环系统的稳定性，且根据y 的数值大小 也能估计闭环系统的相对稳定性。 计算发现，各解耦单机系统中可能存在非最小相位系统。利用稳定裕量判断 非最小相位系统的稳定性较为复杂，需要结合具体情况进行具体分析。 2 3 2 基于降阶解耦模型的系统稳定性分析 解耦单机系统的降阶闭环传递函数的主导极点在该机组的动态过程中起主导 作用。若从特征根分析的角度看，各机组的闭环主导极点就是与该机组动态过程 强相关的特征根。计算实践表明，各解耦单机系统闭环传递函数都存在大量的偶 极子( 靠得很近的闭环零极点对) ，近似将这些偶极子对消后，便得到它们各自包 含主导极点的降阶闭环传递函数。为说明方便，记各解耦机组与全阶闭环传递函 数g ，6 ) 对应的降阶阈环传递函数为g 。，( s ) 。 由电力系统的运行实际可知，当系统不稳定时所有机组都将参与振荡，但振 荡的幅度和发数速度有所差别，总有一台或少数几台机组率先失步。因此从工程 角度讲，不稳定多机系统中率先失步的机组可以看作是“不稳定”机组，而其他 机组则可看作是“稳定”机组。利用降阶闭环传递函数可以简便地判断出多机系 统中的“不稳定”机组。 本文采用m a t l a b 软件的m i n r e a l 函数和自编程序两种方法进行偶极子对消。 计算表明，m i n r e a l 函数并不是按照偶极子矢量模从小到大的顺序进行偶极子对消， 用其进行偶极子对消，在系统阶数较低且零极点比较分散时可以有较好的效果； 但当系统阶数较高时，零极点往往分布较密，此时使用这种方法就会出现误对消 的问题。针对m i n r e a l 函数存在的问题，本文编写了偶极予对消程序，其流程图如 图2 2 所示。 图2 2 偶极子对消程序流程图 f i 9 2 2f l o wc h a r to f t h ep r o g r a mf o rp o l e - z e r oc a n c e l l a t i o n - 9 - 降阶闭环传递函数的阶数与偶极子的对消数量有关，而偶极子的对消数量取 决于偶极子矢量模的对消门槛s 。g 值取得过大，则可能将闭环主导极点对消掉； 占值取得过小，则降阶闭环传递函数的阶数会很高，失去了降阶的意义。因此合理 选取s 值，对降阶分析极为重要。本文通过对系统进行分析，且结合计算经验，认 为占应取0 1 o 8 。这样得到的各机组降阶闭环传递函数的阶数约为3 7 ，这样既能 达到降阶分析的目的，又可保证不丢失主导极点。 由各解耦机组的降阶闭环传递函数为g c i b ) 和图2 1 可写出各机组的降阶开环 传递函数为： 啪) = 笔裂 ( 2 8 ) 由于降阶开环传递函数的阶数明显被降低，利用开环频率特性分析系统稳定 性将更加简单易行。 2 4 算例 2 4 1 基于全阶解耦模型的6 机系统小扰动稳定性分析 6 机算例系统见文( 4 l 】，采用全阶解耦模型进行稳定性分析( 发电机采用六阶 模型，励磁系统采用一阶模型) ，所得结果与q r 特征值法相一致。 该系统各解耦单机系统的闭环传递函数均为4 2 阶且特征方程相同。显然，它 就是该6 机系统的特征方程，其极点就是6 机系统的特征根。计算证实，这些极 点与q r 法得到的特征值完全一致。表1 列出各解耦单机系统的全部闭环零极点， 各解耦单机系统的极点都相等，如第2 列所示：各解耦单机系统的零点各不相同， 分别如第扣1 0 列所示。同时给出了由相关因子法所确定的特征根强相关机组( 第 3 列) 。 由表2 1 可见，系统存在位于右半复平面的共轭闭环极点p 。和和实闭环极点 p 4 。，由此可知该6 机系统不稳定。另外，p ，t 1 0 与1 - 5 # 机组的闭环零点刁。1 0 ( f _ 1 2 ，5 ) 构成共轭偶极子，二者的作用可以对消，而与6 # 机组的。，。相差较 大则不能对消，故从工程角度可以认为仅6 带机不稳定；p 。则可认为与各机组的闭 环零点z “。( 卢1 2 ，6 ) 都构成偶极子，从而对系统稳定性没有显著的影响。现以 l 撑机和础机的闭环零极点分布图予以说明。 表2 16 机系统各解耦单机系统的闭环零极点 t a b 2 1 c l o s e d - l o o pz e r o sa n d p o l e s o f e a c h d e c o u p l i i l gs i n g l e m a c h i n es y s t e m o f 6 一m a c h i n es y s t e m 系统闭环极点各机闭环零点( i = 1 ，2 ，6 ) 极点 闭环极点 强相关 零点 # 1 机# 2 机# 3 机# 4 机 # 5 机# 6 机 编号 帆组 编号 - o 2 3 7 _ 0 2 9 3 02 2 9 - o _ 2 6 9 士- 0 1 4 8 i- o 3 0 3 m 2 7 5 p l ，2 # 1 z i l 2 i 5 7 4 8 j 5 6 1 2j 3 9 3 3 j 56 1 2j 6 7 8 4j 2 3 5 9j 5 7 9 5 03 6 3 o 3 5 3 0 2 3 5 i0 _ 3 6 0 - o 3 6 3 - 0 3 7 8 03 6 3 # 2 z i3 4 j 1 1 7 9 6 j 1 1 ，4 8 9j 1 1 9 9 p 3 4 j 1 1 7 9 9 i 1 1 6 1 9 j 3 7 0 6 j 1 1 7 8 5 - 03 6 8 - 03 7 7 0 3 6 2 - 0 0 3 2 士0 3 5 5 - 0 3 4 6 0 3 4 2 p 5 ，6 # 4 z l5 ，6 i 7 4 8 1 j 75 4j 7 4 3 9j 7 7 3 5j 7 4 4 5j 3 0 5 1j 5 9 4 3 03 5 2 - 0 3 6 l 0 3 3 9 03 2 7 0 3 6 9 - 0 1 8 1 0 3 4 5 p 7 ，8 # 5 z ，78 i 1 0 7 4 l j 1 03 0 6 j 1 0 2 7 7 j 2 3 3 0j 1 05 1 4 j 1 0 4 8 2 j 1 0 3 2 5 0 1 4 7 0 1 4 7 0 1 4 6 0 1 4 7 0 1 5 0 0 1 4 7 10 0 1 7 p 9 ，l o # 6 z 2 9 1 0 j 2 36 8 7 j 2 3 6 3 9j 2 3 6 6 9j 1 7 7 9j 2 3 7 0 1j 2 37j 2 3 6 8 3 - 1 0 4 0 4 - l o 3 9 5 士- 1 0 4 0 4 1 0 4 0 3 1 04 0 4 1 04 0 3 1 0 4 0 3 撑l z i l l ，1 2 1 83 6 6j 1 8 3 6 6 j 1 83 6 6j 1 8 3 6 5 p u ，1 2 1 83 6 6 j 1 8 3 6 8j 1 8 3 6 6 p 1 3 2 9 6 2 3 撵l z 1 3 - 2 9 6 2 5 2 9 6 2 32 96 2 32 9 6 3 2- 2 9 6 2 3- 2 9 6 2 3 p 1 4 1 56 8 6弃2 z 1 4 ，1 5 6 7 8一1 57 8 3- 1 5 6 8 3 1 56 7 81 5 ，6 8 21 56 8 4 1 53 9 l 1 53 8 9 1 5 3 9 7 士- 1 5 3 8 9 1 53 8 2 1 5 3 9 1 5 3 8 9 p 1 5 ，1 6 群6 = 1 1 5 1 6 j 1 6 9 5 j l6 8 9j 1 7 1 4 i 1 6 9 1j 1 6 8 8j 1 6 8 1j i 6 9 3 p 1 7 - 1 44 8 6# 1 z 1 1 7 1 45 3 61 4 5 3 81 45 1 7 1 45 1 41 4 5 11 45 1 2 7 2 一1 2 7 0 8 1 27 5 l 1 2 7 l l 1 2 9 8 2 1 2 8 9 - 1 27 1 3 p 1 8 ，1 9 # 4 z m 1 9 i 4 3 7 j 4 3 1 4j 43 8 3j 43 9 8 j 4 3 7 6 j 4 3 4 9 j 43 7 1 1 28 6 2 1 2 8 0 7 - 1 2 ，8 7 5 - 1 2 8 6 1 29 6 4 1 2 8 3 7 1 2 8 5 8 # 3 = f2 0 2 1 1 3 1 5 6 j 3 0 9 1j 3 1 1 6j 2 9 5 5 3 ，1 4 6 p 2 0 ，2 1 * j 3 1 4 6 j 3 1 5 5 - 1 1 6 3 3 1 16 3 5 1 16 6 6 一l1 5 9 2 - l l _ 5 0 9 - 1 1 6 6 4 1 l6 9 3 p 2 22 3 # 5 i2 2 2 3 j 4 9 0 9 j 4 8 8 7 j 4 6 9 6j 5 0 9 8j 4 8 9 5 j 4 8 5 5j 48 3 9 p 2 4 - 7 1 6 3# 4 z j2 4 - 7 1 7 8- 7 8 8 4- 7 1 3 3- 6 0 以 _ 7 1 8 5- 7 2 5 9 p 2 5 6 7 4 9捍2 ：f2 5 6 7 4 76 9 9 6- 6 7 1 2- 6 7 5 969 4 96 ，7 4 5 5 8 2 9 士 5 8 8 5 - 5 9 6 6 ， - 6 1 9 9 - 5 9 7 5 - 59 9 5 5 8 9 2 p 2 6 ，2 7 # 3 z 1 2 6 2 7 5 6 3 8- 5 2 4 3 j o 9 4 8j o 7 9 3 54 3 9 j 0 ，3 3 3 j o 3 8 9 p 2 8 5 0 2 2# 6 z i2 9 5 0 1 44 9 5 85 。0 5 15 0 4 1 5 0 0 2l 0 9 8 p 2 9 - 37 9 4# 5 z f2 9 - 3 7 7 9 3 7 6 9- 3 8 4 3- 37 7 63 4 8 33 7 7 1 - 33 4 9 ， 撑2 z | 3 0 ，3 1 33 5 6 - 2 9 1 5 士 - 33 4 1 ， - 3 4 3 8 ，3 3 9 8 。 - 33 6 4 ， 仍o3 1 28 2 9 - 2 8 3 3 j 0 0 9 一27 9 3- 33 3 7- 2 9 7 2- 2 1 1 2 p 3 2 - 1 8 5 7 # 4 = i3 2 18 6 9- 1 8 7 3- 1 8 6 7- 19 4 4 - 1 8 7 3 - 0 1 2 9 表2 ，1 续表 系统闭环极点 各机闭环零点( f l ，2 ，6 ) 极点 闭环极点 强相关零点 # l 机 # 2 机# 3 机# 4 机# 5 机# 6 机 编号 机组 编号 p 3 4 0 5 1 l# 5 z l3 4 0 5 1 10 5 1 10 5 1 10 5 1 10 5 1 4 0 5 l l p 3 5 0 1 6 7捍i z 3 5 0 1 6 70 1 6 70 1 6 70 1 6 70 1 6 70 1 6 7 p 3 6 0 1 4 l # 2 z l3 6 0 1 4 00 1 5 80 1 4 2- 0 1 3 6- 0 1 4 40 1 4 3 0 1 2 4 ： - 0 1 2 5 ， - 0 1 2 4 - l0 1 2 2 - 0 1 3 l 0 1 2 3 ，1 5 0 p 3 7 ，3 8 # 6 = f3 7 3 8 j o0 0 9 - 0 1 1 1 j o 0 0 7 - 0 1 1 8 j o 0 2 2 一0 1 1 1 j o 8 5 8 p 3 9 0 1 0 0 0 7# 3 z f3 9 - 0 1 0 0 0 5- 0 0 9 9 90 1 0 0 40 0 9 9 9o 1 0 0 0 80 1 0 0 0 2 p 4 0 0 0 0 4 i 3# 5 z i 柏 0 0 0 4 5 4 0 0 0 6 5 50 0 0 5 0 70 0 0 4 7 90 0 1 6 000 0 6 6 7 p 4 1 ，4 2 0 ，0 图2 3 给出了l # 机和酬机的零极点分布图。该图关于实轴对称，现仅画出实轴及 实轴以上部分。图中“”表示极点，“o ”表示零点。从图中可以清楚看出，两机均 存在大量的偶极子，近似将它们对消后，可以大大地降低闭环传递函数的阶数。 由于各机的偶极子不同，系统的动态性能和稳定性能可能不同。如在两图中均存 在位于右半复平面的极点( 0 1 4 7 士j 2 3 7 0 1 ) ，但是l # 机组的零点中有与其靠得很近 的零点( 共轭偶极子) ，因此可以将它们对消，认为l 社机组是稳定的：而6 # 机组 中却没有能与该极点构成偶极子的零点，因此必须保留该极点，所以认为6 # 机组 是不稳定的。 由式2 6 可得各解耦单机系统的